Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц
Побудовано системи лінійних алгебраїчних рівнянь, які дозволяють розв’язувати за скінченне число арифметичних дій зворотні лінійні задачі дифузії. Їх розв’язання можливе за допомогою псевдообернення. Systems of linear algebraic equations that allow solving inverse linear diffusion problems in a fini...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84143 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 49-70. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859638541079805952 |
|---|---|
| author | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 49-70. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Побудовано системи лінійних алгебраїчних рівнянь, які дозволяють розв’язувати за скінченне число арифметичних дій зворотні лінійні задачі дифузії. Їх розв’язання можливе за допомогою псевдообернення.
Systems of linear algebraic equations that allow solving inverse linear diffusion problems in a finite number of arithmetic operations are derived. They can be solved by using pseudoinversion.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:18:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ
ÓÄÊ 536.24 ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ
ÎÁÐÀÒÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÎÉ
ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈ Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ
ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: îáðàòíûå çàäà÷è, ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû, íîðìàëüíûå
ïñåâäîðåøåíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðàáîòàõ [1–3] ðàññìàòðèâàëèñü âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ ÿâíûõ âûðàæåíèé ãðà-
äèåíòîâ ôóíêöèîíàëîâ íåâÿçîê äëÿ èäåíòèôèêàöèè ãðàäèåíòíûìè ìåòîäàìè
[7] ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. Îñíî-
âîé èõ ïîñòðîåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòû òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñî-
ñòîÿíèÿìè ðàçëè÷íûõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì [4–6].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû èñïîëüçîâàíèÿ ïñåâäîîáðàò-
íûõ ìàòðèö äëÿ èäåíòèôèêàöèè çà êîíå÷íîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íå-
êîòîðûõ ïàðàìåòðîâ íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè ìíîãîêîìïîíåíòíûõ òåë.
1. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÒÅÏËÎÂÎÃÎ ÏÎÒÎÊÀ
ÍÀ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ ÏËÀÑÒÈÍÛ
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âîññòàíîâëåíèÿ ïëîòíîñòè òåïëîâîãî ïîòîêà u t( ) íà âíåø-
íåé ñòîðîíå ïëàñòèíû òîëùèíîé b ñ èçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì òåìïåðàòóðû
íà ïðîòèâîïîëîæíîé åå ñòîðîíå è çàäàííîì íà íåé óñëîâèè Ôóðüå.
Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
f x t( )
~
( , ) , ( , )x t T�� ,
�
�
�
k
y
x
y� � , x � 0 , t T�( , )0 ,
(1)
k
y
x
u t
�
�
� ( ) , x b� , t T�( , )0 ,
y x y x( , ) ( )0 0� , x �� ,
ãäå � �T T� � ( , )0 , � � ( , )0 b .
 òî÷êå x � 0 ïðè t T�( , )0 èçâåñòíà òåìïåðàòóðà
y t f t( , )
~
( )0 0� . (2)
Çàäà÷à (1), (2) ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ôóíêöèè u u t C T� �( ) ([ , ])0 , ïðè êîòî-
ðîé ðåøåíèå y y u y u x t� �( ) ( ; , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1) óäîâëåòâîðÿåò
ðàâåíñòâó (2).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 49
© È.Â. Ñåðãèåíêî, Â.Ñ. Äåéíåêà, 2012
Ïóñòü y y x t� ( ; , )0 — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1) ïðè u � 0 . Òîãäà
äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè u�� íà îñíîâàíèè (1), (2) ïîëó÷àåì
îáðàòíóþ çàäà÷ó: ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
( ) , ( , )x t T�� ,
�
�
�
k
y
x
y� , x � 0 , t T�( , )0 , (3)
k
y
x
u t
�
�
� ( ) , x b� , t T�( , )0 ,
y x( , )0 0� , x �� ;
ðåøåíèå çàäà÷è äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó
y t f t( , ) ( )0 0� , t T�( , )0 , (4)
ãäå f f y t0 0 0 0�
~
( ; , ) .
Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (3) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå êàê
ôóíêöèþ y u x t W T( ; , ) ( , )� 0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y z l u z, ( , ) ( ; ) , t T�( , )0 , (5)
( ( , ), )y x z0 0� , x �� , (6)
ãäå V W0 2
1� ( )� — ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé Ñîáîëåâà,
W T v L T V( , ) ( , ; ):0 02� ��
�
�
�
�
� �
�
�
v
t
L T L2
20( , ; ( ))� ,
V v x t� { ( , ): v W�
2
1 ( )� � �t T( , )}0 ,
a y z k
y
x
z
x
dx
b
( , ) �
�
�
�
�
�
0
� y t z( , ) ( )0 0 , l u z u z b( ; ) ( )� , ( , )� � ��� � dx
�
.
Òåîðåìà 1. Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� ðåøåíèå
y y u x t W T� �( ; , ) ( , )0 çàäà÷è (5), (6) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû óñòàíàâëèâàåòñÿ, ñëåäóÿ [8]. Òàêèì îáðàçîì, èìåÿ
ðåøåíèå çàäà÷è (5), (6) êàê ôóíêöèþ y y u x t� ( ; , ) ïàðàìåòðà u u t� ( ) , íà îñíîâà-
íèè (4) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
Au f t� 0 ( ) , t T�( , )0 , (7)
ïðè ýòîì Au y u t� ( ; , )0 .
Ïóñòü { ( )}� l l
mt
�1
— ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé èç � , îïðåäå-
ëåííûõ íà âðåìåííîì îòðåçêå [0,Ò]. Èñêîìóþ ôóíêöèþ u t( ) áóäåì íàõîäèòü
â âèäå
u u t u tm l
l
m
l� �
�
�( ) ( )
1
� , um m� �� � , u Rl � , l m�1, . (8)
Ïîñêîëüêó çàäà÷à (5), (6) ëèíåéíàÿ, åå ðåøåíèå y u x tm( ; , ) ïðåäñòàâèìî â âèäå
y u x t u y x t u y x tm l
l
m
l l
l
m
l( ; , ) ( ; , ) ( , )� �
� �
� �
1 1
� , (9)
ãäå y x tl ( , ) — ôóíêöèÿ èç W T( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 51
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y z l zl
l l, ( , ) ( ; )� , t T�( , )0 ,
(10)
( , )( )y zl 0 0� , l m�1, . (11)
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì l êàæäóþ èç çàäà÷ (10), (11) áóäåì ðåøàòü ïðèáëè-
æåííî. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ëèíåéíîå ìíîæåñòâî M Hn0 0� ôóíêöèé v x( ) ñ áà-
çèñîì �� i i
nx( )}
�1
. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî áàçèñà îáðàçóåì ìíîæåñòâî M W Tn1 0� ( , )
ôóíêöèé y x tn ( , ) , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
y (x,t) t xl n i
l
i
i
n
�
�
�� �( ) ( )
1
, (12)
ãäå � i
l C� 1([0, T]) , i n�1, .
Ñ ó÷åòîì (12) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ � � �
�
l l
n
lt t t( ) ( ( ), ..., ( ))� T ïîëó÷à-
åì ñëåäóþùèå çàäà÷è Êîøè:
M t K t f tl l l
� ( ) ( ) ( )� �
� , l m�1, , (13)
� l ( )0 0� , (14)
ãäå M M mij i j
n� �
�
T { }
, 1
, m dxij i j� � � �
�
, K K kij i j
n� �
�
T { }
, 1
, k aij i j� ( )� � ,
f t f tl
i
l
i
n( ) { ( )}�
�1
, f t t bi
l
l i( ) ( ) ( )� � � , i n�1, .
Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèÿ � l t( ) , l m�1, , çàäà÷ (13), (14) ñóùåñòâóþò è åäèí-
ñòâåííû. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå y u x t y x tn m n
m( ; , ) ( , )� çàäà÷è
(5), (6) ïðè u um� ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
y x t y u x t u y x tn
m
n m l
l
l
m
( , ) ( ; , ) ( , )� �
�
�
1
, (15)
ãäå y x t y x t t xl
ln i
l
i
i
n
( , ) ( , ) ( ) ( )� �
�
�� �
1
. Íà îñíîâàíèè (9), (15) ïîëó÷àåì ïðè-
áëèæåíèå îïåðàòîðà Aum :
Au u y t Au fm l
l
m
l
m� � �
�
�
1
00( , ) , t T�( , )0 . (16)
Òåîðåìà 2. Ïóñòü êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ y x tl ( , ) çàäà÷ (10), (11) ïðèíàäëå-
æàò êëàññó C k
T
1 1, ( )� . Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà
|| || ( , )Au Au chm m L T
k
�
2 0 , (17)
ãäå c � const , h — íàèáîëüøàÿ èç äëèí âñåõ ýëåìåíòàðíûõ îòðåçêîâ [ , ]x xi i
1 ,
i N�
0 1, , ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [ , ]0 b , � i i
nx( )
�1
— áàçèñ êîíå÷íîýëåìåíòíîãî
ïðîñòðàíñòâà H
k
N
0
ôóíêöèé v x C b
k
N ( ) ([ , ])� 0 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè
k-é ñòåïåíè ïåðåìåííîé x íà êàæäîì êîíå÷íîì ýëåìåíòå [ , ]x xi i
1 .
Ðåøèâ çàäà÷è Êîøè (13), (14) îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïîëó÷èì äèñ-
êðåòíîå ïðèáëèæåíèå A uj
m , j M�1, , îïåðàòîðà Au tm j( ) (Ì
1 — êîëè÷åñòâî
òî÷åê t j äèñêðåòèçàöèè îòðåçêà [ , ]0 T ),
A u u y t uj
m i
lj
i
N
i
l
m
l
l
l
m
j l� �
�� �
�� �� �
11 1
0 0( ) ( , ) . (18)
Ó÷èòûâàÿ (4), (18), ïîëó÷àåì
y t u f tl
l
m
j l j
�
� �
1
00( , ) ( ) , j M�1, , (19)
èëè
Av f� , (20)
ãäå A M m� �
� — ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, A aij i j
M m�
� �
{ }
,
,
1 1
, a y tij
j
i� ( , )0 ,
f f i
i
M�
�
{ }
1
, f f ti
i� 0 ( ) , t Ti �( , ]0 , t TM � , v u
l l
m�
�
{ }
1
.
