Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций
На базі нових конструктивних засобів теорії R-функцій запропоновано нові підходи до побудови рівнянь об’єктів фрактальної геометрії і наведено рівняння деяких, найвідоміших з них: крива, сніжинка та хрест Коха, килим Серпинського, фрактал Леві, дерево Піфагора. The main approaches to constructing th...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84135 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций / К.В. Максименко-Шейко, Т.И. Шейко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 155-162. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860063991154343936 |
|---|---|
| author | Максименко-Шейко, К.В. Шейко, Т.И. |
| author_facet | Максименко-Шейко, К.В. Шейко, Т.И. |
| citation_txt | Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций / К.В. Максименко-Шейко, Т.И. Шейко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 155-162. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | На базі нових конструктивних засобів теорії R-функцій запропоновано нові підходи до побудови рівнянь об’єктів фрактальної геометрії і наведено рівняння деяких, найвідоміших з них: крива, сніжинка та хрест Коха, килим Серпинського, фрактал Леві, дерево Піфагора.
The main approaches to constructing the equations for objects of fractal geometry are proposed based on the new constructive means of the R-functions theory. The equations of the most well-known of them are observed: the Koch curve, snowflake, and cross, the Serpinski carpet, the Levy fractal, and the Pythagoras tree.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:06:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 532.5+536.24
Ê.Â. ÌÀÊÑÈÌÅÍÊÎ-ØÅÉÊÎ, Ò.È. ØÅÉÊÎ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ
ÔÐÀÊÒÀËÎÂ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ R -ÔÓÍÊÖÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: R -ôóíêöèè, ãåîìåòðè÷åñêèå ôðàêòàëû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ôðàêòàëû øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ðàäèîòåõíèêå ïðè ïðîåê-
òèðîâàíèè àíòåííûõ óñòðîéñòâ (êðèâàÿ Êîõà è êîâåð Ñåðïèíñêîãî) è âîëíîâî-
äîâ (ñíåæèíêà Êîõà), â êîìïüþòåðíîé ãðàôèêå è ïðè ñæàòèè èçîáðàæåíèé.
 ôèçèêå ôðàêòàëû åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò ïðè ìîäåëèðîâàíèè íåëè-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 155
© Ê.Â. Ìàêñèìåíêî-Øåéêî, Ò.È. Øåéêî, 2012
íåéíûõ ïðîöåññîâ, òàêèõ êàê òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå æèäêîñòè, ñëîæíûå ïðîöåñ-
ñû äèôôóçèè-àäñîðáöèè è ò.ï. Ôðàêòàëû èñïîëüçóþòñÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïî-
ðèñòûõ ìàòåðèàëîâ, íàïðèìåð, â íåôòåõèìèè. Â áèîëîãèè îíè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ
ìîäåëèðîâàíèÿ ïîïóëÿöèé è äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåì âíóòðåííèõ îðãàíîâ (ñèñòåìà
êðîâåíîñíûõ ñîñóäîâ). Ïîâûøåííûé èíòåðåñ âûçûâàþò çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ ïîëåé â îáúåêòàõ ôðàêòàëüíîé ïðèðîäû.
Îïðåäåëåíèå ôðàêòàëà, äàííîå Ìàíäåëüáðîòîì, çâó÷èò òàê: «Ôðàêòàëîì íà-
çûâàåòñÿ ñòðóêòóðà, ñîñòîÿùàÿ èç ÷àñòåé, êîòîðûå â êàêîì-òî ñìûñëå ïîäîáíû
öåëîìó» [1]. Íàèáîëåå íàãëÿäíûìè ÿâëÿþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèå ôðàêòàëû [2, 3].
