О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем
Запропоновано умови, достатні для існування оптимальної стратегії керування розв’язком стохастичного диференційного рівняння на площині, яке включає адитивне дробове вінерівське поле з параметром Херста з інтервалу (0,1/2)2 Control problem for stochastic differential equations on a plane containing...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84162 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем / Е.Н. Дериева, С.О. Герасименко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 76-84. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860002101448409088 |
|---|---|
| author | Дериева, Е.Н. Герасименко, С.О. |
| author_facet | Дериева, Е.Н. Герасименко, С.О. |
| citation_txt | О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем / Е.Н. Дериева, С.О. Герасименко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 76-84. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано умови, достатні для існування оптимальної стратегії керування розв’язком стохастичного диференційного рівняння на площині, яке включає адитивне дробове вінерівське поле з параметром Херста з інтервалу (0,1/2)2
Control problem for stochastic differential equations on a plane containing additive fractional Brownian motion with Hurst parameter belonging to the interval (0,1/2)2 is considered. Sufficient conditions for the existence of optimum strategies are proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:36:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Å.Í. ÄÅÐÈÅÂÀ, Ñ.Î. ÃÅÐÀÑÈÌÅÍÊÎ
Î ÇÀÄÀ×Å ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÐÅØÅÍÈÅÌ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ñ ÀÄÄÈÒÈÂÍÛÌ ÄÐÎÁÍÛÌ ÁÐÎÓÍÎÂÑÊÈÌ ÏÎËÅÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óïðàâëåíèå ñëó÷àéíûì ïîëåì, ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöè-
àëüíîå óðàâíåíèå, äðîáíîå âèíåðîâñêîå ïîëå, ïàðàìåòð Õåðñòà.
 ñòàòüå èçó÷àåòñÿ ïðîáëåìà óïðàâëåíèÿ ðåøåíèåì ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôå-
ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íà ïëîñêîñòè ñ àääèòèâíûì äðîáíûì áðîóíîâñêèì
ïîëåì. Àíàëîãè÷íûå çàäà÷è äëÿ äðîáíûõ âèíåðîâñêèõ ïðîöåññîâ èçó÷àëèñü
â [1] äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïàðàìåòð Õåðñòà ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó (1/2, 1), è
â [2], êîãäà ïàðàìåòð Õåðñòà ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó (0, 1/2).
Ïóñòü ( , , )� � P — âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ïîòîêîì �-àëãåáð ( )� z ,
z �[ , ]0 1
2
, z s t� ( , ) , ( , )C B — èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà [ , ]0 1
2
ôóíêöèé f ñ ïîòîêîì �-àëãåáð Bz f z z z� ��{ ( ), }1 1 , B� �{ ( )f z , z �[ , ] }0 1
2
,
|| || | ( )|f f z� sup{ , z �[ , ] }0 1
2
, ( , )U U — ìåòðè÷åñêèé êîìïàêò. Ðàññìîòðèì óðàâ-
íåíèå
� � �( ) (( , ), , ) ( )z a x y u dydx B z
ts
H
� � ���0
00
, z s t� �( , ) [ , ]0 1
2
, (1)
ãäå B z
H H( , )
( )
— äðîáíîå áðîóíîâñêoå ïîëå ñ ïàðàìåòðîì Õåðñòà
( , ) ( , / )H H � 0 1 2
2
, ò.å. íåïðåðûâíîå ãàóññîâñêîå ïîëå ñ EB z
H H( , )
( )
� 0 ,
z �[ , ]0 1
2
, è êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé
R z z EB z B zH H
H H H H
,
( , ) ( , )
( , ) ( ) ( )
� �
� �
�
1
4
2 2 2 2 2 2
( ( ) | | )( ( ) | | )s s s s t t t t
H H H H H H
, z z, [ , ] � 0 1
2
;
a z u( , , )� — Bz -èçìåðèìûé ôóíêöèîíàë, u:[ , ]0 1 � U — óïðàâëåíèå, íå çàâèñÿ-
ùåå îò ïîâåäåíèÿ áðîóíîâñêîãî ïîëÿ B z
H H( , )
( )
ïðè �z z[ , ] \ [ , ]0 1 0
2 2
.
Ïîä ñëàáûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1) áóäåì ïîíèìàòü [3] ñîâîêóïíîñòü
� z -ïîä÷èíåííûõ ïîëåé ( , )
( , )
B
H H
� íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� � P
ñ ïîòîêîì �-àëãåáð ( )� z , z �[ , ]0 1
2
, òàêèõ, ÷òî B z
H H( , )
( )
— � z -ïîä÷èíåííîå
äðîáíîå áðîóíîâñêîå ïîëå, à B
H H( , )
è � óäîâëåòâîðÿþò (1).
