Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью
Розглянуто задачу відновлення функціональної залежності часових рядів від індексу часу у випадку короткої вибірки даних. Доведено рівномірну збіжність ε-сіткою за деякими своїми параметрами. Наведено приклад застосування відновлення функціональної залежності стосовно поліноміального класу функцій. T...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84186 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью / Н.Д. Панкратова, А.Г. Зражевский // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 77-87. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860226134497558528 |
|---|---|
| author | Панкратова, Н.Д. Зражевский, А.Г. |
| author_facet | Панкратова, Н.Д. Зражевский, А.Г. |
| citation_txt | Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью / Н.Д. Панкратова, А.Г. Зражевский // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 77-87. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто задачу відновлення функціональної залежності часових рядів від індексу часу у випадку короткої вибірки даних. Доведено рівномірну збіжність ε-сіткою за деякими своїми параметрами. Наведено приклад застосування відновлення функціональної залежності стосовно поліноміального класу функцій.
The problem of estimating the functional dependence of time series on the time index is considered in the case of short data retrieval. The uniform conver ε-net for some of its parameters. The functional dependence for the polynomial class of functions is estimated as an example.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:19:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
Í.Ä. ÏÀÍÊÐÀÒÎÂÀ, À.Ã. ÇÐÀÆÅÂÑÊÈÉ
ÓÄÊ 681.518.25 ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÉ
ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ ÂÐÅÌÅÍÍÛÕ ÐßÄΠ ÑËÓ×ÀÅ
×ÀÑÒÈ×ÍÎÃÎ ÏÎÊÐÛÒÈß ÊËÀÑÑÀ
ÐÅÃÐÅÑÑÎÐΠÊÎÍÅ×ÍÎÉ �-ÑÅÒÜÞ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âðåìåííîé ðÿä, âîññòàíîâëåíèå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìî-
ñòè, ðàçìåðíîñòü Âàïíèêà–×åðâîíåíêèñà, ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Çàäà÷è âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé è âûÿâëåíèÿ çàêîíîìåð-
íîñòåé ïî ýìïèðè÷åñêèì äàííûì øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíû íà ïðàêòèêå, ïîýòî-
ìó ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ ïîñòîÿííî ñîâåðøåíñòâóþòñÿ è àäàïòèðóþòñÿ ê ñïåöè-
ôèêå êîíêðåòíîé ïðåäìåòíîé îáëàñòè è ê îñîáåííîñòÿì ðåàëüíûõ çàäà÷ [1, 2].
Ïîòðåáíîñòü âûÿâëåíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé è âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ
çàâèñèìîñòåé ïî ýìïèðè÷åñêèì äàííûì èìååòñÿ òàêæå â ðÿäå äðóãèõ ïðàêòè-
÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ, â ÷àñòíîñòè â àâòîìàòèçèðîâàííûõ ñèñòåìàõ èñïûòàíèé
ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ [3], â ñèñòåìàõ àâòîìàòèçèðîâàííîãî êîíòðîëÿ ôóíêöè-
îíèðîâàíèÿ ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ â ðåàëüíîì âðåìåíè [4], â ñèñòå-
ìàõ òåõíè÷åñêîãî äèàãíîñòèðîâàíèÿ [5, 6].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåí ïîäõîä ê âîññòàíîâëåíèþ ôóíêöèîíàëüíîé
çàâèñèìîñòè äëÿ êëàññà íåëèíåéíûõ ðåãðåññîðîâ ïîëèíîìèàëüíîãî âèäà ïðèìå-
íèòåëüíî ê ïðàêòè÷åñêèì çàäà÷àì ðàçëè÷íûõ ôèíàíñîâûõ òðåáîâàíèé áàíêîâ.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìàòðèâàåòñÿ âðåìåííîé ðÿä { T}Y t t( ), � , êîòîðûé çàäàåòñÿ ñâîèìè íàáëþ-
äåíèÿìè â ôèêñèðîâàííûå ìîìåíòû âðåìåíè ( , )y t1 1 , …, ( , )y tl l . Çàäà÷à ñî-
ñòîèò â îïðåäåëåíèè ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè, êîòîðàÿ íàèëó÷øèì îáðàçîì
îïèñûâàåò èññëåäóåìûå äàííûå, îòâå÷àåò âíåøíèì òðåáîâàíèÿì è ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàíà â óñëîâèÿõ îãðàíè÷åííîãî êîëè÷åñòâà ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ.