Èìåííî ñ íèõ è íà÷èíàëàñü èñòîðèÿ ôðàêòàëîâ. Ïåðâûå èäåè ôðàêòàëüíîé ãåî-
ìåòðèè âîçíèêëè â XIX âåêå, êîãäà Êàíòîð ñ ïîìîùüþ ïðîñòîé ðåêóðñèâíîé ïðî-
öåäóðû ïðåâðàòèë ëèíèþ â íàáîð íåñâÿçàííûõ òî÷åê (òàê íàçûâàåìàÿ ïûëü Êàí-
òîðà, èëè ìíîæåñòâî Êàíòîðà). Îí áðàë îòðåçîê, óäàëÿë öåíòðàëüíóþ òðåòü, à ïî-
ñëå ýòîãî ïîâòîðÿë òî æå ñàìîå ñ îñòàâøèìèñÿ îòðåçêàìè. Ïåàíî íàðèñîâàë
îñîáûé âèä ëèíèè. Íà ïåðâîì øàãå îí áðàë îòðåçîê è çàìåíÿë åãî íà äåâÿòü îò-
ðåçêîâ, äëèíîé â òðè ðàçà ìåíüøåé, ÷åì äëèíà èñõîäíîãî îòðåçêà. Çàòåì äåëàë òî
æå ñàìîå ñ êàæäûì îòðåçêîì ïîëó÷èâøåéñÿ ëèíèè. Êðèâàÿ Ïåàíî è ïûëü Êàíòî-
ðà âûõîäèëè çà ðàìêè îáû÷íûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Îíè íå èìåëè ÷åòêîé
ðàçìåðíîñòè. Ïûëü Êàíòîðà ñòðîèëàñü íà îñíîâàíèè îäíîìåðíîé ïðÿìîé, íî ñî-
ñòîÿëà èç òî÷åê (ðàçìåðíîñòü 0), à êðèâàÿ Ïåàíî ñòðîèëàñü íà îñíîâàíèè îäíî-
ìåðíîé ëèíèè, à â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àëàñü ïëîñêîñòü. Äëÿ ñàìîïîäîáíûõ ìíî-
æåñòâ ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ìíîæåñ-
òâî ðàçáèâàåòñÿ íà n ÷àñòåé, ïîäîáíûõ èñõîäíîìó ìíîæåñòâó ñ êîýôôèöèåíòàìè
r r r rn1 2 3, , � �� , òî åãî ðàçìåðíîñòü S ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
r r r rS S S
n
S
1 2 3
1� � � � �� . Íàïðèìåð, ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà ìíîæåñòâà
Êàíòîðà ðàâíà ln / ln2 3 (ðàçáèâàåòñÿ íà äâå ÷àñòè, êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ 1/3),
à ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà òðåóãîëüíèêà Ñåðïèíñêîãî — ln / ln3 2 (ðàçáèâàåòñÿ íà
òðè ÷àñòè, êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ 1/2).
Âî âñåõ äåòåðìèíèðîâàííûõ ôðàêòàëàõ ñàìîïîäîáèå ïðîÿâëÿåòñÿ íà âñåõ
óðîâíÿõ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåçàâèñèìî îò òîãî, íàñêîëüêî îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðèáëè-
æåíèå ê ôðàêòàëó, âèäåí âñå òîò æå óçîð. Äåòåðìèíèðîâàííûå ôðàêòàëû íåïîñ-
ðåäñòâåííî ñîñòàâëÿþòñÿ èç ñâîèõ ìàëûõ êîïèé. Îáû÷íî èòåðèðóþò äåòåðìèíè-
ðîâàííûå ôðàêòàëû 5–7 ðàç, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷åòêîå èçîáðàæåíèå. Îäíàêî
Â.Ë. Ðâà÷åâ â ñâîèõ ðàáîòàõ (íàïðèìåð, â [4]) èñêëþ÷èë èç ðàññìîòðåíèÿ òàêèå
«ãåîìåòðè÷åñêèå ìîíñòðû, êàê Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî, êîâåð Ñåðïèíñêîãî» è äðó-
ãèå îáúåêòû ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèè. Â [5] ïðåäïðèíÿòû ïîïûòêè ïîñòðîåíèÿ
÷àñòíûõ ñëó÷àåâ óðàâíåíèé ãðàíèö íåêîòîðûõ îáúåêòîâ.  äàííîé ðàáîòå íà
îñíîâå íîâûõ êîíñòðóêòèâíûõ ñðåäñòâ òåîðèè R -ôóíêöèé [6] ðàçðàáîòàíû ìåòî-
äèêè è ïîñòðîåíû óðàâíåíèÿ ðÿäà îáúåêòîâ ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèè.