Èçâåñòíî, ÷òî ïðè M m� è det A � 0 êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå v çàäà÷è (20) ñó-
ùåñòâóåò è åäèíñòâåííî; v A f�
1 . Åñëè det A � 0 èëè M m� , òî çàäà÷à (20) ìî-
æåò íå èìåòü êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ. Òîãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ îáîáùåííîå ðåøå-
íèå v (ðåøåíèå â ñìûñëå íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ) êàê âåêòîð, óäîâëåòâîðÿþùèé
ðàâåíñòâó
|| || min || ||Av f A x f
x m
�
��
, (21)
ãäå || ||� — åâêëèäîâà íîðìà.
Èçâåñòíî, ÷òî îáîáùåííûå ðåøåíèÿ è òîëüêî îíè ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèìè
ðåøåíèÿìè âñåãäà ñîâìåñòíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
A Av A f� �� , (22)
ãäå A� — ìàòðèöà, òðàíñïîíèðîâàííàÿ ê À .
Îáîáùåííîå ðåøåíèå v, èìåþùåå íàèìåíüøóþ åâêëèäîâó íîðìó, íàçûâàåòñÿ
íîðìàëüíûì îáîáùåííûì ðåøåíèåì, êîòîðîå âñåãäà ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî [9].
Äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé À ïîëíîãî
ðàíãà r M mA � min { , } ðàçëè÷àþò äâà ñëó÷àÿ: ïðè M m� íåäîîïðåäåëåííàÿ ñèñòå-
ìà (20) ñîâìåñòíà, íî èìååò íå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå; ïðè M m� ïåðåîïðåäå-
ëåííàÿ ñèñòåìà (20) ìîæåò áûòü íåñîâìåñòíîé.
Ñîãëàñíî [10] åäèíñòâåííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ïåðåîïðåäåëåííîé ñèñ-
òåìû (20) ñ ìàòðèöåé À ïîëíîãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì ñèñòåìû (22)
ñ êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé (â ñèëó ðàâåíñòâ ðàíãîâ ìàòðèö A A A, � ) ìàòðè-
öåé A A m m� ��� .
Äëÿ íåäîîïðåäåëåííîé ñèñòåìû (20) ee íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå v0 èç ðå-
øåíèÿ ó ñèñòåìû [10]
A A y f� � (23)
ñ êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé AA M MT � �
� ïîëó÷àåì òàê:
v A y0 � � . (24)
Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (20) ñ ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöåé À íåïîëíîãî ðàíãà èëè
âûðîæäåííîé êâàäðàòíîé ìàòðèöåé À ÷àñòî ïðèìåíÿþò ìåòîäû ñèíãóëÿðíîãî ðàç-
ëîæåíèÿ [11], èñïîëüçóþùèå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû A
[12, 13], ìåòîäû ðåãó-
ëÿðèçàöèè À.Í. Òèõîíîâà, ïðåäëîæåííûå â [14, 15], ìíîãî÷ëåííûå ìåòîäû ðåãóëÿ-
ðèçàöèè è ðåãóëÿðèçîâàííûå èòåðàöèîííûå ïðîöåññû [16], èòåðàöèîííûå ïðîöåñ-
ñû âûñîêèõ ñêîðîñòåé ñõîäèìîñòè [17, 18], ïðÿìûå ìåòîäû, îïèñàííûå â [9].
Ñëåäóÿ [11], ñóùåñòâóþò îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà U M M� �
� , îðòîãîíàëü-
íàÿ ìàòðèöà V m m� �
� è äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà � �
�
M m òàêèå, ÷òî äëÿ ïðÿìî-
óãîëüíîé ìàòðèöû A M m� �
� ðàíãà r èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå
U AV� � , A U V� � , (25)
ãäå r åå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ñòðîãî áîëüøå íóëÿ è èõ ìîæíî ðàñïîëî-
æèòü â íåâîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå, ò.å. � diag [ ,� �1 2 , ... � , ]min{ , }� M m ïðè
r M m� min{ , }, à ïðè r M m� min{ , } � diag [ , , , , ..., ],� � �1 2 0 0� r . Çäåñü
� � �1 2 0! ! ! �� r .
Ïðåäñòàâëåíèå (25) íàçûâàåòñÿ ñèíãóëÿðíûì ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû À . Äèà-
ãîíàëüíûå ýëåìåíòû � l , l r�1, , ÿâëÿþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûìè çíà÷åíèÿìè êâàä-
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
ðàòíûõ êîðíåé èç îáùèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèö AA�, A A� è íàçûâàþòñÿ
ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû À . Ìàòðèöà U ïîëó÷åíà èç M îðòîíîðìèðî-
âàííûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû AA�, ìàòðèöà V — èç m îðòîíîðìèðî-
âàííûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû A A� . Çíàÿ ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå
[9, 11, 19], ïîëó÷èì ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó
A V U
�� , (26)
ïîçâîëÿþùóþ îïðåäåëèòü åäèíñòâåííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå [11]
v A f V U f
�� � (27)
çàäà÷è (20), ãäå �
diag [ , , , ]
min{ , }
� � �
1 2
�
M m
, � �i i
�1/ ïðè � i � 0 , i r�1, ,
è � i
� 0 ïðè � i � 0 , i r M m�
1, , min { , }� .
Äåòàëüíîå ðàññìîòðåíèå âîïðîñîâ ïîñòðîåíèÿ íîðìàëüíûõ îáîáùåííûõ ðå-
øåíèé ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (20) ñ ïðÿìîóãîëüíûìè ìàò-
ðèöàìè è ñ êâàäðàòíûìè âûðîæäåííûìè ìàòðèöàìè íà îñíîâå ñèíãóëÿðíîãî ðàç-
ëîæåíèÿ ïðîâåäåíî, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [11, 19].
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ìàòðèöà À ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå-
íèé (20) åñòü äèñêðåòíîå ïðèáëèæåíèå îïåðàòîðà A, ïîðîæäåííîãî çàäà÷à-
ìè (10), (11) ïðè u u x u tm l l
l
m
� �
�
�( ) ( )�
1
. Ñòîëáöû A l , l m�1, , îïåðàòîðà A îáðà-
çóþò çíà÷åíèÿ y tl ( , )0 ðåøåíèÿ y x tl ( , ) çàäà÷è (10), (11), à ìàòðèöó À îáðàçóþò
âåêòîðû y l, ÿâëÿþùèåñÿ äèñêðåòíûìè ïðèáëèæåíèÿìè ðåøåíèÿ y x tl ( , ) çàäà-
÷è (10), (11) â òî÷êå õ � 0 ïðè t ti� , i M�1, .
 ñèëó òîãî, ÷òî îïåðàòîð À ïîñòðîåí ÷èñëåííî ñ èñïîëüçîâàíèåì áàçèñíûõ
ôóíêöèé ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ (ÌÊÝ) è ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè
(13), (14), îí àïïðîêñèìèðóåò îïåðàòîð A ñ íåêîòîðîé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíî-
ñòüþ EA , à âåêòîð f àïïðîêñèìèðóåò ôóíêöèþ f ñ ïîãðåøíîñòüþ , ò.å. âåêòîð
f ñèñòåìû (20) èìååò îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü E f .
Ñëåäóÿ [19], äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû A M m� �
� ïîëíîãî ðàíãà r A( ) , ò.å.
â ñëó÷àå r A M m( ) min { , }� , îòíîñèòåëüíàÿ íàñëåäñòâåííàÿ ïîãðåøíîñòü íîðìàëü-
íîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ïðè óñëîâèè || || || ||" A A� �
1 äëÿ Ì m� îöåíèâàåòñÿ êàê
|| ||
|| ||
( )
( )
( ( ))
|| ||
|| ||
v v
v
h A
h A E
h A
e
AvA
�
�
�1
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
E EA f , (28)
à äëÿ Ì m� — êàê
|| ||
|| ||
( )( )
( )
v v
v
h A E E
h A E
A f
A
�
2
1
,
ãäå e Au f�
, || || || ||A A A
� " , || || || ||f f f
� " , E
A
A
A �
|| ||
|| ||
"
, E
f
f
f �
|| ||
|| ||
"
,
f — âåêòîð òî÷íûõ çíà÷åíèé çàìåðîâ-íàáëþäåíèé â òî÷êàõ ( , )0 ti , i M�1, ,
h A A A( ) || || || ||� �
.
 ðàáîòàõ [14, 15] ðàññìîòðåí âîïðîñ ïîëó÷åíèÿ íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøå-
íèÿ v
ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (20) ñ äåéñòâèòåëüíîé ïðÿ-
ìîóãîëüíîé èëè âûðîæäåííîé êâàäðàòíîé ìàòðèöåé À íà îñíîâå ðåøåíèÿ
ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
( )A A E v A f� �
�� � , (29)
ãäå � � �const 0 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 53
Âûáîðó ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçàöèè � ïîñâÿùåíî çíà÷èòåëüíîå êîëè÷åñòâî ðà-
áîò.  ìîíîãðàôèè [15] ïðèâåäåíà äîñòàòî÷íî ïîëíàÿ áèáëèîãðàôèÿ ïî äàííîìó
âîïðîñó.  ëèòåðàòóðå îïèñàíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðà ðåãó-
ëÿðèçàöèè.  [15] îòìå÷àåòñÿ, ÷òî âûáîð ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà ðåãóëÿ-
ðèçàöèè ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò òîé èíôîðìàöèè, êîòîðàÿ èìååòñÿ îòíîñèòåëüíî
ïðèáëèæåííûõ èñõîäíûõ äàííûõ.