Îáîçíà÷èì U êëàññ âñåõ óïðàâëåíèé, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ñëàáîå ðåøå-
íèå óðàâíåíèÿ (1). Äîïóñòèì, ÷òî ìãíîâåííóþ ñòîèìîñòü óïðàâëåíèÿ îïðåäåëÿåò
äåéñòâèòåëüíàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ c z x u( , , ) òàêàÿ, ÷òî ïðè êàæäîì u�U
ôóíêöèÿ c ïðåäñêàçóåìà îòíîñèòåëüíî { }� z , äëÿ ëþáîé òî÷êè ( , ) [ , ]z x � �0 1
2
�
ôóíêöèÿ c z x( , , )
íåïðåðûâíà ïî u�U è | ( , , )| || ||c z x u M x z� ,
|| || | ( )|
[ , ]
x x zz
z z
�
�
sup
0
. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî u U� ïîëíàÿ ñòîèìîñòü óïðàâ-
ëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê
J u E c x y x y u x y x y dxdy
u u
( ) ( (( , ), ( , ), (( , ), ( , )))� �� � �
0
1
0
1
) , (2)
�
u
z( ) — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), ñîîòâåòñòâóþùåå óïðàâëåíèþ u u z z
u
� ( , ( ))� .
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
© Å.Í. Äåðèåâà, Ñ.Î. Ãåðàñèìåíêî, 2012
Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò u U
*
� òàêîå, ÷òî J u J u
u U
( ) ( )
*
�
�
inf .
Òåîðåìà 1 [3]. Ïóñòü ôóíêöèîíàë a z x u( , , ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
| ( , , )| ( | | | | )a z x u L x� �1 . Òîãäà óðàâíåíèå (1) èìååò, ïðè÷åì åäèíñòâåííîå, ñëàáîå
ðåøåíèå.
Ïðèìåíèì ê äðîáíîìó áðîóíîâñêîìó ïîëþ èíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå [4]
B z K z z dW z
H H
H H
z
( , )
( , )
[ , ]
( ) ( , ) ( )
� �
0
,
ãäå ÿäðî K z z K s s K t tH H H H( , ) ( , ) ( , ) ( , ) � ,
K s s H s s F H H HH
H
( , ) ( ) , , , � �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 1
2
s
s
�
�
�
�
�
� ,
K t t H t t F H H HH
H
� �
�
�
�
�
�
�
�( , ) ( ) , ,�
1
2
1
2
1
2
1 1
2
1
2
1,
�
�
�
�
�
�
t
t
,
F a b c z( , , , ) — ãèïåðãåîìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Ãàóññà, îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì
F a b c x
c
b c b
y y yx dy
b c b a
( , , , )
( )
( ) ( )
( ) ( )�
�
� �
1 1
0
1 1
1
� .
Äàëåå, îáîçíà÷èì � � H ìíîæåñòâî êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé íà [ , ]0 1
2
,
ãäå H — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, îïðåäåëÿåìîå êàê çàìûêàíèå � ïî îòíîøå-
íèþ ê ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ � � � 1 10 0[ , ] [ , ] ,, ( , )z z H H HR z z , L[ , ]0 1
2
— ïðî-
ñòðàíñòâî � z -èçìåðèìûõ ïîëåé � �� �{ ( ), [ , ] }z z 0 1
2
òàêèõ, ÷òî
P z dz
z
| ( , )|
[ , ]
� �
2
0 1
2
1
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
!
�
� è L2
2
0 1[ , ] — ïðîñòðàíñòâî � z -èçìåðèìûõ ïîëåé � ,
äëÿ êîòîðûõ E z dz
z
| ( , )|
[ , ]
� �
2
0 1
2
�
� � � . Ëèíåéíûé îïåðàòîð KH H,
*
èç � â L2
2
0 1[ , ] ,
îïðåäåëÿåìûé êàê
( , ) (( , ), ) ( ) ( ( ) ( )),
*
,
,
K K z z z
K
H H H H
H H
� �
"
"
� � � � �
�
1 1
2
2
1 1
( , )
[ , ] [ , ]
� �z d
s t�
� ,
äëÿ ëþáûõ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé � è � èç ïðîñòðàíñòâà � äàåò
� � � � � K KH H H H L H,
*
,
*
[ , ]
, ,� � � �2 2
0 1
, ò.å. çàäàåò èçîìåòðèþ ìåæäó ãèëüáåðòî-
âûì ïðîñòðàíñòâîì H è L2
2
0 1[ , ] .
Áóäåì òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòîê �-àëãåáð � z
W
, ãåíåðèðóåìûé âèíåðîâñêèì
ïîëåì W , óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (F1)–(F4) èç ðàáîòû [5].
Îïðåäåëèì äðîáíûé èíòåãðàë Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ äëÿ ôóíêöèè f L� 1
2
0 1[ , ]
ïîðÿäêà
, # 0 :
I f s t s x t y f x y dxdy
t
,
( , )
( ) ( )
( ) ( ) ( , )�
�
1 1 1
00
� �
s
� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 77
Îáîçíà÷èì I L
p
,
( [ , ] )0 1
2
îáðàç ïðîñòðàíñòâà Lp [ , ]0 1
2
, ïðèìåíÿÿ îïåðàòîð
I
,
. ßäðî KH H, îïðåäåëÿåò èçîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâà L2
2
0 1[ , ] â
I L
H H� �
1
2
1
2
2
2
0 1
,
( [ , ] ) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
( )( , ),
, / / / , /
K f s t I s t I sH H
H H H H H H H
�
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2/ /
t f
H
,
ãäå f L� 2
2
0 1[ , ] .