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÎÁÚÅÊÒÎÂ ÔÐÀÊÒÀËÜÍÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ
Îäíèì èç ñâîéñòâ ôðàêòàëîâ ÿâëÿåòñÿ ñàìîïîäîáèå. Âîçüìåì, íàïðèìåð, òðå-
óãîëüíèê (èëè ñàëôåòêó) Ñåðïèíñêîãî. Äëÿ åãî ïîñòðîåíèÿ èç öåíòðà ðàâíîñòî-
ðîííåãî òðåóãîëüíèêà «âûðåæåì» òðåóãîëüíèê. Ïîâòîðèì ýòó ïðîöåäóðó äëÿ
òðåõ îáðàçîâàâøèõñÿ òðåóãîëüíèêîâ (çà èñêëþ÷åíèåì öåíòðàëüíîãî) è òàê äî
áåñêîíå÷íîñòè. Åñëè òåïåðü âîçüìåì ëþáîé èç îáðàçîâàâøèõñÿ òðåóãîëüíèêîâ è
óâåëè÷èì åãî, ïîëó÷èì òî÷íóþ êîïèþ öåëîãî.  äàííîì ñëó÷àå ìû îïåðèðóåì
ïîëíûì ñàìîïîäîáèåì. Çàïèøåì óðàâíåíèå ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà â âèäå
�
�
0
2 2 2
3
3
2
0( , ) cos sinx y x y R� � � �
�
�
�
�
�
�
� � �arcsin , èëè � 0 1 0( , )x y x R� � � � ,
156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
ãäå x r y r1 1� �cos ; sin� �; � �
�
( ) sin�
�
�
�
�
2
3
3
2
arcsin ; r x y� �2 2 ; � � arctg
y
x
;
R — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Òîãäà � �1 0 1 12 2 2 0( , ) ( ( ), ) /x y x R y� � � �
è ñîîòâåòñòâåííî � �k kx y x R y( , ) ( ( ), ) /� � ��1 1 12 2 2 0 ( , , ... )k � 2 3 . Íà ðèñ. 1
ïîñòðîåíû ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè � k x y( , ) � 0 , çàäàþùåé ñàëôåòêó Ñåðïèí-
ñêîãî äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k .
Ïîñòðîèì óðàâíåíèå ôðàêòàëüíîé îáëàñòè — êîâåð Ñåðïèíñêîãî. Äëÿ ýòîãî
èñõîäíûé ïðÿìîóãîëüíèê ðàçîáúåì íà äåâÿòü ðàâíîâåëèêèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, èç
êîòîðûõ èñêëþ÷àåòñÿ öåíòðàëüíûé. Îñòàâøèåñÿ ïðÿìîóãîëüíèêè ïîäâåðãàþòñÿ
òîé æå ïðîöåäóðå è ò.ä. Ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà ïîñòðîåííîé îáëàñòè
ln
ln
,
8
3
189� .
Åñëè f
a x
a
f
b y
b
1
2 2
2
2 2
2
0
2
0�
�
� �
�
�, , òî � 0 1 0 2 0�
�f f — ïðåäôðàêòàë íó-
ëåâîãî óðîâíÿ. Ïîñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì ñàìî-
ïîäîáèÿ:
�
�
1
0 3 3
3
0( , )
( , )
x y
x y
� � , �
� � �
k
k hx hy
x y k( , )
( , )
... ( , , ... )� � ��1 3 3
3
0 2 3 ,
ãäå �
�
�
�
�
�
hx
x
x
hy
y
y
h x
h
h y
h
�
�
�
��
�� �
�
arcsin arcsinsin , sin
�
�
�
�
�
, h
a
h
b
x y� �
2
3
2
3
, . Òîãäà
K x y x y x y x y x yk� � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )�
�0 0 1 0 2 0 0 0� . Íà ðèñ. 2 ïî-
ñòðîåíû ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè K x y
k� ( , ) � 0, çàäàþùåé êîâåð Ñåðïèíñêîãî
äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k.
