Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы

Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы

Поставлено і аналітично розв’язано оптимізаційну задачу розподілу зовнішніх ресурсів між підсистемами двохпродуктової системи, що розвивається, для заданого розподілу ії внутрішніх ресурсів. Доведено, що розв’язки цієї задачі якісно відрізняються залежно від величини часу моделювання. The problem of...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Кибернетика и системный анализ
Date:2012
Main Authors: Гирлин, С.К., Билюнас, А.В.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Subjects:
Системный анализ
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84166
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы / С.К. Гирлин, А.В. Билюнас // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 114-121. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84166
record_format dspace
spelling Гирлин, С.К.
Билюнас, А.В.
2015-07-03T11:12:51Z
2015-07-03T11:12:51Z
2012
Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы / С.К. Гирлин, А.В. Билюнас // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 114-121. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84166
519.711.3:517.9
Поставлено і аналітично розв’язано оптимізаційну задачу розподілу зовнішніх ресурсів між підсистемами двохпродуктової системи, що розвивається, для заданого розподілу ії внутрішніх ресурсів. Доведено, що розв’язки цієї задачі якісно відрізняються залежно від величини часу моделювання.
The problem of optimal distribution of external resources between the subsystems of a developing two-product system with a given distribution of internal resources is formulated and solved. It is proved that the solution of this problem is qualitatively dependent on the simulation time.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы
Аналітичний розв’язок задачі оптимального розподілу зовнішніх ресурсів між підсистемами двох-продуктової системи, що розвивається
Analytical solution for the optimal distribution of external resources between the subsystems of a developing two-product system
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы
spellingShingle Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы
Гирлин, С.К.
Билюнас, А.В.
Системный анализ
title_short Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы
title_full Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы
title_fullStr Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы
title_full_unstemmed Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы
title_sort аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы
author Гирлин, С.К.
Билюнас, А.В.
author_facet Гирлин, С.К.
Билюнас, А.В.
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
publishDate 2012
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Аналітичний розв’язок задачі оптимального розподілу зовнішніх ресурсів між підсистемами двох-продуктової системи, що розвивається
Analytical solution for the optimal distribution of external resources between the subsystems of a developing two-product system
description Поставлено і аналітично розв’язано оптимізаційну задачу розподілу зовнішніх ресурсів між підсистемами двохпродуктової системи, що розвивається, для заданого розподілу ії внутрішніх ресурсів. Доведено, що розв’язки цієї задачі якісно відрізняються залежно від величини часу моделювання. The problem of optimal distribution of external resources between the subsystems of a developing two-product system with a given distribution of internal resources is formulated and solved. It is proved that the solution of this problem is qualitatively dependent on the simulation time.
issn 0023-1274
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84166
citation_txt Аналитическое решение задачи оптимального распределения внешних ресурсов между подсистемами двухпродуктовой развивающейся системы / С.К. Гирлин, А.В. Билюнас // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 114-121. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT girlinsk analitičeskoerešeniezadačioptimalʹnogoraspredeleniâvnešnihresursovmeždupodsistemamidvuhproduktovoirazvivaûŝeisâsistemy
