Cover Image

Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия

На основі організаційної дворівневої ієрархічної системи розглянуто моделі керування фондами та конкурентоспроможністю інформаційно-комунікаційного підприємства з використанням задачі керування для звичайних диференціальних рівнянь, що характеризують динаміку фондів, системи багатовимірних квазіліні...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Кибернетика и системный анализ
Date:2012
Main Authors: Акименко, В.В., Ефименко, А.А.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Subjects:
Системный анализ
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84146
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия / В.В. Акименко, А.А. Ефименко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 94-111. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860269116404793344
author Акименко, В.В.
Ефименко, А.А.
author_facet Акименко, В.В.
Ефименко, А.А.
citation_txt Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия / В.В. Акименко, А.А. Ефименко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 94-111. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
description На основі організаційної дворівневої ієрархічної системи розглянуто моделі керування фондами та конкурентоспроможністю інформаційно-комунікаційного підприємства з використанням задачі керування для звичайних диференціальних рівнянь, що характеризують динаміку фондів, системи багатовимірних квазілінійних параболічних рівнянь типу Лотке–Вольтерра, що описують динаміку продаж товарів та послуг конкуруючих між собою підприємств, з використанням методів оптимального керування систем з розподіленими параметрами. Для запропонованих моделей визначено достатні умови існування оптимальних керувань на побудованих класах функцій та розроблено стійкий чисельний метод пошуку оптимальних керувань. A two-level hierarchical organization system is used to consider a model for the optimal control of funds and competitive ability of an information–communication company. The model is based on a control problem for ordinary differential equations (that characterize the dynamics of funds) and on an initial–boundary-value problem for multidimensional quasilinear parabolic Lotka–Volterra equations (that describe the sales dynamics of competitive companies) and uses methods of optimal control for distributed-parameter systems. The sufficient existence conditions are established for the optimal control and a stable numerical algorithm is developed to search for optimal control functions.
first_indexed 2025-12-07T19:04:25Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 519.7 Â.Â. ÀÊÈÌÅÍÊÎ, À.À. ÅÔÈÌÅÍÊÎ ÌÎÄÅËÜ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÔÎÍÄÀÌÈ È ÊÎÍÊÓÐÅÍÒÎÑÏÎÑÎÁÍÎÑÒÜÞ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÎ-ÊÎÌÌÓÍÈÊÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÏÐÅÄÏÐÈßÒÈß Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííàÿ ñèñòåìà, ôîíäû ïðåä- ïðèÿòèÿ, ìîäåëü êîíêóðåíöèè, ñèñòåìà êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñ- êîãî òèïà, Ëîòêå–Âîëüòåððà äèôôóçèîííàÿ ìîäåëü, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðåäïðèÿòèåì èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöè- îííîé îòðàñëè çà ñ÷åò âíóòðåííèõ èíâåñòèöèé â ñîáñòâåííûå ôîíäû è êîíêó- ðåíòîñïîñîáíîñòü íà ðûíêå ïðèâîäèò ê ìîäåëÿì îðãàíèçàöèîííîé äâóõóðîâ- íåâîé èåðàðõè÷åñêîé ñèñòåìû [1–4], ê ìîäåëÿì óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåì îáûêíî- âåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó ôîíäîâ [1, 5, 6], ê íà÷àëüíî-êðàåâûì çàäà÷àì äëÿ ñèñòåìû ìíîãîìåðíûõ êâàçèëèíåéíûõ ïàðà- áîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé òèïà Ëîòêå–Âîëüòåððà [7–9], îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó ïðîäàæ òîâàðîâ è óñëóã êîíêóðèðóþùèõ ìåæäó ñîáîé ïðåäïðèÿòèé, ñ èñïîëü- çîâàíèåì ìåòîäîâ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïà- ðàìåòðàìè [10–14]. Äëÿ ïðåäëîæåííûõ ìîäåëåé êîíêóðåíöèè äîêàçàíû òåîðå- 94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 � Â.Â. Àêèìåíêî, À.À. Åôèìåíêî, 2012 ìû ïðèíöèïà ìàêñèìóìà, îïðåäåëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé íà ïîñòðîåííûõ êëàññàõ ôóíêöèé è ðàçðàáîòàíû óñòîé÷èâûå ÷èñëåííûå ìåòîäû ïîèñêà îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé èíâåñòèöèé â ôîíäû ïðåäïðèÿòèÿ, ïàðàìåòðû åãî êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòè íà ðûíêå óñëóã è â ðîñò ðûíêà èííîâàöèîííîãî ïðîäóêòà.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðèâåäåíû èë- ëþñòðàòèâíûå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëå- íèÿ ôîíäàìè è êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòüþ èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííîãî ïðåäïðèÿòèÿ. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÎ-ÊÎÌÌÓÍÈÊÀÖÈÎÍÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÎÉ Îáîçíà÷èì ìíîãîìåðíóþ îáëàñòü-öèëèíäð ÷åðåç Q TT � �� ( , )0 , ãäå � � �{x |0 � � �x s ms 1 1, , }, �T — ñóììà åãî áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ST è íèæíåãî îñíîâà- íèÿ �0 . Çàäàäèì íà � ñîâîêóïíîñòü n êîíêóðèðóþùèõ ìåæäó ñîáîé ïðåäïðèÿ- òèé, ïðåäîñòàâëÿþùèõ èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûå óñëóãè ïîëüçîâàòå- ëÿì â îáúåìå { }R k( ) (k n�1, , k — íîìåð ïðåäïðèÿòèÿ). Ïðåäñòàâèì ìîäåëü àê- òèâíîé îðãàíèçàöèîííîé ñèñòåìû k-ãî ïðåäïðèÿòèÿ, ðåàëèçóþùåãî èíôîðìàöèîííûå óñëóãè â ðàñïðåäåëåííîé êîìïüþòåðèçèðîâàííîé ñåòè ôèëè- àëîâ (ïîäðàçäåëåíèé) ñ ïîìîùüþ äâóõóðîâíåâîé èåðàðõè÷åñêîé ìîäåëè (îðãà- íèçàöèîííîé ñòðóêòóðû) [1, 2]. Íà óðîâíå àíàëèçà îñíîâíûõ âèäîâ äåÿòåëü- íîñòè ïðåäïðèÿòèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàçëè÷íûå âèäû óïðàâëåíèÿ, ÷òî ïðèâî- äèò ê öåëåâîé äåêîìïîçèöèè îáùåé ìîäåëè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1. Öåíòð ñèñòåìû C0 îòâå÷àåò çà ïðèíÿòèå ðåøåíèé ïî ðàñïðåäåëåíèþ ôèíàíñîâîãî ðåñóðñà: èíâåñòèöèé â ýêñòåíñèâíîå ðàçâèòèå ïðåä- ïðèÿòèÿ, åãî ðàñøèðåíèå u U1 1� ; èíâåñòèöèé â èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå ïðåäïðèÿ- òèÿ (â òîì ÷èñëå çà ñ÷åò èñïîëüçîâàíèÿ ïàòåíòîâ è íîâûõ òåõíîëîãèé), ïîâû- øåíèå åãî êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòè íà ðûíêå u U2 2� ; èíâåñòèöèé â ðîñò ðûíêà èííîâàöèîííîãî ïðîäóêòà u U3 3� . Òåì ñàìûì C0 êîîðäèíèðóåò ðàáîòó ïîäñèñ- òåì Ci (i �1 3, ). Ïîñëåäíèå îêàçûâàþò óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå íà ïðîöåññ ïî- òðåáëåíèÿ èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã. Äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ïðèí- öèïà êîîðäèíàöèè äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû îïðåäåëèì çàäà÷è êàæäîé ïîäñèñòå- ìû è ìíîæåñòâà ïàðàìåòðîâ, ÷òî õàðàêòåðèçóþò ñèñòåìó â öåëîì. Íà óðîâíå óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì ïîäñèñòåìîé C1 «Óïðàâëåíèå ðåñóðñà- ìè, èíâåñòèöèè â ôîíäû ïðåäïðèÿòèÿ» ðåøàåòñÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëå- íèÿ ôîíäàìè ïðåäïðèÿòèÿ çà ñ÷åò âíóòðåííèõ èíâåñòèöèé, âûäåëåííûõ êîîðäè- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 95 Ðèñ. 1 Ñ0 Êîîðäèíàòîðû ñèñòåìû — ïðèíÿòèå ðåøåíèé Ñ1 Óïðàâëåíèå ðåñóðñàìè, èíâåñòèöèè â ôîíäû ïðåäïðèÿòèÿ Ñ2 Àíàëèç ðûíêà ÈÊÓ è èíâåñòèöèè â êîíêó- ðåíòîñïîñîáíîñòü ïðåäïðèÿòèÿ Ñ3 Àíàëèç ðûíêà ÈÊÓ è èíâåñòèöèè â ðîñò ðûíêà èííîâàöèé Ïîòðåáëåíèå èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã m1 m2 m3z1 z2 z3 w2u2 w3u3u u1 2 w1 x y íàòîðîì C0 , â ýêñòåíñèâíîå è èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå èíôîðìàöèîííî-êîììóíè- êàöèîííîé ñèñòåìû. Ôîðìàëèçóåì ðàñïðåäåëåííóþ ñèñòåìó k-ãî ïðåäïðèÿòèÿ ñ ïîìîùüþ ñåòå- âîé ìîäåëè G S L� �, , ãäå S s s e o q d h z q R d Di i i i i i i i i i� � � � ��{ | , , , ; , , , ( , ( ))i v t�1 } — ìíîæåñòâî òåõíè÷åñêèõ óçëîâ ñåòè, îáñëóæèâàþùåé ïîòðåáèòåëåé èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã, si — èäåíòèôèêàòîð i-ãî óçëà (çàïèñü â ñïèñêå, àäðåñ), êîòîðûé ñîäåðæèò ññûëêó íà ñòðóêòóðó ñ ïîëÿìè: ei — ïðî- ïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü óçëà, oi — îáúåì ïàìÿòè íîñèòåëåé, qi — ñòîèìîñòü óçëà (âêëþ÷àÿ ñòîèìîñòü îáîðóäîâàíèÿ, ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ óçëà è ñðåäñòâ çà- ùèòû èíôîðìàöèè), di — êàòàëîã èíôîðìàöèè, çàïèñàííûé íà åãî íîñèòåëÿõ, R � — ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, D — ìíîæåñòâî êàòà- ëîãîâ èíôîðìàöèè, v t( ) — êîëè÷åñòâî óçëîâ (0 0� �v t v( ) ), �v — ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòè, t T�[ , ]0 — âðåìÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà óïðàâëåíèÿ ñåòüþ. Ìíîæåñòâî êàíàëîâ ñâÿçè ìåæäó si è s j óçëàìè ñåòè èìååò âèä L l l a b a b R i j v tij ij ij ij ij ij� � � � ��{ }| , ; , , ( , , ( ))1 , lij — èäåíòèôèêàòîð êàíàëà ñâÿçè, êîòîðûé ñîäåðæèò ññûëêó íà ñòðóêòóðó ñ ïîëÿìè: aij — ïðîïóñêíàÿ ñïî- ñîáíîñòü êàíàëà, bij — åãî ñòîèìîñòü. Èçíà÷àëüíî â ñèñòåìå ôîðìèðóåòñÿ ãëîáàëüíàÿ ñåòü � �, �G S L� �, ñîäåðæàùàÿ ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ óçëîâ ñåòè è ñâÿçåé ìåæäó íèìè, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëèçàöèåé âñåõ ðåàëüíî ñóùåñòâóþùèõ îáúåêòîâ èíôîðìàöèîííî-êîììó- íèêàöèîííîé ñèñòåìû, ïîïàäàþùèõ ïîä èíòåðåñû êîîðäèíèðóþùåãî öåíòðà C0 .  