Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций
Розглянуто задачі оптимального керування системами з розподіленими параметрами, в яких керування являє собою зосереджені джерела, а відповідні керуючі функції належать до таких класів функцій, як імпульсні та Хевісайда. Досліджено задачі оптимизації як потужності і часу впливу імпульсних керувань і...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84152 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций / Е.Р. Ашрафова // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 179-188. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859593023837437952 |
|---|---|
| author | Ашрафова, Е.Р. |
| author_facet | Ашрафова, Е.Р. |
| citation_txt | Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций / Е.Р. Ашрафова // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 179-188. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто задачі оптимального керування системами з розподіленими параметрами, в яких керування являє собою зосереджені джерела, а відповідні керуючі функції належать до таких класів функцій, як імпульсні та Хевісайда. Досліджено задачі оптимизації як потужності і часу впливу імпульсних керувань і керувань із класу функцій Хевісайда, так і місць розміщення самих зосереджених джерел. Отримано аналітичні формули для градієнта функціоналу розглянутих задач, які дозволяють використовувати для розв’язання задачі числові методи оптимізації першого порядку.
Optimal control problems for distributed-parameter systems with controls being concentrated sources and control functions belonging to such classes as impulsive and Heaviside functions are considered. Optimization problems both for the intensity and period of impulsive and Heaviside controls and for arrangement of these sources are solved. Analytical formulas for the gradient of the functional of the problems are obtained. They allow using numerical first-order optimization methods to solve the problems.
Автор выражает искреннюю благодарность профессору К.Р. Айда-заде за ценные советы и внимание к работе.
|
| first_indexed | 2025-11-27T18:13:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Å.Ð. ÀØÐÀÔÎÂÀ
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÍÛÌÈ
ÈÑÒÎ×ÍÈÊÀÌÈ Â ÑÈÑÒÅÌÀÕ Ñ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÌÈ
ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ ÍÀ ÊËÀÑÑÀÕ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ
È ÕÅÂÈÑÀÉÄÎÂÑÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, èìïóëüñíîå óïðàâëåíèå, ôóíêöèÿ
Õåâèñàéäà, ñèñòåìà ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðè óïðàâëåíèè ðåàëüíûìè îáúåêòàìè ðåàëèçàöèÿ îïòèìàëüíûõ óïðàâëÿþùèõ âîç-
äåéñòâèé èç êëàññà íåïðåðûâíûõ, êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé âûçûâàåò òåõíè-
÷åñêèå ñëîæíîñòè. Ïîýòîìó âàæíîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå èìååò ðåøåíèå çàäà÷
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ íà òåõíè÷åñêè ëåãêî ðåàëèçóåìûõ êëàññàõ ôóíêöèé.
Ê òàêèì êëàññàì ìîæíî îòíåñòè ñèñòåìû ñ óïðàâëÿþùèìè âîçäåéñòâèÿìè èç êëàñ-
ñîâ èìïóëüñíûõ, êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé, â ÷àñòíîñòè ôóíêöèé Õåâèñàéäà.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ òåîðèÿ èìïóëüñíîãî óïðàâëåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ðàçâèâàþ-
ùèéñÿ ðàçäåë îïòèìèçàöèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì [1–5]. Îäíèì èç îñíîâíûõ ýòà-
ïîâ èññëåäîâàíèÿ îïòèìèçàöèè ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà ïîëó÷åíèÿ êîíñòðóê-
òèâíûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè, ó÷èòûâàþùèõ ñïåöèôèêó ýòîãî êëàññà ñèñòåì
è ïîçâîëÿþùèõ èñïîëüçîâàòü èõ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷.
 äàííîé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñîñðåäî-
òî÷åííûìè èñòî÷íèêàìè äëÿ ïðîöåññîâ, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ, íàïðèìåð ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. Çäåñü íàõîäÿòñÿ îïòèìàëüíûå çíà÷å-
íèÿ êàê ìîùíîñòè è âðåìåíè âîçäåéñòâèÿ èìïóëüñíûõ è õåâèñàéäîâñêèõ óïðàâëåíèé,
òàê è îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ìåñò ðàçìåùåíèÿ ñàìèõ ñîñðåäîòî÷åííûõ èñòî÷íèêîâ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 179
© Å.Ð. Àøðàôîâà, 2012
Ïîäîáíûå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â êëàññàõ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ
è èìïóëüñíûõ ôóíêöèé ðàññìîòðåíû, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ñëó÷àÿ îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [6, 7].  ðàáîòå [8] èññëåäîâàíà çàäà÷à ðàçìåùå-
íèÿ íåôòÿíûõ ñêâàæèí è óïðàâëåíèÿ èõ äåáèòàìè.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ïîëó÷åíû
êîíñòðóêòèâíûå àíàëèòè÷åñêèå ôîðìóëû äëÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà â çàäà÷àõ
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñîñðåäîòî÷åííûìè óïðàâëÿþùèìè âîçäåéñòâèÿìè,
ìîùíîñòè êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò êëàññó èìïóëüñíûõ è õåâèñàéäîâñêèõ ôóíêöèé.
Ýòè ôîðìóëû ïîçâîëÿþò äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è èñïîëüçîâàòü
èçâåñòíûå ýôôåêòèâíûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà [9].