AT bilûnasav analitičeskoerešeniezadačioptimalʹnogoraspredeleniâvnešnihresursovmeždupodsistemamidvuhproduktovoirazvivaûŝeisâsistemy
AT girlinsk analítičniirozvâzokzadačíoptimalʹnogorozpodíluzovníšníhresursívmížpídsistemamidvohproduktovoísistemiŝorozvivaêtʹsâ
AT bilûnasav analítičniirozvâzokzadačíoptimalʹnogorozpodíluzovníšníhresursívmížpídsistemamidvohproduktovoísistemiŝorozvivaêtʹsâ
AT girlinsk analyticalsolutionfortheoptimaldistributionofexternalresourcesbetweenthesubsystemsofadevelopingtwoproductsystem
AT bilûnasav analyticalsolutionfortheoptimaldistributionofexternalresourcesbetweenthesubsystemsofadevelopingtwoproductsystem
first_indexed 2025-11-25T22:31:41Z
last_indexed 2025-11-25T22:31:41Z
_version_ 1850566077956751360
fulltext ÓÄÊ 519.711.3:517.9 Ñ.Ê. ÃÈÐËÈÍ, À.Â. ÁÈËÞÍÀÑ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÂÍÅØÍÈÕ ÐÅÑÓÐÑΠÌÅÆÄÓ ÏÎÄÑÈÑÒÅÌÀÌÈ ÄÂÓÕÏÐÎÄÓÊÒÎÂÎÉ ÐÀÇÂÈÂÀÞÙÅÉÑß ÑÈÑÒÅÌÛ Êëþ÷åâûå ñëîâà: îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à ðàñïðåäåëåíèÿ âíåøíèõ ðåñóðñîâ, äâóõïðîäóêòîâàÿ ñèñòåìà. Ìíîãèå ðåàëüíûå îáúåêòû ìîäåëèðîâàíèÿ (òåõíè÷åñêèå, ìàêðîýêîíîìè÷åñêèå, ýêîëîãè÷åñêèå, áèîëîãè÷åñêèå è äðóãèå ñèñòåìû) ìîæíî ðàññìîòðèâàòü êàê äâóõïðîäóêòîâûå ðàçâèâàþùèåñÿ ñèñòåìû. Ïîýòîìó î÷åâèäíî, ÷òî çàäà÷à íàèëó÷øåãî (ïî íåêîòîðîìó âûáðàííîìó êðèòåðèþ) ðàñïðåäåëåíèÿ âíåøíèõ ðåñóðñîâ ñèñòåìû ìåæäó åå ïîäñèñòåìàìè âåñüìà àêòóàëüíà. Ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì èññëåäîâàíèè ìàêðîýêîíîìè÷åñêîé çàäà÷è àêàäåìèê Â.Ì. Ãëóøêîâ ââåë íîâûé êëàññ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé îïèñàíèå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ óïðàâëÿåìûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè âîëüòåððîâñêîãî òèïà [1]. Õàðàêòåðíûìè îñîáåííîñòÿìè óðàâíåíèé Ãëóøêîâà ÿâëÿþòñÿ: — íàëè÷èå ôóíêöèè â íèæíèõ ïðåäåëàõ èíòåãðàëîâ (â ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷àõ ýòà çàäàííàÿ èëè èñêîìàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò èíòåðïðåòèðîâàòüñÿ êàê âðåìåííàÿ ãðà- íèöà ëèêâèäàöèè óñòàðåâøèõ òåõíîëîãèé ïðîèçâîäñòâà, à òåõíè÷åñêîå ïåðåâîîðó- æåíèå ïðîèçâîäñòâà ñ íèçêèìè òåõíèêî-ýêîíîìè÷åñêèìè ïîêàçàòåëÿìè ïðè îãðà- íè÷åííîñòè òðóäîâûõ è ìàòåðèàëüíûõ ðåñóðñîâ — âàæíåéøèé ôàêòîð óïðàâëåíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìîé); — íàëè÷èå â ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèÿõ ôóíêöèè, ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë êîòîðîé ñîñòîèò â ðàñïðåäåëåíèè ÷èñëà ðàáî÷èõ ìåñò ìåæäó îòðàñëÿìè ãðóïï À (ïðî- èçâîäñòâî ñðåäñòâ ïðîèçâîäñòâà) è Á (ïðîèçâîäñòâî ïðåäìåòîâ ïîòðåáëåíèÿ). Â.Ì. Ãëóøêîâ ñòàâèë î÷åíü âàæíóþ äëÿ ïðàêòèêè ìàòåìàòè÷åñêóþ çàäà÷ó, ñîñòîÿùóþ â ìàêñèìèçàöèè îæèäàåìîãî âûõîäà ïðîäóêöèè îòðàñëåé ïðîèçâî- äñòâà ãðóïïû Á çà íåêèé ïëàíîâûé ïåðèîä ñ ïîìîùüþ âûáîðà íàèëó÷øåãî è ñáà- ëàíñèðîâàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàáî÷èõ ìåñò ìåæäó ãðóïïàìè À è Á (ïðè îïðåäå- ëåííûõ îãðàíè÷åíèÿõ çàäàâàëèñü óðàâíåíèÿ áàëàíñà ðàáî÷åé ñèëû è ðîñòà ôîí- äîâ). Îñíîâíîé ôóíäàìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò êà÷åñòâåííîãî èññëåäîâàíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì [2]: äëÿ ìàêñèìèçàöèè âûõîäà ïðîäóêòîâ ïîòðåáëåíèÿ íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì îòðåçêå âðåìåíè ïëàíèðîâàíèÿ äî- êàçàíà íåîáõîäèìîñòü ðîñòà ÷èñëà ðàáî÷èõ ìåñò â ãðóïïå À ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ìè- íèìàëüíî äîïóñòèìûì êîëè÷åñòâîì, êîòîðîå ìàêñèìèçèðóåò âûõîä ïðîäóêòîâ ïîòðåáëåíèÿ íà íåáîëüøîì îòðåçêå âðåìåíè ïëàíèðîâàíèÿ.  äàëüíåéøåì íîâûé êëàññ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé ìàêðîýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷ ïðèìåíÿëñÿ äëÿ øèðîêîãî êëàññà ðàçâèâàþùèõñÿ ñèñòåì (áèîëîãè÷åñêèõ, ýêîëîãè÷åñêèõ, òåõíè÷åñêèõ è äð.). Áûëè îïóáëèêîâàíû ñîòíè íàó÷íûõ ðàáîò è ÷åòûðå ìîíîãðàôèè [3–6] î ìîäåëèðîâàíèè ðàçâèâàþùèõñÿ ñèñòåì (ÐÑ) óðàâíåíèÿìè Ãëóøêîâà, ãäå èññëåäîâàëèñü âîïðîñû ñóùåñòâîâàíèÿ, åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ãëóøêîâà, ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ ñòðóêòóðû è àñèìïòîòèêè ðåøåíèé ðàçëè÷íûõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÐÑ, ïðåäëîæåíû àëãîðèòìû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííûõ çàäà÷ è èçó÷åíû âîïðîñû ýôôåêòèâíîñòè 114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 � Ñ.