Òèïè÷íûì äåòåðìèíèðîâàííûì ôðàêòàëîì ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ Êîõà. Ïðîöåññ
åå ïîñòðîåíèÿ âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: áåðåì åäèíè÷íûé îòðåçîê, ðàçäå-
ëÿåì íà òðè ðàâíûå ÷àñòè è çàìåíÿåì ñðåäíèé èíòåðâàë ðàâíîñòîðîííèì òðåó-
ãîëüíèêîì áåç ýòîãî ñåãìåíòà. Â ðåçóëüòàòå îáðàçóåòñÿ ëîìàíàÿ, ñîñòîÿùàÿ èç
÷åòûðåõ çâåíüåâ äëèíû 1/3. Íà ñëåäóþùåì øàãå ïîâòîðÿåì îïåðàöèþ äëÿ êàæäî-
ãî èç ÷åòûðåõ ïîëó÷èâøèõñÿ çâåíüåâ. Ïðåäåëüíàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ êðèâîé Êîõà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 157
Ðèñ. 1. Ñàëôåòêà Ñåðïèíñêîãî äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k
k � 0 k � 1 k � 2
k � 5k � 4k � 3
Ýòà êðèâàÿ áûëà îïèñàíà â 1904 ã. øâåäñêèì ìàòåìàòèêîì Õåëüãå ôîí Êîõîì,
êîòîðûé, èçó÷àÿ ðàáîòû Ê. Âåéåðøòðàññà è Ã. Êàíòîðà, íàòîëêíóëñÿ íà îïèñàíèå
íåêîòîðûõ ñòðàííûõ êðèâûõ ñ íåîáû÷íûì ïîâåäåíèåì. Êðèâàÿ Êîõà ïðèìå÷à-
òåëüíà òåì, ÷òî íèãäå íå èìååò êàñàòåëüíîé, ò.å. íèãäå íåäèôôåðåíöèðóåìà, õîòÿ
âñþäó íåïðåðûâíà. Òàêèå «óùåðáíûå» ôóíêöèè áûëè ïîñòðîåíû Âåéåðøòðàñ-
ñîì ëèøü äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü ñâîèì ñêåïòè÷åñêè íàñòðîåííûì êîëëåãàì
(â òîì ÷èñëå Ýðìèòó), ÷òî òàêèå ôóíêöèè (íåïðåðûâíûå è íåäèôôåðåíöèðóåìûå)
äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþò. Îäíàêî äðóãèå ìàòåìàòèêè ñî÷ëè èõ ïåðñïåêòèâíû-
ìè. Íàïðèìåð, Áîëüöìàí â 1898 ã. ïèñàë, ÷òî íåäèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè
ìîãëè áûòü èçîáðåòåíû ôèçèêàìè, òàê êàê â ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå èìåþòñÿ
ïðîáëåìû, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ «íåäèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè àáñîëþòíî íå-
îáõîäèìû». Æ. Ïåððåí ïîøåë åùå äàëüøå: â 1906 ã. îí, ïðåäâîñõèùàÿ îòíîøå-
íèå ê òàêîãî ðîäà ìàòåìàòè÷åñêèì ìîíñòðàì, çàÿâèë, ÷òî êðèâûå, íå èìåþùèå
êàñàòåëüíûõ, ÿâëÿþòñÿ îáùèì ïðàâèëîì, à ãëàäêèå êðèâûå — èíòåðåñíûì, íî
âåñüìà ÷àñòíûì ñëó÷àåì.
Êðèâàÿ Êîõà íå ñïðÿìëÿåìà, íå èìååò ñàìîïåðåñå÷åíèé. Îíà èìååò ôðàê-
òàëüíóþ ðàçìåðíîñòü — ln / ln .4 3 126� , ïîñêîëüêó ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ðàâíûõ
÷àñòåé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïîäîáíà âñåé êðèâîé ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ 1/3.
