О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями
Використано метод малого параметра, поняття усередненої системи для дослідження асимптотичної стійкості в середньому квадратичному вихідної системи стохастичних диференціальних рівнянь. Розглянуто стійкість системи при постійно діючих збуреннях. Доказано, що метод малого параметра можна застосовуват...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84159 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями / В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 45-61. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859667376166928384 |
|---|---|
| author | Ясинский, В.К. Малык, И.В. |
| author_facet | Ясинский, В.К. Малык, И.В. |
| citation_txt | О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями / В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 45-61. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Використано метод малого параметра, поняття усередненої системи для дослідження асимптотичної стійкості в середньому квадратичному вихідної системи стохастичних диференціальних рівнянь. Розглянуто стійкість системи при постійно діючих збуреннях. Доказано, що метод малого параметра можна застосовувати до стохастичних диференціальних рівнянь з розривними траєкторіями, тобто, стохастичний диференціал залежить від інтеграла Пуассона.
The small-parameter method and the notion of averaged system are used to analyze the asymptotic stability in the mean square of the original system of stochastic differential equations. The stability of a system with continutous perturbations is considered.
|
| first_indexed | 2025-11-30T12:05:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.217; 519.718; 519.837
Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ, È.Â. ÌÀËÛÊ
Î ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎÑÒÈ ÏÎ ÏÀÐÀÌÅÒÐÓ ÐÅØÅÍÈÉ
ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ
ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÑÊÈÌÈ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ñèñòåìà ñ ïîñëå-
äåéñòâèåì, ïóàññîíîâñêîå âîçìóùåíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàþùèìè ñâÿçÿìè è ñ ïîñëåäåéñòâèåì èñïîëüçóþòñÿ âî
ìíîãèõ îáëàñòÿõ ñîâðåìåííîé íàóêè è òåõíèêè [9, 13, 15–22, 24]. Íàïðèìåð,
â ñèñòåìàõ àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ çàïàçäûâàíèåì ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæó-
òîê âðåìåíè, êîòîðûé íåîáõîäèì ñèñòåìå äëÿ ðåàãèðîâàíèÿ íà âõîäíîé ñèã-
íàë. Ïðîöåññ ãîðåíèå òîïëèâà â æèäêîñòíûõ ðàêåòíûõ äâèãàòåëÿõ òàêæå ñî-
äåðæèò ñóùåñòâåííîå çàïàçäûâàíèå. Ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì èëè ïîñëåäåé-
ñòâèåì ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ òàêæå â ýëåêòðîðàäèîñâÿçè, ðàäèîëîêàöèè,
ðàäèîíàâèãàöèè. Çäåñü çàïàçäûâàíèå îáóñëîâëåíî êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ äâè-
æåíèÿ íîñèòåëåé ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, à òàêæå íàëè÷èåì íåêîòîðîãî âðåìåíè
äëÿ ïðîõîæäåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûìè âîëíàìè çíà÷èòåëüíûõ ðàññòîÿíèé.  íèç-
êî÷àñòîòíûõ óñòðîéñòâàõ çàïàçäûâàíèåì îáû÷íî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, à â âûñîêî-
÷àñòîòíûõ óñòðîéñòâàõ, ãäå âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ óæå ñðàâíèâàåòñÿ ñ ïåðåõîäîì
êîëåáàíèé, ïðåíåáðå÷ü ýòèì çàïàçäûâàíèåì íåâîçìîæíî. Ñèñòåìû ñ çàïàçäû-
âàíèåì îïèñûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ îòêëîíÿþùèìñÿ àð-
ãóìåíòîì [1, 9, 10, 13], à ñèñòåìû ñ ïîñëåäåéñòâèåì îïèñûâàþòñÿ äèôôå-
ðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûìè óðàâíåíèÿìè [12, 17, 19, 24]. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ
äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàçðàáîòàíà ëèøü òåîðèÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé [1, 10], à äëÿ
íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òåîðèÿ íàõîäèòñÿ â çàâåðøàþùèé ñòàäèè [18, 19, 24]. Îäíà-
êî äëÿ ñïåöèàëüíîãî êëàññà íåëèíåéíûõ (êâàçèëèíåéíûõ) óðàâíåíèé ðàçðàáîòàí
ìåòîä ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî [9, 10, 12, 20]. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ
êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ, îïèñûâàåìûõ êâàçèëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè, ðàçðàáî-
òàí ðÿä ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ — ìåòîäîâ ìàëîãî ïàðàìåòðà [11, 13, 19].
Ñ óâåëè÷åíèåì ïîòðåáíîñòåé â îáëàñòè ðàäèîôèçèêè, ýëåêòðîíèêè, àâòîìà-
òè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ, ýêîíîìèêè, òåîðèè ñòðàõîâàíèÿ è ò.ä. âîçíèêëà íåîá-
õîäèìîñòü ó÷èòûâàòü âîçäåéñòâèÿ ðàçëè÷íîãî ðîäà ñëó÷àéíûõ ñèë íà äèíàìè-
÷åñêèå ñèñòåìû [4, 8–10, 18–20, 23–27].
Òàêèå ïðîáëåìû, êàê ñîçäàíèå âûñîêî÷àñòîòíûõ ãåíåðàòîðîâ, îáíàðóæåíèå
ñëàáûõ ñèãíàëîâ íà ôîíå «øóìà», ïîâûøåíèå òî÷íîñòè èçìåðåíèé, êîñìè÷åñêàÿ
ñâÿçü è ò.ä. ïðèâåëè ê ïîòðåáíîñòè ó÷åòà ôëóêòóàöèîííûõ ÿâëåíèé ñ âîçäåéñòâè-
åì ñëó÷àéíûõ òîë÷êîâ èçâíå [16, 20]. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî èçó÷àòü ñâîéñòâà ðå-
øåíèé óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè, òàê íàçûâàåìûå ñòîõàñòè÷åñêèå
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ïåðâûå ðåçóëüòàòû â ýòîé îáëàñòè ïðèíàäëåæàò
Ñ.Í. Áåðíøòåéíó è Í.Í. Êðûëîâó, à îñíîâíûå ðåçóëüòàòû â ýòîé òåîðèè áûëè
ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ È.È. Ãèõìàíà, À.Â. Ñêîðîõîäà [4, 11, 14]. Ïðîäîëæåíèåì
ýòîé òåîðèè ÿâëÿþòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûå,
ñòîõàñòè÷åñêèå èíòåãðî-ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ Âîëüòåððû [4, 9, 14, 18–25].
Âàæíûì äëÿ áîëüøèíñòâà ðàäèîòåõíè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ ëàìïîâûå ãå-
íåðàòîðû ðàçëè÷íîé ìîäèôèêàöèè [13, 15, 16], à ñëåäîâàòåëüíî, èõ èçó÷åíèå
ïðåäñòàâëÿåò êàê òåîðåòè÷åñêèé, òàê è ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 45
© Â.Ê. ßñèíñêèé, È.Â. Ìàëûê, 2012
Ëàìïîâûå ãåíåðàòîðû (ËÃ) ÿâëÿþòñÿ íåîòúåìëåìûì óçëîì ïåðåäàþùèõ ðà-
äèîñòàíöèé è ðàäèîïðèåìíèêîâ, íåîáõîäèìîé ÷àñòüþ àïïàðàòóðû ëþáîé âûñî-
êî÷àñòîòíîé ñèñòåìû äàëüíåé êîñìè÷åñêîé ñâÿçè. Ëà øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ
â ïðèáîðàõ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ íàëàæèâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ óñòðîéñòâ, à òàê-
æå äëÿ ñîçäàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé, èñïîëüçóåìûõ â ãåîôèçè÷åñêîé ðàç-
âåäêå. Ïîìèìî ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ, Ëà ïðèìåíÿþòñÿ â ïðîìûøëåííûõ
óñòðîéñòâàõ äëÿ âûñîêî÷àñòîòíîãî íàãðåâà.  ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ
ïîâûøàåòñÿ èíòåðåñ ê ËÃ ñ çàäåðæêîé ñèãíàëà â öåïè îáðàòíîé ñâÿçè.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èçó÷åíû êîëåáàíèÿ â êâàçèëèíåéíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ
äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèÿõ (ÑÄÔÓ) ñ âèíåðîâñêèìè è ïóàñ-
ñîíîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè.
Ïóñòü ñèñòåìà ñ ïîñëåäåéñòâèåì òàêîâà, ÷òî ÷ëåíû ñ çàïàçäûâàíèåì íå
ìàëû, ò.å. íå ïðîïîðöèîíàëüíû ìàëîìó ïàðàìåòðó � � 0 . Ó÷åò ýòèõ ÷ëåíîâ ïðè-
âîäèò ê ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé
â ñòàíäàðòíîé ôîðìå. Òàêîå ÄÓ ïîëó÷àåòñÿ ïðè èññëåäîâàíèé ðàáîòû Ëà ñ çàïàç-
äûâàþùåé îáðàáîòêîé ñâÿçüþ â ñëó÷àå MS RC�� [13, 15, 16].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàçðàáîòàí ïðèáëèæåííûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ äëÿ òà-
êèõ ÑÄÔÓ, à òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ ÑÄÔÓ ñ âèíåðîâñêèìè è ïóàññîâñêèìè âîç-
ìóùåíèÿìè, äëÿ êîòîðûõ äîêàçûâàåòñÿ ôàêò íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè îò ïàðà-
ìåòðà, àíàëîãè÷íî êàê è äëÿ ÑÄÓ áåç ïîñëåäåéñòâèÿ [4].