Ê. Ãèðëèí, À.Â. Áèëþíàñ, 2012 ýòèõ àëãîðèòìîâ.  áîëüøèíñòâå ïóáëèêàöèé èññëåäîâàëèñü çàäà÷è äëÿ ÐÑ ñ çàäàííîé íà÷àëüíîé ïðåäûñòîðèåé, ïðè÷åì íåïîñðåäñòâåííîå âîçäåéñòâèå íà ñèñòåìó âíåøíèõ äëÿ íåå ôàêòîðîâ íå ðàññìàòðèâàëîñü. Íà îñíîâå ðàçäåëåíèÿ ðåñóðñîâ ÐÑ íà âíóòðåííèå è âíåøíèå (ïîñòóïàþùèå â ñèñòåìó èçâíå) â [7] ïðåäëîæåíû, à â [8] óòî÷íåíû óðàâíåíèÿ ÐÑ, êîòîðûå â îòëè÷èå îò óðàâíåíèé Ãëóøêîâà èñïîëüçóþò ôóíêöèè áîëåå øèðîêîãî êëàññà, äîïîëíèòåëüíî ó÷èòûâàþò íåïîñðåäñòâåííîå âîçäåéñòâèå âíåøíèõ ôàêòîðîâ íà ÐÑ, ïîçâîëÿþò èçó÷àòü çàäà÷è áåç íà÷àëüíîé ïðåäûñòîðèè ñèñòåìû äî ìîìåíòà íà÷àëà åå ìîäåëèðîâàíèÿ è äàþò âîçìîæíîñòü ýôôåêòèâíåå óïðàâëÿòü äàííîé ñèñòåìîé çà ñ÷åò ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ ìåæäó ïîäñèñòåìàìè íå òîëüêî âíóòðåííèõ, íî è âíåøíèõ ðåñóðñîâ.  [7] êà÷åñòâåííî èññëåäîâàíà îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à ðàñïðåäåëåíèÿ êàê âíóòðåííèõ, òàê è âíåøíèõ ðåñóðñîâ ÐÑ ìåæäó åå ïîäñèñòåìàìè è ïîëó÷åí àíàëîãè÷íûé [2] ðåçóëüòàò. Äëÿ îäíîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ äâóõïðîäóêòîâîé ìàêðîýêîíîìè÷åñêîé ìîäåëè íàéäåíû àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ ðàñïðåäåëåíèÿ: — âíóòðåííèõ ðåñóðñîâ (âíåøíèå ðåñóðñû íå ó÷èòûâàëèñü) [3]; — êàê âíóòðåííèõ, òàê è âíåøíèõ ðåñóðñîâ [9]; — âíåøíèõ ðåñóðñîâ ïðè çàäàííîì ðàñïðåäåëåíèè âíóòðåííèõ ðåñóðñîâ [10, 11]. Öåëü íàñòîÿùåé ñòàòüè ñîñòîèò â ðåøåíèè îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è ðàñïðåäåëåíèÿ âíåøíèõ ðåñóðñîâ ìåæäó ïîäñèñòåìàìè äâóõïðîäóêòîâîé ðàçâèâàþùåéñÿ ñèñòåìû ïðè çàäàííîì ðàñïðåäåëåíèè åå âíóòðåííèõ ðåñóðñîâ äëÿ áîëåå øèðîêîãî, ÷åì îïèñàííîãî â [10, 11], êëàññà ìîäåëåé ÐÑ. Ðàññìîòðåâ îáúåêò ìîäåëèðîâàíèÿ êàê äâóõïðîäóêòîâóþ ÐÑ [3], âûäåëèì â íåì äâå ïîäñèñòåìû: — ïîäñèñòåìà ñàìîñîâåðøåíñòâîâàíèÿ À, â êîòîðîé îäíîé ÷àñòüþ ïðîäóêòîâ ïåðâîãî ðîäà (ìàòåðèàëüíî, ýíåðãåòè÷åñêè è èíôîðìàöèîííî îáåñïå÷èâàþùèõ âíóòðåííþþ ôóíêöèþ îáúåêòà ìîäåëèðîâàíèÿ — åãî ñóùåñòâîâàíèå è ðàçâèòèå) ñîçäàþòñÿ íîâûå, áîëåå ýôôåêòèâíûå (ïðîèçâîäè- òåëüíûå) ïðîäóêòû ïåðâîãî ðîäà; — ïîäñèñòåìà Á, â êîòîðîé äðóãîé ÷àñòüþ ïðîäóêòîâ ïåðâîãî ðîäà âûïîëíÿ- åòñÿ îñíîâíàÿ (âíåøíÿÿ) ôóíêöèÿ îáúåêòà ìîäåëèðîâàíèÿ — âûïóñê íåêîòîðûõ ïðîäóêòîâ âòîðîãî ðîäà, ìàòåðèàëüíî, ýíåðãåòè÷åñêè è èíôîðìàöèîííî îáåñïå- ÷èâàþùèõ ýòó âíåøíþþ ôóíêöèþ è ÿâëÿþùèõñÿ ðåçóëüòàòîì âçàèìîäåéñòâèÿ ýòîãî îáúåêòà ñ âíåøíåé ñðåäîé.  ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå ïðîäóêòàìè ïåðâîãî ðîäà ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, ðà- áî÷èå ìåñòà, à âòîðîãî ðîäà — ïðîäóêòû ñèñòåìû, ïîñòóïàþùèå âíåøíåìó çà- êàç÷èêó. Âíóòðåííèìè ðåñóðñàìè ÐÑ áóäåì ñ÷èòàòü òîëüêî ïðîäóêòû ïåðâîãî ðîäà, ÿâëÿþùèåñÿ èñòî÷íèêàìè ñàìèõ ñåáÿ è ïðîäóêòîâ âòîðîãî ðîäà. Âíåøíèìè ðåñóðñàìè ÐÑ áóäåì íàçûâàòü ïðîäóêòû êàê ïåðâîãî, òàê è âòîðîãî ðîäà, ïîñòó- ïàþùèå â ÐÑ èç âíåøíåé ñðåäû (ïðè ýòîì ÷àñòü âíåøíèõ ðåñóðñîâ ñòàíîâèòñÿ âíóòðåííèìè ðåñóðñàìè ÐÑ). Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: m t( ) è c t( ) — ñêîðîñòè ïîÿâëåíèÿ â ðàñ- ñìàòðèâàåìîé ÐÑ â ìîìåíò âðåìåíè t íîâûõ ïðîäóêòîâ ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäîâ; f t( ) — ñêîðîñòü ïîñòóïëåíèÿ â ÐÑ â ìîìåíò t âíåøíåãî ðåñóðñà ( ,f m è c ïðåäïîëàãàþòñÿ îäíîé ðàçìåðíîñòè); x t f t( ) ( ) è ( ( )) ( )1� x t f t — ñêîðîñ- òè ïîñòóïëåíèÿ â ÐÑ â ìîìåíò âðåìåíè t ïðîäóêòîâ ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäîâ; y m( ) ( )� � è ( ( )) ( )1� y m� � — äîëè m( )� , èñïîëüçóåìûå â äàëüíåé- øåì äëÿ ïðîèçâîäñòâà ñîîòâåòñòâåííî m t( ) â ïîäñèñòåìå À è c t( ) â ïîäñèñòåìå Á, 0 � �� t, 0 1� �y ; a t( ) — ìàêñèìàëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ðàíåå êîòîðîãî ïîÿâèâøè- åñÿ â ÐÑ ïðîäóêòû ïåðâîãî ðîäà íå ôóíêöèîíèðóþò ïî êàíàëàì ym m� è ( )1� y m â ìîìåíò âðåìåíè t, a t t( ) � (äëèíà