Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов
Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно теорії конфліктно-керованих процесів. При цьому ключову роль відіграють зворотні функціонали Мінковського, за допомогою яких утворені спеціальні багатозначні відображення та відповідні розв’язувальні функції, тісно пов’язані з параметрами вихідного к...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84123 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов / А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 40-64. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84123 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С. 2015-07-03T09:05:54Z 2015-07-03T09:05:54Z 2012 Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов / А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 40-64. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84123 517.977 Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно теорії конфліктно-керованих процесів. При цьому ключову роль відіграють зворотні функціонали Мінковського, за допомогою яких утворені спеціальні багатозначні відображення та відповідні розв’язувальні функції, тісно пов’язані з параметрами вихідного конфліктно-керованого процесу. При обґрунтуванні ігрових конструкцій та отриманні на їх основі змістовних результатів ефективно застосовано сучасну техніку теорії багатозначних відображень. Значну увагу приділено проблемам, пов’язаним з властивостями спеціальних багатозначних відображень та їх селекторів, що відіграють визначальну роль при доведенні тверджень. The paper is devoted to advanced research of the resolving-functions method concerning the theory of conflict-controlled processes. A key role is played by inverse Minkowski functionals, by means of which special multi-valued mappings and corresponding resolving functions, closely related to the parameters of the initial conflict-controlled process, are formed. A modern technique of the theory of multi-valued mappings is effectively used for the substantiation of game constructions and getting substantial result on their basis. The problems related to the properties of special multi-valued mappings and their selectors, which play a crucial role in proving the assertions, are brought into the foreground ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов Метод розв’язувальних функцій у теорії конфліктно-керованих процесів Resolving-functions method in the theory of conflict-controlled processes Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов |
| spellingShingle |
Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С. Системный анализ |
| title_short |
Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов |
| title_full |
Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов |
| title_fullStr |
Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов |
| title_full_unstemmed |
Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов |
| title_sort |
метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов |
| author |
Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С. |
| author_facet |
Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Метод розв’язувальних функцій у теорії конфліктно-керованих процесів Resolving-functions method in the theory of conflict-controlled processes |
| description |
Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно теорії конфліктно-керованих процесів. При цьому ключову роль відіграють зворотні функціонали Мінковського, за допомогою яких утворені спеціальні багатозначні відображення та відповідні розв’язувальні функції, тісно пов’язані з параметрами вихідного конфліктно-керованого процесу. При обґрунтуванні ігрових конструкцій та отриманні на їх основі змістовних результатів ефективно застосовано сучасну техніку теорії багатозначних відображень. Значну увагу приділено проблемам, пов’язаним з властивостями спеціальних багатозначних відображень та їх селекторів, що відіграють визначальну роль при доведенні тверджень.
The paper is devoted to advanced research of the resolving-functions method concerning the theory of conflict-controlled processes. A key role is played by inverse Minkowski functionals, by means of which special multi-valued mappings and corresponding resolving functions, closely related to the parameters of the initial conflict-controlled process, are formed. A modern technique of the theory of multi-valued mappings is effectively used for the substantiation of game constructions and getting substantial result on their basis. The problems related to the properties of special multi-valued mappings and their selectors, which play a crucial role in proving the assertions, are brought into the foreground
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84123 |
| citation_txt |
Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов / А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 40-64. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT čikriiaa metodrazrešaûŝihfunkciivteoriikonfliktnoupravlâemyhprocessov AT rappoportis metodrazrešaûŝihfunkciivteoriikonfliktnoupravlâemyhprocessov AT čikriiaa metodrozvâzuvalʹnihfunkcíiuteorííkonflíktnokerovanihprocesív AT rappoportis metodrozvâzuvalʹnihfunkcíiuteorííkonflíktnokerovanihprocesív AT čikriiaa resolvingfunctionsmethodinthetheoryofconflictcontrolledprocesses AT rappoportis resolvingfunctionsmethodinthetheoryofconflictcontrolledprocesses |
| first_indexed |
2025-11-24T15:58:14Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:58:14Z |
| _version_ |
1850850121360605184 |
| fulltext |
À.À. ×ÈÊÐÈÉ, È.Ñ. ÐÀÏÏÎÏÎÐÒ
ÓÄÊ 517.977 ÌÅÒÎÄ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ Â ÒÅÎÐÈÈ
ÊÎÍÔËÈÊÒÍÎ-ÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå, óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð, ñòðîáîñêîïè÷åñêàÿ
ñòðàòåãèÿ, îïîðíàÿ ôóíêöèÿ, ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ, ñóïåðïîçèöèîííàÿ èçìå-
ðèìîñòü, ôóíêöèÿ Ìèíêîâñêîãî.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ ìîæíî óñëîâíî
ðàçäåëèòü íà äâà òèïà. Îäèí ïîñâÿùåí êîíñòðóêöèÿì, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíà
ïîïûòêà ïîñòðîèòü îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè èãðîêîâ îòíîñèòåëüíî çàäàííîãî
êðèòåðèÿ. Ýòî ìåòîäèêè, ñâÿçàííûå ñ àëüòåðíàòèâàìè Í.Í. Êðàñîâñêîãî [1, 2],
ïîïÿòíûå ïðîöåäóðû Ïîíòðÿãèíà–Ïøåíè÷íîãî [3, 4] è ìåòîä Ð. Àéçåêñà [5],
êàñàþùèéñÿ îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ èãð — óðàâíåíèÿ
òèïà Ãàìèëüòîíà–ßêîáè. Êàæäûé èç ýòèõ ìåòîäîâ èäåîëîãè÷åñêè ñâÿçàí ñ äè-
íàìè÷åñêèì ïðîãðàììèðîâàíèåì è â ðàçëè÷íûõ ôîðìàõ âîñïðîèçâîäèò åãî
ñóòü. Äðóãîé òèï îáåñïå÷èâàåò ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò. Âîïðîñ îá îïòè-
ìàëüíîñòè çäåñü íå ïîäíèìàåòñÿ, à ãëàâíàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â äîñòèæåíèè öåëè,
ò.å. â âûèãðàøå, ÷òî âïîëíå ñîãëàñóåòñÿ ñ åñòåñòâåííûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè îá
èãðàõ. Ê òàêèì ìåòîäàì îòíîñÿòñÿ ïðàâèëî ýêñòðåìàëüíîãî ïðèöåëèâàíèÿ
Í.Í. Êðàñîâñêîãî ïðè çàâåðøåíèè èãðû çà âðåìÿ ïåðâîãî ïîãëîùåíèÿ [1], ïåð-
âûé ïðÿìîé ìåòîä Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà [3, 6] è ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [7–9].
Âñå îíè ÿâëÿþòñÿ òåîðåòè÷åñêèì îáîñíîâàíèåì õîðîøî èçâåñòíûõ ïðîåêòèðîâ-
ùèêàì ðàêåòíîé è êîñìè÷åñêîé òåõíèêè ìåòîäîâ ïîãîííîé êðèâîé Ë. Ýéëåðà,
ìåòîäà ïðåñëåäîâàíèÿ ïî ëó÷ó è, â ÷àñòíîñòè, ïàðàëëåëüíîãî ñáëèæåíèÿ.
Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà óãëóáëåííîìó èññëåäîâàíèþ ìåòîäà ðàçðåøàþ-
ùèõ ôóíêöèé â ñèòóàöèè «îäèí íà îäèí». Çàìåòèì, ÷òî åñëè â îñíîâå ïðàâèëà
ýêñòðåìàëüíîãî ïðèöåëèâàíèÿ äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ëåæèò àïïàðàò îïîðíûõ
ôóíêöèé, òî â ìåòîäå ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé êëþ÷åâóþ ðîëü èãðàþò îáðàòíûå
ôóíêöèîíàëû Ìèíêîâñêîãî [7, 10–12], ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ îáðàçóþòñÿ ñïåöè-
àëüíûå ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè,
òåñíî ñâÿçàííûå ñ ïàðàìåòðàìè èñõîäíîãî êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà.
Òåõíèêà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, ÿâëÿþùèõñÿ â ïðèìåðàõ, êàê ïðàâèëî,
áîëüøèìè ïîëîæèòåëüíûìè êîðíÿìè êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé, îêàçàëàñü óäîáíûì
è óíèâåðñàëüíûì ñðåäñòâîì ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷.
Ïðèâëåêàòåëüíîñòü ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ïî-
çâîëÿåò ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü ñîâðåìåííóþ òåõíèêó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðà-
40 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
© À.À. ×èêðèé, È.Ñ. Ðàïïîïîðò, 2012
æåíèé è èõ ñåëåêòîðîâ [13–19] â îáîñíîâàíèÿõ èãðîâûõ êîíñòðóêöèé è ïîëó÷å-
íèè íà èõ îñíîâå ñîäåðæàòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ. Êðîìå òîãî, ìåòîä ïîçâîëÿåò
â åäèíîé ñõåìå èññëåäîâàòü ñëåäóþùèå çàäà÷è:
• ãðóïïîâîãî [7, 8, 20–22] è ïîî÷åðåäíîãî ïðåñëåäîâàíèé [7, 8];
• ïðåñëåäîâàíèÿ–óáåãàíèÿ ïðè âçàèìîäåéñòâèè ãðóïïèðîâîê;
• ñ èíòåãðàëüíûìè è ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè;
• ñ êîëåáàòåëüíîé è âðàùàòåëüíîé äèíàìèêîé;
• ñ òåðìèíàëüíûì ôóíêöèîíàëîì [23–25];
• î ìíîãîêðàòíîé ïîèìêå;
• î ïðåñëåäîâàíèè ñòðîÿ.
Ìåòîäèêà ðàñïðîñòðàíåíà íà äèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû, îïèñûâàåìûå íåñòàöèî-
íàðíûìè, äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûìè è èìïóëüñíûìè ñèñòåìàìè, à òàêæå ñèñ-
òåìàìè èíòåãðàëüíûõ, èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ, îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ, ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, óðàâíåíèé ñ äðîáíûìè ïðîèçâîäíûìè ðàçëè÷íûõ òè-
ïîâ [26–28] è èõ êîìáèíàöèÿìè, êîòîðûå íàçûâàþò ãèáðèäíûìè ñèñòåìàìè.
 ëþáûõ ôîðìàõ ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ãëàâíûì ÿâëÿåòñÿ íàêîïè-
òåëüíûé ïðèíöèï, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ â òåêóùåì ñóììèðîâàíèè ðàçðåøàþ-
ùåé ôóíêöèè, äëÿ îöåíêè êà÷åñòâà èãðû ïåðâîãî èãðîêà âïëîòü äî äîñòèæåíèÿ
íåêîòîðîãî ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ.
Íèæå ðàññìîòðåíû ïðîáëåìû, ñâÿçàíûå ñî ñâîéñòâàìè ñïåöèàëüíûõ ìíîãî-
çíà÷íûõ îòîáðàæåíèé è èõ ñåëåêòîðîâ, èãðàþùèå êëþ÷åâóþ ðîëü ïðè äîêàçà-
òåëüñòâå óòâåðæäåíèé.  ÷àñòíîñòè, ïðè îáîñíîâàíèè ñõåìû ìåòîäà è ïîñòðîå-
íèè óïðàâëåíèé ïåðâîãî èãðîêà îïðåäåëÿþùåé ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìîñòü
[29] çàìêíóòîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé [15, 19, 30–35], ñâÿçàííûõ ñ êîíôëèêòíî-
óïðàâëÿåìûì ïðîöåññîì, à òàêæå ñóïåðïîçèöèîííàÿ èçìåðèìîñòü èõ ñåëåêòîðîâ.
Ïðèâåäåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ çàâåðøåíèÿ èãðû, à òàêæå ñðàâíåíèå ãàðàíòèðî-
âàííûõ âðåìåí ðàçëè÷íûõ ñõåì ìåòîäà. Ñòàòüÿ ïðèìûêàåò ê ðàáîòàì [1–7, 16, 20,
21, 36–41] è ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèÿ [8, 28, 42–44].
ÂÑÏÎÌÎÃÀÒÅËÜÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ È ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÌÍÎÃÎÇÍÀ×ÍÛÕ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÉ
Äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà � åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà �
k îáîçíà÷èì
L ìíîæåñòâî âñåõ åãî èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ïîäìíîæåñòâ [30]. Ïóñòü B ( )�
l —
�-àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà �
l . Îáîçíà÷èì L B� ( )�
l �-àë-
ãåáðó, ïîðîæäåííóþ ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ L B� , ãäå L�L, B l�B ( )� .
Ìíîæåñòâà, ïðèíàäëåæàùèå ýòîé �-àëãåáðå, áóäåì íàçûâàòü L B� -èçìåðèìû-
ìè (áîëåå òî÷íî L B� ( )�
l -èçìåðèìûìè). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ
L B B� � -èçìåðèìûå ìíîæåñòâà.
Âåêòîð-ôóíêöèþ f x( , )� , f l m: �� �� � , áóäåì íàçûâàòü L B� ( )�
l -èçìå-
ðèìîé, åñëè äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà B m�B ( )� åãî îáðàòíûé îáðàç
f B x f x Bl� � � � �1 ( ) ( , ) : ( , ){ }� �� � áóäåò L B� ( )�
l -èçìåðèìûì.
Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F x( , )� , F l m
: �� ��
�2 , áóäåì íàçûâàòü
L B� ( )�
l -èçìåðèìûì, åñëè äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà A m � åãî îá-
ðàòíûé îáðàç F A x F x Al� � � �
��1 ( ) ( , ) : ( , ){ }� �� � áóäåò L B� ( )�
l -èçìå-
ðèìûì. Ðàçóìååòñÿ, åñëè âìåñòî L B� -èçìåðèìûé áóäåì óïîòðåáëÿòü L-èçìåðè-
ìûé èëè B-èçìåðèìûé, òî îïðåäåëåíèÿ îñòàíóòñÿ â ñèëå. Ýòî êàñàåòñÿ è âñåõ ïî-
ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé â àíàëîãè÷íîé ñèòóàöèè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 41
Êàæäîìó ìíîãîçíà÷íîìó îòîáðàæåíèþ F x( , )� , F l m
:�� ��
�2 , ìîæíî
ñîïîñòàâèòü åãî ãðàôèê gr { }F x z z F xl m� � � � �( , , ) : ( , )� �� � � è ýôôåêòèâíîå
ìíîæåñòâî dom { }F x F xl� � � ��( , ) : ( , ) .� �� � Îáîçíà÷èì L B B� �( ) ( )� �
l m
�-àëãåáðó, ïîðîæäåííóþ ìíîæåñòâàìè L B B� �1 2 , ãäå L�L, B l
1 �B ( )� ,
B m
2 �B ( )� .
