О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке
Узагальнено класичну модель ризику і модель ризику зі стохастичними преміями, коли страхова компанія розміщує свій капітал на фінансовому (B, S)-ринку, а еволюція ціни ризикового активу описується процесом зі стрибками. Встановлено достатні умови існування частинних похідних ймовірностей небанкрутст...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84147 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке / Б.В. Бондарев, Е.Ю. Рагулина // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 112-126. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859517645476331520 |
|---|---|
| author | Бондарев, Б.В. Рагулина, Е.Ю. |
| author_facet | Бондарев, Б.В. Рагулина, Е.Ю. |
| citation_txt | О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке / Б.В. Бондарев, Е.Ю. Рагулина // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 112-126. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Узагальнено класичну модель ризику і модель ризику зі стохастичними преміями, коли страхова компанія розміщує свій капітал на фінансовому (B, S)-ринку, а еволюція ціни ризикового активу описується процесом зі стрибками. Встановлено достатні умови існування частинних похідних ймовірностей небанкрутства на скінченному інтервалі часу, виведено інтегродиференціальні рівняння з частинними похідними для ймовірностей небанкрутства й оцінено частинні похідні цих функцій за початковим капіталом. Оцінки частинних похідних використовуються для виведення формул, що пов’язують точність і надійність наближень ймовірностей небанкрутства їхніми статистичними оцінками для всіх значень початкового капіталу з деякого скінченного інтервалу.
The paper addresses generalizations of the classical risk model and of the risk model with stochastic premiums, where an insurance company invests its surplus to the financial (B, S)-market and the price evolution of risk assets is described with a jump process. The sufficient conditions for the existence of the partial derivatives of the finite-time survival probabilities are established, partial integro-differential equations for the survival probabilities are deduced, and partial derivatives of these functions with respect to the initial surplus are estimated. The estimates of the partial derivatives are used to derive formulas that relate the accuracy and reliability of the approximations of survival probabilities and their statistical estimates for all values of the initial surplus from some finite interval.
|
| first_indexed | 2025-11-25T20:47:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Á.Â. ÁÎÍÄÀÐÅÂ, Å.Þ. ÐÀÃÓËÈÍÀ
Î ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÍÅÐÀÇÎÐÅÍÈß ÑÒÐÀÕÎÂÎÉ ÊÎÌÏÀÍÈÈ
ÍÀ ÊÎÍÅ×ÍÎÌ ÈÍÒÅÐÂÀËÅ ÂÐÅÌÅÍÈ ÏÐÈ ÈÍÂÅÑÒÈÐÎÂÀÍÈÈ
ÊÀÏÈÒÀËÀ ÍÀ ÔÈÍÀÍÑÎÂÎÌ (B, S)-ÐÛÍÊÅ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ, êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü ðèñêà, ìî-
äåëü ðèñêà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè, ôèíàíñîâûé (B,S)-ðûíîê, îöåíêà
ïðîèçâîäíîé, ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îäèí èç îñíîâíûõ ïîêàçàòåëåé äåÿòåëüíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè — âåðîÿò-
íîñòü åå íåðàçîðåíèÿ, ïîýòîìó âû÷èñëåíèå ýòîãî ïîêàçàòåëÿ â òåõ èëè èíûõ
ìîäåëÿõ ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîé èíòåðåñ. Íàèáîëåå ïðîñòûìè äèíàìè÷åñêèìè
ìîäåëÿìè äåÿòåëüíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì ÿâëÿþò-
ñÿ êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü ðèñêà (ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà) [1–3] è ìîäåëü
ðèñêà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè [4, 5]. Áîëüøîé èíòåðåñ ñ ïðàêòè÷åñêîé
òî÷êè çðåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ìîäåëè, ïðåäóñìàòðèâàþùèå êðîìå îñíîâíîé äåÿ-
òåëüíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè èíâåñòèöèîííóþ. Íàïðèìåð, â ðàáîòàõ
[1, 6–11] ðàññìîòðåíî èíâåñòèðîâàíèå òîëüêî â áåçðèñêîâûé àêòèâ (íà áàíêîâ-
ñêèé ñ÷åò), â [12–15] — òîëüêî â ðèñêîâûé àêòèâ (àêöèè), â [16–18] — â îáà
âèäà àêòèâîâ. Ïðè ýòîì ýâîëþöèþ öåíû ðèñêîâîãî àêòèâà ÷àñòî ìîäåëèðóþò
ñ ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ.  íàñòîÿùåé ñòàòüå
ðàññìîòðåíû êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü ðèñêà è ìîäåëü ðèñêà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè
ïðåìèÿìè, ïðè ýòîì ïðåäóñìîòðåíî èíâåñòèðîâàíèå â îáà âèäà àêòèâîâ, à ýâî-
ëþöèÿ öåíû ðèñêîâîãî àêòèâà îïèñàíà ïðîöåññîì ñî ñêà÷êàìè. Èñïîëüçóåìàÿ
ìîäåëü ýâîëþöèè öåíû àêöèè ïðåäëîæåíà â [19], ãäå îáîñíîâàíà öåëåñîîáðàç-
íîñòü åå ðàññìîòðåíèÿ è äîêàçàíà åå áåçàðáèòðàæíîñòü. Îòìåòèì, ÷òî âîïðîñ
î ïðåèìóùåñòâàõ ìîäåëèðîâàíèÿ öåí àêöèé ñ ïîìîùüþ ïðîöåññîâ ñî ñêà÷êà-
ìè íåîäíîêðàòíî îáñóæäàëñÿ è ðàíåå, íàïðèìåð, â [20–23].
Íèæå äëÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ðèñêà óñòàíîâëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñó-
ùåñòâîâàíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ íà êîíå÷íîì èíòåð-
âàëå âðåìåíè êàê ôóíêöèè íà÷àëüíîãî êàïèòàëà è èíòåðâàëà âðåìåíè. Ïðè
âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé ïîëó÷åíî èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñò-
íûõ ïðîèçâîäíûõ äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ è îöåíåíà ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ
ýòîé ôóíêöèè ïî íà÷àëüíîìó êàïèòàëó. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû óñòàíîâëåíû äëÿ
ìîäåëè ðèñêà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè. Äàëåå ïðåäëîæåíî ïðèáëèçèòåëüíî
íàõîäèòü âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ â óêàçàííûõ ìîäåëÿõ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî
äëÿ âñåõ çíà÷åíèé íà÷àëüíîãî êàïèòàëà èç íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî èíòåðâàëà, âûâå-
äåíû ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ, ïðè
ýòîì èñïîëüçîâàíû ïîëó÷åííûå îöåíêè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà
ðàññìîòðåí ñëó÷àé, êîãäà âåëè÷èíû òðåáîâàíèé (à â ìîäåëè ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè
ïðåìèÿìè è ïðåìèé) èìåþò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Îòìåòèì, ÷òî àíàëîãè îïèñàííûõ ðåçóëüòàòîâ ïîëó÷åíû â [7] ïðè èíâåñòèðîâà-
íèè êàïèòàëà òîëüêî â áåçðèñêîâûé àêòèâ, à íàéäåííûå ïðè ýòîì îöåíêè ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ ïî íà÷àëüíîìó êàïèòàëó èñïîëüçîâàíû â [24] äëÿ âûâîäà ôîðìóë, ñâÿ-
çûâàþùèõ òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü ïðèáëèæåíèé âåðîÿòíîñòåé íåðàçîðåíèÿ èõ ñòà-
òèñòè÷åñêèìè îöåíêàìè. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåé ñòàòüè îáîáùàþò
ðåçóëüòàòû ðàáîò [7, 24], ïðè ýòîì ïîëó÷åííûå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíå-
íèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåðàçîðåíèÿ â ÿâíîì âèäå
â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, äëÿ èññëåäîâàíèÿ èõ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ.
Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé.
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
© Á.Â. Áîíäàðåâ, Å.Þ. Ðàãóëèíà, 2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 113
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî äëÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ðèñêà â ðàáîòå [25] ðàñ-
ñìîòðåíû òî÷å÷íûå îöåíêè âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå âðå-
ìåíè, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî, â [26] — ñòîõàñòè÷åñêèé ìåòîä ïîñëåäî-
âàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, â [27] ïîñòðîåíà ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà âåðîÿòíîñòè
ðàçîðåíèÿ äëÿ îáîáùåííîãî ïðîöåññà ðèñêà, à â [28] ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ýôôåê-
òèâíîñòè ïàðàëëåëüíûõ âåðñèé ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî è ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ
ïðèáëèæåíèé, äåòàëüíî èçó÷åííîãî â [29–34], äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè íåðà-
çîðåíèÿ íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè.
ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÜ ÍÅÐÀÇÎÐÅÍÈß Â ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÐÈÑÊÀ
Ïóñòü ( , , ( ) , )� F F t t�0 P — ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ, íà êîòîðîì îïðåäåëåíû âñå
èñïîëüçóåìûå â äàëüíåéøåì îáúåêòû. Íà÷àëüíûé êàïèòàë ñòðàõîâîé êîìïà-
íèè ðàâåí x, x � 0 .  êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ðèñêà ïðåäïîëàãàåòñÿ
[1–3, 7–11, 14, 15, 24–26, 29], ÷òî ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ïîëó÷àåò ïðåìèè îò êëè-
åíòîâ ñ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòüþ c� 0, à ñóììàðíûå òðåáîâàíèÿ, ïîñòóïèâ-
øèå îò êëèåíòîâ íà èíòåðâàëå âðåìåíè [ , ]0 t , îáðàçóþò ñëîæíûé ïóàññîíîâ-
ñêèé ïðîöåññ R t Ycl i
cl
i
N tcl
( )
( )
�
�
�
1
(ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî Yi
cl
i�
� �
1
0
0 ), ãäå N tcl ( ) ,
N cl ( )0 0� , — îäíîðîäíûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì � cl � 0,
à { }Yi
cl
i�
�
1 — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íåçà-
âèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F ycl ( ),
Fcl ( )0 0� , ïðè÷åì ïðîöåññ N tcl ( ) íå çàâèñèò îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }Yi
cl
i�
�
1.
Ïðîöåññ N tcl ( ) èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ÷èñëî ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé, ïðåäúÿâ-
ëåííûõ êëèåíòàìè íà èíòåðâàëå âðåìåíè [ , ]0 t , à âåëè÷èíû Yi
cl , i � �1, , — êàê
âåëè÷èíû ýòèõ òðåáîâàíèé. Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
Yi
cl èìåþò êîíå÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ MYi
cl
cl� � �� .
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåñü ñâîé êàïèòàë ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ðàçìåùàåò íà ôè-
íàíñîâîì (B, S)-ðûíêå, ñîñòîÿùåì èç äâóõ àêòèâîâ: áåçðèñêîâîãî B (áàíêîâñêîãî
ñ÷åòà) è ðèñêîâîãî S (àêöèé). Öåíà áåçðèñêîâîãî àêòèâà B t( ) â ìîìåíò âðåìåíè t
ðàâíà B t B ert( ) ( )� 0 , ãäå B ( )0 0� — öåíà áåçðèñêîâîãî àêòèâà â íóëåâîé ìîìåíò
âðåìåíè, r � 0 — ïîñòîÿííàÿ ñòàâêà ïðè íåïðåðûâíîì íà÷èñëåíèè ïðîöåíòîâ.
Öåíà ðèñêîâîãî àêòèâà S t( ) â ìîìåíò âðåìåíè t ðàâíà S t S e
r t R tst st( ) ( ) ( )� 0 , ãäå
S ( )0 0� — öåíà ðèñêîâîãî àêòèâà â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè; r rst � — ïîñòîÿí-
íàÿ; R t Yst i
st
i
N tst
( )
( )
�
�
�
1
(çäåñü Yi
st
i�
� �
1
0
0), N tst ( ), N st ( )0 0� , — îäíîðîäíûé ïóàñ-
ñîíîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì � st � 0 , ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Yi
st , i � �1, , îäè-
íàêîâî ðàñïðåäåëåíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F yst ( ), 0 0 1� �Fst ( ) , èìåþò ýêñ-
ïîíåíöèàëüíûå ìîìåíòû è MYi
st � 0 [19]. Âñå óêàçàííûå âûøå ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû è ïðîöåññû ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè.
Ïóñòü ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ðàçìåùàåò äîëþ �
ñâîåãî êàïèòàëà â ðèñêîâûé àêòèâ, à äîëþ 1
� — â áåçðèñêîâûé àêòèâ. Áóäåì
ïîëàãàòü, ÷òî 0 1� �� . Ñëó÷àé � � 0 ðàññìîòðåí â ðàáîòå [7]. Îáîçíà÷èì
� �r r rst
�( )1 ; X tx ( ) — êàïèòàë ñòðàõîâîé êîìïàíèè â ìîìåíò âðåìåíè t ïðè
óñëîâèè, ÷òî åå íà÷àëüíûé êàïèòàë áûë ðàâåí x; � i
cl è � i
st , i � �1, , — ìîìåíòû i-õ
ñêà÷êîâ ïðîöåññîâ R tcl ( ) è R tst ( ) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ýâîëþöèÿ êàïèòàëà îïè-
ñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
X t x rX s c ds X ex x
t
x i
st
i
N t
Y
st
i
s
( ) ( ( ) ) ( )(
( )
�
� �
�0 1
0� �
t
R tcl
1) ( ) . (1)
Âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè �( , )x t íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå
âðåìåíè [ , ]0 t êàê ôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî êàïèòàëà x è èíòåðâàëà âðåìåíè t îïðåäå-
ëÿåòñÿ êàê
�( , ) ( ) [ , ]x t X s s tx� �
�P{ }0 0 .
Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ �( , )x t , îïðåäåëåííàÿ ïðè x � �[ , )0 è t � �[ , )0 , ÿâ-
ëÿåòñÿ ìîíîòîííî íåóáûâàþùåé ïî x (ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì t) è ìîíîòîí-
íî íåâîçðàñòàþùåé ïî t (ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x), à òàêæå îãðàíè÷åííîé
ñíèçó íóëåì è ñâåðõó åäèíèöåé. Òåì íå ìåíåå íåïðåðûâíîñòü ýòîé ôóíêöèè è ñó-
ùåñòâîâàíèå ó íåå íåïðåðûâíûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íåîáõîäèìî äîêàçûâàòü,
ïîñêîëüêó, êàê ñâèäåòåëüñòâóþò ðåçóëüòàòû ðàáîò [4, 7, 31], â íåêîòîðûõ ìîäå-
ëÿõ ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ýòè ñâîéñòâà ìîãóò íå âûïîëíÿòüñÿ.
Óòâåðæäåíèå 1. Åñëè ýâîëþöèÿ êàïèòàëà ñòðàõîâîé êîìïàíèè îïèñûâàåòñÿ
óðàâíåíèåì (1), òî ôóíêöèÿ �( , )x t óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ:
� � �� �( , ) (( / ) / , ) (( )
x t e x c r e c r y t s dFcl st s
cl
rs
cl�
y
x c r e c rt
rs
)
( / ) /
00
��
�
�
�
��
�
�
�� � � �st
y rs
ste x c r e c r t s dF y((( ) ) (( / ) / ), ) ( )1
�
�
�
�
ds e cl st t( )� �
(2)
ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì lim ( , )
x
x t
� �
�� 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç (1) âèäíî, ÷òî êàïèòàë ñòðàõîâîé êîìïàíèè X tx ( ) äî ñâî-
åãî ïåðâîãî ñêà÷êà ðàâåí X t x c r e c rx
rt( ) ( / ) /�
. Ïóñòü ïåðâûé ñêà÷îê ïðîöåññà
X tx ( ) � � �1 1 1� min ,{ }cl st ïðîèñõîäèò â ìîìåíò âðåìåíè �1 � s è ïóñòü y — âåëè÷è-
íà ïåðâîãî ñêà÷êà ïðîöåññà R tcl ( ), åñëè � �1 1� cl , èëè ïðîöåññà R tst ( ), åñëè � �1 1� st .
Ðàññìîòðèì âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ íà èíòåðâàëå [ , ]0 t . Åñëè �1 � t, òî
ðàçîðåíèÿ íà ýòîì èíòåðâàëå íå ïðîèçîéäåò, à P{ }� � �
1 � �
t e cl st t( ) . Åñëè �1 � t,
òî äî ìîìåíòà �1 ðàçîðåíèÿ íå íàñòóïèò, à ïîñëå ìîìåíòà �1 ðàçîðåíèÿ íå ïðîè-
çîéäåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî îäíî èç äâóõ óñëîâèé:
— � �1 1� cl , y x c r e c rrs�
( / ) / è ðàçîðåíèÿ íå ïðîèçîéäåò íà èíòåðâàëå
âðåìåíè [ , ]s t ïðè íà÷àëüíîì êàïèòàëå ( / ) /x c r e c r yrs
;
— � �1 1� st è ðàçîðåíèÿ íå ïðîèçîéäåò íà èíòåðâàëå âðåìåíè [ , ]s t ïðè íà-
÷àëüíîì êàïèòàëå (( ) )(( / ) / )1
� �e x c r e c ry rs .
Ïðè ýòîì P{ }� �1 1� �cl � � �cl cl st/ ( ) è P{ }� � � � �1 1� � st
st cl st/ ( ) .
Îòñþäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, äëÿ âñåõ x � 0 è t � 0 ïîëó-
÷àåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (2). Ñïðàâåäëèâîñòü ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò
èç òîãî, ÷òî íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè ó ïðîöåññà X tx ( ) ìîæåò áûòü òîëüêî
êîíå÷íîå ÷èñëî ñêà÷êîâ.