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà
J u x T U x dx( ) [ ( , ; ) ( )] ( )� � � � �� � ��1
2
2
�
� (1)
ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîñòîÿíèå óïðàâëÿåìîãî îáúåêòà îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé
êðàåâîé çàäà÷åé îòíîñèòåëüíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:
u x u x t t b x t xt i i
i
i
L
� � �
�
�div grad( ( ) ( , )) ( ) ( , ) ( )� � � �
1
, x E n
� , 0� �t T , (2)
u x x( , ) ( )0 � � , x � , (3)
u x t x t
x
( , ) ( , )
�
� , 0� �t T ,
�� � . (4)
Çäåñü u u x t u x t� �( , ) ( , ; )� — ôàçîâîå ñîñòîÿíèå îáúåêòà, îïðåäåëÿåìîå èç ðå-
øåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (2)–(4) ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì äîïóñòèìîì çíà÷åíèè
îïòèìèçèðóåìîé óïðàâëÿþùåé âåêòîð-ôóíêöèè ìîùíîñòè èñòî÷íèêîâ �( )t �
� ( ( ), ...., ( ))� �1 t tL , ðàçìåùåííûõ â òî÷êàõ � � �i i
n
i� � � ( )
1
� � , i L�1, ..., ; L —
çàäàííîå ÷èñëî óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé (èñòî÷íèêîâ); �( )x , �1 ( )t , �2 ( )t ,
b x t b x tL1 ( , ), ..., ( , ) , U x( ), �( )� , �1 0� , � 2 0� , � � 0 , l� 0 , T � 0 — çàäàííûå
ôóíêöèè è âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùèå èññëåäóåìûé ïðîöåññ è êðèòåðèé óïðàâëåíèÿ
èì; � � � �( ) ( ) ( ) ( )x x x xn� � � �1 2 � , �( )xi — îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ Äèðàêà [2, 10, 11].
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ó÷àñòâóþùèå â çàäà÷å (1)–(4) ôóíêöèè è ïàðàìåòðû
óäîâëåòâîðÿþò âñåì óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ
êðàåâîé çàäà÷è.
Íèæå èññëåäóåòñÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (1)–(4) íà ñëåäóþùèõ
äâóõ êëàññàõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé.
1. Óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ èç êëàññà èìïóëüñíûõ óïðàâëåíèé. Óïðàâ-
ëÿþùàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ
� � i ij
j
m
ijt q t
i
( ) ( )� �
�
�
1
, M mi
i
L
�
�
�
1
, i L�1, .., , (5)
îïðåäåëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì âåêòîðîì � � ( , ) ,q E LM2 â êîòîðîì qij — çíà-
÷åíèå èìïóëüñíîé ìîùíîñòè i-ãî èñòî÷íèêà â ìîìåíò âðåìåíè ij , j mi�1, ..., ,
i L�1, ..., ; mi — çàäàííîå ÷èñëî èìïóëüñíûõ âîçäåéñòâèé i-ãî èñòî÷íèêà, ò.å.
� � � � � � � �( , , , , ..., )q q q qm Lm m LmL L11 12 1 11 12 11 1
� � � . (6)
Ïóñòü èìåþòñÿ ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû:
q Qij
j
m
j
L i
2
11 ��
�� � , q q q
i ij i� � , 0 1� � � ��
�ij i j , (7)
ij iT j m i L � �[ , ], , ..., , , ...,0 1 1 ,
ãäå Q q q
j j, , , ,
� çàäàíû.
180 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì (1)–(7) çàêëþ÷àåòñÿ êàê â îïòè-
ìèçàöèè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ èñòî÷íèêîâ, îïðåäåëÿåìûõ âåêòîðîì � � ( , )q , òàê
è ñàìèõ êîîðäèíàò ðàçìåùåíèÿ èñòî÷íèêîâ � �1� ��
L â îáëàñòè � .
2. Óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ èç êëàññà ôóíêöèé Õåâèñàéäà. Â ýòîì ñëó-
÷àå óïðàâëÿþùèå ôóíêöèè
� � i i it q t i L( ) ( ), , ...,� � �1 , (8)
ãäå
�
( )
, ,
, ,
t
t
t
i
i
i
� �
�
�
�
�
�
0
1
ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Õåâèñàéäà, îïðåäåëÿþòñÿ êîíå÷íîìåðíûì âåêòîðîì
� � � � � � � ( , ) ( , )q q q EL L
L
1 1
2
� � , (9)
i-é êîìïîíåíò êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ìîùíîñòüþ i-ãî èñòî÷íèêà � i iq� , íà÷èíàþ-
ùåãî ñâîå âëèÿíèå â ìîìåíò âðåìåíè � L i i� � , i L�1, ..., . Ïóñòü èìåþòñÿ îã-
ðàíè÷åíèÿ íà óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû
q q q T i L
i i i i� � � � �, , ,... ,0 1 . (10)
Çäåñü q q L Q
i i
, , , çàäàíû. Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé êîìïîíåíò óïðàâëÿþùåé
âåêòîð-ôóíêöèè (óïðàâëåíèÿ) �( )t ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé
ñ îäíèì ïåðåêëþ÷åíèåì çíà÷åíèÿ è îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì ( , )q , êîìïîíåíòà-
ìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ i — âðåìÿ âêëþ÷åíèÿ âîçäåéñòâèÿ è âåëè÷èíà qi , ò.å.
� � i i i it t q( ) ( ; , )� , i L�1, ..., [7].