Åñëè f I L
p
�
,
( [ , ] )0 1
2
, ôóíêöèÿ � òàêàÿ, ÷òî f I�
�
,
— åäèíñòâåííàÿ
â L
p
[ , ]0 1
2
, òî � áóäåì íàçûâàòü ïðîèçâîäíîé Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ ïîðÿäêà
, äëÿ
ôóíêöèè f . Ïðÿìàÿ äðîáíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f ïîðÿäêà
, çàäàåòñÿ ñ ïî-
ìîùüþ ïðåäñòàâëåíèÿ Âåéëà [4]
D f s t
s t
f s t
s t t
f
, [ , ]
( , )
( , )
( ) ( )
( , )
�
�
1
1 1
0 1
2
� �
( , ) ( , )
( )
s t f u t
s u
du
s
�
�
�
�
� �� 1
0
�
��
s
f s t f s v
t v
dv
s
( , ) ( , )
( )
1
0
�
�
� ��
f s t f s v f u t f u v
s u t v
d
t
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
1 1
0
udv
s
0
�
�
�
�
�
.
Îïåðàòîð, îáðàòíûé KH H, , îïðåäåëÿåòñÿ êàê
( )( , )
,
/ / / , / /
K f s t s t D s t
H H
H H H H H H
�
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 2/ ,
D f
H H
äëÿ ëþáîé f I L
H H
�
� �1 2 1 2
2
2
0 1
/ , /
( [ , ] ) .
Ïóñòü èìååì ñëó÷àéíîå ïîëå � �� �{ ( ), [ , ] }z z 0 1
2
ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòî-
ðèÿìè è ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå
~
( ) ( ) ( )
, ,
[ , ]
B z B z z dz
H H H H
z z
�
� � � �
0
. Òîãäà
ìîæíî çàïèñàòü
B z K z z dW z z dz
H H
H H
z z
( , )
( , )
[ , ] [
( ) ( , ) ( ) ( )
�
� � �
0 0
�
, ]
( , )
[ , ]
( , )
~
( )
z
H H
z
K z z dW z� ��
0
,
ãäå
~
( ) ( ) ( ( ) )( )
,
[ , ][ ,
W z W z K d d
H H
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
00
� � � � �
�� z]
� .
Îòìåòèì, ÷òî K d
H H,
[ , ]
( ( ) )
�
1
0
� � �
�
ïðèíàäëåæèò L2
2
01[ , ] òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà � � �
�
( )
[ , ]
d
0
� ïðèíàäëåæèò I L
H H� �1 2 1 2
2
2
0 1
/ , /
[ , ] .
Òåîðåìà 2 [3, 6] (òåîðåìà Ãèðñàíîâà). Ïóñòü ñëó÷àéíîå ïîëå � �� { ( ),z
z �[ , ] }0 1
2
ÿâëÿåòñÿ � z -ïîä÷èíåííûì, èìååò èíòåãðèðóåìûå òðàåêòîðèè,
� � �
�
( ) [ , ]
[ , ]
/ , /
d I L
H H
0
1 2 1 2
2
2
0 1� �
� �
ïî÷òè íàâåðíîå è E exp{ (( , ) )}� �1 1 1� , ãäå
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
� � � � �
�
( , ) ( ) ( ) ( )
,
[ , ][ ,
z K d z dW z
H H
z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
00 z]
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
1
0
2
K d z dz
H H
z
,
[ , ]
( ) ( )� � �
��
�
[ , ]0 z
.
Òîãäà ïîëå
~
( )
,
B z
H H
ÿâëÿåòñÿ � z -ïîä÷èíåííûì äðîáíûì áðîóíîâñêèì ïîëåì
ñ ïàðàìåòðîì Õåðñòà ( , )H H â âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , ,
~
)� � P , ïðè÷åì
dP
dP
~
(( , ), )� � �1 1 .
Âîçâðàòèìñÿ ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1) ñ
ôóíêöèåé ñòîèìîñòè (2). Ïóñòü:
1) ôóíêöèÿ a z u( , , )� ÿâëÿåòñÿ �� �B U-èçìåðèìîé;
2) äëÿ ëþáîãî z �[ , ]0 1
2
ôóíêöèÿ a z( , , )
B U� -èçìåðèìà;
3) äëÿ ëþáûõ z �[ , ]0 1
2
, x C� ôóíêöèÿ a z x( , , )
íåïðåðûâíà íà U;
4) | ( ( , , ) )| ( || || )
,
[ , ]
K a x u d M x
H H
z
� � �
1
0
2 2
1� � äëÿ íåêîòîðîãî M ;
5) ñóùåñòâóåò L òàêîå, ÷òî | ( , , )| ( || || )a z x u L x
2 2
1� � ;
6) äëÿ ëþáûõ z �[ , ]0 1
2
, x C� ìíîæåñòâî a z x( , , )U âûïóêëî è çàìêíóòî.