 [14] ïîêàçàíî, ÷òî || ||v v
��
ïðè || ||A A
� , || ||f f
� , êîãäà èñ-
õîäíàÿ ñèñòåìà Av f� ñ âûðîæäåííîé êâàäðàòíîé ìàòðèöåé A ñîâìåñòíà, à òî÷-
íîñòü èñõîäíûõ äàííûõ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
�
0 ( || || )v è ïàðàìåòð � âû-
áðàí â çàâèñèìîñòè îò
, â èíòåðâàëå
� �
2
0
( )
( )� � , ãäå
( ) è � 0 ( ) —
ôóíêöèè, ñòðåìÿùèåñÿ ê íóëþ ïðè # 0 è
�
2
0
( )
( )� .
Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà íîâûõ ìåòîäàõ íàõîæäåíèÿ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðå-
øåíèé.  ðàáîòå [16] íà îñíîâå ìíîãî÷ëåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ïðåä-
ëîæåíû è èññëåäîâàíû ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è ïðè âû÷èñëåíèè íîðìàëüíûõ
ïñåâäîðåøåíèé äâóõ òèïîâ äëÿ ñèñòåìû (20):
( ) ( )A A E v A A E A fp k
k
p
p k�
�
�
�
�
� 1
1
, p �1 2, , ... , (30)
è
( ) {( ) }A A E v A A E E A f
k k k
k
n
k
n
�
�
� �
�
�
$ $ 2 1
0
1
2 2
0
1
, n �1 2, , ... (31)
Äëÿ ðåøåíèé ýòèõ ñèñòåì ïîëó÷åíû ñîîòâåòñòâåííî îöåíêè áëèçîñòè òî÷íîãî
çíà÷åíèÿ íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ v
è ðåøåíèé óêàçàííûõ âûøå çàäà÷
v vð n , ,è :
|| || ( ) || ||, * *
v v fp
p p
�
� �1 2 , | | | | ( ) | | | |, * *
( )v v fn
n n
�
� �1 2 2 2 , (32)
ãäå � * — ìèíèìàëüíîå íåíóëåâîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû A .
Åñëè ïîëîæèòü â (30) p � 1 , òî ïîëó÷èì ñèñòåìó (29), äëÿ êîòîðîé ñïðà-
âåäëèâà îöåíêà
|| || ( ) || ||, * *
v v f
�
� � � � �1
1 2 1 . (33)
Ñëåäîâàòåëüíî, ðåãóëÿðèçîâàííàÿ çàäà÷à (30) ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ðåãóëÿðè-
çîâàííîé çàäà÷è (29). Ñðàâíåíèå îöåíîê (32) ñ îöåíêîé (33) ïîêàçûâàåò ïðå-
èìóùåñòâî çàäà÷ (30), (31) ïî ñðàâíåíèþ ñ çàäà÷åé (29) ïî òî÷íîñòè ïðèáëè-
æåíèé ðåøåíèé ýòèõ çàäà÷ ê íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (20).
 ðàáîòå [16] íà îñíîâå ðàçëîæåíèé ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòå-
ïåííûå ðÿäû è ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿ-
ìè ñòåïåíåé ïðåäëîæåíû ðåãóëÿðèçîâàííûå èòåðàöèîííûå ïðîöåññû äëÿ âû÷èñëå-
íèÿ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Òàê, íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò-
ðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäëîæåí è èññëåäîâàí èòåðàöèîííûé
ìåòîä ðåãóëÿðèçàöèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé
v A A E A f v v A Ak k
k
, , ,( ) , (0
1
1
2 1
�
�
�
�
�
E v
k
k) ( )
,
2
1
1
, k �1 2, , ... (34)
Ïîëó÷åíà òàêæå îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåñ-
ñà (34) ê íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ v A f
� :
|| || ( ) || ||, * *
( )v v fk
k k
�
� �2 1 2 2 .
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííîãî ìåòîäà ðåãóëÿ-
ðèçàöèè (34) áóäåò âûøå, ÷åì èòåðàöèîííîãî ìåòîäà ðåãóëÿðèçàöèè, ïðåäëîæåí-
íîãî â ìîíîãðàôèè [20].
 [17] êàê íà îñíîâå ðàçëîæåíèé ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòå-
ïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ, òàê è íà îñíîâå äðóãèõ ïîäõîäîâ ïîñòðîåíû èòåðàöèîí-
íûå ïðîöåññû äëÿ âû÷èñëåíèÿ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ðàçëè÷íûìè
ñêîðîñòÿìè ñõîäèìîñòè.
 [18] ïðåäëîæåíû è èññëåäîâàíû èòåðàöèîííûå ïðîöåññû äëÿ âû÷èñëåíèÿ
íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé íà îñíîâå ðàçëîæåíèé ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â
ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè
ñòåïåíåé. Òàê, íà îñíîâå ðàçëîæåíèé ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòå-
ïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäëîæåí è èññëåäîâàí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
v E E A A A f1, [ ( )]� � ��
� � , v v E A A vk k k
k
, , ,( )� � ���
�
1
2
1
1
, k � 2 3, , ...
Ïîêàçàíî, ÷òî ýòîò èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñõîäèòñÿ ê v A f
� , ïðè÷åì èìå-
åò ìåñòî îöåíêà
|| || max ( | | ) || ||,v v fk i i
i
k
�
�
�
�
� ��
0
1 2 21 ,
ãäå 0 2 2� �
� � max , � max — ìàêñèìàëüíîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû A .
Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòàõ [16–18] ðàññìàòðèâàåòñÿ áîëåå îáùàÿ
çàäà÷à, à èìåííî ïîñòðîåíèå ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâ-
äîðåøåíèé. Íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ÷àñòíûé ñëó÷àé âçâåøåí-
íûõ, êîãäà âåñà — åäèíè÷íûå ìàòðèöû.
2. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÒÅÏËÎÂÎÃÎ ÏÎÒÎÊÀ
ÏÐÈ ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÛÕ ÍÀÁËÞÄÅÍÈßÕ
Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé (1), ãäå
ôóíêöèÿ u u t� �( ) � ÿâëÿåòñÿ íåèçâåñòíîé. Ïóñòü â íåêîòîðûõ òî÷êàõ
d bi �( , )0 , i N�1, , íà ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè [ , ] [ , ]t t Ti i
%1 0 èçâåñòíû çíà÷å-
íèÿ ðåøåíèÿ y x t( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè
y d t fi i( , )
~
� , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, , (35)
ãäå &
�i
N
it
1
[ , t Ti
%1 0] [ , ] .
Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à (1), (35) ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ôóíêöèè u u t� �( ) �, ïðè êî-
òîðîé ðåøåíèå y u x t( ; , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì (35).
Ïóñòü y y x t� ( ; , )0 — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1) ïðè u � 0 . Òîãäà
äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè u�� íà îñíîâàíèè (1), (35) ïîëó÷àåì çàäà÷ó,
ãäå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé (3), à íà îñíîâà-
íèè (35) èìååì ðàâåíñòâà
y d t fi i( , ) � , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, , (36)
ãäå f f y d ti i i�
~
( ; , )0 , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, .
Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (3) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå êàê
ôóíêöèþ y y u x t W T� �( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
(5), (6). Ñëåäîâàòåëüíî, èìåÿ ðåøåíèå çàäà÷è (5), (6) êàê ôóíêöèþ y y u x t� ( ; , )
ïàðàìåòðà u u t� �( ) �, íà îñíîâàíèè (36) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
Au f� , (37)
ïðè ýòîì Au A ui i
N�
�
{ }
1
, f f i i
N�
�
{ }
1
, A u y u d ti i� ( ; , ) , f f ti i� ( ) , t t ti i�
[ , ]1 ,
i N�1, .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 55
Ïóñòü { ( )}� l l
mt
�1
— ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé èç �, îïðåäå-
ëåííûõ íà âðåìåííîì îòðåçêå [ , ]0 T . Èñêîìóþ ôóíêöèþ u t( ) áóäåì íàõîäèòü â
âèäå (8). Ïîñêîëüêó çàäà÷à (5), (6) ëèíåéíàÿ, åå ðåøåíèå y y u x tm� ( ; , ) ïðåäñòàâ-
ëÿåòñÿ â âèäå (9), ãäå y x tl ( , ) — ðåøåíèå çàäà÷è (10), (11). Èñïîëüçóÿ ìåòîä êî-
íå÷íûõ ýëåìåíòîâ, äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ � i
l t( ) , i n�1, , ïðèáëèæåíèÿ
y x tl n ( , ) (12) ðåøåíèÿ y x tl ( , ) çàäà÷è (10), (11) ïîëó÷àåì çàäà÷è Êîøè (13), (14).
Ñ ó÷åòîì (15) ïîëó÷àåì ïðèáëèæåíèå Au A um i m i
N�
�
{ }
1
îïåðàòîðà Aum , ãäå
A u u y d ti m l
l
m
l
i�
�
�
1
( , ) , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, .
(38)
Òåîðåìà 3. Ïóñòü ðåøåíèÿ y x tl ( , ) çàäà÷è (10), (11) ïðèíàäëåæàò êëàññó
C k
T
1 1, ( )� . Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà
|| ||Au Au chm m L
k
�
2
, (39)
ãäå || || ( ( ) )Au Au A u A u dtm m L i m
t
t
i
N
i m
i
i
�
��
�
2
1
2
1
2 ; c, h, k îïðåäåëåíû â òåîðåìå 2.
Ðåøèâ çàäà÷è Êîøè (13), (14) ñ ïîìîùüþ îäíîãî èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïî-
ëó÷èì äèñêðåòíîå ïðèáëèæåíèå A ui
j
m , j m Mi i� , , ñîñòàâëÿþùåé A u ti m j( ) , ãäå
M mi i
1 — êîëè÷åñòâî òî÷åê t j äèñêðåòèçàöèè îòðåçêà [ , ]t ti i
1 ,
y d t u f tl
i j l i j
l
m
( , ) ( )�
�
�
1
, j m Mi i� , , i N�1, , (40)
èëè
AU F� , (41)
ãäå A M m� �
� — ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, F — âåêòîð:
A
Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y
m
m
N N N
m
�
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, F
F
F
FN
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
.