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âðåìåííîé ðÿä íå çàâèñèò îò ñâîèõ çíà÷åíèé â
ïðåäûäóùèå ìîìåíòû âðåìåíè (íåçàâèñèìîñòü ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ), òî ïðî-
ñòåéøåé ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëüþ ÿâëÿåòñÿ ðåãðåññèîííîå óðàâíåíèå âèäà
Y t f t t( ) ( , )� �� � , (1)
ãäå �t — íåçàâèñèìûå, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (ïî-
ãðåøíîñòü), f t( , )� — ôóíêöèÿ ðåãðåññèè îïðåäåëåííîãî, èçíà÷àëüíî çàäàííî-
ãî êëàññà F, êîòîðàÿ çàäàåò çàâèñèìîñòü âðåìåííîãî ðÿäà îò âðåìåíè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 77
© Í.Ä. Ïàíêðàòîâà, À.Ã. Çðàæåâñêèé, 2011
 ðàìêàõ ìîäåëè (1) çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê âûáîðó ôóíêöèè f F* � , à â ïàðà-
ìåòðè÷åñêîì ñëó÷àå, êîãäà F f� � �{ }( , ),� � � , — ê âûáîðó �* �� , ïðè êîòî-
ðîì óðàâíåíèå (1) â îïðåäåëåííîì ñìûñëå íàèëó÷øèì îáðàçîì îïèñûâàåò ðàñ-
ïðåäåëåíèå ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ.
 ëèòåðàòóðå ïðåäëîæåíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû. Ïðè-
ìåðîì ñòàíäàðòíûõ ìåòîäîâ ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ ìåòîä íàèìåíü-
øèõ êâàäðàòîâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè ïàðàìåòðà � �� [7, 8]. Ñëåäóåò çàìåòèòü,
÷òî ïîãðåøíîñòü îöåíêè ìîäåëè (1) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû òðåõ
êîìïîíåíò: ïîãðåøíîñòè íåâåðíîãî âûáîðà êëàññà ðåãðåññîðîâ F , ïîãðåøíîñòè,
êîòîðàÿ âîçíèêàåò âñëåäñòâèå îãðàíè÷åííîñòè ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ, è ïîãðåø-
íîñòè, êîòîðàÿ âîçíèêàåò ïðè ïðèìåíåíèè òîãî èëè äðóãîãî ìåòîäà îöåíèâàíèÿ.
Äëÿ óòî÷íåíèÿ êëàññà F (ò.å. ìèíèìèçàöèè ïîãðåøíîñòè, âûçâàííîé íåâåðíûì
âûáîðîì êëàññà ðåãðåññîðîâ) â ëèòåðàòóðå ïðåäëîæåíû ðàçëè÷íûå êðèòåðèè, íà-
ïðèìåð êðèòåðèé, ïîñòðîåííûé íà êîýôôèöèåíòå äåòåðìèíàöèè, êðèòåðèé Ìåëî-
óçà, èíôîðìàöèîííûå êðèòåðèè AIC è SBC [7, 8]. Óêàçàííûå ìåòîäû îñíîâûâà-
þòñÿ íà àñèìïòîòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ èññëåäóåìûõ ñòàòèñòèê, ïîýòîìó òðåáóþò
áîëüøîãî êîëè÷åñòâà äàííûõ, ÷òî ïðèâîäèò ê ðîñòó ñîîòâåòñòâóþùåé ïîãðåø-
íîñòè. Êðîìå òîãî, èñïîëüçîâàíèå ñòàíäàðòíûõ ìåòîäîâ ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà
ìîæåò ïðèâåñòè ê ÷ðåçìåðíîé ìèíèìèçàöèè ïîãðåøíîñòè ìåòîäà îöåíèâàíèÿ è,
êàê ñëåäñòâèå, — ê ïåðåçãëàæèâàíèþ, ò.å. ê ñèòóàöèè, êîãäà âûáðàííàÿ ìîäåëü
áóäåò îïèñûâàòü íå òîëüêî ñóùåñòâóþùóþ çàâèñèìîñòü, íî è èìåþùóþñÿ ïî-
ãðåøíîñòü. Âî èçáåæàíèå óêàçàííûõ ïðîáëåì ïðè âûáîðå ðåãðåññîðîâ íåîáõîäè-
ìî ðàññìîòðåíèå íå òîëüêî êà÷åñòâà ïðèáëèæåíèÿ ê ýìïèðè÷åñêèì äàííûì, íî è
ñëîæíîñòü êëàññà ôóíêöèé è ñîîòâåòñòâåííî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè. Ýòà èäåÿ
áûëà ðåàëèçîâàíà â ðàìêàõ çàäà÷è âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè
ïî ýìïèðè÷åñêèì äàííûì [9–12].