Ëåììà 1. Ïóñòü äëÿ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F x( , )� , F l m
: �� ��
�2 ,
grF l m� � �L B B( ) ( )� � . Òîãäà äëÿ âñÿêîé L B� ( )�
l -èçìåðèìîé âåê-
òîð-ôóíêöèè f x( , )� , f l m: �� �� � , ìíîæåñòâî
{ }( , ) : ( , ) ( , )� � �x f x F xl� � �� � (1)
áóäåò L B� ( )�
l -èçìåðèìûì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ L B� ( )�
l -èçìåðèìóþ âåê-
òîð-ôóíêöèþ f x f l m( , ), :� �� �� � , è ïîëîæèì � � � �( , ) ( , , ( , ))x x f x� . Ïîêà-
æåì, ÷òî
{ } gr( , ) : ( , ) ( , ) ( ).� � � �x f x F x Fl� � � � �� �
1
(2)
Äåéñòâèòåëüíî, èìååì
{ } {( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) :( , , ( , )� � � � � �x f x F x x x f xl l� � � � � �� �� � )� �gr }F
� � � � � �{ gr } gr( , ) : ( , ) ( ).� � � �x x F Fl� �
1
Äëÿ êàæäîãî L B B l m� � � � �1 2 L B B( ) ( )� � ïîëó÷èì
� � � �� � � � � � � � �1
1 2 1 2( ( , ) : ( , )L B B x x L B Bl) = { }� �
� � � � � � �{ }( , ) :( , , ( , ))� � �x x f x L B Bl� � 1 2
� �
� � � � �
�( ) ( , ) : ( , ) ( ) ( ).L B x f x B L B f Bl
1 2 1
1
2{ }� �� �
Çäåñü L B l� � �1 L B ( )� , f B l� � �1
2( ) ( ),L B � òàê êàê f x f l( , ), :� �� ��
� �
m , — ïî ïðåäïîëîæåíèþ L B� ( )�
l -èçìåðèìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ.
Ïîýòîìó äëÿ âñåõ C l m� � �L B B( ) ( )� � èìååì �� � �1 ( ) ( )C lL B � . Òà-
êèì îáðàçîì, ïîñêîëüêó grF l m� � �L B B( ) ( )� � , ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (2)
ìíîæåñòâî (1) L B� ( )�
l -èçìåðèìî.
Áóäåì íàçûâàòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F x y( , , )� ,
F l n m
:�� � �� �
�2 , ñóïåðïîçèöèîííî L B� ( )�
l -èçìåðèìûì, åñëè äëÿ êàæ-
äîé L B� ( )�
l -èçìåðèìîé âåêòîð-ôóíêöèè f x( , )� , f l n: �� �� � , ìíîãîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå
( , ) ( , , ( , ))� � �x F x f x� ,
�: � ��
�l m
2 , ÿâëÿåòñÿ
L B� ( )�
l -èçìåðèìûì.
Ëåììà 2. Åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F x y( , , )� , F l n n
: ,�� � �� �
�2
L B B� �( ) ( )� �
l n -èçìåðèìî, òî îíî ñóïåðïîçèöèîííî L B� ( )�
l -èçìåðèìî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî A m �
è ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå H x( , )� , H l n
: �� ��
�2 , ãäå
42 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
H x y F x y An( , ) : ( , , )� �� �
��{ }� . Òîãäà èìååì
gr { }H x y y H xl n� � � � � �( , , ) : ( , ))� �� � �
� � � �
�� � �{ }( , , ) : ( , , ) ( )� �x y F x y A F Al n� � �
1 .
Íî ïî óñëîâèþ F A l n� � � �1 ( ) ( ) ( )L B B� � è ïîýòîìó â ñèëó ëåììû 1 äëÿ
âñÿêîé L B� ( )�
l -èçìåðèìîé ôóíêöèè f x( , )� , f l n: �� �� � , ìíîæåñòâî
{ }( , ) : ( , , ( , ))� � �x F x f x Al� �
�� � { }( , ) : ( , ) ( , )� � �x f x H xl� � �� �
ÿâëÿåòñÿ L B� ( )�
l -èçìåðèìûì, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Äàëåå, ãîâîðÿ î íåïðåðûâíîñòè âåêòîð-ôóíêöèé è ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæå-
íèé, èñïîëüçóåì îáùåïðèíÿòûå îïðåäåëåíèÿ [30].
Âåêòîð-ôóíêöèþ f x y f l n m( , , ), :� �� � �� � � , áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèåé
Êàðàòåîäîðè, åñëè äëÿ êàæäîãî y n�� ôóíêöèÿ f y( , , )� � L B� ( )�
l -èçìåðèìà è
ïðè êàæäîì ( , )� x l� �� � ôóíêöèÿ f x( , , )� � íåïðåðûâíà. Àíàëîãè÷íî, ìíîãîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå F x y( , , )� , F l n m
: �� � �� �
�2 , áóäåì íàçûâàòü îòîáðàæåíèåì
Êàðàòåîäîðè, åñëè äëÿ êàæäîãî y n�� îòîáðàæåíèå F y( , , )� � L B� ( )�
l -èçìåðè-
ìî è ïðè êàæäîì ( , )� x l� �� � îòîáðàæåíèå F x( , , )� � íåïðåðûâíî.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F x( , )� , F l m
: �� ��
�2 ,
L B� ( )�
l -èçìåðèìî, òî îíî ñóïåðïîçèöèîííî L-èçìåðèìî. Ïðè ýòîì, åñëè âåê-
òîð-ôóíêöèÿ f x f l m( , ), :� �� �� � , L B� ( )�
l -èçìåðèìà, òî îíà ñóïåðïîçè-
öèîííî L-èçìåðèìà.
Ëåììà 3. Ïóñòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F x y( , , )� , F l n m
: �� � �� �
�2 ,
èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì Êàðàòåîäîðè. Òîãäà îòîáðà-
æåíèå F x y( , , )� áóäåò L B B� �( ) ( )� �
l n -èçìåðèìûì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè êàæäîì ( , )� x l� �� � ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
F x( , , )� � íåïðåðûâíî è ïîýòîìó ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ
ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà C m � ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
( , )� x ,
�: � ��
�l n
2 , ãäå
( , ) : ( , , )� �x y F x y Cn� �
��{ }� , èìååò çàìêíóòûå çíà-
÷åíèÿ. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ âñÿêîãî y n�� ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ � �( , ( , ))y x
�
= inf{ }| | | | : ( , )y z z x� �
� áóäåò L B� ( )�
l -èçìåðèìîé.
Ïîëîæèì �� 0 è ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
� �( , )x �
= { }y F x y Cn�
��� : ( , , )� � ,
�� : � �� �
l n , ãäå C z z Cm
� � �� � �{ }� : ( , ) .
Âñå ìíîæåñòâà
� �( , )x , ( , )� x l� �� � , îòêðûòû, ïîñêîëüêó ìíîãîçíà÷íîå îòî-
áðàæåíèå F x( , , )� � ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó. Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîãî y n�� ìíîæåñòâà
{ } { }( , ) : ( , ) ( , ) : ( , , )� � � �� �x y x x F x y Cl l� � � � � �
���
�� �
ÿâëÿþòñÿ L B� ( )�
l -èçìåðèìûìè. Ïîýòîìó â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 4 [17, ñ. 340]
ñ ó÷åòîì òåîðåìû 2 [17, ñ. 342] ôóíêöèÿ � ��( , ( , ))y x
áóäåò L B� ( )�
l -èçìå-
ðèìîé ïðè âñåõ y n�� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 43
Åñëè òåïåðü óñòðåìèòü � ê 0, òî ôóíêöèÿ � ��( , ( , ))y x
áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê ôóíê-
öèè � �( , ( , ))y x
è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè êàæäîì y n�� ôóíêöèÿ � �( , ( , ))y x
áóäåò
L B� ( )�
l -èçìåðèìîé êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè L B� ( )�
l -èçìåðèìûõ ôóíêöèé.
 ñèëó òåîðåìû î õàðàêòåðèçàöèè [30, ñ. 310] gr
� � �L B B( ) ( )� �
l n è
ïîýòîìó ìíîæåñòâî F C�1 ( ) áóäåò L B B� �( ) ( )� �
l n -èçìåðèìûì, òàê êàê
F C x y F x y Cl n� � � � �
�� �1 ( ) ( , , ) : ( , , ){ }� �� � �
� � � � � �{ } gr( , , ) : ( , )) .� �x y y H xl n�
� �
Îáðàòèâøèñü ñíîâà ê òåîðåìå î õàðàêòåðèçàöèè, ïîëó÷èì, ÷òî îòîáðàæåíèå
F x y( , , )� ÿâëÿåòñÿ L B B� �( ) ( )� �
l n -èçìåðèìûì.
Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F x( , )� , F l m
: �� ��
�2 ,
èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì Êàðàòåîäîðè. Òîãäà îòîáðà-
æåíèå F x( , )� áóäåò L B� ( )�
l -èçìåðèìûì. Ïðè ýòîì, åñëè âåêòîð-ôóíêöèÿ
f x f l m( , ), :� �� �� � , ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Êàðàòåîäîðè, òî îíà áóäåò
L B� ( )�
l -èçìåðèìîé.
Ëåììà 4. Ïóñòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F x y( , , )� , F l n m
: �� � �� �
�2 ,
èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì Êàðàòåîäîðè, à ìíîãîçíà÷íûå
îòîáðàæåíèÿ H x( , )� , H l n
: �� ��
�2 , è G x( , )� , G l m
: �� ��
�2 , èìåþò çàìêíó-
òûå çíà÷åíèÿ è L B� ( )�
l -èçìåðèìû. Òîãäà ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå �( , )� x ,
� �: � ��
�l n
2 , ãäå �( , ) : ( , ),� �x y y H xn� � �{ � F x y G x( , , ) ( , )� �
��},
èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è L B� ( )�
l -èçìåðèìî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå � �( , )x ,
�: �� ��
�l n
2 , ãäå � � � �( , ) : ( , , ) ( , )x y F x y G xn� �
��{ }� . Ïðè êàæäîì
( , )� x l� �� � ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F x( , , )� � ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó è
ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà C m � ìíîæåñòâî {y n�� :
F x y C( , , )�
��} çàìêíóòî ïðè âñåõ ( , )� x l� �� � . Ýòî çíà÷èò, ÷òî � �( , )x çà-
ìêíóòîçíà÷íî è, ñëåäîâàòåëüíî, �( , ) ( , ) ( , )� � � �x H x x�
èìååò çàìêíóòûå çíà÷å-
íèÿ ïðè êàæäîì ( , )� x l� �� � , òàê êàê H x( , )� çàìêíóòîçíà÷íî ïî óñëîâèþ. Òàêèì
îáðàçîì, â ñèëó òåîðåìû î õàðàêòåðèçàöèè äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü,
÷òî äëÿ âñÿêîãî y n�� ôóíêöèÿ � �( , ( , ))y x� ÿâëÿåòñÿ L B� ( )�
l -èçìåðèìîé.
Ïîëîæèì �� 0 è ðàññìîòðèì G x z z G xn
� � � � �( , ) : ( , ( , ))� � �{ }� êàê îòêðû-
òóþ �-îêðåñòíîñòü îáðàçîâ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ G x( , )� , ó÷èòûâàÿ íåïðå-
ðûâíîñòü ñêàëÿðíîé ôóíêöèè � �( , ( , ))z G x ïî z . Ñ åå ïîìîùüþ ââåäåì ìíîãîç-
íà÷íûå îòîáðàæåíèÿ � � � �� �( , ) : ( , , ) ( , )x y F x y G xn� �
��{ }� è �� �( , )x �
�
H x x( , ) ( , ).� ���
Çàìåòèì, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå H x( , )� èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ
è L B� ( )�
l -èçìåðèìî, à âñå ìíîæåñòâà � �� ( , )x îòêðûòû â ñèëó ïîëóíåïðåðûâ-
íîñòè ñíèçó ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F x y( , , )� ïî y . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ
òîãî ÷òîáû ïîêàçàòü L B� ( )�
l -èçìåðèìîñòü ôóíêöèè � ��( , ( , ))y x� äëÿ âñåõ
y n�� íà îñíîâàíèè ïðåäïîëîæåíèÿ 5 [7, ñ. 340] è òåîðåìû 2 [7, ñ. 342] äîñòà-
òî÷íî ïðîâåðèòü L B� ( )�
l -èçìåðèìîñòü ìíîæåñòâà
44 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
{ }( , ) : ( , ) ( , )� � ��x y x xl� � �� � � (3)
äëÿ êàæäîé L B� ( )�
l -èçìåðèìîé âåêòîð-ôóíêöèè y x( , )� , y l n: �� �� � .
Èìååì
{ }( , ) : ( , ) ( , )� � ��x y x xl� � � �� � �
� � �
�� �{ }( , ) : ( , , ( , )) ( , )� � � ��x F x y x G xl� �
�
dom [ ( , , ( , )) ( , )].F x y x G x� � �� (4)
Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F x y( , , )� ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì Êàðàòåîäîðè è
ïîýòîìó îíî ñóïåðïîçèöèîííî L B� ( )�
l -èçìåðèìî â ñèëó ëåìì 2 è 3. Ìíî-
ãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G x� �( , ) îòêðûòîçíà÷íî. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè z x( , )� ,
z l m: �� �� � , — ïðîèçâîëüíàÿ L B� ( )�
l -èçìåðèìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, òî
ìíîæåñòâî
{ }( , ) : ( , ) ( , )� � ��x z x G xl� � �� � (5)
áóäåò L B� ( )�
l -èçìåðèìûì. Äåéñòâèòåëüíî, èìååì gr {G x y� �� � �( , , ) �
� �� �
l m : y G x x y y G xl m� � � � � �� � � � � �( , ) ( , , ) : ( , ( , ) .} { }� � � Íî ñêàëÿðíàÿ
ôóíêöèÿ ( , , ) ( , ( , ))� � �x y y G x� ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Êàðàòåîäîðè è â ñèëó ëåì-
ìû 3 îíà L B B� �( ) ( )� �
l m -èçìåðèìà. Ïîýòîìó grG l m
� � � �L B B( ) ( )� �
è íà îñíîâàíèè ëåììû 1 çàêëþ÷àåì, ÷òî ìíîæåñòâî (5) L B� ( )�
l -èçìåðèìî.