Çàäà÷è (1)–(7) è (1)–(4), (8)–(10), ñ îäíîé ñòîðîíû, ìîæíî îòíåñòè ê êëàññó ïà-
ðàìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, ñ äðóãîé — îíè ÿâëÿþòñÿ çàäà÷àìè
êîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè; äëÿ âû÷èñëåíèÿ åå öåëåâîé ôóíêöèè (1) ïðè çàäàííûõ
çíà÷åíèÿõ êîíå÷íîìåðíîãî âåêòîðà ( , )q òðåáóåòñÿ ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó (2)–(4) è
âû÷èñëèòü èíòåãðàë, ó÷àñòâóþùèé â (1). Ðàññìàòðèâàåìûå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû çàäà÷àì îïòèìèçàöèè êîíå÷íîìåðíîé ôóíêöèè J ( )� â çà-
ìêíóòîé äîïóñòèìîé îáëàñòè; ñëåäîâàòåëüíî, îíè èìåþò íåïóñòûå ìíîæåñòâà îïòè-
ìàëüíûõ ðåøåíèé. Ïîñêîëüêó â ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷àõ óïðàâëåíèå èìååò ðàçðû-
âû, òî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (2)–(4) íå ñóùåñòâóåò.
Ïîä îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (2)–(4), ñîîòâåòñòâóþùèì óïðàâëå-
íèþ �( )t èç ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H L T� 2 0([ , ]) , áóäåì ïîíèìàòü ôóíêöèþ
u x t u x t( , ) ( , ; )� � èç ïðîñòðàíñòâà L T2 0( [ , ])�� , óäîâëåòâîðÿþùóþ èíòåãðàëüíîìó
òîæäåñòâó
u x T x T dx x x dx u xt( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ( ( )
�
�
� �
� �� � �0 div grad )) dxdt
T
�
�� �
0
� � ����
�
� � �( , ) ( ) ( , ) ( )x t t b x t x dxdti i
i
T
i
L
�01
0
äëÿ âñåõ
� �( , ) ( [ , ]),x t H T2 1 0� òàêèõ, ÷òî
�
�
�
( , )x t
n x
0 [11].
ÃÐÀÄÈÅÍÒ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÀ ÏÐÈ ÈÌÏÓËÜÑÍÎÌ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÈ
Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèîíàë (1) äèôôåðåíöèðóåì â H . Äëÿ ýòîãî âûáåðåì ïðîèç-
âîëüíûå äîïóñòèìûå óïðàâëåíèÿ � � �� ( , ; )x t è � � � � � �� � �� �( , ; ) ( , ; )x t x t .
Ïóñòü u x t( , ; )� , u x t( , ; )� �� � — ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì óïðàâëåíèÿì ðåøåíèÿ
êðàåâîé çàäà÷è (2)–(4). Îáîçíà÷èì � �u x t u x t u x t( , ) ( , ; ) ( , ; )� � �� � � . Èç (2)–(4)
ñëåäóåò, ÷òî �u x t( , ) ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è
� � �u x u x t t xt
i i
i
L
� � �
�
�div grad( ( ) ( , )) ( ) ( )� � � �
1
, x �, 0� �t T , (11)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 181
182 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
�u x( , )0 0� , x � , (12)
�
u x t
x
( , )
� 0 , 0� �t T . (13)
Òîãäà ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
� � �
�
J J J u x T U x u x T dx( ) ( ) ( ) [ ( , ; ) ( )] ( , )� � � � � �� � � � � ��2 1
� � � ��� � � � �1
2
2| ( , ) | ( ( ) ( ))� � � �
�
u x T dx .
Ïóñòü
( , )x t — ðåøåíèå ñëåäóþùåé âñïîìîãàòåëüíîé ñîïðÿæåííîé êðàåâîé
çàäà÷è [11, 12]:
�
t x� �div grad( ) 0 , x � , 0� �t T , (14)
�( , ) ( ( , ) ( ))x T u x T U x� �2 1 , x � , (15)
( , )x t
x
�
0, 0� �t T . (16)
Èç (11)–(16) èìååì
2 1�
( ( , ) ( )) ( , ) ( , ) ( , ) (u x T U x u x T dx x T u x T dx
t
� � �
�
�� �� �
� �
�
�
u dt dx
T
)
0
�� �
� � � � ��� �( ) ( ( )( )
�
t t
T
u u dxdt x u u� � � �
� �0
div grad grad )dxdt
T
0
� �
� � ����
�
� � �
�
�
01
T
i i
i
L
ix t b x t t x dxdt( , ) ( , ) ( ) ( )
� � � ��� ���
( )( ) ( , ) ( ,x u u dsdt x t b x t
T T
i� �
�
grad grad
0 0
) ( ) ( )�� � �i
i
L
it x dxdt
�
� �
1
.
Èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ îöåíêó, ïîëó÷åííóþ â [12] äëÿ áîëåå îáùåãî ñëó÷àÿ
óïðàâëåíèé èç êëàññà èçìåðèìûõ ôóíêöèé
| ( , ) | | ( ) |� �
�
u x T dx C t dt
T
2 2
0
� �� � , (17)
ãäå C � 0 — ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò âûáîðà ��, äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöè-
îíàëà (1) èìååì
� �
�
J x t b x t t x dxdti i
i
T
i
L
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )�
� � �� � ����
� 01
� � � �� � � � � �2 2
2� � � �( ) ( ) (| | | | )o . (18)
Èñïîëüçóÿ (18), ïîëó÷àåì ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíûõ
dJ
dqij
( )�
, j mi�1, ..., ,
i L�1, ..., . Ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà, ïîëó÷àåìîãî ëèøü â ðåçóëüòàòå ïðèðàùå-
íèÿ �qij àðãóìåíòà qij âåêòîðà � èç (6), ò.å. � �� � ( , )q E LM0 2 , �q �
� ( , ..., , ..., )0 0�q Eij
ML, ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� �
�
q i ij
T
ij
i
ij
J x t b x t q t x dxdt( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )�
� � �� � ���
0
�
� � � � �� 2 2 2( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q q o q
� � � � �
� � � ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) (i
ij i
i
ij ijb q q q q o� � � �2 2 2 | | | | )�� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 183
Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ íà �qij è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè
�qij � 0 ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî o qij(| | | | ) /� �� � 0 , èìååì ôîðìóëû
dJ
dq
b
qij
i
ij i
i
ij
ij
( )
( , ) ( , )
( )�
� � �
�
� � �
�
�
2
2�
, i L�1, ..., , (19)
îïðåäåëÿþùèå êîìïîíåíòû ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà ïî ìîùíîñòè èìïóëüñíûõ
âîçäåéñòâèé â çàäà÷å (1)–(7).