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü ñëó÷àéíûé ïðîöåññ x t x t
n
( ) ( , ): [ , )� � � �� 0 � � çàäàí íà âåðîÿòíî-
ñòíîì áàçèñå ( , , , )� � � � , �� { , }�
t
t 0 — ôèëüòðàöèÿ, ñòîõàñòè÷åñêèì äèô-
ôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì ñ ïóàññîíîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè
(ÑÄÔÓÏÂ)
dx t m t x dt t x dw t t x u v dt
t t t
( ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , , )
~
( ,�
� � � � � du
U
)
�
(1)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
x t t t( ) ( );� �
� � 0 . (2)
Çäåñü { ( ), } ([ , ])x x t S
t
�
�
� �� � � �0 0 — ïðîñòðàíñòâî Ñêîðîõîäà íåïðå-
ðûâíûõ ñïðàâà ôóíêöèé, êîòîðûå èìåþò ëåâîñòîðîííèå ïðåäåëû [2, 4, 7, 26].
 äàëüíåéøåì îáîçíà÷èì S
n
([ , ], )�� 0 � ïðîñòðàíñòâî, ïîëó÷åííîå êàê n-êðàò-
íîå ïðîèçâåäåíèå S ([ , ])�� 0 íà ñåáÿ, à çíà÷èò x S
t
n
� �([ , ], )� 0 � . Îáîçíà÷èì
�
t
/
�-àëãåáðó, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé èçìåðèìû âèíåðîâñêèé ïðîöåññ
w t w t( ) ( , )� � ñ íóëåâûì ñíîñîì è åäèíè÷íûì ïàðàìåòðîì äèôôóçèè è öåíòðè-
ðîâàííàÿ ïóàññîíîâñêàÿ ìåðà
~
( , )
~
( , , ) ( , , ) ( )v dt du v dt du v dt du dt du� � �� � � [4]
òàêèå, ÷òî:
1) � �
t t1 2
/ /
� äëÿ t t1 2 ;
2) ïðèðàùåíèå w t w s( , ) ( �, )� �� íå çàâèñèò îò �
s1
/
; ïðèðàùåíèå
~
( , , )
~
( , , )v t A v s A� �� íå çàâèñèò îò �
s
l
1
� , åñëè t s s 1.
Òîãäà { , }�
t
t 0 — ïîòîê �-àëãåáð, ïîñòðîåííûé íà �
t
l
��
t
G
/
� è íåêîòîðîé
�-àëãåáðå � , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé w t v t A( ), ( , ) íåçàâèñèìû, à òàêæå âçàèìíî íå-
çàâèñèìû ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì t �
� . Äàëåå çàäàíû ôóíêöèîíàëû ïî
âòîðîìó àðãóìåíòó m t( , , )� � , � �( , , )t � : � �
� � �S
n
([ , ])� 0 , � �( , , , )t u� :
� �
� � � �S U
n
([ , ])� 0 , ãäå �� 0 ÿâëÿåòñÿ ìàëûì ïîëîæèòåëüíûì ïàðàìåòðîì,
êîòîðûé ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè �0 0� .
46 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
 [4, 14, 20] äîêàçàíî, ÷òî ñèëüíîå ðåøåíèå äëÿ ÑÄÔÓÏ (1), (2) � �t T[ , ]0
x t m s x ds s x dw s s x
s
t
s
t
s
( ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , ,�
� �
� � � � �0
0 0
u v ds du
U
t
, )
~
( , )�
��
0
(3)
ñóùåñòâóåò ñ òî÷íîñòüþ äî ñòîõàñòè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè, �
t
èçìåðèìî ïðè ïðè-
âåäåííûõ íèæå óñëîâèÿõ, ãäå u U
m
� � � — m-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî.
Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñåé ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
m t m t t t t t
� � �
� � � � � � �( , ) ( , , ); ( , ) ( , , ); ( , ) ( , , )� � � � � � � � � .
Ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííàÿ ìåðà
r
� íà îòðåçêå [ , ]�� 0 òàêàÿ, ÷òî � t 0 è
�� , � �� �S ([ , ])0 âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
1) | ( , ) ( , )| | ( , ) ( , )| | ( , , ) (m t m t t t t u
� � � � � �
� � � � � � � � ��
�
� t u du
U
, , ) ( )� � ��
� �
�
�
�
� � � �
�
�
( ) ( ) ( )d
r
0
,
ãäå || || {| ( )| }
/
� � �
� �
�
�
sup
0
2 1 2
� , �{}� — îïåðàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ,
ïðè÷åì || || ; || ||� �
r r ;
2) | ( , )| | ( , )| | ( , , )| ( ) ( | (m t t t u du C
U
� � �
� � � � � � �
2 2 2
1
�
� )| ) ( )
2
0
d
r
�
��
�
äëÿ � � �� �S ([ , ])0 , � t 0 ; C — ïîñòîÿííîå;
3) | ( , ) ( , )| ( ) ( | ( )| ) ( )m s m s ds d
t
t
r
�
�
�
� � � � � �
��
�
� �
0
0
1 äëÿ � �t T[ , ]0 ,
T � 0 , �� 0 ;
4) | ( , ) ( , )| | ( , , ) ( , , )| (� � � � � � � �
� �
t t dt t u t u ds
T
�
�
�
0 2
0
0 2
� du
U
t
)
��
0
� �
�
�
� � � �
�
�
( ) ( ( ) ) ( )1
2
0
d
r
,
ãäå � �( ) � 0 ïðè � � 0 , � �� �0 0( ) .
Îòìåòèì, ÷òî èç ï. 1 ñëåäóåò ï. �1:
�1) | ( , ) ( , )| | ( , ) ( , )|m t m t t t
� � � �
� � � � � ��
�
2 2
� �
�
�
�
�
| ( , , ) ( , , )| ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �
�
� �
t u t u du C d
U
r
2
1
2
�
�
0
�
,
ãäå C1 — íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà;
5) || ||�
Ñ , dt du K
U
T
�( )
��
�
0
, ãäå C K, � 0 — ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû è
�( ) { ( , )}du dt v du dt�� — ïàðàìåòð ïóàññîíîâñêîé ìåðû v du dt( , ) [4].
Ïîëó÷èì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñèëüíîå ðåøåíèå ÑÄÔÓÏ (1),
(2) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò ïàðàìåòðà �� 0 ïðè � � 0 .
2. ÊÎÍÅ×ÍÎ-ÐÀÇÍÎÑÒÍÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÑÈËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß ÑÄÔÓÏÂ
 äàëüíåéøåì ðåøåíèå ÑÄÔÓÏ áóäåì ñ÷èòàòü ñèëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è
Êîøè (1), (2) [4, 14, 24].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 47
Àíàëîãè÷íî [19] ââåäåì êîíå÷íî-ðàçíîñòíóþ àïïðîêñèìàöèþ äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷è (1), (2) íà êîíå÷íîì îòðåçêå [ , ],0 0T T � .
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà [ , ]0 T òî÷êàìè 0 0 1� � �t t �
... � �t T
N
, à äëÿ � �
t t t
k k
[ , ]1 , k N� �0 1, , çàïèøåì
y t y t m t y t t t y w t w t
k t k t k
k k
( ) ( ) ( , )( ) ( , )[ ( ) ( )]�
�
�
� �
�
�
�
�
�
( , , )[
~
( , , )
~
( , , )]t y u v t y u v t y u
t t k t
U
k k
. (4)
Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, çàäàííûé âûðàæåíèåì (4), íàçîâåì êîíå÷íî-ðàçíîñòíîé
àïïðîêñèìàöèåé ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (2).
Äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ.
Ëåììà 1. Åñëè � �� �S
n
([ , ], )0 � è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 4 è 5 èç ðàçä. 1, òî
|| ||x C
t
2
1
äëÿ t T�[ , ]0 , ãäå C1 0� — íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôîðìàëüíî çàïèñàííîå ÑÄÔÓÏÂ (1) ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê
èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå
x t m x d x dw x u
t t
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ,�
� �
� � � � � � � �
�
�
�
�
�
�
0
0 0
)( , )
U
t
d du
��
�
0
, (5)
ãäå âòîðîé èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì Èòî, à òðåòèé ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì
ïî ñëó÷àéíîé ïóàññîíîâñêîé ìåðå [4, 6, 7].