äîëãîñðî÷íîé ïåðñïåêòèâå � �, �G S L� � ìîæåò ðàçâèâàòüñÿ è äîïîëíÿòüñÿ íîâû- ìè ýëåìåíòàìè, îäíàêî çà ðàññìàòðèâàåìûé ïåðèîä ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà óïðàâëåíèÿ t T�[ , ]0 ñåòü � �, �G S L� � çàäàíà è îñòàåòñÿ íåèçìåííîé.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè èäåíòèôèêàòîðû s Si � �, l Lij � � ñîäåðæàò èñõîäíûå àäðåñà óçëîâ è êàíàëîâ ñâÿçè G( )0 .  ãðàíèöàõ ìíîæåñòâà �G ðàññìàòðèâàåòñÿ ñîçäàíèå è ðàçâè- òèå òåêóùåé ñåòè G t( ), êîòîðàÿ ìîæåò ðàçâèâàòüñÿ è ïåðåõîäèòü èç íåêîòîðîãî ñîñòîÿíèÿ G t( )1 â ñîñòîÿíèå G t( )2 , èçìåíÿÿ ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî óçëîâ, êàíàëîâ ñâÿçåé ìåæäó íèìè, èõ òåõíè÷åñêèå è ñòîèìîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè. Èäåíòèôèêàòîðû ñåòåé si , lij , ñîäåðæàùèå àäðåñà óçëîâ è êàíàëîâ ñâÿçåé, âñåãäà âûáèðàþòñÿ èç ìíîæåñòâ �, �S L. Îáîçíà÷èì ñòîèìîñòü çàäåéñòâîâàííûõ (àêòèâíûõ) ôîíäîâ k-ãî ïðåäïðèÿ- òèÿ ÷åðåç ( ) ( )k t , âêëþ÷àÿ ñòîèìîñòü ðàáîòàþùèõ óçëîâ è êàíàëîâ ñâÿçè èíôîð- ìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííîé ñåòè. Òîãäà äèíàìèêà ñòîèìîñòè ôîíäîâ îïèñû- âàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé [1, 5]: � ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ) k k k kt f u t u t t t� �1 2 � ( ) ( )( )k k0 0 � , (1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ), ( ))exp ( )k k k kt f u u d� � � � � � �0 1 2 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �d d t k t � � � � 0 0 exp ( ) ,( ) (2) ãäå � ( ) ( )k t � 0 — êîýôôèöèåíò àìîðòèçàöèè ôîíäîâ, u t1 ( ) — èíâåñòèöèè â ôîíäû ïðåäïðèÿòèÿ, f u t u tk( ) ( ( ), ( ))1 2 — ôóíêöèÿ èñòî÷íèêà ôîíäîâ çà ñ÷åò èíâåñòèöèé â ýêñòåíñèâíûé è èíòåíñèâíûé ïóòè ðàçâèòèÿ ïðåäïðèÿòèÿ. Ïðî- èçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ P Fk k k( ) ( ) ( )( )� ïîêàçûâàåò çàâèñèìîñòü ìàêñèìàëü- íîãî çíà÷åíèÿ ñòîèìîñòè óñëóã â ñåòè, ïðåäîñòàâëÿåìûõ ïðåäïðèÿòèåì, â çà- âèñèìîñòè îò ñòîèìîñòè åãî ôîíäîâ [1, 6]. Ñòîèìîñòü ïðåäîñòàâëåííûõ ïðåä- ïðèÿòèåì óñëóã â ñåòè R P Fk k k k( ) ( ) ( ) ( )( )� � . Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñðåäñòâà, ïîëó÷åííûå ïðåäïðèÿòèåì îò ðåàëèçàöèè èíôîðìàöèîííî-êîì- 96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 97 ìóíèêàöèîííûõ óñëóã K k( ) , ñîñòàâëÿþò ñâîáîäíûå ñðåäñòâà ïðåäïðèÿòèÿ I k( ) , èíâåñòèöèè u U1 2� , u U2 2� , u U3 3� è ðàñõîäû Z k k 0 ( ) ( )( ) , êîòîðûå çàâèñÿò îò ñòîèìîñòè ôîíäîâ è âêëþ÷àþò â ñåáÿ ñòîèìîñòü ðàáî÷åé ñèëû, íàëîãè, ïðîèçâîäñòâåííûå çàòðàòû, íàêëàäíûå ðàñõîäû è äð.: K I u Z R Pk k i i k k k k k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )� � � � � � � 1 3 0 . Ââåäåì îáùóþ ôóíêöèþ óïðàâëåíèÿ äëÿ k-ãî ïðåäïðèÿòèÿ u t u t( ) ( ( ),� 1 u t u t2 3( ), ( )) íà ìíîæåñòâå u U U U U� � � �1 2 3 . Ïîñêîëüêó â ìîäåëè ïðåäóñìîò- ðåíî óïðàâëåíèå òîëüêî îäíèì âûáðàííûì ïðåäïðèÿòèåì, â äàëüíåéøåì áóäåì îïóñêàòü èíäåêñ k â ôóíêöèè óïðàâëåíèÿ. Íà óðîâíå óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì ïîäñèñòåìàìè C2 «Àíàëèç ðûíêà ÈÊÓ è èíâåñòèöèè â êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòü ïðåäïðèÿòèÿ», C3 «Àíàëèç ðûíêà ÈÊÓ è èíâåñòèöèè â ðîñò ðûíêà èííîâàöèé» ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ñòîèìîñòè óñëóã, ïðåäîñòàâëÿåìûõ ïðåäïðèÿòèåì â óñëîâèÿõ ðûíî÷- íîé êîíêóðåíöèè, óïðàâëåíèÿ êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòüþ ïðåäïðèÿòèÿ íà ðûíêå óñëóã è óïðàâëåíèå óâåëè÷åíèåì èííîâàöèîííîãî ðûíêà èíôîðìàöèîííî-êîììó- íèêàöèîííûõ óñëóã çà ñ÷åò âûäåëåííûõ âíóòðåííèõ èíâåñòèöèé. Ðàññìîòðèì äàííóþ çàäà÷ó íà îñíîâå ìîäåëè äèôôóçèè èííîâàöèé èç [8, 9], îñíîâàííîé íà íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷å äëÿ ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëè êîíêóðåíòíîé áîðüáû Ëîòêå–Âîëüòåððà. Äëÿ ñòîè- ìîñòè ïðåäîñòàâëåííûõ âñåìè ïðåäïðèÿòèÿìè èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã â äàííîì ðåãèîíå R x t R x tk k n ( , ) ( , )( )� � � 1 ðàññìîòðèì ëîãèñòè÷åñêóþ ìîäåëü: R t R R a Rt x x s m s s � � � � �� �( ( ) )0 1 , (3) R s m Rx x x t s s s � � � � � � 0 1 0 0 1, ( , ), �, (4) ãäå � 0 0( )t � — îáúåì ðûíêà èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã â äàí- íîì ðåãèîíå, âûðàæåííûé â äåíåæíîì ýêâèâàëåíòå, a � �const 0 — êîýôôèöè- åíò äèôôóçèè, � ��1 0/ ( � ~ )T — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, îïðåäåëÿþùèé ñêîðîñòü íàñûùåíèÿ ðûíêà óñëóã, � max ( ) [ , ] � � � � �t T t 0 0 — ìàêñèìàëüíûé îáúåì ðûíêà èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã â äàííîì ðåãèîíå, ~ T � �const 0 — âðåìåííîé ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé ïåðèîä íàñûùåíèÿ ðûíêà, �( , , )x xm1 � — íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïîòðåáëåííîé ñòîèìîñòè óñëóã ðåãè- îíà ïî àðåàëó �, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 01 0� �� �( , , ) ( )x xm� , �( , , )x xm1 0� �� . Åñëè ââåñòè ïàðàìåòð � � ~ a a T� � 0 , íîâóþ ïåðåìåííóþ � / ( � ~ )t t T� � 0 , � [ , � ]t T� 0 , � / ( � ~ )T T T� � 0 , Q TT� ( , � )� �� 0 , òî âìåñòî (3), (4) â ìíî- ãîìåðíîé îáëàñòè QT� ñ ãðàíèöåé � �T ïîëó÷àåì çàäà÷ó R t R R a Rt x x s m s s � ( (� ) ) �� � � � �� 0 1 , (5) R s m R xx x x t s s s � � � � � � 0 1 0 0 1, ( , ), ( ) � � . (6) Ðàñùåïèì çàäà÷ó (5), (6) íà n çàäà÷ äëÿ { }R k( ) , ïîëó÷èì ñèñòåìó òèïà Ëîò- êå–Âîëüòåððà.  äèôôóçèîííîé ìîäåëè [8] öåíòðû êîíêóðèðóþùèõ ôèðì ðàñïî- ëàãàþòñÿ â � íà ðàâíîóäàëåííûõ ðàññòîÿíèÿõ îäèí îò äðóãîãî, ïîýòîìó ðàçìåð- íîñòü îáëàñòè � ïðèíèìàåò çíà÷åíèå m n� �( )1 : R t R R R t R a R t k k k ks s s s k n x� ( ) ( ) ( ) ( )( (� ) ) (� ) �� � � � � � �� 0 1 s sx k s m ( ) � � 1 , (7) R s m R x k x x k t k s s s ( ) ( ) � ( ), ( , ), � � � � � � 0 1 0 0 1 � . (8) Çäåñü ks t(� ) — áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò êîíêóðåíöèè ìåæäó ïðåäïðèÿ- òèÿìè ( ks skt t(� ) (� )� � , ks t(� ) [ ; ]� �1 1 ), R x t R x tk k n ( , � ) ( , � )( )� � � 1 , � �� � � ( )k k n 1 , 0 01 0� �� �( ) ( , , ) ( )k mx x� , � ( ) ( , , )k mx x1 0� �� . Ñóììà óðàâíåíèé (7) ïðèâî- äèò ê óðàâíåíèþ (5). Ïðåäïðèÿòèå ñ íîìåðîì ( )k äîìèíèðóåò (ÿâëÿåòñÿ áîëåå êîíêóðåíòîñïîñîáíûì) íàä ïðåäïðèÿòèåì ñ íîìåðîì ( )s : ( ) ( )k s� , åñëè 0 1� � ks t(� ) . Ýòî óñëîâèå ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâó lim lim � ( ) � ( )max( ( , � )) max( ( , � ) t x k t x sR x t R x t �� � �� � � � � ), ò.å. ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ( )k ïðåäïðèÿòèå âûòåñíÿåò ñ ðûíêà ( )s ïðåäïðèÿòèå. Çàôèêñèðóåì íîìåð ( )k ðàññìàòðèâàåìîãî íàìè ïðåäïðèÿòèÿ â îáùåé ãðóïïå êîíêóðåíòîâ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü óïðàâëåíèå ðàáîòîé k-ãî ïðåäïðèÿòèÿ â êîíêóðåíòíîé ñðåäå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ êîíêóðåíöèè ñ ôèêñèðîâàííûì íî- ìåðîì ( )k ks sku t u t t u t u t t( (� ), (� ), � ) ( (� ), (� ), � )1 2 1 2� � , (s n s k� �1, , ), çàâèñÿùèõ îò óïðàâëÿþùèõ èíâåñòèöèé â ôîíäû ( )k -ãî ïðåäïðèÿòèÿ u t1 (� ) è ïðÿìûõ óïðàâëÿþùèõ èíâåñòèöèé â êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòü — ïðîäâèæåíèå ïðîäóê- öèè ïðåäïðèÿòèÿ íà ðûíêå óñëóã u t2 (� ) è óïðàâëåíèå ðîñòîì ðûíêà óñëóã çà ñ÷åò ôîðìèðîâàíèÿ ñïðîñà ïîòðåáèòåëåé íà ïðåäîñòàâëÿåìûé âèä óñëóã èííî- âàöèîííîãî õàðàêòåðà ÷åðåç êîýôôèöèåíò � 0 3( (� ), � )u t t . Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (1), (2) äëÿ ïåðåìåííîé � [ , � ]t t� 0 . Íà óðîâíå êîîðäèíàöèè C0 ðàññìîòðèì òðè ðàçëè÷íûå ñöåíàðèÿ óïðàâëåíèÿ k-ì ïðåäïðèÿòèåì â çàâèñèìîñòè îò ñòðàòåãè÷åñêèõ öåëåé è ïëàíîâ ýêñòåíñèâíîãî èëè èíòåíñèâíîãî ïóòè ðàçâèòèÿ, ñôîðìóëèðîâàííûõ â âèäå ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. 1. Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÎÓ I-ýêñòåíñèâíîå ðàçâèòèå ïðåä- ïðèÿòèÿ (çàõâàò ðûíêà) — óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà óçëîâ è êàíàëîâ ñâÿçè èíôîðìà- öèîííî-êîììóíèêàöèîííîé ñåòè ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà îáúåìû ôèíàíñèðîâàíèÿ. Íà ïðîñòðàíñòâå �J N U 1 1� �{ } (N — ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë) ââåäåì êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ — ôóíêöèîíàë J v uk 1 1 ( ) ( , ) — è ðàññìîòðèì çàäà÷ó: u t J v u u t U k k u t 1 1 1 1 1 * (� ) ( ) ( ) (� ) (� ) max ( , ) max� � � � arg arg U kv u T v( ( , ) / � )( ) 1 , (9) I R u t u t Zk k k k( ) ( ) ( ) ( )( (� )) (� ) ( )� � � �1 0 0 , R P Fk k k k( ) ( ) ( ) ( )( )� � , G t Gk( ) (� ) �� , u t1 0(� ) � , u t2 0(� ) � , u t3 0(� ) � , (10) 98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 v u Tk( ) ( , )1 — êîëè÷åñòâî òåõíè÷åñêèõ óçëîâ ñåòè k-ãî ïðåäïðèÿòèÿ, îáñëóæè- âàþùåé ïîòðåáèòåëåé èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã. Îãðàíè÷åíèå (10) äëÿ çàäà÷è (9) âûñòóïàåò â ðîëè êðèòåðèÿ îñòàíîâêè ïðîöåññà ìîäåëèðî- âàíèÿ, â ñëó÷àå åñëè â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè óïðàâëåíèå íå ïîçâîëÿåò óäîâëåòâîðÿòü ýòîìó óñëîâèþ. Òîãäà ïðåäïðèÿòèå ìîæåò ñòàòü óáûòî÷íûì. 2. Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÎÓ II-èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå ïðåäïðèÿ- òèÿ — óâåëè÷åíèå åãî ñâîáîäíûõ ñðåäñòâ c ïîìîùüþ èíâåñòèöèé â èííîâàöèîí- íûå òåõíîëîãèè è îáíîâëåíèÿ ôîíäîâ, à òàêæå ïîâûøåíèå åãî êîíêóðåíòîñïî- ñîáíîñòè çà ñ÷åò èíôîðìàöèîííîé ðåêëàìíî-ìàðêåòèíãîâîé äåÿòåëüíîñòè. Íà ïðîñòðàíñòâå �J tC Q C t U 2 2 1 1 20� � �{ }( ) ([ , � ])� ââåäåì êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëå- íèÿ — ôóíêöèîíàë J R uk k 2 2 ( ) ( )( , , ) è ðàññìîòðèì çàäà÷ó: u t J R u u t U k k k 2 2 2 2 * (� ) ( ) ( ) ( )(� ) max ( , , ) ( ) � � � arg � � � � arg max (( ( (� )) (� ) ( ( (� (� ) ( ) ( ) ( ) u t U k k kR u t u t Z u 2 2 0 t t), � ))) / � )� 0 , (11) I R u t u t Z u t tk k k k( ) ( ) ( ) ( )( (� )) (� ) ( ( (� ), � ))� � � �2 0 0 , R P Fk k k k( ) ( ) ( ) ( )( ),� � (12) u t1 0(� ) � , u t2 0(� ) � , u t3 0(� ) � . Åñëè îãðàíè÷åíèå (12) äëÿ çàäà÷è (11) íå âûïîëíÿåòñÿ, ìîäåëèðîâàíèå ïðî- öåññà îñòàíàâëèâàåòñÿ, ïðåäïðèÿòèå ïåðåõîäèò â ðàçðÿä óáûòî÷íûõ. 3. Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÎÓ III-èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå ïðåäïðèÿ- òèÿ âìåñòå ñ ðàçâèòèåì ðûíêà èííîâàöèè — ðîñò îòäåëüíûõ èííîâàöèîííûõ ñåã- ìåíòîâ ðûíêà èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã âìåñòå ñ îáúåìàìè ïðîäàæ ïðåäïðèÿòèÿ çà ñ÷åò âëîæåíèÿ ôèíàíñîâûõ ðåñóðñîâ â èíôîðìàöèîí- íî-ðåêëàìíóþ äåÿòåëüíîñòü îòíîñèòåëüíî èííîâàöèé. Íà ïðîñòðàíñòâå �J TC Q C T U 3 2 1 1 30� � �{ }( ) ([ , � ])� ( ) ( ) ââåäåì êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ — ôóíêöèîíàë J R uk k 3 3( , , )( ) ( ) — è ðàññìîòðèì çàäà÷ó: u t J R u u t U k k k( )* (� ) ( ) ( ) ( ) ( )(� ) max ( , , ) ( ) 3 3 3 3 � � � arg � � arg max ( ( (� ), � ) / � ) ( ) (� ) ( ) u t U u t t 3 0 3 0� � , (13) I R u t u t Zk k k k( ) ( ) ( ) ( )( (� )) (� ) ( )� � � �3 0 0 , R P Fk k k( ) ( ) ( )( )� � , (14) u t1 0(� ) ,� u t2 0(� ) � , u t3 0(� ) � . Åñëè îãðàíè÷åíèå (14) äëÿ çàäà÷è (13) íå âûïîëíÿåòñÿ, ìîäåëèðîâàíèå ïðî- öåññà îñòàíàâëèâàåòñÿ, ïðåäïðèÿòèå ïåðåõîäèò â ðàçðÿä óáûòî÷íûõ. 4. Êîìïëåêñíàÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî ÎÓ óïðàâëåíèÿ IV. Íà îñíîâå ñöåíàðè- åâ (9)–(14) íà ïðîñòðàíñòâå �J TN C Q C T U U U� � � � � �{ } 2 1 1 1 2 30( ) ([ , � ])� ( ) ââå- äåì êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ — ôóíêöèîíàë J uk( ) ( ) — è ðàññìîòðèì çàäà- ÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â îáùåì âèäå: u t J v R u u t U k k k u t * (� ) ( ) ( ) ( ) (� (� ) max ( , , , ) max� � � arg arg ) ( ) (( � )) � � � � � � � � � � �U i i k i i J u t 1 3 , (15) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 99 I R u t u t Zk k i i i k k( ) ( ) ( ) ( )( (� )) ( ) (� ) ( )� � � � � � � 1 3 0 0 , R P Fk k k( ) ( ) ( )( )� � , G t Gk( ) (� ) �� , (16) ( ( )) (� )1 0� �� i iu t , u ti (� ) � 0 (i �13, ), �( ) , , , , x x x � � � � � 1 0 0 0 ãäå i � 0 — âåñîâûå ìíîæèòåëè, îïðåäåëÿåìûå íà óðîâíå êîîðäèíàöèè C0 . Ïîñêîëüêó êëþ÷åâûì ïàðàìåòðîì ìîäåëè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îáúåì ïðîäàæ ïðåäïðèÿòèÿ, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîððåêòíîãî àëãîðèòìà ðåøå- íèÿ çàäà÷è (15), (16) â ïåðâóþ î÷åðåäü íåîáõîäèìî ïðîàíàëèçèðîâàòü òåîðåòè- ÷åñêèå ñâîéñòâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5)–(8). ÏÐÈÍÖÈÏ ÌÀÊÑÈÌÓÌÀ È ÎÖÅÍÊÈ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÄËß ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÍÊÓÐÈÐÓÞÙÈÕ ÏÐÅÄÏÐÈßÒÈÉ Ïðåæäå ÷åì èññëåäîâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5)–(8), ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ëîãèñòè÷åñêîãî òèïà: Y t Y Yt� ( (� ) )� �� 0 , Y Yt�� �0 0 , � [ , � ]t t� 0 . Ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è èç [9] èìååò âèä Y t Y d Y d t (� ) exp ( ) exp ( ) � � � � � � � � � � � � � �� �0 0 0 0 0 0 1� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � d t � 0 1 � . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè � 0 0(� )t � è Y0 0� âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå îñîáîé òî÷êè � *t — òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè Y t(� ), â êîòîðîé 1 00 0 00 � � � � � � � � � ���Y d d t exp ( ) �* � � � � � . Äëÿ ðàññìîòðåííîé çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ ðûíêà èíôîðìàöèîííî-êîììóíè- êàöèîííûõ óñëóã (ñèñòåìû (5)–(8)) íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ïî ñóòè âñåãäà ÿâëÿþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûìè, ÷òî äîëæíî ãàðàíòèðîâàòü îòñóòñòâèå îñîáûõ òî- ÷åê äàííîãî òèïà. Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ïðè óáûâàþùåì ïîëîæèòåëüíîì êîýôôèöèåíòå � 0 0(� )t � , d dt� 0 0/ � � . Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì çà- âèñèìîñòü �(� ) � t Y t � � ! 0 1 , � [ , ]t � �0 1! , ãäå ! � �const 1 — ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. Ðåøåíèå Y t( ) â êîíå÷íîé òî÷êå �t B� �1 èìååò âèä Y Y Y Y Y Y ( ) ( ) ( ( ) ) ! ! ! ! !! � � � � � �� 1 1 1 1 0 0 0 0 0 . Ïîñêîëüêó ïðè ! � 2, !Y0 10� ñïðàâåäëèâî ( ( ) )1 1 10 0� � �! ! ! Y Y , òî ðåøåíèå çàäà÷è Y Y( ) ( )! !� � � �1 10 0� . Ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî äëÿ äàííîãî ÷àñòíîãî ïðèìåðà ïðîòèâîðå÷èò îñíîâíîìó ñâîéñòâó ëîãèñòè÷åñêîé ìîäåëè, êîãäà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè Y t( ) àñèìïòîòè÷åñêè äîñòèãàåò ïðåäåëà íàñûùåíèÿ � 0 ( )t . Óñëîâèå óáûâàíèÿ êîýôôèöèåíòà d dt� 0 0/ � ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì ïðèìåíè- ìîñòè äàííîé çàäà÷è ê ìîäåëèðîâàíèþ ïðîöåññîâ íàñûùåíèÿ ðûíêà óñëóã. Ðàñ- ñìîòðåííûå ñâîéñòâà òî÷íîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ïîçâîëÿò ñôîðìóëèðîâàòü è 100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 äîêàçàòü ìàòåìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà ðåøåíèé çàäà÷ (5)–(8). Ðàññìîòðèì òåïåðü çà- äà÷ó (5), (6) äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ñòîèìîñòè ïðåäîñòàâëåííûõ èíôîðìà- öèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã íà ðûêå â öåëîì R x t( , � ). Òåîðåìà 1. Ïóñòü R x t( , � ) — êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (5), (6) â îáëàñòè QT� , äëÿ âñåõ ( , � ) �x t QT� êîýôôèöèåíòû �a � const > 0, � 0 0(� )t � , 0 00� � �( ) ( )x , � �� 0 — íåïðåðûâíûå, îãðàíè÷åííûå íà ìíîæåñòâå QT� ôóíêöèè. Òîãäà äëÿ R x t( , � ) ïðè ëþáîì � [ , � ]t T� 0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà 0 0� � � � min( ( )) ( , � ) � x x R x t � � � , (17) ãäå � max (� ) � [ , � ] � �0 0 0� �t T t . Åñëè � 0 (� )t äîïîëíèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ d t dt� 0 0(� ) / � � , òî äëÿ R x t( , � ) ïðè ëþáîì � [ , � ]t T� 0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà 0 0� � � � min( ( )) ( , � ) (� ) x x R x t t � � � . (18) Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó � ( , � )t T� 0 è ðàññìîòðèì ïî- ëîæèòåëüíûé ìàêñèìóì ôóíêöèè R x t( , � ) â íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êå îáëàñòè ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� .  ýòîé òî÷êå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà (ìàêñèìóìà): � ( , � )aR x tx xs s 0 0 0� , R x tt� ( , � )0 0 0� , R x txj ( , � )0 0 0� . Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (5) ñëåäóåò, ÷òî R x t( , � )0 0 äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ( (� ) ( , � )) ( , � )� 0 0 0 0 0 0 0t R x t R x t� � . Îòñþäà ñëåäóåò R x t t( , � ) (� )0 0 0 0� � .  òî÷êå ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìóìà R x t( , � )0 0 íå ïðåâûøàåò çíà÷åíèÿ � �0 0 0(� ) �t � . Åñëè ïîëîæèòåëüíûé ìàêñèìóì R x t( , � ) íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîé íà÷àëüíîé òî÷êå ( , )x0 0 , x0 ��, òî â ñèëó îãðàíè÷åíèé äëÿ �( )x ñïðàâåäëèâî (17). Ðàññìîòðèì ïîëîæèòåëüíûé ìàêñèìóì R x t( , � )0 0 â íåêîòîðîé òî÷êå ( , � )x t0 0 áîêîâîé ãðàíèöû öèëèíäðà Qt�1 : x j � 0 èëè x j �1 äëÿ 1� �j m, � ( , )t T0 0� . Ðàñ- ñìîòðèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîâåðõíîñòü x j � 0, íà êîòîðîé îïðåäåëèì áåñêî- íå÷íî ìàëóþ �-îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 â âèäå ïàðàëëåëåïèïåäà, � � � � �� � � � � � � � �{ }x x x x s m s j xs s s j| , , , ,0 0 1 0 . Ïóñòü �s � è �s � — áîêîâûå ïîâåðõíîñòè � � äëÿ x xs s� �0 � è ñîîòâåòñòâåííî x xs s� �0 �. Ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (5) ïî îáëàñòè� � . Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Îñòðîãðàäñêîãî è ó÷èòûâàÿ (6), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ( ( (� ) ) ) ��R t R R dx a R d R dt x s x ss s s s � � � � � � � � � � � � � � 0 0 � � � � � � � � � � � � � � � � �s s j m x ja R d j j 1 0� . � (19) Èç ñâîéñòâ ìàêñèìóìà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ñëåäóåò ñó- ùåñòâîâàíèå �� 0 òàêîãî, ÷òî ïðè � �t t� 0 â êàæäîé òî÷êå îêðåñòíîñòè x �� � ìàê- ñèìóìà ( , � )x ts0 0 ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå R x t( , � ) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì R x tt� ( , � )0 0� , R x txs ( , � )0 0� äëÿ x s� �� , R x txs ( , � )0 0� äëÿ x s� �� . Ïîñêîëüêó óðàâ- íåíèå (19) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî 0 ~� �, îïðåäåëÿþùåãî îáëàñòü � ~� , òî èç ñâîéñòâ ãëàäêîñòè ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé â (19) ñëåäóåò ( (� )� 0 0t � � �R x t R x t( , � )) ( , � )0 0 0 0 0, îòêóäà âûòåêàåò R x t t( , � ) (� )0 0 0 0� � . Àíàëîãè÷íî ðàñ- ñìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé äëÿ ïîâåðõíîñòè x j �1 ïðè ïðîèçâîëüíîì j m�1, . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 101  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè �T ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå íà ìíîæåñòâå Qt�1 , ñïðà- âåäëèâû è äëÿ QT� , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî R x t( , � ) íå ìîæåò ïðåâûøàòü ìàêñèìàëüíî- ãî çíà÷åíèÿ � max (� ) � [ , � ] � �0 0 0� �t T t íà âñåì ìíîæåñòâå , îòêóäà îêîí÷àòåëüíî âûòåêàåò ïðàâàÿ ÷àñòü îöåíêè (17).  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè R x t( , � ) óäîâëåòâîðÿåò 0 0 00� R x( , ) ( )� .  òî÷êå ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìóìà R x t t( , � ) (� )0 0 0 0� � ïðè � �t T0 " ��T 0. Îòñþ- äà â ñèëó ãëàäêîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ R x t( , � ) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ïðà- âîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (18) ïðè 0 0� �� �t t . Åñëè � 0 (� )t äëÿ âñåõ � [ , � ]t T� 0 äîïîë- íèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò d t dt� 0 0(� ) / � � , òî èç ñâîéñòâà ìàêñèìóìà R x t t( , � ) (� )0 0 0 0� � ñëåäóåò, ÷òî ýòî óñëîâèå ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèå ïðàâîé ÷àñ- òè óñëîâèÿ (18) äëÿ âñåõ � [ , � ]t t� 0 . Ðàññìîòðèì ìèíèìóì ôóíêöèè R x t( , � ) â íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êå ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� è ïðåäïîëîæèì, ÷òî R x t x x ( , � ) min( ( )) 0 0 �� � .  ýòîé òî÷êå âû- ïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà (ìèíèìóìà): � ( , � )aR x tx xs s 0 0 0� , R x tt� ( , � )0 0 0� . Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (5) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ òî÷êè ìèíèìóìà äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå ( (� ) ( , � )) ( , � )� 0 0 0 0 0 0 0t R x t R x t� � . Ýòî âîçìîæíî òîëüêî ïðè R x t( , � )0 0 0 . Åñëè R x t( , � )0 0 0� , òî â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ( , � )x t0 0 îáëàñòè �� ( , � ]0 1t âñåãäà íàéäåòñÿ òî÷êà ( , � )* *x t , â êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà � ( , � )* *aR x tx xs s � 0, R x tt� * *( , � ) 0, R x t( , � )* * � 0 , ( (� ) ( , � )) ( , � )* * * * *� 0 0t R x t R x t� � , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óðàâíåíèþ (5). Ðåøåíèå çàäà÷è (5), (6) R x t( , � ) íå ìîæåò ïðèíèìàòü íåîòðèöàòåëüíîãî ìèíèìóìà âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ îáëàñòè QT� . Àíàëîãè÷íî ñ ïîìîùüþ (6) è (19) ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé íà áîêîâîé ãðàíèöå öèëèíäðà QT� . Ðàññìîòðèì îòðèöàòåëüíûé ìèíèìóì R x t( , � )0 0 . Ïåðåéäåì â óðàâíåíèè (5) ê íîâîé ôóíêöèè V x t R x t t( , � ) ( , � )exp( � )� � , ãäå — ôèêñèðîâàííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. Ôóíêöèè V x t( , � ) è R x t( , � ) îäíîâðåìåííî ïðèíèìàþò ïîëîæèòåëüíûå, îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ëèáî îäíîâðåìåííî îáðàùàþòñÿ â íóëü. Äëÿ V x t( , � ) ïîëó÷àåì çàäà÷ó: V V t V a Vt x x s m s s � ( exp ( � )) �� � � � � �� 0 1 , (20) Vx x x s s s � � � 0 1 0, ( , )s n� �1 1 , V x t� ( ) � � 0 � . (21) Ðàññìîòðèì îòðèöàòåëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèè V x t( , � ) â íåêîòîðîé âíóòðåí- íåé òî÷êå ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� : � ( , � )aV x tx xs s 0 0 0� , V x tt� ( , � )0 0 0� , V x t( , � )0 0 0 . (22) 102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 Èç (20), (22) ñëåäóåò, ÷òî ( (� ) ( , � )exp( � )) ( , � )� 0 0 0 0 0 0 0 0t V x t t V x t� � � . (23) Ïîñëåäíåå âîçìîæíî òîëüêî ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâ 0 0 0 0 0 0 0 0 0� � � � � �( (� ) ( , � )exp( � )) ( (� ) ( , �� � t V x t t t R x t0 )).  