Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания
Досліджується iгрова задача керування пучками траєкторiй за наявностi запiзнення. Отримано достатнi умови розв’язання задачi управлiння пучками траєкторiй. Game problems of the control of a pencil of trajectories with delay are analyzed. The sufficient conditions for the solvability of the problem a...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84150 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания / Н. Мамадалиев // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 154-164. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859863481681969152 |
|---|---|
| author | Мамадалиев, Н. |
| author_facet | Мамадалиев, Н. |
| citation_txt | Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания / Н. Мамадалиев // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 154-164. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Досліджується iгрова задача керування пучками траєкторiй за наявностi запiзнення. Отримано достатнi умови розв’язання задачi управлiння пучками траєкторiй.
Game problems of the control of a pencil of trajectories with delay are analyzed. The sufficient conditions for the solvability of the problem are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:47:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.97
Í. ÌÀÌÀÄÀËÈÅÂ
ÎÁ ÈÃÐÎÂÛÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÏÓ×ÊÀÌÈ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ
ÏÐÈ ÍÀËÈ×ÈÈ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈß
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïðåñëåäîâàíèÿ, íà÷àëüíîå ìíîæåñòâî, òåðìèíàëüíîå ìíî-
æåñòâî, óïðàâëåíèå, ïó÷îê òðàåêòîðèé, çàïàçäûâàíèå.
 ïðîñòðàíñòâå R n ðàññìàòðèâàåòñÿ êâàçèëèíåéíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà
ïðåñëåäîâàíèÿ, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì [1]
� ( ) ( ) ( ) ( , ),z t Az t Bz t h f u v t� � � � � 0 , (1)
ãäå z R n� , n � 1; u R p� ; v R q� ; A B, — ïîñòîÿííûå êâàäðàòíûå ìàòðèöû ðàç-
ìåðà ( )n n� êàæäàÿ; h — ôèêñèðîâàííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, âåëè÷èíà çà-
ïàçäûâàíèÿ. Âåêòîðû u v, — óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû ïðåñëåäóþùåãî è óáåãà-
þùåãî èãðîêîâ ñîîòâåòñòâåííî, èìåþò âèä èçìåðèìûõ âåêòîðíûõ ôóíêöèé
u u� �( ) , v v� �( ) , îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [ , )0 , è óäîâëåòâîðÿþò îãðàíè÷å-
íèÿì âèäà
u t P( ) � , v t Q( ) � , 0
� t , (2)
ãäå P è Q — íåïóñòûå êîìïàêòíûå ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâ R p è R q ;
f P Q R n: � � — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.
 äàëüíåéøåì èçìåðèìûå ôóíêöèè u u t� ( ) è v v t� ( ) , 0
� t , óäîâëåòâî-
ðÿþùèå îãðàíè÷åíèÿì (2), íàçîâåì äîïóñòèìûìè óïðàâëåíèÿìè ïðåñëåäóþùåãî
è óáåãàþùåãî èãðîêîâ ñîîòâåòñòâåííî.
 ïðîñòðàíñòâå R n âûäåëåíî íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî M , íàçûâàåìîå
òåðìèíàëüíûì ìíîæåñòâîì. Â äàëüíåéøåì ïðåäïîëîæèì, ÷òî:
à) òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî èìååò âèä M M M� �0 1, ãäå M 0 — ëèíåéíîå ïîä-
ïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà R n , à M1 — ïîäìíîæåñòâî ïîäïðîñòðàíñòâà L , êîòîðîå
ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ê ïîäïðîñòðàíñòâó M 0 â R n (ò.å.M L R n
0
� );
á) � — ìàòðèöà îïåðàòîðà îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ èç R n íà ïîä-
ïðîñòðàíñòâî L ;
â) ïîä èíòåãðàëîì îäíîçíà÷íîé èëè ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè (ìíîãîçíà÷íîãî
îòîáðàæåíèÿ) ïîíèìàåòñÿ åå èíòåãðàë Ëåáåãà [2];
ã) ïîä îïåðàöèåé * ïîíèìàåòñÿ îïåðàöèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè [2].
154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
© Í. Ìàìàäàëèåâ, 2012
Êðîìå òîãî, çàäàíî íà÷àëüíîå ìíîæåñòâî N R R n( ( ))� � .  êà÷åñòâå íà÷àëü-
íîãî ìíîæåñòâà N R( ( ))� áåðåòñÿ ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ âåòâåé ìíîãîçíà÷íîãî
îòîáðàæåíèÿ R s( ) , �
h s 0 : N R z s z s R s( ( )) { ( ): ( ) ( )� � �0 0 , s h� �[ , ]}0 . Îáîçíà-
÷èì Z u v N R( ( ), ( ), ( ( )))� � � ìíîæåñòâî (ïó÷îê) âñåõ òðàåêòîðèé óðàâíåíèÿ (1), èñõî-
äÿùèõ â ìîìåíò t � 0 èç òî÷åê íà÷àëüíîãî ìíîæåñòâà N R( ( ))� ïðè äîïóñòèìûõ
óïðàâëåíèÿõ u v( ), ( )� � ïðåñëåäóþùåãî è óáåãàþùåãî èãðîêîâ ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðè èçó÷åíèè èãðû (1) îòîæäåñòâèì ñåáÿ ñ ïðåñëåäîâàòåëåì.  ýòîì ñëó÷àå
íàøà öåëü çàêëþ÷àåòñÿ â ïðèâåäåíèè ïó÷êà òðàåêòîðèé Z u v N R( ( ), ( ), ( ( )))� � � íà òåð-
ìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M . Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ïó÷êàìè òðàåêòîðèé ñîñòîèò â íàõîæ-
äåíèè ÷èñëà T T z� � �( ( ))0 0 è êîíñòðóèðîâàíèè ïðè êàæäîì t � [ , )0 çíà÷åíèÿ u t[ ]
ïàðàìåòðà u òàê, ÷òîáû êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ z t t( ), 0
� , ïó÷êà
Z u v N R( [ ], ( ), ( ( )))� � � ïîïàëà íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M çà âðåìÿ, íå ïðåâîñõî-
äÿùåå T , ò.å. äëÿ êàæäîé òðàåêòîðèè z t t( ), 0
� , ïó÷êà Z u v N R( [ ], ( ), ( ( )))� � � ïðè
íåêîòîðîì t t T� ��[ , ]0 äîëæíî èìåòü ìåñòî âêëþ÷åíèå z t M( )� � . ×èñëî T íàçûâà-
åòñÿ âðåìåíåì ïåðåâîäà.  ñëó÷àå, êîãäà çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ïó÷êàìè òðàåêòîðèé
ðàçðåøèìà, òî ñ÷èòàþò, ÷òî â èãðå ïðåñëåäîâàíèÿ (1) ïó÷îê òðàåêòîðèé èç íà÷àëüíî-
ãî ìíîæåñòâà N R( ( ))� ìîæíî ïåðåâåñòè íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâo M çà âðåìÿ T .