Âûïîëíèì ïîñòðîåíèå íà èíòåðâàëå � � �3 3a x a . Òîãäà:
� 0 0� � �y ; � �1 0 0 1 0 2 0� �
�( )f f ;
f x y a f x y a1 2
1
2
3 3 0
1
2
3 3 0� � � � � � � � �( ) ; ( ) ;
� �21 1 3 2 3 0� � �( ( ), )x a y ;
� �22 1 3
2
2
3
2
3
2
3 2
3
2
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
x a
y
a
x a
/
, ( / ) y
a
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
2
1
2
0 ;
� � � � �2 21 0 22 0 21 0 22 0� �
� � � �( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))x y x y x y x y ;
� �k k x a y1 1 3 2 3 0� � �� ( ( ), ) ;
158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
Ðèñ. 2. Êîâåð Ñåðïèíñêîãî äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k
k � 0 k � 1 k � 2
k � 4k � 4k � 3
� �k k
x a
y
a
x a2 1 3
2
2
3
2
3
2
3 2
3
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
/
, ( / )
2
3
2
1
2
0� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�y
a
;
� � � � �k k k k kx y x y x y x y� �
� � � �( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) (1 0 2 0 1 0 2 0 k � 3 4, , ... ) .
Íà ðèñ. 3 ïðèâåäåíû ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè � k x y( , ) � 0, çàäàþùåé êðèâóþ
Êîõà äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k.
Òðè êîïèè êðèâîé Êîõà, ïîñòðîåííûå (îñòðèÿìè íàðóæó) íà ñòîðîíàõ ïðà-
âèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, îáðàçóþò çàìêíóòóþ êðèâóþ, íàçûâàåìóþ ñíåæèíêîé
Êîõà. Ñíåæèíêà Êîõà, èëè òðèàäà Êîõà ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ êðè-
âîé ïîáåðåæüÿ, ñ êîòîðîé ðàáîòàë Ðè÷àðäñîí. Ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà ñíåæèíêè
Êîõà ñîñòàâëÿåò ln / ln .4 3 126� (ïðè óâåëè÷åíèè ñíåæèíêè â òðè ðàçà åå äëèíà
âîçðàñòàåò â ÷åòûðå ðàçà), ò.å. îíà áîëüøå òîïîëîãè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè ëèíèè
(ðàâíîé åäèíèöå), íî ìåíüøå åâêëèäîâîé ðàçìåðíîñòè ïëîñêîñòè, íà êîòîðîé îíà
ðàñïîëîæåíà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñíåæèíêà Êîõà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíèþ
áåñêîíå÷íîé äëèíû, îãðàíè÷èâàþùóþ êîíå÷íóþ ïëîùàäü. Èòàëüÿíñêèé ìàòåìà-
òèê Ý. ×åçàðî, óäèâëåííûé âíóòðåííåé áåñêîíå÷íîñòüþ è ñàìîïîäîáèåì ñíå-
æèíêè Êîõà, â 1905 ã. ïèñàë : «Åñëè áû îíà áûëà îäàðåíà æèçíüþ, òî ìîæíî
áûëî áû ëèøèòü åå æèçíè, òîëüêî óíè÷òîæèâ êðèâóþ â öåëîì. Â ïðîòèâíîì ñëó-
÷àå îíà áû âîçðîæäàëàñü ñíîâà è ñíîâà èç ãëóáèíû ñâîèõ òðåóãîëüíèêîâ, êàê ýòî
äåëàåò æèçíü âî Âñåëåííîé». Çíàÿ óðàâíåíèå êðèâîé Êîõà � k x y( , ) � 0 , ìîæíî ïî-
ñòðîèòü óðàâíåíèå ñíåæèíêè Êîõà (ðèñ. 4), âûïîëíèâ ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ:
� � � �S r r Rk k� � �( sin , cos ) 0 , (1)
ãäå � �
�
( ) sinn
n
n
�
�
�
�
�
2
2
arcsin , r x y� �2 2 , � � arctg
y
x
, R — ðàäèóñ îêðóæíîñ-
òè, âïèñàííîé â ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé îòðåçêó, íà êîòî-
ðîì ñòðîèòñÿ êðèâàÿ Êîõà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 159
Ðèñ. 4. Ñíåæèíêà Êîõà íà ñòîðîíàõ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k
k � 3k � 2k � 1 k � 4
Ðèñ. 3. Êðèâàÿ Êîõà äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k
k � 2k � 1k � 0
k � 3 k � 4 k � 4
Ïîëüçóÿñü äàííîé ìåòîäèêîé, ìîæíî ñòðîèòü ôðàêòàëüíûå ñíåæèíêè íà ñòîðî-
íàõ ðàçëè÷íûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, íàïðèìåð íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà (ðèñ. 5).