âðåìåííîãî èíòåðâàëà t a t� ( ) íàçûâàåòñÿ ïðî- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 115 äîëæèòåëüíîñòüþ ïîñëåäåéñòâèÿ èëè ïàìÿòüþ ñèñòåìû); � �( , )t è � �( , )t — ñêî- ðîñòè ñîçäàíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t íîâûõ ïðîäóêòîâ ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäîâ, ïðèõîäÿùèåñÿ íà îäíó åäèíèöó èç ïîÿâèâøèõñÿ â ìîìåíò � ïðî- äóêòîâ ïåðâîãî ðîäà â ïîäñèñòåìàõ À è Á, 0 � �� t; t0 — ìîìåíò íà÷àëà ìîäåëè- ðîâàíèÿ ÐÑ (ÐÑ íàçûâàåòñÿ âîçíèêàþùåé, åñëè a t t( ) � 0). Ïðèìåì, ÷òî íà ïðîìåæóòêå ( ( ), )inf t t T a t t 0 0 � � çàäàíû ôóíêöèè y y( ) ( )� �� 0 è m m( ) ( )� �� 0 ; 0 0� � � � t t T ; âñå ðàññìàòðèâàåìûå ôóíêöèè, êðîìå a t( ), ïî îïðåäåëåíèþ íåîòðèöàòåëüíû. Ïîëîæèì a t( ) � 0, � � � � �( , ) ( ) ( )t t� 1 2 , 0 � �� t, t t T0 � � � , è ðàññìîò- ðèì íà [ , ]t T0 ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé m t( ), c t( ): m t t y m d x t f t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� �� � � � � �1 2 0 , (1) c t t y m d x t f t t ( ) ( , )( ( )) ( ) ( ( )) ( )� � �� � � � � �1 1 0 , (2) ãäå çàäàíû êóñî÷íî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè y s y s( ) ( )� 0 , m s m s( ) ( )� 0 , a t( )0 � � � � �0 0s t T , 0 � �� t, t t T [ , ]0 . Òåîðåìà 1. Ïóñòü çàäàíû íåîòðèöàòåëüíûå íåïðåðûâíûå â ñâîèõ îáëàñòÿõ îïðåäåëåíèé ôóíêöèè f t( ), �1 ( )t , � 2 ( )s , �( , )t s , y t( ) è êóñî÷íî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè x t( ), y0 ( )� , m0 ( )� , ïðè÷åì 0 1� �x t( ) , 0 1� �y t( ) , 0 10� �y ( )� , ôóíêöèÿ m0 ( )� îãðàíè÷åíà, � [ , )0 0t , 0 � �s t, 0 0� � � � t t T . Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé (1), (2) èìååò íà t t T [ , ]0 åäèíñòâåííîå ðåøåíèå m t t A t y x f d m A t t t t ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) *� � �� � � � � � � �1 2 0 0� � � � � � � x t f t( ) ( ), (3) c t x f B t y t y d t ( ) ( ) ( )[ ( , ) ( ) ( ) ( , )( ( ))]� � � � � � � � � � � �2 1 0 t � �m B t t c t x t f t * * ( , ) ( ) ( ( )) ( )0 1 , (4) ãäå A t u u y u du t ( , ) exp ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � �� 1 2 , B t A u u t u y u du t ( , ) ( , ) ( ) ( , )( ( ))� � � � � � �� 1 1 , m y m d t * ( ) ( ) ( )� � � � � � �2 0 0 0 0 , c t t y m d t * ( ) ( , )( ( )) ( )� �� � � � � �1 0 0 0 0 , ïðè÷åì m t( ), c t( ) êóñî÷íî íåïðåðûâíû íà [ , ]t T0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èâ k t t t y t( ) ( ) ( ) ( )� � �1 2 , n t m t x t f t( ) ( ) ( ) ( )� � , F t k t m y x f d t t ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ) * � � � � � � � �2 0 , N t y n d t t ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �2 0 è ðàçáèâ îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ [ , ]0 t íà äâà ïîäîòðåçêà: [ , ]0 0t è [ , ]t t0 , óðàâíåíèå (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå � � �N t k t N t F t( ) ( ) ( ) ( ) , (5) ãäå k t( ) è F t( ) — èçâåñòíûå è íåïðåðûâíûå íà [ , ]t T0 ôóíêöèè. Óðàâíåíèå (5) 116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì N t( )0 0� ëåãêî ðåøèòü íà [ , ]t T0 , íàïðèìåð, ìåòîäîì Ýéëåðà, óìíîæèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà exp � � � � � � � � � � k u du t t ( ) 0 è ïðîèíòåãðèðîâàâ îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà îò t0 äî t.  ðåçóëüòàòå íàõîäèì ðåøåíèå N t F k u du d t t t ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � �� � � � exp 0 èëè, âîçâðàùàÿñü ê ïðåæíèì îáîçíà÷åíèÿì, äëÿ t t T [ , ]0 ïîëó÷èì m t x t f t t y x f d t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �� � � � � � �1 2 0 � � � � � � � ��� � � � � � � � � 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y s s y s ds d t t t exp � � � 2 0 ( ) ( ) ( ) ( )u y u x u f u du t � � � � � � �m t y s s y s ds t t t * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � 1 1 2 1 21 0 exp � � � � � � � � � � � � � � � � d� . (6) Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íàõîäèì � � � � � � � � � � 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (y s s y s ds d u t exp � � � � � � � � � ) ( ) ( ) ( )y u x u f u du tt t 00 � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � 2 1 2 0t t t y x f s s y s ds( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp � � � � � � � � � � � �1 d� � �� � � � � � � �2 0 1 t t y x f A t d( ) ( ) ( ) ( )( ( , ) ) , (7) � � � � � � � � � 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t y s s y s ds d� � � � � � � � � � exp � � � � � � � � � � � � ��exp � �1 2 0 1( ) ( ) ( )s s y s ds t t � �A t t( , )0 1 . (8) Ïîäñòàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (6) ïðàâûå ÷àñòè ðàâåíñòâ (7) è (8), ïî- ëó÷àåì ðàâåíñòâî (3). Ðàçáèâàÿ îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ â óðàâíåíèè (2) íà ïîäîòðåçêè [ , ]0 0t , [ , ]t t0 è ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå íàéäåííóþ ôóíêöèþ m t( ) , èìååì c t c t x t f t t y x f t t ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( , )( ( )) ( ) ( ) * � � ��1 1 0 � � � � � d� � � � � � � �m t y s s y s ds t * ( , ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � 1 1 1 2 0 exp � � � � � � d t t �� 0 �� � � � � � � � �( , )( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (t y d u y u x u f u s t t 1 1 2 1 0 exp ) ( ) ( ) .� �� 2 0 s y s ds du ut �� � � � � � � � � (9) Èçìåíèâ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (9) ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ â ïîâòîðíîì èíòåãðàëå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 117 d t y u y u x u f u tt t � � � � � � � � � ( , )( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 00 ��� exp 1 2( ) ( ) ( )s s y s ds du u � �� � � � � � � � � � � ��� du t y u y u x u f u u t t t � � � � � � �( , )( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 0 exp 1 2( ) ( ) ( )s s y s ds d u � � �� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � �2 11 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ( )) ( )u y u x u f u du t y u t t t exp 1 2( ) ( ) ( )s s y s ds d u � � �� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � 2 11 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ( )) ( )y x f d t u y u u t t t exp 1 2( ) ( ) ( )s s y s ds du u � �� � � � � � � � � � � � B t y x f d t t ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �2 0 è âûïîëíèâ òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî (4). Î÷åâèäíî, íàéäåííûå ôóíêöèè m t( ), c t( ) êóñî÷íî íåïðåðûâíû íà [ , ]t T0 (êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé êóñî÷íî íåïðåðûâíîé è íåïðåðûâíîé ôóíêöèé). Òåîðåìà äîêàçàíà. Ïîñêîëüêó â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 äëÿ ëþáîé çàäàííîé êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x t( ), 0 1� �x t( ) , ñèñòåìà (1), (2) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà, ìîæíî ïîñòà- âèòü ñëåäóþùóþ îïòèìèçàöèîííóþ çàäà÷ó: â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 èç óðàâíåíèé (1), (2) ñðåäè âñåõ êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé x t( ), 0 1� �x t( ) , çàäàííûõ íà [ , ]t T0 , t T0 � � , íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ x t( ) (è ñîîòâåòñòâóþùèå åé ôóíêöèè m t( ), c t( )), êîòîðàÿ áû äîñòàâëÿëà ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëó I x c t dt t T ( ) ( )� � 0 . Îáîçíà÷èì � � � �( , ) ( , )T t t d t T � � �1 , � � � � � �( , ) ( , )( ( )) ( , ) ( ) ( )t t y t B t t y t� � 1 2 , ãäå B t( , )� îïðåäåëåíî â òåîðåìå 1, t t T0 � � �� . Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1. Ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëà I x( ) äîñòèãàåòñÿ ïðè x t( ) � 0, åñëè �( , )T t � 0, è ïðè x t( ) �1 , åñëè �( , )T t � 0, t t T [ , ]0 .  ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: — åñëè y t( ) �1, t t T [ , ]0 , òî íåçàâèñèìî îò âåëè÷èíû T t� 0 ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëà I x( ) äîñòèãàåòñÿ ïðè x t( ) � 0, t t T [ , ]0 ; — åñëè T t� 0 äîñòàòî÷íî ìàëî, òî ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëà I x( ) äîñòèãàåòñÿ ïðè x t( ) � 0 , t t T [ , ]0 ; — åñëè T t� �0 1 � , inf const t t t y t 0 1 0 � � � � � � � � � � �( , )( ( )) , òî ìàêñèìóì ôóíê- öèîíàëà I x( ) äîñòèãàåòñÿ ïðè x t( ) �1 íà t T0 1 , � � � � � � � � , ò.