Åñëè �
� t 0 , òî x
t
� � îãðàíè÷åíî ïî óñëîâèþ. Êîãäà t � 0 , òî (5) ïåðåïè-
øåì â âèäå
x m x d x dw x
t
t t
�
� �
� � � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ,0
0 0
, )
~
( , )u v d du
Ut
t
��
�
�
. (6)
Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå íåðàâåíñòâî a a
i
i
i
i� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
4
2
1
4
4 , óñëîâèå 2, íåðàâåíñòâî
Êîøè–Áóíÿêîâñêîãî [17], à òàêæå ñâîéñòâà ñòîõàñòè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ Èòî è èí-
òåãðàëà ïî ïóàññîíîâñêîé ìåðîé [3], ïîëó÷àåì
|| || [| ( )| || ( , ) || || ( , )x m s x ds s x d
t s
t
s
2 2
0
2
4 0
�
� �
�
�
�
w s
t
( )||
0
2
�
�
��
|| ( , , ) ~ ( , )|| ] [ ( )�
�
�
s x u ds du C Ct t K
s
U
t
0
2
4 1 sup
�
�
� � 0
2
0
� {| | } ]x ds
s
t
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî t �[ , ]0 � , ëåãêî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî
|| || || ||x C C x ds
t s
t
2
1
0
�
, (7)
ãäå C
C K
C T
1
1 1
0 1
�
�
�
�
� � �( ) ,
.
ïðè
ïðè
Èç íåðàâåíñòâà (7) ïî ëåììå Ãðîíóîëëó–Áåëëìàíà [1] èìååì
|| ||x C e C e
t
Ct CT2
1 1
, ÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó 1.
Ëåììà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 4 è 5. Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ �� 0
èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî || ||x x C
t t
�
�
�
2
2 .
48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî (6) çàïèøåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèÿ
x x m s x ds s x dw s s x
t t s
t
t
s s
� �
��
�
�
� �
� �
� �( , ) ( , ) ( ) ( , , u ds du
t
t
t
t
)~ ( , )
�
� �
�
� �
��
.
Îòñþäà âûòåêàåò íåðàâåíñòâî
|| || | | ( , ) || || ( , )x x m s x ds s x
t t s
t
t
s
�
��
�
�
� �
�
�
2 2
3 3 dw s
s x u ds du
t
t
s
t
t
( )||
|| ( , , )~ ( , )
�
�
�
� �
�
�
� �
�
2
3 || ( | ( )| ( ))
*
*
2 2
0
3 1
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
�
� �
�
��
�
� x d ds
s r
t
t �
��
�
� �
�
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
3 1 1
2
0
( ) ( | ( )| ( ))
*
K x d d
s r
t
t
�
�
� �
�
�
!
!
"
#
� �
� �
�
� �
�
*
*
*
{| | }C C x ds
s
t
t
1 1
0
2
sup �
!
$
!
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
1 2
1 1
2
1
/
/
{| | }
*
*
�
�
� �
C C x ds
s
t
t
sup�
2
,
ãäå C1 0� — íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà.
Çàìåòèì, ÷òî �
*
— çíà÷åíèå � �� �[ , ]0 , ïðè êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ âåðõíÿÿ
ãðàíü â � ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà. Òîãäà â ñèëó ëåììû 1 ïîëó÷èì îêîí÷àòåëü-
íîå íåðàâåíñòâî
|| ( ) ( ) ||x x C C C
t t
�
�
� � � � �
2 2
1 2 3 ,
åñëè �� 0 äîñòàòî÷íî ìàëî. �
Äàëåå ñ ïîìîùüþ ëåìì 1 è 2 äîêàæåì óòâåðæäåíèå î ñòðåìëåíèè êîíå÷-
íî-ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè (4) äëÿ ðåøåíèÿ ÑÄÔÓÏ (3) ê åãî òî÷íîìó ðåøå-
íèþ, åñëè äëèíà ðàçáèåíèÿ % � � �
�
max ( )
0 1
1 0
t N
i i
t t . Çíà÷èò, ìîæíî óñòàíîâèòü,
÷òî ðåøåíèå ÑÄÔÓÏ (1) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò ïàðàìåòðà �� 0 ïðè � � 0 .
Òåîðåìà 1. Ïóñòü m t
�
( , )� , �
�
( , )t � è �
�
( , , )t u� äèôôåðåíöèðóåìû ïî t è
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ëåìì 1 è 2.
Òîãäà
lim || ||
%�
� �
0
2
0x y
t t
,
ãäå % � �
�
max ( )
0 1
1
t N
i i
t t , x x t
t
�
{| ( )| , }� � � , y x t
t
�
�
{| ( )| , }� � � 0 äëÿ
ôèêñèðîâàííîãî t o�[ , ]� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè � �
t t t
k k
[ , ]1 ìîæíî çàïèñàòü äëÿ îòðåçêîâ ðåøåíèé
x S t t
t
n
� �([ , ], )� � óðàâíåíèÿ (5) è åãî àïïðîêñèìàöèè y S t t
t
n
� �([ , ], )� � , çà-
äàííîé (4), â âèäå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
x x m s x ds s x d
t k s
t
s
t
k k
�
� �
( ( )) ( , ) ( , )
( ) ( )
� � �
�
� �
�
�
� �
�
w s s x u ds du
s
U
t
k
( ) ( , , )~ ( , )
( )
��
�
�
� �
�
;
y y m t y ds t y
t k
t
k
k
�
�
( ( )) ( , ( )) ( ,( )
( )
� � � � � �
�
� �
� �
�
�
�
k
k
t
dw s( )
( )
( )) ( )
�
� �
�
�
�
��
� � �
�
� �
� �
�
( , ( ), )~ ( , ).( )
( )
t y u ds du
k
k
U
t
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 49
Çäåñü â êà÷åñòâå � �
k
( ) âûñòóïàåò ëåâàÿ ãðàíèöà òîãî îòðåçêà [ , ]t t
j j
1 , êîòî-
ðîìó ïðèíàäëåæèò t
� , åñëè t t t
j j
�
[ , ]1 .
Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü
x y x y m s x m t y
t t k k s
k
� � �
�
( ( )) ( ( )) [ ( , ) ( , ( )( )� � � � � �
� �
� �
)]
[ ( , ) ( , ( ))]
( )
( )
� �
�
� �
� �
� �
�
� � � �
k
k
k
t
s
t
ds
s x t y
�
�
�
dw s
s x u t y u ds du
s
k
( )
[ ( , ( ), ) ( , ( ), )~ ( , )( )
�
� � � � �
� �
� �
].
( )U
t
k
��
� �
�
Ïðåäñòàâèì åå â âèäå
x y x y p s p s p s
t t k k
t
k
� � �
( ( )) ( ( )) [ ( ) ( ) ( )]
( )
� � � �
� �
1 2 3
�
�
ds
~
, (8)
ds
~
îçíà÷àåò íàëè÷èå â p s
i
( ) , i �1 3, , ñîîòâåòñòâåííî äèôôåðåíöèàëîâ
ds dw s ds du, ( ), ~ ( , )
, à èìåííî
p s ds m s x m s y ds s x
k k k
1 ( )
~
[ ( , ) ( , )] [ ( ,( ) ( ) (� �
�
� �
�
� �
�
� �
� ) ( )) ( , )] ( )�
�
�
� �
s y dw s
k
�
�
[ ( , , ) ( , , )~ ( , )]( ) ( )� �
�
� �
�
� �
s x u s y u ds du
k k
U
;
p s ds m s x m s x d s x s x
s s
k
2 ( )
~
[ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( ,( )� �
�
� �
� �
�
� � �
� �
k
dw s( ) )] ( )
�
�
[ ( , , ) ( , , )~ ( , )]( )� �
� �
� �
s x u s x u ds du
s
U
k
;
p s ds m s y m t y ds s y
k k k
3 ( )
~
[ ( , ) ( , )] [ ( ,( ) ( )� �
�
� �
�
� �
�
�
� � ( ) ( )) ( , )] ( )
� � �
� ��
t y dw s
k
�
�
[ ( , , ) ( , , )~ ( , )]( ) ( )� � �
�
� �
�
� �
s y u t y u ds du
k k
U
.
Äàëåå îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (8) âîçâåäåì â êâàäðàò è, ïðèìåíÿÿ îïåðàöèþ ìà-
òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîëó÷èì
� �
�
|| || {| ( ( )) ( ( ))| }
| ( ( ))
x y x y
x y
t t k k
k
�
�
�
2 2
2
� � � �
� � ( ( ))| ( ( ) ( ) ( ))
~
( )
� �
� �
�
k
t
p s p s p s ds
k
2
1 2 3�
&
&
&&
&
&
&&
�
��
!
!
"
#
!
$
!
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
� [ ( ) ( ) ( )]
~
( )
p s p s p s ds
k
t
1 2 3
� �
�
. (9)
Ñ ó÷åòîì p s i
i
( ), ,�13, îöåíèì òðè ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (9):
�{| ( ( )) ( ( ))| } || ( ) ( ) ||( ) ( )x y x y
k k
k k
� � � � � �
� � � �
�
�
2 2
,
� | ( ( )) ( ( ))| ( ( ) ( ) ( ))
~
( )
x y p s p s p s ds
k k
t
k
� � � �
� �
� �
2
1 2 3
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
�
&
&
&&
&
&
&&
�
� | ( ( )) ( ( ))| ( )
~
(
( )
x y p s ds p
k k
t
k
� � � �
� �
�
1 2 s ds p s ds
k k
t t
)
~
( )
~
( ) ( )� �
�
� �
�
� �
&
&
&&
&
&
&&
&
&
&&
&
&
&&
�
�
3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
.