Ëåììà 1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–4. Òîãäà E a z x uexp{ (( , ), ( , , ))}� 1 1 1� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì
T x z x z K a x u da H H
z
( )( ) ( ) ( , , )
,
[ , ]
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0
� �
�
�
�
�
�
�
� ( )
[ , ]
z dz
z0
. (3)
Äîñòàòî÷íî [7] ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî N # 0 ñóùåñòâóåò K # 0 òàêîå, ÷òî
èç || ( ) ||T x Na � ñëåäóåò || ||x K� . Ïîëîæèì y z T x za( ) ( )( )� è � ( ) max | ( )|
[ , ]
z x z
z z
�
� 0
.
Òîãäà èç (3) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò íåðàâåíñòâî
� � �( ) | ( )| ( ( )) (| | ( )| | ) (
[ , ]
z y z M z dz T x M M z
z
a� � � � � �� 1
0
� )
[ , ]
dz
z0
.
Îòñþäà ïî ëåììå Ãðîíóîëëà [8]
|| || ( )( ) (( , )) (|| ( ) || ) ( ||x T x e e T x M e Ta
M M
a
M
a� � � � �1 0 0 2� ( ) || )x M� .
Ëåììà äîêàçàíà.
Çàôèêñèðóåì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ( , , )� � P ñ âèíåðîâñêèì ïîëåì
W W z Pz� �{ ( ), , } . Îáîçíà÷èì a z x a z x u z xu ( , ) ( , , ( , ))� , x C� , u U� , è îïðåäå-
ëèì ìíîæåñòâî ïëîòíîñòåé D ñëåäóþùèì îáðàçîì: D z a z W u Uu� �exp{ ( , ( , )), }� .
Ïîêàæåì, ÷òî D ñëàáî êîìïàêòíî â L P1 ( , , )� � .
Ëåììà 2. Â óñëîâèÿõ 1–5 ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà �
*
#1 , ÷òî
sup
u U
uE a z W
�
� �exp{ (( , ) ( , ))}
*
� � 1 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî
exp{ (( , ), ( , ))}�� 1 1 a z Wu � exp ( , ) ( )
,
[ , ]
� K a z W dz z d
H H u
z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0
W z( )
[ , ]0 1
2
�
�
�
�
�
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 79
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
1
0
2
� K a z W dz z
H H u
z
,
[ , ]
( , ) ( )dz
[ , ]0 1
2
�
�
�
!
�
�
� �
exp (( , ), ( , )) ( , )
,
[ , ]
� �
� �
1 1
2
2
1
0
a z W K a z W dzu H H u
z
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
�
�
2
0
1
( )z dz
� �
�
�
�
�
��
�
�exp (( , ), ( , )) ( | ( )| )� �
� �
1 1
2
1
2
2
0
1
a z W M W z dzu
�
!�
.
Ïîëîæèì � � � �( ) ( ) ( , )
,
[ , ]
z W z K a W d
H H u
z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0
�
�
� ( )
[ , ]
z dz
z0
. Êðîìå òîãî,
| ( )| | ( )| | ( )|
[ , ]
W z z M W z dz
z
2 2 2 2
0
2 2 1� � �
�
�
�
�
�
�
�
��� � ,
îòêóäà ïî ëåììå Ãðîíóîëëà ïîëó÷àåì
| ( )| ( | ( )| )exp{ }
[ , ]
W z M z M
t
2 2
0 1
2 2
2 2� �
�
� � �sup .
Ïîñêîëüêó óñëîâèÿ ëåììû 1 âûïîëíåíû, E a z Wuexp{ (( , ), ( , ))}�� 11 1� . Òàêèì
îáðàçîì, �( )z ÿâëÿåòñÿ áðîóíîâñêèì ïîëåì íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ìå-
ðîé
~
P , dP a z W dPu
~
exp{ ( ( , ))}� �� , ïîýòîìó
~
exp{ ( ( , ))}E a z Wu�� �
� �
�
h E a z W M z dzu
z z
( )
~
exp ( ( , )) ( ) | ( )|
[ , ]
� � � � � �
2
0
2
sup
[ , ]0 1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
!
�
,
ãäå
h M Me
M
( ) exp�
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
!�
2
2 2
2
2
2
;
ñëåäîâàòåëüíî,
E a z Wuexp{ ( ( , ))}�� � h E M e W
M
( ) exp{ ( ) || || }� � �
�2 2 2
2
.
Î÷åâèäíî, ôóíêöèÿ h( )� îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè � �1, è åñëè âûáðàòü
çíà÷åíèå �
*
, áëèçêîå ê åäèíèöå, ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà áóäåò êîíå÷íîé è
E a z W C Muexp{ (( , ), ( , ))} ( , )�� �1 1 � � � .