Çàìåòèì, ÷òî çàäà÷è ïðè îäíîòî÷å÷íîì íà÷àëüíîì ìíîæåñòâå N R( ( ))� èçó÷à-
ëèñü ìíîãèìè àâòîðàìè [3–5]. Ïîýòîìó ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàçâèòèÿ òåîðèè äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ èãð ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñëó÷àé, êîãäà ìíîæåñòâî N R( ( ))� ñîäåð-
æèò áîëåå îäíîãî ýëåìåíòà. Îòìåòèì, ÷òî ïðè îäíîì ýëåìåíòå ìíîæåñòâà
N R( ( ))� ñòðàòåãèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ ñòðîèòñÿ, â ÷àñòíîñòè, èñõîäÿ èç äàííîãî íà-
÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z0 ( )� . À â ñëó÷àå, êîãäà N R( ( ))� ñîäåðæèò áîëåå îäíîãî
ýëåìåíòà, äëÿ âñåõ íà÷àëüíûõ ïîëîæåíèé z0 ( )� èç ìíîæåñòâà N R( ( ))� ñòðîèòñÿ
îäíà è òà æå ñòðàòåãèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ.  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ òðóäíîñòü. Ñëó÷àé,
êîãäà ìíîæåñòâî N R( ( ))� ñîäåðæèò áîëåå îäíîãî ýëåìåíòà, èçó÷àëñÿ â ðàáîòàõ
[6,7]. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ñòðàòåãèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ ñòðîèòñÿ â âèäå
u u t v t� �( , ), 0, v R q� , ïðè óñëîâèè, ÷òî äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ
v v t t� �( ), 0 , óáåãàþùåãî èãðîêà ôóíêöèÿ u t u t v t t[ ] ( , ( )),� � 0, èçìåðèìà è ÿâ-
ëÿåòñÿ äîïóñòèìûì óïðàâëåíèåì ïðåñëåäóþùåãî èãðîêà.  ÷àñòíîñòè, èçìåðè-
ìîñòü u t t[ ], � 0, ãàðàíòèðóåòñÿ, åñëè u t v( , ) íåïðåðûâíà ïî v ïðè ôèêñèðîâàííîì
t è èçìåðèìà ïî t ïðè ôèêñèðîâàííîì v [8, 9]. Îòìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ çà-
äà÷à ðàíåå â áåñêîíôëèêòíîé ñèòóàöèè èçó÷àëàñü â [10], à â êîíôëèêòíîé ñèòóà-
öèè, íî ñ íåñêîëüêî äðóãèõ ïîçèöèé — â [11].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è
óïðàâëåíèÿ ïó÷êàìè òðàåêòîðèé (ñì. òåîðåìû 1–4). Ïðè ôîðìóëèðîâêå òåî-
ðåì 1–4 óòî÷íÿåòñÿ èíôîðìàöèÿ, èñïîëüçóåìàÿ ïðè ïîñòðîåíèè óïðàâëåíèÿ u t[ ] .
Ïóñòü � �� �0 0, [ , ]r è äîïóñòèìûå óïðàâëåíèÿ u u r v v r� �( ), ( ) îïðåäåëåíû
íà îòðåçêå [ , ]0 � . Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1) ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè
z N R0 ( ) ( ( ))� � � , ( ( ) ( ), )z r z r h r� �
0 0 â ñèëó ôîðìóëû Êîøè (ïîñëå åãî ïðîåê-
òèðîâàíèÿ íà L) èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå (ñì. [1])
� � � � � � � �z K z K r h Bz r dr K r f u
h
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (� � � � � �
�
�0 0
0
0 r v r dr), ( ))
0
�
� ,
ãäå K r( ) , � �
r � , — ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè:
à) K r( )
~
� 0, r� 0 ,
~
0 — íóëåâàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n ;
á) K E( )0 � , E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n ;
â) ýëåìåíòû ìàòðèöû K r( ) ïðèíàäëåæàò êëàññó Ñ[ , ]0 � ;
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 155
ã) ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ K r( ) óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
� ( ) ( ) ( )K r AK r BK r h� � � , 0� �r h . (3)
Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ìàòðè÷íîé ôóíêöèè K r( ) , óäîâëåòâîðÿþ-
ùåé óñëîâèÿì à–ã, ìîãóò áûòü äîêàçàíû ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî èíòåãðèðî-
âàíèÿ óðàâíåíèÿ (3).
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
� ( ) ( , ),w r F r v r
v Q
� �
�
� 0,
ãäå F r v K r f P v( , ) ( ) ( , )� � è � �K r f P v K r f u v u P( ) ( , ) { ( ) ( , ): }� � .
Ââåäåì ìíîæåñòâî W w r dr( ) � ( )�
�
� �
0
, W M( )0 1� .
Ïóñòü d — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà M H N R1 * [ , ( ( ))]� � , w r( ), 0
r �, —
ïðîèçâîëüíàÿ ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, w r( ) � � ( )w r , ãäå
H N R K R K r h BR r dr
h
[ , ( ( ))] ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� � � � � �
�
�0
0
� � � � � �
�
�{ ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ),� � � �K z K r h Bz r dr z s R s h s
h
0 0
0
00
0} .
Çàôèêñèðóåì íåêîòîðîå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå z N R0 ( ) ( ( ))� � � . Ïóñòü
� � �[ , ( )] ( )z d f0 � � � � , ãäå f W( ) ( )� �� . Äàëåå, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì èí-
òåãðàëà � ( )w r dr
0
�
� ñóùåñòâóåò èçìåðèìûé ïî Áîðåëþ ñóììèðóåìûé ñåëåêòîð
w r( ) � � ( )w r , 0
r � , òàêîé, ÷òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî f w r dr( ) ( )�
�
� �
0
. Çàôèêñè-
ðóåì ýòîò ñåëåêòîð. Òîãäà ôóíêöèÿ � �[ , ( )]z0 � èìååò âèä � �
�
[ , ( )] ( )z d w r dr0
0
� � � � � .