Èçâåñòíî [4, 25], ÷òî äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ f t( , )� è f t1 ( , )� , èçìåðè-
ìûõ îòíîñèòåëüíî ôèëüòðàöèè �
t
, èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà
� f t s dw s
t
t
( , ) ( , ) ( , )� � � �1
1
2
0
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
� ;
� f t s u u ds du
Ut
t
1 1
1
2
0( , ) ( , , )~ ( , , )� �
�
��
�
�
!
!
"
#
!
$
!
� .
Òîãäà ìîæíî ïðîâåñòè ñëåäóþùèå îöåíêè äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî ïðàâîé ÷à-
ñòè íåðàâåíñòâà (9):
� | ( ( )) ( ( ))| ( )
~
( )
x y p s ds
k k
t
k
� � � �
� �
�
� �
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
� 1
!
"
#
!
$
!
� �� | ( ( )) ( ( ))| [( ( , ) ( , ))]( ) ( )x y m s x m s y
k k
k k
� � � �
�
� �
�
� �
ds
x y
k
t
k k
� �
�
� � � �
( )
| ( ( )) ( ( ))
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�� | | ( ) ( )| ( )( ) ( )
( )
x y d ds
k k
k
r
t
� � � �
�� �
�
� �
��
�
�
!
!
"
#
�
��
0
� � � �
!
$
!
� �� x y x y d
k k r
k k
( ( )) ( ( )) ( ) ( ) (( ) ( )� � � � � �
�
� � � �
2 2
% )
( )
ds
k
t
�
�
"
#
$
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
��
�� �
� 0
�%Ñ x y
k k
|| ( ) ( ) ||( ) ( )� � � �
� � ; (10)
� | ( ( )) ( ( ))| ( )
~
( )
x y p s ds
k k
t
k
� � � �
� �
�
� �
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
� 2
!
"
#
!
$
!
� � � �� �| ( ( )) ( ( ))| | ( )( ) (x y Ñ x y
k k
k k
� � � � �
� � � �
2
% )
( )
( )
( )| ( )
| ( )
�
�
�
�� �
�
� �
2
0
d ds
Ñ K x
r
t
k
k
�
��
�
�
!
!
� �% � �
"
#
!
$
!
�
��
y d ds
k
k
t
� �
�� �
�
�
�( )
( )
( )| ( )
2
2
0
1
2
�C x y
k k
1
3 2
%
/
( ) ( )|| ( ) ( ) ||
� � � �
� � ; (11)
� | ( ( )) ( ( ))| ( )
~
( )
x y p s ds
k k
t
k
� � � �
� �
�
� �
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
� 3
!
"
#
!
$
!
�
&
&
&
&
� | ( ( )) ( ( ))
( , ( ))( )
x y
dm t y
dt
k k
k
� � � �
�
� �
� %
&
&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
� �
�
k
t
ds
( )
�%
2
1C x y
k k
|| ( ) ( ) ||( ) ( )� � � �
� � . (12)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 51
Ïåðåéäåì ê îöåíêå òðåòüåãî ñëàãàåìîãî íåðàâåíñòâà (9):
� p s p s p s d s
k
t
1 2 3( ) ( ) ( )
~
( )
�
� �
�
� �
3 1
2
2
2
3� � �p s d s p s d s p s d
k k
t t
( )
~
( )
~
( )
~
( ) ( )� �
�
� �
�
s
k
t
� �
�
( )
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
2
,
ãäå
� �p s d s m s x m s y
k
k k
t
1
2
3( )
~
( , ( )) ( , (
( )
( ) ( )
� �
�
�
� �
�
� �
�
�
� �
� �
�
))
( )
ds
k
t
�
'
(
)
)
*
+
,
,
�
�
�
�
� � � � �
�
� �
�
� �
� �
�
( , ( )) ( , ( ))| ( )( ) ( )
( )
s x s y dw s
k k
k
t
!
!
"
#
!
$
!
2
�
�
� | ( , ( ), ) ( , ( ), )|
~
( ,( ) ( )� � � �
�
� �
�
� �
s x u s y u d v ds du
k k
U
)
( )� �
�
k
t
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
2
�
��
3 1
0
2
2( ) | ( ) ( )| ( )
( )
( ) ( )% K x y d
k
k k
t
�
�� �
�
� � � �
� �
� ds
�C K x y
k k
1
2
1% %( ) || ( ) ( ) ||
( ) ( )� �
� �
� � ; (13)
� p s d s K x x
k
k
k
t
2
2
3 1( )
~
( ) || ( ) ( )
( )
( )
( )� �
�
� � �
� �
� �
�
�%
t
C K
�
�
|| ( );
2
1 1% %
-
(14)
� p s d s
k
t
1
2
( )
~
( )� �
�
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
� �
dm t x
dt
ds
d t
k
k
t �
�
� �
�
� �( , ( )) ( ,
*
( )
*
1
2
1 y
dt
dw s
k
k
t
�
� �
�
�( ))
( )
( )
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
2
�
�
!
!
"
#
!
$
!
��
� d t y s u d v ds du
k
k
U
t
�
�
�
� �
�
( , ( ), )
~
( , )
*
( )
3
2
1 1
C K% %
.
( ) . (15)
Îáúåäèíÿÿ ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà (13)–(15) äëÿ îöåíêè òðåòüåãî ñëàãàåìî-
ãî â (9), íåðàâåíñòâà (10)–(12) äëÿ îöåíêè âòîðîãî ñëàãàåìîãî â (9), ïîëó÷àåì
îöåíêó
� || || [ ( )] || ( ) ( ) ||
( ) ( )
x y K C x y
t t
k k
�
�
2 2
1 1% %
/ � �
� �
� �
�( )c c1 1% %
.0 - -
� �
|| ( ) ( ) || ( ) ( )
( ) ( )
x y C K C K
k k
� �
� �
� � 1
3
1 1% % % %
-
.
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
Òàê êàê || ( ) ( ) ||
( ) ( )
x y C
k k
� �
� �
� ��
, òî äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî % � 0 ïîñëåäíåå
íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä
� || || ( ) || ( ) ( ) ||
( ) ( )
x y K C x y C
t t
k k
�
�
2 2
21 % %
.0
� �
� �
� �
-
,
ãäå C2 — ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîíñòàíòà.
Ïîñëå ïåðåõîäà â ýòîì íåðàâåíñòâå ê òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ïî � �� �[ , ]0
îêîí÷àòåëüíî ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ t t t
k k
�
[ , ]1 îöåíêó
|| || ( ) || ( ) ( ) ||* *
/
x y K C x y C
t t
�
�
2 2
2
3 2
1 % %
� �
� � , (16)
ãäå � � �
* *
( )�
k
ñîâïàäàåò ñ íåêîòîðûì t t i N
i k
� �, ,0 1 . Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïî-
ñëåäíèõ íåðàâåíñòâ âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì 1, äèôôåðåíöèðóåìîñòüþ
m t
�
( , )� , �
�
( , )t � è �
�
( , , )t u� ïî t , à òàêæå ëåììàìè 1 è 2.
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (16), êàê ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, ïîëó÷èì äëÿ
� �t t[ , ]0 îêîí÷àòåëüíóþ îöåíêó
|| || ( ) || ( ) ( ) || ( )
/
x y K C x y C K C
t t
�
�
2
0 0
2
2
3 2
1 1% % %� �
l
l
n
K
�
�
0
1% ,
ãäå L t t t t
k
k k
k
k k
� � �
�
�
"
#
$
max( ); min( )1 1 , à K K T L C1 � ( , , ) .
Îòñþäà ïðè % � 0 èìååì óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1.
3. Î ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎÉ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈÉ ÑÄÔÓÏÂ ÎÒ ÌÀËÎÃÎ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀ
Ðàññìîòðèì ìåòîä àíàëèçà ðåøåíèÿ ÑÄÔÓÏÂ (1), îñíîâàííîãî íà çàìåíå ðå-
øåíèÿ (ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà) ýòîãî óðàâíåíèÿ íåêîòîðûì êîíå÷íîìåðíûì
ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì [5].
Óòâåðæäåíèå î áëèçîñòè ýòèõ ïðîöåññîâ íà àñèìïòîòè÷åñêè áîëüøîì èíòåð-
âàëå âðåìåíè îñíîâàíî íà ìåòîäå óñðåäíåíèÿ [19], êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì
óòâåðæäåíèÿ íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ ÑÄÔÓÏ îò ïàðàìåòðà �� 0 .