Çàìå÷àíèå 1.  ðàáîòàõ [29–34] âûâåäåíû èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ òèïà (2),
à òàêæå óñòàíîâëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèí-
ñòâåííîñòè íåíóëåâûõ ðåøåíèé ýòèõ óðàâíåíèé êàê äëÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ðèñ-
êà è ìîäåëè ðèñêà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè, òàê è äëÿ áîëåå îáùèõ ïðîöåñ-
ñîâ ðèñêà–âîññòàíîâëåíèÿ, êîãäà ïîòîê òðåáîâàíèé íå ÿâëÿåòñÿ ïóàññîíîâñêèì,
ïðîöåññ ïîñòóïëåíèÿ ïðåìèé ìîæåò çàâèñåòü îò òåêóùåãî êàïèòàëà, à âåëè÷èíû
òðåáîâàíèé è ìîìåíòû èõ ïîñòóïëåíèé ìîãóò áûòü çàâèñèìûìè. Òåì íå ìåíåå ýòè
óðàâíåíèÿ íå îõâàòûâàþò ñëó÷àè, ðàññìàòðèâàåìûå â íàñòîÿùåé ñòàòüå.
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ýâîëþöèÿ êàïèòàëà êîìïàíèè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (1).
1. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Yi
cl , i � �1, , èìåþò íåïðåðûâíóþ íà [ , )0 �
ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f ycl ( ), à ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Yi
st , i � �1, , èìåþò íå-
ïðåðûâíóþ íà ( , )
� � ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f yst ( ), òî �( , )x t ÿâëÿåòñÿ íå-
ïðåðûâíîé íà [ , ) [ , )0 0 � � � êàê ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ.
2. Åñëè ôóíêöèè f ycl ( ) è f yst ( ) èìåþò ïðîèçâîäíûå �f ycl ( ) íà [ , )0 � è
�f yst ( ) íà ( , )
� � òàêèå, ÷òî ôóíêöèÿ | ( )|�f ycl èíòåãðèðóåìà è îãðàíè÷åíà íà
[ , )0 � , à ôóíêöèè | ( )|�f yst , f y est
y( )
è | ( )|�
f y est
y èíòåãðèðóåìû è îãðàíè÷å-
íû íà ( , )
� � , òî íà ( , ) [ , )0 0 � � � ñóùåñòâóþò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå �( , )x t
ïî x è t, íåïðåðûâíûå êàê ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ, à �( , )x t óäîâëåòâîðÿåò
èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
�
�
�
�
� �
� � � � �
( , )
( )
( , )
( ) ( , ) (
x t
t
rx c
x t
x
x t x ycl st cl , ) ( )t dF ycl
x
0
�
�
�
�
�� � � �st
y
ste x t dF y((( ) ) , ) ( )1 0 (3)
ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè �( , )x 0 1� , lim ( , )
x
x t
� �
�� 1 , ïðè ýòîì äëÿ âñåõ X 0 0�
è T � 0 èìååò ìåñòî îöåíêà
sup
x X
t T
r T
cl
x t
x
e cl st
� �
�
�
�
�
[ , ),
[ , ]
( )( , )
0
0
1�
� �
� �
st
cl cl cl
r
f f y dy
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� ( ) | ( )|0
0
�
�
�
�
�
�
� � �st y
st
y
st
X
e f y dy e f y
0
1 1( ) ( ) (( ) )| ( )| dy
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. (4)
Äîêàçàòåëüñòâî.  (2) ñíà÷àëà ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ
t s
� � âî âíåøíåì èíòåãðàëå, à çàòåì â ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ïëîòíîñòåé ðàñ-
ïðåäåëåíèé f ycl ( ) è f yst ( ) ó ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Yi
cl è Yi
st , i � �1, , çàìåíèì
( / ) /( )x c r e c r y ur t
�
� è (( ) )(( / ) / )( )1
�
� � �e x c r e c r uy r t â ïåðâîì
è âî âòîðîì âíóòðåííèõ èíòåãðàëàõ ñîîòâåòñòâåííî ïðè x � 0 è t � 0 îäíîâðåìåí-
íî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
� � � � � �( , ) ( ) ( )
x t e ecl st cl stt
t
� �
�
0
�
� � � �
cl cl
r t
x c r e
u f x c r e c r u du
r t
( , ) (( / ) / )( )
( / ) (
0
�) /
�
�
�
�
�
�
c r
� � � � �
�
st
r t
x
u u x c r e c r( ( , ) / ( ( ) (( / ) / )))( )
( )((
1
1
�
� �
c r e c r
r t/ ) / )( )�
�
�
�
�
�
f u x c r e c r d u dst
r t(ln ( / ( (( / ) / )) ( ) / ))( )� � �� 1 � � �
e cl st t( ) . (5)
Åñëè ôóíêöèè f ycl ( ) è f yst ( ) íåïðåðûâíû íà èíòåðâàëàõ [ , )0 � è ( , )
� �
ñîîòâåòñòâåííî, òî íåïðåðûâíîñòü �( , )x t êàê ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ â ïðîèç-
âîëüíîé òî÷êå ( , ) [ , ) [ , )x t0 0 0 0� � � � , êðîìå òî÷êè ( , )0 0 , ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî,
íàïðèìåð, äëÿ âñåõ ( , ) ( , ] ( , ]x t x t� �0 00 0 (äðóãèå ñëó÷àè ðàññìàòðèâàþòñÿ àíàëî-
ãè÷íî) â ñèëó (5) âûïîëíåíî
| ( , ) ( , ) |( ) ( )� �� � � �
x t e x t ecl st cl stt t
0 0
0
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 115
�
e f x c r e c r ucl st
cl cl
r t
x c
( ) ( )
( /
| (( / ) / )� � � �� 0
0
0
r e c rt
r t) /( )
��
�
�
�
�
�
�
0
f x c r e c r u du F x c r ecl
r t
cl cl
r t(( / ) / )| (( / )( ) (� � 0
0
� �) ( )( / ) )x c r er t
�
�
� �
�
�
st
M
M
st
r t
f u x c r e c r
1
2 0
0
( )
( )(ln ( / ( (( / ) / )) ( 1
1 0
0
) / ))
( )(( / ) / )( )
�
� �
u x c r e c r
r t
f u x c r e c r
u
st
r t(ln ( / ( (( / ) / )) ( ) / ))
( )
( )� � �
�
� 1
1 (( / ) / )( )x c r e c r
du
r t
�
�
�
�
�
st st
r t
r t
F
x c r e c r
x c r e
ln
( )(( / ) / )
(( / )
( )
(
1 0
0
�
�
�) / )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
c r
1
�
�
�
�
�
�
�
�
2 1
12
0
0
�
�
�
��st st r t
F
M
x c r e c r
ln
(( / ) / )( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
F
M
x c r e c r
st r t
ln
( )
(( / ) / )( )
1
0
0
1�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
d e ecl st cl stt t� � � � �( ) ( )0 (6)
(çäåñü ôóíêöèÿ M1 ( )� è ÷èñëî M 2 òàêèå, ÷òî ( ) (( / ) ( )1 0
0
� �
x c r e
r t
� � � �c r M M/ ) ( )1 2� )). Ñíà÷àëà âûáîðîì äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà M 2
è ôóíêöèè M1 ( )� òàêîé, ÷òî sup
�
��
�
[ , ]
( )| ( )(( / )
0
0
0
01
t
r t
x c r e c r M/ ) ( )|
1 �
ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ìàëûì, ìîæíî âûðàæåíèå
1 12 0
0
F M x c r e c rst
r t(ln ( / ( (( / ) / )) ( ) / ))( )� � ��
F M x c r e c rst
r t(ln ( ( ) / ( (( / ) / )) ( ) / ))( )
1 0
0 1� � � ��
ñäåëàòü äîñòàòî÷íî ìàëûì, à çàòåì ñäåëàòü äîñòàòî÷íî ìàëîé âñþ ïðàâóþ
÷àñòü (6) ïðè x è t, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ñîîòâåòñòâåííî ê x0 è t0 (ñì. äîêàçà-
òåëüñòâà òåîðåì 3 è 7 â [7]).
Èç (2) âèäíî, ÷òî � � �( , ) ( )
x t e cl st t�
äëÿ âñåõ x � 0 è t � 0, à �( , )x 0 1� äëÿ
âñåõ x � 0, ïîýòîìó | ( , ) ( , )| ( )� � � �0 0 1
�
x t e cl st t äëÿ âñåõ x � 0 è t � 0. Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ �( , )x t íåïðåðûâíà è â òî÷êå ( , )0 0 . Òàêèì îáðàçîì, �( , )x t íå-
ïðåðûâíà êàê ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ íà âñåé ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ �( , )x t ïî x è t íà
( , ) [ , )0 0 � � � â ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèè f ycl ( ) è f yst ( ) èìåþò ïðîèçâîäíûå
�f ycl ( ) è �f yst ( ) , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ ï. 2 òåîðåìû 1, ñëåäóåò èç ðàâåí-
ñòâà (5) è óñòàíîâëåííîé íåïðåðûâíîñòè �( , )x t (ñì. äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3
â [7], à òàêæå [35, ñ. 661–662, 666–667, 748]), ïðè ýòîì
�
�
�
�
� �� � � � �( , )
( ) ((( ) ( )x t
x
e e f x
r t r
cl cl
cl st cl st 0 c r e c rr t
t
/ ) / , )( )
�
�
�
��
� �
0
�
� � � �
cl cl
r t
x c r e
u f x c r e c r u du
r t
( , ) (( / ) / )( )
( / ) (
0
�
�) /c r
�
�� � � �
� �
st
x c r e c r
r t
u u
( )(( / ) / )( )
( ( , ) / ( ( )((
1
1 x c r e c rr t
�
/ ) / )) )( )� 2
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
�
�
( ) (ln ( / ( (( / ) / )) ( ) / ))( )� � � ��1 1f u x c r e c rst
r t
�
�
�
�
u f u x c r e c r
x c
st
r t(ln ( / ( (( / ) / )) ( ) / ))
( /
( )� � �� 1
r e c r
du d
r t) /( )
�
�
�
�
�
�
�
��
�, (7)
à ñ ó÷åòîì (5) è (7)
�
�
�
�
�
� � � � �
( , )
( ) ( , ) ( , ) ( )
x t
t
x t x y t f y dycl st cl cl
x
0
�
�
�
�
�� � � �
�
st
y
ste x t f y dy rx c
x t
x
((( ) ) , ) ( ) ( )
( , )
1 .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî óðàâíåíèå (3).