Ïîýòîìó â ñèëó ïðåäëîæåíèé 1 è 5 [17, ñ. 340] ìíîæåñòâî
dom[ ( , , ( , )) ( , )]F x y x G x� � ��
ÿâëÿåòñÿ L B� ( )�
l -èçìåðèìûì. Òîãäà èç ðà-
âåíñòâà (4) ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî (3) L B� ( )�
l -èçìåðèìî è, ñëåäîâàòåëüíî,
ôóíêöèÿ � ��( , ( , ))y x� òàêæå L B� ( )�
l -èçìåðèìà äëÿ âñåõ y n�� . Íî ïðè
�� 0 � � � ��( , ( , )) ( , ( , ))y x y x� �� è ïîýòîìó ïðè êàæäîì y n�� ôóíêöèÿ
� �( , ( , ))y x� áóäåò L B� ( )�
l -èçìåðèìîé êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
L B� ( )�
l -èçìåðèìûõ ôóíêöèé.
Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü âåêòîð-ôóíêöèÿ f x y f l n m( , , ), :� �� � �� � � , ÿâëÿ-
åòñÿ ôóíêöèåé Êàðàòåîäîðè, à ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ H x( , )� ,
H l n
: �� ��
�2 , è G x( , )� , G l m
: �� ��
�2 , èìåþò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è
L B� ( )�
l -èçìåðèìû. Òîãäà ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå �( , )� x ,
� �: � ��
�l n
2 , ãäå �( , ) : ( , ), ( , , ) ( , )� � � �x y y H x f x y G xn� � � �{ }� , èìååò
çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è L B� ( )�
l -èçìåðèìî.
Çàìåòèì, ÷òî ñëåäñòâèå 3 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ëåììû 4 è ÿâëÿåòñÿ
àíàëîãîì òåîðåìû îá îáðàòíîì îáðàçå [30, ñ. 315] è òåîðåìû 3 [17, ñ. 346].
Äàëåå èñïîëüçóþòñÿ íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ è ðåçóëüòàòû [33].
Ëåììà 5. Ïóñòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F x( , )� , F l m
:�� ��
�2 , èìååò
çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è L B� ( )�
l -èçìåðèìî. Òîãäà ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
G F x
x X
( ) ( , )� ��
�� , G
m
: � � 2� , ãäå X — êîìïàêò â �
l , èìååò çàìêíóòûå çíà-
÷åíèÿ è L-èçìåðèìî íà ìíîæåñòâå dom G.
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ëåììû 1.3 [33, ñ. 111] äëÿ ëþáîãî �� 0 ñóùåñòâóåò
êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî D F� dom , � ��( \ )dom F D � , òàêîå, ÷òî F xD�
�( , ) —
ñóæåíèå îòîáðàæåíèÿ F x( , )� íà ìíîæåñòâî D� èìååò çàìêíóòûé ãðàôèê
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 45
â �� �� �
l m . ßñíî, ÷òî åñëè � ñòðåìèòñÿ ê 0, òî íàéäåòñÿ òàêîå �0 0� , ÷òî ïðè
0 0� �� � ñïðàâåäëèâî óñëîâèå D D X� �
* ( )�
� ��� . Îáîçíà÷èì X Dl� � �
�
* ,
� �� � � D * , ãäå � � � �: , :� � � �� � �
�
l l l
l — åñòåñòâåííûå ïðîåêöèè.
Ðàññìîòðèì äëÿ 0 0� �� � ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
G F x G
D
x X
m
� � �� �
�
�
( ) ( , ), :*� �
�
� � 2� .
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè 0 0� �� � G� �( ) �� íà ìíîæåñòâå dom G. Ïîýòîìó ïðè
�� 0 äëÿ êàæäîãî y m�� ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ � ��( , ( ))y G ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè
� �( , ( ))y G íà ìíîæåñòâå dom G. Çàìåòèì, ÷òî gr grG F
x X D�
� �
�
�� * — çàìêíó-
òîå ìíîæåñòâî â ���
m . Çíà÷èò, äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâî C m �
ìíîæåñòâî G C G C� � �� �� � �
��1 ( ) : ( ){ }� çàìêíóòî â � è, ñëåäîâàòåëüíî,
L-èçìåðèìî. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ � �( , ( ))y G áóäåò L-èçìåðèìîé ïðè âñåõ y m��
íà dom G êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè L-èçìåðèìûõ ôóíêöèé. Ïî òåîðåìå
î õàðàêòåðèçàöèè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G F x
x X
( ) ( , )� ��
�� , G
m
: � � 2� ,
L-èçìåðèìî íà ìíîæåñòâå dom G.
ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Ðàññìîòðèì êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, ýâîëþöèÿ êîòîðîãî îïèñàíà ðà-
âåíñòâîì
z t g t t u d t
t
( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( )) , .� � ���
0
0
�
�
(6)
Çäåñü z t n( )�� , ôóíêöèÿ g t( ), g n: � �� � , �� � �{ }t t: 0 , L-èçìåðèìà è îãðà-
íè÷åíà ïðè t � 0. Äàëåå äëÿ êðàòêîñòè âìåñòî L-èçìåðèìîñòè áóäåì ïèñàòü èç-
ìåðèìîñòü. Ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ � ( , )t
, t � �
0 , èçìåðèìà ïî t è ñóììèðóåìà
ïî
äëÿ êàæäîãî t � �� . Áëîê óïðàâëåíèÿ çàäàåòñÿ ôóíêöèåé � �( , )u ,
�:U V n� � � , êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíîé ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåí-
íûõ íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè íåïóñòûõ êîìïàêòîâ U è V , ò.å. U K m� ( )� ,
V K l� ( )� , m, l, n — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ u( )
, u U: �� � ,
è �
( ), �: �� �V , — èçìåðèìûå ôóíêöèè âðåìåíè.
Êðîìå ïðîöåññà (6), çàäàíî òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * , èìåþùåå öèëèí-
äðè÷åñêèé âèä
M M M* ,� �0 (7)
ãäå M 0 — ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî èç R n , à M K L� ( ), ãäå L — îðòîãî-
íàëüíîå äîïîëíåíèå ê M 0 â �
n .
Öåëè ïåðâîãî u è âòîðîãî � èãðîêîâ ïðîòèâîïîëîæíû. Ïåðâûé ñòàðàåòñÿ âû-
âåñòè òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (6) íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ,
à âòîðîé — ìàêñèìàëüíî îòòÿíóòü ìîìåíò ïîïàäàíèÿ òðàåêòîðèè íà ìíîæåñòâî
M * èëè âîîáùå èçáåæàòü âñòðå÷è.
Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â âèäå (6) ïîçâîëÿåò â åäè-
íîé ñõåìå ðàññìîòðåòü øèðîêèé êðóã ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñèñ-
òåì, ôóíêöèîíèðóþùèõ â óñëîâèÿõ êîíôëèêòà, â ÷àñòíîñòè, ñèñòåì óðàâíåíèé
ñ êëàññè÷åñêèìè äðîáíûìè ïðîèçâîäíûìè Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ, ðåãóëÿðèçîâàííû-
46 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
ìè äðîáíûìè ïðîèçâîäíûìè Êàïóòî, ñåêâåíöèàëüíûìè äðîáíûìè ïðîèçâîäíû-
ìè Ìèëëåðà–Ðîññà [26]. Àíàëîãè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå â äèñêðåòíîé ñèòóàöèè äàåò
âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü ìíîãîøàãîâûå ïðîöåññû è èìïóëüñíûå ñèñòåìû [26].
Êîíêðåòíûé âèä ôóíêöèé g t( ) è ìàòðè÷íîé ôóíêöèè � ( , )t
îïðåäåëÿåò òèï
êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà [27].
Ïðèìåì ñòîðîíó ïåðâîãî èãðîêà è áóäåì îðèåíòèðîâàòüñÿ íà âûáîð ïðîòèâ-
íèêîì â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ ïðèíè-
ìàåò çíà÷åíèÿ èçV . Åñëè èãðà (6), (7) ïðîèñõîäèò íà èíòåðâàëå [ , ]0 T , òî óïðàâëå-
íèå ïåðâîãî èãðîêà â ìîìåíò t âûáèðàåì íà îñíîâàíèè èíôîðìàöèè î g T( ) è
� t ( )� , ò.å. â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè
u t u g T t T u t Ut( ) ( ( ), ( )), [ , ], ( ) ,� � � �� 0 (8)
ãäå � �t s s t( ) ( ): [ , ]� � �{ }0 — ïðåäûñòîðèÿ óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà äî ìî-
ìåíòà t, èëè â âèäå êîíòðóïðàâëåíèÿ
u t u g T t t T u t U( ) ( ( ), ( )), [ , ], ( ) .� � �� 0 (9)
Åñëè, â ÷àñòíîñòè, g t e zAt( ) � 0 , � ( , ) ( )t eA t
� � , z z( )0 0� , à eAt — ìàòðè÷-
íàÿ ýêñïîíåíòà, òî ôîðìóëà (6) ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíîé ôîðìóëîé Êîøè äëÿ êâàçèëè-
íåéíîãî êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà. Óïðàâëåíèå u t u z t( ) ( , ( ))� �0 � ðåà-
ëèçóåò êâàçèñòðàòåãèþ [41], à êîíòðóïðàâëåíèå [2] u t u z t( ) ( , ( ))� 0 � ïðåäïèñàíî
ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé Õàéåêà [39].
Öåëü ðàáîòû — óñòàíîâèòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7)
äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ èãðû ñáëèæåíèÿ çà ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ (àíà-
ëîãà ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [7–9] â êëàññå ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé)
è ñðàâíèòü èõ ñ ïåðâûì ïðÿìûì ìåòîäîì Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà [3, 6].
Îáîçíà÷èì îðòîïðîåêòîð, äåéñòâóþùèé èç �
n â L . Ïîëîæèâ
� � � �( , ) { ( , ): }U u u U� � , ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W t t U W t W t
V
( , , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , , )
�
� �
�
�
� �
�
� �
íà ìíîæåñòâàõ � �V è � ñîîòâåòñòâåííî, ãäå êîíóñ � � �� � � � �t t
0 � � � � .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t( , , )
� èìååò çàìêíóòûå çíà-
÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå � �V .
Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t( , )
ïðèíèìàåò íåïóñ-
òûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå � .
Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèé î ìàòðè÷íîé ôóíêöèè� ( , )t
è ñëåäñòâèÿ 2 ìîæíî
ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t � 0 âåêòîð-ôóíêöèÿ
� �� ( , ) ( , )t u áóäåò L B� ( )�
l -èçìåðèìîé ïî � � � � � �
� � �0 t V è íåïðåðûâíîé ïî
u U� . Ïîýòîìó íà îñíîâàíèè òåîðåìû î ïðÿìîì îáðàçå [30, ñ. 314] ïðè ëþáîì
ôèêñèðîâàííîì t � 0 ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t( , , )
� èìååò çàìêíóòûå çíà-
÷åíèÿ è ÿâëÿåòñÿ L B� ( )�
l -èçìåðèìûì ïî � � � � � �
� � �0 t V . Òîãäà â ñèëó ëåììû 5
ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t( , )
áóäåò èçìåðèìûì ïî
�� � �0 t çàìêíóòîçíà÷-
íûì îòîáðàæåíèåì.
Îáîçíà÷èì P n( )� ñîâîêóïíîñòü íåïóñòûõ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàí-
ñòâà �
n . Òîãäà, î÷åâèäíî, W t( , , )
� : � � �V P R n( ), W t( , )
: �� P R n( ) .  ýòîì
ñëó÷àå ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî èçìåðèìûå ïî
ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ W t( , , )
�
è W t( , )
ÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè [17].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 47
Èç óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà è òåîðåìû îá èçìåðèìîì ñåëåêòîðå [17, 30] âûòåêà-
åò, ÷òî ïðè ëþáîì t � 0 ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðèìûé ïî
ñåëåêòîð �
( , )t
òàêîé, ÷òî �
( , ) ( , )t W t� , ( , )t
�� . Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òàêèõ ñåëåêòîðîâ
t è
ââåäåì ôóíêöèþ
� �
( , ( ), ( , )) ( ) ( , ) ,t g t t g t t d
t
� � � �
0
(10)
ãäå � ( , )� � � �
�
tt 0� . Â ñèëó ïðåäïîëîæåíèé ñåëåêòîð �
( , )t ÿâëÿåòñÿ ñóì-
ìèðóåìîé ïî
,
�[ , ]0 t , ôóíêöèåé ïðè ëþáîì t � 0.
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A ( , , ) : [ ( , , ) ( , )] [ ( , ( ), ( ,t W t t M t g t t
� �
� �
�
�� � � � �{ 0 � ))] ,��}
A: ,� � � �V 2
� (11)
è åãî îïîðíóþ ôóíêöèþ â íàïðàâëåíèè �1 �
� � �
�( , , ) : ( , , )t t� �sup{ }A ,
( , )t
��, ��V . Äàííóþ ôóíêöèþ íàçûâàþò ðàçðåøàþùåé [7].
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü ðîëü ôóíêöèîíàëîâ Ìèíêîâñêîãî è îáðàòíûõ ê
íåìó îòîáðàæåíèé â ñõåìå ìåòîäà, âûðàçèì ôóíêöèþ �
�( , , )t ïî-äðóãîìó. Äëÿ
ýòîãî ââåäåì ôóíêöèþ
� � �X
n np p X p X P X( ) : , , ( ), .� � � � � �sup{ }0 0� �
Òîãäà
�
� �
�
� �
( , , ) ( ( , ( ), ( , ))( , , ) ( , )t m t g t t
m M
W t t� � �
�
�sup ).