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà v Q� îïðåäåëèì ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ � �( ( ), , , )z r v0 � è
âåêòîð-ôóíêöèþ � �[ , ( )]z0 � :
� �
� �� � �
( ( ), , , )
: [ , ( )] ( , ) ( )},
z r v
z F r v w r
0
00
� �
� � � � �sup{ åñëè
åñëè
� �
� � �
[ , ( )] ,
, [ , ( )] ;
z
z
0
1
0
0
0
� �
� �
�
�
�
�
� �
� �
� �
� �
[ , ( )]
[ , ( )]
| [ , ( )] |
, [ , ( )]
z
z
z
z
0
0
0
0 0
� �
�
�
� �åñëè ,
, [ , ( )] ,� � �0
0 0åñëè z � �
�
�
�
��
� � � �( ( ), , ) ( ( ), , , )z r z r v
v Q
0 0� � �
�
inf ,
ãäå � 0 — ïðîèçâîëüíûé åäèíè÷íûé âåêòîð ïîäïðîñòðàíñòâà L .
Ïðåäïîëîæåíèå 1. Ñóùåñòâóþò ÷èñëî � �� � �1 0 0( ( ))z , âåêòîð
d M H N R� �1 1* [ , ( ( ))]� è ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿ w r r( ), 0 1
� , w r w r( ) � ( )� ,
d w r dr� �� ( )
0
1
0
�
, òàêèå, ÷òî:
à) ôóíêöèÿ � � �( ( ), , ),z r r0 1 10�
, à òàêæå ñóïåðïîçèöèÿ � �( ( ), , , ( ))z r v r0 1� ,
0 1
r � , ôóíêöèè � �( ( ), , , )z r v0 1� , 0 1
r � , v Q� , ïðè ïðîèçâîëüíîé èçìåðè-
ìîé ôóíêöèè v r r( ), 0 1
� , ÿâëÿþòñÿ ñóììèðóåìûìè;
156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
á) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
� �� � � �
�
[ , ( )] ( ( ), , , ( ))1 0 0 1
0
1
0z z r v r dr� � �
� . (4)
Òåîðåìà 1. Åñëè âûïîëíåíî ïðåäïîëîæåíèå 1, òî â èãðå (1) ìîæíî ïåðåâå-
ñòè ïó÷îê òðàåêòîðèé èç ìíîæåñòâà N R( ( ))� íà ìíîæåñòâî M çà âðåìÿ T � �1.
Ïðè ýòîì äëÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ u t[ ] ïðåñëåäîâàòåëü â êàæäûé ìîìåíò t èñïîëüçó-
åò çíà÷åíèÿ v t( ) ïàðàìåòðà v è z s( ) ïðè t h s t�
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z N R0 ( ) ( ( ))� � � âûïîëíå-
íû óñëîâèÿ ïðåäïîëîæåíèÿ 1. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè v v r� ( ) ,
0 1
r � , v r Q( ) � , ðàññìîòðèì ôóíêöèþ � �( ; ( ), ),t v r r t t0 0 1
(ñì. [6]):
� �� � �( ; ( ), ) [ , ( )] ( ( ), , , ( ))t v r r t t z z t r v r dr
t
0 0 0
0
� � � �� .
Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò ìîìåíò âðåìåíè t t� ��[ , ]0 1� òàêîé, ÷òî
�( ; ( ), )t v r r t�
� �0 0 . Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè �[ , ( )]t z0 0� � , òî ìîæíî ñ÷èòàòü
t� � 0 . Ïóñòü �[ , ( )]t z0 0� � è �( ; ( ), )t v r r t0 0
� íà îòðåçêå [ , ]0 1� . Èíà÷å
0 01 1�
�� � �( ; ( ), )v r r
� � � �� � � �
� ��� � � � � �
�
[ , ( )] ( ( ), , , ( )) [ , ( )]1 0 0 1
0
1 0
1
z z r v r dr z � �
�
( ( ), , )z r dr0 1
0
1
0�
� ,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó (4). Òàêèì îáðàçîì, ïóñòü �( ; ( ), )t v r r t�
� �0 0 .
Ó÷èòûâàÿ ýòîò ôàêò, öåëåñîîáðàçíî çíà÷åíèå u r[ ] ïàðàìåòðà u âûáèðàòü êàê
ïåðâûé êîìïîíåíò ðåøåíèÿ óðàâíåíèé
� � � � � � �K r f u v r w r z r v r z( ) ( , ( )) ( ) ( ( ), , , ( )) [ ,1 1 0 1 1� � � � � 0 0( )],�
�r t , (5)
� � � �K r f u v r w r t r( ) ( , ( )) ( ),1 1 1� � � ��
, (6)
îòíîñèòåëüíî u P� . Èñïîëüçóÿ ëåììó Ôèëèïïîâà–Êàñòåíà [8, 9], ìîæíî ïîêà-
çàòü ñóùåñòâîâàíèå èçìåðèìîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (5), (6). Êàê îáû÷íî, çà
ðåøåíèå u r[ ] óðàâíåíèé (5), (6) ïðèíèìàåòñÿ íàèìåíüøåå â ëåêñèêîãðàôè÷åñ-
êîì ñìûñëå ñðåäè âñåõ ðåøåíèé ýòèõ óðàâíåíèé. Ïðè òàêîì ñïîñîáå óïðàâëå-
íèÿ u r[ ] óáåäèìñÿ, ÷òî ïó÷îê òðàåêòîðèé Z u v N R( [ ], ( ), ( ( )))� � � ìîæíî ïåðåâåñòè
èç ìíîæåñòâà N R( ( ))� íà ìíîæåñòâî M äî ìîìåíòà âðåìåíè T . Äåéñòâèòåëüíî,
(ñì. (5), (6)) èìååì ñîîòíîøåíèå
d z w r dr� � � � � ��� � �
�
[ , ( )] ( )1 0 1
0
1
� � � � � � �� � � � � �[ , ( )] ( )[ ( [ ], ( )) ( ( ), , ,1 0 1 0 1z K r f u r v r z r v( )) [ , ( )]]r z dr
t
� �1 0
0
� �
�
�
� � � � � � �
�
� � � � � �
�
K r f u r v r dr z z
t
( ) ( [ ], ( )) [ , ( )] ( ( ),1 1 0 0
1
� � �1 1 0
0
, , ( )) [ , ( )]r v r z dr
t
� �
�
�
� � � � �
�
� � � � �
�
K r f u r v r dr K r f u r v r
t
( ) ( [ ], ( )) ( ) ( [ ], ( ))1 1
1
dr
t �
�
� 1
, (7)
èáî èç óñòàíîâëåííîãî âûøå ðàâåíñòâà �( ; ( ), )t v r r t�
� �0 0 èìååì
� � � � � �
�
�� � � � � �[ , ( )] ( ( ), , , ( )) [ , ( )]1 0 0 1 1 0
0
z z r v r z dr
t
� �� � � � � �� � � � � � � �[ , ( )] [ , ( )] ( ( ), , , ( )) [ ,1 0 1 0 0 1 1 0z z z r v r z ( )]� �
�
� dr
t
0
� �� � � � � �
�
[ [ , ( )] ( ( ), , , ( )) ] [ , ( )]� � � � � �1 0 0 1 1 0
0
z z r v r dr z
t
� � 0.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 157
Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. (7)), ïîëó÷àåì
� � � � �� � � �
�
K r f u r v r ds d M H N R( ) ( [ ], ( )) [ * [ , ( ( ))]]1
0
1 1
1
.