Òåïåðü ïîëó÷èì ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíûõ
dI
d ij
( )�
, j mi�1, ..., , i L�1, ..., .
Äëÿ ýòîãî ââåäåì ��-ôóíêöèþ [2]:
�
�
�
�
� ( )
/ , [ , ],
, [ , ] ,
x
x
x
� �
�
� �
�
�
�
1
0
(20)
ãäå �� 0 — ìàëûé ïàðàìåòð. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè �, ñòðåìÿùåìñÿ ê íóëþ, ôóíê-
öèÿ �� ( )x ïðèáëèæàåòñÿ ê îáîáùåííîé ôóíêöèè Äèðàêà �( )x . Äàäèì ïàðàìåòðó
ïðèðàùåíèå �
�� . Ýòî ðàâíîçíà÷íî òîìó, ÷òî ��-ôóíêöèÿ ïîëó÷èò ñëåäóþ-
ùåå ïðèðàùåíèå:
�
�
�
��
�
�
�
�
�
( )
, [ , ],
/ , [ , ],
/ ,
x
x
x
x
� �
� � �
� � � �
0
1
1 � � �
�
�
�
�
� [ , ].
�
� �
(21)
Ïðè �
�� ïðèðàùåíèå ��-ôóíêöèè èìååò âèä
�
� �
��
�
�
�
�( )
, [ , ], [ , ],
/ , [ ,x
x x
x� �
� � � � �
� �
0
1
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
],
/ , [ , ] ,1 x
(22)
à ïðè �
�� èìååì
�
� �
��
�
�
�
�( )
, [ , ], [ , ],
/ , [ ,x
x x
x� �
� � � � �
� �
0
1
�
�
],
/ , [ , ].1 x � � �
�
�
�
�
� � �
(23)
Åñëè àðãóìåíò ij âåêòîðà � èç (6) ïîëó÷èë ïðèðàùåíèå � ij , ò.å.
� �� � ( , )0 2
ij
LME , � � � � � ( , ..., )0 0ij
LME� , òî äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèî-
íàëà, èñïîëüçóÿ (16), áóäåì èìåòü
� �
�
��
� � �
ij ij
J x t b x t q t x di i
T
ij
i( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )� � ���
0
xdt �
� � � �� �2 ( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q o . (24)
Ïðè � �ij � , ó÷èòûâàÿ (21), èç (24) èìååì
�
� �
�
�
�
�
ij
ij ij
ij ij
J
q
x t b x t dt
ij
i( ) ( , ) ( , )� �� �
� �
�
�
�
� �
ij
ij ij
x t b x t dt x dxi
i
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( , ) ( , ) ( ) �
� � � � �� �2 ( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q o
� � � �� �
�
q
x t b x t x t b xi
ij i ij i
ij
ij
�
�
�
� �( , ) ( , ) ( , ) ( , t dt x dxi) ( )
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
� � � �� �2 ( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q o . (25)
 ñëó÷àå � �ij � , ó÷èòûâàÿ (23), èìååì
�
� �
�
�
�
�
ij
ij ij
ij ij
J
q
x t b x t dt
ij
i( ) ( , ) ( , )� �� �
� �
�
� �
�
( , ) ( , ) ( )x t b x t dt x dxi
i
ij
ij
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � � � �� �2 ( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q o
� � � �� �
�
q
x t b x t x t b x
ij
ij i ij i
ij
ij
�
�
�
� �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )t dt x dxi
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
� � � �� �2 ( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q o . (26)
Ðàçëàãàÿ ôóíêöèþ
( , ) ( , )x t b x ti â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè t, ïîëó÷àåì
�
�
ij
ij
x t b x t x t b x t dtij i ij i
�
� � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , )]� � � !