å. â íà÷àëüíîé ÷àñòè îòðåç- êà [ , ]t T0 , è ïðè x t( ) � 0 — â êîíöå ýòîãî îòðåçêà, ïðè÷åì èñêîìîå ýêñòðåìàëüíîå óïðàâëåíèå x t( ), t t T 0 � � , ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå 0 èëè 1 íà êàæäîì èç ïîäûíòåðâàëîâ îòðåçêà [ , ]t T0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì I x c t dt f t c t m t y t T t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )( ( ))* *� � �� 0 0 1 1� � � � � t t T �� � � � � � 0 � � � � � � � � � � � � � � � �exp � � � � � � 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (s s y s ds d dt x f t ) ( , ) ( ) ( )� � � t d x t f t dt t t t T 00 �� � � � � � � � � . 118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé Äèðèõëå èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ â ïîâòîðíîì èíòåãðàëå dt x f t d d x f t dt t t t T T t ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )� � � � � � � � � � � � ��� � 00 0 T � � ��� �x f d t dt x t f t dt t d T t T t T t ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ,� � � � � � � � �0 0 T � ïîëó÷èì I x I x f t d x t f t d t t t T ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) * � � � � � � � � � � �� � � � � � 00 t I x t f t t d dt t T t T � � � � � � � � � � �� * ( ) ( ) ( , )� � � 1 0 èëè I x I x t f t T t dt t T ( ) ( ) ( ) ( , ) *� � � 0 , (10) ãäå I f t c t m t y s s y * * * ( ) ( ) ( ) ( , )( ( )) ( ) ( ) (� �� � � � � � �1 1 21 exp s ds d dt tt t t T ) ) 000 � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � [ ( ) ( ) ( , )] * * f t c t m B t t dt t T 0 0 , � � � �( , ) ( , )T t t d t T � � �1 , � � � � � � � ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )( ( ))t t y t u u y u t � � ��2 1 1 � � � � � � � � � � ��exp � � � � �1 2 1( ) ( ) ( ) ( , )( ( ))s s y s ds du t y t t u ( , )( ( )) ( , ) ( ) ( )� � �t y t B t t y t1 2� , m y m d t * ( ) ( ) ( )� � � � � � �2 0 0 0 0 , c t t y m d t * ( ) ( , )( ( )) ( )� �� � � � � �1 0 0 0 0 . Åñëè y t( ) �1, t t T [ , ]0 , òî � �( , )t � 0, �( , )T t � �1, t t T0 � � �� , I x( ) � � � �I x t f t dt t T * ( ) ( ) 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, íåçàâèñèìî îò âåëè÷èíû T t� 0 ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëà I x( ) äîñòèãàåòñÿ ïðè x t( ) � 0, t t T [ , ]0 . Ïîñêîëüêó �( , )T T � � �1 0 è íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ �( , )T t ñîõðàíÿåò çíàê â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè t T� , ìîæíî ñ÷èòàòü äîêàçàííûìè ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ �( , )T t � 0 ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ T t� 0 ; — åñëè T t� �0 1 � , ãäå 0 1 0 � � � � � � const = inf� � � �t t t y t( , )( ( )), òî �( , )T t � � � � ��( )T t 1 0 äëÿ t t T � � � � � � �0 1 , � è ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî , T T� � � 1 � , ÷òî �( , )T t � 0 äëÿ t T ( , ] . Èç ôîðìóëû (10) âûòåêàåò, ÷òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëà I x( ) äîñòèãàåòñÿ ïðè x t( ) � 0, åñëè �( , )T t � 0, è ïðè x t( ) �1 , åñëè �( , )T t � 0, t t T [ , ]0 . Îòêóäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 119 Äëÿ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ðàññìîòðåííîãî êëàññà ìîäåëåé ÐÑ äîêàçàíû òåîðå- ìû 3 â [10] è 4 â [11]. Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1, �1 1( )t � , � �2 0( )s � � , � �( , )t s � � 0, y t y( ) [ , ]� 0 1 , ãäå �, � è y — const, s t [ , ]0 , t t T [ , ]0 . Åñëè y �1 , òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé T t� 0 ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëà I x( ) äîñòèãàåòñÿ ïðè x t( ) � 0, t t T [ , ]0 . Åñëè y � 0, òî ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëà I x( ) äîñòèãàåòñÿ äëÿ T t� �0 1 � ïðè x t( ) � 0, t t T [ , ]0 , à äëÿ T t� �0 1 � ïðè x t( ) �1 íà t T0 1 , � � � � � � � � � è x t( ) � 0 íà T T� � � � � � � 1 � , . Åñëè 0 1� �y , òî ìàêñèìóì ôóíêöèîíàëà I x( ) äîñòèãàåòñÿ äëÿ T t y y y � � � � � � � � � � �0 1 1 1� � � ln ( ) ïðè x t( ) � 0, t t T [ , ]0 , à äëÿ T t y y y � � � � � � � � � � �0 1 1 1� � � ln ( ) ïðè x t( ) �1 íà t T y y y 0 1 1 1 , ln ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � è x t( ) � 0 íà T y y y T� � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1� � � ln ( ) , . Òåîðåìà 4. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1, �1 1( )t � , � �2 0( )s � � , � �( , )t s � � 0, y t y( ) [ , ]� 0 1 , f t f( ) � � 0, x t x( ) [ , ]� 0 1 , ãäå �, �, x, y è f — const, s t [ , ]0 , t t T [ , ]0 . Åñëè y �1 , òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé T t� 0 ìàêñèìóì ôóíêöèè I x( ) äîñòèãàåòñÿ ïðè x � 0. Åñëè y � 0, òî ìàêñèìóì ôóíêöèè I x( ) äîñòèãàåòñÿ äëÿ T t t � � � � � �0 0 2 , � ïðè x � 0, à äëÿ T t� 0 2 � ïðè x �1 . Åñëè 0 1� �y , òî ìàêñèìóì ôóíêöèè I x( ) äîñòèãàåòñÿ äëÿ T t T [ , ] * 0 ïðè x � 0, à äëÿ T T� * ïðè x �1 , ãäå T T� * — ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ e y y y T t y T t� � � � ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � �0 1 1 1 00 . Òàêèì îáðàçîì, ïîñòàâëåíà è àíàëèòè÷åñêè ðåøåíà çàäà÷à ìàêñèìèçàöèè íà çàäàííîì âðåìåííîì îòðåçêå ïëàíèðîâàíèÿ âûõîäà ïðîäóêòîâ âòîðîãî ðîäà, îáå- ñïå÷èâàþùèõ îñíîâíóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû, ïîñðåäñòâîì íàèëó÷øåãî ðàñïðåäå- ëåíèÿ âíåøíèõ ðåñóðñîâ ìåæäó ïîäñèñòåìàìè À (ïîäñèñòåìîé ñàìîñîâåðøåí- ñòâîâàíèÿ ñèñòåìû) è Á (ïîäñèñòåìîé âûïîëíåíèÿ îñíîâíîé ôóíêöèè ñèñòåìû) äâóõïðîäóêòîâîé ðàçâèâàþùåéñÿ ñèñòåìû äëÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âíóò- ðåííèõ ðåñóðñîâ ìåæäó ýòèìè ïîäñèñòåìàìè. Ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è ìîæåò èí- òåðïðåòèðîâàòüñÿ êàê äîñòèæåíèå ðåêîðäà âíåøíåé ôóíêöèè ñèñòåìû íà çàäàí- íîì âðåìåííîì ïðîìåæóòêå. Äîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è êà÷åñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû âðåìåíè ïëàíèðîâàíèÿ (ìîäåëèðîâàíèÿ) è èñêîìûé îïòèìóì äîñòèãàåòñÿ: — ïðè ìàêñèìàëüíîì èñïîëüçîâàíèè â ïîäñèñòåìå Á âíåøíèõ ðåñóðñîâ äëÿ âûïîëíåíèÿ îñíîâíîé ôóíêöèè ñèñòåìû â ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ìàëîé âåëè÷èíû âðåìåíè ïëàíèðîâàíèÿ ïðè ëþáîì ðàñïðåäåëåíèè ìåæäó ïîäñèñòåìàìè À è Á âíóòðåííèõ ðåñóðñîâ ñèñòåìû, à òàêæå íåçàâèñèìî îò âåëè÷èíû âðåìåíè ïëàíèðîâàíèÿ ïðè ïîñòóïëåíèè âíóòðåííèõ ðåñóðñîâ òîëüêî â ïîäñèñòåìó À; — â ñëó÷àå äîñòàòî÷íî áîëüøîé âåëè÷èíû âðåìåíè ïëàíèðîâàíèÿ ïðè ïî- ñòóïëåíèè âíóòðåííèõ ðåñóðñîâ íå òîëüêî â ïîäñèñòåìó À ïðè ìàêñèìàëüíîì èñ- ïîëüçîâàíèè â íåé âíåøíèõ ðåñóðñîâ íà âíóòðåííèå ïîòðåáíîñòè ñèñòåìû íà áîëüøåé íà÷àëüíîé ÷àñòè îòðåçêà ïëàíèðîâàíèÿ è ìàêñèìàëüíîì èñïîëüçîâàíèè 120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 â ïîäñèñòåìå Á âíåøíèõ ðåñóðñîâ äëÿ âûïîëíåíèÿ îñíîâíîé ôóíêöèè ñèñòåìû â êîíöå ýòîãî âðåìåííîãî îòðåçêà (åñëè ïðåäóñìîòðåíà âîçìîæíîñòü èçìåíåíèÿ íà ïëàíîâîì ïðîìåæóòêå ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ âíåøíèõ ðåñóðñîâ), à òàêæå ïðè ìàêñèìàëüíîì èñïîëüçîâàíèè â ïîäñèñòåìå À âíåøíèõ ðåñóðñîâ íà âíóòðåííèå ïîòðåáíîñòè ñèñòåìû íà âñåì îòðåçêå âðåìåíè ïëàíèðîâàíèÿ (åñëè íå ïðåäó- ñìîòðåíà óêàçàííàÿ âûøå âîçìîæíîñòü). Çàìåòèì, ÷òî âûáîð âåëè÷èíû çàäàííîãî ïðîìåæóòêà ïëàíèðîâàíèÿ T t� 0 ÿâëÿåòñÿ âåñüìà íåòðèâèàëüíûì (íàïðèìåð, îíà ìîæåò îãðàíè÷èâàòü äîñòîâåðíûé ïðîãíîç èñõîäíûõ ïðîèçâîäèòåëüíîñòåé � è �). Êàê îòìå÷àåòñÿ â [3], â ðåçóëüòàòå ñíèæåíèÿ ñïðîñà íà ïðîäóêòû ïî èñòå÷åíèè îïðåäåëåííîãî âðåìåíè (ïî îòíîøåíèþ ê ìîìåíòó íà÷àëà ïëàíèðîâàíèÿ t0) îáû÷íî ñóùåñòâóåò òàêîå îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå T * , ÷òî ñ ó÷åòîì óâåëè÷åíèÿ ñïðîñà íà ïðîäóêòû íà îòðåçêå [ , ]t T0 (T T� *) íå êîìïåíñèðóåò åãî óìåíüøåíèÿ íà îòðåçêå [ , ] * t T0 .  ýòîì ñëó÷àå óäà÷íûì ìîæåò îêàçàòüñÿ âûáîð îòðåçêà [ , ] * t T0 . Äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ïîëó÷åíèå àíàëèòè- ÷åñêîãî ðåøåíèÿ äëÿ äðóãèõ êðèòåðèåâ îïòèìèçàöèè, íàïðèìåð, â [3, 11]. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. à ë ó ø ê î â  . Ì . Îá îäíîì êëàññå äèíàìè÷åñêèõ ìàêðîýêîíîìè÷åñêèõ ìîäåëåé // Óïðàâëÿ- þùèå ñèñòåìû è ìàøèíû. — 1977. — ¹ 2. — Ñ. 3–6. 2. à ë ó ø ê î â  . Ì . , È â à í î â  .  . Ìîäåëèðîâàíèå îïòèìèçàöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàáî÷èõ ìåñò ìåæäó îòðàñëÿìè ïðîèçâîäñòâà À è Á // Êèáåðíåòèêà. — 1977. — ¹ 6. — Ñ. 117–131. 