Èç îïðåäåëåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâ ñëåäóåò, ÷òî
H N R K r f u r v r ds M[ , ( ( ))] ( ) ( [ ], ( ))� � �
�
1 1
0
1
1
� � � �� .
Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ ïðîèçâîëüíîñòü íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ
z N R0 ( ) ( ( ))� � � , ïó÷îê òðàåêòîðèé èç ìíîæåñòâà N R( ( ))� ïåðåâåäåí íà ìíîæå-
ñòâî M çà âðåìÿ �1. Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
Ïóñòü � — ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà [ , ]0 � : � �� � � � � �{ }0 0 1t t tk� ,
v r t r t i ki i i( ), , , , ..., ,�
�1 1 2 —ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè
èç ìíîæåñòâà Q ; � —ïðîèçâîëüíîå çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà
M H N R1 * [ , ( ( ))]� � .
Ïîëîæèì A0 � � (ñì. [6]) è
A A K r f P v r dri i i
t
t
v
i
i
i
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�1
1
� ( ) ( , ( ))
( )
� , i k�1 2, , ..., ,
A A W Ak k k( , ) , ( , ) ( , )� � �� � �
�
� �� ,
ãäå ïåðåñå÷åíèå áåðåòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì ðàçáèåíèÿì � îòðåçêà [ , ]0 � . Ïî
îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì W ( , )� �0 � è ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
W M H N R W2 1 0[ * [ , ( ( ))], ] ( , ), .� � � �� � ��
�
�
Òåîðåìà 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì � �� � �2 0 0( ( ))z èìååò ìåñòî
âêëþ÷åíèå
0 2 1� �W M H N R[ * [ , ( ( ))], ]� � . (8)
Òîãäà â èãðå (1) ïó÷îê òðàåêòîðèé ìîæíî ïåðåâåñòè èç ìíîæåñòâà N R( ( ))� íà
ìíîæåñòâî M çà âðåìÿ T � �2 . Ïðè ýòîì äëÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ u t[ ] èñïîëüçó-
þòñÿ çíà÷åíèÿ u s( ) , 0
s t , è v s( ) , 0
�s t , ãäå — ïðîèçâîëüíîå ôèê-
ñèðîâàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ íåêîòîðîãî çàìêíóòîãî ïîäìíîæåñòâî � ìíîæåñòâà
M H N R1* [ , ( ( ))]� � ïî óñëîâèþ òåîðåìû 2 ïðè � �� 2 èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå
0 2 2�W ( , )� � (ñì. (8)). Ìíîæåñòâî W2 2( , )� � ÿâëÿåòñÿ àëüòåðíèðîâàííûì èíòåã-
ðàëîì Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà ñ íà÷àëüíûì ìíîæåñòâîì A0 � � [2, 6]. Ïîýòîìó äëÿ
íåãî âûïîëíåíî ïîëóãðóïïîâîå ñâîéñòâî àëüòåðíèðîâàííîãî èíòåãðàëà [2]
W W K r f P v r dr2 2 2 2 0
2
2
( , ) ( , ) ( ) ( , ( ))� �� � �
�
�
� � �
�
�
�
�
�
��
� �
��v0( )
� , (9)
— ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ôèêñèðîâàííîå ìàëîå ÷èñëî, 0 2�
� ; v r0 ( ),
� �1 2�
r , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè èç ìíîæåñòâà Q.
Ïóñòü v v t� ( ) , 0
� t , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ v t Q( ) � . Â ñî-
îòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè äîêàçûâàåìîé òåîðåìû â ìîìåíò âðåìåíè t � 0 ñòàíîâèò-
ñÿ èçâåñòíûì ñóæåíèå v t( ) , 0
t , ôóíêöèè v t( ) , 0
� t , íà îòðåçîê [ , ]0 .