"#
$ �
�
�
�
ij
ij
x t b x ti t ij( ( , ) ( , )) �
� $$ � %
&'
�( ( , ) ( , )) ( ) ( ( ,
x t b x t o dt xi tt
ij
ij ij
�
� �
2
2
2
t b x ti
ij
ij) ( , ))
�
�
�
� $ �
�
( ( , ) ( , )) ( )
�
x t b x t oi t
ij
ij
ij
ij�
�
2
2
2
. (27)
Ñ ó÷åòîì (27) â ôîðìóëàõ (25), (26), ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà � ij è ïåðåéäÿ
ê ïðåäåëó � ij � 0, � � 0 , ïîëó÷èì
dJ
d
q b j
ij
ij
i
ij i
i
ij t
ij
( )
( ( , ) ( , ))
( )
,
�
� � �
�
� $ �
�
�
2
�
� �1 1, , ,m i Li . (28)
 ñëó÷àå � �ij � èç (24), ó÷èòûâàÿ (22), èìååì
�
�
�
�
�
�
ij
ij
ij ij
ij
i
J
q
x t b x t dt
ij
i( ) ( , ) ( , )� �� �
�
�
j ij
x t b x t dt x dxi
i
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �( , ) ( , ) ( )
� � � � �� �2 ( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q o
� � � �� �
�
q
x t b x t x t b x t
ij
i i
ij
ij ij
�
� �
�
�
( ( , ) ( , ) ( , ) ( , )) ( )dt x dxi
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
� � � �� �2 ( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q o . (29)
Ðàçëàãàÿ ôóíêöèþ
( , ) ( , )x t b x ti â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè t , ðàçäå-
ëèâ îáå ÷àñòè ôîðìóëû (29) íà � ij è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè � ij � 0, � � 0 ,
ïîëó÷àåì
dJ
d
q
b
ij
i
i
ij ij i
i
ij
( )
lim lim
( , ) ( ,�
� �
�
� �
�
�
�
� �0 0�
�
� �
ij ij
i
ij i
i
ij
ij
b� �
�
�
�
) ( , ) ( , )
�
� �
� �
lim lim
( ( , ) ( , )
�
�
� �
0 0 2�
� � �
ij
i i
ij ij i
i
ij ijb � $ �
�
�
� �
( , ) ( , ))i
ij i
i
ij t
ij
b
�
�
� �
�
�
2
0
2
lim
( , ) ( , )
�
� �
�ij
q qij ij ij
ij
, (30)
îòêóäà ñëåäóåò ñîâïàäåíèå ýòîé ôîðìóëû ñ ôîðìóëîé (28), îïðåäåëÿþùåé
êîìïîíåíòû ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà ïî ìîìåíòàì èìïóëüñíûõ âîçäåéñòâèé
â çàäà÷å (1)–(7).
ÃÐÀÄÈÅÍÒ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÀ ÏÐÈ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÈ ÈÇ ÊËÀÑÑÀ
ÔÓÍÊÖÈÉ ÕÅÂÈÑÀÉÄÀ
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîìïîíåíòîâ ãðàäèåíòà
dJ
dqi
( )�
, i L�1, ..., , ôóíêöèîíàëà çàäà÷è
(1)–(4), (8)–(10) ïðè óïðàâëåíèè èç êëàññà ôóíêöèé Õåâèñàéäà èñïîëüçóåì
184 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
ôîðìóëó ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà (18), ïîëó÷àåìîãî ëèøü çà ñ÷åò äîïóñòè-
ìîãî ïðèðàùåíèÿ �qi àðãóìåíòà qi âåêòîðà � èç (9), ò.å. � �� � ( , )q E L0 2 ,
� �q q Ei
L� ( , ..., , ..., )0 0 :
� �
�
q
T
i i i
i
i
J x t b x t q t x dx dt( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )�
� � �� � � ���
0
� � � � �� 2 ( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q q o q
� � � � ��
� � �
i
T
i
i
i
it b t q q q q o( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) (| |� � � � �2 � | | ). (31)
Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà �qi è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè �qi � 0 ñ ó÷åòîì òîãî,
÷òî o qi( | | | | ) /� �� � 0, áóäåì èìåòü
dJ
dq
t b t
qi
T
i
i
i
i
i
( )
( , ) ( , )
( )�
� � �
�
� � �
�
�� 2
�
, i L�1, ..., . (32)
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíûõ ( ( )) /dJ d i� , i L�1, ..., , àðãóìåíòó
i âåêòîðà (9) äàäèì ïðèðàùåíèå � i , ò.å. � �� � ( , )0 2E L,
� � � � � ( , ..., )0 0i
LE� . Ñíà÷àëà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî � i � 0 . Ýòî ðàâíîçíà÷íî
òîìó, ÷òî ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå
� �
�
� � �
( ) ( ( )) ( )
, [ , ] ,
,
t t t
t
i i i i
i i i� � � � � � �
� �
�
0
1 t i i i �
�
�
� [ , ] . �
(33)
Òîãäà äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà áóäåì èìåòü
� �
�
�
� � �
i
J x t b x t q x t dxdti i
T
i
i( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )� � � ���
0
� � � � � �
�
�� �
�
2 ( ( , ) ( , )) (| | | | ) ( ,� � � �
�
q q o q ti
i
i
i i
) ( , )b t dxdti
i� �
� � � �� �2 ( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q o . (34)
Ïðè � i � 0 ïðèðàùåíèå � � ( )t i� ôóíêöèè Õåâèñàéäà èìååò âèä
�
�
�
�
( )
, [ | | , ] ,
, [ | | , ] .
t
t
t
i
i i i
i i i
� �
� �
�
�
�
�
0
1
(35)
Òîãäà ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:
�
�
�
� �
i
i i
i
J q t b t dxdti
i
i
i( ) ( , ) ( , )
| |
� �
�
� � �2 ( ( , ) ( , )) (| | | | )� � � �q q o� � � .
(36)
 îáîèõ ñëó÷àÿõ, ó÷èòûâàÿ òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè èíòåãðàëà [13], ïðè-
ðàùåíèå ôóíêöèîíàëà áóäåò èìåòü âèä
� � � � � �
� � �
i i
J q t b t qi
i
i
i
t i( ) ( , ) ( , ) | | ( ( , )� � � ��� 2 ( , )) (| | | | )q o �� � ,
ãäå çíàê � ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ � i � 0 , à çíàê � ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ
� i � 0 . Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà � i è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè � i � 0 , íåçàâè-
ñèìî îò çíàêà � i áóäåì èìåòü
�
�
� � �
�
�
�
J
q b
q
i
i
i
i
i i
i
i
i
( )
( , ) ( , )
( , )
, ,...