ñèëó ãëàäêîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè R x t( , � )0 0 ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî �T � 0 âñåãäà ñóùåñòâóþò äîñòàòî÷íî áîëüøèå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðà- ìåòðà , íà÷èíàÿ ñ �� � �0 0 0 0� ( , � )R x t , ïðè êîòîðûõ äàííîå íåðàâåíñòâî íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîñêîëüêó çíàê ôóíêöèè R x t( , � ) íå çàâèñèò îò , òî èç ïîëó÷åííîãî ïðîòèâîðå÷èÿ ñëåäóåò, ÷òî V x t( , � ) è R x t( , � ) íå ìîãóò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíîãî çíà÷åíèÿ â îáëàñòè �� ( , � ]0 1t ïðè ïðîèçâîëüíîì � ( , � )t T1 0� . Àíàëîãè÷íî ñ ïî- ìîùüþ (6), (19), (21) ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé íà áîêîâîé ãðàíèöå öèëèíäðà QT� . Ñëåäîâàòåëüíî, R x t( , � ) íå ìîæåò ïðèíèìàòü â çàìêíóòîé îáëàñòè QT� ìèíèìàëü- íîãî çíà÷åíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî R x t x x ( , � ) min( ( ))0 0 �� � , îòêóäà ñëåäóþò ëåâûå ÷àñòè îöåíîê (17) è (18). Òåîðåìà äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå. Åñëè óñëîâèå ê îöåíêå (18) íå âûïîëíÿåòñÿ è d t dt� 0 0(� ) / �* , òî â íåêîòîðîé òî÷êå ( , � )* *x t îêðåñòíîñòè ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìóìà R x t( , � )* * ÿâëÿåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé ñâîèõ àðãóìåíòîâ R x tt� * *( , � ) � 0 è (êàê ýòî ñëåäóåò èç (5)) R x t( , � )* * ìîæåò â ýòîé òî÷êå óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó ( (� ) ( , � )) ( , � )* * * * *� 0 0t R x t R x t� � . Äàííàÿ ñèòóàöèÿ âîçìîæíà òîëüêî â ñëó÷àå d t dt R x tt� 0 0(� ) / � ( , � )* � * * � , êîãäà � 0 (� )t â îêðåñòíîñòè ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñè- ìóìà óáûâàåò áûñòðåå, ÷åì R x t( , � ), è � 0 (� ) ( , � )* * *t R x t , ÷òî ïðèâîäèò ê íàðó- øåíèþ (18). Îöåíêà (18) îòðàæàåò â áîëüøåé ñòåïåíè ïðèêëàäíûå ñâîéñòâà ðåøåíèÿ çà- äà÷è: äëÿ òîãî ÷òîáû ñòîèìîñòü îêàçàííûõ èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã R x t( , � ) â äàííîì ðåãèîíå íå ïðåâûøàëà îáúåìà ðûíêà � 0 (� )t , äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü âîçðàñòàíèÿ èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, íåóáûâàíèÿ ðûíêà ïîòðåáëåíèÿ óñëóã: d t dt� 0 0(� ) / � � . Óñëîâèå d t dt� 0 0(� ) / � � ïîêàçûâàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ìîäåëè (5), (6) äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ ðåàëèçàöèè òîâàðîâ è óñëóã íà ðûíêå ïîòðåáëåíèÿ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó (7), (8) äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ñòîèìîñòè èíôîð- ìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã, ïðåäîñòàâëÿåìûõ êîíêóðèðóþùèìè ïðåä- ïðèÿòèÿìè R x tk( ) ( , � ) . Òåîðåìà 2. Ïóñòü R x t( , � ) — êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (5), (6) â îáëàñòè QT� , íàáîð ôóíêöèé R x tk( ) ( , � ) (k n�1, ) — êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (7), (8) â îáëàñòè QT� , êîýôôèöèåíòû �a � �const 0 , � 0 0(� )t � , 0 0 1 0� � � �� � �( ) ( )( )x k k n , � ( ) ( )k x � 0 , � ( ) ( )k x �� 0, ks t(� ) [ ; ]� �1 1 ( ks skt t(� ) (� )� � ; k s n, ,�1 ) — íåïðåðûâ- íûå, îãðàíè÷åííûå íà ìíîæåñòâå ñâîèõ àðãóìåíòîâ ôóíêöèè. Òîãäà äëÿ ôóíêöèé R x tk( ) ( , � ) ñïðàâåäëèâû îöåíêè ïðè ëþáîì � [ , � ]t T� 0 : 0 0� �R x tk( ) ( , � ) �� . (24) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 103 Åñëè � 0 (� )t äîïîëíèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ d t dt� 0 0(� ) / � � , òî äëÿ R x tk( ) ( , � ) ñïðàâåäëèâû îöåíêè 0 0� �R x t tk( ) ( , � ) (� )� . (25) Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó � ( , � )t T1 0� è äëÿ ôèêñèðîâàí- íîãî íîìåðà ( )k ðàññìîòðèì îòðèöàòåëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèè R x tk( ) ( , � ) â íåêî- òîðîé òî÷êå ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� .  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè R xk t k( ) � ( ) ( )� � �0 0� . Ïåðåéäåì â óðàâíåíèÿõ ñèñòåìû (7) ê íîâûì ôóíêöèÿì V x t R x t tk k( ) ( )( , � ) ( , � )exp( � )� � , ãäå �� � 0 — ôèêñèðîâàííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîí- ñòàíòà. Ôóíêöèè V x tk( ) ( , � ) è R x tk( ) ( , � ) îäíîâðåìåííî ïðèíèìàþò ïîëîæèòåëü- íûå, îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ èëè îäíîâðåìåííî îáðàùàþòñÿ â íóëü. Äëÿ V x tk( ) ( , � ) ïîëó÷àåì çàäà÷ó: V R V t V t k ks s s s k n k � ( ) ( ) (exp ( � )� � � � � � � � � � � � � �� � �� 0 1 ) ( )�� � �a V x x k s m s s 1 , (26) V x k x xs s s ( ) � � �0 1 0, ( , )s m�1 , V xk t k( ) � ( ) ( )� �0 � . (27) Ðàññìîòðèì îòðèöàòåëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèè V x tk( ) ( , � ) â íåêîòîðîé òî÷êå ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� : � ( , � )( )aV x t x x k s s 0 0 0� , V x t t k � ( ) ( , � )0 0 0� , V x tk( ) ( , � )0 0 0 . (28) Èç (26), (28) ñëåäóåò, ÷òî � 0 0 0 1 (� ) exp ( � )( ) ( )t R V t Vks s s s k n k� � � � � � � � � � � � �� � � ( , � )x t0 0 0� . (29) Ïðè îòðèöàòåëüíîì ìèíèìóìå V x tk( ) ( , � )0 0 0 âûðàæåíèå â ñêîáêàõ â (29) äîëæíî áûòü íåîòðèöàòåëüíûì: 0 0 0 0 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �(� ) exp ( � )( )t R V tks s s s k n 0 0 1 (� ) | | | |( )t R Rks s s s k n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � ( ) max | ( , � )| , ( )� 0 1 0 01n R x t R s n s k s . (30)  ñèëó ãëàäêîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (7), (8) ïðè ëþáîì �T � 0 âñåãäà ñóùåñòâóþò äîñòàòî÷íî áîëüøèå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà �� � � � � � 0 0 1 0 01� ( ) max | ( , � )| , ( )n R x t s n s k s , ïðè êîòîðûõ ïîñëåäíåå âûðà- æåíèå â ñêîáêàõ â (30) âñåãäà ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, à ñëåäîâàòåëü- 104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 íî, (29) íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîñêîëüêó çíàê ôóíêöèé R x tk( ) ( , � ) íå çàâèñèò îò , èç ïîëó÷åííîãî ïðîòèâîðå÷èÿ âûòåêàåò, ÷òî V x tr( ) ( , � ) è R x tk( ) ( , � ) íå ìîãóò ïðèíè- ìàòü îòðèöàòåëüíîãî ìèíèìóìà â òî÷êàõ ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� ïðè ëþáîì ïðîèç- âîëüíîì � ( , � )t T1 0� . Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî íîìåðà k ðàññìîòðèì îòðèöàòåëüíûé ìèíèìóì ôóíê- öèè V x tk( ) ( , � )0 0 0 â íåêîòîðîé òî÷êå ( , � )x t0 0 íà áîêîâîé ãðàíèöå öèëèíäðà QT� : x j � 0 èëè x j �1 äëÿ 1 1� � �j n . Ðàññìîòðèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîâåðõíîñòü x j � 0, íà êîòîðîé îïðåäåëèì áåñêîíå÷íî ìàëóþ �-îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 â âèäå ïàðàëëåëåïèïåäà,� � � � �� � � � � � � � �{ }x x x x s m s j xs s s j| , , ; ,0 0 1 0 . Îáîçíà- ÷èì �s � è �s � áîêîâûå ïîâåðõíîñòè � � äëÿ x xs s� �0 � è ñîîòâåòñòâåííî x xs s� �0 �. Ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (26) ïî îáëàñòè � � . Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Îñòðîãðàäñêîãî è ó÷èòûâàÿ (27), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå V t R V t t k ks s s s k n � ( ) ( )(� ) exp ( � )� � � � � � � � � � � � � � �� 0 0 1 � � � � � � �� � � � � �� �� V dxk( ) �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �( ) ( )a V d V d x k s x k s s s j m s s s s� � 1 a V d x k j j j ( ) �� � � 0. Èç ñâîéñòâ ìèíèìóìà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ñëåäóåò ñóùåñò- âîâàíèå �� 0 òàêîãî, ÷òî ïðè � �t t� 0 â êàæäîé òî÷êå îêðåñòíîñòè x �� � ìèíèìóìà ( , � )x ts0 0 ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûåV x tk( ) ( , � ) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì:V x t t k � ( ) ( , � )0 0� , V x t x k s ( ) ( , � )0 0� äëÿ x s� �� , V x t x k s ( ) ( , � )0 0� äëÿ x s� �� . Ïîñêîëüêó äàííîå óðàâíåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî 0 ~� �, îïðåäåëÿþùåãî îáëàñòü � ~� , èç ñâîéñòâ ãëàäêîñòè ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò � 0 0 1 (� ) exp ( � ))( ) ( )t R V t Vks s s s k n k� � � � � � � � � � � � �� � � � 0, îòêóäà âûòåêàåò íåðàâåíñòâî (30) è ñîîòâåòñòâåííî ïðîòèâîðå÷èå äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà . Àíàëîãè÷íî ðàñ- ñìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé äëÿ ïîâåðõíîñòè x j �1 ïðè ïðîèçâîëüíîì j m�1, . Ïîñêîëüêó äëÿ âñåõ íîìåðîâ k n�1, ñïðàâåäëèâî R x tk( ) ( , � ) � 0, R x tk( ) ( , � ) � � R x t( , � ) , èç òåîðåìû 1 âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü îöåíîê ñâåðõó äëÿ ìàêñèìàëü- íûõ çíà÷åíèé ôóíêöèé R x tk( ) ( , � ) — ïðàâûå ÷àñòè íåðàâåíñòâ (24), (25). Òåîðåìà äîêàçàíà. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû êâàçèëèíåé- íûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó ñòîèìîñòè èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêà- öèîííûõ óñëóã êîíêóðèðóþùèõ ïðåäïðèÿòèé, ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé íåîòðèöà- òåëüíîé ôóíêöèåé, óñòîé÷èâîé íà ëþáîì ïðîèçâîëüíîì èíòåðâàëå âðåìåíè, íå- çàâèñèìî îò âèäà íà÷àëüíîãî íåîòðèöàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî àðåàëó ìîäåëèðîâàíèÿ äàííîãî ïðîöåññà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 105 ÄÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄËß ÇÀÄÀ×È (15), (16) Ïîëó÷åííûå àïðèîðíûå îöåíêè äëÿ êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé çàäà÷ (5)–(8) ïîçâî- ëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé äëÿ çàäà÷è (15), (16). Ðàññìîòðèì òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ îïòè- ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îò óïðàâëåíèÿ u t U(� )� çàâèñÿò ks u t t( (� ), � ) — êîýôôèöèåíò êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòè ( )k — ïðåäïðèÿòèÿ ñèñòå- ìû (31), (32) ñ îñòàëüíûìè ( )s — ïðåäïðèÿòèÿìè, ó÷àñòíèêàìè ðûíêà, ôèíàí- ñîâàÿ åìêîñòü ðûíêà � 0 ( (� ), � )u t t èç óðàâíåíèÿ (3), ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ èíâåñ- òèöèé â îñíîâíûå ôîíäû f u tk( ) ( (� )) — èç óðàâíåíèÿ (1). Òåîðåìà 3. Ïóñòü êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèé (5), (7) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâè- ÿì òåîðåì 1, 2, ìíîæåñòâà � ( ) { ( , � )k ks u t� , s n�1, , s k� : u t U(� ) }� , A � { ( , � )� 0 u t : u t U(� ) }� ïðè çàäàííîì k êîìïàêòíû â C T([ , � ])0 , !( ) ( ){ ( (� ))k kf u t� : u t U(� ) }� êîì- ïàêòíî â L T2 0([ , � ]), ôóíêöèîíàë J v R uk k k( , , , )( ) ( ) ( ) èç (15) ïîëóíåïðåðûâíûé ñíèçó íà ïðîñòðàíñòâå �J , òîãäà ñóùåñòâóåò, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå u t U(� )� çàäà÷è (15), (16). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåì 1, 2, íà÷àëüíûå çíà÷å- íèÿ ôóíêöèé v Rk k k( ) ( ) ( ), , óäîâëåòâîðÿþò îãðàíè÷åíèÿì (16). Òîãäà ôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ u t u t u t u t(� ) ( (� ), (� ), (� ))� 1 2 3 áóäåò óäîâëåòâîðÿòü îãðàíè÷åíèÿì (16) è äëÿ ôóíêöèîíàëà (15) ìîæíî ïîñòðîèòü ìèíèìèçèðóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }ul . Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå åé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè v tl (� ) — êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòè, l l lt t u(� ) (�, )� , R x t R x t u l k k l ( ) ( )( , � ) ( , �, )� — ðåøåíèÿ çàäà÷ (1), (7), (8). Èç êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâ � ( )k , A â C T([ , � ])0 , !( )k â L T2 0([ , � ]), âûðàæåíèé (2), (24), (25) ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü v tl (� ), l t(� ), R x t l k( ) ( , � ) â íîðìå C t([ , � ])0 . Òîãäà èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé { }vl , { } l , { }R l k( ) ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùèåñÿ ïîäïîñëåäî- âàòåëüíîñòè ê íåêîòîðûì ýëåìåíòàì �vl , � l , { }� ( )R k . Èç óñëîâèé òåîðåì 1, 2 äëÿ ìíîæåñòâ � ( )k , A, F ñëåäóåò, ÷òî èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ sk lu t( , � ), � 0 ( , � )u tl ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùèåñÿ â C T([ , � ])0 è äëÿ f u tk l ( ) ( (� )) ñõîäÿùèåñÿ â L T2 0([ , � ]) ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ê íåêîòîðûì ýëåìåíòàì � (� ) ( �, � ) ( ) sk sk kt u t� �� , � (� ) ( �, � )� �0 0t u t� �A , � (� ) ( � (� ))( ) ( ) ( )f t f u tk k k� �! . Òà- êèì îáðàçîì, ýëåìåíòû ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé v tlp (� ), lp t(� ), { }R x t l k p ( ) ( , � ) ÿâëÿ- þòñÿ ðåøåíèÿìè çàäà÷è (1), (7), (8), ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàì ïîñëåäîâà- òåëüíîñòè { }ulp . Èç ñôîðìóëèðîâàííûõ ñâîéñòâ ñõîäÿùèõñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëü- íîñòåé êîýôôèöèåíòîâ çàäà÷è (1), (7), (8) è ñâîéñòâ ñõîäÿùèõñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðåøåíèé v tlp (� ) , lp t(� ) , { }R x t l k p ( ) ( , � ) ñëåäóåò ñõîäè- ìîñòü èíòåãðàëà â (2) ïðè lp � �. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî � (� )v t , � ( ) t , { }� ( , � )( )R x tk ÿâ- ëÿåòñÿ òàêæå ðåøåíèåì çàäà÷è (1), (7), (8) ñ êîýôôèöèåíòàìè � (� ) ( �, � ) sk skt u t� , � (� ) ( �, � )� �0 0t u t� , � (� ) ( � (� ))( ) ( )f t f u tk k� . Ó÷èòûâàÿ ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó íà ïðîñòðàíñòâå �J ôóíêöèîíàëà J, ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (16) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâà lim ( , , .., , ) ( �, � , .., �( ) ( ) ( ) ( l l l n l p p p p J v R R J v y y �� �1 1 n) , � ) � � J v u R u R u un( ( � ), ( � ), .., ( � ), ( � ))( ) ( )1 . 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî �u — îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå äëÿ çàäà÷è (1), (7), (8), (15), (16). Òåîðåìà 3 äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå. Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ðåçóëüòàòîâ òåîðåìû 3 óñëî- âèÿ êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâ � ( )k , a â C T([ , � ])0 , !( )k â L T2 0([ , � ]) ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèÿìè äëÿ U : åñëè ôóíêöèè sk u t( , � ), � 0 ( , � )u t , f u tk( ) ( (� )) íåïðåðûâíî çàâè- ñÿò îò óïðàâëåíèÿ u x t( , ) è ìíîæåñòâî u U� ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì â C T([ , � ])0 , òî òåîðåìà 3 ñïðàâåäëèâà. Ýòî ñëåäóåò èç òåîðåì î íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèÿõ êîìïàêòíûõ ïðîñòðàíñòâ [16]. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Ðàññìîòðèì ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ òðåõ êîíêóðèðóþùèõ ïðåäïðèÿòèé: n � 3. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó (1), (2), (5)–(8) â öèëèíäðå Q TT� ( , � )� �� 0 , � � � � �{ }x x ss| , ,0 1 1 2 . Öåíòðû êîíêóðèðóþùèõ ïðåäïðèÿòèé ðàñïîëîæèì â � íà ðàâíîóäàëåííûõ ðàññòîÿíèÿõ. Çàôèêñèðóåì íîìåð k � 2 äëÿ óïðàâëÿåìîãî ïðåäïðèÿòèÿ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (15), (16) îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ôîíäàìè è êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòüþ âòîðîãî ïðåäïðèÿòèÿ â ïðîñòðàíñòâå �J TN V Q C T U U U� � � � � �{ } 2 1 1 1 2 30( ) ([ , � ])� ( ) ( ) ( ) ( ) . Ââåäåì â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ðàâíîìåðíóþ ðàçíîñòíóþ ñåòêó � �h h1 2 = = {( , , � )| , � , , }x x t x i h t j i I j M i i ik j k k k j k k1 2 1 2 0 0� � � � � �� . Îáîçíà÷èì � R i i k 1 2 ( ) , R R i i k i i k 1 2 1 2 ( ) ( ), � çíà÷åíèÿ ñåòî÷íûõ ôóíêöèé R i i k j 1 2 ( ) â ìîìåíòû âðåìåíè t j�1, t j , t j�1 ñî- îòâåòñòâåííî. Ðåøåíèå (2) çàäà÷è Êîøè (1) àïïðîêñèìèðóåì ñåòî÷íîé ôóíêöèåé j . Äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çàäà÷è (1) èñïîëüçóåì â (2) ìåòîä Ñèìïñîíà, äëÿ óðàâíåíèé ñèñòåìû (5)–(8) èñïîëüçóåì èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä èç [17, 18], ïîçâîëÿþùèé ñòðîèòü ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå- íèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ðàçðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñëåäóÿ ðàáîòå [18], íàëîæèì äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè: Rt t� �� �0 0, R t k t� ( ) �� �0 0. Çàìåíèì â óðàâíåíèÿõ (5), (7) ôóíêöèè R t Y� exp ( � � )� 0 , R t Yk k( ) ( )exp ( � � )� � 0 . Äëÿ êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà èñïîëüçóåì ÿâíûå òðåõñëîé- íûå ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèé ñ ðàçðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè èç [18]. Äëÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû íà øàã ïî âðåìåíè íàêëàäûâàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ: � � � � � � � � � � � � � � � � �� ( exp ( � � )) � 0 0 2 1 1 1 2 2T a hs s m . (31) Ðàññìîòðèì ìîäåëü îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ çàäà÷è (15), (16) ñî ñëå- äóþùèìè ïàðàìåòðàìè: n � 3, m � 2, � ,a � 0 1 , ~ T � 50, �T �1, �a0 1� , x 1 1 0 25( ) ,� , x 2 1 0 25( ) ,� , x 1 2 0 75( ) ,� , x 2 2 0 25( ) ,� , x 1 3 0 5( ) ,� , x 2 3 0 683( ) ,� . Ïàðàìåòðû xi k( ) — ýòî êîîðäèíàòû ðàâíîóäàëåííûõ öåíòðîâ êîíêóðèðóþ- ùèõ ïðåäïðèÿòèé ïî àðåàëó � � � � �{ }x x ss| , ,0 1 1 2 . Ïàðàìåòðû ðàçíîñòíîé ñåò- êè I I1 2 100� � , øàã ïî âðåìåíè âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (31) � � � �2 10 4 . Çàäàäèì óñëîâèÿ: ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 107 � � �( ) ( ) ( )( , ) ( )( , exp ( (( ) (s s sx x x x1 2 0 0 1 1 20 0 01 500� � � � � x x s 2 2 2� ( ) ) ))), � �( , ) ( , )( )x x x xs s 1 2 1 2 1 3 � � � , ãäå � 0 ( )s — íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ äîëè ðûíêà s-ãî ïðåäïðèÿòèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå íèæå. Òàêæå ïðèâåäåíû íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ êîíêóðåíöèè ìåæäó ïðåäïðèÿòèÿìè sk 0 (êîýôôèöèåíòû ks sk 0 0� � ). Äëÿ äàííîãî òåñòîâîãî ïðèìåðà óñòàíîâèì ýìïèðè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ çàäà÷è (5)–(8) îò ôóíêöèé óïðàâëåíèÿ, èñõîäÿ èç êà÷åñòâåííûõ ñîîáðàæåíèé î ïîâåäåíèè ïàðàìåòðîâ óïðàâëåíèÿ: P F u uk k k( ) ( ) ( )( ) ( , )� � �0 1 2 , f u u u uk( ) ( , )1 2 1 1 2 2� �� � , Z k k k 0 3 ( ) ( ) ( )( ) � � , � � �2 1 2 2 0 2 0 2 4 1 01 2 3s s s u u u u( , ) ( )( / ) ( ( ) / � )� � � �arctg , (s �1 3, ), � � � � � �0 3 0 1 1 3 01 2 4( , � ) � ( ( )( / ) ( (� / � / � ))u t t T u� � � �arctg ), ui ( )0 0� . Çäåñü � i � 0 — êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äëÿ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé, � 01 — íà÷àëüíàÿ äîëÿ îò ìàêñèìàëüíîãî îáúåìà ðûíêà âòîðîãî ïðåäïðèÿòèÿ. 108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 Ðèñ. 2 Çàïèñü íà÷àëüíûõ äàííûõ è ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû Ìîäåëèðîâàíèå îáúåìîâ ïðîäàæ è ÷àñòè ðûíêà ôèðìû ïðè îòñóòñòâèè èíâåñòèöèé Ðàñ÷åò ñâîáîäíûõ ñðåäñòâ ïðåäïðèÿòèÿ Ðàñ÷åò îïòèìàëüíîé ñòðóêòóðû ÈÊ ñåòè — çàäà÷à ÎÓ I Ââîä íà÷àëüíûõ äàííûõ è ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû Ðàñ÷åò îïòèìàëüíûõ èíâåñòèöèé â èííîâàöèè — çàäà÷à ÎÓ II Ðàñ÷åò îïòèìàëüíûõ èíâåñòèöèé â ðîñò ðûíêà — çàäà÷à ÎÓ III Ðàñ÷åò îïòèìàëüíûõ èíâåñòèöèé äëÿ êîìïëåêñíîé çàäà÷è ÎÓ IV Çàïèñü ðåçóëüòàòîâ â ôàéëû Òåêóùèé è ïåðñïåêòèâíûé àíàëèç ðûíêà, êîíêóðåíöèè, èííîâàöèé, îöåíêà îáúåìîâ ôîíäîâ èíâåñòèðîâàíèÿ Ôîðìèðîâàíèå íàáîðà çàäà÷ ÎÓ äëÿ àíàëèçà âîçìîæíûõ ñöåíàðèåâ ðàçâèòèÿ ðûíêà è ïðåäïðèÿòèÿ Àíàëèç è âåðèôèêàöèÿ ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÎÓ IV Êîððåêöèÿ ïàðàìåòðîâ ïðåäïðèÿòèÿ, ðûíêà, êîíêóðåíöèè äëÿ ìîäåëè, âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ôóíêöèîíàëîâ Àíàëèç ñâîáîäíûõ ñðåäñòâ ïðåäïðèÿòèÿ äëÿ òðåõ ñöåíàðèåâ ðàçâèòèÿ, îïðåäåëåíèå âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ Ðåçóëüòàòû óäîâëåòâîðèòåëüíû? ÄÀ ÍÅÒ ËÏÐÑÏÏÐ Ïðèâåäåì çíà÷åíèÿ âñåõ ïàðàìåòðîâ: � 0 1 010( ) ,� , � 0 2 015( ) ,� , � 0 3 0 20( ) ,� , 12 0 0 4� , , 13 0 0 8� , , 23 0 0 5� , , 0 2 0 5( ) ,� , � � 0 05, , �0 0 3� , , �1 0 5� , , �2 0 5� , , �3 01� , , �4 10� , �1 0 5� , . Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ ê òåîðåìå 3 ðåøåíèå çàäà÷è (15), (16) ìîæíî èñêàòü íà êëàññå ôóíêöèé, êîìïàêòíûõ â C T([ , � ])0 . Èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä [18, 19] çà ñ÷åò îïåðàöèè ñãëàæèâàíèÿ íà øàáëîíàõ ïîçâîëÿåò ðàñøèðèòü äàííûé êëàññ ôóíêöèé è ñòðîèòü ðàçíîñòíûå ñõåìû íà êëàññå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ îãðàíè÷åí- íûõ ôóíêöèé (êîìïàêòå) âèäà u t u t t t ts sj j j j M (� ) (� ) ( � ) ~ � � �� � � � �1 1 , (32) ãäå { }usj — íàáîð îãðàíè÷åííûõ êîýôôèöèåíòîâ (0 0� �u u tsj s (� )) íà èíòåðâà- ëàõ [� , � ]t tj j�1 , �(� )t — ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà, ~ /M M� 2 . Àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (15), (16) íà êëàññå ôóíêöèé (32) ñâîäèòñÿ ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó àíàëèçó âàðèàíòîâ ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàáîðîâ ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ { }usj ïî àíàëîãèè ñ [8, 13, 20]. Äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðåä- ïðèÿòèåì âàæíîé ÿâëÿåòñÿ ñòðàòåãèÿ ðàçâèòèÿ, ïðèíèìàåìàÿ íà óðîâíå êîîð- äèíàòîðà C0 . Íà ðèñ. 2 ïîêàçàí àëãîðèòì on-line âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé (ÑÏÏÐ) ïî îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ èíâåñòèöèÿìè ïðåä- ïðèÿòèÿ â óñëîâèÿõ êîíêóðåíöèè ñ ëèöîì, ïðèíèìàþùèì ðåøåíèå (ËÏÐ).  îñíîâó àëãîðèòìà ïîëîæåíî ïîýòàïíîå öèêëè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷ îïòèìàëü- íîãî óïðàâëåíèÿ ÎÓ I (9), (10), ÎÓ II (11), (12), ÎÓ III (13), (14), ÎÓ IV (15), (16). Ôîðìàëüíî ñòðàòåãèÿ ðàçâèòèÿ ïðåäïðèÿòèÿ îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì âåñîâûõ ìíîæèòåëåé äëÿ ôóíêöèîíàëà (15). Äëÿ òåñòîâîãî ïðèìåðà ðàññìàòðèâàëñÿ ñëó- ÷àé, êîãäà èíòåðåñû èíòåíñèâíîãî ðàçâèòèÿ ïðåäïðèÿòèÿ â ôîíäû è åãî êîíêó- ðåíòîñïîñîáíîñòü çíà÷èòåëüíî ïðåâàëèðóþò íàä èíòåðåñàìè ýêñòåíñèâíîãî ðàñ- øèðåíèÿ èíôîðìàöèîí- íî-êîìóíèêàöèîííîé ñåòè ïðåäïðèÿòèÿ è èí- âåñòèöèé â ðàçâèòèå ðûíêà.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðèíÿòü 1 0 6� , ; 2 0 3� , ; 3 01� , . ×èñ- ëåííûå àëãîðèòìû ðåøå- íèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (9)–(16) ïî- ñòðîåíû íà îñíîâå ïîäõî- äîâ è ìåòîäîâ, ñîäåðæà- ùèõñÿ â ðàáîòå [20]. Ðå- çóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðå- øåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (15), (16) äëÿ âûáðàííîãî ñöåíàðèÿ ðàçâè- òèÿ ñèñòåìû (2), (5)–(8) ïîêàçàíû íà ðèñ. 3, 4. Íà ðèñ. 3 ïðèâåäåíû ãðàôèêè ôóíê- öèé: � 0 3( (� ), � )u t t — îáúåì ðûíêà óñëóã (1); R t* (� ) � max( ( , , � )) , ( ) x x k k R x x t 1 2 1 2 1 3 � � — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñòîèìîñòè ïðåäîñòàâëåííûõ âñåìè ïðåäïðèÿòèÿìè óñëóã (2); ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 109 Ðèñ. 3 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 2 3 t u R t R x x t x x ( )* , ( )(� ) max( ( , , � ))2 2 1 2 1 2 � — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñòîèìîñòè ïðå- äîñòàâëåííûõ âòîðûì (óïðàâëÿåìûì) ïðåä- ïðèÿòèåì óñëóã (3). Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû ãðà- ôèêè ôóíêöèé óïðàâ- ëåíèÿ: 1 — u t1 (� ); 2 — u t2 (� ) ; 3 — u t3 (� ) . ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Òåñòîâûå ðàñ÷åòû ïîêà- çàëè, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ÿâíîé òðåõñëîéíîé ðàç- íîñòíîé ñõåìû ñîâìåñò- íî ñ ëèíåéíûì ñãëàæè- âàþùèì ðàçíîñòíûì îïåðàòîðîì äëÿ ñèñòåìû (5)–(8) êâàçèëèíåéíûõ óðàâíå- íèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ïîçâîëÿåò, ñ îäíîé ñòîðîíû, èçáåæàòü ëèíåàðèçàöèè óðàâíåíèé Ëîòêå–Âîëüòåððà, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ðåæèìå ðå- àëüíîãî âðåìåíè ìîäåëèðîâàòü äîñòàòî÷íî ñëîæíûå ìíîãîìåðíûå ïðîöåññû êîíêóðåíöèè ïðåäïðèÿòèé. Îãðàíè÷åíèÿ (31) íà øàã ðàçíîñòíîé ñåòêè ïî âðå- ìåíè íå ñêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî íà áûñòðîäåéñòâèè âû÷èñëèòåëüíîãî àëãî- ðèòìà äëÿ ðàññìîòðåííîãî òåñòîâîãî ïðèìåðà. ×èñëåííûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2), (5)–(8), ïîëó÷åííûå èíòåãðî-èíòåðïîëÿ- öèîííûì ìåòîäîì, óäîâëåòâîðÿþò îöåíêàì èç òåîðåì 1 è 2, ÿâëÿþòñÿ íåîòðèöà- òåëüíûìè îãðàíè÷åííûìè ôóíêöèÿìè â óñëîâèÿõ íåóáûâàþùåãî ðûíêà óñëóã ( / � )d dt� 0 0� .  òåñòîâîì ïðèìåðå ïðîöåññ êîíêóðåíöèè çàòðàãèâàåò òðè ïðåä- ïðèÿòèÿ. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå îñíîâàíî íà ñöåíàðèè âûâîäà âòîðîãî ïðåä- ïðèÿòèÿ íà âûñîêèé óðîâåíü êîíêóðåíöèè (50 % äîëè ðûíêà) (ñì. ðèñ. 3). Ðåøåíèå çàäà÷è âîçìîæíî ïðè çíà÷èòåëüíîì äîìèíèðîâàíèè èíâåñòèöèîííûõ ðåñóðñîâ äàííîé êîìïàíèè ïî ñðàâíåíèþ ñ èíâåñòèöèÿìè äðóãèõ êîìïàíèé. Ñ îäíîé ñòîðîíû, íåîáõîäèìîñòü áîëüøèõ èíâåñòèöèé îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî âòî- ðîå ïðåäïðèÿòèå íå äîìèíèðóåò íàä ïåðâûì ( ) ( )1 2� , à ñ äðóãîé, âîçìîæíîñòü çà- âîåâàíèÿ 50 % ðûíêà îáóñëîâëåíî äîìèíèðîâàíèåì âòîðîãî ïðåäïðèÿòèÿ íàä òðåòüèì ( ) ( )2 3� . Ïðè ýòîì ôóíêöèè óïðàâëåíèÿ u ti (� ) (ñì. ðèñ. 4) ÿâëÿþòñÿ ìî- íîòîííî âîçðàñòàþùèìè è ïðèíèìàþò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, îãðà- íè÷åííûå ðàçìåðàìè âíóòðåííèõ èíâåñòèöèé.  ñèëó áîëüøîãî êîëè÷åñòâà èí- òåðâàëîâ ~ M , çàäàþùèõ ó÷àñòêè êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé u ti (� ) , èíòåðïîëÿ- öèîííûå ãðàôèêè íà ðèñ. 4 â âûáðàííîì ìàñøòàáå ïîêàçûâàþò ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíûå çàâèñèìîñòè ôóíêöèé óïðàâëåíèÿ îò âðåìåíè.  