Èç âêëþ÷åíèÿ (9) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ~( )v r�2 � ,
� � �2 2 2�
� �r v r Q, ~ ( ) , èìååì
0 2 2 2
2
2
� � � �
�
�W K r f P v r dr( , ) ( ) ( , ~ ( ))� � � �
�
�
. (10)
158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ s r� ��2 â èíòåãðàëå, ó÷àñòâóþùåì â (10). Òîãäà
èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå
0 2 2 2
0
� � � ��W K s f P v s ds( , ) ( ) ( , ~ ( ))� � � �
. (11)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè ~( )v s , 0
s , èìååò
ìåñòî âêëþ÷åíèå (11). Ñëåäîâàòåëüíî, è ïðè ~( ) ( )v s v s� , 0
s , ñïðàâåäëèâî
âêëþ÷åíèå (11). Îòñþäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû
äâóõ ìíîæåñòâ âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå èçìåðèìîé ôóíêöèè u s( ) , 0
s , òà-
êîé, ÷òî u s P( ) � è
� � � �� � � �
K s f u s v s ds W( ) ( ( ), ( )) ( , )2
0
2 2� . (12)
Äàëåå ðàññóæäàåì àíàëîãè÷íî äëÿ ñëåäóþùèõ îòðåçêîâ. Ïîñêîëüêó
W W K r f P v r dr2 2 2 2 2
2
2
2
2
( , ) ( , ) ( ) ( , ( ))� �� � � �
�
�
� � � � �
�
�
� (13)
äëÿ ïðîèçâîëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè v r( )�2 � , � � 2 22�
�r ,
v r Q( )�2 � � , òî ïðè v s v s( ) ( )� ,
s 2 , ãäå v s( ) ,
s 2 , — ñóæåíèå
ôóíêöèè v s( ) , 0
� s , íà îòðåçîê [ , ] 2 , èìååì
W W K s f P v s ds2 2 2 2 2
2
2( , ) ( , ) ( ) ( , ( ))� �� � � �
� � � � �� . (14)
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ u s( ) ,
s 2 , òàêàÿ, ÷òî
u s P( ) � è
� � � � � �� � � � � �
K s f u s v s ds W K s f u( ) ( ( ), ( )) ( , ) ( ) (2
0
2 2 22� ( ), ( ))s v s ds
2
� . (15)
Èç ñîîòíîøåíèÿ (15) ñëåäóåò, ÷òî
� � � �� � � �
K s f u s v s ds W( ) ( ( ), ( )) ( , )2
2
2 2 2� (16)
è ò.ä. Î÷åâèäíî, ÷òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî j òàêîå, ÷òî:
1 1 2) ( )j j� �
� ; 2) ïî èçâåñòíîé ôóíêöèè v s( ) , 0 2
s � , ãäå v s( ) ,
0 2
s � , — ñóæåíèå ôóíêöèè v s s( ), 0
� , íà îòðåçîê [ , ]0 2� , íàéäåòñÿ èçìå-
ðèìàÿ ôóíêöèÿ u s( ) , ( ) , ( )j s u s P�
�1 2 � , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (ñì. (16))
� � � �
�
� � � � �
K s f u s v s ds K s f u s v s
j
( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), (
( )
2
0
1
2 )) ( , )
( )
ds W
j�
� �
1
2
2
0
�
� . (17)
Îäíàêî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
� � � �
�
�� � � �
K s f u s v s ds K s f u s v s
j
( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), (
( )
2
0
1
2 ))
( )
ds
j�
� �
1
2
�
� � �� � �
�
K s f u s v s ds( ) ( ( ), ( ))2
0
2
,
W2 0( , )� �� , � � �M H N R1 2* [ , ( ( ))]� . (18)
Ñ ó÷åòîì (17) è (18) ïîëó÷àåì
H N R K s f u s v s ds M[ , ( ( ))] ( ) ( ( ), ( ))� � �
�
2 2
0
1
2
� � � �� .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåñü ïó÷îê òðàåêòîðèé, âûõîäÿùèõ èç òî÷åê ìíîæåñòâà N R( ( ))� ,
â ìîìåíò âðåìåíè t � �2 îêàçûâàåòñÿ íà ìíîæåñòâå M . Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 159
Çàìå÷àíèå. Êàê âèäíî èç (15)–(17), çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà u âûáèðàþòñÿ â ìî-
ìåíòû âðåìåíè 0 1, , ..., ( ) j � . Â ìîìåíò âðåìåíè t � 0 ñòðîèòñÿ ôóíêöèÿ u t[ ] ,
0
t , ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ v s s( ), 0
. Â ìîìåíò âðåìåíè t �
ñòðîèòñÿ ôóíêöèÿ u t t[ ],
2 , ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ , çíà÷åíèÿ u s[ ] ,
0
s , è v s s( ), 0 2
, è ò. ä. Â ìîìåíò âðåìåíè t j� �( )1 êîíñòðóèðóåòñÿ
ôóíêöèÿ u t j t[ ], ( )�
1 2 � , ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ìîìåíò ( )j �1 , çíà÷åíèÿ
u s[ ] , 0 1
�s j( ) , è v s( ) , 0 2
s � .
Ïóñòü M r( ) , 0
r �, — ïðîèçâîëüíîå êîìïàêòíîçíà÷íîå ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ M r dr M( )
0
1
�
� � .
Ââåäåì ìíîæåñòâà
w M r r M r F r v
v Q
( ( ), ) [ ( ) ( , )]� �
�
� , W r w M r r dr( ) ( ( ), )� �
0
�
, W M( )0 1� .
Ïîëîæèì
� � � � �[ , ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z K r z K r h Bz r dr w r dr
h
0 0 0
0
0� � � � � �
�
�
0
�
� ,
ãäå w r( ), 0
r �, — ïðîèçâîëüíàÿ ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, w r w M r r( ) ( ( ), )�
äëÿ âñåõ r �[ , ]0 � . Ïóñòü
� �� �
� �
� �
� �
�
[ , ( )]
[ , ( )]
[ , ( )]
, [ , ( )] ,
z
z
z
z
0
0
0
0 0
� �
�
�
� �åñëè
0
0 0, [ , ( )] ,åñëè � � z � �
�
�
�
�
�
ãäå � 0— ïðîèçâîëüíûé åäèíè÷íûé âåêòîð èç L .
Îïðåäåëèì ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ � �( ( ), , , )z r v0 � ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� �( ( ), , , )z r v0 � �
�
� � � � � � �sup åñëè{ : [ , ( )] [ ( ) ( , )] ( )},� �� � � � �0 0z M r F r v w r [ , ( )] ,
, [ , ( )] ,
�
� � �
z
z
0
1
0
0
0
� �
� �
�
�
�
� åñëè
� � � �( ( ), , ) ( ( ), , , ): }z r z r v v Q0 0� � � �inf { , à åñëè � �[ , ( )]z0 0� � , òî ñ÷èòàåì, ÷òî
� �[ , ( )]z0 0� � , � � � �( ( ), , , ) ( ( ), , )z r v z r0 0 0� � � � .
Ïðåäïîëîæåíèå 2. Ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî � �� � �3 0 0( ( ))z , ìíî-
ãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå M r r( ), 0 3
� , ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿ w r( ), 0 3
r � ,
w r w M r r( ) ( ( ), )� , òàêèå, ÷òî:
à) ôóíêöèÿ � � �( ( ), , ),z r r0 3 30�
, à òàêæå ñóïåðïîçèöèÿ � �( ( ), , , ( ))z r v r0 3� ,
0 3
r � , ôóíêöèè � � �( ( ), , , ), ,z r v r v Q0 3 30�
� , ïðè ïðîèçâîëüíîé ñóììè-
ðóåìîé ôóíêöèè v r r( ), 0 3
� , ÿâëÿþòñÿ ñóììèðóåìûìè;
á) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
� �� � � �
�
[ , ( )] ( ( ), , )3 0 0 3
0
3
0z z r dr� � �
� . (19)
Òåîðåìà 3. Åñëè âûïîëíåíî ïðåäïîëîæåíèå 2, òî â èãðå (1) ìîæíî ïåðåâå-
ñòè ïó÷îê òðàåêòîðèé èç ìíîæåñòâà N R( ( ))� íà ìíîæåñòâî M çà âðåìÿ T � �3 .