�
� � �
2 1
�
, L .
(37)
Ñëåäîâàòåëüíî, â ïðîñòðàíñòâå óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ ( , )q E L 2 êîìïîíåíòû
ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà â çàäà÷å (1)–(4), (8)–(10) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (32), (37).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 185
186 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
Çàìå÷àíèå 1.  îáåèõ çàäà÷àõ â ñëó÷àå îïòèìèçàöèè êîîðäèíàò èñòî÷íèêîâ
� �i L� �� ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû ïðîèçâîäíûõ ( ( )) /dI d j
i� � , j n�1, ..., ,
i L�1, ..., . Äëÿ ýòîãî ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ��-ôóíêöèåé (20). Äëÿ ïðèðàùåíèÿ
ôóíêöèîíàëà, ïîëó÷àåìîãî çà ñ÷åò ïðèðàùåíèÿ �� j
i j -é êîîðäèíàòû i -ãî èñòî÷-
íèêà � j
i , èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (18), èìååì
� �
�
� �
�
� � �
j
i
j
iJ x t b x t t x dxdti i j
i
T
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )� ���
0
. (38)
Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íûå îïåðàöèè, êàê ïðè ïîëó÷åíèè âûðàæåíèé êîìïîíåí-
òîâ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà â îáåèõ çàäà÷àõ ïî ïàðàìåòðó , ïîëó÷àåì ôîðìóëû
äëÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèîíàëà ïî êîîðäèíàòàì èñòî÷íèêîâ � �1� ��
L â âèäå
dJ
d
t b t t dt j
j
i j
i
i j
i
x i
T
j
( )
( ( , ) ( , )) ( ) , , ...
�
�
� � �� $ ��
0
1 , , , ...,n i L�1 . (39)
Çàìå÷àíèå 2. Ïðîâåäåííûå âûøå èññëåäîâàíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ êàê íà äðó-
ãèå ïîñòàíîâêè êðàåâûõ çàäà÷ îòíîñèòåëüíî ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, òàê è íà
äðóãèå òèïû óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè.
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ
Ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ïîëó÷åííûõ ôîðìóë ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà
â ðåøåíèè ñëåäóþùèõ ìîäåëüíûõ çàäà÷.
Çàäà÷à 1. Ðàññìîòðèì ïàðàìåòðè÷åñêóþ çàäà÷ó, êîãäà L �1, ò.å. èìååòñÿ
òîëüêî îäíî èìïóëüñíîå âîçäåéñòâèå íà ïðîöåññ. Îïòèìèçèðóåìûìè ïàðàìåòðà-
ìè ÿâëÿþòñÿ ìîùíîñòü, âðåìÿ è êîîðäèíàòà èñòî÷íèêà èìïóëüñíîãî âîçäåé-
ñòâèÿ: � �� ( , , )q :
u u x t q x t x t
u x e
t xx
x
� � � � � � � � �
� �
( ) ( ) ( ), , ,
( , ) ,
� � � 0 1 0 1
0 0 x u t t u t e t
q
t� � � � � �
� � � � � �
�1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 1
1, ( , ) , ( , ) , ,
, ,� 0
1 4 01 3 01 0 5 012 2
0
1
2
,
( ) [ ( , ) ] , ( ) , ( , ) , (J u x dx q� �� � � � � � �� � �0 3 2, ) min.
Òî÷íîå îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå óïðàâëÿþùåãî âåêòîðà íåèçâåñòíî. Çàäà÷à ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ïîëó÷åííûõ âûøå ôîðìóë ðåøàëàñü ÷èñëåííî.  òàáë. 1 ïðèâåäåíû
ñðàâíèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà, ðàññ÷èòàííûå ñ ïðèìåíåíèåì ïîëó-
÷åííûõ â ñòàòüå ôîðìóë è ñ èñïîëüçîâàíèåì öåíòðàëüíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû àïïðîê-
ñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ óïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ( , , )q0 0 0� .
 òàáë. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñ èñïîëüçîâàíè-
åì ìåòîäà ïðîåêöèè ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ çíà÷å-
íèÿõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ � �0 0 0 0� ( , , )q ñ òî÷íîñòüþ îïòèìèçàöèè
� � 0 001, , ãäå q* * *, ,� — ïîëó÷åííûå îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ. Àïïðîêñèìàöèÿ
êðàåâîé çàäà÷è ïðîâîäèëàñü ñ èñïîëüçîâàíèåì íåÿâíîé ñõåìû ìåòîäà ñåòîê ñ ïî-
Ò à á ë è ö à 1
Íîìåð
ýêñïåðèìåíòà
Çíà÷åíèÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà
Îïòèìèçèðóåìûå
ïàðàìåòðû ( , , )q0 0 0�
( , , )$ $ $I I Iq � ïî ðàçíîñòíîé
ñõåìå àïïðîêñèìàöèè
( , , )$ $ $I I Iq � ïî ïîëó÷åííûì
ôîðìóëàì
1 (3; 0,6; 0,1) (0,400; �0,0364; �0,010) (400; �0,0364; �0,009)
2 (6; 0,2; 0,2) (0,600; �0,0559; �0,012) (0,600; �0,0559; �0,0126)
3 (1; 0,2; 0,4) (�0,398; �0,054; 0,0312) (�0,399; �0,054; 0,0312)
ãðåøíîñòüþ O h hx t( )2 � , âêëþ÷àÿ êðàåâûå óñëîâèÿ, ãäå h hx t, — øàãè ñåòêè ñîîò-
âåòñòâåííî ïî ïåðåìåííûì x è t , h hx t� �0 01 0 01, , , .
