Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела
Проведено аналіз та розглянуто застосування змішаного методу скінченних елементів для розв’язання прикладних задач механіки деформованого твердого тіла. Розвинуто загальну теорію змішаних проекційно-сіткових алгоритмів. Досліджено коректність змішаного методу в задачах теорії пружності, пластичності...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84148 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела / А.Ю. Чирков // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 126-141. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859827807908003840 |
|---|---|
| author | Чирков, А.Ю. |
| author_facet | Чирков, А.Ю. |
| citation_txt | Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела / А.Ю. Чирков // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 126-141. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Проведено аналіз та розглянуто застосування змішаного методу скінченних елементів для розв’язання прикладних задач механіки деформованого твердого тіла. Розвинуто загальну теорію змішаних проекційно-сіткових алгоритмів. Досліджено коректність змішаного методу в задачах теорії пружності, пластичності, коливань, і на цій основі сформульовано умови, що забезпечують стійкість і збіжність змішаних апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень. Побудовано спеціальний скінченний елемент для розв’язання двовимірних і вісесиметричних задач. Для розв’язання задач про згин, коливання і стійкість пластинчастих конструкцій побудовано новий гібридний скінченний елемент на основі трикутника Зінкевича. Математичне обґрунтування збіжності і стійкості змішаної апроксимації доповнено чисельним аналізом.
The paper is devoted to the analysis and use of the mixed finite–element method (FEM) to solve applied problems of solid mechanics. A general theory of mixed projection-mesh algorithms is developed. The reasonableness of the mixed method for elasticity, plasticity, and vibration problems is investigated and is used to formulate the conditions that ensure the stability and convergence of the mixed approximation for displacements, strains, and stresses. A special triangular finite element is designed for two-dimensional and axisymmetric problems. To solve problems of the bending, vibration, and stability of plates, a new hybrid finite element based on the Zienkiewicz triangle is proposed. The mathematical justification of the stability and convergence of the mixed approximation is supplemented with a numerical analysis, which confirms the efficiency of the developed algorithms.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:30:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3
À.Þ. ×ÈÐÊÎÂ
ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÏÐÈËÎÆÅÍÈß ÑÌÅØÀÍÍÎÃÎ ÌÅÒÎÄÀ
ÊÎÍÅ×ÍÛÕ ÝËÅÌÅÍÒÎÂ Ê ÐÅØÅÍÈÞ ÇÀÄÀ× ÌÅÕÀÍÈÊÈ
ÄÅÔÎÐÌÈÐÓÅÌÎÃÎ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: òåîðèÿ óïðóãîñòè, òåîðèÿ ïëàñòè÷íîñòè, ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ, èç-
ãèá ïëàñòèí, ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, ñìåøàííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ, óñòîé÷èâîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îáùåïðèçíàíî, ÷òî ïðèêëàäíûå çàäà÷è ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî
òåëà îòíîñÿòñÿ ê ÷èñëó íàèáîëåå ñëîæíûõ â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, ðåøèòü
êîòîðûå, êàê ïðàâèëî, óäàåòñÿ òîëüêî ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ.
 òî æå âðåìÿ ìíîãèå õîðîøî èçâåñòíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû ìåõàíèêè äåôîð-
ìèðóåìîãî òåëà íåäîñòàòî÷íî òî÷íû è ýôôåêòèâíû ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ
çàäà÷, ïîñêîëüêó áîëüøàÿ ðàçìåðíîñòü äèñêðåòíîé çàäà÷è, à òàêæå ðåçêàÿ ïå-
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
� À.Þ. ×èðêîâ, 2012
ðåìåííîñòü ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà è èõ ñóùåñòâåííàÿ íåëè-
íåéíîñòü ìîãóò ïðèâåñòè ê ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè èëè íàðóøåíèþ ñõîäèìîñòè
âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåññîâ.  ñâÿçè ñ ýòèì àêòóàëüíà ðàçðàáîòêà áîëåå ñîâåð-
øåííîãî àïïàðàòà ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷åòíûõ èññëåäîâàíèé, âêëþ÷àþùåãî íîâûå
ìåòîäû è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ìåõàíèêè.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ óíèâåðñàëüíûì ÷èñëåííûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ êðàåâûõ
çàäà÷ ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òåëà ÿâëÿåòñÿ ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ
(ÌÊÝ). Åãî ýôôåêòèâíîñòü ñëàáî çàâèñèò îò êîíôèãóðàöèè òåëà, õàðàêòåðà ãðà-
íè÷íûõ óñëîâèé, çàêîíà èçìåíåíèÿ ñâîéñòâ ñðåäû è âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ íà
òåëî. Íàèáîëåå èññëåäîâàííûìè è øèðîêî ïðèìåíÿåìûìè ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñ-
êèå ñõåìû ÌÊÝ â ïåðåìåùåíèÿõ, ÷òî îòðàæåíî âî ìíîãèõ ïóáëèêàöèÿõ çàðóáåæ-
íûõ è îòå÷åñòâåííûõ àâòîðîâ.
Îòìå÷àÿ äîñòîèíñòâà êëàññè÷åñêîãî ÌÊÝ (ÊÌÊÝ), ñëåäóåò ó÷èòûâàòü è åãî
íåäîñòàòêè. Ê íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì èç íèõ îòíîñÿòñÿ ðàçðûâíàÿ àïïðîêñèìà-
öèÿ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé, à òàêæå áîëåå íèçêèé ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè àï-
ïðîêñèìàöèè äëÿ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîðÿäêîì ñõîäè-
ìîñòè äëÿ ïåðåìåùåíèé.  òî æå âðåìÿ íàïðÿæåíèÿ îáû÷íî ÿâëÿþòñÿ îñíîâíû-
ìè èñêîìûìè ôóíêöèÿìè â çàäà÷àõ ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òåëà è, ñëå-
äîâàòåëüíî, äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿ ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè.
Òðàäèöèîííûå ïîäõîäû ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ïóòåì óâåëè÷åíèÿ ãóñòîòû êî-
íå÷íî-ýëåìåíòíûõ ðàçáèåíèé èëè ïåðåõîäà ê áîëåå ñëîæíûì êîíå÷íûì ýëåìåí-
òàì íå âñåãäà ýôôåêòèâíû äàæå â ñëó÷àå ëèíåéíûõ çàäà÷. Äëÿ íåñòàöèîíàðíûõ è
íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ ìåõàíèêè îíè ïðàêòè÷åñêè íåïðèåìëåìû,
ïîñêîëüêó óâåëè÷åíèå ïîðÿäêà ðåøàåìîé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé è áîëüøîå êîëè÷åñòâî âðåìåííûõ øàãîâ è èòåðàöèé ïðèâîäÿò ê çíà-
÷èòåëüíîìó ðîñòó âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò.  ñâÿçè ñ ýòèì â ÷èñëåííîì àíàëèçå
çàäà÷ ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òåëà ïåðñïåêòèâíî ïðèìåíåíèå ñìåøàííûõ
ôîðìóëèðîâîê ÌÊÝ, â êîòîðûõ íàïðÿæåíèÿ è (èëè) äåôîðìàöèè âõîäÿò â ðàçðå-
øàþùèå óðàâíåíèÿ íàðÿäó ñ ïåðåìåùåíèÿìè êàê ðàâíîïðàâíûå íåèçâåñòíûå.
Èìåííî òàêèå ôîðìóëèðîâêè ÌÊÝ è ðàññìîðåíû â íàñòîÿùåé ñòàòüå.
 çàäà÷àõ òåîðèè óïðóãîñòè è ïëàñòè÷íîñòè îñíîâíîå ïðåèìóùåñòâî ïðèìå-
íåíèÿ ñìåøàííûõ ôîðìóëèðîâîê ÌÊÝ ïåðåä êëàññè÷åñêèì ïîäõîäîì ÌÊÝ
â ôîðìå ìåòîäà ïåðåìåùåíèé ñîñòîèò â óìåíüøåíèè ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìà-
öèè äëÿ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé, â âîçìîæíîñòè òî÷íîãî óäîâëåòâîðåíèÿ ñòà-
òè÷åñêèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà ïîâåðõíîñòè òåëà, à òàêæå â òîì, ÷òî ñìåøàí-
íûå ñõåìû ÌÊÝ ïîçâîëÿþò îáåñïå÷èâàòü íåïðåðûâíîñòü àïïðîêñèìàöèè íå
òîëüêî äëÿ ïåðåìåùåíèé, íî è äëÿ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé.
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå èñõîäíûå ïðåäïîñûëêè äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñìåøàííûõ
ôîðìóëèðîâîê ÌÊÝ. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ìîæíî âûäåëèòü òðè ïîäõîäà, èìåþùèõ
îáùèå õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè: ïåðâûé îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè âàðèàöèîí-
íûõ ïðèíöèïîâ ìåõàíèêè, ñîãëàñíî êîòîðûì ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è ñâîäèòñÿ
ê íàõîæäåíèþ ñòàöèîíàðíîãî çíà÷åíèÿ íåêîòîðîãî âàðèàöèîííîãî ôóíêöèîíàëà
ïî ñîîòâåòñòâóþùèì àðãóìåíòàì; âòîðîé áàçèðóåòñÿ íà äâîéñòâåííî-îñíîâíîé
(ñìåøàííîé) ôîðìóëèðîâêå êðàåâîé çàäà÷è ñîãëàñíî ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè;
òðåòèé îñíîâàí íà îáîáùåííîé ôîðìóëèðîâêå êðàåâîé çàäà÷è è áàçèðóåòñÿ íà
ðåçóëüòàòàõ òåîðèè, ðàçðàáîòàííîé Ô. Áðåççè [1]. Ïðè òàêîì ïîäõîäå ðàññìàòðè-
âàåòñÿ ñìåøàííàÿ ïîñòàíîâêà êðàåâîé çàäà÷è íåçàâèñèìî îò òîãî, ïîëó÷åíà ëè
îíà èç çàäà÷è î ñåäëîâîé òî÷êå.
Îòìåòèì, ÷òî ïðè èññëåäîâàíèè óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ, åäèíñòâåííîñòè,
óñòîé÷èâîñòè è ñõîäèìîñòè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå ñìå-
øàííîãî ìåòîäà, êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû àíàëèçà ñõåì ÌÊÝ â ïåðåìåùåíèÿõ
íåïðèìåíèìû. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè è ñõîäèìîñòè
ñìåøàííûõ è ãèáðèäíûõ ìåòîäîâ ñôîðìóëèðîâàíû â [1, 2], îäíàêî äëÿ ìíîãèõ
ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ âàðèàíòîâ ñìåøàííûõ è ãèáðèäíûõ ñõåì ÌÊÝ äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ íå âûïîëíÿþòñÿ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 127
Òàêèì îáðàçîì, íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ñìåøàííûå ôîðìóëèðîâêè ÌÊÝ áîëåå
ãèáêèå, à ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñõåìû ÌÊÝ èìåþò ïðåèìóùåñòâà â òî÷íîñòè, îíè
íå ïîëó÷èëè íà ïðàêòèêå øèðîêîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèå ê ðåøå-
íèþ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè è ïëàñòè÷íîñòè âåñüìà îãðàíè÷åíî.