Ïðè ýòîì äëÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ u t[ ] èñïîëüçóþòñÿ t, çíà÷åíèÿ u s s t( ), 0
, z s( )
ïðè t h s t�
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z N R0 ( ) ( ( ))� � � âûïîëíå-
íû óñëîâèÿ ïðåäïîëîæåíèÿ 2 è v v t t�
( ), 0 3� , v r Q( ) � , — ïðîèçâîëüíàÿ èç-
ìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Ââåäåì ôóíêöèþ � �( ; ( ), ),t v r r t t0 0 3
, îïðåäåëåííóþ
â âèäå (ñì. [6])
� �� � �( ; ( ), ) [ , ( )] ( ( ), , , ( ))t v r r t t z z t r v r dr
t
0 0 0
0
� � � �� .
160 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
Ïîêàæåì, êàê è â òåîðåìå 1, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíè
t t� ��[ , ]0 3� ôóíêöèÿ � �( ; ( ), ),t v r r t t0 0 3
, îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ñ ó÷å-
òîì ýòîãî ôàêòà, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t �[ , ]0 3� �( ; ( ), )t v r r t0 0
� , òî
çíà÷åíèÿ ôóíêöèé u t P[ ]� , m t M t( ) ( )� â ìîìåíò âðåìåíè t ïðåäñòàâëÿþò ëåê-
ñèêîãðàôè÷åñêèé ìèíèìóì ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
m t K t f u t v t w t z t v t( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), , , (� � � � � �� � � � �3 3 0 3 )) [ , ( )]� �3 0z � . (20)
Åñëè t� — ïåðâîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t �[ , ]0 3� , äëÿ êîòîðîãî
�( ; ( ), )t v r r t�
� �0 0 , òî äëÿ t t�( , ]�3 çíà÷åíèÿ ôóíêöèé u t P[ ]� ,
m t M t( ) ( )� â ìîìåíò âðåìåíè t ïðåäñòàâëÿþò ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ìèíèìóì
ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
m t K t f u t v t w t( ) ( ) ( ( ), ( )) ( )� � � �� � �3 3 . (21)
Óïðàâëåíèå u t[ ] , âûáðàííîå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè (20) è (21), äàëåå
îáîçíà÷èì u t u t v t[ ] ( , ( ))� . Ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âûáðàííîå óïðàâëåíèå
u t[ ] áóäåò ãàðàíòèðîâàòü ïåðåâîä ïó÷êà òðàåêòîðèé èç ìíîæåñòâà N R( ( ))� íà
ìíîæåñòâî M ê ìîìåíòó �3 . Ôóíêöèÿ � �( ( ), , , ( ))z t v t0 3� ñîãëàñíî óòâåðæäå-
íèþ Ï.2 èç [8] èçìåðèìà ïî t, ïîýòîìó èç ïðåäïîëîæåíèÿ 2 â ñèëó òåîðåìû
Ôèëèïïîâà-Êàñòåíà [9] ñëåäóåò ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèé (20), (21) â êëàññå
èçìåðèìûõ ôóíêöèé u t P[ ]� , m t M t t( ) ( ),�
0 3� . Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó
óðàâíåíèé (20), (21) èìååì
� � � �
�
( ) ( ) [ , ( )] ( )3 0 3 0 3
0
3
z z w t dt� � � � � �� � �[ , ( )]3 0z � �
� � � � �{ ( ) ( ) ( [ ], ( )) ( ( ), , , ( )) [m t K t f u t v t z t v t� � � � � �3 0 3 3 , ( )]}z dt
t
0
0
� �
�
�
� � � � � �
�
� [ ( ) ( ) ( [ ], ( ))] [ , ( )]m t K t f u t v t dt z
t
� � � �
�
3 3 0
3
� � � � �
�
� �� � � � �
�
( ( ), , , ( )) [ , ( )] ( )z t v t z dt m t dt K
t
0 3 3 0
0 0
3
( ) ( [ ], ( ))�
�
3
0
3
� �� t f u t v t dt
= m t dt K t f u t v t dt( ) ( ) ( [ ], ( )) ,
0
3
0
3 3� �
� �� �� � (22)
ïîñêîëüêó
� � � � � �
�
�� � � � � �[ , ( )] ( ( ), , , ( )) [ , ( )]3 0 0 3 3 0
0
z z t v t z dt
t
� �� � � � � �� � � � � � � �[ , ( )] [ , ( )] ( ( ), , , ( )) [ ,3 0 3 0 0 3 3 0z z z t v t z ( )]� �
�
� dt
t
0
� �� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � � � � �[ , ( )] ( ( ), , , ( )) [3 0 0 3
0
3z z t v t dt
t
, ( )]z0 0� �
â ñèëó óñòàíîâëåííîãî âûøå ðàâåíñòâà �( ; ( ), )t v r t t�
� �0 0, ãäå
� � � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 3 0
0
0z K z K t h Bz t dt
h
� � � � �
�
� .
Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. (22)), èìååì
� � �
� �
( ) ( ) ( ) ( [ ], ( )) ( )3 0 3
0 0
3 3
z K t f u t v t dt m t dt� � � �� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 161
Ïîñêîëüêó m t M t( ) ( )� íà îòðåçêå [ , ]0 3� è m t dt M t dt( ) ( )�� �
0 0
3 3� �
, òî ïîëó÷àåì
� � � �
�
( ) ( ) ( ) ( [ ], ( )) [ , ( ( ))3 0 3
0
3
3
z K t f u t v t dt H N R� � � � �� ] –
� �� � �
�
K t f u t v t dt( ) ( [ ], ( ))3
0
3
� �� M t dt M( )
0
1
3�
.
Òàêèì îáðàçîì, ïó÷îê òðàåêòîðèé èç ìíîæåñòâà N R( ( ))� ìîæíî ïåðåâåñòè íà
ìíîæåñòâî M çà âðåìÿ �3 . Òåîðåìà 3 äîêàçàíà.