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ïëîòíîñòåé D ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìî. Ëåììà
äîêàçàíà.
Ëåììà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–6. Òîãäà ìíîæåñòâî D âûïóêëî â
ïðîñòðàíñòâå L P1 ( , , )� � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì a z x a z x u z xu ii
( , ) ( , , ( , ))� , x C� , u Ui � ,
i �1 2, , è ïóñòü
i $ 0 ,
1 2 1� � . Ïîëîæèì
�
�
�( ) exp{ ( , ( , ))} exp{ ( , ( , ))}z z a z x z a z xu u� �1 21 2
.
Ïîñêîëüêó ïî ôîðìóëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ Èòî
d a z W a z W K a z W du u H H ui i
exp{ ( ( , ))} exp{ ( ( , ))} ( , )
,
� ��
1
z d z
z
�
�
�
�
�
�
�
��
[ , ]
, ( )
0
� , i � 1, 2,
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
èìååì
d z z a z x K a z W dzu H H u
z
�
�( ) exp{ ( , ( , ))} ( , )
,
[ , ]
�
1
1
0
1 1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�, ( )d z�
�
�
�
�
�
�
�2
1
0
2 2
exp{ ( , ( , ))} ( , )
,
[ , ]
z a z x K a z W dzu H H u
z
�
�
�
�
, ( )d z� ,
ýòî ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê d z z z d z� � � �( ) ( ) ( ), ( )� � � , ãäå
�
�
�( ) ( exp{ ( , ( , ))} {exp ( , ( , ))})z z a z x z a z xu u� �
1 2
1
1 2
�
�
�
�
�
�
�
�1
1
0
1 1
exp{ ( , ( , ))} ( , )
,
[ , ]
z a z x K a z W dzu H H u
z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2
1
0
2 2
exp{ ( , ( , ))} ( , )
,
[ , ]
z a z x K a z W dzu H H u
z
�
�
�
�
.
Ïðèìåíèì ôîðìóëó Èòî è ïîëó÷èì
d z z d z
z
(ln ( )) ( ), ( )
[ , ]
� � �� � �
�
0
1
2
2
0
| ( )|
[ , ]
� z dz
z
� ,
îòêóäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò � � �( , ) exp (( , ), )1 1 1 1� , ãäå � — âûïóêëàÿ êîì-
áèíàöèÿ a z x a z x u z xu ii
( , ) ( , , ( , ))� . Â ñèëó óñëîâèÿ 6 �( , ) ( , , )z x a z x� U , è, òà-
êèì îáðàçîì, � [7, ëåììà 1] ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå �( , ) ( , )z x a z xu� , ãäå
u — äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå. Ëåììà äîêàçàíà.
Ðàññìîòðèì ïîäìíîæåñòâî D
0
èç ìíîæåñòâà D òàêèõ ïëîòíîñòåé, ÷òî
E a z xuexp{ (( , ), ( , ))}� 1 1 1� . Ìíîæåñòâî P � � � $ �{ : ( , , ), , }� � � �L P E1 0 1�
âûïóêëî è D D
0
� % P . Îòñþäà èìååì ñëåäñòâèå.
Ñëåäñòâèå 1. Â óñëîâèÿõ 1–6 ìíîæåñòâî D
0
âûïóêëî.
Âîçüìåì ëþáóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a z xun
( , ) , n � 1, 2, ... , òàêóþ, ÷òî äëÿ
âñåõ n E a z xun
exp{ (( , ), ( , ))}� 1 1 1� , è ïîëîæèì � � �L P
1
( , , )� , �� �lim exp{ (( , ),
n��
1 1
a z xun
( , ))}, ÷òî ïî÷òè íàâåðíîå ïî ìåðå P â ïðîñòðàíñòâå L P1 ( , , )� � . Äëÿ ëþáî-
ãî íåîòðèöàòåëüíîãî öåëîãî N ïîëîæèì
a z x
a z x x z N z z
u
N u
n
n( , )
( , ), || ( ) || ,
�
� �åñëè äëÿ
0 â ïðîòèâíîì ñëó
�
�
� ÷àå
è äëÿ N � 1, 2, ... âûáåðåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a z x
u
N
k
( , ) , k K N� , è �
N N
�& ,
&
N
C R z x N� � � �{ :[ , ] , | ( , )| }� �0 1
2
, ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ N �1 âîçüìåì
a z x
uk
1
( , ) , k K� 1 , ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü a z x
un
1
( , ) è âûáåðåì �
1
òàê, ÷òîáû
exp{ (( , ), ( , ))} lim exp{ (( , ), ( , )� � �1 1 1 1
1 1
1
z x a z x
k K
uk
�
�
)}
(çäåñü ñõîäèìîñòü ïîíèìàåòñÿ â ñëàáîì ñìûñëå â ïðîñòðàíñòâå L P2 ( , , )� � ).