Ýòî óòâåðæäåíèå â íåêîòîðîì ñëó÷àå ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î íåïðåðûâíîé çàâèñè-
ìîñòè òàêîãî ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðà, õîòÿ ïðè � �� 0 ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íå
èìååò ïðåäåëà. Íàïðèìåð, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
dx
t
xdt x x�
�
�
�
�
�
� �sin ; ( )
�
0 0 (17)
èìååò âèä
x t x
t
( ) exp cos� �
�
�
"
#
$
0 �
�
è ïðè � � 0 îíî ñòðåìèòñÿ ê x0 , ò.å. ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ dx � 0; x x( )0 0� .
Îäíàêî ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (17) íå èìååò ïðåäåëà ïðè � � 0, íî äëÿ
ìàëîãî T � 0
lim sin
� ��
�
�
0
0
0
t
dt
T
.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî «èíòåãðàëüíàÿ íåïðåðûâíîñòü» äëÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì
èìååò îñîáåííîñòü [3].
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1 è óñëîâèÿ 1 è 3 ï. 1.
Òîãäà ðåøåíèå ÑÄÔÓÏÂ (1), (2) íåïðåðûâíî â ñðåäíåì ïî � ïðè � � 0 , ò.å.
lim {| ( )| } lim {| ( , , )| } {| ( , , )
�
�
�
� � �
� �
� �
0
2
0
2
0� � �x t x t x t | }
2
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 53
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçîáüåì îòðåçîê [ , ]0 T òî÷êàìè 0 0 1 2� � � �t t t �
...� � �
�
t t T
n n1 . Òîãäà äëÿ � �
t t t
k k
[ , ]1 , èñõîäÿ èç èíòåãðàëüíîãî óðàâíå-
íèÿ (3), ìîæíî çàïèñàòü äëÿ îòðåçêà ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå
x x m s x ds s x
t k s
t
s
k
� � � �
� �
�
� �
� � � � �( ) ( ( )) ( , ( )) ( , (
( )
�
�
�
� �
�
)) ( )
( )
dw s
k
t
�
��
� �
� �
� �
�
( , ( ))~ ( , )
( )
s x ds du
s
U
t
k
.
Îòñþäà î÷åâèäíî óðàâíåíèå
x x x x m s x m
t t k k s
� � � �
� � � � � � �( ) ( ) ( ( )) ( ( )) [ ( , ( ))� � �
�
0 0 0
( , ( ))]
[ ( , ( )) ( , ( ))
( )
s x ds
s x s x
s
t
s s
k
0
0 0
�
� � � �
� �
�
� �
�
� ] ( ) [ ( , ( )) ( , ( ))]~ ( ,
( )
dw s s x s x ds d
k
t
s s
� �
�
� �
� � � �
�
�
0 0
u
U
t
k
) .
( )
��
� �
�
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèâåäåííûõ íèæå îáîçíà÷åíèé ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü
x x x x p s ds
t t k k
t
k
� �
� �
�
� � � � � �( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( )
~
( )
� � �
0 0
0�
, (18)
ãäå
p ds p s ds
i
i
0
1
4
~
( )
~
�
�
� ,
p s ds m s x m s x ds s x
k
s1
0 0 0 0 0
( )
~
[ ( , ( )) ( , ( ))] [ ( ,
( )
� �
�
�
� � �
�
�
� � �
k
s x dw s
s
( )
( )) ( , ( ))] ( )
0 0 0
�
�
�
[ ( , ( ), ) ( , ( ), )]~ ( , )
( )
� � � �
�
�
0 0 0 0
s x u s x u ds du
k
s
U
;
p s ds m s x m s x ds s x
k
s2
0 0 0 0
( )
~
[ ( , ( )) ( , ( ))] [ ( ,
( )
� �
�
�
�
� � �
�
�
�
� � �
k
s x dw s
s
( )
( )) ( , ( ))] ( )�
0 0
�
�
[ ( , ( ), ) ( , ( ), )]~ ( , )
( )
� � � �
�
�
�
0 0 0
s x u s x u ds du
k
s
U
;
p s ds m s x m s x ds s x
k
s3
0
( )
~
[ ( , ( )) ( , ( ))] [ ( ,
( )
� �
�
�
� � �
�
� � �
�
� �
�
� � �
k
s x dw s
s
( )
( )) ( , ( ))] ( )�
0
�
�
[ ( , ( ), ) ( , ( ), )]~ ( , )
( )
� � � �
�
�
� �
�
s x u s x u ds du
k
s
U
0
;
p s ds m s x m s x ds s x
k
s4 ( )
~
[ ( , ( )) ( , ( ))] [ ( ,
( )
� �
�
�
� � � �
�
� � �
�
� � �
�
� � �
k
s x dw s
s
( )
( )) ( , ( ))] ( )�
�
�
[ ( , ( ), ) ( , ( ), )]~ ( , )
( )
� � � �
�
�
� � �
�
s x u s x u ds du
k
s
U
.
Äàëåå âîçâåäåì â êâàäðàò îáå ÷àñòè ìîäóëåé óðàâíåíèÿ (18) è çàòåì ïðèìå-
íèì îïåðàöèþ �{}� , ñ ó÷åòîì ñâîéñòâà ðàâåíñòâà íóëþ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäà-
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
íèé èíòåãðàëà Èòî è èíòåãðàëà ïî ïóàññîíîâñêîé ìåðå ïîëó÷èì
� �{| ( ) ( )| } {| ( ( )) ( ( ))| }x x x x
t t k k
� �
� � � � � ��
�
0 2 0 2
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
2
0
0� | ( ( )) ( ( ))| ( )
~
( )
x x p s ds
k k
t
k
�
� �
�
� � � ��
!
!
"
#
!
$
!
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
� p s ds
k
t
0
2
( )
~
( )� �
�
. (19)
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (19) îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
|| || {| ( )| }
/
� � �
� �
�
�
sup
0
2 1 2
� ,
�{| ( ( )) ( ( ))| } || ( ) ( ) |
( ) ( )
x x x x
k k
k k
�
� �
�
� �
� � � � � �� � �
0 2 0
|
2
. (20)
Èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 2, ðåçóëüòàòû ëåìì 1 è 2, íåðàâåíñòâî Êîøè-
Áóíÿêîâñêîãî, îöåíèâàåì âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (19):
� | ( ( )) ( ( ))| [ ( , ( )) ( , (
( )
x x m s x m s x
k k s
k
�
� �
� � � � � �� �
0 0 0 0 0
))]
| ( ( )) (
( )
ds
x x
k
t
k
� �
�
�
� � �
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
��
0
k s r
t
x x d ds
k
k
( ))| {| ( ) ( )| ( ) }
( )
( )
� � �
�
� �
�� �
�
2 0 0 2
0
% �
�
��
�
�
!
!
"
#
!
$
!
'
(
)
)
*
+
,
,
�C x x
k k
%
3 2 0 2/
| | ( ( )) ( ( ))| |
�
� � � � ; (21)
� | ( ( )) ( ( ))| [ ( , ( )) ( , (
( )
x x m s x m s x
k k s
k
�
� �
�
� � � � � �� �
0 0 0 0
))]
( )
ds
k
t
� �
�
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�C x x
k k
%| | ( ( )) ( ( ))| |
�
� � � �
0 2
; (22)
� | ( ( )) ( ( ))| [ ( , ( )) ( , (
( )
x x m s x m s x
k k s
k
�
� �
� �
� � � � � �� �
0 0 0
))]
| | ( )
( )
( )
ds
x x
k
k k
t
� �
�
� �
�
�
�
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
( ) ( )
/
( )| | ( ) {( | ( )| ) ( )}
� � �
�
�
� � � �
�
0 2 2 2 1 2
0
1�
�
�
C x d
k
r
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�C x x
k k
� � � � � �
�
( )| | ( ( )) ( ( ))| |
0
; (23)
� | ( ( )) ( ( ))| [ ( , ( )) ( , ( )( )x x m s x m s x
k k s
k
� � � �
� �
� � � � � �� �
0
)]
( )
ds
k
t
� �
�
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�C x x
k k
k k
%
3 2 0 2/
( ) ( )
|| ( ( )) ( ( )) ||
� �
�
� �
� � � � . (24)
Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îò èíòåãðàëîâ Èòî è ïî ïóàñ-
ñîíîâñêîé ìåðå, à òàêæå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé êâàäðàòîâ ýòèõ èíòåãðà-
ëîâ [4, 25], îöåíèì òðåòüå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (19):
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 55
� �p s ds p s ds
k k
t
0
2
14( )
~
( )
~
( )� �
�
�
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
( ) ( )
( )
~
�
�
� �
�t t
p s ds
k
� �
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
&
&
&&
&
2
2�
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
'
(
)
)
)
2
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
� �p s ds p s ds
k k
t
3
2
4( )
~
( )
~
( )� �
�
� ( )�
�t
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
*
+
,
,
,
2
. (25)
Çäåñü äëÿ êàæäîãî èç ÷åòûðåõ ñëàãàåìûõ ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå îöåíêè:
� �p s ds x
k
k
t
1
2
2 1( )
~
( ) {|
( )� �
�
�
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
%
( ) ( )
( )
( ) ( )| } ( )
� � �
�� �
�
� �
�
0 0 2
0
�
�
��
x d ds
k
k
r
t
�
�
C x x C
k k
t
k
( ) || ( ( )) ( ( )) || ( )
( )
1 1
0 2 2
% % %
�
� �
�
� � � � ; (26)
� �p s ds K x
k
t
2
2
2 1( )
~
( ) {|
( )� �
�
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
%
� �
�
� �
�� �
�
� �
�
k k
k
x d ds
r
t
( ) ( )
( )
( ) ( )| } ( )�
�
��
0 2
0
�C K x x
k k
( ) || ( ( )) ( ( )) ||1
0 2
%
�
� � � � ; (27)
� �p s ds x
k
t
3
2
2 1( )
~
( ) ( |
( )� �
�
�
� �
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
k
k
d
x
r( )
( )
( )| ) ( )
( ) ( | (
�
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
0
2 1� �
�
)| )d
r
�
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
0
�
�
� � � � �
� � �
� �
�
�
( )[ ( )] ( | ( )| ) ( ) ( )
( )
K Ñ x d C
k
r
1 1
2
0
1
C2
2
� �( ) , (28)
ãäå Ñ C C K
i i
� ( , ) , i �1 2, ;
� p s ds K x
k
t
4
2
2 1( )
~
( ) | |
( )� �
�
�
�
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
%
k
k
x ds C K
s
t
( )
( )
( ) ( )| | ( )
�
� �
� �
�
� ��
�
2 2
1% % . (29)
Îòìåòèì, ÷òî â íåðàâåíñòâàõ (26)–(29) % � 0 äîñòàòî÷íî ìàëî. Òîãäà
íåðàâåíñòâî (19) ñ ó÷åòîì ïîëó÷åííûõ îöåíîê (20)–(28) ïðèìåò âèä
�{| ( ) ( )| } ( )| | ( ) ( )| |
( )
x x K C x x
t t s
k
�
� �
� �
� � � ��
�
0 2 2
1 %
C3
3 2
[ ( )]
/
% � � ,
ãäå C C K C3 3� ( , ) .