Çàäà÷à 2. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:
u u x t q x t x t
u
t xx i
i
i i� � � � � � � � �
�
�( ) ( ) ( ), , ,
(
2 2
1
2
0 1 0 1� � �
x e x u t t u t e tx t
i
, ) , , ( , ) , ( , ) , ,
,
0 0 1 0 1 1 0 1
0 1
1� � � � � � � �
� �
�
� 0 1 0 10 1 2
1 4 01 32
1
� � � � �
� � � �
�
i iq i
J u x dx q
, , , ,
( ) [ ( , ) ] , [( )2
2
2
0
1
1
2
2
2
1
4
01 0 5 0 8 01 0
� � �
� � � � � �
� ( ) ]
, [( , ) ( , ) ] , [( ,
q
� � 3 0 52
2
2) ( , ) ] min.� � �
Çäåñü L � 2 . Òî÷íîå îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå óïðàâëÿþùåãî âåêòîðà íåèçâåñòíî.
Çàäà÷à ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëó÷åííûõ âûøå ôîðìóë ðåøàëàñü ÷èñëåííî.
 òàáë. 3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì
ìåòîäà ïðîåêöèè ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ äëÿ ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé
óïðàâëÿþùåãî âåêòîðà � �0 0 0 0� ( , , )q ïðè òî÷íîñòè îïòèìèçàöèè � � 0 001, .
Àïïðîêñèìàöèÿ êðàåâîé çàäà÷è ïðîèçâîäèëàñü òàê æå, êàê è â çàäà÷å 1.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå èññëåäîâàíî ÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñèñ-
òåìàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, â êîòîðûõ óïðàâëÿþùèìè âîçäåé-
ñòâèÿìè ÿâëÿþòñÿ ñîñðåäîòî÷åííûå èñòî÷íèêè, ìîùíîñòè êîòîðûõ îïðåäåëÿ-
þòñÿ êëàññàìè èìïóëüñíûõ è õåâèñàéäîâñêèõ ôóíêöèé.
Îïòèìèçèðóåìûìè ÿâëÿþòñÿ êàê ìîùíîñòè è âðåìåíà âîçäåéñòâèÿ, òàê è
ìåñòà ðàçìåùåíèÿ èñòî÷íèêîâ. Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíòîâ ãðàäèåíòà
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 187
Ò à á ë è ö à 3
Íîìåð
ýêñïåðèìåíòà
×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è 2
( , , )q0 0 0� ( , , )
* * *
q � J 0 J
*
×èñëî
èòåðàöèé
1
(1; 0,2; 0,4) (3,026; 0,491; 0,258) 3,1177 2,5735 11
(3; 0,2; 0,3) (4,008; 0,860; 0,299)
2
(2; 0,4; 0,74) (3,00; 0,486; 0,260) 3,3466 2,5727 12
(6; 0,6; 0,6) (3,985; 0,888; 0,369)
3
(2; 0,3; 0,2) (2,998; 0,488; 0,259) 2,68673 2,5729 36
(4; 0,5; 0,3) (3,99; 0,911; 0,359)
4
(1; 0.5; 0,2) (2,998; 0,488; 0,259) 3,3933 2,5728 15
(2; 0,5; 0,1) (3,996; 0,910; 0,367)
Ò à á ë è ö à 2
Íîìåð
ýêñïåðèìåíòà
×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è 1
( , , )q0 0 0� ( , , )
* * *
q � J 0 J
*
×èñëî
èòåðàöèé
1 (3; 0,6; 0,1) (2,995; 0,479; 0,219) 2,973 2,568 9
2 (6; 0,2; 0,2) (2,998; 0,490; 0,229) 3,477 2,568 4
3 (1; 0,2; 0,4) (3,00; 0,494; 0,219) 2,978 2,568 3
ôóíêöèîíàëà ïî îïòèìèçèðóåìûì ïàðàìåòðàì. Ôîðìóëû ïîçâîëÿþò èñïîëüçî-
âàòü äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ýôôåêòèâíûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè ïåðâîãî
ïîðÿäêà. Ðàññìîòðåííûé â ðàáîòå ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíå-
íèåì, íî íåñëîæíî îïðåäåëèòü àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ äðóãèõ òèïîâ äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïðè îïòèìèçàöèè ðàçìå-
ùåíèÿ òåõíîëîãè÷åñêèõ îáúåêòîâ, ïðè ïðîåêòèðîâàíèè íåôòåãàçîäîáûâàþùèõ
ìåñòîðîæäåíèé, îáðàòíûõ çàäà÷ ýêîëîãèè è â äðóãèõ ïðîáëåìàõ.
Àâòîð âûðàæàåò èñêðåííþþ áëàãîäàðíîñòü ïðîôåññîðó Ê.Ð. Àéäà-çàäå çà
öåííûå ñîâåòû è âíèìàíèå ê ðàáîòå.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á ó ò ê î â ñ ê è é À . Ã . , Ï ó ñ ò û ë ü í è ê î â Ë . Ì . Òåîðèÿ ïîäâèæíîãî óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ
ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. — Ì.: Íàóêà, 1980. — 384 ñ.