Äîïóñòèì, ÷òî a z x
u
N
k
( , ) , k K N� , è �
N N
�& îïðåäåëåíû. Ïîëîæèì
a z x
u
N
k
�1
( , ) , k K N� �1 , ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ a z x
u
N
k
( , ) , k K N� , è
âûáåðåì
exp{ (( , ), ( , ))} lim exp{ (( , ),� � �1 1 1 1
1
1
N
k K
u
N
z x a
N
k
�
�
�
�
�
1
( , ))}z x .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 81
Ïîñêîëüêó ñåìåéñòâî ïëîòíîñòåé D z x
N N
( ) {exp (( , ), ( , )), }& &� �� � �1 1
ñëàáî êîìïàêòíî â L P2 ( , , )� � (ñì. [5]), òî òàêîé âûáîð èìååò ñìûñë.
Âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî
exp{ (( , ), ( , ))} lim exp{ (( , ), ( , )� � �1 1 1 1
N
k K
u
N
z x a z x
N
k
�
�
)} ,
èìååì
E z x E a
N
z
k K
u
N
(exp{ (( , ), ( , )) / ) lim (exp{ (( , ),� � �1 1 1 1� �
� k
N
zz x( , ))}/ )� .
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî E z x
N
� �(( , ), ( , ))1 1 1� è E a z x
u
N
k
�(( , ), ( , ))1 1 1� , ïîëó÷èì, ÷òî
ïî÷òè íàâåðíoå ïî ìåðå P
exp{ ( , ( , ))} (exp{ (( , ), ( , ))} / )� � � �z z x z x
N N
z� �1 1
è
exp{ ( , ( , ))} (exp{ (( , ), ( , ))} / )� �z a z x a z x
u
N
u
N
z
k k
� �1 1 .
Cëåäîâàòåëüíî,
exp{ ( , ( , ))} lim exp{ ( , ( , ))}� � �z z x z a z x
N
k K
u
N
N
k
�
�
.
Äàëåå ïîëîæèì, ÷òî � �
N
z
C z N z z� �
� � �{ : , ( , ) , | ( , )| , }� � � � � � . Ïî
îïðåäåëåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ i $ 0 èìååì
a z a z
u
N
u
N i
k k
( , ( , )) ( , ( , ))
�
�
� � � � äëÿ z z � è � ��
N
z
.
Òàêèì îáðàçîì,
exp{ ( , ( ))} exp{ ( , ( ))}� � � � � �z z
N N�
�
1
äëÿ z z � è � ��
N
z
.
Îöåíèì
0 1 1 1 1
2
�
�
|exp{ (( , ), ( ))} exp{ (( , ), ( ))}| (� � � � � � �
N i N
P d )
�N
1
� �
� � �
� �
�� | exp{ ( , )} ( ), ( )
[ , ]
� � � �z z d z
N i N i
N 0 1
21
�
� � �� exp{ ( , )} ( ), ( ) | ( )
[ , ]
� � � � �z z d z P d
N N
0 1
2
2
�
�
| exp { ( , )}| ( , ( , )) ( , ( , ))|
[ ,
2
2
0
� � � � � � � �z z z z z dz
N N i N
1
21
]
| ( )�� P d
N
�
�
è ïîñêîëüêó � �( , )z
N
# 0 ïî ìåðå P, ïîëó÷èì
| | ( , ( , ) ( , ( , )| | ( )
[ , ]
� � � � � � �
N i N
z z z z dz P d
N
�
��
2
0 1
21
�
.
Ýòîò ôàêò ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ �: [ , ]0 1
2
� �C R ñëå-
äóþùèì îáðàçîì: � �( , ) ( , )z x z x
N i
�
�
äëÿ z �[ , ]0 1
2
, || ||x N� , i $ 0 . Ïîêàæåì
äàëåå, ÷òî � �a z x( , , )U . Ïîñêîëüêó
exp{ (( , ), ( , ))} lim exp{ (( , ), (� � �1 1 1 1
1
N
k K
u
N
z x weak a
k
�
�
z x, ))} ,
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
òî ââèäó ñëàáîé ñõîäèìîñòè â L P2 ( , , )� � ñóùåñòâóåò âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ
exp{ (( , ), ( , ))}� 1 1 a z x
u
N
k
, ñõîäÿùàÿñÿ ê exp{ (( , ), ( , ))}� �1 1
N
z x â òîïîëîãèè ïðî-
ñòðàíñòâà L P2 ( , , )� � , ò.å. äëÿ ëþáîãî n íåêîòîðûõ íåîòðèöàòåëüíûõ
i
n
,
i n�1, ..., ,
i
n
i
n
�
' �
1
1 , èìååò ìåñòî
lim exp{ (( , ), ( , ))} exp{ (( , ), (
n
N
i
n
u
N
E z x a z
i��
� �
�1 1 1 1 , ))}x
i
n
�
' �
1
0 . (4)
Ïîëîæèì �
�n i
n
u
N
i
n
z a z x
i
( ) exp{ (( , ), ( , ))}�
�
' 1 1
1
è ïðèìåíèì ê ýòîé ôóíêöèè
òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî ê ôóíêöèè �( )z â ëåììå 3. Òîãäà ïîëó÷èì, ÷òî
� � �n nz z( ) exp{ (( , ), ( ))}� 1 1 ïî÷òè íàâåðíoå ïî ìåðå P, à � n z x( , ) ÿâëÿåòñÿ âû-
ïóêëîé êîìáèíàöèåé a z x
u
N
i
( , ) . Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî a z x( , , )U âûïóêëî è çàì-
êíóòî, à âñå a z x
u
N
i
( , ) ïðèíàäëåæàò a z x( , , )U äëÿ || ||x N� , ïîëó÷èì
� n z x a z x( , ) ( , , )� U äëÿ || ||x N� .