3. à ë ó ø ê î â  . Ì . , È â à í î â  .  . , ß í å í ê î  . Ì . Ìîäåëèðîâàíèå ðàçâèâàþùèõñÿ ñèñòåì. — Ì.: Íàóêà, 1983. — 352 ñ. 4. ß ö å í ê î Þ . Ï . Èíòåãðàëüíûå ìîäåëè ñèñòåì ñ óïðàâëÿåìîé ïàìÿòüþ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1991. — 220 ñ. 5. I v a n o v V . V . Model development and optimization. — Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 1999. — 249 p. 6. I v a n o v V . V . , I v a n o v a N . V . Mathematical models of the cell and cell associated objects. — Amsterdam: Elsevier, 2006. — 333 p. 7. à è ð ë è í Ñ . Ê . , È â à í î â  .  . Ìîäåëèðîâàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ðàçâèâàþùèõñÿ ñèñòåì // Äîêë. ÀÍ ÓÑÑÐ. Ñåð. À. — 1986. — ¹ 1. — Ñ. 58–60. 8. à è ð ë è í Ñ . Ê . Ìîäåëèðîâàíèå âîçíèêàþùèõ ðàçâèâàþùèõñÿ ñèñòåì // Òàì æå. — 1987. — ¹ 10. — Ñ. 65–67. 9. à è ð ë è í Ñ . Ê . , Á è ë þ í à ñ À .  . Ìîäåëèðîâàíèå îïòèìèçàöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âíóòðåí- íèõ è âíåøíèõ ðåñóðñîâ â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå // Ñòàëèé ðîçâèòîê ï³äïðèºìñòâ ñôåðè ïî- ñëóã: Ìàòåð³àëè Âñåóêð. íàóê.-ïðàêò. êîíô. (ßëòà, 23–24 æîâò. 2009 ð.). — ßëòà: ÐÂÍÇ Êðèì. ãóìàí³òàð. óí-ò, 2009. — Ñ. 287–290. 10. à è ð ë è í Ñ . Ê . , Á è ë þ í à ñ À .  . Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå îäíîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îòêðûòîé ðàçâèâàþùåéñÿ ñèñòåìîé // Ìåòîäîëîã³÷í³ òà ìåòîäè÷í³ îñíîâè àê- òèâ³çàö³¿ íàâ÷àëüíî-ï³çíàâàëüíî¿ ä³ÿëüíîñò³ ñòóäåíò³â ó ïðîöåñ³ âèâ÷åííÿ ìàòåìàòè÷íèõ äèñ- öèïë³í: Ìàòåð³àëè Âñåóêð. íàóê.-ïðàêò. êîíô. (ßëòà, 23–24 ëèñòîï. 2009 ð.). — ßëòà: РÊðèì. ãóìàí³òàð. óí-ò, 2009. — Âèï. 3. — Ñ. 191–197. 11. à è ð ë è í Ñ . Ê . Ëåêöèè ïî èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì. — ßëòà: РÊðèì. ãóìàí³òàð. óí-ò, 2010. — 177 ñ. Ïîñòóïèëà 19.01.2011 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 6 121 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Off /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages false /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams true /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts false /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile (Color Management Off) /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 290 /ColorImageMinResolutionPolicy /Warning /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 600 /ColorImageDepth 8 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.01667 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /FlateEncode /AutoFilterColorImages false /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 290 /GrayImageMinResolutionPolicy /Warning /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 600 /GrayImageDepth 8 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 2.03333 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /FlateEncode /AutoFilterGrayImages false /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 800 /MonoImageMinResolutionPolicy /Warning /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 2400 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /PDFX3:2003 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError false /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox false /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /Description << /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /DAN <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> /ESP <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> /FRA <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> /ITA <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> /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /PTB <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> /SUO <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> /SVE <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /NoConversion /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /NA /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure true /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [2834.646 2834.646] >> setpagedevice

Similar Items