Ìîæíî ïîñòðîèòü êðåñò Êîõà íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà, ïðîâîäÿ ïîñòðîåíèå
âíóòðü êâàäðàòà. Äëÿ ýòîãî âûïîëíèì ïîñòðîåíèå êðèâîé Êîõà, çàìåíÿÿ ñðåäíèé
èíòåðâàë ðàâíîñòîðîííèì òðåóãîëüíèêîì, îðèåíòèðîâàííûì âíèç, áåç ýòîãî ñåã-
ìåíòà. Ïîâòîðÿåì îïåðàöèþ äëÿ êàæäîãî èç ÷åòûðåõ ïîëó÷èâøèõñÿ çâåíüåâ è ò.ä.
Ìåòîä R-ôóíêöèé ïîçâîëÿåò ëåãêî ïîëó÷èòü òàêóþ êðèâóþ, âçÿâ îòðèöàíèå
ôóíêöèè, ïîñòðîåííîé ðàíåå (ðèñ. 6).
Çíàÿ óðàâíåíèå ïåðåîðèåíòèðîâàííîé êðèâîé Êîõà, ìîæíî ïîñòðîèòü óðàâ-
íåíèå êðåñòà Êîõà (ðèñ. 7), âûïîëíèâ ïðåîáðàçîâàíèÿ, àíàëîãè÷íûå (1).
Ðàññìîòðèì ôðàêòàë Ëåâè, ïðåäëîæåííûé ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ï. Ëå-
âè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ áåðåì ðàâíîáåäðåííûé ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê (ðèñ. 8,
k �1), à çàòåì êàæäûé êàòåò çàìåíÿåì ïîäîáíûì òðåóãîëüíèêîì (ðèñ. 8, k � 2).
Ïîâòîðÿÿ ýòó îïåðàöèþ, â ïðåäåëå ïîëó÷èì ôðàêòàë Ëåâè. Âûïîëíèì ïîñòðîå-
íèå íà èíòåðâàëå � � �3 3a x a :
�1 0 03 3 0( , ) (( ) ( ))x y y x y a x y a�
� �
� � � � ,
� �k kx y x y a x y a1 1 15 15 0( , ) ( . , . )� � � � � � �� ;
� �k kx y x y2 1 0( , ) ( , )� � � ,
� � �k k kx y x y x y( , ) ( , ) ( , )� � �1 0 2 0 ( , , , ... )k � 2 3 4 .
160 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
Ðèñ. 7. Êðåñò Êîõà íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k
k � 2 k � 3 k � 4
Ðèñ. 6. Êàðòèíû ëèíèé óðîâíÿ ôóíêöèè �k x y( , ) � 0 , çàäàþùåé ïåðåîðèåíòèðîâàííóþ êðèâóþ
Êîõà äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k
k � 3k � 2k � 1 k � 4
Ðèñ. 5. Ñíåæèíêà Êîõà íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k
k � 3k � 2k � 1 k � 4
Ïèôàãîð, äîêàçûâàÿ ñâîþ çíàìåíèòóþ òåîðåìó, ïîñòðîèë ôèãóðó, ãäå íà
ñòîðîíàõ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàñïîëîæåíû êâàäðàòû. Â íàø âåê ýòà
ôèãóðà Ïèôàãîðà âûðîñëà â öåëîå äåðåâî. Âïåðâûå äåðåâî Ïèôàãîðà ïîñòðîèë
À.Å. Áîñìàí âî âðåìÿ Âòîðîé ìèðîâîé âîéíû, èñïîëüçóÿ îáû÷íóþ ÷åðòåæíóþ
ëèíåéêó. Îäíèì èç ñâîéñòâ äåðåâà Ïèôàãîðà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî åñëè ïëîùàäü ïåð-
âîãî êâàäðàòà ðàâíà åäèíèöå, òî íà êàæäîì óðîâíå ñóììà ïëîùàäåé êâàäðàòîâ
òîæå áóäåò ðàâíà åäèíèöå.