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âîññòàíîâëåíèÿ ðåãðåññèîííîãî óðàâíåíèÿ (1) ïî ýì-
ïèðè÷åñêèì äàííûì, êîòîðàÿ â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà
êàê çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà ñðåäíåãî ðèñêà I( )� ïî ýìïèðè÷åñêèì
äàííûì z1 ,…, z l :
I( ) min�
�
� �� ,
I Mq z q z P z dz( ) ( , ) ( , ) ( )� � �� � , (2)
ãäå q z Q( , )� � — ôóíêöèÿ ðèñêà.
 ñëó÷àå âîññòàíîâëåíèÿ ðåãðåññèîííîãî óðàâíåíèÿ (1) ôóíêöèåé ðèñêà
ìîæíî ñ÷èòàòü ôóíêöèþ âèäà q z Y t f t( , ) ( ( ) ( , ))� ��
2. Çäåñü z Y t t� ( ( ), ) — ñëó-
÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ íåèçâåñòíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ P z( ) , ïðåäñòàâëåííàÿ
íåçàâèñèìûìè ðåàëèçàöèÿìè z1 , …, z l , z y ti i i� ( , ) . Ïî ýòèì ðåàëèçàöèÿì íåîá-
õîäèìî âûáðàòü ôóíêöèþ f t( , )*� èç ìíîæåñòâà F, êîòîðàÿ ìèíèìèçèðóåò (2).
Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïóòåì ïîñòðîåíèÿ ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà I e ( )� ,
ìèíèìóì êîòîðîãî ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ 1
� ñîâïàäàåò ñ ìèíèìóìîì ôóíê-
öèîíàëà I( )� .  êà÷åñòâå òàêîãî ôóíêöèîíàëà ðàññìîòðèì ýìïèðè÷åñêèé
ôóíêöèîíàë ðèñêà
I M q z
l
y f te l i i
i
l
( ) ( , ) ( ( , ))� � �� �
�
�1 2
1
. (3)
Èç êëàññè÷åñêîé òåîðèè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòà-
òî÷íî îáùèõ óñëîâèÿõ, êîãäà l � � , ýìïèðè÷åñêîå ñðåäíåå ñ âåðîÿòíîñòüþ åäè-
íèöà ñîâïàäàåò ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Îäíàêî èç ýòîãî íå ñëåäóåò ñîâïà-
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
äåíèÿ ìèíèìóìîâ èëè èõ áëèçîñòü â íåêîòîðîé íîðìå. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé
ïðîáëåìû ñòàâèòñÿ óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïî ïàðàìåòðó
P I I lesup
�
� � � � �( ) ( ) ( , )
�
�
�
�
�
�
�
� , lim ( , )
l
l
� �
�� � 0 . (4)
Ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (4)
P I Ie{ ( ) ( ) }� � � �
� �0 2 ,
ãäå � e è �0 — òî÷êè ìèíèìóìîâ I e ( )� è I( )� ñîîòâåòñòâåííî.
Òàêèì îáðàçîì, äàëüíåéøåå ðåøåíèå çàäà÷è âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëü-
íîé çàâèñèìîñòè ñâÿçàíî ñ îïðåäåëåíèåì óñëîâèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (4).