Êðîìå òîãî, èç (7) äëÿ âñåõ x � 0 è t � 0 èìååì
�
�
�
�
� �� � � � �( , )
( ) |( ) ( )x t
x
e e f
r t r
cl cl cl
cl st cl st 0 �
�
�
�
�
�
�� f y dycl
t
( ) |
00
�
�
�
� �
� �
st
r t
y
st
x c r e c r
e f y dy
( )
(( / ) / )
( )
( )
1
�
�
�
�
� �
�
st
r t
y
st
x c r e c r
e f y dy
(( / ) / )
(( ) ) | ( )|
( )
1
�
�
�
�
�
�
d�.
Îòñþäà äëÿ âñåõ X 0 0� è T � 0 ñëåäóåò îöåíêà (4). Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 2. Ðåçóëüòàòû òåîðåìû 1 (ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíûõ ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè �( , )x t , óðàâíåíèå (3) è îöåíêà (4)) îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâû-
ìè è â ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèè f ycl ( ) è f yst ( ) íåïðåðûâíû íà [ , )0 � è ( , )
� �
ñîîòâåòñòâåííî, à èõ ïðîèçâîäíûå ñóùåñòâóþò íà ýòèõ èíòåðâàëàõ âñþäó, çà èñ-
êëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê (â êîòîðûõ èìåþò ìåñòî êîíå÷íûå îäíîñòî-
ðîííèå ïðîèçâîäíûå), è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 1.
ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÜ ÍÅÐÀÇÎÐÅÍÈß Â ÌÎÄÅËÈ ÐÈÑÊÀ
ÑÎ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÌÈ ÏÐÅÌÈßÌÈ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîöåññ ïîñòóïëåíèÿ ñòðàõîâûõ ïðåìèé òàêæå ÿâëÿåòñÿ
ñëó÷àéíûì è ñóììàðíûå ïðåìèè, ïîñòóïèâøèå íà èíòåðâàëå âðåìåíè [ , ]0 t ,
îáðàçóþò ñëîæíûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ R t Ypr i
pr
i
N tpr
( )
( )
�
�
�
1
, Yi
pr
i�
� �
1
0
0, ãäå
N tpr ( ), N pr ( )0 0� , — îäíîðîäíûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì
� pr � 0 (÷èñëî ñòðàõîâûõ ïðåìèé, ïîñòóïèâøèõ íà èíòåðâàëå âðåìåíè [ , ]0 t );
{ }Yi
pr
i�
�
1 — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íåçàâè-
ñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F ypr ( ),
Fpr ( )0 0� , è ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì � pr � � (âåëè÷èíû ñòðàõîâûõ ïðå-
ìèé), ïðè÷åì âñå èñïîëüçóåìûå äàëåå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ïðîöåññû òàêæå
íåçàâèñèìû [4–7, 18, 31]. Âñå îñòàëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ îñòàþò-
ñÿ íåèçìåííûìè.  ýòîì ñëó÷àå ýâîëþöèÿ êàïèòàëà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
X t x r X s ds X ex x
t
x i
st
i
N t
Y
st
i
st
( ) ( ) ( )( )
( )
�
� �
�0 1
0 1� �
R t R tpr cl( ) ( ) . (8)
Óòâåðæäåíèå 2. Åñëè ýâîëþöèÿ êàïèòàëà ñòðàõîâîé êîìïàíèè îïèñûâàåòñÿ
óðàâíåíèåì (8), òî ôóíêöèÿ �( , )x t óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 117
� � �
� � �
( , ) ( , ) ( )
( )
x t e xe y t s dF ypr cl st s
pr
rs
pr�
�
�
0
�
�
�
�
�
0
t
�� �cl
rs
cl
xe
xe y t s dF y
rs
( , ) ( )
0
�
�
�
�
�
�
�� � � �
�
st
y rs
ste xe t s dF y ds e p((( ) ) , ) ( )
(
1 r cl st t � � )
(9)
ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì lim ( , )
x
x t
� �
�� 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó óòâåðæäåíèÿ 1.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ýâîëþöèÿ êàïèòàëà êîìïàíèè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (8).
1. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Yi
pr è Yi
cl , i � �1, , èìåþò íåïðåðûâíûå íà
[ , )0 � ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèé f ypr ( ) è f ycl ( ) ñîîòâåòñòâåííî, à ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû Yi
st , i � �1, , èìåþò íåïðåðûâíóþ íà ( , )
� � ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëå-
íèÿ f yst ( ), òî �( , )x t ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ( , ) [ , )0 0 � � � êàê ôóíêöèÿ äâóõ
ïåðåìåííûõ.
2. Åñëè ôóíêöèè f ypr ( ), f ycl ( ) è f yst ( ) èìåþò ïðîèçâîäíûå �f ypr ( ), �f ycl ( )
íà [ , )0 � è �f yst ( ) íà ( , )
� � òàêèå, ÷òî ôóíêöèè | ( )|�f ypr è | ( )|f ycl� èíòåãðèðó-
åìû è îãðàíè÷åíû íà [ , )0 � , à ôóíêöèè | ( )|�f yst , f y est
y( )
è | ( )|�
f y est
y èíòåã-
ðèðóåìû è îãðàíè÷åíû íà ( , )
� � , òî íà ( , ) [ , )0 0 � � � ñóùåñòâóþò ÷àñòíûå
ïðîèçâîäíûå �( , )x t ïî x è t, íåïðåðûâíûå êàê ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ, à �( , )x t
óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
�
�
�
�
� �
� � � � � �
( , ) ( , )
( ) ( , ) (
x t
t
rx
x t
x
x t x ypr cl st pr , ) ( )t dF ypr
0
�
�
�� � � � � �cl cl
x
st
y
stx y t dF y e x t dF y( , ) ( ) ((( ) ) , ) ( )
0
1
�
�
� � 0 (10)
ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè �( , )x 0 1� , lim ( , )
x
x t
� �
�� 1 , ïðè ýòîì äëÿ âñåõ X 0 0�
è T � 0 èìååò ìåñòî îöåíêà
sup
x X
t T
r T
x t
x
e pr cl st
� �
�
�
�
�
[ , ),
[ , ]
( )
( , )
0
0
1�
�
� � �
pr cl st r
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �pr pr pr cl cl clf f y dy f f( ) | ( )| ( ) |0 0
0
( )|y dy
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �st y
st
y
st
X
e f y dy e f y
0
1 1( ) ( ) (( ) )| ( )| dy
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. (11)
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1, ñíà÷àëà ñäåëàåì çàìå-
íó ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ t s
� � âî âíåøíåì èíòåãðàëå â ïðàâîé ÷àñòè (9),
à çàòåì â ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèé f ypr ( ), f ycl ( ) è
f yst ( ) ó ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Yi
pr , Yi
cl è Yi
st , i � �1, , çàìåíèì xe y ur t( )
�� ,
xe y ur t( )
�� è (( ) ) ( )1
�
� � �e xe uy r t ñîîòâåòñòâåííî â ïåðâîì, âòîðîì è
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
òðåòüåì âíóòðåííèõ èíòåãðàëàõ ïðè x � 0. Ïîñëå ýòîãî ïîëó÷èì
� � � �
� � � � � � �
( , ) ( , )
( ) ( )
x t e e u fpr cl st pr cl stt
pr pr�
( )( )
( )
u xe dur t
xe
t
r t
�
�
�
�
�
��
�
�0
�� � � �
� ��
�
cl cl
r t
xe
stu f xe u du
u
u
r t
( , ) ( )
( , )
(
( )
( )
0 � �
� �
�
�
�
11 ) ( )
( ) ( ) xer t
xe
r t
�
�
�
�
�
f u xe du d est
r t pr cl(ln ( / ( ) ( ) / ))( ) (
� � � �� � �
1
�st t)
. (12)
Åñëè ôóíêöèè f ypr ( ) è f ycl ( ) íåïðåðûâíû íà [ , )0 � , à ôóíêöèÿ f yst ( ) íå-