Ïîñêîëüêó âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A ( , , )t
� íà ìíîæåñòâå � �V èìååò íåïóñòîé çàìêíóòûé îáðàç. Ñëåäóåò òàêæå çà-
ìåòèòü, ÷òî ïðè
�( , ( ), ( , ))t g t t M� � èìååì A ( , , ) [ , )t
� � ��0 è ñîîòâåòñòâåííî
�
�( , , )t � � � ïðè ëþáûõ
�[ , ]0 t è ��V .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G W t t( , ) ( , , ) ( , )
�
� �
� � èìååò
çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , ) [ , ]
� � �0 t V , à ìíî-
ãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F M t g t t( , , ) [ ( , ( ), ( , ))]
� � �
�� � � èìååò çàìêíóòûå çíà-
÷åíèÿ è ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì Êàðàòåîäîðè, íà îñíîâàíèè ëåììû 4 ìîæíî çà-
êëþ÷èòü, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t
� èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è
L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , ) [ , ]
� � �0 t V ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì
t � 0 . Ïðè ýòîì, åñëè
�( , ( ), ( , ))t g t t M� , òî ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ �
�( , , )t áó-
äåò L B� -èçìåðèìîé ïî ñîâîêóïíîñòè ( , ) [ , ]
� � �0 t V ïðè êàæäîì
ôèêñèðîâàííîì t � 0 â ñèëó òåîðåìû îá îïîðíîé ôóíêöèè [30, ñ. 317].
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
T g t t d
t
( ( ), ( , )) : ( , , ( ))
( )
� � � � � �
!
"
#
$#
%
� �� �
�
�
0 1
0
inf &
#
'#
. (12)
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ �
�( , , )t ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìîé ïî
, �, îíà ñó-
ïåðïîçèöèîííî èçìåðèìà, ò.å. �
�
( , , ( ))t — èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ ïðè ëþáîé èç-
ìåðèìîé ôóíêöèè �
( ), �
( )�V .
Åñëè
�( , ( ), ( , ))t g t t M� � , òî �
�( , , )t � �� äëÿ
�[ , ]0 t , ��V è â ýòîì ñëó-
÷àå çíà÷åíèå èíòåãðàëà â ñîîòíîøåíèè (12) åñòåñòâåííî ïîëîæèòü ðàâíûì � �,
à ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî áóäåò âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè.  ñëó÷àå, êîãäà
íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ â (12) íå âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ t � 0, ïîëàãàåì,
÷òî T g( ( ), ( , ))� � � ��� .
48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, ìíîæåñòâî M — âûïóêëîå è äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )�
è íåêîòîðîãî ñåëåêòîðà � ( , )� � �
, T T g� � � � ��( ( ), ( , ))� . Òîãäà òðàåêòîðèþ
ïðîöåññà (6) ìîæíî ïðèâåñòè íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (7) â ìîìåíò T ñ ïî-
ìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà (8).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �
( ), �: [ , ]0 T V� , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé
�( , ( ), ( , ))T g T T M� . Ââåäåì êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ
h t T d
t
( ) ( , , ( ))� � �1
0
�
�
, t T�[ , ]0 . Ôóíêöèÿ �
�( , , )T , êàê áûëî îòìå÷åíî ðàíåå,
L B� -èçìåðèìà ïî ( , )
� ,
�[ , ]0 T , ��V , à çíà÷èò, îíà ñóïåðïîçèöèîííî èçìå-
ðèìà (ñëåäñòâèå 1) è �
�
( , , ( ))T — èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ
. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî
h t( ) ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé, à çíà÷èò, íåïðåðûâíîé, îíà íå âîçðàñòàåò
(�
�( , , )T � 0 ïî îïðåäåëåíèþ) è h( )0 1� . Ïîñêîëüêó h T( ) � 0, ñóùåñòâóåò òàêîé
ìîìåíò âðåìåíè t
*
, t t
*
( ( ))� �� , t T
*
( , ]� 0 , ÷òî h t( )
*
� 0.
Èíòåðâàëû âðåìåíè [ , )
*
0 t è [ , ]
*
t T â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü àêòèâíûì
è ïàññèâíûì ñîîòâåòñòâåííî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì íà
êàæäîì èç íèõ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U u U T u T( , ) : ( , ) ( , ) ( , )
�
� � �
� � � �{ �
� � � � ��
�
�
�( , , )[ ( , ( ), ( , ))] , [ , ], .T M T g T T T V} 0 (13)
 ñèëó ñëåäñòâèÿ 3 îíî L B� -èçìåðèìî, à çíà÷èò, ñîãëàñíî òåîðåìå îá èç-
ìåðèìîì ñåëåêòîðå [30, ñ. 308] â ìíîãîçíà÷íîì îòîáðàæåíèè U ( , )
� ñóùåñòâóåò
õîòÿ áû îäèí L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u( , )
� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöè-
îííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé. Îáîçíà÷èì u u( ) ( , ( ))
�
� . Óïðàâëåíèå ïåðâîãî èã-
ðîêà íà àêòèâíîì èíòåðâàëå ïîëîæèì ðàâíûì u( )
.
Ðàññìîòðèì ïàññèâíûé èíòåðâàë [ , ]
*
t T . Ïîëîæèì â âûðàæåíèè (13) ïðè
�[ , ]*t T , ��V , ðàçðåøàþùóþ ôóíêöèþ �
�( , , )T ( 0. Ïîëó÷èì ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå
U u U T u T0 0( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) .
�
� � �
� � � �{ }� (14)
Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, èç ñëåäñòâèÿ 3 è òåîðåìû îá èçìåðèìîì ñåëåê-
òîðå âûòåêàåò, ÷òî â L B� -èçìåðèìîì çàìêíóòîçíà÷íîì îòîáðàæåíèè U 0 ( , )
�
ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð. Îáîçíà÷èì åãî u0 ( , )
� è óïðàâëåíèå
ïðåñëåäîâàòåëÿ íà ïàññèâíîì èíòåðâàëå âûáåðåì ðàâíûì u u0 0( ) ( , ( ))
�
� .
 ñëó÷àå
�( , ( ), ( , ))T g T T M� � óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà âûáåðåì íà âñåì
èíòåðâàëå [ , ]0 T â âèäå u u0 0( ) ( , ( ))
�
� , ãäå u0 ( , )
� — èçìåðèìûé ñåëåêòîð
ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ U 0 ( , )
� . Ïîêàæåì, ÷òî ïðè âûáîðå óïðàâëåíèé
ïåðâûì èãðîêîì íà àêòèâíîì è ïàññèâíîì èíòåðâàëàõ ïî óêàçàííûì ïðàâèëàì
òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (6) áóäåò ïðèâåäåíà íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî â ìîìåíò T
ïðè ëþáûõ äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèÿõ âòîðîãî èãðîêà.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé
�( , ( ), ( , ))T g T T M� )� . Èç ôîðìóëû (6) èìååì
�
�
z T g T T u d
T
( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( )) .� � �
0
� (15)
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (13), (14), èç (15) ïîëó÷àåì âêëþ÷åíèå
� �
�
�z T T g T T T d
t t
( ) ( , ( ), ( , ))[ ( , , ( )) ] (
* *
� � � �� �1
0 0
T Md, , ( )) .
�
(16)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 49
Ïîñêîëüêó M — âûïóêëûé êîìïàêò, à �
�
( , , ( ))T — íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíê-
öèÿ äëÿ
�[ , )
*
0 t è �
�
0
1
t
T d
*
( , , ( ))� � , òî �
�
0
t
T M d M
*
( , , ( ))� � . Ó÷èòûâàÿ
îïèñàííîå âûøå, èç (16) ïîëó÷àåì z T M( )� èëè z T M( ) .*�
Ïóñòü
�( , ( ), ( , ))T g T T M� � . Òîãäà èç ðàâåíñòâà (15) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ
(14) ïîëó÷èì
�z T T g T T M( ) ( , ( ), ( , ))� � � .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 1. Ïðè
�( , ( ), ( , ))T g T T M� � óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà ìîæíî
âûáðàòü â âèäå L B� -èçìåðèìîãî ñåëåêòîðà îòîáðàæåíèÿ U ( , )
� , ãäå â (13)
âìåñòî �
�( , , )T ñòîèò ïðîèçâîëüíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ �
( , )T
òàêàÿ, ÷òî
0
1
T
T d� ��
( , ) , ò.å. 1 2 3 12 2 3/ , / , / , /T T T e eT
� è ò.ä., ïîñêîëüêó
A ( , , ) [ , ]T
� � �0 äëÿ
�[ , ]0 T , ��V .
Çàìå÷àíèå 2. Îòìåòèì, ÷òî òî÷êè ìíîæåñòâà M , êîòîðûå ïðèíèìàþò ó÷àñ-
òèå â ðåàëèçàöèè ïðîöåññà ñáëèæåíèÿ ïðè ôîðìèðîâàíèè óïðàâëåíèÿ êàê ñåëåê-
òîðà îòîáðàæåíèÿ (13), ÿâëÿþòñÿ ñåëåêòîðàìè ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ
M ( , , ) : ( , , )[ ( , ( ), ( , ))]T m M T m T g T T
� �
�
�� � � � �{
� � � �W T T T V( , , ) ( , ) , [ , ], .
� �
�} 0
Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 3 ýòî îòîáðàæåíèå L B� -èçìåðèìî, ÷òî ïîçâîëÿåò âû-
áèðàòü ïîäõîäÿùèé ñåëåêòîð.
ÓÑËÎÂÈß ÇÀÂÅÐØÅÍÈß ÈÃÐÛ Â ÊËÀÑÑÅ ÑÒÐÎÁÎÑÊÎÏÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÒÐÀÒÅÃÈÉ
Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 âèäíî, ÷òî ïðåñëåäîâàòåëü â ìîìåíò t èñïîëüçóåò
èíôîðìàöèþ î � t ( )� , ïðè÷åì îíà íåîáõîäèìà ëèøü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà
ïåðåêëþ÷åíèÿ t
*
, êîòîðûé ðàçäåëÿåò àêòèâíûé è ïàññèâíûé èíòåðâàëû. Íà ñà-
ìèõ èíòåðâàëàõ ïðåñëåäîâàòåëü ïðèìåíÿåò êîíòðóïðàâëåíèå, êîòîðîå îïðåäå-
ëÿåòñÿ ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé.  ýòèõ óñëîâèÿõ ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ
âîïðîñ, êîãäà â òåîðåìå 1 äëÿ ðåàëèçàöèè ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè ìîæíî
îãðàíè÷èòüñÿ êîíòðóïðàâëåíèÿìè. ×òîáû äàòü îòâåò, íåîáõîäèìî ñôîðìóëèðî-
âàòü îïðåäåëåííûå óñëîâèÿ.
Óñëîâèå 1. Ïðè
�( , ( ), ( , ))T g T T M� îòîáðàæåíèå A ( , , )T
� , T � �
0 ,
��V , âûïóêëîçíà÷íî, ò.å. A ( , , ) [ , ( , , )]T T
� �
�� 0 .
Óñëîâèå 2. Ïðè
�( , ( ), ( , ))T g T T M� ôóíêöèÿ inf
�
�
�
�V
T( , , ) èçìåðèìà ïî
, [ , ]� 0 T , è èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
inf inf
� �
�
��
�
�
�
�
( )
( , , ) ( , , )
� �� ��
0 0
T T
V
T d T d
Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïåðåñòàíîâî÷íîñòè èíôèìóìà è èíòåãðàëà ñîäåðæàòñÿ,
íàïðèìåð, â [17] è âûïîëíåíû äëÿ äîñòàòî÷íî øèðîêèõ êëàññîâ ôóíêöèé.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ èãðîâîé çàäà÷è (6), (7) âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãè-
íà è ìíîæåñòâî M âûïóêëî, ïðè÷åì äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� è ñåëåêòîðà
� ( , )� � �
äëÿ íåêîòîðîãî T T g� � � � ��( ( ), ( , ))� âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1, 2. Òîãäà
òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (6) ìîæíî ïðèâåñòè íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (7) â ìî-
ìåíò T ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåííîãî êîíòðóïðàâëåíèÿ (9).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �
( ), �:[ , ]0 T V� , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé
�( , ( ), ( , ))T g T T M� . Äëÿ ýòîãî ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ 2
50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
îáîçíà÷èì � �
�
�
( ) ( , , )T T d
T
V
� � �
0
inf è ïîëîæèì �
�� � �
�
�
* ( , ) [ / ] ( , , )T T T
V
�
�
1 inf .
Ïîñêîëüêó �( )T � 1 ñîãëàñíî ôîðìóëå (12) è âûïîëíåíî óñëîâèå 1, ôóíêöèÿ
�
* ( , )T , �
�
�* ( , ) ( , , )T T� ,
�[ , ]0 T , ��V , ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì
äëÿ êàæäîãî èç ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé A ( , , )T
� , ��V , ò .å .
�
�* ( , ) ( , , )T T�A ,
�[ , ]0 T , ��V .
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U u U T u T T M T g* *( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , )[ ( , (
�
� � �
�
� � � � �{ � T T), ( , ))] .� � } (17)
Èç âûðàæåíèÿ (17) âûòåêàåò, ÷òîU * ( , )
� êîìïàêòíîçíà÷íî è L B� -èçìåðè-
ìî, ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå îá èçìåðèìîì ñåëåêòîðå â íåì ñóùåñòâóåò
L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u* ( , )
� , êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïî-
çèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïðåñëåäîâàòåëÿ ðàâíûì
u u* *( ) ( , ( ))
�
� ,
�[ , ]0 T .
 ñëó÷àå
�( , ( ), ( , ))T g T T M� � âûáåðåì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà èí-
òåðâàëå [ , ]0 T â âèäå u u0 0( ) ( , ( ))
�
� , ãäå u0 ( , )
� — íåêîòîðûé èçìåðèìûé ñå-
ëåêòîð îòîáðàæåíèÿ U 0 ( , )
� , êîòîðîå çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (14) è ôèãóðèðóåò
â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.
Ïîêàæåì, ÷òî â êàæäîì èç ñëó÷àåâ òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (6) áóäåò ïðèâåäåíà
íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî â ìîìåíò T .
Åñëè
�( , ( ), ( , ))T g T T M� , òî èç ñîîòíîøåíèÿ (15), ó÷èòûâàÿ âêëþ÷åíèå
â (17), ïîëó÷èì
� �
�z T T g T T T d
T T
( ) ( , ( ), ( , )) ( , )* *� � �
*
+
,
,
-
.
/
/
�� �1
0 0
( , ) .T Md
(18)
Òàê êàê M — âûïóêëûé êîìïàêò, à �
* ( , )T — íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ
�[ , ]0 T è �
* ( , )
0
1
T
T d� � , òî �
* ( , )
0
T
T Md M� � . Ó÷èòûâàÿ ýòî, èç âêëþ÷å-
íèÿ (18) ïîëó÷èì z T M( )� .
 ñëó÷àå
�( , ( ), ( , ))T g T T M� � ñ ó÷åòîì çàêîíà âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïåðâûì
èãðîêîì è ôîðìóëû (15) íåïîñðåäñòâåííî èìååì z T M( )� .