Äàëåå îöåíèì
E z x z x
N
n|exp{ (( , ), ( , ))} exp{ (( , ), ( , ))}|� � � �1 1 1 1
2
�
� � �
��E z z d z z
N N
n nexp{ ( , )} ( ), ( ) exp{ ( , )}
[ , ]
� � � � � � �
0 1
2
( ), ( )
[ , ]
z d z� � ��
0 1
2
2
�
E z z x z x z x
N N
n|exp{ ( , ( , ))} ( , ) exp{ (( , ), ( , ))}� � � � � �1 1 n z x dz( , )|
[ , ]
2
0 1
2
� �
�
E z z x z x a z x
N N
i
n
u
N
i
exp{ ( , ( , ))} ( , ) exp{ (( , ), ( ,� � �
� 1 1 ))}
[ , ]
i
n
dz
�
'�
1
2
0 1
2
.
Ïîñëåäíåå ìàòîæèäàíèå â ñèëó (4) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n � � . Îòñþäà ïî-
ëó÷èì, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âûïîëíÿåòñÿ
ðàâåíñòâî
exp{ ( , ( , ))} ( , ( , )) lim exp{ (( , ),� � � � � � � �z z z
N N
n
n
�
��
11 ( , ))} ( , ( , ))z zn� � � �
ïî÷òè âåçäå ïî ïðîèçâåäåíèþ ìåð l P( , ãäå l — ìåðà Ëåáåãà íà [ , ]0 1
2
.
Êðîìå òîãî, ïî÷òè âñþäó ïî P èìååì � � � � � �( , ( , )) { (( , ), ( , )) / }z z E z
N N
z� �1 1
è � � � � � �( , ( , )) { (( , ), ( , )) / }z z E zn n z� �1 1 , ò.å. èç (4) ïîëó÷àåì
lim |exp{ ( , )} exp{ ( , )}|
[ , ]
n
N
nE z z dz
��
�� � � � �
2
0 1
2
0 ;
òàêèì îáðàçîì,
exp{ ( , )}( ) exp{ ( , )}( )� � � � � �z zn
N
� , n � �, ïî÷òè âñþäó ïî l P( ,
� � � � � �n
N
z z z z( , ( , )) ( , ( , ))� , n � �, ïî÷òè âñþäó ïî l P( .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 83
Èç çàìêíóòîñòè a z x( , , )U ñëåäóåò � � �
N
z z a z( , ( )) ( , , )� U äëÿ || ||� � N ïî÷òè
âñþäó ïî l P( .
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 4. Â óñëîâèÿõ 1–6 ìíîæåñòâî ïëîòíîñòåé D âûïóêëî â ïðîñòðàíñòâå
L P1 ( , , )� � .
Èç ëåìì 2–4 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò òåîðåìà.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–6. Òîãäà ìíîæåñòâî ïëîòíîñòåé D
ñëàáî êîìïàêòíî â òîïîëîãèè ïðîñòðàíñòâà L P1 ( , , )� � .
Îïðåäåëèì äîïóñòèìûå óïðàâëåíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (1) êàê âñå âîçìîæíûå îòî-
áðàæåíèÿ u C: [ , ]0 1 � � U è îáîçíà÷èì êëàññ äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé
~
U . Îáîçíà÷èì
òàêæå � ìåðó â ïðîñòðàíñòâå C, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëó÷àéíîìó ïîëþ B z
H H,
( )
.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü ìíîæåñòâî äîïóñòèìèõ óïðàâëåíèé U íåïóñòî. Òîãäà ñó-
ùåñòâóåò u U
*
� òàêîå, ÷òî J u J u( ) ( )
*
� äëÿ âñåõ u U� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèþ ñòîèìîñòè ìîæíî çàïèñàòü êàê
J u c z x u z x a dzu
C
( ) ( , , ( , ) ( ) ( )� � � � .