ïðåðûâíà íà ( , )
� � , òî íåïðåðûâíîñòü �( , )x t êàê ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ
â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ( , ) ( , ) [ , )x t0 0 0 0� � � � ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî, íàïðèìåð,
äëÿ âñåõ ( , ) ( , ] [ , ]x t x t� �0 00 0 âûïîëíåíî
� �
� � � � � �
( , ) ( , )
( ) ( )
x t e x t epr cl st pr cl stt t
0 0
0
�
�
e f u x e f u xepr cl st
pr pr
r t
pr
r t( ) ( ) (| ( ) (
� � � � �� 0
0 �
�
) )|
( )
du
x e
Mt
r t
0
00
��
�
�
�
�
�
2 1 0 0
0 0� � � �
pr pr
rt
pr pr
r t r tF M x e F x e xe( ( )) ( )( ) ( )
� � �
�
cl cl
r t
cl
r t
xe
f x e u f xe u du
r t
| ( ) ( )|( ) ( )
( )
0
0
0�
� � �
cl cl
r t r tF x e xe( )( ) ( )
0
0
�
� � � � �
�
�
st
M
M
st
r t
f u x e u
1
2
0
0 1
( )
( )(ln ( / ( ) ( ) / )) / ( (
1 0
0) )( )
x e
r t �
f u xe u x est
r t r t(ln ( / ( ) ( ) / )) / ( ( )( ) ( )� � � �� �1 1 0
0 )| du
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 1
12
0
0
�
�
�
��st st r t stF
M
x e
Fln
( )
ln
( )
( )
M
x e
r t
1
0
0
1�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�st st
r t
r t
F
x e
xe
ln
( ) ( )
( )
1 10
0 �
�
�
�
�
�
�
�
d e epr cl st pr cl stt t
�
� � � � � �( ) ( )0 (13)
(çäåñü ôóíêöèÿ M1 ( )� è ÷èñëà M , M 2 òàêèå, ÷òî M x e
rt� 0
0 , ( ) ( )1 0
0
�
� �
x e
r t
� � � �M M1 2( )� ). Ñíà÷àëà âûáîðîì äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ÷èñåë M , M 2 è
ôóíêöèè M1 ( )� òàêîé, ÷òî sup
�
�� �
�
[ , ]
( )| ( ) ( ) |
0
0 1
0
01
t
r t
x e M ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷-
íî ìàëûì, ìîæíî âûðàæåíèå
� pr pr
rt
F M x e( ( ))1 0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��st st r t stF
M
x e
F1
12
0
0
ln l
( )
n
( )
( )
M
x e
r t
1
0
0
1�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 119
ñäåëàòü äîñòàòî÷íî ìàëûì, à çàòåì ñäåëàòü äîñòàòî÷íî ìàëîé âñþ ïðàâóþ
÷àñòü (13) ïðè x è t, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ñîîòâåòñòâåííî ê x0 è t0 .
Èç ðàâåíñòâà (12), óñòàíîâëåííîé íåïðåðûâíîñòè �( , )x t è òåîðåì [35,
ñ. 661–662, 666–667, 748] ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíûõ ÷àñòíûõ ïðîèç-
âîäíûõ ôóíêöèè �( , )x t ïî x è t íà ( , ) [ , )0 0 � � � â ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèè
f ypr ( ), f ycl ( ) è f yst ( ) èìåþò ïðîèçâîäíûå �f ypr ( ), �f ycl ( ) è �f yst ( ), óäîâëåòâîðÿ-
þùèå óñëîâèþ ï. 2 òåîðåìû 2, ïðè ýòîì
�
�
�
�
�
� � � � � � �( , ) ( ) ( )x t
x
e e fpr cl st pr cl str t r
pr pr
r t
t
xe( ) ( , )( )0
0
� ��
�
�
�
��
�
�
�� � � � �
�
�
pr
xe
pr
r t
cl cl
r t
u f u xe du f
( )
( , ) ( ) ( )( ) 0 ( , )( )xer t
� �
�
�� � � ��
�
�
cl cl
r t
xe
st
xe
u f xe u du
r t
r
( , ) ( )( )
( )
( )
0 1 ( )
( , )
( ( ) )( )
t
u
u xer t
�
�
�
�
� �
� �1 2
(14)
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
( ) ln
( ) (
1
1
�
�
�
��
f
u
xe
u
xe
st r t r t � ��
�
�) ( )
ln�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f
u
xe
dust r t
1
�
�
�
d�,
à ñ ó÷åòîì (12) è (14)
�
�
�
�
� � � � � �
( , )
( ) ( , ) ( , ) ( )
x t
t
x t x y t f y dypr cl st pr pr
0
�
�
�� � � � � �cl cl
x
st
y
stx y t f y dy e x t f y( , ) ( ) ((( ) ) , ) ( )
0
1 dy rx
x t
x
�
�
�
�
�
�( , )
,
îòêóäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (10).
Èç (14) âèäíî, ÷òî äëÿ âñåõ x � 0 è t � 0
�
�
�
�
� �� � � � �( , )
( ( )( ) ( )x t
x
e e f
r t r
pr pr pr
cl st cl st 0 | ( )|�
�
�� f y dypr
t
00
�
�
�� �
� �
� �cl cl cl cl
st
r t
yf f y dy
xe
e( ) | ( )|
( )
( )
0
1
0
f y dyst ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
st
r t
y
st
xe
e f y dy d
( )
(( ) ) | ( )| )1 ,
ïîýòîìó äëÿ âñåõ X 0 0� è T � 0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà (11). Òåîðåìà äîêàçàíà.
 ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî çàìå÷àíèå, àíàëîãè÷íîå çàìå÷àíèþ 2.
ÒÎ×ÍÎÑÒÜ È ÍÀÄÅÆÍÎÑÒÜ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÉ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ
ÍÅÐÀÇÎÐÅÍÈß ÈÕ ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÌÈ ÎÖÅÍÊÀÌÈ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýâîëþöèÿ êàïèòàëà X tx ( ) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (1) èëè
(8). Ïðè ïðîèçâîëüíîì ôèêñèðîâàííîì T � 0 ôóíêöèÿ �( , )x T îïðåäåëåíà íà
[ , )0 � . Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà X 0 0� , X X� 0 è ïîñòàâèì öåëü ðàâíî-
ìåðíî ïðèáëèçèòü ôóíêöèþ �( , )x T åå ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêîé äëÿ âñåõ
x X X�[ , ]0 è ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü òà-
êîãî ïðèáëèæåíèÿ. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî h� 0 (òàê,
÷òî h X X��
0) è îáîçíà÷èì
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
C
e
r
r T
cl st
cl st
0
1
�
( )� �
� �
, C f f y dycl cl cl1
0
0� �
�
�� ( ( ) | ( )| )
â ñëó÷àå êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ðèñêà èëè
C
e
r
r T
pr cl st
pr cl st
0
1
�
( )� � �
� � �
,
C f f y dy f fpr pr pr cl cl1
0
0 0� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �( ) | ( )| ( ) | cl y dy( )|
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
â ñëó÷àå ìîäåëè ðèñêà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè, à òàêæå
C e f y dy e f yst y
st
y
st2 1 1�
�
�
�
�
�
�
� � �( ) ( ) (( ) ) | ( )| dy
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
h h1 � , X X h1 0 1� ,
h h
C X X C X
C X X C X
i
i i
i
�
1 0 1 2 1
1 0 1 2 0
, X X hi i i�
1 , i K�
2 1, ,
ãäå K K X X h C C�
( , , , )0 1 2 îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ X X XK K
� �1 . Ïîëî-
æèì h X XK K�
1.
Ââåäåì ôóíêöèþ �h X X x T, , ( , )
0
, îïðåäåëåííóþ ïðè x X X�[ , ]0 , ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
� � �h X X i
i
i i
i ix T X T
x X
X X
X T X, , ( , ) ( , ) ( ( , ) (
0 1
1
1
1�
, ))T
ïðè x X Xi i�
[ , )1 , i K�
1 1, ,
� � �h X X K
K
K
Kx T X T
x X
X X
X T X T, , ( , ) ( , ) ( ( , ) ( ,
0 1
1
1
1�
))
ïðè x X XK�
[ , ]1 .
Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ìîäåëèðóåì N ðàç òðàåêòîðèè êàæäîãî èç
ïðîöåññîâ X tX i
( ) , i K�
0 1, , è X tX ( ) íà èíòåðâàëå [ , ]0 T . Â ðåçóëüòàòå ìîäå-
ëèðîâàíèÿ ðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè íå íàñòóïèò � X i
N( ) ðàç è � X N( ) ðàç ñî-
îòâåòñòâåííî. Ââåäåì ôóíêöèþ � ( , ), ,�h X X x T
0
— ñòàòèñòè÷åñêóþ îöåíêó âåðîÿò-
íîñòè íåðàçîðåíèÿ �( , )x T , îïðåäåëåííóþ ïðè x X X�[ , ]0 , ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� ( , )
( )
, ,�
�
h X X i
X
X T
N
N
i
0
� , i K�
0 1, , � ( , )
( )
, ,�
�
h X X
XX T
N
N0
� ,
� ( , ) � ( , ), , , ,� �h X X h X X ix T X T
0 0 1�
x X
X X
X T X Ti
i i
h X X i h X X i
1
1
10 0
( � ( , ) � ( , )), , , ,� �
ïðè x X Xi i�
( , )1 , i K�
1 1, ,
� ( , ) � ( , ), , , ,� �h X X h X X K
K
K
x T X T
x X
X X0 0 1
1
1
�
�
�
( � ( , ) � ( , )), , , ,� �h X X h X X KX T X T
0 0 1
ïðè x X XK�
( , )1 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 121
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ï. 2 òåîðåìû 1 (â ñëó÷àå êëàññè÷åñêîé
ìîäåëè ðèñêà) èëè òåîðåìû 2 (â ñëó÷àå ìîäåëè ðèñêà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìè-
ÿìè), äîñòàòî÷íûå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè �( , )x t .
Òîãäà â ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ è îáîçíà÷åíèÿõ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ
X 0 0� , X X� 0 , h X X�
( , )0 0 è � 0 âûïîëíåíî
P sup
x X X
h X Xx T x T C h C
C
X�
�
�
�
�
[ , ]
, ,| ( , ) � ( , )|
0
0 0 1
2
0
� � �
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
1 2 1 2 2
( )K e N .. (15)
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê íà ( , )0 � ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè �( , )x T ñóùåñòâó-
åò, íà èíòåðâàëàõ [ , )X Xi i 1 , i K�
0 2, , ñ ó÷åòîì òåîðåìû Ëàãðàíæà î ñðåäíåì
èìååì
| ( , ) ( , ) | | ( , ) ( , ) |, ,� � � �x T x T X T X Th X X i i
�
� 0 1
� � �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
( , )i i i
i
T h C h C
C
X
C h C
C
X
1 1 0 1 1
2
0 1
2
0
��
�
�
�� ,
à íà èíòåðâàëå [ , ]X XK
1 ïîëó÷èì
| ( , ) ( , )| | ( , ) ( , )|, ,� � � �x T x T X T X Tk X X K
�
�
0 1
� � �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
�
( , )K K K
K
T h C h C
C
X
C h C
C
X
0 1
2
1
0 1
2
0
��
(çäåñü
i — ñðåäíèå òî÷êè:
i i iX X�
[ , ]1 ïðè i K�
1 1, ,
K KX X�
[ , ]1 ).
Ïîýòîìó ñ ó÷åòîì (4) èëè (11) äëÿ âñåõ X X� �0 0 èìååì
sup
x X X
h X Xx T x T C h C
C
X�
�
�
�
��
�
�
�
[ , ]
, ,| ( , ) ( , )|
0
0 0 1
2
0
� � � . (16)
Ââåäåì ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ
A X T X Ti h X X i h X X i
� � �
�{ }| ( , ) � ( , ) |, , , ,0 0
, i K�
0 1, ,
A X T X T
K h X X h X X
� � �
�{ }| ( , ) � ( , ) |, , , ,0 0
.
 ñèëó ýêñïîíåíöèàëüíîãî íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà [36, ñ. 93] èëè íåðàâåí-
ñòâà Õåôäèíãà [37] äëÿ ïðîèçâîëüíîãî � 0 ñïðàâåäëèâî
P A ei
N �
�
�
�
�
�
2 2 2
, i K� 0, ,
ïîýòîìó
P sup
x X X
h X X h X Xx T x T
�
�
�
�
�
��
�
�
�
[ , ]
, , , ,| ( , ) � ( , )|
0
0 0
� �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
P Ai
i
K
0
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�1 1 1 2 1
0 0
P PA A K ei
i
K
i
i
K
� ( )
2 2 N . (17)
Èç (16) è (17) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (15).
Çàìå÷àíèå 3. Òåîðåìà 3 ñâÿçûâàåò òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü ïðèáëèæåíèÿ âå-
ðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ �( , )x T ôóíêöèåé � ( , )
, ,
�
h X X
x T
0
äëÿ âñåõ x X X�[ , ]0 .
Èç (15) âèäíî, ÷òî òåîðåòè÷åñêè ëþáàÿ çàäàííàÿ òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ äîñòèãà-
åòñÿ âûáîðîì äîñòàòî÷íî ìàëûõ � 0 è h� 0 , à ïðè çàäàííîé òî÷íîñòè íåîáõîäè-
ìàÿ íàäåæíîñòü îáåñïå÷èâàåòñÿ âûáîðîì äîñòàòî÷íî áîëüøîãî N — ÷èñëà ìîäå-
ëèðóåìûõ ðåàëèçàöèé. Äåéñòâèòåëüíî, äàæå ïîòî÷å÷íàÿ òî÷íîñòü ìåòîäà Ìîí-
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
òå-Êàðëî âåñüìà îãðàíè÷åíà: ÷òîáû îáåñïå÷èòü çàäàííóþ íàäåæíîñòü10
k (çäåñü
k — íàòóðàëüíîå ÷èñëî), íåîáõîäèìî ñìîäåëèðîâàòü N k� ( ln ln ) / ( )10 2 2 2 ðå-
àëèçàöèé ïðîöåññà ðèñêà ïðè ôèêñèðîâàííîì íà÷àëüíîì êàïèòàëå, à ýòî ÷èñëî
áûñòðî ðàñòåò ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ. Íàïðèìåð, åñëè k � 2, � 0 001. , òî
N � 2649159. Ïîýòîìó ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî
àäåêâàòíî îöåíèòü âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ
íà÷àëüíîãî êàïèòàëà: äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ìîäåëèðîâàòü î÷åíü áîëüøîå ÷èñëî
ðåàëèçàöèé ïðîöåññà ðèñêà. Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî çíà÷èòåëüíî ïðîùå ìåòîäà ïî-
ñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ðàññìîòðåííîãî â [29–34], îäíàêî ïîñëåäíèé äàåò
ïðàêòè÷åñêè íåäîñòèæèìóþ äëÿ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî òî÷íîñòü îöåíêè âåðîÿò-
íîñòè íåðàçîðåíèÿ [28].
Çàìå÷àíèå 4.  óñëîâèÿõ òåîðåìû 3 ÷èñëî K K X X h C C�
( , , , )0 1 2 ìîæíî
îöåíèòü ñâåðõó. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó
h h
C X X C X
C X X C X
h
C X X
X
i
i i
i
i�
�
1 0 1 2 1
1 0 1 2 0
2 1 0
0
1
( )
(C X Ci1 1 2
�
�
��
�
�
���)
�
�
�
��
�
�
��h
i hC
X C X C
1
1 2
0 1 2
( )
( )
, i K�
1 1, ,
îáîçíà÷èì
� �
�
�
��
�
�
��h h
i hC
X C X C
i 1
1 2
0 1 2
( )
( )
, i K� �1, ,
ãäå K� — íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî � �
�
�
� h X Xi
i
K
1
0 . Èç òîãî,
÷òî
� �
�
�
��
�
�
�� � �
�
�
�
�
� �h h
i hC
X C X C
h Ki
i
K
i
K
1
2
0 1 21
1
1( )
( )
hC K K
X C X C
2
0 1 2
1
2
� �
�
�
��
�
�
��
( )
( )
,
ñëåäóåò, ÷òî K� — íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî
K hC X C X C� �
�
�
� 2 0 1 22 ( )
�
�
�( ( ) ) ( )( ) /2 8 20 1 2 2
2
2 0 1 2 0 2X C X C hC C X C X C X X hC .
Î÷åâèäíî, ÷òî K K� �. Íàéäåííîå K� ìîæíî èñïîëüçîâàòü â íåðàâåíñòâå (15)
âìåñòî K, ïðè ýòîì íàäåæíîñòü ïðèáëèæåíèÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ
íåñêîëüêî ñíèæàåòñÿ.
Ïðèìåð. Ïóñòü â êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ðèñêà âåëè÷èíû ñòðàõîâûõ òðåáîâà-
íèé èìåþò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì �cl , à âåëè÷èíû ñêà÷êîâ
ïðîöåññà R tst ( ) — íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè ( , )0 2� st , � st � 0. Òîã-
äà â íåðàâåíñòâå (15)
C cl
cl
1
2
�
�
�
, C est
st
st
st
2
22
2
1 1 2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
� ��( ) ( ( ))/ ! ,
ãäå ! ( ) /y e dzz
y
�
�
1
2
2 2
0�
— ôóíêöèÿ Ëàïëàñà.