.
.
, Y Yi
l
ij
l
j m
M
i
i�
�
{ } , F Fi ij j m
M
i
i�
�
{ } , (42)
Y y d t f f t j m M M M m Nij
l l
i j ij i j i i i
i
N
i� � � �
�
�( , ), ( ), , , ( )
1
.
Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (41) îñòàþòñÿ â
ñèëå âñå çàìå÷àíèÿ, âûñêàçàííûå îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (20).
3. ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÒÅÏËÎÂÎÃÎ ÏÎÒÎÊÀ
ÏÐÈ ÈÇÂÅÑÒÍÛÕ ÔÈÍÀËÜÍÛÕ ÍÀÁËÞÄÅÍÈßÕ
Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé (1), ãäå
ôóíêöèÿ u u t� �( ) � íåèçâåñòíà. Ïóñòü ïðè t T� èçâåñòíî ðåøåíèå íà÷àëü-
íî-êðàåâîé çàäà÷è (1), çàäàííîå ðàâåíñòâîì
y x T f( , )
~
� 0 , x �� . (43)
Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à (1), (43) ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ôóíêöèè u u t� � �( ) �
�C T([ , ])0 , ïðè êîòîðîé ðåøåíèå y y u x t� ( ; , ) çàäà÷è (1) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåí-
ñòâó (43).
Ïóñòü y y x t� ( ; , )0 — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1) ïðè u � 0 . Òîãäà
äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè u t( )�� íà îñíîâàíèè (1), (43) ïîëó÷àåì
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
îáðàòíóþ çàäà÷ó, ãäå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà-
÷åé (3), à íà îñíîâàíèè (43) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
y x T f x( , ) ( )� 0 , x ��, (44)
ãäå f f y x T0 0 0�
~
( ; , ) .
Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (3) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå êàê
ôóíêöèþ y y u x t W T� �( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
(5), (6). Ñëåäîâàòåëüíî, èìåÿ ðåøåíèå çàäà÷è (5), (6) êàê ôóíêöèþ
y y u y u x t� �( ) ( ; , ) ïàðàìåòðà u u t� �( ) �, íà îñíîâàíèè (44) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
Au f� 0 , (45)
ïðè ýòîì Au y u x T� ( ; , ), x ��.
Ïóñòü { ( )}� l l
mt
�1
— ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé èç �, îïðåäå-
ëåííûõ íà âðåìåííîì îòðåçêå [ , ]0 T . Èñêîìóþ ôóíêöèþ u t( ) áóäåì íàõîäèòü
â âèäå (8).  ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è (5), (6) åå ðåøåíèå y y u x tm� ( ; , ) ïðåäñòàâ-
ëÿåòñÿ â âèäå (9), ãäå y x tl ( , ) — ðåøåíèå çàäà÷è (10), (11). Èñïîëüçóÿ ìåòîä êî-
íå÷íûõ ýëåìåíòîâ, íà îñíîâàíèè (10), (11) äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
� i
l t( ) , i n�1, , ïðèáëèæåíèÿ y x t y x tl
l n( , ) ( , )� (12) ðåøåíèÿ y x tl ( , ) çàäà÷è (10),
(11) ïîëó÷àåì çàäà÷ó Êîøè (13), (14). Ñ ó÷åòîì (15) íàõîäèì ïðèáëèæåíèå îïå-
ðàòîðà Aum
Au u y x Tm l
l
m
l�
�
�
1
( , ) .
Òåîðåìà 4. Ïóñòü êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ y x tl ( , ) çàäà÷è (10), (11) ïðèíàäëå-
æàò êëàññó C k
T
1 1, ( )� . Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà
|| ||Au Au chm m L
k
�
2
,
ãäå || || ;� �
L
dx
2
2 2� �
�
c , h , k îïðåäåëåíû â òåîðåìå 2.
Ðåøèâ çàäà÷ó Êîøè (13), (14) îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïîëó÷èì äèñ-
êðåòíîå ïðèáëèæåíèå îïåðàòîðà Aum
A u A uM
m i
M
m i
N�
�
{ }
0
, A u y x T u y xi
M
m
l
l
m
i l l
M
l
m
i� �
� �
� �
1 1
( , ) ( ) , i N� 0, ,
èëè
AU F� , (46)
ãäå A M m� �
� — ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, F — âåêòîð:
A
y y y
y x y x y x
M M
m
M
M M
m
M
�
1 2
1 1 2 1 1
0 0 0( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( )
... ... ... ...
( ) ( ) ... ( )y b y b y bM M
m
M
1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
F f i i
N�
�
{ }
0
, f f xi i� 0 ( ) , 0 0 1� � � � �x x x bN... , M N�
1 .
Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (46) îñòàþòñÿ â
ñèëå âñå çàìå÷àíèÿ, âûñêàçàííûå îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (20).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 57
4. ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÍÀ×ÀËÜÍÎÃÎ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÏÎ ÈÇÂÅÑÒÍÛÌ
ÇÍÀ×ÅÍÈßÌ ÒÅÌÏÅÐÀÒÓÐÛ Â ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÒÎ×ÊÀÕ
Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
f x t( )
~
( , ) , ( , )x t T�� ,
�
�
�
k
y
x
y� �, x � 0 , t T�( , )0 , (47)
k
y
x
�
�
� �1, x b� , t T�( , )0 ,
y x u x( , ) ( )0 � , x �� .
 íåêîòîðûõ òî÷êàõ d bi �( , )0 , i N�1, , íà âðåìåííûõ îòðåçêàõ [ , ] [ , ]t t Ti i
%1 0
èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ y x t( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (47), çàäàííûå ðà-
âåíñòâàìè (35).
Ïóñòü y y x t� ( ; , )0 — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (47) ïðè u � 0 . Òîã-
äà äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè u�� íà îñíîâàíèè (47), (35) ïîëó÷àåì îá-
ðàòíóþ çàäà÷ó, ãäå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
( ) , ( , )x t T�� ,
�
�
�
k
y
x
y� , x � 0 , t T�( , )0 , (48)
k
y
x
�
�
� 0, x b� , t T�( , )0 ,
y x u x( , ) ( )0 � , x �� ,
à íà îñíîâàíèè (35) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà (36).
Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (48) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå êàê
ôóíêöèþ y y u x t W T� �( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå ðà-
âåíñòâ �
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y z, ( , ) 0 , t T�( , )0 , (49)
( , )( ) ( , )y z è z0 � . (50)
Ñëåäîâàòåëüíî, èìåÿ ðåøåíèå çàäà÷è (49), (50) êàê ôóíêöèþ y y u x t� ( ; , ) ïàðà-
ìåòðà u u x� �( ) �, íà îñíîâàíèè (36) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (37).
Ïóñòü { ( )}� l l
mx
�1
— ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé èç �. Èñêîìóþ
ôóíêöèþ u õ( ) áóäåì íàõîäèòü â âèäå
u u x u xm l
l
m
l� �
�
�( ) ( )
1
� , um m� �� � , u Rl � , l m�1, . (51)
Ïîñêîëüêó çàäà÷à (49), (50) ëèíåéíàÿ, åå ðåøåíèå y y u x tm� ( ; , ) ïðåäñòàâèìî
â âèäå (9), ãäå y x tl ( , ) — ôóíêöèÿ èç W T( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò
ðàâåíñòâàì
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y zl
l, ( , ) 0 , t T�( , )0 , (52)
( , )( ) ( , )y z zl l0 � � , l m�1, . (53)
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì l êàæäóþ èç çàäà÷ (52), (53) áóäåì ðåøàòü ïðè-
áëèæåííî, èñïîëüçóÿ ðàíåå ââåäåííûå â ðàññìîòðåíèå ìíîæåñòâà M Hn0 0� ,
M W Tn1 0� ( , ) . Èñïîëüçóÿ (12), íà îñíîâàíèè (52), (53) ïîëó÷àåì çàäà÷ó Êîøè
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
M t K tl l
� ( ) ( )� �
� 0, t T�( , )0 , (54)
M Fl� ( )0 0� , l m�1, , (55)
ãäå F f
i i
n
0 0 1
�
�
{ } , f
i l i0
� ( , )� � .
Èìåþò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå (38) è ðàâåíñòâà (40), (41). Äëÿ ñèñòåìû ëèíåé-
íûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé âèäà (41), ïîëó÷åííîé ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàò-
ðèâàåìîé çàäà÷å äàííîãî ðàçäåëà, îñòàþòñÿ â ñèëå çàìå÷àíèÿ, âûñêàçàííûå
îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (20).
5. ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÌÎÙÍÎÑÒÅÉ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÎÂ/ÑÒÎÊÎÂ
Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
f x t u x t( )
~
( , ) ( ) ( , )� � 0 , ( , )x t T�� ,
�
�
�
k
y
x
y� �, x � 0 , t T�( , )0 , (56)
k
y
x
�
�
� �1, x b� , t T�( , )0 ,
y x y x( , ) ( )0 0� , x �� ,
ãäå � �0 0% � ( , )b .  íåêîòîðûõ òî÷êàõ d bi �( , )0 , i N�1, , íà ïðîìåæóòêàõ
âðåìåíè [ , ] [ , ]t t Ti i
%1 0 èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ y x t( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷è (56), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè
y d t f ti i( , )
~
( )� , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, , (57)
ãäå &
�i
N
it
1
[ , t Ti
%1 0] [ , ] .
Ïóñòü y y x t� ( ; , )0 — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (56) ïðè u � 0. Òîãäà
äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè u x t L T L( , ) ( , ; ( ))� ��
2
2 00 � íà îñíîâà-
íèè (56) ïîëó÷àåì çàäà÷ó, ãäå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷åé
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
u x t( ) ( ) ( , )� � 0 , ( , )x t T�� , (58)
�
�
�
k
y
x
y� , x � 0 , t T�( , )0 ,
k
y
x
�
�
� 0, x b� , t T�( , )0 ,
y x( , )0 0� , x �� ,
à íà îñíîâàíèè (57) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà
y d t f ti i( , ) ( )� , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, , (59)
ãäå f f y d ti i i�
~
( ; , )0 , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, .
Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (58) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå êàê
ôóíêöèþ y y u x t W T� �( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
(5), (6), ãäå
l u z u z dx( ; ) � �
�0
. (60)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 59
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
Òåîðåìà 5. Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè è u�� îáîáùåííîå ðåøå-
íèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (58) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Èìåÿ îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (58) êàê ôóíêöèþ y y u x t� ( ; , ) ïàðàìåòðà
u u x t� �( , ) � , íà îñíîâàíèè (59) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
Au f� , (61)
ïðè ýòîì Au A ui i
N�
�
{ }
1
, A u y u d ti i� ( ; , ) , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, , f f i i
N�
�
{ }
1
.
Ïóñòü { ( , )}� l l
mx t
�1
— ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé èç �, îïðåäå-
ëåííûõ íà îáëàñòè� �0 0 0T T� � ( , ) . Ôóíêöèþ è u x t� ( , ) áóäåì èñêàòü â âèäå
u u x t u x tm l l
l
m
� �
�
�( , ) ( , )�
1
, um m� �� � , u Rl � , l m�1, . (62)
Ïîñêîëüêó çàäà÷à (5), (6) ëèíåéíàÿ, åå ðåøåíèå y u x tm( ; , ) ïðåäñòàâèìî â âèäå
y u x t u y x t u y x tm l
l
m
l l
l
m
l( ; , ) ( ; , ) ( , )� �
� �
� �
1 1
� , (63)
ãäå y x tl ( , ) — ôóíêöèÿ èç W T( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåí-
ñòâàì �
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y z zl
l l L, ( , ) ( , ) ( )�
2 0� , t T�( , )0 , (64)
( , )( )y zl 0 0� , l m�1, . (65)
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì l êàæäóþ èç çàäà÷ (64), (65) áóäåì ðåøàòü ïðè-
áëèæåííî, èñïîëüçóÿ ìíîæåñòâà M Hn0 0� , M W Tn1 0� ( , ) . Â ðåçóëüòàòå äëÿ
îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ � i
l ðàçëîæåíèÿ âèäà (12) ïðèáëèæåíèÿ y x tl n ( , ) ïî
ðåøåíèÿì y x tl ( , ) çàäà÷è (64), (65) ïîëó÷àåì çàäà÷ó Êîøè (13), (14), ãäå
F t f tl
i
l
i
n( ) ( )�
�1
, f ti
l
l i L( ) ( , ) ( )� � �
2 0� .
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå y u x t y x tn m n
m( ; , ) ( , )� çàäà÷è âèäà (5), (6), ðàññìàò-
ðèâàåìîé â äàííîì ðàçäåëå, ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
y x t y u x t u y x tn
m
n m l
l
l
m
( , ) ( ; , ) ( , )� �
�
�
1
, (66)
ãäå y x t y x t t xl
i
l
i
i
n
( , ) ( , ) ( ) ( )� �
�
�ln � �
1
. Íà îñíîâàíèè (66) ïîëó÷àåì ïðèáëèæå-
íèå îïåðàòîðà Aum â âèäå
Au A um i m i
N�
�
{ }
1
, A u u y d ti m l
l
l
m
i�
�
�
1
( , ) , t t ti i�
[ , ]1 ,
Au A u A u u y d t t t tm i m i
N
i m l
l
m
l i i i� � �
�
�
�{ } , ( , ), [ , ]
1
1
1 .
Ñëåäîâàòåëüíî,
A u u y d t A u f ti m l
l
l
m
i i m i� � �
�
�
1
( , ) ( ) , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, . (67)
Èìååò ìåñòî òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 2. Ðåøèâ çàäà÷ó Êîøè âèäà
(13), (14) îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïîëó÷èì äèñêðåòíûå ïðèáëèæåíèÿ
A ui
j
m , j m Mi i� , , i N�1, , ãäå M mi i
1 — êîëè÷åñòâî òî÷åê t j äèñêðåòèçà-
öèè âðåìåííîãî îòðåçêà [ , ]t ti i
1 .
Ïîëó÷àåì
A u d u f ti
j
m
lj
N
l
m
i l i j� �
��
�� � ��
�
�
11
( ) ( ) , j m Mi i� , , i N�1, . (68)
Ñèñòåìà ðàâåíñòâ (68) ïîðîæäàåò ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
AU F� (69)
äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíîãî âåêòîðà U u u um� ( , , ..., )1 2
T , ãäå A aij i j
M m�
� �
{ }
,
,
1 1
,
A
V V V
V V V
m
N N N
m
�
�
�
�
�
��
�
�
1
1
1
2
1
1 2
...
... ... ... ...
...
, F
F
F
FN
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
.
.
.
,
V V V Vi
l
i
l
i
l
iN
l
i
� ( , , ..., )
1 2
T , F F F Fi i i iN i
� ( , , ..., )
1 2
,
Vij
l — çíà÷åíèå êîíå÷íî-ýëåìåíòíîãî ðåøåíèÿ y x t
k
N
l( ; , )� çàäà÷è (64), (65) â
òî÷êå x di� ïðè t t j� , F f tij i j� ( ) , j m Mi i� , , N M mi i i�
1 , M N i
i
N
�
�
�
1
.
Ïðè x di� íà âðåìåííîì ó÷àñòêå [ , ]t ti i
1 ðàñïîëîæåíû N i òî÷åê t j åãî äèñ-
êðåòèçàöèè.
Îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (69) ñïðàâåäëèâû âñå çàìå÷àíèÿ, âûñêàçàííûå ïðè-
ìåíèòåëüíî ê ñèñòåìå (20).
6. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÒÅÏËÎÂÎÃÎ ÏÎÒÎÊÀ
ÍÀ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ ÑÎÑÒÀÂÍÎÉ ÏËÀÑÒÈÍÛ
Ïóñòü íà êàæäîì èíòåðâàëå �1 0� ( , )
, � 2 � ( , )
b , 0� � � '
b , îïðåäåëåíî
ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
f x t( )
~
( , ) , t T�( , )0 . (70)
Íà êîíöàõ îòðåçêà [ , ]0 b çàäàíû ñìåøàííûå êðàåâûå óñëîâèÿ
�
�
�
k
y
x
y� �, x � 0 , t T�( , )0 , (71)
k
y
x
u t
�
�
� ( ), x b� , t T�( , )0 , (72)
ãäå u t( ) — íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ.
Óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ íåèäåàëüíîãî êîíòàêòà â òî÷êå x �
ïðè t T�( , )0
èìåþò âèä
k
y
x
�
�
(
)*
+
,-
� 0 , k
y
x
r y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
[ ] , (73)
ãäå [ ]� � ��
, � � �
. .� � .{ } ( , )0 t .
Ïðè t � 0 èìååì íà÷àëüíîå óñëîâèå
y x y x( , ) ( )0 0� , x � &� �1 2 . (74)
 òî÷êå x � 0 ïðè t T�( , )0 èçâåñòíà òåìïåðàòóðà
y t f t( , )
~
( )0 0� . (75)
Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à (70)–(75) ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ôóíêöèè u u t� �( )
�C T([ , ])0 , ïðè êîòîðîé ðåøåíèå y y u y u x t� �( ) ( ; , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è
(70)–(74) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (75).
Ïóñòü y y x t� ( ; , )0 — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (70)–(74) ïðè u � 0 .
Òîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè u�� íà îñíîâàíèè (70)–(75) ïîëó÷àåì
îáðàòíóþ çàäà÷ó, ãäå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 61
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
( ) , ( , )x t T�� ,
�
�
�
k
y
x
y� , x � 0 , t T�( , )0 ,
k
y
x
u t
�
�
� ( ), x b� , t T�( , )0 ,
k
y
x
�
�
(
)*
+
,-
� 0 , k
y
x
r y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
[ ] , x �
, t T�( , )0 , (76)
y x( , )0 0� , x �� ,
à íà îñíîâàíèè (75) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
y t f t( , ) ( )0 0� , t T�( , )0 , (77)
ãäå f f y t0 0 0 0�
~
( ; , ) .
Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (76) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå êàê
ôóíêöèþ y u x t W T( ; , ) ( , )� 0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y z l u z, ( , ) ( ; ) , t T�( , )0 , (78)
( , )( )y z 0 0� , (79)
ãäå V v x v W i
i
i0 2
1 1 2� � �{ ( ): ( ), , }
�
� , W T v x t( , ) ( , ):0 �
�
�
/
�/
v L T V� 2 0( , ; ) ,
�
�
v
t
L T
i
i
�
��
2
0( , ; ) , i �
�
�
/
�/
1 2, , V v x t v W
i
i� �{ ( , ): ( )
�
�
2
1 , i �1 2, , t T�( , )0 },
a y z k
y
x
z
x
dx y t z r y z
b
( , ) ( , ) ( ) [ ][ ]�
�
�
�
�
�
�
0
0 0 , l u z uz b( ; ) ( )� .
Òåîðåìà 6. Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� ðåøåíèå
y y u x t W T� �( ; , ) ( , )0 çàäà÷è (78), (79) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû óñòàíàâëèâàåòñÿ, ñëåäóÿ [4, 6]. Îòñþäà, èìåÿ ðåøå-
íèå çàäà÷è (78), (79) êàê ôóíêöèþ y y u x t� ( ; , ) ïàðàìåòðà u u t� ( ) , íà îñíîâà-
íèè (77) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
Au f t� 0 ( ) , t T�( , )0 , (80)
ïðè ýòîì Au y u t� ( ; , )0 .