Åñëè ïåðåéòè ê òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ïî � ñëåâà è ñïðàâà, òî ïîëó÷èì äëÿ
� �
t t t
i i
[ , ]1 , i N� 0 1 2, , , ..., , ñëåäóþùóþ îöåíêó:
|| ( ) ( ) || ( ) || ( ) (
* *
( ) ( )
x x K C x x
t t
k k
�
� �
�
� �
� � ��
�
0 2 0
1 % � � �) || ( ( ))
/2
3
3 2
C % . (30)
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
Äàëåå íåðàâåíñòâî (30) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ
i N� 0, , è òîãäà äëÿ � �t T[ , ]0 èìååò ìåñòî îöåíêà
|| ( ) ( ) || ( ) || ( ) ( ) ||x x K C x x C
t t
N� �
� � � ��
�
0 2 1
0 0
0 2
1 % [ ( )]
( ) [ ( )] exp{ }
/
/
%
% % %
3 2
0
1
3 2
1
�
�
�
�
� �
� �K C K c i
i
i
N
K N CT
i
N
1
0
% %
�
� � �
exp{ }
�
K N CT K T L LCT K N CT1 1 1exp{ } exp{ } ( ) exp{ }% � � , (31)
ãäå L — ïîñòîÿííàÿ èç òåîðåìû 1.
Äàëåå ðàçáèåíèå îòðåçêà [ , ]0 T íà ýëåìåíòàðíûå îòðåçêè [ , ]t t
i i
1 âûáåðåì
ââèäó ìàëîñòè ðàçáèåíèÿ % òàêèì, ÷òîáû
KLT CLT% exp{ }
�
2
, (32)
à �� 0 ìîæíî âûáðàòü ââèäó ìàëîñòè � �( ) ïðè � � 0 òàêèì, ÷òîáû
� �
�
( )
exp{ }
2N CT
. (33)
Òîãäà îêîí÷àòåëüíî íåðàâåíñòâî (31) ñ ó÷åòîì îöåíîê (32), (33) ïðèìåò âèä
|| ( ) ( ) ||x x
t t
�
� � ��
0 2
,
÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó 2. �
4. Î ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎÉ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÉ ÑÄÔÓÏÂ
ÎÒ ÌÀËÎÃÎ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀ
Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ëåììû 1, óñëîâèå 1 èíòåãðàëüíîãî íå-
ðàâåíñòâà Ëèïùèöà (ñì. ðàçä. 1), à òàêæå ñëåäóþùèå óñëîâèÿ îòíîñèòåëüíî
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ:
6) [ {| ( , ) ( , )| }] ( )
/
� w t w t� � �� � �0 0
4 1 2
1 ïðè � � 0 ;
7) � �� ~( , , ) ~ ( , , ) (
/
�
�t du t du
U
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
'
(
)
)
*
+
,
,
�
�
0
4
1 2
2 �) � 0 ïðè � � 0 .
Òîãäà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ y t
�
( ) (àïïðîêñèìàöèÿ ÑÄÔÓÏÂ (1), (2)) äëÿ
� �
t t t
i i
[ , ]1 , i N� �0 1 1, , ..., , âèäà
y t y t m t y t t t y w t
k
t
k
t
k k
� � � �
� � �( ) ( ) ( , ( ))( ) ( , ( ))[ (�
�
0 0
, ) ( , )]� ��
w t
k
�
�
� �
�
�
�0
( , ( ), )[~ ( , , ) ~ ( , , )]t y u t du t u
t
k
U
k
(34)
íåïðåðûâåí â ñðåäíåì ïî �� 0 ïðè � � 0 , ò.å. lim || ( ) ( ) ||
�
�
� �
�
� �
0
0
0y y
t t
ðàâíî-
ìåðíî ïî ðàçáèåíèþ îòðåçêà [ , ]0 T ( : 0 0 1 2 1� � � � �
�
t t t t
N
� � �t T
N
) .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî äëÿ îòðåçêîâ
y y t
t
� �
� � � �( ) { ( ), }�
�
0 àïïðîêñèìàöèè (34):
y y y y
m t y
t t k k
k
� �
� �
�
� � � � � �
�
( ) ( ) ( ( )) ( ( ))
[ ( ,
( )
� � �
0 0
0
( )) ( , ( ))]( ( ))
( ,
( )
( )
� � � � � �
� �
� �
� �
�
�
m t y t
t y
k
k
k
0 0
0 �
� � � � � �( ))[ ( , ) ( ( ), )]w t w
k
� �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 57
�
�
� � � � � � � �
� �
0 0
( , ( ))[ ( , ) ( ( ), )]
( )
t y w t w
k
k
�� � �
� �
� � �
� �
�0
( , ( ), )[~ ( , , ) ~ ( ( ), , )]
( )
t y u t du du
k
k
U
k
t y u t du du
k
�
�
�
�� � �
� �
� �
� �
0 0
( , ( ), )[~ ( , , ) ~ ( ( ) , ,
( )
0
0
)] ( ( )) ( ( ))
U
k k
y y
�
� �
�
� � � �
�
�[ ( , ( )) ( , ( ))]( ( )
( ) ( )
m t y m t y t
k k
k
0 0 0
� � � � � � �
� �
�
� �
) ( , ( ))
[ ( , ) ( , )] ( ,
( )
�
�
�
�
� � �
� � � � �
� �
�0
0
0
t y
w t w t t y
k
� �
�
� �
� � � � � � �
� �
k
k
w w
t y
k k( )
( )
( ))[ ( ( ), ) ( ( ), )]
[ ( ,
� �
�
0 0
( )) ( , ( ))][ ( , ) ( ( ), )]
(
( )
� � � � � � � �
�
� �
�
�
�
0
0
0t y w t w
k
k
t y u t du du
k
k
U
� �
�
� �
� �
� � �
� �
�
, ( ), )[~ ( , , ) ~ ( ( ), , )]
( )
�
�� � �
� �
� �
� �
0 0
0( , ( ), )[~ ( , , ) ~ ( ( ), , )]
( )
t y u t du du
k
k
U
�
� (35)
�
�
[ [ ( , ( ), ) ( , ( ), )][~ (
( ) ( )
� � � � � �
� � � �
�0 0 0
t y u t y u t
k k
�
�
� �
� �, , ) ~ ( ( ), , )]]du du
k
U
0 .
