О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца
Доведено існування періодичного розв’язку системи за відсутності імунітету. Отримано умови його глобальної асимптотичної стійкості. Доведено, що періодичний розв’язок системи за відсутності імунітету є глобальним атрактором. The existence of the periodic solution of a system with the absence of immu...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84131 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца / В.П. Марценюк, И.С. Гвоздецкая // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 126-131. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859975069916200960 |
|---|---|
| author | Марценюк, В.П. Гвоздецкая, И.С. |
| author_facet | Марценюк, В.П. Гвоздецкая, И.С. |
| citation_txt | О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца / В.П. Марценюк, И.С. Гвоздецкая // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 126-131. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Доведено існування періодичного розв’язку системи за відсутності імунітету. Отримано умови його глобальної асимптотичної стійкості. Доведено, що періодичний розв’язок системи за відсутності імунітету є глобальним атрактором.
The existence of the periodic solution of a system with the absence of immunity is proved in the paper. The conditions for its global asymptotic stability are obtained. The periodic solution of the system with the absence of immunity is proved to be a global attractor.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:23:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.876.2:611.018.4
Â.Ï. ÌÀÐÖÅÍÞÊ, È.Ñ. ÃÂÎÇÄÅÖÊÀß
Î ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÈ È ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß ÏÐÈ ÎÒÑÓÒÑÒÂÈÈ ÈÌÌÓÍÈÒÅÒÀ
 ÈÌÏÓËÜÑÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÃÎÌÏÅÐÖÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èììóíèòåò, óñòîé÷èâîñòü, èìïóëüñíûå äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ, ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì.
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÈÌÏÓËÜÑÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ
 óïðîùåííîé ìîäåëè ïðîòèâîîïóõîëåâîãî èììóíèòåòà, ïðåäëîæåííîé â ðà-
áîòå [1], èñïîëüçîâàíû äèíàìèêà Ãîìïåðöà äëÿ ðîñòà ïîïóëÿöèè ïðîëèôåðè-
ðóþùèõ êëåòîê è ìîäåëü èììóííîé ñèñòåìû Ã.È. Ìàð÷óêà [2]. Êîððåêòíîå
ïîñòðîåíèå ìîäåëåé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì â áèîëîãèè è ìåäèöèíå ñâÿçàíî
ñ èññëåäîâàíèåì îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèé. Ê òîìó æå çàäà÷è êà÷åñòâåííîãî
àíàëèçà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íóæäàþòñÿ â êîíñòðóêòèâíûõ îöåíêàõ ðåøåíèé
ìîäåëåé.  ðàáîòå [3] ïîëó÷åíû óñëîâèÿ, êîòîðûå ãàðàíòèðóþò ëîêàëüíîå ñó-
ùåñòâîâàíèå è íåïðåðûâíîñòü ðåøåíèÿ òàêèõ ñèñòåì.
Öåëü íàñòîÿùåé ñòàòüè — äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
ïðè îòñóòñòâèè èììóíèòåòà, â êîòîðîì ïëàçìàòè÷åñêèå êëåòêè è àíòèòåëà îòñóò-
ñòâóþò, è ïîëó÷èòü óñëîâèÿ åãî ãëîáàëüíîé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.
 äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ìîäåëü:
dL t
dt
L t
L t
F t L tL
L
L
( )
( ) ln
( )
( ) ( )� ��
�
� ,
dC t
dt
m L t F t C t CC
( )
( ) ( ) ( ( ) )� � � � ��� � � � � 0 ,
dF t
dt
b C t L t F tf f L
( )
( ) ( ( )) ( )� � �
� , (1)
dm t
dt
L t m tm
( )
( ) ( )� �� , t nT n N� �, ,
�
� �
�
L t pL t p
C t F t
m t pm t
( ) ( ), ,
( ) ( ) ,
( ) ( )
� � � �
� �
� �
�
��
0 1
0 t nT n N� �, .
Çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ñèñòåìû (1):
( ( ), ( ), ( ), ( )) ([ , ], )� � � � �1 2 3 4
40s s s s C C R� � �� � ,
� i ( )0 0
, i �1 3, . (2)
Ñèñòåìà (1) ðàññìàòðèâàåòñÿ â áèîëîãè÷åñêè çíà÷èìîé îáëàñòè
D L C F m� {( , , , )| L C F m, , , }� 0 .
Çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ è êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëè ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòå [1].
ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÏÐÈ ÎÒÑÓÒÑÒÂÈÈ ÈÌÌÓÍÈÒÅÒÀ
Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïðè îòñóòñòâèè
èììóíèòåòà, êîãäà ïëàçìàòè÷åñêèå êëåòêè è àíòèòåëà îòñóòñòâóþò â ñèñòåìå, ò.å.
C t F t t( ) ( ) ,� � �0 0 .
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
© Â.Ï. Ìàðöåíþê, È.Ñ. Ãâîçäåöêàÿ, 2012
Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ áóäåì íàáëþäàòü ðîñò îïóõîëåâûõ êëåòîê íà âðåìåííîì
ïðîìåæóòêå nT t n T� � �( )1 . Áóäóò èññëåäîâàíû íåêîòîðûå îñíîâíûå ñâîé-
ñòâà ïîäñèñòåìû (1):
dL t
dt
L t
L t
t nT n NL
L( )
( ) ln
( )
, ,� � ��
�
,
dm t
dt
L t m tm
( )
( ) ( )� �� , (3)
�
�
L t pL t
m t pm t
( ) ( ),
( ) ( )
� �
� �
�
t nT n N� �, .
 ñèñòåìå (3) ïîëîæèì ln ( ) ( )L t v t� è ïîëó÷èì ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå èì-
ïóëüñíîå óðàâíåíèå
d v t
dt
v tL L L
( )
( ) ln� � �� � � , t nT� , n N� ,
�v t p( ) ln( )� �1 , t nT� , n N� . (4)
Ðåøàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4), â ïðîìåæóòêå ìåæäó èìïóëüñàìè èìååì
v t v n T eL L
t n TL( ) ln ( (( ) ) ln )
( ( ) )� � � �� � � �� � �
1
1
, ( )n T t nT� � �1 . (5)
Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4), èñïîëüçóÿ äèñêðåòíóþ äèíàìè÷åñêóþ
ñèñòåìó, îïðåäåëåííóþ ñòðîáîñêîïè÷åñêèì îòîáðàæåíèåì, ïîëó÷àåì
v nT v nT p v n T eL L
TL( ) ( ) ln( ) ln ( (( ) ) ln ) l� � �� � � � � � � �1 1� � �
n( ) :1� �p
� � �: ( (( ) ))g v n T1 , (6)
ãäå g v v e pL L
TL( ) ln ( ln ) ln( )� � � � ��� � �
1 .
Ðåøèì óðàâíåíèå v g v� ( ) äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ðàçíîñòíîé
ñèñòåìû:
v p e veL L
T TL L� � � � �� �
ln ln( ) (ln )� � � �
1 .
Îòñþäà v e e pL LT
L
T
( ) ln ( ) ln( )1 1 1� � � � �� �� �� . Çíà÷èò,
v
p
e
L TL
� �
�
�
�
�
ln
ln( )
:�
�
1
1
v0
*
— ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ ðàçíîñòíîé ñèñòåìû (6).
Ñëåäîâàòåëüíî, ó÷èòûâàÿ (5), ñèñòåìà (4) èìååò åäèíñòâåííîå T-ïåðèîäè÷åñ-
êîå ðåøåíèå
v t v eL L
t n TL* * ( ( ) )
( ) ln ( ln )� � � � � �� � �
0
1
, ( )n T t nT� � �1 . (7)
Ïîñêîëüêó L e
v
0
0*
*
� , òî L t ev t* ( )( )
*
� — åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå T-ïå-
ðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå (3).