Åñëè, êðîìå òîãî, â ìîäåëè ðèñêà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè âåëè÷èíû
ïðåìèé èìåþò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì � pr , òî
C
pr
pr
cl
cl
1
2 2
�
�
�
�
�
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 123
Íàïðèìåð, ïðè c � 6 (â êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ðèñêà) èëè � pr � 3, � pr � 2
(â ìîäåëè ðèñêà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè), � cl �1, �cl � 5, � st � 2 , � st � 0 5. ,
r � 0 001. , rst � 0 002. , � � 0 25. , T �1, X 0 1� , X �10, h � 0 0001. , òî÷íîñòè 0.005 è
íàäåæíîñòè 0 99. ïîëó÷èì K � 23940, ïðè ýòîì ìîäåëèðóåòñÿ N � 464400 ðåàëèçà-
öèé êàæäîãî èç ïðîöåññîâ X tX i
( ), i K�
0 1, , è X t10 ( ):
P sup
x
x x
�
�
�
�
�
�
�
[ , ]
. , ,| ( , ) � ( , )| .
1 10
0 0001 1 101 1 0 005� �
� 0 99. .
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ïðèâåäåíû â òàáë. 1
äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé � ïðè x �10.
Ò à á ë è ö à 1 .
Ìîäåëü
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ
�
0.01 �
0.25 �
0.5 �
0.75 �
0.99
Êëàññè÷åñêàÿ 0.885852 0.885953 0.886387 0.881233 0.875031
Ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè
ïðåìèÿìè 0.872103 0.874580 0.873232 0.870250 0.862411
Çíàÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ, ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ðåøå-
íèå, íàïðèìåð, îòíîñèòåëüíî äîëè êàïèòàëà �, èíâåñòèðóåìîé â ðèñêîâûé àêòèâ.
 ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ ñëàáî çàâèñèò îò � (ïðè èç-
ìåíåíèè ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ìîäåëè, íàïðèìåð, óâåëè÷åíèè � st , ýòà
çàâèñèìîñòü ìîæåò îêàçàòüñÿ ãîðàçäî áîëåå ñèëüíîé), îäíàêî èç òàáë. 1 âèäíî,
÷òî îíà íåñêîëüêî ñíèæàåòñÿ, åñëè â ðèñêîâûé àêòèâ èíâåñòèðóåòñÿ áîëüøàÿ
äîëÿ êàïèòàëà. Îòìåòèì, ÷òî â [14, 18] ïîêàçàíî, ÷òî èíâåñòèðîâàíèå â ðèñêîâûé
àêòèâ íåáåçîïàñíî ñ òî÷êè çðåíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ íà áåñêîíå÷íîì
èíòåðâàëå âðåìåíè.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðàññìîòðåíû îáîáùåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ðèñêà è ìîäåëè ðèñêà ñî ñòî-
õàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè, êîãäà ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ðàçìåùàåò âåñü ñâîé êàïè-
òàë íà ôèíàíñîâîì (B, S)-ðûíêå, à ýâîëþöèÿ öåíû ðèñêîâîãî àêòèâà îïèñàíà
ïðîöåññîì ñî ñêà÷êàìè. Óñòàíîâëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âåðîÿòíîñòåé íåðàçîðåíèÿ íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðå-
ìåíè è ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ âûâåäåíû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ äëÿ âåðîÿòíîñòåé íåðàçîðåíèÿ, à òàêæå îöåíåíû ÷àñò-
íûå ïðîèçâîäíûå ýòèõ ôóíêöèé ïî íà÷àëüíîìó êàïèòàëó.  êà÷åñòâå îäíîãî
èç âîçìîæíûõ ïðèìåíåíèé ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ âûâåäåíû ôîðìóëû, ñâÿ-
çûâàþùèå òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü ïðèáëèæåíèé âåðîÿòíîñòåé íåðàçîðåíèÿ èõ
ñòàòèñòè÷åñêèìè îöåíêàìè äëÿ âñåõ çíà÷åíèé íà÷àëüíîãî êàïèòàëà èç íåêîòîðî-
ãî êîíå÷íîãî èíòåðâàëà. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ
ñ ëþáîé çàäàííîé òî÷íîñòüþ, ïðè ýòîì íåîáõîäèìàÿ íàäåæíîñòü âñåãäà îáåñïå-
÷èâàåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèì ÷èñëîì ðåàëèçàöèé ïðîöåññà ðèñêà.
Àâòîðû âûðàæàþò áëàãîäàðíîñòü ðåöåíçåíòó çà âíèìàòåëüíîå îòíîøåíèå
ê ðàáîòå è ïîëåçíûå ðåêîìåíäàöèè, ñïîñîáñòâóþùèå óñîâåðøåíñòâîâàíèþ ïîëó-
÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ì å ë ü í è ê î â À . Â . , Â î ë ê î â Ñ . Í . , Í å ÷ à å â Ì . Ë . Ìàòåìàòèêà ôèíàíñîâûõ îáÿçà-
òåëüñòâ. — Ì.: ÃÓ ÂØÝ, 2001. — 260 ñ.
2. Ë å î í å í ê î Ì . Ì . , Ì ³ ø ó ð à Þ . Ñ . , Ï à ð õ î ì å í ê î Â . Ì . , ß ä ð å í ê î Ì . É . Òåî-
ðåòèêî-éìîâ³ðí³ñí³ òà ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè â åêîíîìåòðèö³ òà ô³íàíñîâ³é ìàòåìàòèö³. — Ê.:
²íôîðìòåõí³êà, 1995. — 380 ñ.
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
3. Ý ì á ð å õ ò ñ Ï . , Ê ë þ ï ï å ë ü á å ð ã Ê . Íåêîòîðûå àñïåêòû ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêè // Òåî-
ðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1993. — 38, âûï. 2. — Ñ. 374–416.
4. Á î é ê î â À .  . Ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè // Òàì æå. —
2002. — 47, âûï. 3. — Ñ. 549–553.
5. L i v s h i t s K . I . Probability of ruin of an insurance company for the Poisson model // Russian
Physics J. — 1999. — 42, N 4. — Ð. 394–399.
6. Á î í ä à ð å â Á .  . , Æ ì è õ î â à Ò .  . Ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà ç³ ñòîõàñòè÷íèìè
ïðåì³ÿìè çà óìîâè ðîçì³ùåííÿ êàï³òàëó íà áàíê³âñüêîìó äåïîçèò³ // Ïð. ²í-òó ïðèêëàäíî¿ ìà-
òåìàòèêè ³ ìåõàí³êè ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2008. — 16. — C. 55–62.
7. Ð à ã ó ë ³ í à Î . Þ . Ïðî äèôåðåíö³éîâí³ñòü éìîâ³ðíîñò³ íåáàíêðóòñòâà ñòðàõîâî¿ êîìïàí³¿
â ìîäåëÿõ ç³ ñòàëîþ â³äñîòêîâîþ ñòàâêîþ // Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà òà ô³íàíñîâà ìà-
òåìàòèêà. — 2010. — ¹ 1–2. — C. 82–116.
8. K l ��up p e l b e r g C . , S t a d t m ��ul l e r U . Ruin probabilities in the presence of heavy-tails and
interest rates // Scandinavian Actuarial J. — 1998. — N 1. — Ð. 49–58.
9. K o n s t a n t i n i d e s D . G . , T a n g Q . H . , T s i t s i a s h v i l i G . S h . Two-sided bounds for
ruin probability under constant interest force // J. Math. Sci. — 2004. — 123, N 1. — Ð. 3824–3833.
10. P e r v o z v a n s k y A . A . , J r . Equation for survival probability in a finite time interval in case of
non-zero real interest force // Insurance: Math. and Econom. — 1998. — 23 (3). — Ð. 287–295.
11. S u n d t B . , T e u g e l s J . L . Ruin estimates under interest force // Ibid. — 1995. — 16 (1). —
Ð. 7–22.
12. À í ä ð î ù ó ê Ì . Î . , Ì ³ ø ó ð à Þ . Ñ . Îö³íêà éìîâ³ðíîñò³ áàíêðóòñòâà ó ìîäåë³ ç ³íâåñ-
òèö³ÿìè ó ðèçèêîâèé àêòèâ çà óìîâè íåìîæëèâîñò³ áåçâ³äñîòêîâî¿ ïîçèêè // Ïðèêëàäíà ñòàòèñ-
òèêà. Àêòóàðíà òà ô³íàíñîâà ìàòåìàòèêà. — 2006. — ¹ 1–2. — C. 4–13.
13. Á ð à ò è ê Ì .  . Éìîâ³ðí³ñòü áàíêðóòñòâà ñòðàõîâî¿ êîìïàí³¿ çà ìîæëèâîñò³ ³íâåñòóâàííÿ
êàï³òàëó â ê³ëüêà âèä³â àêö³é // Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé òà ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòèêà. — 2007. —
Âèï. 77. — C. 1–12.
14. F r o l o v a A . , K a b a n o v Y u . , P e r g a m e n s h c h i k o v S . In the insurance business risky
investments are dangerous // Finance and Stochastics. — 2002. — 6 (2). — Ð. 227–235.
15. H i p p C . , P l u m M . Optimal investment for investors with state dependent income, and for
insurers // Ibid. — 2003. — 7 (3). — Ð. 299–321.
16. À í ä ð î ù ó ê Ì . Î . , Ì ³ ø ó ð à Þ . Ñ . Îö³íêà éìîâ³ðíîñò³ áàíêðóòñòâà ñòðàõîâî¿ êîìïàí³¿,
ÿêà ôóíêö³îíóº íà BS-ðèíêó // Óêð. ìàò. æóðí. — 2007. — 59, ¹ 11. — C. 1443–1453.