Ýòà çàäà÷à áûëà ðåøåíà ïðè ðàçëè÷íûõ îãðàíè÷åíèÿõ è ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñè-
òåëüíî êëàññà ôóíêöèé F.  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [1] ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü
èññëåäîâàëàñü ïðè óñëîâèè îãðàíè÷åííîñòè âîçìîæíûõ âûáðîñîâ
sup sup
� �
� � �
, , ,
( , ) ( ( ) ( , ))
z Y t
q z Y t f t�
�2 . (5)
 ðàáîòàõ [1, 9, 11, 12] èçó÷åíà ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü äëÿ ñëåäóùèõ ñëó÷à-
åâ: ìíîæåñòâî ôóíêöèé F ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ; F ìîæåò áûòü
ïîêðûòî êîíå÷íîé �-ñåòüþ; F èìååò êîíå÷íóþ åìêîñòü (ðàçìåðíîñòü Âàïíèêà-×åð-
âîíåíêèñà).
2. ÓÑËÎÂÈß ÐÀÂÍÎÌÅÐÍÎÉ ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÈ
ÝÌÏÈÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÀ ÐÈÑÊÀ Ê ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ
2.1. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü â ñëó÷àå, êîãäà êëàññ ôóíêöèé èìååò êîíå÷-
íóþ åìêîñòü. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ðàçäåëÿþùèõ ôóíêöèé S , ò.å. ôóíêöèé,
êîòîðûå îòîáðàæàþò X â { }0 1, . Ïóñòü x � ( , , )x x l1 � — âûáîðêà äëèíû l , ýëå-
ìåíòû êîòîðîé ïðèíàäëåæàò X . Îáîçíà÷èì � S ( )x êîëè÷åñòâî êëàññèôèêàöèé
(ðàçäåëåíèé) x ñ ïîìîùüþ S, ò.å. êîëè÷åñòâî ðàçíûõ âåêòîðîâ âèäà
x* ( ) ( ( ), , ( ))s s x s x l� 1 � äëÿ âñåõ s S� . Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé âû-
áîðêè äëèíû l èìååì � S
l( )x � 2 . Ââåäåì ïîíÿòèå ôóíêöèè ðîñòà, êàê ìàêñè-
ìàëüíî âîçìîæíîãî ÷èñëà êëàññèôèêàöèé íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé S âûáîðêè
çàäàííîé äëèíû
m lS S( ) max ( )�
x
x� , (6)
ãäå ìàêñèìóì áåðåòñÿ ïî âñåì âîçìîæíûì âûáîðêàì äëèíû l .
 ðàáîòå [1] ïîêàçàíî, ÷òî äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ðàâíîìåðíîé ñõîäèìî-
ñòè (4) äëÿ ðàçäåëÿþùèõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ñõîäèìîñòü
lim
ln ( )
l
Sm l
l� �
� 0 . (7)
Îïðåäåëåíèå 1. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå h , ÷òî ïðè l h� âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî m l
l
h
S
h
( ) ,
!
� 15 , òî ñ÷èòàþò, ÷òî êëàññ ðàçäåëÿþùèõ ôóíêöèé S èìååò
êîíå÷íóþ åìêîñòü h . Ïðè âûïîëíåíèè ðàâåíñòâà m lS
l( ) � 2 åìêîñòü ÿâëÿåòñÿ
áåñêîíå÷íîé.
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ êëàññà ðàçäåëÿþùèõ ôóíêöèé ñ êîíå÷íîé åìêîñòüþ óñëî-
âèå (7) âûïîëíÿåòñÿ.
Ýòà òåîðèÿ ìîæåò áûòü îáîáùåíà íà ñëó÷àé ôóíêöèé îáùåãî âèäà
� �Q q� � �( , ),� � � . Äëÿ ýòîãî ââîäèòñÿ êëàññ ðàçäåëÿþùèõ ôóíêöèé
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 79
�( , , ) ( ( , ) )q z c q z c� � �� � , q Q� , c R� , (8)
ãäå �( )
, ,
, .
x
x
x
� �
�
�
�
�
1 0
0 0
Îïðåäåëåíèå 2. Åìêîñòüþ êëàññà ôóíêöèé Q íàçûâàåòñÿ åìêîñòü êëàññà ðàç-
äåëÿþùèõ ôóíêöèé (8).