Çàìå÷àíèå 3. Óñëîâèå 1 âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè, íàïðèìåð, åñëè îòîáðà-
æåíèå W T( , , )
� âûïóêëîçíà÷íî äëÿ
�[ , ]0 T , ��V , à ìíîæåñòâî M — âûïóêëûé
êîìïàêò [45].
Îñëàáèì åùå óñëîâèå 1 ñ ñîõðàíåíèåì óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 2.
Óñëîâèå 3. Â ñèòóàöèè
�( , ( ), ( , ))T g T T M� ñóùåñòâóåò òàêîé èçìåðèìûé
ñåëåêòîð �
( , )T , �
�( , ) ( , , )T T�A , T � �
0, ��V , êîòîðûé íå çàâèñèò îò � è
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ �
0
1
T
T d� �( , ) .
ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÌÅÒÎÄÀ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A A( , ) ( , , ), ,t t t
V
�
�
� � �
�
� 0
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 51
êîòîðîå èìååò íåïóñòîé îáðàç, ïîñêîëüêó ïî êðàéíåé ìåðå 0�A ( , , )t
� äëÿ
t � �
0, ��V , è åãî îïîðíóþ ôóíêöèþ â íàïðàâëåíèè +1
�
� �
( , ) : ( , ) .t t� � �sup{ }0 A
Åñëè
�( , ( ), ( , ))t g t t M� , òî îòîáðàæåíèå A ( , )t
çàìêíóòîçíà÷íî è â ñèëó
ëåììû 5 èçìåðèìî ïî
,
�[ , ]0 t , à çíà÷èò, ñîãëàñíî òåîðåìå îá îïîðíîé
ôóíêöèè èçìåðèìîé ïî
ÿâëÿåòñÿ è ôóíêöèÿ �
( , )t .
Ââåäåì ìíîæåñòâî
0( ( ), ( , )) : ( , ) .g t t d
t
� � � � � �
!
"
#
$#
%
&
#
'#
�� �
0 1
0
(19)
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t � 0
�( , ( ), ( , ))t g t t M� � , òî, î÷åâèäíî, A ( , ) [ , )t
� ��0 ,
à �
( , )t ( �� äëÿ
�[ , ]0 t , è â ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî ïîëîæèòü çíà÷åíèå èí-
òåãðàëà â (19) ðàâíûì ��, à ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî áóäåò âûïîëíåíî
àâòîìàòè÷åñêè. Åñëè íåðàâåíñòâî â (19) íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ t � 0, òî ïî-
ëîæèì 0( ( ), ( , ))g � � � ��� .
Òåîðåìà 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà è M M� co , ïðè÷åì äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� è íåêî-
òîðîãî ñåëåêòîðà � ( , )� � �
0 0� � � � ��( ( ), ( , ))g � . Òîãäà òðàåêòîðèþ ïðîöåñ-
ñà (6) ìîæíî ïðèâåñòè íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (7) â ìîìåíò 0 ñ ïîìîùüþ
óïðàâëåíèÿ âèäà (9).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �
( ), �: [ , ]0 0 �V , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ
ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé
�( , ( ), ( , ))0 0 0g M� . Ââåäåì êîíòðîëüíóþ ôóíê-
öèþ h t d
t
( ) ( , )� � �1
0
�
0 , t �[ , ]0 0 . Ôóíêöèÿ h t( ) ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâ-
íîé íà [ , ]0 0 . Îíà íå âîçðàñòàåò, ïðè÷åì h( )0 1� , à h( )0 � 0. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò
òàêîé ìîìåíò âðåìåíè t
*
, t
*
( , ]� 0 0 , ÷òî h t( )
*
� 0. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ
ïåðâûì èãðîêîì íà èíòåðâàëå [ , )
*
0 t . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòî-
áðàæåíèå
~
( , ) : ( , ) ( , ) ( , )U u U u
�
� � �
� � � �{ � 0 0
� � � � ��
�
�( , )[ ( , ( ), ( , ))] , [ , ], .0 0 0 0 0M g V} 0 (20)
Îòîáðàæåíèå
~
( , )U
� êîìïàêòíîçíà÷íî è â ñèëó ñëåäñòâèÿ 3 ÿâëÿåòñÿ
L B� -èçìåðèìûì. Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå îá èçìåðèìîì ñåëåêòîðå ó íåãî
ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð ~( , )u
� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèîí-
íî èçìåðèìîé ôóíêöèåé. Ïîëîæèì ~( ) ~( , ( ))u u
�
� è âûáåðåì åãî â êà÷åñòâå
óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà íà èíòåðâàëå [ , )
*
0 t .
Ïîëîæèâ â (20) �
( , )0 � 0, âûáåðåì óïðàâëåíèå ïðåñëåäîâàòåëÿ íà èíòåðâà-
ëå [ , ]
*
t 0 â âèäå èçìåðèìîãî ñåëåêòîðà ~( )u
êîìïàêòíîçíà÷íîãî èçìåðèìîãî ìíî-
ãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ:
~
( ) : ( , ) ( , ( )) ( , ) .U u U u0 0
� �
�
� � � �{ }� 0 0 (21)
 ñëó÷àå
�( , ( ), ( , ))0 0 0g M� � â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà ~( )u
íà
âñåì èíòåðâàëå [ , ]0 0 âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð îòîáðàæå-
íèÿ
~
( )U 0
.
Ó÷èòûâàÿ çàêîíû âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì, ïðîñëåäèì çà ñîîò-
âåòñòâóþùåé òðàåêòîðèåé z t( ) , t �[ , ]0 0 , ïðîöåññà (6).
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
Ïðè
�( , ( ), ( , ))0 0 0g M� èç ôîðìóëû (15) è ñîîòíîøåíèé (20), (21) èìååì
� �
�
z g d M
t t
( ) ( , ( ), ( , ))[ ( , ) ] ( , )
* *
0 0 0 0 0 0� � � �� �1
0 0
d
. (22)
Ïîñêîëüêó �
( , )0 � 0 äëÿ
�[ , )
*
0 t è �
0
1
t
d
*
( , )� �0 , à M K n�co ( )� , òî
�
0
t
Md M
*
( , )� �0 . Äàëåå, èç ôîðìóëû (22) ïîëó÷èì âêëþ÷åíèå z M( )0 � .
Ïóñòü
�( , ( ), ( , ))0 0 0g M� � . Òîãäà èç ôîðìóëû (15) ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà
â (21) èìååì
�z g M( ) ( , ( ), ( , ))0 0 0 0� � � .
Ñëåäñòâèå 4. Åñëè äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, M M� co , äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� è íåêîòîðîãî ñå-
ëåêòîðà � ( , )� � �
ìíîæåñòâà T g( ( ), ( , ))� � � ��� , 0( ( ), ( , ))g � � � ��� è âûïîë-
íåíû óñëîâèÿ 1, 2, òî T g g( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))� � � � � � �� �0 .
 îáùåì ñëó÷àå âñåãäà èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå T g( ( ), ( , ))� � � 1�
1 � � �0( ( ), ( , ))g � .
 äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâàõ
T g( ( ), ( , ))� � �� , 0( ( ), ( , ))g � � �� ñóùåñòâóþò ìèíèìàëüíûå ýëåìåíòû
T g0 ( ( ), ( , ))� � �� è 00 ( ( ), ( , )).g � � ��
ÑÂßÇÜ Ñ ÏÅÐÂÛÌ ÏÐßÌÛÌ ÌÅÒÎÄÎÌ ÏÎÍÒÐßÃÈÍÀ
Èç ïóáëèêàöèé, ïîñâÿùåííûõ òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð [3, 6, 7], õîðîøî
èçâåñòåí ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ïîíòðÿãèíà, êîòîðûé äàåò äîñòàòî÷íûå óñëî-
âèÿ îêîí÷àíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîé èãðû ñáëèæåíèÿ çà îïðåäåëåííîå ãàðàíòè-
ðîâàííîå âðåìÿ â êëàññå ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé. Èìååòñÿ ââèäó äîêàçà-
òåëüñòâî Ï.Á. Ãóñÿòíèêîâà è Ì.Ñ. Íèêîëüñêîãî, èñïîëüçóþùåå äëÿ ïîñòðîåíèÿ
óïðàâëåíèÿ òåîðåìó èçìåðèìîãî âûáîðà Ôèëèïïîâà–Êàñòåíà. Ïîëó÷åííûå
âûøå ðåçóëüòàòû öåëåñîîáðàçíî ñðàâíèòü ñ ïåðâûì ïðÿìûì ìåòîäîì
Ïîíòðÿãèíà.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ïîíòðÿãèíà äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7)
P g t g t M W t d
t
( ( )) inf : ( ) ( , ) .� � � � �
!
"
#
$#
%
&
#
'#
�0
0
(23)
Çäåñü, êàê è ðàíüøå, èíòåãðàë îò ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ — èíòåãðàë
Àóìàíà [46]. Åñëè âêëþ÷åíèå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ íå âûïîëíÿåòñÿ íè äëÿ êà-
êèõ t � 0 , òî ïîëîæèì P g( ( ))� � � �.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíåíî
óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü â (23) äîñòèãàåòñÿ è P P g� � � ��( ( )) .
Òîãäà òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (6) ìîæíî ïðèâåñòè íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (7)
â ìîìåíò P ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà (9).
Äîêàçàòåëüñâî. Èç âêëþ÷åíèÿ â (23) è ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû âûòåêàåò
g P M W P d
P
( ) ( , )� � �
0
. Ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ
òî÷êà m M� è ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà Àóìàíà òàêîé èçìåðèìûé ñåëåêòîð
� ( , )P P� �
, ÷òî
�
g P m P d
P
( ) ( , ) .� � �
0
(24)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 53
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U u U P u P0 0( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ,
�
� � �
� � � �{ }�
� �
� � �[ , ], , ( , ) ( , ).0 P V P W P (25)
Ïóñòü �
( ) , �:[ , ]0 P V� , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà èç ñî-
îòíîøåíèÿ (25) âûòåêàåò, ÷òî îòîáðàæåíèå U U0 0( ) ( , ( ))
�
� — êîìïàêòíî-
çíà÷íîå èçìåðèìîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå íà èíòðåâàëå [ , ]0 P . Ñîãëàñíî òå-
îðåìå èçìåðèìîãî âûáîðà â íåì ñóùåñòâóåò èçìåðèìûé ñåëåêòîð u0 ( )
, êîòîðûé
è âûáåðåì â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà íà èíòåðâàëå [ , ]0 P .
Èç ôîðìóëû (6) è ðàâåíñòâ (24), (25) ïîëó÷èì z P m M( ) � � .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Èç òåîðåìû 4, êîòîðàÿ îáîáùàåò ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ïîíòðÿãèíà íà êîí-
ôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû âèäà (6), âûòåêàþò ñëåäñòâèÿ.
Ñëåäñòâèå 5. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîë-
íåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà äëÿ òîãî ÷òîáû
g t M W t d
t
( ) ( , )� � �
0
, t � 0, íå-
îáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë òàêîé ñåëåêòîð � ( , )t t� �
, ÷òî
�( , ( ), ( , )) .t g t t M� � (26)
Çàìåòèì, ÷òî â ñõåìå ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé âûïîëíåíèå âêëþ÷åíèÿ
(26) ïðèâîäèò ê âûðîæäåíèþ óïîìÿíóòûõ âûøå ôóíêöèé, ò.å. èõ çíà÷åíèÿ ñòàíî-
âÿòñÿ ðàâíûìè ��. Ýòà ñèòóàöèÿ ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó ïðÿìîìó ìå-
òîäó Ïîíòðÿãèíà, è èãðà â ýòîì ñëó÷àå ìîæåò áûòü îêîí÷åíà çà âðåìÿ Ïîíòðÿãè-
íà â êëàññå ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé áåç êàêèõ-ëèáî ïðåäïîëîæåíèé îòíîñè-
òåëüíî ïàðàìåòðîâ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7), êðîìå,
åñòåñòâåííî, óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà.
Ñëåäñòâèå 6. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîë-
íåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð � ( , )� � , ÷òî
T g P g0 ( ( ), ( , )) ( ( ))� � � � �� äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ îãðàíè÷åííûõ äëÿ t � 0 ôóíê-
öèé g t( ) .
Ñëåäñòâèå 7. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîë-
íåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð � ( , )� � �
, ÷òî
00 ( ( ), ( , )) ( ( ))g P g� � � � �� äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ îãðàíè÷åííûõ äëÿ t � 0 ôóíê-
öèé g t( ) .
ÑÐÀÂÍÅÍÈÅ ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÂÐÅÌÅÍ
Âûðàçèì âðåìÿ îêîí÷àíèÿ èãðû (6), (7) ïî ïåðâîìó ïðÿìîìó ìåòîäó Ïîíòðÿ-
ãèíà (23) â ôîðìå ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå
B t W t t M t g t t( , ) :[ ( , ) ( , )] [ ( , ( ), ( , ))]
�
�
�
�� � � � � �{ 0 � �} (27)
è åãî îïîðíóþ ôóíêöèþ â íàïðàâëåíèè +1
�
� �
( , ) : ( , ) , .t B t t� � � �sup{ } 0 (28)
Çäåñü �
( , )t — èçìåðèìûé ïî
ñåëåêòîð ââåäåííîãî ðàíåå ìíîãîçíà÷íîãî îòî-
áðàæåíèÿ W t( , )
, à ôóíêöèÿ
�( , ( ), ( , ))t g t t � çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (10).
Åñëè
�( , ( ), ( , ))t g t t M� � , òî ñîãëàñíî ëåììå 4 îòîáðàæåíèå B t( , )
èçìåðè-
ìî è çàìêíóòîçíà÷íî ïî
,
�[ , ]0 t . Ñîîòâåòñòâåííî íà îñíîâàíèè òåîðåìû îá
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
îïîðíîé ôóíêöèè [30] èçìåðèìîé ïî
ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ �
( , )t . Åñëè
�( , ( ), ( , ))t g t t M� � , òî B t( , ) [ , )
� ��0 , à �
( , )t � �� äëÿ âñåõ
�[ , ]0 t .
Ââåäåì ôóíêöèþ âðåìåíè
P g t t d
t
( ( ), ( , )) inf : ( , ) ,� � � � � ��� �
{ }0 1
0
(29)
êîòîðóþ ïîëîæèì ðàâíîé � �, åñëè íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ íå èìååò
ìåñòà ïðè âñåõ t � 0.