Ïóñòü íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ â öåíòðå êâàäðàòà, ïîñòðîåííîãî íà ãè-
ïîòåíóçå. Òîãäà óðàâíåíèå ýòîãî êâàäðàòà � 0
2 2
0
2 2
2 2
0�
�
�
�
a x
a
a y
a
. Óðàâíå-
íèå êâàäðàòà, ïîñòðîåííîãî íà ïðàâîì êàòåòå, èìååò âèä
�p
a x
a
a y
a
1
2
1
2
0
2
1
205
2
05
2
0�
�
�
�
. .
,
ãäå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåíîñ íà÷àëà êîîðäèíàò è ïîâîðîò íà óãîë � / 4 çàìåíîé
x x a y a1
2
2
2� � � �(( ) ( )) , y x a y a1
2
2
2� � � � �( ( ) ( )) .
Óðàâíåíèå êâàäðàòà, ïîñòðîåííîãî íà ëåâîì êàòåòå, áóäåò èìåòü âèä �l x y1 ( , ) �
� � ��p x y1 0( , ) . Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå îñíîâíîãî ýëåìåíòà äåðåâà Ïèôà-
ãîðà (ðèñ. 9, k �1) ìîæíî çàïèñàòü � � � �1 0 0 1 0 1 0( , ) ( )x y p l� � � � . Òîãäà
èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ äåðåâà Ïèôàãîðà (ðèñ. 9) çàïèøåì òàê:
� �k kx y x a y a� �� � � �1 1 1 2 15 2 35 0, ( , ) ( ( . ), ( . )) ,
� �k kx y y a a x a a� �� � � � � � �1 2 1 2 2 2 2 2 2 0, ( , ) ( ( / ), ( / )) ,
�
� �
p x y
x y x y
k
k
k
k
k
( , )
( , ) ( , ), ,� � ��
�
�
�
1 1
1 0
1 2
12 2
0 , � �l x y p x yk k( , ) ( , )� � � 0 ,
� � � �k k k kx y p l( , ) ( )� � � ��1 0 0 0 , k � 2 3, , ...
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 161
Ðèñ. 8. Ôðàêòàë Ëåâè äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k
k � 3k � 2k � 1 k � 4
k � 8k � 5 k � 6 k � 7
Ðèñ. 9. Äåðåâî Ïèôàãîðà äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k
k � 3k � 2k � 1 k � 4
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò òåîðèè R-ôóíêöèé îêàçàëñÿ âåñüìà óäîáíûì äëÿ
îïèñàíèÿ îáúåêòîâ ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèè ôóíêöèÿìè �( ) ,x x E n� �0 (èëè
íåðàâåíñòâàìè �( )x � 0), ãäå �( )x èìååò âèä åäèíîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæå-
íèÿ. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçîâàëèñü ñëåäóþùèå êîíñòðóêòèâíûå ñðåäñòâà:
� R-îïåðàöèè ñèñòåìû { }R
x y x y x y
x y x y x y
x x
0
0
2 2
0
2 2�
�
�
�
�
�
� � � �
� � � � �
� �
,
,
;
� ñóïåðïîçèöèè ôóíêöèè � � �( , )hx hy ñ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè
�
�
�
�
�
�
hx
x
x
hy
y
y
h x
h
h y
h
�
�
�
��
�� �
�
arcsin arcsinsin , sin
�
�
�
�
�
, ïîçâîëÿþùèå òðàíñëèðîâàòü
çàäàííóþ ôóíêöèþ �( , )x y âäîëü îñåé ñ øàãîì hx è h y;
� ñóïåðïîçèöèè ôóíêöèè �( , )x R y1 1� , ãäå x r1 � cos � ; y r1 � sin � ;
� �
�
( ) sin�
�
�
�
�
2
2n
n
arcsin ; r x y� �2 2 , � � arctg
y
x
, ïîçâîëÿþùèå òðàíñëèðîâàòü
çàäàííóþ ôóíêöèþ �( , )x y âäîëü îêðóæíîñòè ðàäèóñà R n ðàç;
� ñâîéñòâî ïîäîáèÿ ôèãóð, îïèñàííûõ óðàâíåíèÿìè �( , )x y � 0 è
1
0
K
K x K y�( , ) � , ãäå K — êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåíû îñíîâíûå ïîäõîäû ê ïîñòðîåíèþ ñ ïî-
ìîùüþ òåîðèè R-ôóíêöèé óðàâíåíèé îáúåêòîâ ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèâå-
äåíû íàèáîëåå èçâåñòíûå èç íèõ. Ðàçðàáîòàííûå ìåòîäû ïîçâîëèëè òàêæå ïî-
ñòðîèòü ôðàêòàë Ìàíäåëüáðîòà, ôðàêòàë «êîðîáêà», ãóáêó Ìåíãåðà â 3D è äð.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ì à í ä å ë ü á ð î ò Á . Ôðàêòàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ ïðèðîäû. — Ì.: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâà-
íèé, 2002. — 666 ñ.