17. À í ä ð î ù ó ê Ì . Î . Îö³íêà éìîâ³ðíîñò³ áàíêðóòñòâà ó ìîäåë³ ç³ çì³ííèìè ïðåì³ÿìè ³ ç
³íâåñòèö³ÿìè ó îáë³ãàö³þ òà ó äåê³ëüêà àêö³é // Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé òà ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòè-
êà. — 2007. — Âèï. 76. — C. 1–13.
18. Á î í ä à ð å â Á .  . , Æ ì è õ î â à Ò .  . Éìîâ³ðí³ñòü áàíêðóòñòâà ñòðàõîâî¿ êîìïàí³¿ äëÿ óçà-
ãàëüíåíî¿ ìîäåë³ Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà çà óìîâè ðîçì³ùåííÿ êàï³òàëó íà ô³íàíñîâîìó
( , )B S -ðèíêó // Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà òà ô³íàíñîâà ìàòåìàòèêà. — 2008. — ¹ 1–2.
— C. 24–62.
19. Á î í ä à ð å â Á . Â . , Ñ ì î ë ÿ ê î â À . È . , Ñ ò å ï à í î â Å . Â . Îá îäíîé ìîäåëè ýâîëþöèè
àêöèè è ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷å Ð. Ìåðòîíà // Òàì æå. — 2004. — ¹ 2. — C. 11–21.
20. C o n t R . , T a n k o v P . Financial modelling with jump processes. — Boca Raton: Chapman &
Hall/CRC, 2004. — 528 p.
21. G e m a n H . Pure jump L�vy processes for asset price modelling // J. Banking and Finance. —
2002. — 26 (7). — Ð. 1297–1316.
22. M e r t o n R . C . Option pricing when underlying stock returns are discontinuous // J. Financial
Econometrics. — 1976. — 3 (1–2). — Ð. 125–144.
23. P r e s s S . J . A compound events model for security prices // J. Business. — 1967. — 40 (3). —
Ð. 317–335.
24. Á î í ä à ð å â Á .  . , Î ð ô è í ÿ ê Å . Þ . Ïðèìåíåíèå ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ íà-
õîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ â êëàññè÷åñêîé çàäà÷å ñòðàõîâàíèÿ. I // Ïðèêëàäíà ñòàòèñ-
òèêà. Àêòóàðíà òà ô³íàíñîâà ìàòåìàòèêà. — 2010. — ¹ 1–2. — C. 161–173.
25. Í à ê î í å ÷ í û é À . Í . Îöåíêà Ìîíòå-Êàðëî äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ â ñëîæíîé ïóàññî-
íîâñêîé ìîäåëè òåîðèè ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1995. — ¹ 6. —
Ñ. 160–162.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 125
26. Í î ð ê è í Á .  . Ñòîõàñòè÷åñêèé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ îöåíêè ðèñêà
íåïëàòåæåñïîñîáíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè // Òàì æå. — 2008. — ¹ 6. — Ñ. 116–130.
27. Á å í è í ã  . Å . , Ê î ð î ë å â  . Þ . Íåïàðàìåòðè÷åñêîå îöåíèâàíèå âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ
äëÿ îáîáùåííûõ ïðîöåññîâ ðèñêà // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 2002. — 47,
âûï. 1. — Ñ. 3–20.
28. Í î ð ê è í Á . Â . Ðàñïàðàëëåëèâàíèå ìåòîäîâ îöåíêè ðèñêà áàíêðîòñòâà ñòðàõîâîé êîìïàíèè
// Òåîð³ÿ îïòèìàëüíèõ ð³øåíü. — 2010. — ¹ 9. — Ñ. 33–39.
29. Í î ð ê è í Á . Â . Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíå-
íèé òåîðèè ïðîöåññîâ ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 4. — Ñ. 61–73.
30. Í î ð ê è í Á .  . Î âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòè áàíêðîòñòâà íåïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà ðèñêà
ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé // Ïðîáë. óïð. è èíôîðìàòèêè. — 2005. — ¹ 2. —
Ñ. 133–144.
31. Í î ð ê è í Á . Â . Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðî-
ÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè ïðè íàëè÷èè ñëó÷àéíûõ ïðåìèé // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 1. — Ñ. 112–127.
32. Í î ð ê è í Á .  . Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðå-
øåíèé èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêè // Òàì æå. — 2006. — ¹ 5. —
Ñ. 157–164.
33. Í î ð ê è í Á . Â . Î ðåøåíèè îñíîâíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ àêòóàðíîé ìàòåìàòèêè ìåòî-
äîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé // Óêð. ìàò. æóðí. — 2007. — 59, ¹ 12. — C. 1689–1698.
34. Í î ð ê è í Á . Â . Ðåøåíèå àêòóàðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ
ïðèáëèæåíèé äëÿ îáùåãî ïðîöåññà ðèñêà-âîññòàíîâëåíèÿ // Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà
òà ô³íàíñîâà ìàòåìàòèêà. — 2010. — ¹ 1–2. — C. 68–81.
35. Ô è õ ò å í ã î ë ü ö à . Ì . Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. — Ì.: Íàó-
êà, 1969. — Ò. 2. — 800 ñ.
36. Ø è ð ÿ å â À . Í . Âåðîÿòíîñòü. — Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2004. — Êí. 1: Âåðîÿòíîñòü-1. — 520 ñ.
37. H o e f f d i n g W . Probability inequalities for sums of bounded random variables // J. the American
Statistical Association. — 1963. — 58 (301). — Ð. 13–30.
Ïîñòóïèëà 12.05.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84147 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T20:47:30Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондарев, Б.В. Рагулина, Е.Ю. 2015-07-03T10:09:17Z 2015-07-03T10:09:17Z 2012 О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке / Б.В. Бондарев, Е.Ю. Рагулина // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 112-126. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84147 519.21 Узагальнено класичну модель ризику і модель ризику зі стохастичними преміями, коли страхова компанія розміщує свій капітал на фінансовому (B, S)-ринку, а еволюція ціни ризикового активу описується процесом зі стрибками. Встановлено достатні умови існування частинних похідних ймовірностей небанкрутства на скінченному інтервалі часу, виведено інтегродиференціальні рівняння з частинними похідними для ймовірностей небанкрутства й оцінено частинні похідні цих функцій за початковим капіталом. Оцінки частинних похідних використовуються для виведення формул, що пов’язують точність і надійність наближень ймовірностей небанкрутства їхніми статистичними оцінками для всіх значень початкового капіталу з деякого скінченного інтервалу. The paper addresses generalizations of the classical risk model and of the risk model with stochastic premiums, where an insurance company invests its surplus to the financial (B, S)-market and the price evolution of risk assets is described with a jump process. The sufficient conditions for the existence of the partial derivatives of the finite-time survival probabilities are established, partial integro-differential equations for the survival probabilities are deduced, and partial derivatives of these functions with respect to the initial surplus are estimated. The estimates of the partial derivatives are used to derive formulas that relate the accuracy and reliability of the approximations of survival probabilities and their statistical estimates for all values of the initial surplus from some finite interval. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке Про ймовірність небанкрутства страхової компанії на скінченному інтервалі часу при інвестуванні капіталу на фінансовому (B, S)-ринку On the finite time survival probability of an insurance company with investments to the financial (B, S)-market Article published earlier |
| spellingShingle | О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке Бондарев, Б.В. Рагулина, Е.Ю. Системный анализ |
| title | О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке |
| title_alt | Про ймовірність небанкрутства страхової компанії на скінченному інтервалі часу при інвестуванні капіталу на фінансовому (B, S)-ринку On the finite time survival probability of an insurance company with investments to the financial (B, S)-market |
| title_full | О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке |
| title_fullStr | О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке |
| title_full_unstemmed | О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке |
| title_short | О вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (B, S)-рынке |
| title_sort | о вероятности неразорения страховой компании на конечном интервале времени при инвестировании капитала на финансовом (b, s)-рынке |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84147 |
| work_keys_str_mv | AT bondarevbv overoâtnostinerazoreniâstrahovoikompaniinakonečnomintervalevremenipriinvestirovaniikapitalanafinansovombsrynke AT ragulinaeû overoâtnostinerazoreniâstrahovoikompaniinakonečnomintervalevremenipriinvestirovaniikapitalanafinansovombsrynke AT bondarevbv proimovírnístʹnebankrutstvastrahovoíkompaníínaskínčennomuíntervalíčasupriínvestuvanníkapítalunafínansovomubsrinku AT ragulinaeû proimovírnístʹnebankrutstvastrahovoíkompaníínaskínčennomuíntervalíčasupriínvestuvanníkapítalunafínansovomubsrinku AT bondarevbv onthefinitetimesurvivalprobabilityofaninsurancecompanywithinvestmentstothefinancialbsmarket AT ragulinaeû onthefinitetimesurvivalprobabilityofaninsurancecompanywithinvestmentstothefinancialbsmarket |