Ïîñòðîèì ðåøåíèå ñèñòåìû (3) m t( ), êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò L t* ( ):
m t m n T e e L s ds nm mt n T t s
( ) (( ) ) ( ) , (
( ( ) ) ( ) *� � �� � � � � �
1
1 � � � �
�
� 1
1
) .
( )
T t nT
n T
t
(8)
Ïåðåïèøåì èìïóëüñíîå ðàâåíñòâî äëÿ m t( ) èç (3) ïðè t nT n N� �, , â âèäå
m nT m nT pm nT( ) ( ) ( )� � � � , n N� . (9)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 127
Îòñþäà
m nT p m nT n N( ) ( ) ( ),� � � �1 .
Ó÷èòûâàÿ ïðåäñòàâëåíèå (8), èìååì
m nT p m n T e p em mT nT s
n T
( ) ( ) (( ) ) ( )
( )
( )
� � � � �
�
� � � � �1 1 1
1
�
nT
L s ds� �* ( ) :
� � �: ( (( ) ))h m n T1 ,
ãäå h m p e m p e L s dsm mT nT s
n T
nT
( ) ( ) ( ) ( )
( ) *
( )
� � � �� � �
�
�1 1
1
� .
Ðåøèì óðàâíåíèå m h m� ( ) äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ðàçíîñòíîé
ñèñòåìû
m p e m p e L s dsm mT nT s
n T
nT
� � � �� � �
�
�( ) ( ) ( ) .
( ) *
( )
1 1
1
�
Îòñþäà
m p e p e L s dsm mT nT s
n T
nT
( ( ) ) ( ) ( )
( ) *
( )
1 1 1
1
� � � �� � �
�
�
� .
Çíà÷èò,
m
p
p e
e L s ds
p
pm
m
T
nT s�
�
� �
�
�
� ��
� �� �
( )
( )
( )
( )
(
( ) *1
1 1
1
1 1 )
( )
( ) e
I n
mT
n T
nT
�
�
�
1
. (10)
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà I n( ) â (10) ñäåëàåì çàìåíó ïåðå-
ìåííûõ s w n T� � �( )1 . Òîãäà, ó÷èòûâàÿ T-ïåðèîäè÷íîñòü ôóíêöèè L s* ( ) , èìååì
I n e L w n T dw e L w dw Im mw w
T
( ) ( ( ) ) ( ) :* * *� � � � � �� �
�
1
0
const
0
T
� .
Ñëåäîâàòåëüíî, m
p
p e
I
mT0
1
1 1
* *( )
( )
�
�
� � �
�
— ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ ðàçíîñòíîé
ñèñòåìû (9).
Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ (8) è T-ïåðèîäè÷íîñòü L s* ( ) , ñèñòåìà (3) èìååò
åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå T-ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå
m t m e e L s dsm mt n T t s
n T
t
* * ( ( ) ) ( ) *
( )
( ) ( )� �� � � � �
�
�0
1
1
� , ( )n T t nT� � �1 .
Ïîêàæåì, ÷òî ( ( ), ( ))* *L t m t — ãëîáàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîå ðåøåíèå (3).
Ñîãëàñíî òåîðåìå èç [4, ñ. 54] ëþáîå ðåøåíèå (3) ÿâëÿåòñÿ óëüòèìàòèâíî îãðà-
íè÷åííûì ñâåðõó. Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî
lim | ( ) ( )|*
t
v t v t
��
� � 0 (11)
è
lim | ( ) ( ) |*
t
m t m t
��
� � 0. (12)
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ v t L t( ) ln ( )� ïðè ( )n T t nT� � �1 èìååì
v t v t v n T v e L t n T
( ) ( ) ( (( ) )* * ( ( ) )� � � �� � � �
1 0
1�
. (13)
Ñ ó÷åòîì v v n T v n T v n T v0 1 2 3 0* * * * *(( ) ) (( ) ) (( ) ) ( )� � � � � � � �� � �
�
ôîðìóëà (13) ïðèìåò âèä
v t v t v n T v n T e L t n T
( ) ( ) ( ( ) ) (( ) ))* * ( ( ) )� � � � � �� � � � �
1 1
1�
� � � � �� � � � � �
( (( ) ) (( ) ))* ( ( ) )
v n T v n T e eL LT t n T
2 2
1� �
� � � � �� � � � � � �
( (( ) ) (( ) ))* ( ( ) )
v n T v n T e e eL L LT T t n T
3 3
1� � �
...