öåëîì ìîæíî ñäå- ëàòü âûâîä î ïðèìåíèìîñòè ðàññìîòðåííîãî â ðàáîòå ïîäõîäà ê ïîñòðîåíèþ ìî- äåëåé êîíêóðåíöèè è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ ðàçðàáîòêè ñèñòåì ïîääåðæ- êè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïî óïðàâëåíèþ èíâåñòèöèîííûìè ïðîåêòàìè ïðåäïðèÿòèé, ðàáîòàþùèõ â ñôåðå èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã. 110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 Ðèñ. 4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 2 3 0,2 0,1 t u ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 111 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ì î è ñ å å â Í . Í . Ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è ñèñòåìíîãî àíàëèçà. — Ì.: Íàóêà., 1986. — 487 c. 2. Ì å ñ à ð î â è ÷ Ì . , Ì à ê î Ä . , Ò à ê à õ à ð à È . Òåîðèÿ èåðàðõè÷åñêèõ ìíîãîóðîâíåâûõ ñèñòåì. — Ì.: Ìèð, 1973. — 344 ñ. 3. Ñ è ñ ò å ì û : äåêîìïîçèöèÿ, îïòèìèçàöèÿ è óïðàâëåíèå / Ñîñò. Ì. Ñèíãõ, À. Òèòëè — Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1986. — 496 ñ. 4. Í î â è ê î â Ä . À . Ñåòåâûå ñòðóêòóðû è îðãàíèçàöèîííûå ñèñòåìû. — Ì.: ÈÏÓÐÀÍ, 2003. — 102 ñ. 5. È í ò ð è ë è ã à ò î ð Ì . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû îïòèìèçàöèè è ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ. — Ì.: Àéðèñ-Ïðåññ, 2002. — 553 ñ. 6. À ê è ì å í ê î  .  . , Í à ê î í å ÷ í û é À . à . , Ñ ó ã î í ÿ ê È . È . Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè â ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ èåðàðõèåé // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2007. — ¹ 1. — C. 134–146. 7. T a k e u c h i Y . Global dynamical properties of Lotka–Volterra systems. — Singapore: World Sci. Publ., 1996. — 297 p. 8. À ê è ì å í ê î  .  . , Ñ ó ã î í ÿ ê È . È . Íåëèíåéíîå ìîäåëèðîâàíèå ìíîãîìåðíîãî ïðîöåññà äèôôóçèè èííîâàöèé íà îñíîâå ìåòîäà ðàñùåïëåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 4. — C. 120–133. 9. Àê³ìåíêî Â.Â., Ñóãîíÿê ².². Äèíàì³÷í³ ìîäåë³ æèòòºâîãî öèêëó ³ííîâàö³é â óìîâàõ íåâèçíà÷åíîñò³ // ³ñí. Êè¿â. óí-òó. Ñåð. ô³ç.-ìàò. íàóê. — 2007. — ¹ 3. — C. 149–155. 10. M e n a l d i J . L . , R o f m a n E . , S u l e m A . Optimal control and partial differential equations — innovations & applications. — Amsterdam: IOS Press, 2001. — 600 p. 11. K u n i s c h K . , L e u g e r i n g G . , S p r e k e l s J . , T r o l t z s c h F . Control of coupled partial differential equations. International series of numerical mathematics, Vol. 155. — Springer, 2007. — Issue VI. — 382 p. 12. Ë è Ý . , Ì à ð ê ó ñ Ë . Îñíîâû òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà. — 1972. — 576 ñ. 13. À ê è ì å í ê î  .  . , Í à ê î í å ÷ í û é À . à . Ìîäåëè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññàìè ìåæðåãèîíàëüíîé ìèãðàöèè â óñëîâèÿõ ðèñêîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 3. — Ñ. 107–122. 14. À ê è ì å í ê î  .  . , Í à ê î í å ÷ í û é À . à . , Ò ð î ô è ì ÷ ó ê Î . Þ . Ìîäåëü îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåìû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ âûðîæäàþùåéñÿ ïàðàáîëè÷íîñòüþ // Òàì æå. — 2007. — ¹ 6. — C. 90–102. 15. Ò è õ î í î â À . Í . , À ð ñ å í è í  . ß . Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 286 ñ. 16. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . , Ô î ì è í Ñ .  . Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 624 ñ. 17. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 616 c. 18. À ê è ì å í ê î  .  . , Å ô è ì å í ê î À . À . ×èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ äèôôóçèîííîé ñèñòåìû Ëîòêå–Âîëüòåððà ñ ðàçðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè äëÿ çàäà÷è êîíêóðåíöèè êîìïàíèé // Ìåæäóíàðîäíûé íàó÷íî-òååõíè÷åñêèé æóðíàë «Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè». — 2012. — ¹ 2. — C. 42–50. 19. À ê è ì å í ê î  .  . , × å ð å ì í û õ Î . Ê . Ìîäåëèðîâàíèå âèõðåâûõ òå÷åíèé íà ôîíå äâóìåðíîãî ïðîöåññà êîíâåêòèâíîãî òåïëîìàññîáìåíà // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2004. — ¹ 2. — C. 64–80. 20. À ê è ì å í ê î  .  . , Í à ê î í å ÷ í û é À . à . ,  î ë î ù ó ê Ñ . Ä . Ñöåíàðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ìåæðåãèîíàëüíûìè ìèãðàöèîííûìè ïðîöåññàìè â óñëîâèÿõ ðèñêîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 1. — C. 16–33. Ïîñòóïèëà 04.04.2011
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84146
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0023-1274
language Russian
last_indexed 2025-12-07T19:04:25Z
publishDate 2012
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Акименко, В.В.
Ефименко, А.А.
2015-07-03T10:07:38Z
2015-07-03T10:07:38Z
2012
Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия / В.В. Акименко, А.А. Ефименко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 94-111. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84146
519.7
На основі організаційної дворівневої ієрархічної системи розглянуто моделі керування фондами та конкурентоспроможністю інформаційно-комунікаційного підприємства з використанням задачі керування для звичайних диференціальних рівнянь, що характеризують динаміку фондів, системи багатовимірних квазілінійних параболічних рівнянь типу Лотке–Вольтерра, що описують динаміку продаж товарів та послуг конкуруючих між собою підприємств, з використанням методів оптимального керування систем з розподіленими параметрами. Для запропонованих моделей визначено достатні умови існування оптимальних керувань на побудованих класах функцій та розроблено стійкий чисельний метод пошуку оптимальних керувань.
A two-level hierarchical organization system is used to consider a model for the optimal control of funds and competitive ability of an information–communication company. The model is based on a control problem for ordinary differential equations (that characterize the dynamics of funds) and on an initial–boundary-value problem for multidimensional quasilinear parabolic Lotka–Volterra equations (that describe the sales dynamics of competitive companies) and uses methods of optimal control for distributed-parameter systems. The sufficient existence conditions are established for the optimal control and a stable numerical algorithm is developed to search for optimal control functions.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
Модель оптимального керування фондами та конкурентоспроможністю інформаційно-комунікаційного підприємства
An optimal control model for funds and competitive ability of an information-communication company
Article
published earlier
spellingShingle Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
Акименко, В.В.
Ефименко, А.А.
Системный анализ
title Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
title_alt Модель оптимального керування фондами та конкурентоспроможністю інформаційно-комунікаційного підприємства
An optimal control model for funds and competitive ability of an information-communication company
title_full Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
title_fullStr Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
title_full_unstemmed Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
title_short Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
title_sort модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84146
work_keys_str_mv AT akimenkovv modelʹoptimalʹnogoupravleniâfondamiikonkurentosposobnostʹûinformacionnokommunikacionnogopredpriâtiâ
AT efimenkoaa modelʹoptimalʹnogoupravleniâfondamiikonkurentosposobnostʹûinformacionnokommunikacionnogopredpriâtiâ
AT akimenkovv modelʹoptimalʹnogokeruvannâfondamitakonkurentospromožnístûínformacíinokomuníkacíinogopídpriêmstva
AT efimenkoaa modelʹoptimalʹnogokeruvannâfondamitakonkurentospromožnístûínformacíinokomuníkacíinogopídpriêmstva
AT akimenkovv anoptimalcontrolmodelforfundsandcompetitiveabilityofaninformationcommunicationcompany
AT efimenkoaa anoptimalcontrolmodelforfundsandcompetitiveabilityofaninformationcommunicationcompany

Similar Items