2. Ä û õ ò à  . À . Îïòèìèçàöèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ðàçðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè è èìïóëüñíûìè
óïðàâëåíèÿìè // Ñîðîñîâñêèé îáðàçîâàòåëüíûé æóðíàë. — 1999. — ¹ 8. — C. 110–115.
3. Ì è ë ë å ð Á . Ì . Óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â çàäà÷àõ îáîáùåííîãî óïðàâëåíèÿ. I. Íåîáõîäèìûå
óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè. II. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. —
1992. — ¹ 3. — C. 50–58; — 1992. — ¹ 4. — C. 39–48.
4. Ì è ë ë å ð Á . Ì . , Ð ó á è í î â è ÷ Å . ß . Îïòèìèçàöèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ èìïóëüñíûìè
óïðàâëåíèÿìè. — Ì.: Íàóêà, 2005. — 430 ñ.
5. Ê î ë î ê î ë ü í è ê î â à Ã . À . Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà îïòèìàëüíîñòè îñîáûõ
è èìïóëüñíûõ ðåæèìîâ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1990. — ¹ 6. — Ñ. 48–57.
6. À é ä à - ç à ä å Ê . Ð . , À ø ð à ô î â à Å . Ð . Óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè íà
ñïåöèàëüíûõ êëàññàõ óïðàâëÿþùèõ ôóíêöèé // Àâòîìàòèêà è âû÷èñë. òåõíèêà. — 2009. — ¹ 3. — C. 47–56.
7. À é ä à - ç à ä å Ê . Ð . , Ð à ã è ì î â À . Á . Î ðåøåíèè çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ íà êëàññå
êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé // Òàì æå. — 2007. — ¹ 1. — C. 27–36.
8. À é ä à - ç à ä å Ê . Ð . , Á à ã è ð î â À . à . Î çàäà÷å ðàçìåùåíèÿ íåôòÿíûõ ñêâàæèí è óïðàâëåíèÿ èõ
äåáèòàìè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2006. — ¹ 1. — C. 52–61.
9. Å â ò ó ø å í ê î Þ . Ã . Ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ è èõ ïðèìåíåíèå â ñèñòåìàõ
îïòèìèçàöèè. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 432 ñ.
10. Ò è õ î í î â À . Í . , Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì.: Íàóêà, 1966. – 724 ñ.
11. Ë è î í ñ Æ . - Ë . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè, îïèñûâàåìûìè óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñòíûìè
ïðîèçâîäíûìè. — Ì.: Ìèð, 1972. — 416 ñ.
12. Â à ñ è ë ü å â Ô . Ï . Ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1981. — 400 ñ.
13. Ô è õ ò å í ã î ë ü ö à . Ì . Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. — Ò. 2. —
Ì.: Íàóêà, 1970. — 800 ñ.
Ïîñòóïèëà 19.01.2011
188 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84152 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T18:13:50Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ашрафова, Е.Р. 2015-07-03T10:18:31Z 2015-07-03T10:18:31Z 2012 Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций / Е.Р. Ашрафова // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 179-188. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84152 519.6 Розглянуто задачі оптимального керування системами з розподіленими параметрами, в яких керування являє собою зосереджені джерела, а відповідні керуючі функції належать до таких класів функцій, як імпульсні та Хевісайда. Досліджено задачі оптимизації як потужності і часу впливу імпульсних керувань і керувань із класу функцій Хевісайда, так і місць розміщення самих зосереджених джерел. Отримано аналітичні формули для градієнта функціоналу розглянутих задач, які дозволяють використовувати для розв’язання задачі числові методи оптимізації першого порядку. Optimal control problems for distributed-parameter systems with controls being concentrated sources and control functions belonging to such classes as impulsive and Heaviside functions are considered. Optimization problems both for the intensity and period of impulsive and Heaviside controls and for arrangement of these sources are solved. Analytical formulas for the gradient of the functional of the problems are obtained. They allow using numerical first-order optimization methods to solve the problems. Автор выражает искреннюю благодарность профессору К.Р. Айда-заде за ценные советы и внимание к работе. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций Оптимальне керування зосередженими джерелами в системах з розподіленими параметрами на класах імпульсних і хевісайдівських функцій Optimal control of lumped sources in distributed-parameter systems on classes of impulsive and Heaviside functions Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций Ашрафова, Е.Р. Системный анализ |
| title | Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций |
| title_alt | Оптимальне керування зосередженими джерелами в системах з розподіленими параметрами на класах імпульсних і хевісайдівських функцій Optimal control of lumped sources in distributed-parameter systems on classes of impulsive and Heaviside functions |
| title_full | Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций |
| title_fullStr | Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций |
| title_full_unstemmed | Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций |
| title_short | Оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций |
| title_sort | оптимальное управление сосредоточенными источниками в системах с распределенными параметрами на классах импульсных и хевисайдовских функций |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84152 |
| work_keys_str_mv | AT ašrafovaer optimalʹnoeupravleniesosredotočennymiistočnikamivsistemahsraspredelennymiparametraminaklassahimpulʹsnyhihevisaidovskihfunkcii AT ašrafovaer optimalʹnekeruvannâzoseredženimidžerelamivsistemahzrozpodílenimiparametraminaklasahímpulʹsnihíhevísaidívsʹkihfunkcíi AT ašrafovaer optimalcontroloflumpedsourcesindistributedparametersystemsonclassesofimpulsiveandheavisidefunctions |