Òåîðåìà 5. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíåíî
óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, M M� co è äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� , ñåëåêòîðà � ( , )� � �
òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü â (29) äîñòèãàåòñÿ, ïðè÷åì P P g� � � � � � �( ( ), ( , ))� . Òîãäà
òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (6) ìîæíî ïðèâåñòè íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (7) â ìî-
ìåíò P ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåííîãî êîíòðóïðàâëåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 3 ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé,
÷òî âìåñòî 0 áóäåò ìîìåíò P, à âìåñòî ôóíêöèè �
( , )0 — ôóíêöèÿ �
( , )P .
Òåîðåìà 6. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, M M� co è òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü â (29) äîñòèãàåòñÿ. Òîã-
äà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g t( ) ïðè t � 0 èçìåðèìîé è îãðàíè÷åííîé
min ( ( ), ( , )) ( ( ))
( , )�
�
� � �
� � � � �
P g P g .
Äëÿ áîëåå ïðîñòîé äèíàìèêè ýòîò ðåçóëüòàò äîêàçàí â [7]. Äîêàçàòåëüñòâî
òåîðåìû 6 àíàëîãè÷íî ýòîìó äîêàçàòåëüñòâó.
Óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ôóíêöèÿìè âðåìåíè T g0 ( ( ), ( , ))� � �� è
P g( ( ))� äëÿ ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé è ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà
Ïîíòðÿãèíà.
Òåîðåìà 7. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà è óñëîâèå 1, òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * ÿâëÿåòñÿ àô-
ôèííûì ìíîãîîáðàçèåì, ò.å. M m� { } — òî÷êà, è òî÷íûå íèæíèå ãðàíè ïî t
â (12), (29) äîñòèãàþòñÿ. Òîãäà
min ( ( ), ( , )) ( ( ))
( , )�
�
� � �
� � � � �
T g P g0
äëÿ âñåõ èçìåðèìûõ îãðàíè÷åííûõ ïðè t � 0 ôóíêöèé g t( ).
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ñëåäñòâèé 5, 6 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåðàâåíñòâî
P g T g g( ( )) ( ( ), ( , )) ( , ) , ( )� � � � � 2 � � � �0 � �
(30)
â ñëó÷àå
�( , ( ), ( , ))T g T T M� � , ãäå T T g� � � � � ��( ( ), ( , ))� .
Ïóñòü èãðó (6), (7) ìîæíî çàêîí÷èòü â ìîìåíò T g0 ( ( ), ( , ))� � �� â êëàññå êâà-
çèñòðàòåãèé. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ óñëîâèå 1, â ñèëó òåîðåìû 2 èãðó ìîæíî çàêîí÷èòü
â ìîìåíò T â êëàññå ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé, ïðè÷åì äëÿ
�( , ( ), ( , ))T g T T M� � ýòîò ïðîöåññ ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçðåøàþùåé ôóíê-
öèè �
� �
�
�
* ( , ) / ( ) ( , , )T T T
V
�
�
1 inf , ãäå � �
�
�
( ) ( , , )T T d
V
T
�
�� inf
0
. Ïîñêîëüêó
�
�* ( , ) ( , , )T T�A ,
�[ , ]0 T , äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ��V , òî
�
�
�
* ( , )[ ( , ( ), ( , ))] ( , ) ( , ).T m T g T T W T T� � � � (31)
Ïðîèíòåãðèðóåì ïî
îò 0 äî T âêëþ÷åíèå (31). Òîãäà ïîëó÷èì
�
�
�* ( , ) [ ( , ( ), ( , ))] ( , ) (
0 0 0
T T T
T d m T g T T W T d� � �� � � � T d, ) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 55
Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ äëÿ
�( , ( ), ( , ))T g T T � è ñîîòíîøåíèÿ �
�
* ( ,
0
1
T
T d� �
èìååì
g T m W T d
T
( ) ( , )� � �
0
. Ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå ñîãëàñíî ôîðìóëå (23)
äàåò íàì íåðàâåíñòâî (30).
Ñëåäñòâèå 8. Ïóñòü äëÿ êîôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ìíî-
ãîîáðàçèåì ( )M m� { } è òî÷íûå íèæíèå ãðàíè ïî t â (19), (29) äîñòèãàþòñÿ. Òîãäà
äëÿ âñåõ èçìåðèìûõ îãðàíè÷åííûõ ïðè t � 0 ôóíêöèé g t( ) ñïðàâåäëèâî
min ( ( ), ( , )) ( ( ))
( , )�
�
� � �
� � � � �
00 g P g .
ÑËÓ×ÀÉ ÔÈÊÑÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÒÎ×ÅÊ ÏÐÈÖÅËÈÂÀÍÈß
ÍÀ ÒÅÐÌÈÍÀËÜÍÎÌ ÌÍÎÆÅÑÒÂÅ
Êàê âèäíî èç îïðåäåëåíèÿ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A ( , , )t
� â (11), ïðè
� �
�� ( , , )t êàñàíèå ìíîæåñòâ, ó÷àñòâóþùèõ â ïåðåñå÷åíèè, ïðîèñõîäèò, âî-
îáùå ãîâîðÿ, â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ. Ïðè ýòîì
òî÷êè êàñàíèÿ ëåâîãî ìíîæåñòâà îïðåäåëÿþò óïðàâëåíèå ïðåñëåäîâàòåëÿ,
à òî÷êè êàñàíèÿ ïðàâîãî ìíîæåñòâà — òî÷êè èç M , êóäà ïðèöåëèâàåòñÿ äâè-
æåíèå. Â îáùåé ñõåìå ìåòîäà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî M M� co .
Óñòàíîâèì åùå îäíó ôîðìó ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ñ ôèêñèðîâàí-
íûìè òî÷êàìè (íå èçìåíÿþùèìèñÿ ñî âðåìåíåì) ìíîæåñòâà M , êîòîðîå, âîîáùå
ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì.
Ïóñòü m M� è �
�( , ) ( , ( ), ( , ))t m t g t t m� � � , � ( , )t t� �
, t � 0. Ââåäåì ìíî-
ãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A ( , , , ) : ( , ) ( , , ) ( , )t m t m W t t
� � ��
� �
� � � � �{ }0
è åãî îïîðíóþ ôóíêöèþ â íàïðàâëåíèè +1
�
� � �
�
�( , , , ) : ( , , , ) , , .t m t m t V� � � � �sup{ }A 0
Ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, òî
dom A � � �� V M . Çàìåòèì, ÷òî ïðè �( , )t m � 0 A ( , , , ) [ , )t m
� � ��0 äëÿ
�[ , ]0 t , ��V , m M� è ñîîòâåòñòâåííî �
�( , , , )t m ( ��.
 ñèëó ñëåäñòâèÿ 3 ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , , )t m
� ÿâëÿåòñÿ
L B� -èçìåðèìûì ïî
, � , ��V ,
�[ , ]0 t , à ñîãëàñíî òåîðåìå îá îïîðíîé ôóíê-
öèè ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ �
�( , , , )t m áóäåò L B� -èçìåðèìîé ïî
, �. Ðàññìîò-
ðèì ôóíêöèþ
T ( ) inf : ( , , ( ), )
( )
g m t t m d
t
( ), , ( , ) inf� � � � � �
� �� �
�
�
0
0
1
!
"
#
$#
%
&
#
'#
. (32)
Óñëîâèå 4. Ôóíêöèÿ T ( )g m( ), , ( , )� � �� ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó ïî m , m M� .
Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà îíà ïîðîæäàåò ìàðãèíàëüíóþ ôóíê-
öèþ T T( ) min ( )g g m
m M
( ), ( , ) ( ), , ( , )� � � � � � �
�
� � è ìàðãèíàëüíîå ìíîãîçíà÷íîå îòî-
áðàæåíèå M T( ) : ( )g m M g( ), ( , ) { ( ), ( , )� � � � � � � � �� � T (g m( ), ,� � ( , ) }� � ) M .
Çàìåòèì [7], ÷òî èìåþò ìåñòî ôîðìóëû äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé âðåìåíè
T g t t
m M
0 0( ) inf : max ( , , ( ),
( )
( ), ( , ) inf
0
t
� � � � �
� ��� �
�
�
m d)
�
!
"
#
$#
%
&
#
'#
1 ,
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
T ( ) inf : max ( , , ( ),
( )
g t t m
m M
( ), ( , ) inf
0
t
� � � � �
� � �� �
�
�
0 )d
�
!
"
#
$#
%
&
#
'#
1 ,
à òàêæå ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå �
� �
�( , , ) max ( , , , )t t m
m M
�
�
äëÿ t � �
0 ,
��V , � ( , )� � �
. Åñëè �( , )t m � 0 , òî inf
�
�
�
�
� ��
V
t m( , , , ) äëÿ
�[ , ]0 t è çíà÷å-
íèå èíòåãðàëà â ñîîòíîøåíèè (32) åñòåñòâåííî ïîëîæèòü ðàâíûì � �, à ñîîò-
âåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî áóäåò âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè.  ñëó÷àå, êîãäà íåðàâåí-
ñòâî â (32) íå âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ t � 0 è m M� , áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
T ( )g( ), ( , )� � � � ��� .
Òåîðåìà 8. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà è óñëîâèå 4, äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� è íåêîòîðîãî ñå-
ëåêòîðà � ( , )� � �
âíåøíÿÿ òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ â (32) è
T T� � � � � � �( )g( ), ( , )� . Òîãäà ïðîåêöèþ òðàåêòîðèè ïðîöåññà (6) z t( ) ìîæíî
ïðèâåñòè â ëþáóþ òî÷êó ìíîæåñòâà M ( )g( ), ( , )� � �� â ìîìåíò T ñ ïîìîùüþ
óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà, íàçíà÷åííîãî ñîîòâåòñòâóþùåé êâàçèñòðàòåãèåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü m g� � � �M ( )( ), ( , )� , à �
( )�V ,
�[ , ]0 T , — ïðîèç-
âîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé �( , )T m � 0. Êîíòðîëüíóþ
ôóíêöèþ âûáåðåì â âèäå h t m d
t
( ) ( , , ( ), )� � �1
0
�
�
T . Ôóíêöèÿ �
�( , , , )T m ÿâëÿ-
åòñÿ L B� -èçìåðèìîé ïî ( , )
� ,
�[ , ]0 T , ��V , à çíà÷èò, îíà ñóïåðïîçèöèîííî
èçìåðèìà (ñëåäñòâèå 1), ò.å. �
�
( , , ( ), )T m ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ôóíêöèåé
.
Ôóíêöèÿ h t( ) íåïðåðûâíà, è ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò t
*
, t
*
[ , ]� 0 T , ÷òî
h t( )
*
� 0 . Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U m u U u( , , ) : ( , ) ( , ) ( , )
�
� � �
� � � �{ � T T
� � � ��
� �
�( , , , ) ( , ) , [ , ], .T T Tm m V} 0 (33)
 ñèëó ñëåäñòâèÿ 3 äàííîå îòîáðàæåíèå L B� -èçìåðèìî ïî ( , )
� è çàìêíó-
òîçíà÷íî, à çíà÷èò, ñîãëàñíî òåîðåìå îá èçìåðèìîì ñåëåêòîðå â íåì ñóùåñòâóåò
L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u m( , , )
� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìå-
ðèìîé ôóíêöèåé. Îáîçíà÷èì u m u m( , ) ( , ( ), )
�
� è ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâî-
ãî èãðîêà íà èíòåðâàëå [ , )
*
0 t ðàâíûì u m( , )
. Ïîëîæèâ â ñîîòíîøåíèè (33)
�
�( , , , )T m � 0 ,
�[ , ]
*
t T , ��V , ïîëó÷èì
U m u U u t0 0( , , ) : ( , ) ( , ) ( , ) , [ , ],
*
�
� � �
�� � � � � �{ }� T T T V . (34)
Äàííîå îòîáðàæåíèå êîìïàêòíîçíà÷íî è L B� -èçìåðèìî. Êàê è â ïðåäûäó-
ùåì ñëó÷àå, ó íåãî ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u m0 ( , , )
� , êîòî-
ðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå
ïðåñëåäîâàòåëÿ íà èíòåðâàëå [ , ]
*
t T ðàâíûì u m u m0 0( , ) ( , ( ), )
�
� .  ñëó÷àå
�( , )t m � 0 óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà èíòåðâàëå [ , ]0 T âûáåðåì â âèäå èçìå-
ðèìîé ôóíêöèè, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî íà ïàññèâíîì ïðîìåæóòêå [ , ]
*
t T .
Ïðîñëåäèì çà ñîîòâåòñòâóþùèìè òðàåêòîðèÿìè ïðîöåññà (6).
Ïðè �( , )T m � 0 èç ôîðìóëû (6) è ñîîòíîøåíèé (33), (34) èìååì
� �
�
z m m d m
t
( ) ( , ) ( , , ( ), )
*
T T T� �
*
+
,
,
-
.
/
/
��1
0
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 57
Ïîñêîëüêó h t( )
*
� 0 , òî z m( )T � . Ïðè �( , )T m � 0 ðàâåíñòâî z m( )T � âû-
òåêàåò èç ñîîòíîøåíèé (6) è (34).
Ñëåäñòâèå 9. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîë-
íåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà äëÿ òîãî ÷òîáû
g t M W t d
t
( ) ( , )� � �
0
, t � 0, íå-
îáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë òàêîé èçìåðèìûé ñåëåêòîð
� ( , )t t� �
è ýëåìåíò m M� , ÷òî �( , )t m � 0.
Ñëåäñòâèå 10. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîë-
íåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà
inf ( ) inf (
� �
� �
( , ) ( , )
( ), ( , ) ( ), ( , )
� � � � � �
� � � � � � �
T g gT ) (� �P g( ))
äëÿ ëþáîé èçìåðèìîé îãðàíè÷åííîé ïðè t � 0 ôóíêöèè g t( ) .
Ñëåäñòâèå 11. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíåíî
óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * — àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå, ò.å.
M m� { } — òî÷êà, è òî÷íûå íèæíèå ãðàíè ïî t â (12), (32) äîñòèãàþòñÿ. Òîãäà äëÿ
âñåõ èçìåðèìûõ îãðàíè÷åííûõ ïðè t � 0 ôóíêöèé g t( ) min ( ( ), ( , ))
( , )�
�
� � �
� � � �
T g0
� � � �
� � �
min ( ( ), ( , ))
( , )�
�
T g , t � 0.