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ýìïèðè÷åñ-
êîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà (3) ê ñðåäíåìó ðèñêó (2), äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî èñ-
ñëåäóåìûé êëàññ ôóíêöèé F èìååò êîíå÷íóþ åìêîñòü. Ðàññìîòðèì òåîðåìó, êî-
òîðàÿ ìîæåò áûòü ïîëåçíîé äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû [10].
Òåîðåìà 1. Ïóñòü F — ïðîñòðàíñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåí-
íûõ íà X . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî F èìååò ëèíåéíóþ ðàçìåðíîñòü h . Äëÿ ïðîèçâîëü-
íîé ôóíêöèè f F� îïðåäåëèì { }0 1, -çíà÷íóþ ôóíêöèþ f � íà X :
f x f x� �( ) ( ( ))� . Ââåäåì êëàññ ôóíêöèé sgn { }( ) ,F f f F� �� . Òîãäà åìêîñòü
sgn( )F ðàâíà h .
 ïóáëèêàöèÿõ èçâåñòíî ìíîãî ðåçóëüòàòîâ, êàñàþùèõñÿ ñêîðîñòè ðàâíî-
ìåðíîé ñõîäèìîñòè (4) äëÿ êëàññîâ ôóíêöèé F ñ êîíå÷íîé åìêîñòüþ ïðè ðàçíûõ
äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ [1, 9, 12].  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [1] áûëà
äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Åñëè êëàññ ôóíêöèé F f� � �{ }( , ),� � � èìååò êîíå÷íóþ åìêîñòü
h l� è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (5), òî èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
P I I
l
h
ee
h l
sup
�
�
� � ��( ) ( )
( )
!
�
�
�
�
�
�
�
�
9
2
2
4 . (9)
Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (9) ê � è ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíî-
ñèòåëüíî � , ïîëó÷àåì äâóõñòîðîííèå îöåíêè ôóíêöèîíàëà (2), ò.å. ñ âåðîÿòíî-
ñòüþ 1
� îäíîâðåìåííî äëÿ âñåãî êëàññà ôóíêöèé F f� � �{ }( , ),� � �
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
I
h
l
h
l
Ie ( )
ln ln
( )� �
�
�
��
�
�
�
�
� �2
2
1
9
I
h
l
h
l
e ( )
ln ln
� �
�
�
��
�
�
�
�
2
2
1
9
. (10)
2.2. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü â ñëó÷àå ïîêðûòèÿ êëàññà ôóíêöèé êîíå÷-
íîé �-ñåòüþ. Îáîñíîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (4) è çàäàíèå îöåíêè äëÿ
ôóíêöèîíàëà ñðåäíåãî ðèñêà (2) â ñëó÷àå ïîêðûòèÿ êëàññà F êîíå÷íîé �-ñåòüþ
ðàññìàòðèâàåòñÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå [1].
Òåîðåìà 3. Ïóñòü ìíîæåñòâî ôóíêöèé F f� � �{ }( , ),� � � ïîêðûòî êîíå÷-
íîé �-ñåòüþ { }f f f N( , ), ( , ), , ( , )( )� � �� � � �1 2 � è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (5). Òîãäà
ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
� èìååì
I I
N l
l
e e i e( ) ( ( ))
ln ( ) ln ln
� � � �
�
�
� �� �
�
�2 18 2 , (11)
ãäå f t e( , )� — ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ìèíèìèçèðóåò ýìïèðè÷åñêèé ðèñê,
f t i e( , ( ))� � — áëèæàéøèé ê ôóíêöèè f t e( , )� ýëåìåíò �-ñåòè.