2. Ï à é ò ã å í Õ . - Î . , Ð è õ ò å ð Ï . Õ . Êðàñîòà ôðàêòàëîâ. — Ì.: Ìèð, 1993. — 206 ñ.
3. Ô å ä å ð Å . Ôðàêòàëû. — Ì.: Ìèð, 1991. — 254 ñ.
4. Ð â à ÷ å â Â . Ë . Òåîðèÿ R -ôóíêöèé è íåêîòîðûå åå ïðèëîæåíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. — 552 ñ.
5. Ê ð à â ÷ å í ê î  . Ô . , Á à ñ à ð à á Ì . À . Áóëåâà àëãåáðà è ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè â êðàåâûõ çàäà÷àõ
ýëåêòðîäèíàìèêè. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004. — 308 c.
6. Ì à ê ñ è ì å í ê î - Ø å é ê î Ê .  . R -ôóíêöèè â ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ãåîìåòðè÷åñêèõ
îáúåêòîâ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîëåé. — Õàðüêîâ: ÈÏÌàø ÍÀÍ Óêðàèíû, 2009. — 306 ñ.
Ïîñòóïèëà 16.06.2010
Ïîñëå äîðàáîòêè 18.10.2011
162 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84135 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:06:23Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Максименко-Шейко, К.В. Шейко, Т.И. 2015-07-03T09:28:12Z 2015-07-03T09:28:12Z 2012 Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций / К.В. Максименко-Шейко, Т.И. Шейко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 155-162. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84135 532.5+536.24 На базі нових конструктивних засобів теорії R-функцій запропоновано нові підходи до побудови рівнянь об’єктів фрактальної геометрії і наведено рівняння деяких, найвідоміших з них: крива, сніжинка та хрест Коха, килим Серпинського, фрактал Леві, дерево Піфагора. The main approaches to constructing the equations for objects of fractal geometry are proposed based on the new constructive means of the R-functions theory. The equations of the most well-known of them are observed: the Koch curve, snowflake, and cross, the Serpinski carpet, the Levy fractal, and the Pythagoras tree. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Программно-технические комплексы Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций Математичне моделювання геометричних фракталів за допомогою R-функцій Mathematical modeling of geometric fractals with the use of R-functions Article published earlier |
| spellingShingle | Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций Максименко-Шейко, К.В. Шейко, Т.И. Программно-технические комплексы |
| title | Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций |
| title_alt | Математичне моделювання геометричних фракталів за допомогою R-функцій Mathematical modeling of geometric fractals with the use of R-functions |
| title_full | Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций |
| title_fullStr | Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций |
| title_full_unstemmed | Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций |
| title_short | Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций |
| title_sort | математическое моделирование геометрических фракталов с помощью r-функций |
| topic | Программно-технические комплексы |
| topic_facet | Программно-технические комплексы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84135 |
| work_keys_str_mv | AT maksimenkošeikokv matematičeskoemodelirovaniegeometričeskihfraktalovspomoŝʹûrfunkcii AT šeikoti matematičeskoemodelirovaniegeometričeskihfraktalovspomoŝʹûrfunkcii AT maksimenkošeikokv matematičnemodelûvannâgeometričnihfraktalívzadopomogoûrfunkcíi AT šeikoti matematičnemodelûvannâgeometričnihfraktalívzadopomogoûrfunkcíi AT maksimenkošeikokv mathematicalmodelingofgeometricfractalswiththeuseofrfunctions AT šeikoti mathematicalmodelingofgeometricfractalswiththeuseofrfunctions |