� � � � �� � � � � �
( ( ) ) ( ( ) )* ( ) ( ( ) ) *v v e e v v eL Ln T t n T
0 00
1 1
0
� � �Lt
t��
� ��� 0 .
Ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå (12) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ñîîòíîøåíèþ (11).
Çíà÷èò, ïîëó÷åí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 1. Ñèñòåìà (3) èìååò åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ïåðèîäè÷åñêîå
ðåøåíèå ( ( ), ( ))* *L t m t , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ òàêæå ãëîáàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè
óñòîé÷èâûì. Çíà÷èò, ñèñòåìà (1) ïðè îòñóòñòâèè èììóíèòåòà èìååò ïåðèîäè÷åñ-
êîå ðåøåíèå ( ( ), , , ( ))* *L t m t0 0 ïðè t nT n T� �[ , ( ) ]1 , n N� .
ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÏÐÈ ÎÒÑÓÒÑÒÂÈÈ ÈÌÌÓÍÈÒÅÒÀ
ÊÀÊ ÃËÎÁÀËÜÍÛÉ ÀÒÒÐÀÊÒÎÐ
Ëåììà 1 [5]. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì
�( ) ( ) ( )x t ax t bx t� � �� ,
ãäå a b, , � — ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå è x t( )
0 ïðè � � �� t 0 . Òîãäà åñëè
a b
, òî lim ( )
t
x t
��
� �� ; åñëè a b� , òî lim ( )
t
x t
��
� 0 .
Îáîçíà÷èì ( ( ), ( ), ( ), ( ))L t C t F t m t ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1) ñ íà-
÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (2).
Äàëåå ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ âûêëàäîê áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé îòñóòñòâèÿ
âëèÿíèÿ ïîâðåæäåííîñòè îðãàíà íà èììóííûé îòâåò, ò.å. �( )m �1, ïðè ýòîì C0 1� .
 ðåçóëüòàòå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé ñèñòå-
ìû (1) ïîëó÷àåì
dC t
dt
dF t
dt
b
C t F t
L
f
L
f
L
C
( ) ( )
( ) ( )�
�
� � � � �
�
�
� �
�
�
�
�
� C t( ) .
Îòñþäà èìååì
d
dt
C t F t
b
C t F t
L
f
L L
( ) ( ) ( ) (� �
�
�
��
�
�
�� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�2 )
�
�
��
�
�
�� �
� � �
�
�
��
�
�
�� � � �
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�f
L
C
L
C t F t C t F t( ) ( ) ( ) ( ) �� � (14)
� � � � �
�
�
�
� �
�
�f C
L
L
fC t F t
m
b F t( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 129
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: V t C t F t V
L
3 0( ) ( ) ( )� � � �
�
�
� [4, ñ. 51]. Òîãäà èç (14)
ïîëó÷èì
dV t
dt
b
V t V t V t
f
L
f C f C
3
3 3 3
( )
( ) ( ) ( ) max{ , } (� � � � �
�
�
� ) .
Çíà÷èò,
dV t
dt
b
V t V t
f
L
f C f C
3
3 3
( )
( ) ( max{ , }) ( )� � � � �
�
�
� .
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
dz t
dt
b
z t z t
f
L
f C f C
( )
( ) ( max{ , }) ( )� � � � �
�
�
� .
Åñëè
�
�
b f
L
f C f C� � �
�
�
�
�
�
�
�
��max{ , } 0 , òî ñîãëàñíî ëåììå 1 lim ( )
t
z t
��
� 0.
Ïîñêîëüêó V s z s s s
L
3 2 3 0( ) ( ) ( ) ( )� � � �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
� � ïðè s� �[ , ]� 0 , òî ñîãëàñ-
íî òåîðåìå ñðàâíåíèÿ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ïîëîæèòåëüíîñòè
ðåøåíèé [6] èìååì, ÷òî C t F t( ) , ( )� �0 0 ïðè t � �.