Ïóñòü, êàê è ðàíåå, i k�1 2, , ..., , à (ñì. [6])
M M r K r f P v dri
i
v Qt
t
M
i
i
i
( )
( )
[ ( ) ( ) ( , )]� ��
�� ��
� 1
11
��� , (23)
ãäå M r t r t0 0 1( ),
, — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ çàìêíóòîçíà÷íàÿ ìíîãîçíà÷-
íàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ M r dr M
t
t
0
0
0
1
( ) ( )� � , M ( )0 �
� �M H N R1 * [ , ( ( ))]� ; M ri�1 ( ) , t r ti i�
1 , i �1, — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ
çàìêíóòîçíà÷íàÿ ìíîãîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîé M r dr Mi
t
t
i
i
i
�
�
�
� �1
1
1
( ) ( ) .
Ïîëîæèì M M W M H N R Mk k k( ) ( ) ( )( ) , [ * [ , ( ( ))], ] ( ),� � � � �
�
� � � �3 1 0� .
Òåîðåìà 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì � �� � �4 0 0( ( ))z èìååò ìåñòî
âêëþ÷åíèå
0 3 1� �W M H N R[ * [ , ( ( ))], ]� � . (24)
Òîãäà â èãðå (1) ïó÷îê òðàåêòîðèé ìîæíî ïåðåâåñòè èç ìíîæåñòâà N R( ( ))� íà
ìíîæåñòâî M çà âðåìÿ T � �4 . Ïðè ýòîì äëÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ u t[ ] èñïîëüçó-
þòñÿ t, çíà÷åíèÿ u s s t( ), 0
� , è v s s t( ), 0
� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ 0 3 1 4 4� �W M H N R[ * [ , ( ( ))], ]� � ñëåäóåò, ÷òî
ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå � 0 îòðåçêà [ , ]0 4� òàêîå, ÷òî 0
3 0�W k( ) ( )� (ñì. (24)). Ïóñòü
� �0 0 1 40� � � � � �{ }t t tk� , �1 1� � �t tk k , � �2 1 2 1 0� � � �� �t t t tk k k� .
 ñèëó (23) ñóùåñòâóåò èçìåðèìàÿ çàìêíóòîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ M r
k�1
0( ) ( ) ,
t r tk k�
1 , òàêàÿ, ÷òî
M M r K r f P v drk
k
v Qt
( ) ( )( ) [ ( ) ( ) ( , )]� �0 1
0� �
�
�
�
��
!
"
�
#�
�
�
�
k
kt
�
�
1
, M r dr M
k
t
t
k
k
k
�
�
�
� �
1
0 1
1
( ) ( )( ) .
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿ w rk�1 ( ), t r tk k�
1 , òàêàÿ,
÷òî äëÿ âñåõ r t tk k� �[ , ]1
w r M r K r f P vk k
v Q
� �
�
� �1 1
0( ) [ ( ) ( ) ( , )]( ) �� , 0 1
1
� �
�
� w r drk
t
t
k
k
( ) . (25)
Èç âêëþ÷åíèÿ (25) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ t v Q� �[ , ],0 1� óðàâíåíèå
m K t t f u v w t tk k k k� �� � � �1 1� ( ) ( , ) ( ) (26)
îòíîñèòåëüíî m M t tk k k� �� �1 1
0( ) ( ) , u P� èìååò ðåøåíèå. Ñðåäè âñåõ ðåøåíèé
óðàâíåíèÿ (26) âûáåðåì òî, ó êîòîðîãî êîìïîíåíò u ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì
â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ñìûñëå. (Îñíîâûâàÿñü íà çàìêíóòîçíà÷íîñòè
M t t
k k� �
1
0( ) ( ) è íåïðåðûâíîñòè �K t t f u vk( ) ( , )� ïî u v, , ëåãêî äîêàçàòü ñóùåñò-
162 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
âîâàíèå òàêîãî ðåøåíèÿ; äàëåå, êàê âèäíî èç (26), êîìïîíåíò mk�1 ðåøåíèÿ
íàõîäèòñÿ îäíîçíà÷íî ïîñëå âûáîðà êîìïîíåíòà u .) Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
(ñì. [9]) êîìïîíåíò u u t v� ( , ) , 0 1
t � , v Q� , áóäåò èçìåðèì ïî Áîðåëþ, à mk� �1
� �m t vk 1 ( , ) , 0 1
t � , v Q� , ìîæåò áûòü òàêæå áîðåëåâñêè èçìåðèìîé ôóíê-
öèåé, îäíàêî äëÿ ïðîèçâîëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè v t0 ( ) , 0 1
t � ,
v t Q0 ( ) � , ôóíêöèÿ m t v t tk�
1 0 10( , ( )), � , áóäåò ëåáåãîâñêè ñóììèðóåìîé
ôóíêöèåé (ýòî î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò èç (26)).
Ïóñòü, êàê è ðàíåå, v t( ) , 0 1
t � , — ñóæåíèå íà îòðåçîê [ , ]0 1� ôóíêöèè
v t( ) , 0
� �t v t Q, ( ) . Ïðè âûáîðå çíà÷åíèé ïàðàìåòðà u íà îòðåçêå [ , ]0 1� ïî
ïðàâèëó u t u t v t[ ] ( , ( ))� èìååì (ñì. (25), (26))
� � � � � �
�
� ��K r f u t r v t r dr m t r v t rk k
t
t
k k k
k
k
( ) ( [ ], ( )) ( , (
1
1 ))dr
t
t
k
k
�
�
1
. (27)
Ñäåëàâ çàìåíó ïåðåìåííûõ s t rk� � â èíòåãðàëå â ëåâîé ÷àñòè (27), ïîëó÷àåì
� � � � �
�
� ��K t s f u s v s ds m t r v t r dk
t
t
k k k
k
k
( ) ( [ ], ( )) ( , ( ))
1
1 r
t
t
k
k
�
�
1
, (28)
îäíàêî m t r v t rk k k� � �1 ( , ( )) , t r tk k�
1 , ÿâëÿåòñÿ ñóììèðóåìîé âåòâüþ
M t r
k k� �
1
0( ) ( ) , t r tk k�
1 . Ïîýòîìó (ñì. (28))
� � �� ��
�
K t s f u s v s ds Mk
k( ) ( [ ], ( )) ( )
0
1
1
. (29)
Îòñþäà ëåãêî çàêëþ÷èòü, ÷òî åñëè íà îòðåçêå [ , ]� � �1 1 2� êàæäîå çíà÷åíèå
u t[ ] ïàðàìåòðà u âûáèðàòü êàê íàèìåíüøèé â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ñìûñëå êîì-
ïîíåíò ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (ñðàâíèòü ñ (26))
m K t t f u v t w t tk k k k� �� � � �2 2� ( ) ( , ( )) ( ) ,
ãäå w t tk k� �2 ( ) , � � �1 1 2
�t , èìååò àíàëîãè÷íûé ñ w t tk k� �1 ( ), 0 1
t � ,
ñìûñë, à m M t tk k k� �� �2 2
0( ) ( ) , ïðè ýòîì M t t
k k� �
2
0( ) ( ) , � � �1 1 2
�t , íàõî-
äèòñÿ èç (29) è (23), òî ýëåìåíòàðíûå âûêëàäêè ïîêàçûâàþò (çäåñü îïóñêàþò-
ñÿ), ÷òî
� � � �� � �
�
K t s f u s v s ds K t s f u s v s dsk k( ) ( [ ], ( )) ( ) ( [ ], ( ))
0
1
�
� �
1
1 2
2
�
�� � M k( ) .