Âîçâåäåì îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (35) â êâàäðàò è,
ïðèìåíèâ îïåðàöèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîëó÷èì äëÿ � �
t t t
k k
[ , ]1 ,
k N� �0 1 1, , ..., , íåðàâåíñòâî
� �{| ( ) ( )| } {| ( ( )) ( ( ))| }y y y y
t t k k
� �
� � � � � ��
�
0 2 0 2
2
0
0� {| ( ( )) ( ( ))|} ( )
~
( )
y y p s ds
k k
t
k
�
� �
�
� � � �� �
&
&
&&
&
&
&
� &
&
&
&&
&
&
&&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
�
� p s ds
k
t
0
2
( )
~
( )� �
�
. (36)
Ïóñòü
p t m t y m t y t
k k
1
0 0 0
( ) [ ( , ( )) ( , ( ))](
( ) ( )
�
�
�� � � � �
� �
�
� �
� �
k
( )) ; (37)
p t t y w t w t t
k
2
0 0
0( ) ( , ( ))[ ( , ) ( , )] (
( )
�
�
� � � � � � � �
� �
�
, ( ), )
( )
y u
k
U
� �
�
�
�
�
�
�
[~ ( , , ) ~ ( , , )]
� �
�t du t du 0 ; (38)
p t t y w w
k
k k3
0 0
0( ) ( , ( ))[ ( ( ), ) ( ( ), )]
( )
�
�
� � � � � � � � �
� �
�
( , ( ), )
( )
t y u
k
U
�
�
� �
� �
�
� �[~ ( ( ), , ) ~ ( ( ), , )]
� � �
� �
k k
du du 0 ; (39)
p t t y t y w t
k k
4
0 0 0
( ) [ ( , ( )) ( , ( ))][ (
( ) ( )
�
�
� � � � � �
� � � �
�
� � � �, ) ( ( ), )]�
w
k
0 (40)
�
[ ( , ( ), ) ( , ( ), )][~ (
( ) ( )
� � � � � �
� � � �
�0 0 0
t y u t y u t
k k
� �
� �, , ) ~ ( ( ), , )]du du
k
U
�
�
0 .
Ïðîâåäåì îöåíêè äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåí-
ñòâà (36) ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèÿ p t i
i
( ), ,�1 4 , ðàâåíñòâàìè (37)–(40), êàê ýòî
ñäåëàíî ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2:
58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
�{| ( ( )) ( ( ))| } | | ( ) ( )|
( ) ( )
y y y y
k k
k k
�
� �
�
� �
� � � � � ��
�
0 2 0
|
2
;
�{| ( ( )) ( ( ))| | ( )|} | | ( )
( )
y y p t C y y
k k
k k
�
� �
�
�
� � � � ��
�
0
1 %
( )
( )| |
�
�
0 2
;
� {| ( ( )) ( ( ))| | ( )|}y y p t
k k
�
� � � �� �
0
2 0 ; �{| ( ( )) ( ( ))| | ( )|}y y p t
k k
�
� � � �� �
0
3 0 .
Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ðàâåíñòâó ïîëó÷èì
�{| ( ( ))y
k
�
� � �y p t
k
0
4 0( ( ))| | ( )|}� � � .
Äàëåå ïðîâåäåì îöåíêè äëÿ òðåòüåãî ñëàãàåìîãî íåðàâåíñòâà (36) ñ ó÷åòîì
ïðåäñòàâëåíèé p t i
i
( ), ,�1 4 , ðàâåíñòâàìè (37)–(40), à èìåííî:
�{| ( )| } || ( ) ( ) ||
( ) ( )
p t C y y
k k
1
2 2 0 2
�%
� �
�
� �
� � ;
�{| ( )| } [ || ( ) || ]
( )
/
p t C C y
k
2
2 4 1 2
1
�
� �
�
�
�
�
�
[ {| ( , ) ( , )| }] | ~ ( , , ) ~ (
/
� �w t w t t du t� � �
� �
0
4 1 2
�, , )| ;
/
du
U
0
4
1 2
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
'
(
)
)
*
+
,
,
'
(
)
)
)
*
+
,
,
,
�{| ( ) |} [ || ( ) || ]
( )
/
p t Ñ Ñ y
k
3
2 4 1 2
1
�
� �
�
� � | ( ( ), ) ( ( ), )|
/
w w
k k
� � � � ��
�
�
!
!
"
#
!
$
!
'
(
)
)
*
+
,
,
'
(
) 0
4
1 2
)
)
�
�
�
!
!
"
#
!
$
!
'
(
)
)
�
� | ~ ( ( ), , ) ~ ( ( ), , )|
� � �
� �
k k
U
du du 0
4
*
+
,
,
*
+
,
,
,
1 2/
;
�{| ( )| } || ( ) ( ) ||
( ) ( )
p t C y y
k k
4
2 0 2
�%
� �
�
� �
� � .
Ïóñòü ðàçáèåíèå òàêîå, ÷òî % �� 1. Ëåãêî âèäåòü â ñèëó ëåììû 1, ÷òî ÷åòâåð-
òûé ìîìåíò ðåøåíèÿ òàêæå îãðàíè÷åí ïî íîðìå íà [ , ]0 T . Òîãäà áóäåì èìåòü îöåíêó
�{| ( ) ( )| } ( ) || ( ( )) ( ( )) ||y y Ñ y y
t t k k
� �
� � � � � ��
�
0 2 0 2
1 %
�
C w w
k k
[ {| ( ( ), ) ( ( ), )|}]
/
� � � � � � 0
1 2
�
&
&
&
&
&
&
�
�
!
!
"
#�
C du du
k k
U
� (~ ( ( ), , ) ~ ( ( ), , ))
� � �
� � 0
4
!
$
!
'
(
)
)
)
*
+
,
,
,
1 2/
�
C w t w t[ {| ( , ) ( , )| }]
/
� � � � 0
4 1 2
�
&
&
&
&
&
&
�
�
!
!
"
#
!
$
!
'
�
C t du t du
U
� (~ ( , , ) ~ ( , , ))
� �
� 0
4
(
)
)
)
*
+
,
,
,
1 2/
.
Ïåðåéäåì ñëåâà è ñïðàâà ê òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ïî � �� �[ , ]0 è, èñïîëüçóÿ
ñâîéñòâà 6, 7 òåîðåìû 3 äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ w t( , )� è ~( , , )
�t u , ïîëó÷àåì
|| ( ) ( ) || ( )| | ( ) ( )| |
( ) ( )
y y Ñ y y
t t
k k
�
� �
�
� �
� � � ��
�
0 2 0
1 %
2
1 2
Ñ K� � � �( ) ( ). (41)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 59
Èç íåðàâåíñòâà (41) äëÿ � �t T[ , ]0 ñëåäóåò îöåíêà
|| ( ) ( ) || [ ( ) ( )]y y K N K e
t t
CT�
� � � � � ��
0 2
1 1 2 , ãäå K K C L1 1� ( , ) . (42)
Ïîñêîëüêó â íåðàâåíñòâå (42) N — êîíå÷íîå ÷èñëî îòðåçêîâ ðàçáèåíèÿ
[ , ]0 T , òî èç íåðàâåíñòâà âûòåêàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåì 1 è 3.
Òîãäà ñèëüíîå ðåøåíèå ÑÄÔÓÏÂ
dx t m t x dw t t x dw t
t t
U
� � �
� � � � �( ) ( , ( )) ( , ) ( , ( )) ( , )�
�
0 0
äëÿ � � �t T T[ , ],0 0 , óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
lim || ( ) ( ) ||
�
�
� �
�
� �
0
0 2
0x x
t t
. (43)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (8) íîðìû || ||� ëåãêî çàïèñàòü íåðà-
âåíñòâî
|| ( ) ( ) || || ( ) ( ) ( ) ( )x x x y y y y
t t t t t t
� � � �
� � � � � �� � �
�
0 2 0
t t
x
0 0 2
( ) ( ) ||� ��
�
�
3 3 3
2 0 2 0
|| ( ) ( ) || || ( ) ( ) || || ( )x y y y y
t t t t t
� � �
� � � � � � x
t
0 2
( ) ||� .
Âûáðàâ äîñòàòî÷íî ìàëîå ðàçáèåíèå äëÿ % � 0 , à çàòåì äîñòàòî÷íî ìàëîå
�� 0 ñîãëàñíî òåîðåìàì 1 è 3, ïîëó÷èì äëÿ íàïåðåä çàäàííîãî ñêîëü óãîäíî ìà-
ëîãî �� 0 îöåíêó || ( ) ( ) ||x x
t t
�
� � �� �
0 2
. Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå (43) òåîðå-
ìû 4. �
Òåîðåìà 5. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 1–4 è óñëîâèå ëåììû 1.
Òîãäà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, êàê ñèëüíîå ðåøåíèå ÑÄÔÓÏÂ
dx t m t x dt t x dw t t x
t t t
� � � � � � �
� � � � �( ) ( , ( )) ( , ( )) ( , ) ( ,�
( ), )~ ( , , )�
�u t du
U
�
íåïðåðûâåí â ñðåäíåì ïî �� 0 ïðè � � 0 , ò.å. lim || ( ) ( ) ||
�
�
� �
�
� �
0
0 2
0x x
t t
.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíû ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíå-
íèÿ ñ ðàçðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè â ïðîñòðàíñòâå Ñêîðîõîäà. Äëÿ ýòèõ ñëó÷àé-
íûõ ïðîöåññîâ îáîñíîâàí ìåòîä ìàëîãî ïàðàìåòðà è ñôîðìóëèðîâàíû óñëîâèÿ
ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, ê íåêîòîðîìó
óñðåäíåííîìó ïðîöåññó. Ýòà ìåòîäèêà ðåàëèçîâàíà â òåîðåìàõ 1–4. Òåîðåìà 4
ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ðåøåíèÿ ïðè ìàëûõ � ïî óñðåäíåííîìó ðåøåíèþ. Â ïî-
ñëåäóþùèõ ðàáîòàõ ïî äàííîé òåìàòèêå ïëàíèðóåòñÿ óòî÷íèòü ñêîðîñòü ñõî-
äèìîñòè àïïðîêñèìàöèîííûõ ïðîöåññîâ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á å ë ë ì à í Ð . , Ê ó ê Ê . Ë . Äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1967. — 543 ñ.