Äàëåå äîêàæåì, ÷òî L t L t( ) ( )*� ïðè t � �. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ìî-
æåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî 0� �F t( )
ïðè âñåõ t � 0. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòå-
ìû (1) ïîëó÷èì
dL t
dt
L t
L t
L t L t
L t e
L
L
L L
L
LL
( )
( ) ln
( )
( ) ( ) ln
( )
(
� � ��
�
�
�
�
� t L
LL t
e
L t
L L
)
( ) ln
( )
� �
�
�
�
�
.
Èòàê, èìååì ~ ( ) ( )*z t L t1 � ïðè
� 0 è t � � , ãäå ~ ( )z t1 — åäèíñòâåííîå ïî-
ëîæèòåëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
dz t
dt
z t
e
z t
L
L
L L
1
1
1
( )
( ) ln
( )
�
�
�
� � �
, t nT n N� �, ,
z t p z t1 11( ) ( ) ( )� � � , t nT� , n N� ,
z L1 0 0( ) ( )� �� .
Ñîãëàñíî (7) èìååì
~ ( ) exp ln( )
ln( ) ( )
z t e
p
e
eL T
t nTL L
L
L
1
1
1
� �
�
�
�
�
�
�
� �� � �
�
�
�
�
, nT t n T� � �( )1 .
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû ñðàâíåíèÿ äëÿ èìïóëüñíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé [6] äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
1 0
èìååì òàêîå T1 0
, ÷òî ïðè t T
1
L t z t( ) ~ ( )
�1 1
. (15)
Îäíàêî èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1) âûòåêàåò, ÷òî
dL t
dt
L t
L t
L
L( )
( ) ln
( )
� �
�
.
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñðàâíèòåëüíóþ ñèñòåìó:
dz t
dt
z t
z t
L
L2
2
2
( )
( ) ln
( )
� �
�
, t nT� ,
z t p z t2 21( ) ( ) ( )� � � , t nT� , (16)
z L2 0 0( ) ( )� �� .
Ðåøèì ñèñòåìó (16):
~ ( ) exp ln
ln( ) ( )
z t
p
e
eL T
t nT
L
L
2
1
1
� �
�
�
�
�
�
��
� ��
�
�
, nT t n T� � �( )1 .
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
L t z t( ) ~ ( )� �2 1
ïðè t � � è ~ ( ) ( )*z t L t2 � . (17)
Ïðè
1 0� èç (15) è (17) ñëåäóåò, ÷òî L t L t L t* *( ) ( ) ( )� � � �
1 1 äëÿ äîñòà-
òî÷íî áîëüøîãî t . Îòñþäà L t L t( ) ( )*� ïðè t � �.
Àíàëîãè÷íî ìîæåò áûòü ïîêàçàíà ñõîäèìîñòü m t m t( ) ( )*� íà îñíîâàíèè
÷åòâåðòîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1).
Òåîðåìà 2. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó (1) ïðè �( )m �1 è C0 1� .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
�
�
b f
L
f C f C� � � �max{ , } 0 .
Òîãäà ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå ( ( ), , , ( ))* *L t m t0 0 ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîì.
Òàêèì îáðàçîì, â ñòàòüå ðàññìîòðåí âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïåðèîäè÷åñêîãî ðå-
øåíèÿ ïðè îòñóòñòâèè èììóíèòåòà, êîãäà ïëàçìàòè÷åñêèå êëåòêè è àíòèòåëà îòñóò-
ñòâóþò â ñèñòåìå. Äîêàçàíî, ÷òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ïåðèî-
äè÷åñêîå ðåøåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ òàêæå ãëîáàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ì à ð ö å í þ ê  . Ï . Ïîñòðîåíèå è èçó÷åíèå óñòîé÷èâîñòè ìîäåëè ïðîòèâîîïóõîëåâîãî èììóíèòåòà //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 5. — Ñ. 123–130.