Íàñêîëüêî èçâåñòíî àâòîðó, ñîâðåìåííûå êîììåð÷åñêèå ïðîãðàììíûå ïðîäóêòû
îðèåíòèðîâàíû â îñíîâíîì íà êëàññè÷åñêèé âàðèàíò ÌÊÝ è íå ñîäåðæàò â ñâîèõ
áèáëèîòåêàõ êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ñìåøàííîãî òèïà, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ óäàåòñÿ
ïîëó÷èòü îùóòèìûå ïðåèìóùåñòâà â òî÷íîñòè è ýôôåêòèâíîñòè ðåøåíèÿ äâóõ- è
òðåõìåðíûõ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè è ïëàñòè÷íîñòè. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ
òðóäíîñòÿìè ïðàêòè÷åñêîãî êîíñòðóèðîâàíèÿ ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè,
óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì óñòîé÷èâîñòè è ñõîäèìîñòè ñìåøàííîãî ìåòîäà.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ íå ñóùåñòâóåò ïðèãîäíîé äëÿ âñåõ êëàññîâ çàäà÷ ìåõàíè-
êè åäèíîé ìåòîäèêè ïîñòðîåíèÿ íàèëó÷øåé ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè äëÿ íà-
ïðÿæåíèé, äåôîðìàöèé è ïåðåìåùåíèé.  êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå
íåîáõîäèìû òùàòåëüíàÿ ïðîâåðêà ïðàâèëüíîñòè ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùèõ
ôóíêöèé è äåòàëüíûé àíàëèç ñõîäèìîñòè ïðè èõ èñïîëüçîâàíèè. Êðîìå òîãî, ñó-
ùåñòâóåò âàæíàÿ äëÿ ïðàêòèêè çàäà÷à ôàêòè÷åñêîãî íàõîæäåíèÿ äèñêðåòíîãî ðå-
øåíèÿ, ÷òî ñâÿçàíî ñ ðàçðàáîòêîé è ðåàëèçàöèåé ýôôåêòèâíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ
àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé ñìåøàííîãî ìåòîäà.
Äàëåå ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå àâòîðîì çà ïîñëåä-
íèå äâà äåñÿòèëåòèÿ ïðè ðàçðàáîòêå ñìåøàííûõ è ãèáðèäíûõ ñõåì ÌÊÝ ðåøå-
íèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà. Ïðåäëîæåííûå
ñìåøàííûå ñõåìû è àëãîðèòìû ÌÊÝ ïîçâîëÿþò ïîâûñèòü òî÷íîñòü è ýôôåêòèâ-
íîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷ ïðî÷íîñòè, êîëåáàíèé è óñòîé÷èâîñòè ýëåìåíòîâ êîíñòðóê-
öèé, à òàêæå îáåñïå÷èòü ïîëó÷åíèå óñòîé÷èâûõ è íàäåæíûõ ÷èñëåííûõ ðåøåíèé
çàäà÷ óêàçàíîãî òèïà.
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ Ê ÇÀÄÀ×ÀÌ ÒÅÎÐÈÈ ÓÏÐÓÃÎÑÒÈ
Ïóñòü ðàññìàòðèâàåìîå òåëî çàíèìàåò îáëàñòü � è èìååò ðåãóëÿðíóþ ãðàíèöó.
Íà îäíîé ÷àñòè ãðàíèöû çàäàíû ïåðåìåùåíèÿ, èñêëþ÷àþùèå ñìåùåíèÿ � êàê
æåñòêîãî òåëà, à íà äðóãîé — ïîâåðõíîñòíûå íàãðóçêè. Êðîìå òîãî, òåëî ïîä-
âåðæåíî âîçäåéñòâèþ ìàññîâûõ ñèë è íà÷àëüíûõ äåôîðìàöèé.
Ïîëàãàåì, ÷òî ïåðåìåùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ôóíêöèîíàëüíîãî ìíî-
æåñòâà U , ñîñòîÿùåãî èç âåêòîð-ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì íà �
âìåñòå ñî ñâîèìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè âêëþ÷èòåëüíî è ðàâíûõ çàäàííûì ïå-
ðåìåùåíèÿì íà ãðàíèöå òåëà. Ïðîñòðàíñòâî äîïóñòèìûõ ïåðåìåùåíèéU 0 ñîñòî-
èò èç ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà U , óäîâëåòâîðÿþùèõ îäíîðîäíûì êèíåìàòè÷åñêèì
óñëîâèÿì íà ãðàíèöå òåëà.
Íàïðÿæåíèÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ýëåìåíòû ôóíêöèîíàëüíîãî ìíîæåñ-
òâà Z, ñîñòîÿùåãî èç òåíçîð-ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì íà � âìåñòå
ñî ñâîèìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè âêëþ÷èòåëüíî è ðàâíûõ çàäàííûì íàïðÿæå-
íèÿì íà ïîâåðõíîñòè òåëà. Ïðîñòðàíñòâî äîïóñòèìûõ íàïðÿæåíèé Z 0 îïðåäåëèì
êàê ïîäìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç ìíîæåñòâà Z, óäîâëåòâîðÿþùèõ îäíîðîäíûì
ñòàòè÷åñêèì óñëîâèÿì íà ãðàíèöå òåëà.
Ïîëàãàåì, ÷òî äåôîðìàöèè, êàê è íàïðÿæåíèÿ, èíòåãðèðóþòñÿ ñ êâàäðàòîì
íà � âìåñòå ñî ñâîèìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè âêëþ÷èòåëüíî è îáåñïå÷èâàþò
âûïîëíåíèå ñòàòè÷åñêèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ïîâåðõíîñòè òåëà. Ìíîæåñòâî
äåôîðìàöèé ñ ïåðå÷èñëåííûìè ñâîéñòâàìè îáîçíà÷èì X . Òîãäà ïðîñòðàíñòâî
äîïóñòèìûõ äåôîðìàöèé X 0 ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X , óäîâëåòâîðÿþ-
ùèõ îäíîðîäíûì ñòàòè÷åñêèì óñëîâèÿì íà ãðàíèöå òåëà.
Èçâåñòíî, ÷òî çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé
óðàâíåíèé [3]:
� ñîîòíîøåíèÿ Êîøè
� � Bu; (1)
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
� îáîáùåííûé çàêîí Ãóêà
� � �� �D( ); (2)
� óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è ñòàòè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè
òåëà, çàïèñàííûå â âèäå âàðèàöèîííîãî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà
( , ) ( )� � � �B Xu u� � ��u U 0 . (3)
Çäåñü B — ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, ò.å. îïåðàòîð âû÷èñëåíèÿ
ìàëûõ äåôîðìàöèé � ïî çàäàííûì ïåðåìåùåíèÿì u; D — ëèíåéíûé ñàìîñîï-
ðÿæåííûé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð, ñîîòâåòñòâóþ-
ùèé ìàòðèöå ìîäóëåé óïðóãîñòè ìàòåðèàëà è óñòàíàâëèâàþùèé âçàèìîñâÿçü
ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè �, ïîëíûìè � è íà÷àëüíûìè � äåôîðìàöèÿìè; � �( )u —
ëèíåéíàÿ ôîðìà, àññîöèèðóåìàÿ ñ ðàáîòîé ïîâåðõíîñòíûõ íàãðóçîê è ìàññî-
âûõ ñèë íà âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèÿõ �u �U 0 . Ïðèâåäåííûå è ñëåäóþùèå äà-
ëåå îáîçíà÷åíèÿ ïîäðîáíåå îïèñàíû â [4].
Óðàâíåíèÿ (1)–(3) ïîçâîëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü îáîáùåííóþ êðàåâóþ çàäà÷ó
òåîðèè óïðóãîñòè â ïåðåìåùåíèÿõ. Íàéòè ýëåìåíò u �U òàêîé, ÷òî
( , ) ) ( , )B B B UD Du u u u u� � � � � �� � �( 0 . (4)
Èñïîëüçîâàíèå óðàâíåíèÿ (4) äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñåòî÷íûõ ñõåì ïðèâîäèò
ê êëàññè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå ÌÊÝ â ôîðìå ìåòîäà ïåðåìåùåíèé.  ðåçóëüòàòå
äåôîðìàöèè âû÷èñëÿþòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïðèáëèæåííûõ ïåðåìåùåíèé,
íàéäåííûõ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è â ïåðåìåùåíèÿõ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé ïðè÷èíîé
óõóäøåíèÿ ñõîäèìîñòè àïïðîêñèìàöèè äëÿ äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé ïî
ñðàâíåíèþ ñ âû÷èñëåíèåì ñàìèõ ïåðåìåùåíèé.
Àëüòåðíàòèâíûé ïîäõîä ñîñòîèò â èçìåíåíèè îáîáùåííîé ïîñòàíîâêè êðàå-
âîé çàäà÷è òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äåôîðìàöèè ÿâëÿëèñü åå íåïîñðåäñòâåííûìè
àðãóìåíòàìè, à íå îïðåäåëÿëèñü íà îñíîâå ðåøåíèÿ çàäà÷è â ïåðåìåùåíèÿõ.
Ñ ýòîé öåëüþ ñôîðìóëèðóåì êðàåâóþ çàäà÷ó ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íàéòè ïàðó
( , )u � �
U X òàêóþ, ÷òî
( , ) ( , )� �� �� ��D DB X� � �u 0 , (5)
( , ) ) ( , )� � � � � � �B B UD Du u u u� � �( 0 .
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (5) îïðåäåëÿåò îáîáùåííóþ ïîñòàíîâêó êðàåâîé çàäà÷è
òåîðèè óïðóãîñòè îòíîñèòåëüíî ïåðåìåùåíèé è äåôîðìàöèé. Îòìåòèì, ÷òî ïîëó-
÷èòü (5) ìîæíî, èñïîëüçóÿ âàðèàöèîííûé ïðèíöèï ñòàöèîíàðíîñòè ôóíêöèîíàëà
Õåëëèíãåðà–Ðåéññíåðà, çàïèñàííîãî â ôîðìå ïåðåìåùåíèÿ–äåôîðìàöèè.
Äëÿ ôîðìóëèðîâêè êîíå÷íîìåðíîé çàäà÷è ìíîæåñòâà ïåðåìåùåíèé U è äå-
ôîðìàöèé X àïïðîêñèìèðóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êîíå÷íîìåðíûõ ïîäìíî-
æåñòâ U h è X h , ãäå h — îïðåäåëÿþùèé ïàðàìåòð ñåìåéñòâà êîíå÷íîìåðíûõ
ìíîæåñòâ, ñòðåìÿùèéñÿ â ïðåäåëå ê íóëþ. Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâ U h è X h îñíî-
âàíî íà èñïîëüçîâàíèè íåçàâèñèìîé àïïðîêñèìàöèè ïîëåé ïåðåìåùåíèé è äå-
ôîðìàöèé ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íîãî íàáîðà êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûõ áàçèñíûõ
ôóíêöèé [5]. Òîãäà ïî àíàëîãèè ñ êîíòèíóàëüíîé çàäà÷åé (5) ñôîðìóëèðóåì êîíå÷-
íîìåðíóþ çàäà÷ó ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íàéòè ïàðó ( , )u h h h hU X� �
òàêóþ, ÷òî
( , ) ( , )� �� �� ��h h D h h D h h
B X� � �u 0 ,
( , ) ( ) ( , )� � � � � � �h h D h h D h h
B B Uu u u u� � � 0 .
(6)
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (6) îïðåäåëÿåò ñìåøàííóþ ïðîåêöèîííî-ñåòî÷íóþ ïî-
ñòàíîâêó êðàåâîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè â ïåðåìåùåíèÿõ è äåôîðìàöèÿõ. Äî-
êàçàòåëüñòâî êîððåêòíîñòè è ñõîäèìîñòè ðåøåíèé óðàâíåíèé ñìåøàííîãî ìåòî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 129
äà (6) áàçèðóþòñÿ íà ðåçóëüòàòàõ òåîðèè ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè, ðàçâèòîé
â [4] ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷àì òåîðèè óïðóãîñòè è ïëàñòè÷íîñòè.
Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ðàçðàáîòàííîé òåîðèè ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùåìó:
� íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîëÿìè äåôîðìàöèé Yh è X
h
0
äëÿ êëàññè÷åñêîãî è ñìåøàííîãî ïîäõîäîâ ÌÊÝ;
� ââåñòè ïðîåêòèðóþùèé îïåðàòîð I Y Xh h h
: � 0 , ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî óñòà-
íàâëèâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, ò.å. êàæäîìó ýëåìåíòó èç ìíî-
æåñòâà Yh îïåðàòîð I h ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå åãî îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ â X
h
0 ;
� äëÿ ñìåøàííîãî ìåòîäà îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ I h ïîðîæäàåò ðàçëîæå-
íèå ïðîñòðàíñòâà äåôîðìàöèé X
h
0 â ïðÿìóþ ñóììó ïîäïðîñòðàíñòâ
X I I
h h h
0 � �Im Ker (( ) )* .
Îòìåòèì, ÷òî îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåê-
òèðîâàíèÿ I h èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü â àíàëèçå óñòîé÷èâîñòè è ñõîäèìîñòè
ñìåøàííîãî ìåòîäà.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äåôîðìàöèè ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû � � �h h h� 0 * ,
� �
h h h hX X0 0� �, * , ãäå �h
* — èçâåñòíûå äåôîðìàöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå íåîäíî-
ðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà ïîâåðõíîñòè òåëà, òî ñ èñïîëüçîâàíèåì îðòî-
ïðîåêòîðà I h óðàâíåíèÿ ñìåøàííîãî ìåòîäà (6) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîì
âèäå
( , ) ( , )� �� �� ��
h h D h h h D h h
I B X0 0� � �u ,
( , ) ( ) ( , )*� � � � � � � �
h h h D h h h D h h
I B B U0 0u u u u� � � � ,
îòêóäà ñëåäóåò óðàâíåíèå äëÿ ïåðåìåùåíèé
( , ) ( ) ( , )*I B I B B Uh h h h D h h h D h h
u u u u u� � � � � � �� � � � 0 .
Òîãäà ïî òåîðåìå Ëàêñà–Ìèëüãðàìà [5] ïîëó÷àåì íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷-
íîå óñëîâèå êîððåêòíîé ïîñòàíîâêè êîíå÷íîìåðíîé çàäà÷è (6), ñôîðìóëèðîâàí-
íîå â âèäå íåðàâåíñòâà
d Bv I Bv d v Uh D h h D h h| | | | | | | | , ,
�
� �0 1 . (7)
Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé óñëîâèå (7) óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
d
Bv
Bv
X
v U
h h D
h D
h h
h h
2
2
2
01� �
�
� �
�
inf
| | | |
| | | |
�
� . (8)
Òàêèì îáðàçîì, åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè (7), òî ðåøåíèå
óðàâíåíèé ñìåøàííîãî ìåòîäà (6) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî, à òàêæå óñòîé÷èâî
ïî îòíîøåíèþ ê ïðîèçâîëüíûì âàðèàöèÿì íàãðóçîê è íà÷àëüíûõ äåôîðìàöèé.
Áîëåå òîãî, ñóùåñòâóþò òàêèå íå çàâèñÿùèå îò øàãà ñåòêè ïîñòîÿííûå C1 è C2 ,
ïðè êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
| | | | inf | | | | sup inf
| (
� � � �
� �
�
�
� � �
h D
X
h D
X v U
C
h h
h h
h h
1
00
� �
�
� Bvh h D
h D
, ) |
| | | |
0
0
,
| | | | ( inf | | | | inf | | | |u u u�
� �
� �
h L
X
h X
v U
hC h C v
h h h h
2 1
�
� � U ).
(9)
Ïîëó÷åííûå àïðèîðíûå îöåíêè ïîãðåøíîñòåé ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè
äëÿ äåôîðìàöèé è ïåðåìåùåíèé (9) ïîçâîëÿþò óñòàíîâèòü íå òîëüêî ôàêò ñõîäè-
ìîñòè ñìåøàííîãî ìåòîäà â çàäà÷àõ òåîðèè óïðóãîñòè, íî òàêæå óêàçûâàþò íà
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ áîëåå òî÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé äåôîðìàöèé ïî ñðàâíåíèþ
ñ îáû÷íîé àïïðîêñèìàöèåé ÌÊÝ.
Òàêèì îáðàçîì, ñôîðìóëèðîâàííîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè, çàïèñàííîå
â âèäå íåðàâåíñòâ (7) è (8), èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â àíàëèçå óñòîé÷èâîñ-
òè è ñõîäèìîñòè ñìåøàííîãî ìåòîäà äëÿ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè.
Ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå ñìåøàííûõ ñõåì ÌÊÝ îò òðàäèöèîííûõ ñîñòîèò
â íåîáõîäèìîñòè ïîñòðîåíèÿ òàêèõ àïïðîêñèìèðóþùèõ ôóíêöèé, äëÿ êîòî-
ðûõ îáåñïå÷èâàåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè (7), ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü,
ãàðàíòèðóåò ðàçðåøèìîñòü, ñõîäèìîñòü è ïîëó÷åíèå óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ êî-
íå÷íîìåðíîé çàäà÷è ïðè ëþáîì øàãå ñåòêè.
×èñëåííûé àíàëèç ïîêàçàë, ÷òî ïîïûòêè èãíîðèðîâàíèÿ óñëîâèÿ óñòîé-
÷èâîñòè (7) ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè ïðèâîäÿò ê ïëîõî
îáóñëîâëåííûì äèñêðåòíûì çàäà÷àì, ðåøåíèÿ êîòîðûõ èìåþò íåóñòîé÷èâûé
îñöèëëèðóþùèé õàðàêòåð.
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ Ê ÇÀÄÀ×ÀÌ ÒÅÎÐÈÈ ÏËÀÑÒÈ×ÍÎÑÒÈ
Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé ìîäåëè áàçèðóþòñÿ íà óðàâíåíèÿõ
ïëàñòè÷åñêîãî òå÷åíèÿ Ïðàíäëÿ–Ðåéññà è óñëîâèè òåêó÷åñòè Ãóáåðà–Ìèçå-
ñà [6].  ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå çàâèñèò îò èñ-
òîðèè òåðìîìåõàíè÷åñêîãî íàãðóæåíèÿ è ïðîöåññ íåóïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
äîëæåí ïðîñëåæèâàòüñÿ íà âñåì èññëåäóåìîì èíòåðâàëå âðåìåíè t ïóòåì ïî-
øàãîâîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è.
Ïðèâåäåì ïîñòàíîâêó êðàåâîé çàäà÷è òåîðèè ïëàñòè÷íîñòè, îïèñûâàþùåé
íåèçîòåðìè÷åñêèå ïðîöåññû óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ ïî òðàåêòî-
ðèÿì ìàëîé êðèâèçíû [7]. Ñîãëàñíî [8] îáîáùåííóþ êðàåâóþ çàäà÷ó ìîæíî
ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íàéòè òðîéêó ( ( ), ( ), ( ))u t t t U X Z� � �
òàêóþ, ÷òî
( ( ), ) ( ( ), )� �� �� ��t B t ZX X� � �u 0 ,
( ( ), ) ( ( ( ), ( ), )), )� �� � � �� ��t t t t XX X� � �� 0 , (10)
( ( ), ) ( ),� � � � �t B t UXu u u� � � � � 0 ,
ãäå � — íåëèíåéíûé îïåðàòîð, óñòàíàâëèâàþùèé ñâÿçü íàïðÿæåíèé ñ äåôîð-
ìàöèîííîé è òåïëîâîé èñòîðèåé.
Ñèñòåìà íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (10) îïðåäåëÿåò îáîáùåííóþ ïîñòàíîâêó
êðàåâîé çàäà÷è òåîðèè ïëàñòè÷íîñòè â ïåðåìåùåíèÿõ, äåôîðìàöèÿõ è íàïðÿæå-
íèÿõ. Îòìåòèì, ÷òî åñëè ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå êðèâûå äåôîðìèðîâàíèÿ ìàòå-
ðèàëà ïðè ðàçëè÷íûõ ôèêñèðîâàííûõ òåìïåðàòóðàõ, ÿâëÿþòñÿ âûïóêëûìè, òî
ðåøåíèå îáîáùåííîé êðàåâîé çàäà÷è (10) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî [8].
Ïóñòü çàäàíî ñåìåéñòâî àïïðîêñèìèðóþùèõ ìíîæåñòâ U X Zh h h
, óäîâ-
ëåòâîðÿþùåå âêëþ÷åíèþ U X Z U X Zh h h
�
. Òîãäà ïî àíàëîãèè ñ êîíòè-
íóàëüíîé çàäà÷åé (10) ñôîðìóëèðóåì êîíå÷íîìåðíóþ çàäà÷ó ñëåäóþùèì îáðà-
çîì. Íàéòè òðîéêó ( ( ), ( ), ( ))u h h h h h ht t t U X Z� � �
òàêóþ, ÷òî
( ( ), ) ( ( ), )� �� �� ��h h X h h X h h
t B t Z� � �u 0 ,
( ( ), ) ( ( ( ), ( ), ), )� �� � � �� ��h h X h h h X h h
t t t t X� � �� 0 , (11)
( ( ), ) ( ),� � � � �h h X h h h
t B t Uu u u� � � � � 0 .
Ñèñòåìà íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (11) îïðåäåëÿåò ñìåøàííóþ ïðîåêöèîí-
íî-ñåòî÷íóþ ïîñòàíîâêó êðàåâîé çàäà÷è òåîðèè ïëàñòè÷íîñòè îòíîñèòåëüíî ïå-
ðåìåùåíèé, äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 131
Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè è ñõîäèìîñòè
ñìåøàííîãî ìåòîäà â çàäà÷àõ òåîðèè ïëàñòè÷íîñòè.
Åñëè íàïðÿæåíèÿ, êàê è äåôîðìàöèè, ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû � � �h h h� 0 * ,
� �
h h h hZ Z0 0� �, * , ãäå � h
* — èçâåñòíûå íàïðÿæåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå íåîäíî-
ðîäíûì ñòàòè÷åñêèì óñëîâèÿì íà ïîâåðõíîñòè òåëà, òî ñ èñïîëüçîâàíèåì îðòî-
ïðîåêòîðà I h ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñìåøàííîãî ìåòîäà (11) ìîæíî ïå-
ðåïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîì âèäå
( ( ), ) ( ( ), )� �� �� ��
h h X h h h X h h
t I B t Z0 0� � �u ,
( ( ), ) ( ( ( ), ( ), ), )� �� � � �� ��
h h X h h h X h h
t t t t X0 0� � �� ,
( ( ), ) ( ), ( ( ), )*� � � � � � �
h h h X h h h h h
t I B t t B U0 0u u u u� � � � � � .
Îòñþäà ñëåäóåò íåëèíåéíîå îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ïåðåìåùåíèé
� � � � � � �A t t t t t Bh h h h h h h( ( ), ( ), ), ( ), ( ( ), )*u u u u� � � � � � �u h h
U� 0 ,
ãäå Ah — íåëèíåéíûé îïåðàòîð, îïðåäåëÿåìûé îòîáðàæåíèåì
A t t t U I B t t t I Bh h h h h h h h h( ( ), ( ), ) : ( ( ( ), ( ), ),u u u� � �� �0 � �u h X) . (12)
 [9] ïîêàçàíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè, ñôîðìóëèðîâàí-
íîãî â âèäå íåðàâåíñòâà
d Bv I Bv d v Uh X h h X h h| | | | | | | | , ,
�
� �0 1 , (13)
íåëèíåéíûé îïåðàòîð (12) îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ñèëüíîé ìîíîòîííîñòè è ëèï-
øèö-íåïðåðûâíîñòè [10], îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèé ñìåøàííîãî
ìåòîäà (11) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî, à òàêæå íåïðåðûâíî çàâèñèò îò èçìå-
íåíèÿ íàãðóçîê è íà÷àëüíûõ äåôîðìàöèé. Áîëåå òîãî, åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëî-
âèå óñòîé÷èâîñòè (13), òî ñóùåñòâóþò òàêèå íå çàâèñÿùèå îò øàãà ñåòêè ïî-
ñòîÿííûå C C1 6, ..., , ïðè êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
| | ( ) ( )| | inf | | ( ) | | inf |� � � �
� �
t t C t Ch X
X
h X
Xh h h h
�
�
� �
1 2 | ( ) | |� �t h X�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
sup inf
| ( ( ) , ) |
| | | |�
� �
�h h
h hX v U
h h X
h X
t Bv
C
0 0
0
0 3 | | ( ) ( )| |� �t th X� ,
(14)
| | ( ) ( )| | inf | | ( ) | | inf� � � �
� �
t t C t Ch X
X
h X
Xh h h h
�
�
�
� �
4 5
�
�
�
� | | ( ) | |� �t h X
� �
�
�
�
� �
sup inf
| ( ( ) , ) |
| | | |�
� �
�h h
h hX v U
h h X
h X
t Bv
C
0 0
0
0 6 | | ( ) ( )| |� �t th X� .