Óñëîâèå 5. Ïðè çàäàííîé ôóíêöèè g( )� è âûáðàííîì ñåëåêòîðå � ( , )� � �
äëÿ ýëåìåíòîâ M ( ( ), ( , ))g � � �� òàêèõ, ÷òî �( , )T m � 0 , îòîáðàæåíèå A T( , , , )
� m ,
�[ , ]0 T , ��V , âûïóêëîçíà÷íî, ò.å. A T T( , , , ) [ , ( , , , )]
� �
�m m� 0 .
Óñëîâèå 6. Ïðè �( , ) ,T m � 0 m g� � � �M ( ( ), ( , ))� ôóíêöèÿ inf
�
�
�
�V
m( , , , )T
èçìåðèìà ïî
, [ , ]� 0 T , è èìååò âèä
inf inf
� �
�
��
�
�
�
�
( )
( , , , ) ( , , , )
� �� ��
0 0
T T
T Tm d m d
V
Òåîðåìà 9. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíå-
íû óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà è óñëîâèÿ 4–6, â ôîðìóëàõ (23), (32) òî÷íàÿ íèæíÿÿ
ãðàíü ïî t äîñòèãàåòñÿ è T � ��. Òîãäà ïðîåêöèþ òðàåêòîðèè ïðîöåññà (6) íà L
ìîæíî ïðèâåñòè â ëþáóþ òî÷êó m , m g� � � �M ( ( ), ( , ))� , â ìîìåíò T ñ ïîìîùüþ
êîíòðóïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà, ïðè÷åì
min ( ( ), ( , )) ( ( )).
( , )�
�
� � �
� � � � �
T g P g
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåì 7 è 8.
ËÎÊÀËÜÍÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÑÎÂÏÀÄÅÍÈß È ÎÒËÈ×Èß ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÂÐÅÌÅÍ
Ïðåäûäóùèå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ ñðàâíåíèÿ ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí,
äàþò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èõ ñîâïàäåíèÿ äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé g t( ) . Ðàññìîò-
ðèì ñèòóàöèþ, êîãäà äëÿ îäíèõ ôóíêöèé g t( ) ãàðàíòèðîâàííûå âðåìåíà ìåòî-
äà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé è ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà Ïîíòðÿãèíà ñîâïàäàþò,
à äëÿ äðóãèõ — îòëè÷àþòñÿ. Ôîðìàëüíî ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ âûðàæàþò-
ñÿ â òåðìèíàõ êîíóñîâ íåêîòîðûõ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Ââåäåì ìíîãîç-
íà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
�( , , ) ( , , ) ( , ),*t W t W t
�
�
� �
K t t K t K t t
V
( , , ) ( , , ), ( , ) ( , , ), .
�
�
�
�
� � � �
�
con� � 0
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
Ïîñêîëüêó W t W t( , ) ( , , )
� , t � �
0, ��V , ïî ïîñòðîåíèþ, òî 0��( , , )t
� .
Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
3 �( , , ) : ( , , ) [ ( , ( ), ( , ))] , (t t M t g t t
� �
� �
� �� � � � ��{ }0 � � � �, ) ,
(35)
ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ íåïóñòûìè ìíîæåñòâàìè.
 ñèëó ñâîéñòâ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé W t( , , )
� è W t( , )
, îïåðàöèè ãåî-
ìåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî è ëåììû 4 îòîáðàæåíèå 3( , , )t
� ÿâëÿåòñÿ
L B� -èçìåðèìûì ïî ( , )
� ,
�[ , ]0 t , ��V , è çàìêíóòîçíà÷íûì.
Îïîðíàÿ ôóíêöèÿ îòîáðàæåíèÿ 3( , , )t
� â íàïðàâëåíèè +1 èìååò âèä
�
� � �
�( , , ) : ( , , ) .t t� �sup{ }3 (36)
Ñîãëàñíî òåîðåìå îá îïîðíîé ôóíêöèè ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ �
�( , , )t
ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìîé ôóíêöèåé ïî ( , )
� ,
�[ , ]0 t , ��V .
Äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå
( ( )) ( , ) : ( ( ), ( , )) ( ( ))g P g P g� � � � � � � � � �{ }� � .  ñâîþ î÷åðåäü, äëÿ � (( , ))� � �
îáîçíà÷èì
Q g t t t t P g( ( , )) ( ): ( , , ) ( , ) ( , , ) (� �
� �
�
�
� � � � � � 2 � � �{ 0 ( )), ,� �� V}
Q g t t t t P
*
( ( , )) ( ): ( , , ) ( , ) ( , , ) (� �
� �
�
�
� � � � � � 2 � � �{ 0 g V( )), .� �� }
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ g( )� è � (( , ))� � �
ââåäåì ôóíêöèè
� �
� �
�
( ) ( , )t t d
V
t
�
�� inf
0
è � �
( ) ( , )t t d
t
� �
0
, t � 0.
Òåîðåìà 10. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð
� ( , ) ( ( ))� � � �
g , ÷òî g Q( ) ( ( , ))*� � � �� , ïðè÷åì T T g� � � � � ��0 ( ( ), ( , ))� , äëÿ
âñåõ t,
, �, 0 � � � �
t P g( ( )) , ��V , âûïîëíåíî óñëîâèå
[ ( , ( ), ( , ))] ( , , )M t g t t K t� � ��
�
�� , (37)
ôóíêöèÿ �
�( , , )t ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó ïî � äëÿ 0 � � � �
t P g( ( )) è ìîìåíò
T — òî÷êà íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè �( )t . Òîãäà
T g P g0 ( ( ), ( , )) ( ( )).� � � � �� (38)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèÿì òåîðåìû èç ñîîòíîøåíèÿ (37) ñ ó÷åòîì âûðà-
æåíèé (35), (36) âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿ �
�( , , )t ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà ïðè âñåõ
äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ.
Ïîñêîëüêó îíà ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó ïî � [7], à ïî óñëîâèþ òåîðåìû åùå
è ñíèçó, òî ôóíêöèÿ �
�( , , )t íåïðåðûâíà ïî �, ��V , äëÿ 0 � � � �
t P g( ( )) è
èìååò âèä
min ( , , ) ( ( )).
�
�
�
�
� 2 � � � �
V
t t P g0 0 (39)
Ýòî îçíà÷àåò â ñèëó g Q( ) ( ( , ))*� � � �� , ÷òî inf ( , ) ( , )
�
�
� � �
�
�
V
t t , 0 � � �
t
� �P g( ( )) .
Ïîñêîëüêó ìîìåíò T — òî÷êà íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè �( )t , òî � �( ) ( )T T� �1 .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî � ( , ) ( ( ))� � � �
g , èç îïðåäåëåíèÿ âðåìåí T è P g( ( ))� ïîëó÷èì
íåðàâåíñòâî (38).
Çàìå÷àíèå 4. Âìåñòî ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó ôóíêöèè �
�( , , )t ïî � äîñ-
òàòî÷íî òðåáîâàòü òîëüêî óñëîâèå (39), à óñëîâèå (37) ýêâèâàëåíòíî âêëþ÷åíèþ
� � � �
�
�
�
�
( , ( ), ( , )) [ ( , , ) ].t g t t K t M
V
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 59
Òåîðåìà 11. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð
� ( , ) ( ( ))� � � �
g , ÷òî g Q( ) ( ( , ))� � � �� , è äëÿ êàæäîãî íàáîðà t,
,
0 � � � �
t P g( ( )) , ñóùåñòâóåò òàêîå ��V , ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå
[ ( , ( ), ( , ))] ( , , ) .M t g t t K t� � ��
�
�� (40)
Òîãäà
T g P g( ( ), ( , )) ( ( )).� � � � �� (41)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ñîîòíîøåíèÿ (40) âûòåêàåò, ÷òî min ( , , )
�
�
�
�
�
V
t 0 äëÿ
0 � � � �
t P g( ( )), à ïîñêîëüêó g Q( ) ( ( , ))� � � �� , òî inf
�
�
� �
�
�
V
t t( , , ) ( , ) ,
0 � � � �
t P g( ( )) . Ïîýòîìó � �( ) ( )t t� , è ñ ó÷åòîì � ( , ) ( ( ))� � � �
g ïîëó÷èì ðà-
âåíñòâî (41).
Çàìå÷àíèå 5. Óñëîâèå (40) äëÿ óäîáñòâà èñïîëüçîâàíèÿ ìîæíî çàïèñàòü
â âèäå � � � �
�
�
�
�
( , ( ), ( , )) [ ( , , ) ]t g t t K t M
V� .
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì
ìíîãîîáðàçèåì.
Óñëîâèå 7. Îòîáðàæåíèå 3( , , )t
� âûïóêëîçíà÷íî äëÿ 0 � � � �
t P g( ( )),
��V .
Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (6), (7) âû-
ïîëíåíû óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà è óñëîâèå 7, à M m� { }. Òîãäà äëÿ âñåõ
0 � � � �
t P g( ( )) , � ( , )� � �
èìååì inf ( , , )
�
�
�
�
�
V
t 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ 0 � � �t P g( ( )) ñïðàâåäëèâî m t g t t� � �
�( , ( ), ( , )) 0
â ñèëó ñëåäñòâèÿ 6. Ïîýòîìó ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè �
�( , , )t ,
0 � � � �
t P g( ( )), ��V , èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå
�
�
�
�( , , )[ ( , ( ), ( , ))] ( , , )t m t g t t t� � �� ,
à ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ 7
inf ( , , )[ ( , ( ), ( , ))] ( , , )
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
V
V
t m t g t t t� � . (42)
 òîæå âðåìÿ äëÿ 0 � � � �
t P g( ( )) èìååì
�
� � � �
�
�
� � � �
� � �
V V V t W t
t W t W t� � �( , , ) [ ( , , ) ( , )]*
( , ) ( , )
( ( , , ) ( , ))
� �
� W t t�
*
+
,
,
-
.
/
/
�
�
� �
� �
( , ) ( , ) ( , )
( ( , , ) ( , ) )
t W t V t
W t t
� �
�
*
+
,
,
-
.
/
/
�� �
�
� �
W t
W t t
( , )
[ ( , ) ( , )] .
�
� { }0
Òàêèì îáðàçîì, èç âêëþ÷åíèÿ (42) âûòåêàåò, ÷òî inf ( , , )
�
�
�
�
�
V
t 0 äëÿ
0 � � � �
t P g( ( )).
ÏÐÎÑÒÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ
Ïóñòü çàäàí êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ â ïëîñêîñòè
z t z u d z t R t
t
( ) ( ( ) ( )) , ( ) , .� � � � ��0
0
2 0
�
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
Çäåñü g t z( ) � 0 , � ( , )t E
� — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, � � �( , )u u� � . Îáëàñòè
óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ V S� � � �{ }� ��
2 1: | | | | — åäèíè÷íûé êðóã ñ öåíòðîì
â íóëå, à U u u u u u u u� � � � � �{ } { }�
2
1 2 1 21 2: | | | | ( , ): | |� — îáúåäèíåíèå åäè-
íè÷íîãî êðóãà è òðåóãîëüíèêà. Òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M z z* : | | | |� � �{ }�
2 � ,
ïðè÷åì M z z0
2 0� � �{ }� : , à M z z S� � � �{ }�
2 : | | | | � � . Òàêèì îáðàçîì,
M L
0
24 � � � , à îðòîïðîåêòîð : � �
2 2� ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì òîæäåñòâåí-
íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è çàäàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé E �
5
6
77
8
9
::
1 0
0 1
. Äàëåå, î÷å-
âèäíî, W t U( , , )
� �� � , W t U U V
V
( , ) ( ) *
�
�
� � � � �
�
� { }0 è óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà
âûïîëíåíî. Ïîñêîëüêó W t( , )
� { }0 , 0 � �
t, òî
ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî
âåêòîðà � ( , )� � , òîæäåñòâåííî ðàâíîãî íóëþ. Ïîýòîìó
( , , )t z z0 00 � , à ðàçðå-
øàþùàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä � � �
� � �
�( , ) ( , , ) : ( , , )z t t0 � � �sup{ }A , ïðè÷åì
A ( , , ) : [ ] [ ] .t U S z
� � � � �� � � � ��{ }0 0�
Ðàññìîòðèì íà÷àëüíóþ òî÷êó z b0 0� �( , ) , b� 0. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî b�� �.
Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå íå çàâèñèò îò t è
A A( , , ) ( )t
� �� , íåòðóäíî ïîñ÷è-
òàòü, ÷òî ïðè � � �( , )0 1 A ( ) [ , / ( )]� �� �0 1 b , ïðè � � ( , )10 , � � �( , )10
A ( ) , , ,�
�
�
�
� �
�
�
*
+
,
-
.
/
�
� �
*
+
,
-
.
/0
2 2 2 2
2 2 2 2b
b
b b
�
ïðè÷åì
2 2 2
2 2 2 2
b
b b
�
�
�
�
�
�
�
�
, ãäå ÷ëåíû íåðàâåíñòâà — ïîëîæèòåëüíûå êîðíè
êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî � ( )2 22 2 2� �� � �b , � ��2 2 21 1b � � �( ) ,
êîòîðûå âûðàæàþò òåîðåìó Ïèôàãîðà äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðÿìîóãîëüíûõ
òðåóãîëüíèêîâ.  ýòîì ñëó÷àå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t
� íå âûïóê-
ëîçíà÷íî è óñëîâèå 1 íå âûïîëíåíî. Î÷åâèäíî, inf ( , , ) min :
|| || || ||� �
�
� �
� �
� �
1 1
0t sup{
� � �� � �A ( )} / ( )1 b , ïðè÷åì ìèíèìóì ïî � äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå � � �( , )0 1 .
 òîæå âðåìÿ A A A( , ) ( ) ,
|| ||
t
b
�
�
��
� � �
�
*
+
,
-
.
/
�1
2 2
0
2
� . Ïîýòîìó �
�( , ) :t � �sup{ 0
� � �� �� �A} = 2 2 2b ) . Ïîñêîëüêó â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå W t( , )
� { }0 , òî è
B t( , )
� { }0 äëÿ âñåõ 0 � � � ��
t . Ñîîòâåòñòâåííî �
( , )t ( 0.
Äëÿ ñõåìû ñ ôèêñèðîâàííîé òî÷êîé m S�� ïðè çàäàííîì íà÷àëüíîì ïîëîæå-
íèè z0 áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî m S c
c
�
!