2. Ì à ð ÷ ó ê à . È . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè â èììóíîëîãèè. — Ì.: Íàóêà, 1980. — 264 ñ.
3. L a k s h m i k a n t h a m V . , B a i n o v D . D . , S i m e o n o v P . S . Theory of impulsive differential equa-
tions / World Scientific Publishing Co., 1989. — 279 p.
4. Ì à ð ö å í þ ê Â . Ï . , À í ä ð ó ù à ê È . Å . , Ã â î ç ä å ö ê à ÿ È . Ñ . Ïîñòðîåíèå îöåíîê ðåøåíèé â ìî-
äåëè ïðîòèâîîïóõîëåâîãî èììóíèòåòà ñ èìïóëüñíûìè âîçìóùåíèÿìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé
àíàëèç. — 2012. — ¹ 2. — Ñ. 50–54.
5. K u a n g Y . Delay differential equations with applications in population dynamics. — New York: Academic
Press, USA, 1987.
6. F r e e d m a n H . I . , A g a r w a l M . , D e v i S . Analysis of stability and persistence in a ratio-dependent
predator-prey resource model // International Journal of Biomathematics. — 2009. — 2, N 1. —
P. 107–118.
Ïîñòóïèëà 28.11.2011
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 131
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84131 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:23:04Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Марценюк, В.П. Гвоздецкая, И.С. 2015-07-03T09:21:31Z 2015-07-03T09:21:31Z 2012 О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца / В.П. Марценюк, И.С. Гвоздецкая // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 126-131. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84131 519.876.2:611.018.4 Доведено існування періодичного розв’язку системи за відсутності імунітету. Отримано умови його глобальної асимптотичної стійкості. Доведено, що періодичний розв’язок системи за відсутності імунітету є глобальним атрактором. The existence of the periodic solution of a system with the absence of immunity is proved in the paper. The conditions for its global asymptotic stability are obtained. The periodic solution of the system with the absence of immunity is proved to be a global attractor. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца Про існування і стійкість періодичного рішення за відсутності імунітету в імпульсній моделі на основі динаміки Гомперца On the existence and stability of periodic solutions in the absence of immunity in a pulse-based model of the Gompertz dynamics Article published earlier |
| spellingShingle | О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца Марценюк, В.П. Гвоздецкая, И.С. Системный анализ |
| title | О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца |
| title_alt | Про існування і стійкість періодичного рішення за відсутності імунітету в імпульсній моделі на основі динаміки Гомперца On the existence and stability of periodic solutions in the absence of immunity in a pulse-based model of the Gompertz dynamics |
| title_full | О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца |
| title_fullStr | О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца |
| title_full_unstemmed | О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца |
| title_short | О существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики Гомперца |
| title_sort | о существовании и устойчивости периодического решения при отсутствии иммунитета в импульсной модели на основе динамики гомперца |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84131 |
| work_keys_str_mv | AT marcenûkvp osuŝestvovaniiiustoičivostiperiodičeskogorešeniâpriotsutstviiimmunitetavimpulʹsnoimodelinaosnovedinamikigomperca AT gvozdeckaâis osuŝestvovaniiiustoičivostiperiodičeskogorešeniâpriotsutstviiimmunitetavimpulʹsnoimodelinaosnovedinamikigomperca AT marcenûkvp proísnuvannâístíikístʹperíodičnogoríšennâzavídsutnostíímunítetuvímpulʹsníimodelínaosnovídinamíkigomperca AT gvozdeckaâis proísnuvannâístíikístʹperíodičnogoríšennâzavídsutnostíímunítetuvímpulʹsníimodelínaosnovídinamíkigomperca AT marcenûkvp ontheexistenceandstabilityofperiodicsolutionsintheabsenceofimmunityinapulsebasedmodelofthegompertzdynamics AT gvozdeckaâis ontheexistenceandstabilityofperiodicsolutionsintheabsenceofimmunityinapulsebasedmodelofthegompertzdynamics |