Ïîëó÷åííûå àïðèîðíûå îöåíêè ïîãðåøíîñòåé ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè
äëÿ äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé (14) ïîçâîëÿþò óñòàíîâèòü íå òîëüêî ñàì ôàêò
ñõîäèìîñòè ñìåøàííîãî ìåòîäà â çàäà÷àõ òåîðèè ïëàñòè÷íîñòè, íî òàêæå óêàçû-
âàþò íà âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ áîëåå òî÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé äåôîðìàöèé è íà-
ïðÿæåíèé ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèåé ÌÊÝ.
Åñëè íà÷àëüíûå ïëàñòè÷åñêèå äåôîðìàöèè äëÿ òåêóùåãî ýòàïà íàãðóæåíèÿ
îïðåäåëÿòü íà îñíîâå ðåøåíèÿ óïðóãîïëàñòè÷åñêîé çàäà÷è äëÿ ïðåäûäóùèõ ýòà-
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
ïîâ íàãðóæåíèÿ, òî ïîëó÷èì îöåíêè ñóììàðíîé ïîãðåøíîñòè äëÿ äåôîðìàöèé è
íàïðÿæåíèé â êîíöå òåêóùåãî ýòàïà íàãðóæåíèÿ. Ýòè íåðàâåíñòâà ïîçâîëÿþò
óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü ñìåøàííîãî ìåòîäà äëÿ êâàçèñòàòè÷åñêèõ çàäà÷, îïèñû-
âàþùèõ íåèçîòåðìè÷åñêèå ïðîöåññû óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ ïî
òðàåêòîðèÿì ìàëîé êðèâèçíû ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ äåôîðìàöèé, çàâèñÿùèõ îò èñ-
òîðèè òåðìîìåõàíè÷åñêîãî íàãðóæåíèÿ. Ñîãëàñíî îöåíêàì, ïîëó÷åííûì â [9],
òî÷íîñòü ðåøåíèÿ êîíå÷íîìåðíîé çàäà÷è (11) íà íà÷àëüíûõ ýòàïàõ íàãðóæåíèÿ
äîëæíà áûòü äîñòàòî÷íîé, ÷òîáû íå äîïóñòèòü âëèÿíèå ðîñòà ïåðâûõ
êîýôôèöèåíòîâ â ðàçëîæåíèè ñóììàðíîé ïîãðåøíîñòè íà òî÷íîñòü ðåøåíèÿ
óïðóãîïëàñòè÷åñêîé çàäà÷è íà ïîñëåäóþùèõ ýòàïàõ íàãðóæåíèÿ.
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ Ê ÇÀÄÀ×ÀÌ Î ÑÂÎÁÎÄÍÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈßÕ ÓÏÐÓÃÈÕ ÒÅË
Èçâåñòíî, ÷òî çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò p � 0 è ôîðì ñâîáîäíûõ
êîëåáàíèé u � 0 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå [11]:
( , ) ( , )B B p UD Lu u u u u� � �� � � 0 . (15)
Óðàâíåíèå (15) îïðåäåëÿåò îáîáùåííóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è î ñîáñòâåííûõ
êîëåáàíèÿõ óïðóãèõ òåë, ñôîðìóëèðîâàííóþ â ïåðåìåùåíèÿõ.
Êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû àíàëèçà ñóùåñòâîâàíèÿ è ñâîéñòâ òî÷íûõ ðåøåíèé
ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (15) õîðîøî èçâåñòíû è ïðèâåäåíû â [12]. Ìàòåìàòè÷åñêèå
ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ î ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ ñ ðàçðûâíûìè
ðåøåíèÿìè ñîäåðæàòñÿ â [13].
Èñïîëüçîâàíèå óðàâíåíèÿ (15) äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñåòî÷íûõ ñõåì ïðèâîäèò
ê êëàññè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå ÌÊÝ â ôîðìå ìåòîäà ïåðåìåùåíèé. Àëüòåð-
íàòèâíûé ïîäõîä ñîñòîèò â èçìåíåíèè îáîáùåííîé ïîñòàíîâêè ñïåêòðàëüíîé
çàäà÷è (15) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ ÿâëÿëèñü åå íå-
ïîñðåäñòâåííûìè àðãóìåíòàìè.
 [14] ïðåäëîæåíû àëüòåðíàòèâíûå âàðèàöèîííûå ïîñòàíîâêè çàäà÷è î ñâî-
áîäíûõ êîëåáàíèÿõ óïðóãèõ òåë, â êîòîðûõ íàïðÿæåíèÿ èëè äåôîðìàöèè âõîäÿò â
ðàçðåøàþùèå óðàâíåíèÿ íàðÿäó ñ ïåðåìåùåíèÿìè êàê ðàâíîïðàâíûå íåèçâåñòíûå.
Ïðåäñòàâèâ ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó ñèñòåìîé óðàâíåíèé
( , ) ( , )� �� �� ��D DB X� � �u 0 ,
( , ) ( , )� � � �B p UD Lu u u u� � � 0 ,
(16)
ïîëó÷èì îáîáùåííóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è î ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèÿõ óïðóãèõ
òåë îòíîñèòåëüíî ïåðåìåùåíèé è äåôîðìàöèé.
Íà îñíîâå óðàâíåíèé (16) èìååì ñìåøàííóþ ôîðìóëèðîâêó ÌÊÝ äëÿ çàäà÷è
î ñâîáîäíûõ êîëåáàíèÿõ óïðóãèõ òåë. Íàéòè òðîéêó ( , , )p U Xh h h h hu R� �
òàêóþ, ÷òî
( , ) ( , )� �� �� ��h h D h h D h h
B X� � �u 0 ,
( , ) ( , )� � � �h h D h h h L h h
B p Uu u u u� � � 0 .
(17)
 [14] èññëåäîâàíà êîððåêòíîñòü ïîñòàíîâîê äèñêðåòíûõ çàäà÷ î ñïåêòðå
â ñìåøàííîé ôîðìå è ñôîðìóëèðîâàíû óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå óñòîé÷èâîñòü
è ñõîäèìîñòü ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè. ×òî êàñàåòñÿ òî÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå óðàâíåíèé ñìåøàííîãî ìåòîäà, òî
ñîãëàñíî ïðèíöèïó ìèíèìàêñà Êóðàíòà–Ôèøåðà [15] îíè íå ïðåâûøàþò ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, íàéäåííûõ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è â ïåðåìåùåíèÿõ
ñ èñïîëüçîâàíèåì ÊÌÊÝ. Èíà÷å, åñëè pnh è pnh — ñóòü n-å â ïîðÿäêå âîçðàñòà-
íèÿ ïîëîæèòåëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñïåêòðàëüíûõ çàäà÷, ñôîðìóëèðîâàí-
íûõ ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêîãî è ñìåøàííîãî ïîäõîäîâ ÌÊÝ, òî íà îñíîâàíèè
ìèíèìàêñíîãî ïðèíöèïà Êóðàíòà–Ôèøåðà ïîëó÷àåì p pnh nh
äëÿ âñåõ n.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 133
134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÈÐÓÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Äëÿ êîíêðåòèçàöèè óðàâíåíèé ñìåøàííîãî ìåòîäà â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñ-
ñìîòðèì äâóõìåðíûå è îñåñèììåòðè÷íûå çàäà÷è. Èñïîëüçóåì ëèíåéíûå òðåó-
ãîëüíûå ýëåìåíòû, ñîâîêóïíîñòü êîòîðûõ îïèñûâàåò äîïóñòèìóþ òðèàíãóëÿ-
öèþ T Th h� ( )� îáëàñòè � � R 2 . Ïóñòü 1, 2, 3 — ëîêàëüíàÿ íóìåðàöèÿ âåð-
øèí òðåóãîëüíèêà T Th� ( )� , îáðàçîâàííàÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Òîãäà
ïåðåìåùåíèÿ vh â ïðåäåëàõ òðåóãîëüíèêà çàäàäèì â âèäå ëèíåéíûõ ôóíêöèé
îò êîîðäèíàò x � ( , )x x1 2 :
v v Th ( ) � ( )x x x� � �
�
1 3
, (18)
ãäå � ( )v vh � x — óçëîâûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåùåíèé â âåðøèíàõ;
( )x — ëè-
íåéíûå èíòåðïîëÿöèîííûå ôóíêöèè òðåóãîëüíèêà.
Îáîçíà÷èì xT T Tx x� ( , )1 2 êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà
T Th� ( )� è îïðåäåëèì «âíóòðåííþþ», ðàâíóþ íóëþ íà âñåõ ñòîðîíàõ òðåó-
ãîëüíèêà T , ôóíêöèþ
T ( )x òàêóþ, ÷òî
T T( )x �1. Äàííîå îïðåäåëåíèå ôóíê-
öèè
T ( )x íå ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íûì. Òåì íå ìåíåå äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ
â ïðåäåëàõ òðåóãîëüíèêà T Th� ( )� ôîðìàëüíî çàïèøåì â âèäå
� �
� �
h T T( ) � ( ) � ( )x x x� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1 1
1
33 3
� �x T , (19)
ãäå � ( )� � � h x è � �T h T� ( )x — óçëîâûå çíà÷åíèÿ � h ( )x â âåðøèíàõ è
öåíòðå òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà T Th� ( )� . Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèþ
T ( )x ìîæíî
ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûõ âîñïîëíå-
íèé è òàê íàçûâàåìîé ôóíêöèè-êîëîêîëà, ò.å. ôóíêöèè âèäà
1 2 3( ) ( ) ( )x x x .
Ôóíêöèÿ-êîëîêîë ïðèíèìàåò íóëåâûå çíà÷åíèÿ íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà è
íàïîìèíàåò ôîðìó êîëîêîëà âíóòðè òðåóãîëüíèêà.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî äâà òèïà ôóíêöèé
T ( )x .
Ïðè ïîñòðîåíèè ïåðâîãî òèïà èñïîëüçóåì êóñî÷íî-ëèíåéíóþ èíòåðïîëÿöèþ
â ïðåäåëàõ òðåóãîëüíèêà. Äëÿ ýòîãî ðàçäåëèì òðåóãîëüíèê T Th� ( )� íà òðè òðåó-
ãîëüíèêà ñ îáùåé âåðøèíîé â öåíòðå òÿæåñòè xT . Òîãäà â ïðåäåëàõ êàæäîãî èç
íèõ îïðåäåëèì
T ( )x êàê ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, ðàâíóþ íóëþ íà âíåøíåé ñòîðîíå
òðåóãîëüíèêà è åäèíèöå â òî÷êå xT . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âòîðîãî òèïà ôóíêöèé
T ( )x èñïîëüçóåì íîðìèðîâàííóþ ôóíêöèþ-êîëîêîë, ò.å. ôóíêöèþ
T ( )x �
� 27 1 2 3
( ) ( ) ( )x x x . Òàêèì îáðàçîì, îáà òèïà ôóíêöèé
T ( )x îïðåäåëÿþòñÿ
îäíîçíà÷íî.