Ïðîäîëæèâ òàêèì îáðàçîì âû÷èñëåíèÿ, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
� � � � �� � �
�
K t s f u s v s ds K t s f u s v sk k( ) ( [ ], ( )) ( ) ( [ ], ( ))
0
1
� ds M
k
k
� � �
� � �
1 2 1
1 2
0
� � �
� � �
�
� �
�
�
( ) , (30)
îäíàêî � � � �1 2 4� � � � �� k kt , M M H N R( ) * [ , ( ( ))]0
1 4� �� . Ïîýòîìó (ñì. (30))
� � � �� � � �
�
K s f u s v s ds M H N R( ) ( [ ], ( )) * [ , ( ( ))]4
0
1 4
4
.
Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ïó÷îê òðàåêòîðèé èç ìíîæåñòâà N R( ( ))� â ìîìåíò âðå-
ìåíè t � �4 ïîïàäàåò íà ìíîæåñòâî M . Òåîðåìà 4 äîêàçàíà.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ çàâåðøåíèÿ ïðåñëåäîâàíèÿ
ïðè íàëè÷èè çàïàçäûâàíèÿ ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè íà óïðàâëåíèÿ èã-
ðîêîâ. Íåêîòîðûå òåîðåìû ÿâëÿþòñÿ ìîäèôèêàöèÿìè ìåòîäîâ òåîðèè äèôôåðåí-
öèàëüíûõ èãð ïðåñëåäîâàíèÿ ïî íàïðàâëåíèþ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 163
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á å ë ë ì à í Ð . , Ê ó ê Ê . Äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1967. —
547 ñ.
2. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. — Ì.: Íàóêà, 1998. — Ò. 2. — 575 c.
3. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . , Î ñ è ï î â Þ . Ñ . Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå èãðû //
ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1971. — 197, ¹ 4. — Ñ. 777–780.
4. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ïðåñëåäîâàíèÿ ïðè íàëè÷èè
çàïàçäûâàíèé // Òàì æå. — ¹ 5. — Ñ. 1018–1021.
5. × è ê ð è é À . À . , × è ê ð è é Ã . Ö . Ãðóïïîâîå ïðåñëåäîâàíèå â äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûõ
èãðàõ // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. — 1984. — 20, ¹ 5. — Ñ. 802–810.
6. Ñ à ò è ì î â Í . Þ . Ê ìåòîäàì ðåøåíèÿ èãðîâûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ïó÷êàìè òðàåêòîðèé // ÄÀÍ.
ÑÑÑÐ. — 1990. — 314, ¹ 1. — Ñ. 132–134.
7. Ò ó õ ò à ñ è í î â Ì . Óïðàâëåíèÿ ïó÷êàìè òðàåêòîðèé ïðè ðàçíîòèïíûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà
óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû. — Ì., 1989. — 33 ñ. Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ 04.10.89. ¹ 6101–Â89.
8. à ð è ã î ð å í ê î Í . Ë . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû óïðàâëåíèÿ íåñêîëüêèìè äèíàìè÷åñêèìè
ïðîöåññàìè. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1990. — 197 ñ.
9. Â à ð ã à Ä æ . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå äèôôåðåíöèàëüíûìè è ôóíêöèîíàëüíûìè
óðàâíåíèÿìè. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 624 ñ.
10. Î â ñ ÿ í í è ê î â Ä . À . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû óïðàâëåíèÿ ïó÷êàìè òðàåêòîðèé. — Ë.: Èçä-âî
ËÃÓ, 1981. — 228 c.
11. Ê ó ð æ à í ñ ê è é À . Á . Óïðàâëåíèÿ è íàáëþäåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. — Ì.: Íàóêà,
1977. — 392 ñ.
Ïîñòóïèëà 19.01.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84150 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:47:05Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мамадалиев, Н. 2015-07-03T10:15:24Z 2015-07-03T10:15:24Z 2012 Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания / Н. Мамадалиев // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 154-164. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84150 517.97 Досліджується iгрова задача керування пучками траєкторiй за наявностi запiзнення. Отримано достатнi умови розв’язання задачi управлiння пучками траєкторiй. Game problems of the control of a pencil of trajectories with delay are analyzed. The sufficient conditions for the solvability of the problem are obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания Про ігрові задачі керування пучками траєкторій при наявності запізнення Game problems of the control of a pencil of trajectories with delay Article published earlier |
| spellingShingle | Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания Мамадалиев, Н. Системный анализ |
| title | Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания |
| title_alt | Про ігрові задачі керування пучками траєкторій при наявності запізнення Game problems of the control of a pencil of trajectories with delay |
| title_full | Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания |
| title_fullStr | Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания |
| title_full_unstemmed | Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания |
| title_short | Об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания |
| title_sort | об игровых задачах управления пучками траекторий при наличии запаздывания |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84150 |
| work_keys_str_mv | AT mamadalievn obigrovyhzadačahupravleniâpučkamitraektoriiprinaličiizapazdyvaniâ AT mamadalievn proígrovízadačíkeruvannâpučkamitraêktoríiprinaâvnostízapíznennâ AT mamadalievn gameproblemsofthecontrolofapenciloftrajectorieswithdelay |