"
#
$#
%
&
#
'#� �
�
� �
� �
[ , ]
[ , ]0 . Òîãäà ïðè � � �( , )0 1 ìíîãî-
çíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , , ) [ , / ( )]t m b m
� � �0 1 , à �
�( , , , )t m � min ( , , , )
|| ||�
�
�
�
�
1
t m
� �1/ ( )b m , ïðè÷åì ìèíèìóì ïî � äîñòèãàåòñÿ ïðè � � �( , )0 1 . Ñîîòâåòñòâåííî
ôóíêöèÿ âðåìåíè T ( , , )z m b m0 0 � � , îòñþäà àâòîìàòè÷åñêè âûòåêàåò, ÷òî
T ( , )z b0 0 � � �, à ìàðãèíàëüíîå ìíîæåñòâî M ( , ) ( , )z0 0 0� �{ }� ñîñòîèò ëèøü èç
îäíîãî ýëåìåíòà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 61
Òàêèì îáðàçîì, âðåìÿ îêîí÷àíèÿ èãðû èç íà÷àëüíîé òî÷êè z0 ñîãëàñíî ðàñ-
ñìîòðåííûì ñõåìàì T z z b0 0 0 0( , ) ( , )� � �T 0 � , 00 0
2 20 2( , ) ( ) /z b� � � �,
P z( )0 � ��.
Ðàâåíñòâî T z z0 0 0 0( , ) ( , )� T 0 èìååò ìåñòî òîëüêî ïîòîìó, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå M ( , ) : ( , )[ ]z m M z m z U0 0 0� � � �� � � � �{ } ïðè ëþáîì ��V åñòü
òî÷êà ( , )0 �� .
Ïóñòü òåïåðü z0 , z S0 � , — ïðîèçâîëüíàÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà. Ïîñêîëüêó
W t( , )
� { }0 äëÿ 0 � � � � �
t , òî �( , , ) ( , , )t W t
�
�� , à K K t� �( , )
� � � � �
�
con { }
�
� �
S
U z R z z� [ ] : | | ,2
2 1 ãäå � — óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëü-
íîé ê åäèíè÷íîìó êðóãó ñ öåíòðîì â òî÷êå (2.2), êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî
êîîðäèíàò è ëåæèò áëèæå ê îñè îðäèíàò.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî �
� �
�( , , ) ( , , )t t( , Q Q R S( ) ( ) \*0 0 2� � � ,
( )z0 0� { } äëÿ
z R S0
2� \ � . Êðîìå òîãî, min ( , , ) / ( )
�
�
� �
�
� �
S
t b1 , à ôóíêöèÿ � �( ) / ( )t t b� � ÿâëÿ-
åòñÿ íåïðåðûâíîé. Èç òåîðåìû 10 ïîëó÷èì, åñëè
� � � �
�
z U S
S
0 {con }
�
� �� [ ] , (43)
òî T z0 0 0( , )� � �, à èç òåîðåìû 11 âûòåêàåò, ÷òî óñëîâèå � �z
0
� � �
�
{con }
�
� �
S
U S� [ ] îáåñïå÷èâàåò ðàâåíñòâî T z
0 0 0( , ) � � �.
Èòàê, ïîëó÷åíî íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå (43) îêîí÷àíèÿ èãðû çà
êîíå÷íîå âðåìÿ. Êðîìå òîãî, äëÿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êè z0 èç ìíîæåñòâà
� � �
�
�
�
� �
S
U S{con }[ ] íàéäåíî ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ îêîí÷àíèÿ èãðû ïî ðàç-
íûì ñõåìàì ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò ãàðàíòèðî-
âàííîãî âðåìåíè ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Èññëåäîâàíû êâàçèëèíåéíûå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû îáùåãî âèäà
ñ öèëèíäðè÷åñêèì òåðìèíàëüíûì ìíîæåñòâîì, ïðè ýòîì âìåñòî äèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû èñõîäíûì îáúåêòîì ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ, äîïóñêàþùåå
àäèòèâíîå âõîæäåíèå ÷ëåíà ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè è áëîêà óïðàâëåíèÿ. Ýòî
ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü øèðîêèé ñïåêòð äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â åäèíîé
ñõåìå. Ïðè èññëåäîâàíèè â êà÷åñòâå áàçîâîãî èñïîëüçîâàí ìåòîä ðàçðåøàþ-
ùèõ ôóíêöèé. Ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è ñáëèæå-
íèÿ çà íåêîòîðîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ â êëàññå ñòðàòåãèé, èñïîëüçóþùèõ
èíôîðìàöèþ î ïîâåäåíèè ïðîòèâíèêà â ïðîøëîì, à òàêæå â êëàññå ñòðîáîñêî-
ïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé. Íàéäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ èíôîðìàöèÿ î ïðåäûñòî-
ðèè óáåãàþùåãî íå èãðàåò ðîëè. Äàíî ñðàâíåíèå ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí ðàç-
ëè÷íûõ ñõåì ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ñ ãàðàíòèðîâàííûì âðåìåíåì
ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà Ïîíòðÿãèíà. Êà÷åñòâåííûå ðåçóëüòàòû ïðîèëëþñ-
òðèðîâàíû íà ïðèìåðå èãðîâîé çàäà÷è ñ ïðîñòûìè äâèæåíèÿìè è íåïîëíûì
âûìåòàíèåì äëÿ ñïåöèàëüíûõ îáëàñòåé óïðàâëåíèÿ â óñëîâèè Ïîíòðÿãèíà.
62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Èãðîâûå çàäà÷è î âñòðå÷å äâèæåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1970. — 420 ñ.
2. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . , Ñ ó á á î ò è í À . È . Ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ì.:
Íàóêà, 1974. — 455 ñ.
3. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 2. — 576 ñ.
4. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , Î ñ ò à ï å í ê î Â . Â . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ê.: Íàóê. äóìêà,
1992. — 260 ñ.
5. I s a a c s R . Differential games. — New York: John Wiley, 1965. — 480 p.
6. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ.
— Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1984. — 65 ñ.
7. C h i k r i i A . A . Conflict controlled processes. — Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1997. — 424 p.
8. × è ê ð è é À . À . Êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1992.— 384 ñ.
9. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , × è ê ð è é À . À . Î ðàçâèòèè íàó÷íûõ èäåé Á.Í. Ïøåíè÷íîãî â îáëàñ-
òè îïòèìèçàöèè è ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè óïðàâëåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
2012. — ¹ 2. — Ñ. 3–28.
10. × è ê ð è é À . À . Ôóíêöèîíàëû Ìèíêîâñêîãî â òåîðèè ïðåñëåäîâàíèÿ // ÄÀÍ Ðîññèè. —
1993. — 329, ¹ 3. — Ñ. 281–284.
11. C h i k r i i A . A . The problem of avoidance for controlled dynamic objects // Int. J. Math. Game
Theory and Algebra. — 1998. — 7, N 2/3. — P. 81–94.
12. × è ê ð è é À . À . Êàëèáðîâî÷íûå ôóíêöèè â èãðîâûõ çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ // Èçâ. ÀÍ Ðîññèè.
Cåð. Òåõí. êèáåðíåòèêà. — 1994. — ¹ 3. — Ñ. 218–228.
13. Ô è ë è ï ï î â À . Ô . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ. — Ì.: Íàó-
êà, 1985. — 224 ñ.
14. Ê ð è â î í î ñ Þ . à . , Ì à ò è ÷ è í È . È . , × è ê ð è é À . À . Äèíàìè÷åñêèå èãðû ñ ðàçðûâíû-
ìè òðàåêòîðèÿìè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. — 220 ñ.
15. H u S . , P a p a g e o r g i o u N . S . Handbook of multivalued analysis, vol. 1: Theory. — Berlin:
Springer, 1997. — 980 p.
16. Ê ó ð æ à í ñ ê è é À . Á . Óïðàâëåíèå è íàáëþäåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. — Ì.: Íàó-
êà, 1977. — 456 ñ.
17. È î ô ô å À . Ä . , Ò è õ î ì è ð î â Â . Ì . Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1974. —
480 ñ.
18. Ê ë à ð ê Ô . Îïòèìèçàöèÿ è íåãëàäêèé àíàëèç. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 280 ñ.
19. Á î ð è ñ î â è ÷ Þ . Ã . , Ã å ë ü ì à í Á . Ä . , Ì û ø ê è ñ À . Ä . , Î á ó õ î â ñ ê è é Â . Â . Ââå-
äåíèå â òåîðèþ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé è äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé. — Ì.:
ËÈÁÐÎÊÎÌ, 2010. — 226 ñ.
20. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . Ãðóïïîâîå ïðåñëåäîâàíèå
â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ // Îïòèìèçàöèîííûå èññëåäîâàíèÿ è ñòàòèñòèêà. — Ëåéïöèã,
1982. — Ñ. 13–27.
21. Á ë à ã î ä à ò ñ ê è õ À . È . , Ï å ò ð î â Í . Í . Êîíôëèêòíîå âçàèìîäåéñòâèå ãðóïï óïðàâëÿå-
ìûõ îáúåêòîâ. — Èæåâñê: Èçä-âî «Óäìóðòñêèé óíèâåðñèòåò», 2009. — 266 ñ.
22. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . Ýôôåêòèâíûé ìåòîä ðåøå-
íèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð ñî ìíîãèìè ïðåñëåäîâàòåëÿìè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1981. — 256,
¹ 3. — Ñ. 530–535.
23. C h i k r i i A . A . , R a p p o p o r t J . S . Guarantee result in differential games with terminal payoff
// Ann. Dynamic Games. — Berlin: Birkhauser, 1995. — 3. — P. 323–330.
24. Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . , × è ê ð è é À . À . Ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò â äèôôåðåíöèàëüíîé
èãðå ãðóïïîâîãî ïðåñëåäîâàíèÿ ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è
ìåõàíèêà. — 1997. — 61, ¹ 4. — Ñ. 584–594.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 63
25. × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . Ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò â êâàçèëèíåéíîé äèôôå-
ðåíöèàëüíîé èãðå // ÄÀÍ Ðîññèè. — 1995. — 341, ¹ 4. — Ñ. 452–455.
26. C h i k r i i A . A . Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems // Int.
J. Optim. methods and software. — 2008. — 23, N 1. — P. 39–73.
27. C h i k r i i A . A . Game dynamic problems for systems with fractional derivatives // Pareto
Optimality, Game Theory and Equilibria. — New York: Springer, 2008. — 17. — P. 349–387.
28. C h i k r i i A . A . , M a t y c h y n I . I . , G r o m a s z e k K . , S m o l a r z A . Control of
fractional-order dynamic systems under uncertainty // Modelling and Optimization. — Lublin: Univ.
of Technology, Poland, 2011. — P. 3–56.
29. × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . Ê òåîðåìå îá îáðàòíîì îáðàçå äëÿ L B� -èçìåðèìûõ
ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé // ÄÀÍ Óêðàèíû. — 2011. — ¹ 11.— Ñ. 54–58.
30. A u b i n J . - P . , F r a n k o w s k a H . Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin: Birkhauser,
1990. — 461 p.
31. Ë å â è í Â . Ë . Âûïóêëûé àíàëèç â ïðîñòðàíñòâàõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé è åãî ïðèìåíåíèå
â ìàòåìàòèêå è ýêîíîìèêå. — Ì.: Íàóêà, 1985. — 352 ñ.
32. M o r d u k h o v i c h B . S . Variational analysis and generalized differentiation. — Berlin;
Heidelberg; New York: Springer, 2006. — I. Basic Theory. — 330. — 582 p.; II. Applications. —
331. — 612 p.
33. Ò î ë ñ ò î í î ã î â À . À . Ê òåîðåìå Ñêîðöà–Äðàãîíè äëÿ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ñ ïåðå-
ìåííîé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ // Ìàò. çàìåòêè. — 1990. — 48, âûï. 5. — Ñ. 109–120.
34. R o c k a f e l l a r R . T . Integral functionals, normal integrands and measurable selections // Lect.
Notes in Math. — Berlin: Springer-Verlag, 1976. — 543. — P. 157–207.
35. H i m m e l b e r g C . J . Measurable relations // Fund. math. — 1975. — 87, N 1. — P. 53–72.
36. à ð è ã î ð å í ê î Í . Ë . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû óïðàâëåíèÿ íåñêîëüêèìè äèíàìè÷åñêèìè
ïðîöåññàìè. — Ì.: ÌÃÓ, 1980. — 198 ñ.
37. × è ê ð è é À . À . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ñ íåñêîëüêèìè ïðåñëåäîâàòåëÿìè // Òð. Ìåæäó-
íàð. ìàò. Öåíòðà èì. Ñ. Áàíàõà, Âàðøàâà. — 1985. — 14. — Ñ. 81–107.
38. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . Óïðàâëåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè: ãàðàíòèðîâàííûå ðåçóëüòàòû
â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2006. — 264 ñ.
39. H a j e k O . Pursuit games. — New York: Acad. Press, 1975. — 12. — 266 p.
40. O s i p o v Y u . S . , K r y a z h i m s k i i A . V . Inverse problems for ordinary differential equations:
dynamical solutions. — Basel: Gordon and Breach, 1995. — 410 p.
41. Ñóááîòèí À.È., ×åíöîâ À.Ã. Îïòèìèçàöèÿ ãàðàíòèè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1981.
— 288 ñ.
42. × è ê ð è é À . À . Îá îäíîì àíàëèòè÷åñêîì ìåòîäå â äèíàìè÷åñêèõ èãðàõ ñáëèæåíèÿ // Òð.
Ìàò. èí-òà ÐÀÍ èì. Â.À. Ñòåêëîâà. — 2010. — 271. — Ñ. 76–92.
43. × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . , × è ê ð è é Ê . À . Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ è èõ
ñåëåêòîðû â òåîðèè êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíà-
ëèç. — 2007. — ¹ 5. — Ñ. 129–144.
44. × è ê ð è é À . À . Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ è èõ ñåëåêòîðû â èãðîâûõ çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ
// Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1994. — ¹ 1–2. — Ñ. 47–58.
45. Ð î ê à ô å ë ë à ð Ð . Âûïóêëûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1973. — 470 ñ.
46. A u m a n n R . J . Integrals of set valued functions // J. Math. Anal. Appl. — 1965. — 12. —
P. 1–12.
Ïîñòóïèëà 14.05.2010
64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
|