Ðàññìîòðèì èíòåðïîëÿöèîííûå ñâîéñòâà àïïðîêñèìàöèé (18), (19). Ïðåæäå
âñåãî, ïåðåìåùåíèÿ, äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ íåïðåðûâíû íà âñåì ìíîæåñòâå
�, ïîñêîëüêó íåïðåðûâíîñòü ëèíåéíûõ èíòåðïîëÿöèîííûõ ôóíêöèé
( )x íà
ëþáîé ñòîðîíå, îáùåé äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ, îáåñïå÷èâàåòñÿ îäíî-
çíà÷íûì îïðåäåëåíèåì ýòèõ ôóíêöèé â óçëàõ, ðàñïîëîæåííûõ íà âûáðàííîé ñòî-
ðîíå, à ôóíêöèÿ
T ( )x ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà íóëþ íà âñåõ ñòîðîíàõ òðåóãîëüíè-
êà. Êðîìå òîãî, àïïðîêñèìàöèÿ (19) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïîñòîÿíñòâà íàïðÿ-
æåíèé è äåôîðìàöèé íà âñåì ìíîæåñòâå � è ãàðàíòèðóåò ïîëó÷åíèå óñòîé÷èâîãî
ðåøåíèÿ äèñêðåòíîé çàäà÷è äëÿ äâóõ òèïîâ ôóíêöèé
T ( )x .
Ïîñêîëüêó ïåðåìåùåíèÿ ëèíåéíû íà êàæäîì èç òðåóãîëüíèêîâ, èõ ïðîèçâîä-
íûå çàäàþòñÿ ñ ïîìîùüþ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé �h ( )x . Ñóæåíèå �h ( )x íà
òðåóãîëüíèê T îáîçíà÷èì �T . Ïîëàãàÿ � �
h T T( ) ( )x x� � �x T , ïîëó÷èì
| | | | | | | |
( )
� � � �h h X h h
TT Th
d� � � ���
�
2 2
�
x
� �
�
� � �| | | | ( ) ( ) | | | | (
( )
� � �
�
T T
T T
T T T
T
T T
Th
d2 2 22�
�
, x x x x)d , (20)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 135
ãäå � T — ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà T . Î÷åâèäíî, ÷òî çíà÷åíèÿ �T , ìèíèìèçè-
ðóþùèå êàæäîå ñëàãàåìîå îò ñóììû âêëàäîâ ïî òðåóãîëüíèêàì, âû÷èñëÿþòñÿ
ïî ôîðìóëå
�
�T
T
T
T
T
T
d
d
�
�
�
( )
( )
x x
x x2
� �T Th ( )� .
(21)
Ïîäñòàâëÿÿ (21) â (20), íàõîäèì
| | | | | | | |
( ( ) )
( )
� � �
h h X T T
T
T
T
T
d
d
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2
2
2
�
x x
x x
�
�
�
�
�
�
�
�
T Th( )�
. (22)
Íà îñíîâàíèè (8), (13) è (22) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå îöåíêè: d 2 2 3� / äëÿ êó-
ñî÷íî-ëèíåéíîãî âîñïîëíåíèÿ; d 2 0 7� , ïðè èñïîëüçîâàíèè ôóíêöèè-êîëîêîëà.
Òàêèå æå îöåíêè ìîæíî ïîëó÷èòü è äëÿ îñåñèììåòðè÷íîé çàäà÷è. Òàêèì îáðà-
çîì, ïîñòîÿííàÿ d ñòðîãî áîëüøå íóëÿ, à åå îöåíêà ñíèçó íå çàâèñèò îò øàãà ñåò-
êè h. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíåíèå äëÿ àïïðîêñèìàöèè äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé
îïèñàííûõ âûøå äâóõ òèïîâ ôóíêöèé
T ( )x îáåñïå÷èâàåò ïîëó÷åíèå
óñòîé÷èâîãî è åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ äèñêðåòíîé çàäà÷è.
Îòìåòèì, ÷òî ðàññìîòðåííûé âûøå àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ óñòîé÷èâîé ñìå-
øàííîé àïïðîêñèìàöèè íà òðåóãîëüíûõ ýëåìåíòàõ íåòðóäíî ðàñïðîñòðàíèòü íà
òðåõìåðíûé ñëó÷àé, åñëè äëÿ àïïðîêñèìàöèè íàïðÿæåíèé, äåôîðìàöèé è ïåðå-
ìåùåíèé èñïîëüçîâàòü êîíå÷íûå ýëåìåíòû â ôîðìå òåòðàýäðîâ.  ýòîì ñëó÷àå
óäàåòñÿ äîêàçàòü óñòîé÷èâîñòü, åäèíñòâåííîñòü è ñõîäèìîñòü ðåøåíèÿ êîíå÷íî-
ìåðíîé çàäà÷è.  [16] ïîñòðîåí ñìåøàííûé òðåõìåðíûé êîíå÷íûé ýëåìåíò
â ôîðìå âîñüìèóçëîâîé øåñòèãðàííîé ïðèçìû äëÿ ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ
çàäà÷, à â [4] — ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ñìåøàííîãî ìåòîäà è ïðåäëîæåíà ïðîöå-
äóðà ó÷åòà ñòàòè÷åñêèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ïîâåðõíîñòè òåëà, à òàêæå ïðåä-
ñòàâëåíû ðåçóëüòàòû àíàëèçà ñïåöèàëüíûõ ôîðìóë ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
èíòåðïîëÿöèîííîãî òèïà, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ ñóùåñòâåííî óïðîùàåò
âû÷èñëèòåëüíóþ ïðîöåäóðó ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé ñìåøàííîãî ìåòîäà.
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ Ê ÇÀÄÀ×ÀÌ ÎÁ ÈÇÃÈÁÅ, ÊÎËÅÁÀÍÈßÕ
È ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÏËÀÑÒÈÍ
Çàäà÷è ðàññìàòðèâàëèñü â ðàìêàõ èçâåñòíûõ ïîëîæåíèé êëàññè÷åñêîé òåîðèè
èçãèáà òîíêèõ ïëàñòèí [17].
Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ íàèáîëåå ïîäõîäèò èñïîëüçîâàíèå ïðîñòûõ
òðåóãîëüíûõ ýëåìåíòîâ, îäíàêî ïîñòðîåíèå àïïðîêñèìèðóþùèõ ôóíêöèé â ýòîì
ñëó÷àå ïðèâîäèò ê ñåðüåçíûì òðóäíîñòÿì ìàòåìàòè÷åñêîãî è âû÷èñëèòåëüíîãî
õàðàêòåðà.
Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé îäíèì èç âîçìîæíûõ è øèðîêî ðàñïðîñòðà-
íåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è îá èçãèáå ïëàñòèíû ÿâëÿåòñÿ íåñîãëàñîâàííàÿ àïïðîêñè-
ìàöèÿ íà òðåóãîëüíîì ýëåìåíòå, ïðåäëîæåííàÿ Çåíêåâè÷åì [18].  ýòîì ñëó÷àå
äëÿ àïïðîêñèìàöèè ïðîãèáà wh â ïðåäåëàõ òðåóãîëüíèêà èñïîëüçóåòñÿ íåïîëíûé
êóáè÷åñêèé ïîëèíîì
w d d d d d dh � 1 1 2 2 3 3 4
2
2 5
2
3 6 3
2
1
1 2
d d d d7
2
3 8
2
1 9 3
2
2 10 1 2 32
1 2
. (23)
Íà îñíîâàíèè (23) ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ óãëîâ ïîâîðîòîâ ïëàñòèíû
�
h e e e e e e e� 1 2 1 2 3 2 3 4 3 1 5 1
2
6 2
2
7 3
2 ,
� �
h f f f f f f f1 2 1 2 3 2 3 4 3 1 5 1
2
6 2
2
7 3
2 . (24)
Àïïðîêñèìàöèÿ (23) îáåñïå÷èâàåò íåïðåðûâíîñòü ïðîãèáà äëÿ âñåé ïëàñòè-
íû è íåïðåðûâíîñòü óãëîâ ïîâîðîòîâ òîëüêî â óçëàõ ñåòêè. Íà ñòîðîíàõ òðåó-
ãîëüíèêà ôóíêöèè, àïïðîêñèìèðóþùèå óãëû ïîâîðîòîâ, èçìåíÿþòñÿ ïî êâàäðà-
òè÷íîìó çàêîíó, è, çíà÷èò, íàðóøàþòñÿ óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè óãëà íàêëîíà íà
ãðàíèöàõ ìåæäó òðåóãîëüíèêàìè.  îáùåì ñëó÷àå àïïðîêñèìàöèÿ (23) ïîçâîëÿåò
ïîëó÷èòü ðåøåíèå, ñõîäÿùååñÿ íå ê òî÷íîìó, à ê íåêîòîðîìó äðóãîìó ðåøåíèþ,
îòëè÷àþùåìóñÿ îò òî÷íîãî â ïðåäåëàõ íåêîòîðîé îøèáêè. Âåëè÷èíà îøèáêè çà-
âèñèò îò ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ ïëàñòèíû íà òðåóãîëüíûå ýëåìåíòû è ïðè èñïîëüçî-
âàíèè ðàâíîìåðíîãî ðàçáèåíèÿ òèïà êðåñò è íåðàâíîìåðíûõ ñåòîê ñóùåñòâåííî
âëèÿåò íà òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ êðèâèçíû ïëàñòèíû è èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ.
 [3, 19] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îá èçãèáå, êîëåáàíèÿõ è óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíû
ïîñòðîåí ãèáðèäíûé êîíå÷íûé ýëåìåíò íà îñíîâå òðåóãîëüíèêà Çåíêåâè÷à.
Ïðåäëîæåíà ñìåøàííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ äëÿ ïðîãèáà è óãëîâ ïîâîðîòîâ ïëàñòè-
íû. Äëÿ àïïðîêñèìàöèè ïðîãèáà èñïîëüçóåòñÿ ñîîòíîøåíèå (23), à âûðàæåíèÿ
äëÿ óãëîâ ïîâîðîòîâ (24) ìîäèôèöèðóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
~
( ) ( ) (� �
h h e e e� 8 1 2
2 2
2 9 2 3
2
2
2
3 10 3
2
1 1 3
2
1
),
~ ( ) ( ) (
h h f f f� 8 1 2
2 2
2 9 2 3
2
2
2
3 10 3
2
1 1 3
2
1
).
Äîïîëíèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû e e e8 9 10, , è f f f8 9 10, , âûáèðàþòñÿ òàê,
÷òîáû îáåñïå÷èòü ëèíåéíûé çàêîí èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé íà ñòîðî-
íàõ òðåóãîëüíèêà è òåì ñàìûì óäîâëåòâîðèòü óñëîâèÿì íåïðåðûâíîñòè óãëà
íàêëîíà íà ãðàíèöàõ ìåæäó òðåóãîëüíèêàìè.