Ïóñòü �� l l
mt( )}
�1
— ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé èç ìíîæåñòâà �,
îïðåäåëåííûõ íà âðåìåííîì îòðåçêå [ , ]0 Ò . Ôóíêöèþ u t( ) áóäåì èñêàòü â âèäå
u u t u tm l
l
m
l� �
�
�( ) ( )
1
� , um m� �� � , u Rl � , l m�1, . (81)
 ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è (78), (79) åå ðåøåíèå y u x tm( ; , ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
y u x t u y x t u y x tm l
l
m
l l
l
m
l( ; , ) ( ; , ) ( , )� �
� �
� �
1 1
� , (82)
ãäå y x tl ( , ) — ôóíêöèÿ èç W T( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåí-
ñòâàì
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y z l zl
l l, ( , ) ( ; )� , t T�( , )0 , (83)
( , )( )y zl 0 0� , l m�1, . (84)
62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì l êàæäóþ èç çàäà÷ (83), (84) áóäåì ðåøàòü ïðè-
áëèæåííî. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ëèíåéíîå ìíîæåñòâî M Hn0 0� ôóíêöèé v x( )
ñ áàçèñîì { ( )}� i i
nx
�1
. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî áàçèñà îáðàçóåì ìíîæåñòâî
M W Tn1 0� ( , ) ôóíêöèé y x tn ( , ) , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà
â âèäå
y x t t xl n i
l
i
i
n
( , ) ( ) ( )�
�
�� �
1
, (85)
ãäå � i
l C T� 1 0([ , ]) , i n�1, .
Ñ ó÷åòîì (85) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ � � �l l
n
lt t t( ) ( ( ), ..., ( ))�
1
T ïîëó÷à-
åì ñëåäóþùèå çàäà÷è Êîøè:
M t K t f tl l l
� ( ) ( ) ( )� �
� , l m�1, , (86)
� l ( )0 0� , (87)
ãäå M M mT
ij i j
n� �
�
{ }
, 1
, m dxij i j� � � �
�
, K K kT
ij i j
n� �
�
{ }
, 1
, k aij i j� ( , )� � ,
f t f tl
i
l
i
n( ) { ( )}�
�1
, f t t bi
l
l i( ) ( ) ( )� � � , i n�1, .
Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèÿ � l t( ) , l m�1, , çàäà÷ (86), (87) ñóùåñòâóþò è åäèí-
ñòâåííû. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå y u x t y x tn m n
m( ; , ) ( , )� çàäà-
÷è (83), (84) ïðè u um� ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
y x t y u x t u y x tn
m
n m l
l
l
m
( , ) ( ; , ) ( , )� �
�
�
1
, (88)
ãäå y x t y x t t xl
ln i
l
i
i
n
( , ) ( , ) ( ) ( )� �
�
�� �
1
. Íà îñíîâàíèè (80), (88) ïîëó÷àåì ïðè-
áëèæåíèå Aum îïåðàòîðà Aum :
Au u y t Au fm l
l
l
m
m� � �
�
�
1
00( , ) , t T�( , )0 . (89)
Òåîðåìà 7. Ïóñòü ðåøåíèÿ y x tl ( , ) çàäà÷ (83), (84) íà êàæäîé èç îáëàñòåé
� iT ïðèíàäëåæàò êëàññó C k
iT
1 1, ( )� , i �1 2, . Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà
|| || ( , )Au Au chm m L T
k
�
2 0 . (90)
Ðåøèâ çàäà÷è Êîøè (86), (87) ñ ïîìîùüþ îäíîãî èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïî-
ëó÷èì äèñêðåòíûå ïðèáëèæåíèÿ A uj
m , j M�1, , îïåðàòîðà Au tm j( ) (Ì
1 —
êîëè÷åñòâî òî÷åê t j äèñêðåòèçàöèè îòðåçêà [0,T ])
A u u y t uj
m i
lj
i
n
i
l
m
l
l
l
m
j l� �
�� �
�� �� �
11 1
0 0( ) ( , ) . (91)
Ó÷èòûâàÿ (80), (91), ïîëó÷àåì
y t u f tl
l
m
j l j
�
� �
1
00( , ) ( ), j M�1, , (92)
èëè
AU F� , (93)
ãäå A M m� �
� — ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, A aij i
M
j
m�
� �
{ }
,
,
1 1
, a y tij
j
i� �( , )0
�
�
�� �v
ji
v
n
v
1
0( ), F f i i
M�
�
{ }
1
, f f ti i� 0 ( ) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 63
Äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (93) îñòàþòñÿ â ñèëå âñå
çàìå÷àíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ñèñòåìå (20).
7. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÒÅÏËÎÂÎÃÎ ÏÎÒÎÊÀ
ÏÐÈ ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÛÕ ÍÀÁËÞÄÅÍÈßÕ
Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé (70)–(74), ãäå
ôóíêöèÿ u u t C T� � �( ) ([ , ])� 0 ÿâëÿåòñÿ íåèçâåñòíîé.  íåêîòîðûõ òî÷êàõ
di �� , i N�1, , íà ïðîìåæóòêàõ [ , ] [ , ]t t Ti i
%1 0 èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ
y x t( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (70)–(74), çàäàííûå ðàâåíñòâàìè
y d t fi i( , )
~
� , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, , (94)
ãäå &
�
%
i
N
i it t T
1
1 0[ , ] [ , ] .
Ïóñòü y y x t� ( ; , )0 — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (70)–(74) ïðè u � 0 .
Òîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè u�� íà îñíîâàíèè (70)–(74), (94) ïî-
ëó÷àåì îáðàòíóþ çàäà÷ó, ãäå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷åé (76), à íà îñíîâàíèè (94) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà
y d t fi i( , ) � , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, , (95)
ãäå f f y d ti i i�
~
( ; , )0 , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, .
Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (76) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå, ò.å.
ðåøåíèå çàäà÷è (78), (79).
Ñëåäîâàòåëüíî, èìåÿ ðåøåíèå çàäà÷è (78), (79) êàê ôóíêöèþ y y u x t� ( ; , )
ïàðàìåòðà u u t� �( ) �, íà îñíîâàíèè (95) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
Au f� , (96)
ïðè ýòîì Au A ui i
N�
�
{ }
1
, f f i i
N�
�
{ }
1
, A u y u d ti i� ( , , ) .
Ñ ó÷åòîì (85) íà îñíîâàíèè (83), (84) ïîëó÷àåì çàäà÷è Êîøè âèäà (86), (87). Ðå-
øèâ ýòè çàäà÷è ñ ïîìîùüþ îäíîãî èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïîëó÷èì äèñêðåòíûå ïðè-
áëèæåíèÿ A ui
j
m , j m Mi i� , , ñîñòàâëÿþùåé A u ti m j( ) , ãäå N M mi i i�
1 — êî-
ëè÷åñòâî òî÷åê t j äèñêðåòèçàöèè îòðåçêà [ , ]t ti i
1 ,
y d t u f tl
i j
l
m
l i j( , ) ( )
�
� �
1
, j m Mi i� , , i N�1, , (97)
èëè
AU F� , (98)
ãäå A M m� �
� — ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà è F — âåêòîð:
A
Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y
m
m
N N N
m
�
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, F
F
F
FN
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
.
.
.
, Y Yi
l
ij
l
j m
M
i
i�
�
{ } , F Fi ij j m
M
i
i�
�
{ } , (99)
Y y d tij
l l
i j� ( , ) , f f tij i j� ( ) , j m Mi i� , , M M m Ni i
i
N
�
�
� ( )
1
.
Äëÿ ñèñòåìû (98) îñòàþòñÿ â ñèëå âñå çàìå÷àíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ñèñòåìå (20).
64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
8. ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÍÀ×ÀËÜÍÎÃÎ ÑÎÑÒÎßÍÈß È ÏËÎÒÍÎÑÒÈ
ÒÅÏËÎÂÎÃÎ ÏÎÒÎÊÀ ÏÐÈ ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÛÕ ÍÀÁËÞÄÅÍÈßÕ
Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
f x t( )
~
( , ) , ( , )x t T�� ,
�
�
�
k
y
x
y� �, x � 0 , t T�( , )0 ,
k
y
x
u
�
�
� 1, x b� , t T�( , )0 , (100)
k
y
x
x
�
�
(
)*
+
,-
�
�
0 , k
y
x
r y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
[ ] , x �
, t T�( , )0 ,
y x u x( , ) ( )0
1 1
2� �
� , y x y x( , ) ( )0
2 2
0� �
� .
 òî÷êàõ di � � &� � �1 2 , i N�1, , íà âðåìåííûõ îòðåçêàõ [ , ] [ , ]t t Ti i
%1 0 èç-
âåñòíû çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ y x t( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (100), çàäàííûå ðà-
âåíñòâàìè (94).
Ïóñòü y y x t� ( ; , )0 — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (100) ïðè u � 0 . Òîã-
äà äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé âåêòîð-ôóíêöèè u u u C T C� � � �( , ) ([ , ]) ( )1 2 10� �
íà îñíîâàíèè (100), (94) ïîëó÷àåì îáðàòíóþ çàäà÷ó, ãäå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïè-
ñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
( ) , ( , )x t T�� ,
�
�
�
k
y
x
y� , x � 0 , t T�( , )0 ,
k
y
x
u
�
�
� 1, x b� , t T�( , )0 , (101)
k
y
x
x
�
�
(
)*
+
,-
�
�
0 , k
y
x
r y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
[ ] , x �
, t T�( , )0 ,
y u x
� �1 1
2� ( ) , y
�2
0�
(íà îñíîâàíèè (94) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà (95)), ãäå � �T T� � ( , )0 .
Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (101) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå êàê
ôóíêöèþ y u x t W T( ; , ) ( , )� 0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå ðàâåíñòâ
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y z l u z, ( , ) ( ; ), t T�( , )0 , (102)
y u
� �1 1
2� , y
�2
0� , (103)
ãäå ìíîæåñòâà W T( , )0 , V0 è áèëèíåéíàÿ ôîðìà a( , )� � îïðåäåëåíû â ðàçä. 6,
l u z u z b( ; ) ( )� 1 .