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ c t x u( , , ) îãðàíè÷åíà è èçìåðèìà, J u( ) — ëèíåéíà îòíîñè-
òåëüíî �( )au , òî ìíîæåñòâî { ( ),
~
}� a u Uu � ñëàáî êîìïàêòíî â ïðîñòðàíñòâå
L C B1 ( , , )� . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì íåîáõîäèìûé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 4 äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâ-
ëíåíèÿ ðåøåíèåì ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) ïðè ôóíê-
öèè ñòîèìîñòè èíòåãðàëüíîãî âèäà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. D e r i y e v a O . M . , P e p e l y a y e v a Ò . À . On the control problem for one type of stochastic processes //
Cybernetics and Systems Analysis. — 2004. — N 1. — P. 116–122.
2. Ê í î ï î â Ï . Ñ . , Ä å ð è å â à Å . Í . Î çàäà÷å óïðàâëåíèÿ ðåøåíèåì ñòîõàñòè÷åñêîãî
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ àäèòèâíûì äðîáíûì áðîóíîâñêèì ïðîöåññîì // Ïðîáëåìû
óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2010. — ¹ 3. — C. 78–85.
3. E r r a o u i M . , N u a l a r t D . , O u k n i n e Y . Hyperbolic stochastic partial differential equations with addi-
tive frsactional Brownian sheet. Math. Prepr. / Series N 307 (2002). — Universitat de Barselona. — 20 p.
4. A l o s E . , M a z e t O . , N u a l a r t D . Stochastic calculus with respect to Gaussian processes // Annals of
Probability. — 2001. — 29. — P. 766–801.
5. C a i r o l i R . , W a l s h J . B . Stochastic integrals in the plane // Acta Math. — 1975. — 134. — P. 111–183.
6. G i r s a n o v I . V . On transforming a certain class of stochastic processes by absolutely continuous substitu-
tion of measures // Theor. Probability Appl.— 1960. — 5. — P. 285–301.
7. D u n k a n T . , V a r a i y a P . On the solution of a stochastic control system // SIAM J. Control. — 1971. —
9, N 3. — P. 354–371.
8. B e n e s V . E . Existence of optimal stochastic control laws // SIAM J. Control. — 1971. — 9, N 3. —
P. 446–472.
Ïîñòóïèëà 17.03.2011
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Off
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages false
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams true
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts false
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile (Color Management Off)
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 290
/ColorImageMinResolutionPolicy /Warning
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 600
/ColorImageDepth 8
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.01667
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /FlateEncode
/AutoFilterColorImages false
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 290
/GrayImageMinResolutionPolicy /Warning
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 600
/GrayImageDepth 8
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 2.03333
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /FlateEncode
/AutoFilterGrayImages false
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 800
/MonoImageMinResolutionPolicy /Warning
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 2400
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/PDFX3:2003
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError false
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox false
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [2834.646 2834.646]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84162 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:36:20Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дериева, Е.Н. Герасименко, С.О. 2015-07-03T10:58:21Z 2015-07-03T10:58:21Z 2012 О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем / Е.Н. Дериева, С.О. Герасименко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 76-84. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84162 519.21 Запропоновано умови, достатні для існування оптимальної стратегії керування розв’язком стохастичного диференційного рівняння на площині, яке включає адитивне дробове вінерівське поле з параметром Херста з інтервалу (0,1/2)2 Control problem for stochastic differential equations on a plane containing additive fractional Brownian motion with Hurst parameter belonging to the interval (0,1/2)2 is considered. Sufficient conditions for the existence of optimum strategies are proposed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем Про задачу керування розв’язком стохастичного диференційного рівняння на площині з адитивним дробовим броунівським полем Control of the solution of stochastic differential equations on a plane with additive fractional Brownian motion Article published earlier |
| spellingShingle | О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем Дериева, Е.Н. Герасименко, С.О. Системный анализ |
| title | О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем |
| title_alt | Про задачу керування розв’язком стохастичного диференційного рівняння на площині з адитивним дробовим броунівським полем Control of the solution of stochastic differential equations on a plane with additive fractional Brownian motion |
| title_full | О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем |
| title_fullStr | О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем |
| title_full_unstemmed | О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем |
| title_short | О задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем |
| title_sort | о задаче управления решением стохастического дифференциального уравнения на плоскости с аддитивным дробным броуновским полем |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84162 |
| work_keys_str_mv | AT derievaen ozadačeupravleniârešeniemstohastičeskogodifferencialʹnogouravneniânaploskostisadditivnymdrobnymbrounovskimpolem AT gerasimenkoso ozadačeupravleniârešeniemstohastičeskogodifferencialʹnogouravneniânaploskostisadditivnymdrobnymbrounovskimpolem AT derievaen prozadačukeruvannârozvâzkomstohastičnogodiferencíinogorívnânnânaploŝinízaditivnimdrobovimbrounívsʹkimpolem AT gerasimenkoso prozadačukeruvannârozvâzkomstohastičnogodiferencíinogorívnânnânaploŝinízaditivnimdrobovimbrounívsʹkimpolem AT derievaen controlofthesolutionofstochasticdifferentialequationsonaplanewithadditivefractionalbrownianmotion AT gerasimenkoso controlofthesolutionofstochasticdifferentialequationsonaplanewithadditivefractionalbrownianmotion |