ÌÅÒÎÄÛ ÐÅØÅÍÈß ÌÀÒÐÈ×ÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÑÌÅØÀÍÍÎÃÎ ÌÅÒÎÄÀ
Ðàçðàáîòàíû ñïåöèàëüíûå èòåðàöèîííûå ïðîöåäóðû ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ óðàâ-
íåíèé ñìåøàííîãî ÌÊÝ (ÑÌÊÝ):
� ìîäèôèöèðîâàííûé èòåðàöèîííûé àëãîðèòì ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåí-
òîâ ñ ïåðåîáóñëîâëèâàþùåé ìàòðèöåé äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè [3];
� òðåõñëîéíûé øàãîâî-èòåðàöèîííûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷
òåîðèè ïëàñòè÷íîñòè [3];
� ìîäèôèöèðîâàííûé èòåðàöèîííûé àëãîðèòì ìåòîäà íàèñêîðåéøåãî ñïóñ-
êà äëÿ ðåøåíèÿ îáîáùåííûõ ñïåêòðàëüíûõ çàäà÷ î ñâîáîäíûõ êîëåáàíèÿõ óïðó-
ãèõ òåë [14];
� êîìáèíèðîâàííûé èòåðàöèîííûé àëãîðèòì íà îñíîâå ìåòîäîâ îêàéìëåíèÿ
è ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ïîðîæäàå-
ìûõ ÌÊÝ â çàäà÷å îá èçãèáå ïëàñòèíû [20].
Óñòàíîâëåíî, ÷òî ñôîðìóëèðîâàííûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè (7), (13) ñìå-
øàííûõ ìåòîäîâ îáåñïå÷èâàþò ñõîäèìîñòü è óñòîé÷èâîñòü ïðåäëîæåííûõ èòå-
ðàöèîííûõ ïðîöåäóð. Ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ îïòèìèçàöèè ñêîðîñòè
ñõîäèìîñòè ìîäèôèöèðîâàííûõ èòåðàöèîííûõ àëãîðèòìîâ è ïîêàçàíà
âîçìîæíîñòü èõ ýôôåêòèâíîé ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè.
ÏÐÎÃÐÀÌÌÍÛÉ ÊÎÌÏËÅÊÑ RELAX È ÐÅØÅÍÈÅ ÌÎÄÅËÜÍÛÕ ÇÀÄÀ×
Ïðåäëîæåííûå ñõåìû è àëãîðèòìû ÌÊÝ ïîçâîëèëè ñîçäàòü ýôôåêòèâíûé
êîìïëåêñ ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ, ðåàëèçîâàííûõ â âèäå ïðîãðàììíîãî ïðî-
äóêòà äëÿ ðàñ÷åòîâ ïðî÷íîñòè, êîëåáàíèé è óñòîé÷èâîñòè ýëåìåíòîâ êîíñòðóê-
öèé. Ðàçðàáîòàííîå ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå ÿâëÿåòñÿ èòîãîì ìíîãîëåòíåé
ðàáîòû è â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðîäîëæàåòñÿ åãî óñîâåðøåíñòâîâàíèå.
Äàëåå ïðèâåäåíû ïðèìåðû, èëëþñòðèðóþùèå ñõîäèìîñòü è òî÷íîñòü ÷èñ-
ëåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå ÑÌÊÝ ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíê-
öèè-êîëîêîëà è êóñî÷íî-ëèíåéíîãî âîñïîëíåíèÿ äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé ñîîò-
âåòñòâåííî äëÿ ïëîñêîé è îñåñèììåòðè÷íîé çàäà÷. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ñîïîñòàâëÿ-
ëèñü ñ èçâåñòíûìè àíàëèòè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè è ïîëó÷åííûìè íà îñíîâå ÊÌÊÝ.
136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
 ðàññìàòðèâàåìûõ ìîäåëüíûõ çàäà÷àõ èñïîëüçîâàëèñü áåçðàçìåðíûå çíà÷å-
íèÿ. Íàïðèìåð, ìîäóëü óïðóãîñòè ìàòåðèàëà E ïðèíèìàëñÿ ðàâíûì åäèíèöå.
Ïðè ðåøåíèè óïðóãîïëàñòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ äèàãðàììû ðàñòÿæåíèÿ ïðèìåíÿ-
ëàñü ìîäåëü èäåàëüíî óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà, à ïðè ïîñòðîåíèè òðåó-
ãîëüíîé ñåòêè — ðàâíîìåðíîå ðàçáèåíèå òèïà êðåñò.
Ïðè ñðàâíåíèè ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ÊÌÊÝ, èñïîëüçîâàëèñü
ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: ÊÌÊÝ-1 — ëèíåéíûé òðåóãîëüíûé ýëåìåíò;
ÊÌÊÝ-2 — áèëèíåéíûé ÷åòûðåõóãîëüíûé ýëåìåíò; ÊÌÊÝ-3 — êâàäðàòè÷íûé
øåñòèóçëîâîé òðåóãîëüíûé ýëåìåíò; ÊÌÊÝ-4 — êâàäðàòè÷íûé âîñüìèóçëîâîé
÷åòûðåõóãîëüíûé ýëåìåíò.
Èçãèá áðóñà ðàâíîìåðíîé íàãðóçêîé. Ðàññìàòðèâàëñÿ áðóñ äëèíîé L �10
è âûñîòîé H � 2 ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà
çàäàâàëñÿ ðàâíûì íóëþ. Áîêîâûå òîðöû çàêðåïëÿëèñü îò âåðòèêàëüíûõ ïåðåìå-
ùåíèé. Ïî äëèíå áðóñà çàäàâàëàñü ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ íàãðóçêà q �1.
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è îöåíèâàëàñü òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî ïðîäîëü-
íîãî íàïðÿæåíèÿ è ïðîãèáà â öåíòðàëüíîì ñå÷åíèè áðóñà.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ çàäà÷è îá èçãèáå áðóñà ðàâíîìåðíîé íàãðóçêîé
ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 1. Ñðàâíåíèå ÷èñëåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ñ ïðèìåíå-
íèåì ÊÌÊÝ è ÑÌÊÝ, ñâèäåòåëüñòâóåò î ïðåèìóùåñòâå ïîñëåäíåãî. Ïðè ñðàâíå-
íèè ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ÊÌÊÝ, èñïîëüçîâàëñÿ ëèíåéíûé
òðåóãîëüíûé ýëåìåíò. Èç äàííûõ òàáë. 1 âèäíî, ÷òî ðåøåíèå íà îñíîâå ÑÌÊÝ
èìååò ñóùåñòâåííî ìåíüøóþ ïîãðåøíîñòü ïî ñðàíåíèþ ñ ÊÌÊÝ. Ïðè èñïîëüçî-
âàíèè äâóõ ðàçáèåíèé ïî âûñîòå áðóñà ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà
îñíîâå ÊÌÊÝ-1 ñîñòàâëÿåò 41,82%, òîãäà êàê ÑÌÊÝ äàåò 2,58%. Ïîãðåøíîñòü
îïðåäåëåíèÿ ïðîãèáà íà òîé æå ñåòêå äëÿ ÊÌÊÝ-1 ñîñòàâëÿåò 20,99%, äëÿ ÑÌÊÝ
— 1,10%. Ïðè ñãóùåíèè ñåòêè â äâà ðàçà ÑÌÊÝ äàåò ïðàêòè÷åñêè òî÷íîå ðåøå-
íèå çàäà÷è, òîãäà êàê ÊÌÊÝ-1 èìååò ïîãðåøíîñòü 18,58% äëÿ íàïðÿæåíèÿ è
6,31% äëÿ ïðîãèáà.
Òðåõòî÷å÷íûé èçãèá áðóñà ñ êðàåâîé òðåùèíîé. Ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à
î ïîïåðå÷íîì èçãèáå áðóñà äëèíîé L � 4 è âûñîòîé H �1ñ ñèììåòðè÷íî ðàñïîëî-
æåííîé âåðòèêàëüíîé òðåùèíîé a � 0 4, , âûõîäÿùåé íà ïîâåðõíîñòü. Áðóñ îïè-
ðàëñÿ òîðöàìè íà äâå âåðòèêàëüíûå îïîðû, à â öåíòðàëüíîì ñå÷åíèè äåéñòâîâàëà
ïîïåðå÷íàÿ ñèëà P �1 . Îöåíèâàëàñü òî÷íîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè
âåðøèíû òðåùèíû. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòà èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé
K I èñïîëüçîâàëîñü àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ïåðåìåùåíèé âáëèçè âåðøèíû
òðåùèíû [21], îòêóäà ñëåäóåò ôîðìóëà
K
r
EI �
�
�
32
� ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 137
Ðàçáèåíèå
L H
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ìàêñèìàëüíîãî ïðîäîëüíîãî íàïðÿæåíèÿ
è ïðîãèáà â öåíòðàëüíîì ñå÷åíèè
Ïðîäîëüíîå
íàïðÿæåíèå Ïîãðåøíîñòü, %
Ìàêñèìàëüíûé
ïðîãèá Ïîãðåøíîñòü, %
ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ
10 2
11,025 18,460 41,82 2,58 166,16 207,99 20,99 1,10
20 4
15,429 18,895 18,58 0,29 197,04 210,61 6,31 – 0,14
30 6
16,791 18,936 11,39 0,07 204,15 210,54 2,93 – 0,11
40 8
17,413 18,945 8,11 0,03 206,76 210,45 1,69 – 0,06
50 10
17,763 18,948 6,26 0,01 208,00 210,38 1,10 – 0,03
60 12
17,986 18,949 5,09 0,00 208,68 210,34 0,77 – 0,01
Òî÷íîå
ðåøåíèå
[3]
18,95 – 210,31 –
Ò à á ë è ö à 1
ãäå r — ðàññòîÿíèå îò âåðøèíû äî áëèçëåæàùåãî óçëà ñåòêè, ðàñïîëîæåííîãî
íà áåðåãó òðåùèíû; �� — îòíîñèòåëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ýòîãî óçëà â ïåðïåí-
äèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ çàäà÷è î òðåõòî÷å÷íîì èçãèáå áðóñà ñ êðàåâîé òðåùè-
íîé, ïðåäñòàâëåííûå â òàáë. 2, ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè ñãóùåíèè ñåòêè ÊÌÊÝ íå îáåñ-
ïå÷èâàåò ïîëó÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé ñ òðåáóåìîé òî÷íîñ-
òüþ. Ñìåøàííûé ìåòîä ìîíîòîííî ñõîäèòñÿ ïðè ñãóùåíèè ñåòêè è äàåò áëèçêèå ê
àíàëèòè÷åñêîìó ðåøåíèþ ðåçóëüòàòû íà ñåòêàõ äîñòàòî÷íî óìåðåííûõ ðàçìåðîâ.
Òîëñòîñòåííàÿ ñôåðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà ïîä äåéñòâèåì âíóòðåííåãî äàâëå-
íèÿ. Çàäà÷à ðåøàëàñü â îñåñèììåòðè÷íîé ïîñòàíîâêå ñ îòíîøåíèåì ðàäèóñîâ
R R1 2 1 2/ /� è âíóòðåííèì äàâëåíèåì q �1. Ââèäó ñèììåòðèè çàäà÷è ðàññìàòðè-
âàëàñü ÷åòâåðòü ñå÷åíèÿ ñôåðû. Ïðåäåë òåêó÷åñòè ìàòåðèàëà ïðè îäíîîñíîì ðàñ-
òÿæåíèè ïðèíèìàëñÿ ðàíûì 0,8. Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà çàäàâàëñÿ ðàâíûì 0,494.
Îöåíèâàëàñü òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ îêðóæíûõ íàïðÿæåíèé íà âíóòðåííåé ïîâåð-
õíîñòè ñôåðû.
 òàáë. 3 ïðåäñòàâëåíû ñðàâíèòåëüíûå ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ çàäà÷è îá
óïðîãîïëàñòè÷åñêîì ñîñòîÿíèè ñôåðè÷åñêîé îáîëî÷êè ïîä äåéñòâèåì âíóòðåí-
íåãî äàâëåíèÿ. Èç äàííûõ ýòîé òàáëèöû âèäíî, ÷òî ïðè âñåõ ðàçáèåíèÿõ ÑÌÊÝ
äàåò áîëåå òî÷íûå àïïðîêñèìàöèè íàïðÿæåíèé ïî ñðàâíåíèþ ñ ÊÌÊÝ.
Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ áðóñà ñ çàùåìëåííûìè òîðöàìè. Îïðåäåëÿëèñü
ïåðâûå ÷åòûðå ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû � ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé áðóñà ïðÿìîóãîëüíî-
ãî ñå÷åíèÿ ñ îòíîøåíèåì âûñîòû ê äëèíå H L/ /� 2 20. Ïðè ñîïîñòàâëåíèè ðå-
çóëüòàòîâ èñïîëüçîâàëàñü ôîðìóëà
p
L
EI
kk
k� �
�
�2
1 4, , ,
138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
Ðàçáèåíèå
L, H
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ êîýôôèöèåíòà èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé
Êîýôôèöèåíò èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé Ïîãðåøíîñòü, %
ÊÌÊÝ-1 ÊÌÊÝ-2 ÊÌÊÝ-3 ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÊÌÊÝ-2 ÊÌÊÝ-3 ÑÌÊÝ
10 4, 6,888 7,520 7,768 8,275 13,06 5,08 1,95 – 4,45
20 8, 6,950 7,485 7,612 8,110 12,28 5,52 3,92 – 2,36
30 12, 6,960 7,469 7,553 8,052 12,15 5,73 4,67 – 1,63
40 16, 6,963 7,459 7,522 8,026 12,11 5,85 5,06 – 1,30
60 24, 6,965 7,450 7,489 7,994 12,09 5,97 5,47 – 0,90
80 32, 6,967 7,444 7,473 7,982 12,06 6,04 5,68 – 0,75
Òî÷íîå
ðåøåíèå
[22]
7,9227 –
Ò à á ë è ö à 2
Ðàçáèåíèå
áðóñà
ïî óãëó
è òîëùèíå
îáîëî÷êè
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ îêðóæíûõ íàïðÿæåíèé
Âíóòðåííÿÿ ïîâåðõíîñòü Ïîãðåøíîñòü, %
ÊÌÊÝ-1 ÊÌÊÝ-2 ÊÌÊÝ-3 ÊÌÊÝ-4 CÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÊÌÊÝ-2 ÊÌÊÝ-3 ÊÌÊÝ-4 CÌÊÝ
18 9
–0,0872 –0,13584 –0,16235 –0,16317 –0,1976 56,40 32,08 18,83 18,42 1,20
24 12
–0,1229 –0,15197 –0,17487 –0,17224 –0,1983 38,55 24,02 12,57 13,88 0,85
30 15
–0,1412 –0,16165 –0,17964 –0,17772 –0,1987 29,40 19,18 10,18 11,14 0,65
36 18
–0,1523 –0,16808 –0,18314 –0,18140 –0,1989 23,85 15,96 8,43 9,30 0,55
42 21
–0,1598 –0,17267 –0,18546 –0,18403 –0,1991 20,10 13,67 7,27 7,99 0,45
Òî÷íîå
ðåøåíèå
[23]
–0,2 –
Ò à á ë è ö à 3
ãäå � — ïëîòíîñòü åäèíèöû äëèíû; I H� �3 12 2 3/ / — ìîìåíò èíåðöèè ïî-
ïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áðóñà. Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà çàäàâàëñÿ ðàâíûì íóëþ.
Ïðè ñðàâíåíèè ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ÊÌÊÝ, èñïîëüçîâàëñÿ
ëèíåéíûé òðåóãîëüíûé ýëåìåíò. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ñîïîñòàâëÿëèñü ñ ýòàëîí-
íûì ðåøåíèåì, ïîëó÷åííûì ñ ïîìîùüþ ÊÌÊÝ íà ãóñòîé ñåòêå, äëÿ êîòîðîé
ðåøåíèÿ ÑÌÊÝ è ÊÌÊÝ ñîâïàäàëè èëè áûëè áëèçêèìè.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ, ïðåäñòàâëåííûå â òàáë. 4, ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè âñåõ
ðàçáèåíèÿõ ïî ÑÌÊÝ ïîëó÷åíû áîëåå òî÷íûå çíà÷åíèÿ ÷àñòîò, ÷åì ïî ÊÌÊÝ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè èñïîëüçîâàíèè îäíîãî ýëåìåíòà ïî âûñîòå áðóñà ïîãðåø-
íîñòü îïðåäåëåíèÿ îñíîâíîé ÷àñòîòû ìåòîäîì ïåðåìåùåíèé ñîñòàâëÿåò 40,57 %,
à äëÿ ÑÌÊÝ ïîãðåøíîñòü íàõîäèòñÿ íà óðîâíå 11,48 %. Ïðè ñãóùåíèè ñåòêè
â äâà ðàçà ÊÌÊÝ-1 èìååò ïîãðåøíîñòü 12,28 %, òîãäà êàê ÑÌÊÝ äàåò
ïîãðåøíîñòü 1,5 %.
Èçãèá êâàäðàòíîé ïëàñòèíû ïîä âîçäåéñòâèåì ðàâíîìåðíîé íàãðóçêè.
Èñïîëüçîâàëèñü äâà âàðèàíòà ðàçáèåíèÿ ïëàñòèíû íà òðåóãîëüíèêè: ïåðâûé
ñîîòâåòñòâîâàë äåëåíèþ êâàäðàòà íà äâà ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà (ðàâíîìåðíàÿ
òðåóãîëüíàÿ ñåòêà); âòîðîé — íà ÷åòûðå (ñåòêà òèïà êðåñò).
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ñâîáîäíî îïåðòîé êâàäðàòíîé ïëàñòèíû ñ ïîñòîÿííîé
òîëùèíîé t è äëèíîé ñòîðîíû a ïîä äåéñòâèåì ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà-
ãðóçêè q ïðè èñïîëüçîâàíèè ñåòêè òèïà êðåñò ïðèâåäåíû â òàáë. 5. Îöåíèâàëàñü
òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ è ïðîãèáà â öåíòðå ïëàñòèíû. Êî-
ýôôèöèåíò Ïóàññîíà � ïðèíèìàëñÿ ðàâíûì 0,3. Äàííûå ðàñ÷åòîâ ñîïîñòàâëÿëèñü
ñ èçâåñòíûì àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèåì [18], à òàêæå ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè
íà îñíîâå ÊÌÊÝ ñ èñïîëüçîâàíèåì òðåóãîëüíèêà Çåíêåâè÷à è ÑÌÊÝ. Ñðàâíåíèå
÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèåì îñóùåñòâëÿëîñü â ñîîòâå-
òñòâèè ñ ôîðìóëàìè
M M M qax y� � �max � 2 ; w qa Etmax
212� � �4 3 1/ ( ).
Íà îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è ìîæíî ñäåëàòü ñëåäó-
þùèå âûâîäû. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàâíîìåðíîé ñåòêè òðåóãîëüíèê Çåíêåâè÷à è
ñìåøàííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïðèâîäÿò ê áëèçêèì ðåçóëüòàòàì, êîòîðûå ïðè ñãóùå-
íèè ñåòêè ñõîäÿòñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ çàäà÷è. Îäíàêî äëÿ íåðàâíîìåðíûõ ñå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 139
Ðàçáèåíèå
L H
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé áðóñà
ñ çàùåìëåííûìè òîðöàìè
�1 �2 �3 �4
ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ
10 1
29,91 23,69 78,05 62,42 144,54 116,38 226,10 182,56
20 2
23,86 21,57 62,33 56,45 114,95 104,16 178,16 161,24
30 3
22,47 21,32 58,53 55,51 107,56 101,88 165,99 156,88
40 4
21,95 21,27 57,10 55,28 104,74 101,28 161,29 154,69
80 8
21,43 21,25 55,65 55,15 101,86 100,89 156,46 154,86
160 16
21,30 21,25 55,28 55,15 101,11 100,86 155,19 154,76
Ãóñòàÿ
ñåòêà
21,26 55,15 100,86 154,76
Ðàçáèåíèå
L H
Ïîãðåøíîñòü, %
ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ-1 ÑÌÊÝ
10 1
40,57 11,48 41,52 13,18 43,31 15,38 46,10 17,96
20 2
12,28 1,50 13,02 2,36 13,97 3,27 15,12 4,19
30 3
5,69 0,28 6,13 0,65 6,64 1,01 7,26 1,37
40 4
3,29 0,09 3,54 0,23 3,85 0,42 4,22 0,60
80 8
0,85 0,00 0,91 0,00 0,99 0,03 1,10 0,06
160 16
0,23 0,00 0,24 0,00 0,25 0,00 0,28 0,00
Ò à á ë è ö à 4
òîê è ðàçáèåíèé òèïà êðåñò òðåóãîëüíèê Çåíêåâè÷à äàåò ïðèåìëåìûå ðåçóëüòàòû
òîëüêî äëÿ ïðîãèáà è íå ãàðàíòèðóåò ñõîäèìîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé äëÿ èçãè-
áàþùèõ ìîìåíòîâ. Ïðè ñãóùåíèè ñåòêè ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ ïðîãèáà íà
îñíîâå òðåóãîëüíèêà Çåíêåâè÷à íàõîäèòñÿ íà óðîâíå 3%, îäíàêî äëÿ èçãèáàþ-
ùèõ ìîìåíòîâ ïîãðåøíîñòü äîñòèãàåò 26% è íå óìåíüøàåòñÿ. Ðåøåíèÿ äëÿ èçãè-
áàþùèõ ìîìåíòîâ, ïîëó÷åííûå íà îñíîâå òðåóãîëüíèêà Çåíêåâè÷à, èìåþò íå-
óñòîé÷èâûé îñöèëëèðóþùèé õàðàêòåð. Ñìåøàííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ îáåñïå÷èâàåò
ñõîäèìîñòü ïðè ñãóùåíèè ñåòêè êàê ïðîãèáà ïëàñòèíû, òàê è èçãèáàþùèõ ìî-
ìåíòîâ, òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ êîòîðûõ ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ðàç-
áèåíèÿ ïëàñòèíû íà òðåóãîëüíûå ýëåìåíòû.
 çàäà÷àõ î ñâîáîäíûõ êîëåáàíèÿõ è óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèí ñìåøàííàÿ àïïðîê-
ñèìàöèÿ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü áîëåå òî÷íûå çíà÷åíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è óðîâíåé
êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèì òðåóãîëüíèêîì Çåíêåâè÷à [18].