2. Á è ë ë è í ñ ë è Ï . Ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. — Ì. : Íàóêà, 1977. — 352 ñ.
3. à è õ ì à í È . È . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñî ñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè / Çèìíÿÿ øêîëà ïî
òåîðåìå âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå (Óæãîðîä). — Êèåâ: Èç-âî ÀÍ ÓÑÑÐ,
1964. — 168 ñ.
4. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðè-
ëîæåíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. — 612 ñ.
5. Ä û í ê è í Å . Á . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòèçä, 1969. — 659 ñ.
60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
6. Æ à ê î ä Æ . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà,
1992. — Ò. 1. — 544 ñ.
7. Æ à ê î ä Æ . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà,
1994. — Ò. 2. — 486 ñ.
8. Ê à ö È . ß . Ìåòîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà â çàäà÷àõ óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè ñèñòåì ñëó÷àé-
íîé ñòðóêòóðû. — Åêàòåðèíáóðã: Óðàë. Ãîñàêàäåìèÿ ïóòåé ñîîáùåíèÿ, 1999. — 228 ñ.
9. Ê î ë ì à í î â ñ ê è é  . Á . , Í î ñ î â  . Á . Óñòîé÷èâîñòü è ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ ðåãóëèðóå-
ìûõ ñèñòåì ñ ïîñëåäåéñòâèåì. — Ì.: Íàóêà, 1971. — 448 ñ.
10. Ê î ð å í å â ñ ê è é Ä . Ò . Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé äåòåðìèíèðîâàííûõ è ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåí-
öèàëüíî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé (àëãåáðàè÷åñêèå êðèòåðèè ) . — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1992. — 146 ñ.
11. Ì è ò ð î ï î ë ü ñ ê è é Þ . Ä . Ìåòîä óñðåäíåíèÿ â íåëèíåéíîé ìåõàíèêå. — Ê.: Íàóê. äóìêà,
1971. — 359 ñ.
12. Ê ó ø í å ð à . Ä . Ñòîõàñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü è óïðàâëåíèå. — Ì.: Ìèð, 1969. — 290 ñ.
13. Ðóáàíèê Â.Ï . Êîëåáàíèÿ êâàçèëèíåéíûõ ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 357 ñ.
14. Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1987. — 328 ñ.
15. Ñ ò ð à ò î í î â è ÷ Ð . À . Èçáðàííûå âîïðîñû òåîðèè ôëóêòóàöèé â ðàäèîòåõíèêå. —
Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1981. — 423 ñ.
16. Ò è õ î í î â Â . È . , Ì è ð î í î â Ì . À . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì. : Íàóêà, 1981. — 423 ñ.
17. Õ å é ë Ä æ . Òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Ìèð, 1984. — 421 c.
18. Õ ó ñ à è í î â Ä . ß . , Ø à ò û ð ê î À .  . Ìåòîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà â èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè
äèôôåðåíöèàëüíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñèñòåì. — Ê.: Èçä-âî ÈÍÒÈ, 1997. — 236 ñ.
19. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíå-
íèé. — Ðèãà: Çèíàòíå, 1989. — 429 ñ.
20. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . , ß ñ è í ñ ê è é  . Ê . Êâàçèëèíåéíûå ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíê-
öèîíàëüíîå óðàâíåíèÿ. — Ðèãà: Îðèåíòèð, 1992. — 314 ñ.
21. Àíòîíþê Ñ.Â. , ßñèíñêèé Â.Ê. Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëü-
íî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïóàññîíîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè ñî âñåé ïðåäûñòîðèåé //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2009. — ¹ 1 — Ñ. 123–134.
22. Þ ð ÷ å í ê î ² .  . ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . Ñò³éê³ñòü òà îïòèìàëüíå êåðóâàííÿ â ë³í³éíèõ ñòîõàñ-
òè÷íèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåìàõ. — ×åðí³âö³: Çîëîò³ ëèòàâðè, 2009. — 237 ñ.
23. Þ ð ÷ å í ê î ² .  . , ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . , ß ñ è í ñ ü ê à Ë . ² . Ìåòîäè ñòîõàñòè÷íîãî ìîäåëþâàí-
íÿ ñèñòåì. — ×åðí³âö³: Ïðóò, 2003. — 416 ñ.
24. ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . ß ñ è í ñ ü ê è é ª .  . Çàäà÷³ ñò³éêîñò³ òà ñòàá³ë³çàö³¿ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì ç³
ñê³í÷åííîþ ï³ñëÿ䳺þ. — Ê.: Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè è ìàò. ñòàòèñòèêà, 2005. — 580 ñ.
25. J a c o d J . , S h i r y a e v A . N . Limit theorems for stochastic processes. — Berlin; Heidelberg:
Springer–Verlag, 1987. — 600 p.
26. J a k u b o v s k i A . A . The a.s. Skorohod topology on the Skorohod space // Theory Probal. Appl. —
1997. — 42. — P. 209–216.
27. K o r o l i u k V . S . , L i m i n i o s N . Stochastic system in merging phase space. — London; Hong
Kong: World Scientific, 2005. — 331 p.
Ïîñòóïèëà 16.06.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 61
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Off
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages false
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams true
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts false
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile (Color Management Off)
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 290
/ColorImageMinResolutionPolicy /Warning
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 600
/ColorImageDepth 8
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.01667
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /FlateEncode
/AutoFilterColorImages false
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 290
/GrayImageMinResolutionPolicy /Warning
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 600
/GrayImageDepth 8
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 2.03333
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /FlateEncode
/AutoFilterGrayImages false
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 800
/MonoImageMinResolutionPolicy /Warning
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 2400
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/PDFX3:2003
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError false
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox false
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/ESP <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>
/FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f00620065002000500044004600200070006f007500720020006400650073002000e90070007200650075007600650073002000650074002000640065007300200069006d007000720065007300730069006f006e00730020006400650020006800610075007400650020007100750061006c0069007400e90020007300750072002000640065007300200069006d007000720069006d0061006e0074006500730020006400650020006200750072006500610075002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e>
/ITA <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>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [2834.646 2834.646]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84159 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T12:05:52Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ясинский, В.К. Малык, И.В. 2015-07-03T10:53:19Z 2015-07-03T10:53:19Z 2012 О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями / В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 45-61. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84159 519.217; 519.718; 519.837 Використано метод малого параметра, поняття усередненої системи для дослідження асимптотичної стійкості в середньому квадратичному вихідної системи стохастичних диференціальних рівнянь. Розглянуто стійкість системи при постійно діючих збуреннях. Доказано, що метод малого параметра можна застосовувати до стохастичних диференціальних рівнянь з розривними траєкторіями, тобто, стохастичний диференціал залежить від інтеграла Пуассона. The small-parameter method and the notion of averaged system are used to analyze the asymptotic stability in the mean square of the original system of stochastic differential equations. The stability of a system with continutous perturbations is considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями Про неперервності за параметром рішень стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з пуассонівськими збуреннями Continuity with respect to parameters of stochastic differential-functional equations with Poisson disturbance Article published earlier |
| spellingShingle | О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями Ясинский, В.К. Малык, И.В. Системный анализ |
| title | О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| title_alt | Про неперервності за параметром рішень стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з пуассонівськими збуреннями Continuity with respect to parameters of stochastic differential-functional equations with Poisson disturbance |
| title_full | О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| title_fullStr | О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| title_full_unstemmed | О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| title_short | О непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| title_sort | о непрерывности по параметру решений стохастических дифференциально-функциональных уравнений с пуассоновскими возмущениями |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84159 |
| work_keys_str_mv | AT âsinskiivk onepreryvnostipoparametrurešeniistohastičeskihdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniispuassonovskimivozmuŝeniâmi AT malykiv onepreryvnostipoparametrurešeniistohastičeskihdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniispuassonovskimivozmuŝeniâmi AT âsinskiivk proneperervnostízaparametromríšenʹstohastičnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzpuassonívsʹkimizburennâmi AT malykiv proneperervnostízaparametromríšenʹstohastičnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzpuassonívsʹkimizburennâmi AT âsinskiivk continuitywithrespecttoparametersofstochasticdifferentialfunctionalequationswithpoissondisturbance AT malykiv continuitywithrespecttoparametersofstochasticdifferentialfunctionalequationswithpoissondisturbance |