Òåîðåìà 8. Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� îáîáùåííîå ðåøåíèå
íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (101) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Èìåÿ îáîáùåííîå ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (101) êàê ôóíêöèþ ïà-
ðàìåòðà u�� , íà îñíîâàíèè (95) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
Au f� , (104)
ïðè ýòîì Au A ui i
N�
�
{ }
1
, A u y u d ti i� ( ; , ) , t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, , f f i i
N�
�
{ }
1
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 4 65
Ñîñòàâëÿþùèå u m1 , u m2 èñêîìîé âåêòîð-ôóíêöèè um m� �� � áóäåì íà-
õîäèòü â âèäå
u t u tm l
l
m
l1 1
1
1
1
( ) ( )�
�
� � , t T�( , )0 ,
u x u xm l
l
m
l2 2
1
2
2
( ) ( )�
�
� � , x ��1, (105)
ãäå { }�1 1
1
l l
m
�
, { }�2 1
2
l l
m
�
— ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåí-
íûõ ñîîòâåòñòâåííî íà îáëàñòè [ , ]0 1T è � , m m m�
1 2 .
 ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è (102), (103) ïðè u u u um m m� � ( , )1 2 åå ðåøåíèå
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
y u x t u y x t u y x tm l
l
m
l l
l
m
l( ; , ) ( ; , ) ( , )� �
� �
� �
1 1
� , (106)
ãäå y x tl ( , ) — ôóíêöèÿ èç W T( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y z l zl l, ( , ) ( ; )� , t T�( , )0 , (107)
( , )( )y zl 0 0� , � �l l� 1 , u ul l� 1
ïðè l m�1 1, , à ïðè l m m�
1 1, — ðàâåíñòâàì
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y zl, ( , ) 0, t T�( , )0 ,
ãäå
( , ) ( , )
( )
y z zl l L
� �
2 1
�
, (108)
� �l l m�
2 11, , u ul l m�
2 11, .
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì l êàæäóþ èç çàäà÷ (107) èëè (108) áóäåì ðåøàòü
ïðèáëèæåííî, èñïîëüçóÿ ìíîæåñòâà M Hn0 0� , M W Tn1 0� ( , ) . Äëÿ êàæäîãî l
ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå èìååò âèä
y x t xl n i
l
i
i
n
( , ) ( )�
�
�� �
1
, (109)
ãäå { ( )}� i i
nx
�1
— ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ èçâåñòíûõ ôóíêöèé.
Ñ ó÷åòîì (109) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ � �l l t� ( ) íà îñíîâàíèè (107) ïî-
ëó÷àåì çàäà÷è Êîøè âèäà
M t K t f tl l l
� ( ) ( ) ( )� �
� , l m�1 1, , t T�( , )0 , (110)
� l ( )0 0� , (111)
à íà îñíîâàíèè (108) çàäà÷è Êîøè èìåþò âèä
M t K tl l
� ( ) ( )� �
� 0, l m m�
1 1, , t T�( , )0 , (112)
M Fl� ( )0 0� , (113)
ãäå M M mT
ij i j
n� �
�
{ }
, 1
, m dxij i j� � � �
�
, K K kT
ij i j
n� �
�
{ }
, 1
, k aij i j� ( , )� � ,
f t fl
i
l
i
n( ) { }�
�1
, f t bi
l
l i� � �1 ( ) ( ), i n�1, , l m�1 1, , � � � �l l l
n
lt t t� ( ( ), ( ), ..., ( )) ,
1 2
T
l m�1, ; F f
i i
n
0 0 1
�
�
{ } , f dxi l i0
1
� � � �
�
, � �l l m�
2 1, , l m m�
1 1, .
66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
Íà îñíîâàíèè ðåøåíèé çàäà÷ (110) – (113) ïîëó÷àåì ïðèáëèæåíèå
Au A um i m i
N�
�
{ }
1
îïåðàòîðà Aum , ãäå
A u u y d t A u f ti m l
l
i
l
m
i m i� � �
�
� ( , ) ( )
1
, t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, . (114)
Ðåøèâ çàäà÷è Êîøè (110) – (113) ñ ïîìîùüþ îäíîãî èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ,
ïîëó÷èì äèñêðåòíûå ïðèáëèæåíèÿ
A u d u f ti
j
m v
ij
v i
v
n
l
l
m
i j� �
��
�� � � ( ) ( )
11
, j m Mi i� , , i N�1, , (115)
èëè
y d t u f tl
i j
l
m
l i j( , ) ( )
�
� �
1
, j m Mi i� , , i N�1, . (116)
 ìàòðè÷íîì âèäå ñèñòåìó (116) ìîæåì çàïèñàòü òàê:
Av f� , (117)
ãäå A M m� �
� — ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, A aij i
M
j
m�
� �
{ }
,
,
1 1
,
A
Y Y Y Y Y
Y Y
m m m
N N
�
1
1
1
2
1 1
1
1
1 2
1 1... ...
... ... ... ... ...
... ...Y Y Y
N
m
N
m
N
m1 1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
, v u u um� { , , ..., }1 2
T ,
f f i i
N�
�
{ }
1
, f fi ij j m
M
i
i�
�
{ } , Y Yi
l
ij
l
j m
M
i
i�
�
{ } , Y y d tij
l
l i j� ( , ) .
Ïðè l m�1 1, y y x tl l� ( , ) — ðåøåíèå çàäà÷è (107), à ïðè l m m�
1 1, — çàäà-
֏ (108).
Äëÿ ñèñòåìû (117) îñòàþòñÿ â ñèëå âñå çàìå÷àíèÿ, âûñêàçàííûå ïðèìåíè-
òåëüíî ê çàäà÷å (20).
9. ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÂÍÓÒÐÅÍÍÅÃÎ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÀ/ÑÒÎÊÀ È ÏËÎÒÍÎÑÒÈ
ÒÅÏËÎÂÎÃÎ ÏÎÒÎÊÀ ÍÀ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ ÑÎÑÒÀÂÍÎÉ ÏËÀÑÒÈÍÛ
Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
f x t( )
~
( , ) , ( , )x t T�� ,
�
�
�
k
y
x
y� �, x � 0 , t T�( , )0 ,
k
y
x
u
�
�
� 1, x b� , t T�( , )0 ,
[ ]y � 0 , k
y
x
u
�
�
(
)*
+
,-
� 2 , x �
, t T�( , )0 (118)
y x y x( , ) ( )0 0� , x � &� �1 2 .
ãäå óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ â òî÷êå x �
îòðàæàþò íàëè÷èå èñòî÷íèêà/ñòîêà íà-
ïåðåä íåèçâåñòíîé ìîùíîñòè u u t2 2� ( ) .
Ïóñòü â òî÷êàõ di ��, i N�1, , íà âðåìåííûõ îòðåçêàõ [ , ] [ , ]t t Ti i
%1 0 èç-
âåñòíû çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ y x t( , ) íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (118), çàäàííûå ðàâåí-
ñòâàìè (94), à y y x t� ( ; , )0 — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (118) ïðè u � 0 .
Òîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé âåêòîð-ôóíêöèè u u u� � �( , )1 2 �
� �C T C T([ , ]) ([ , ])0 0 íà îñíîâàíèè (118), (94) ïîëó÷àåì îáðàòíóþ çàäà÷ó, ãäå ñî-
ñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 67
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
t x
k x
y
x
( ) , ( , )x t T�� ,
�
�
�
k
y
x
y� , x � 0 , t T�( , )0 ,
k
y
x
u
�
�
� 1, x b� , t T�( , )0 , (119)
[ ]y � 0 , k
y
x
u
�
�
(
)*
+
,-
� 2 , x �
, t T�( , )0
y x( , )0 0� , x �� ,
à íà îñíîâàíèè (94) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà (95).
Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé âåêòîð-ôóíêöèè u�� âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðå-
øåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (119) áóäåì èñïîëüçîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøå-
íèå êàê ôóíêöèþ y y u x t W T� �( ; , ) ( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòå-
ìå ðàâåíñòâ �
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y z l u z, ( , ) ( ; ) , t T�( , )0 ,
y � 0 , x �� ,
(120)
ãäå V v x0 � { ( ): v W
i
i�
��
2
1 ( ) , i �1 2, ; [ ]v x� �
0}, W T v x t( , ) ( , ):0 �
�
�
/
�/
v L T V� 2 0( , ; ) ,
�
�
v
t
L T L
i
i
�
�� 2
20( , ; ( )) , i �
�
�
/
�/
1 2, , V v x t v W
i
i� �{ ( , ): ( )
�
�
2
1 ,
i �1 2, ; [ ]v x� �
0 , t T�( , )0 },
a y z k
y
x
z
x
dx y t z
b
( , ) ( , ) ( )�
�
�
�
�
�
�
0
0 0 , l u z u z b u z( ; ) ( ) ( )�
1 2
.
Òåîðåìà 9. Ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè u�� ðåøåíèå
y y u x t W T� �( ; , ) ( , )0 çàäà÷è (120) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû óñòàíàâëèâàåòñÿ, ñëåäóÿ [4, 6]. Îòñþäà, èìåÿ ðåøå-
íèå çàäà÷è (120) êàê ôóíêöèþ y y u x t� ( ; , ) âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà u��, íà îñíî-
âàíèè (95) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
A u f� , (121)
ïðè ýòîì Au A ui i
N�
�
{ }
1
, A u y u d ti i� ( ; , ), f f i i
N�
�
{ }
1
.
Ñîñòàâëÿþùèå u m1 , u m2 èñêîìîé âåêòîð-ôóíêöèè u um m� � �� � áóäåì
íàõîäèòü â âèäå
u t u tm l
l
m
l1 1
1
1
1
( ) ( )�
�
� � , t T�[ , ]0 ,
u t u tm l
l
m
l2 2
1
2
2
( ) ( )�
�
� � , t T�[ , ]0 , (122)
ãäå m m m�
1 2 .