Âûâîäû ïî ðåçóëüòàòàì ðåøåíèÿ ìîäåëüíûõ çàäà÷. Ïðèâåäåííûå ïðèìå-
ðû è îïûò ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ñâèäåòåëüñòâóþò îá ýôôåêòèâíîñòè ñìå-
øàííîãî ìåòîäà â çàäà÷àõ îá èçãèáå, êîíöåíòðàöèè íàïðÿæåíèé, à òàêæå ïðè ðå-
øåíèè óïðóãîïëàñòè÷åñêèõ çàäà÷ ñ ðàçâèòûìè çîíàìè ïëàñòè÷åñêèõ äåôîðìà-
öèé. Ïðèìåíåíèå ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ìåõàíèêè
ðàçðóøåíèÿ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü áîëåå òî÷íûå è óñòîé÷èâûå ðàñ÷åòíûå çíà÷åíèÿ
êîýôôèöèåíòîâ èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèì ìåòî-
äîì ïåðåìåùåíèé. Íà íå ãóñòûõ è óìåðåííûõ ïî ðàçìåðàì ñåòêàõ ïðèìåíåíèå
ñìåøàííîãî ìåòîäà ïðèâîäèò ê áîëåå òî÷íûì ðåçóëüòàòàì ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàñ-
ñè÷åñêèì âàðèàíòîì ÌÊÝ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:
� ðàçâèòà îáùàÿ òåîðèÿ ñìåøàííûõ ñõåì ÌÊÝ ðåøåíèÿ çàäà÷ ìåõàíèêè äå-
ôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà;
� ñôîðìóëèðîâàíû óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå óñòîé÷èâîñòü è ñõîäèìîñòü
ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè äëÿ íàïðÿæåíèé, äåôîðìàöèé è ïåðåìåùåíèé;
� óñòàíîâëåíî, ÷òî ñìåøàííûå ñõåìû ÌÊÝ ïðèâîäÿò ê áîëåå òî÷íûì ðàñïðå-
äåëåíèÿì íàïðÿæåíèé ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèì ïîäõîäîì ÌÊÝ â ôîðìå ìå-
òîäà ïåðåìåùåíèé;
� äëÿ ðåøåíèÿ äâóõìåðíûõ è îñåñèììåòðè÷íûõ çàäà÷ ïðåäëîæåí ñïåöèàëü-
íûé òðåóãîëüíûé êîíå÷íûé ýëåìåíò, óäîâëåòâîðÿþùèé ñôîðìóëèðîâàííûì
óñëîâèÿì óñòîé÷èâîñòè è ñõîäèìîñòè ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè äëÿ íàïðÿæå-
íèé, äåôîðìàöèé è ïåðåìåùåíèé;
� ïîñòðîåí íîâûé ãèáðèäíûé òðåóãîëüíûé êîíå÷íûé ýëåìåíò äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷ îá èçãèáå, êîëåáàíèÿõ è óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèí;
140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
Ðàçáèåíèå
a a
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ñâîáîäíî îïåðòîé êâàäðàòíîé ïëàñòèíû
ïîä âîçäåéñòâèåì ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íàãðóçêè
Êîýôôèöèåíò �
100 Ïîãðåøíîñòü, % Êîýôôèöèåíò
100 Ïîãðåøíîñòü, %
ÊÌÊÝ ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ ÑÌÊÝ ÊÌÊÝ ÑÌÊÝ
4 4
4,016 5,100 16,16 – 6,47 4,165 4,079 –2,53 – 0,42
6 6
3,723 4,915 22,27 – 2,61 4,176 4,068 –2,80 – 0,15
8 8
3,632 4,858 24,17 – 1,42 4,184 4,065 –3,00 – 0,07
10 10
3,590 4,833 25,05 – 0,89 4,187 4,064 –3,08 – 0,05
20 20
3,533 4,800 26,24 – 0,21 4,192 4,063 –3,20 – 0,02
40 40
3,520 4,791 26,51 – 0,02 4,193 4,062 –3,22 – 0,00
60 60
3,516 4,790 26,59 0,00 4,193 4,062 –3,22 – 0,00
Òî÷íîå
ðåøåíèå
[17]
4,79 – 4,062 –
Ò à á ë è ö à 5
� ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå ñõîäèìîñòè ñìåøàííîé àïïðîêñèìàöèè äî-
ïîëíåíî ÷èñëåííûì àíàëèçîì, ðåçóëüòàòû êîòîðîãî ïîäòâåðæäàþò ýôôåêòèâ-
íîñòü ðàçðàáîòàííûõ àëãîðèòìîâ;
� ïðîâåäåííûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè ýôôåêòèâíîñòü ïðèìåíåíèÿ ðàçðàáî-
òàííûõ ñõåì ÌÊÝ è àëãîðèòìîâ ðàñ÷åòà ê ðåøåíèþ øèðîêîãî êðóãà íàó÷íûõ è
ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. B r e z z i F . On the existence uniqueness and approximation of saddle–point problems arising from
Lagrangian multipliers // RAIRO. — 1974. — R.2 — P. 129–151.
2. B a b u s k a I . Error bounds for finite element method // Numer. Math. — 1971. — 16, N 3. —
P. 322–333.
3. Ò è ì î ø å í ê î Ñ . Ï . , Ã ó ä ü å ð . Ä æ . Òåîðèÿ óïðóãîñòè. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 575 ñ.
4. × è ð ê î â À . Þ . Ñìåøàííàÿ ñõåìà ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷
òåîðèè óïðóãîñòè è ìàëûõ óïðóãîïëàñòè÷åñêèõ äåôîðìàöèé. — Ê.: Èçä–âî Èí–òà ïðîáë.
ïðî÷íîñòè, 2003. — 250 ñ.
5. Ñ ú ÿ ð ë å Ô . Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ çàäà÷. — Ì.: Ìèð, 1980. — 412 ñ.
6. Ê à ÷ à í î â Ë . Ì . Îñíîâû òåîðèè ïëàñòè÷íîñòè. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 420 ñ.
7. Ø å â ÷ å í ê î Þ . Í . , Ñ à â ÷ å í ê î  . à . Òåðìîâÿçêîïëàñòè÷íîñòü. — Ê.: Íàóê. äóìêà,
1987. — 264 ñ.
8. × è ð ê î â À . Þ . Àíàëèç êðàåâûõ çàäà÷, îïèñûâàþùèõ íåèçîòåðìè÷åñêèå ïðîöåññû
óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì èñòîðèè íàãðóæåíèÿ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. —
2006. — ¹ 1. — Ñ. 69–99.
9. × è ð ê î â À . Þ . Ñìåøàííàÿ ïðîåêöèîííî-ñåòî÷íàÿ ñõåìà ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ
ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷, îïèñûâàþùèõ íåèçîòåðìè÷åñêèå ïðîöåññû óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî
äåôîðìèðîâàíèÿ // Òàì æå. — 2007. — ¹ 3. — Ñ. 87–117.
10. Â à é í á å ð ã Ì . Ì . Âàðèàöèîííûé ìåòîä è ìåòîä ìîíîòîííûõ îïåðàòîðîâ. — Ì.: Íàóêà,
1972. — 416 ñ.
11. Â à ñ è ë å í ê î Í . Â . Òåîðèÿ êîëåáàíèé. — Ê.: Âèùà øê., 1992. — 430 ñ.
12. Ð è ñ ñ Ô . , Ñ å ê å ô à ë ü â è - Í à ä ü Á . Ëåêöèè ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. — Ì.: Ìèð,
1979. — 587 ñ.
13. Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ñ ê î ï å ö ê è é  .  . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè è
ìåòîäû ðàñ÷åòà çàäà÷ ñ ðàçðûâíûìè ðåøåíèÿìè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1995. — 262 ñ.
14. × è ð ê î â À . Þ . Ïðèìåíåíèå ñìåøàííûõ âàðèàöèîííûõ ôîðìóëèðîâîê ìåòîäà êîíå÷íûõ
ýëåìåíòîâ ê ðåøåíèþ çàäà÷ î ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèÿõ óïðóãèõ òåë // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. —
2008. — ¹ 2. — Ñ. 121–140.
15. Ï à ð ë å ò ò Á . Ñèììåòðè÷íàÿ ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì.:
Ìèð, 1983. — 384 ñ.
16. × è ð ê î â À . Þ . , Ê î á å ë ü ñ ê è é Ñ . Â . , Ç â ÿ ã è í ö å â à À . À . Ïîñòðîåíèå ñìåøàííîé
àïïðîêñèìàöèè ÌÊÝ äëÿ ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè // Íàäåæíîñòü è
äîëãîâå÷íîñòü ìàøèí è ñîîðóæåíèé. — 2008. — ¹ 31. — Ñ. 195–207.
17. Ò è ì î ø å í ê î Ñ . Ï . ,  î é í î â ñ ê è é - Ê ð è ã å ð Ñ . Ïëàñòèíêè è îáîëî÷êè. — Ì.: Íàóêà,
1966. — 635 ñ.
18. Z i e n k i e w i c z O . C . , T a y l o r R . L . The finite element method. — 5th ed. — Oxford;
Auckland; Boston: Butterworth-Heinemann, 2000. — 1–3. — 1482 p.
19. × è ð ê î â À . Þ . Ïîñòðîåíèå ñìåøàííî-ãèáðèäíîé ñõåìû ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ
ðåøåíèÿ çàäà÷ îá èçãèáå, ñâîáîäíûõ êîëåáàíèÿõ è óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèí íà îñíîâå
òðåóãîëüíîãî ýëåìåíòà Çåíêåâè÷à // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. — 2008. — ¹ 5. — Ñ. 108–122.
20. × è ð ê î â À . Þ . Ìåòîä îêàéìëåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé, ïîðîæäàåìûõ
ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ â çàäà÷å îá èçãèáå ïëàñòèíû // Òàì æå. — 2007. — ¹ 4. — Ñ. 69–98.
21. × å ð å ï à í î â Ã . Ï . Ìåõàíèêà õðóïêîãî ðàçðóøåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1974.– 640 ñ.
22. G u i n e a G . V . , P a s t o r J . Y . , P l a n a s J . , E l i c e s M . Stress intensity factor, compliance
and CMOD for general three-point-bend beam // Int. J. Fract. — 1998. — 89. — P. 103–116.
23. Ï è ñ à ð å í ê î à . Ñ . , Ì î æ à ð î â ñ ê è é Í . Ñ . Óðàâíåíèÿ è êðàåâûå çàäà÷è òåîðèè
ïëàñòè÷íîñòè è ïîëçó÷åñòè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1981. — 492 ñ.
Ïîñòóïèëà 25.01.2011
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 141
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84148 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:30:01Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чирков, А.Ю. 2015-07-03T10:12:34Z 2015-07-03T10:12:34Z 2012 Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела / А.Ю. Чирков // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 126-141. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84148 539.3 Проведено аналіз та розглянуто застосування змішаного методу скінченних елементів для розв’язання прикладних задач механіки деформованого твердого тіла. Розвинуто загальну теорію змішаних проекційно-сіткових алгоритмів. Досліджено коректність змішаного методу в задачах теорії пружності, пластичності, коливань, і на цій основі сформульовано умови, що забезпечують стійкість і збіжність змішаних апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень. Побудовано спеціальний скінченний елемент для розв’язання двовимірних і вісесиметричних задач. Для розв’язання задач про згин, коливання і стійкість пластинчастих конструкцій побудовано новий гібридний скінченний елемент на основі трикутника Зінкевича. Математичне обґрунтування збіжності і стійкості змішаної апроксимації доповнено чисельним аналізом. The paper is devoted to the analysis and use of the mixed finite–element method (FEM) to solve applied problems of solid mechanics. A general theory of mixed projection-mesh algorithms is developed. The reasonableness of the mixed method for elasticity, plasticity, and vibration problems is investigated and is used to formulate the conditions that ensure the stability and convergence of the mixed approximation for displacements, strains, and stresses. A special triangular finite element is designed for two-dimensional and axisymmetric problems. To solve problems of the bending, vibration, and stability of plates, a new hybrid finite element based on the Zienkiewicz triangle is proposed. The mathematical justification of the stability and convergence of the mixed approximation is supplemented with a numerical analysis, which confirms the efficiency of the developed algorithms. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела Деякі додатки змішаного методу кінцевих елементів до розв’язування задач механіки деформованого твердого тіла Some applications of the mixed finite-element method in problems of solid mechanics Article published earlier |
| spellingShingle | Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела Чирков, А.Ю. Системный анализ |
| title | Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела |
| title_alt | Деякі додатки змішаного методу кінцевих елементів до розв’язування задач механіки деформованого твердого тіла Some applications of the mixed finite-element method in problems of solid mechanics |
| title_full | Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела |
| title_fullStr | Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела |
| title_full_unstemmed | Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела |
| title_short | Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела |
| title_sort | некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84148 |
| work_keys_str_mv | AT čirkovaû nekotoryepriloženiâsmešannogometodakonečnyhélementovkrešeniûzadačmehanikideformiruemogotverdogotela AT čirkovaû deâkídodatkizmíšanogometodukíncevihelementívdorozvâzuvannâzadačmehaníkideformovanogotverdogotíla AT čirkovaû someapplicationsofthemixedfiniteelementmethodinproblemsofsolidmechanics |