Ïîñêîëüêó çàäà÷à (120) ëèíåéíàÿ ïðè u u u um m m� � ( , )1 2 , åå ðåøåíèå ïðåä-
ñòàâèìî â âèäå
y u x t u y x t u y x tm l
l
m
l l
l
m
l( ; , ) ( ; , ) ( , )� �
� �
� �
1 1
� , (123)
ãäå y x tl ( , ) — ôóíêöèÿ èç W T( , )0 , êîòîðàÿ � �z x V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåí-
ñòâàì �
�
�
�
�
�
�
�
y
t
z a y z l zl
l l, ( , ) ( ; )� , t T�( , )0 ,
y � 0 , x ��, t � 0 , (124)
68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
l z z b zl l l
( ; ) ( ) ( )� � �
��
2 , � � ��
l l l
� ( , )2 , � ��
l l� 1 , � �
l
� 0 ïðè l m�1 1, ;
� �
l
� 0 , � ��
l l m�
2 11, ïðè l m m�
1 1, .
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì l êàæäóþ èç çàäà÷ (124) áóäåì ðåøàòü ïðèáëè-
æåííî, èñïîëüçóÿ ìíîæåñòâà M Hn0 0� , M W Tn1 0� ( , ) . Äëÿ êàæäîãî l ïðèáëè-
æåííîå ðåøåíèå èìååò âèä
y x t xl n i
l
i
i
n
( , ) ( )�
�
�� �
1
, (125)
ãäå { ( )}� i i
nx
�1
— ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ èçâåñòíûõ ôóíêöèé. Ñ ó÷å-
òîì (124), (125) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ � �l l t� ( ) ïîëó÷àåì çàäà÷è Êîøè
M t K t f tl l l
� ( ) ( ) ( )� �
� , t T�( , )0 , l m�1 1, , (126)
� l ( )0 0� , (127)
ãäå M M mT
ij i j
n� �
�
{ }
, 1
, m dxij i j� � � �
�
, K K kT
ij i j
n� �
�
{ }
, 1
, k aij i j� ( , )� � ,
f t fl
i
l
i
n( ) { }�
�1
, f ti
l ( ) � � � � �
l i l i
1 20( ) ( )
.
Íà îñíîâàíèè ðåøåíèé çàäà÷ (126), (127) ïîëó÷àåì ïðèáëèæåíèå
Au A um i m i
N�
�
{ }
1
îïåðàòîðà Aum , ãäå
A u u y d t A u f ti m l
l
l
m
i i m i� � �
�
�
1
( , ) ( ), t t ti i�
[ , ]1 , i N�1, .
Ðåøèâ çàäà÷è Êîøè (126), (127) ñ ïîìîùüþ îäíîãî èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ,
ïîëó÷èì äèñêðåòíûå ïðèáëèæåíèÿ
A u d u f ti
j
m v
lj
v
v
n
l
m
i l i j� �
��
�� � �
11
( ) ( ), j m Mi i� , , i N�1, ,
èëè
y d t u f tl
l
m
i j l i j
�
� �
1
( , ) ( ), j m Mi i� , , i N�1, . (128)
 ìàòðè÷íîì âèäå ñèñòåìó (128) ìîæåì çàïèñàòü òàê:
Av f� , (129)
ãäå A M m� �
� — ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà,
A
Y Y Y Y Y
Y Y
m m m
N N
�
1
1
1
2
1 1
1
1
1 2
1 1... ...
... ... ... ... ...
... ...Y Y Y
N
m
N
m
N
m1 1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
, v u u um� { , , ..., }1 2
T ,
f — âåêòîð äëèíû M M m Ni i
i
N
�
�
� ( )
1
,
f f i i
N�
�
{ }
1
, f fi ij j m
M
i
i�
�
{ } , Y Yi
l
ij
l
j m
M
i
i�
�
{ } , Y y d tij
l
l i j� ( , ) .
Äëÿ ñèñòåìû (129) îñòàþòñÿ â ñèëå âñå çàìå÷àíèÿ, âûñêàçàííûå ïðèìåíè-
òåëüíî ê çàäà÷å (20).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 69
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå ïîñòðîåíû ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïîçâîëÿþ-
ùèå çà êîíå÷íîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé ïîëó÷àòü ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ
îáðàòíûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ òåë ñ âêëþ÷åíèÿìè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîìáèíèðîâàííûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ
ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìûé
àíàëèç. — 2007. — ¹ 5. — Ñ. 48–71.
2. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîìïëåêñíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ òåðìîóïðóãî-
ñòè // Ïðîáë. óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2007. — ¹ 5. — Ñ. 64–87.
3. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ñèñòåìíûé àíàëèç ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäå-
ëåííûõ ñèñòåì. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2009. — 640 ñ.
4. Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå íåîäíîðîäíûìè ðàñïðåäå-
ëåííûìè ñèñòåìàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2003. — 506 ñ.
5. Ä å é í å ê à  . Ñ . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ýëëèïòè÷åñêèìè ìíîãîêîìïîíåíòíûìè ðàñïðåäå-
ëåííûìè ñèñòåìàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2005. — 364 ñ.
6. S e r g i e n k o I . V . , D e i n e k a V . S . Optimal control of distributed systems with conjugation con-
ditions. — New York: Kluwer Añademic Publishers, 2005. — 400 p.
7. À ë è ô à í î â Î . Ì . , À ð ò þ õ è í Å . À . , Ð ó ì ÿ í ö å â Ñ . Â . Ýêñòðåìàëüíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ
íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 288 ñ.
8. Ë è î í ñ Æ . - Ë . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè, îïèñûâàåìûìè óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñò-
íûìè ïðîèçâîäíûìè. — Ì.: Ìèð, 1972. — 414 ñ.
9. À ë á å ð ò À . Ðåãðåññèÿ, ïñåâäîèíâåðñèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå. – Ì.: Íàóêà, 1977. — 223 ñ.
10.  î å â î ä è í  .  . Âû÷èñëèòåëüíûå îñíîâû ëèíåéíîé àëãåáðû. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 304 ñ.
11. Ë î ó ñ î í × . , Õ å í ñ î í Ð . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. — Ì.:
Íàóêà, 1986. — 232 ñ.
12. M o o r e E . H . On the reciprocal of the general algebraic matrix // Abstract. Bull. Amer. Math.
Soc. — 1920. — 26. — P. 394–395.
13. P e n r o s e R . A . A generalized inverse for matrices // Proc. Camridge Phil. Soc. — 1955. — 51,
N 3. — P. 406–413.
14. Ò è õ î í î â À . Í . Îá óñòîé÷èâîñòè àëãîðèòìîâ äëÿ ðåøåíèÿ âûðîæäåííûõ ëèíåéíûõ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1965. — 5, ¹ 4. —
Ñ. 718–722.
15. Ò è õ î í î â À . Í . , À ð ñ å í è í Â . ß . Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà,
1986. — 288 ñ.
16. à à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Ðàçëîæåíèÿ è ìíîãî÷ëåííûå ïðåäåëü-
íûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò.
ôèçèêè. — 2007. — 47, ¹ 5. — Ñ. 747–766.
17. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Èòåðàöèîííûå ìåòîäû âûñîêèõ ñêîðîñòåé
ñõîäèìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ
ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Òàì æå. — 2005. — 45, ¹ 10. — Ñ. 1731–1755.
18. Ã à ë á à Å . Ô . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . Âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû
è âçâåøåííûå íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè // Òàì æå. — 2009. — 49,
¹ 8. — Ñ. 1347–1363.
19. Õ è ì è ÷ À . Í . , Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , Ï î ï î â À . Â . è ä ð . Ïàðàëëåëüíûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ
çàäà÷ âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2008. — 248 ñ.
20. Â à é í è ê ê î Ã . Ì . , Â å ð å ò å í í è ê î â À . Þ . Èòåðàöèîííûå ïðîöåäóðû â íåêîððåêòíûõ
çàäà÷àõ. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 183 ñ.
Ïîñòóïèëà 16.06.2011
70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84143 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:18:38Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. 2015-07-03T10:02:53Z 2015-07-03T10:02:53Z 2012 Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 49-70. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84143 536.24 Побудовано системи лінійних алгебраїчних рівнянь, які дозволяють розв’язувати за скінченне число арифметичних дій зворотні лінійні задачі дифузії. Їх розв’язання можливе за допомогою псевдообернення. Systems of linear algebraic equations that allow solving inverse linear diffusion problems in a finite number of arithmetic operations are derived. They can be solved by using pseudoinversion. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц Чисельне розв’язування деяких обернених задач нестаціонарної теплопровідності з використанням псевдообернених матриць Numerical solution of some inverse nonstationary thermal conduction problems using pseudoinverse matrices Article published earlier |
| spellingShingle | Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Системный анализ |
| title | Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц |
| title_alt | Чисельне розв’язування деяких обернених задач нестаціонарної теплопровідності з використанням псевдообернених матриць Numerical solution of some inverse nonstationary thermal conduction problems using pseudoinverse matrices |
| title_full | Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц |
| title_fullStr | Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц |
| title_full_unstemmed | Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц |
| title_short | Численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц |
| title_sort | численное решение некоторых обратных задач нестационарной теплопроводности с использованием псевдообратных матриц |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84143 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv čislennoerešenienekotoryhobratnyhzadačnestacionarnoiteploprovodnostisispolʹzovaniempsevdoobratnyhmatric AT deinekavs čislennoerešenienekotoryhobratnyhzadačnestacionarnoiteploprovodnostisispolʹzovaniempsevdoobratnyhmatric AT sergienkoiv čiselʹnerozvâzuvannâdeâkihobernenihzadačnestacíonarnoíteploprovídnostízvikoristannâmpsevdoobernenihmatricʹ AT deinekavs čiselʹnerozvâzuvannâdeâkihobernenihzadačnestacíonarnoíteploprovídnostízvikoristannâmpsevdoobernenihmatricʹ AT sergienkoiv numericalsolutionofsomeinversenonstationarythermalconductionproblemsusingpseudoinversematrices AT deinekavs numericalsolutionofsomeinversenonstationarythermalconductionproblemsusingpseudoinversematrices |