2.3. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü â ñëó÷àå ÷àñòè÷íîãî ïîêðûòèÿ êëàññà
ôóíêöèé êîíå÷íîé �-ñåòüþ.  òåîðåìå 3 îáîñíîâàíî ñóùåñòâîâàíèå ðàâíîìåð-
íîé ñõîäèìîñòè, åñëè êëàññ ôóíêöèé F ïîêðûò êîíå÷íîé �-ñåòüþ ïî ïàðàìåòðó �,
êîòîðûé â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âîññòàíîâëåíèÿ
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè â ñëó÷àå ÷àñòè÷íîãî ïîêðûòèÿ F �-ñåòüþ. Ïðåäïî-
ëîæèì, ÷òî � � �� ( , )1 2 è ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè �1 ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ
�-ñåòü äëÿ F .  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî äîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü è ïîëó-
÷èòü îöåíêè äëÿ ñðåäíåãî ðèñêà, àíàëîãè÷íûå òåì, êîòîðûå áûëè ïîëó÷åíû
â òåîðåìàõ 2 è 3. Äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü ìíîæåñòâî ôóíêöèé F f t a� { ( , , )� , t � ( , ]0 1 , a a�� ,
� ��� } ïîêðûòî êîíå÷íîé �-ñåòüþ ïî ïàðàìåòðó � : { f t a( , , )�1 , f t a( , , )�2 , ...
..., f t a N( , , ( )� ��
} , à ïî ïàðàìåòðó a (ïðè ïðîèçâîëüíîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷å-
íèè � ��� ) èìååò êîíå÷íóþ åìêîñòü h . Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (5). Òîãäà
èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü (4) è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
� âûïîëíÿåòñÿ íå-
ðàâåíñòâî
I a I a
h
l
h
n
l
e e e e i e( , ) ( , ( ))
(ln ) ln ( ) ln
� � � �
�
�
�
� �
� �
�2
2
1
9 2� �� , (12)
ãäå ôóíêöèîíàë I ae e( , )� ïîëó÷åí íà îñíîâàíèè (2), f t ae e( , , )� — ôóíêöèÿ,
ìèíèìèçèðóþùàÿ ýìïèðè÷åñêèé ôóíêöèîíàë (3), f t ae i e( , , ( ))� � — áëèæàé-
øèé ê f t ae e( , , )� ýëåìåíò �-ñåòè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó F ïîêðûòî êîíå÷íîé �-ñåòüþ ïî ïàðàìåòðó � , òî
ïî îïðåäåëåíèþ ! �� � ñóùåñòâóåò i* òàêîå, ÷òî sup
a t i
f t a f t a
,
| ( , , ) ( , , )| .*� � ��
�
Äîêàæåì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïàðàìåòð � ïðèíèìàåò
ñâîè çíà÷åíèÿ ëèøü â âåðøèíàõ �-ñåòè. Òîãäà ïðè óñëîâèè êîíå÷íîñòè �-ñåòè
P I a I a P I a
i
i e i
a
isup sup
�
� � � �
,
| ( , ) ( , )| | ( ,
�
�
�
"
�"
�
�
"
�"
� ) ( , )|
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� I ae i
i
n
� �
��
1
�
�
�
�
�
�
�
�
n P I a I a
i
i e i( ) | ( , ) ( , )|� � � ��
�
sup sup . (13)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî F f t a t a a� � �{ }( , , ), ( , ],� 0 1 � èìååò êîíå÷íóþ åìêîñòü h
ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè � ��� . Òîãäà ïî òåîðåìå 2 èìååò ìåñòî ðàâíî-
ìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïî ïàðàìåòðó a è âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (9). Îöåíèì
âòîðîé ìíîæèòåëü ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (13) ïðè íåêîòîðîì ôèêñèðîâàí-
íîì � ��i i n, , , ( )�{ }1 � :
P I a I a
l
h
ei e i
h l
sup
�
�
�� � �| ( , ) ( , )|
( )
!
�
�
�
�
�
�
�
�
9
2
2
24 .
Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà íå çàâèñèò îò i , òî
P I a I a
a i
i e isup
,
| ( , ) ( , )|� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�n P I a I a n
i
i e i( ) | ( , ) ( , )| ( )
(
� � � � ��
�
�sup sup 9
2l
h
e
h l
)
!
�
�
2
24 .
Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü (4). Ïðèðàâíÿâ ïðàâóþ
÷àñòü íåðàâåíñòâà ê � è ðåøèâ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî � , ïîëó÷èì
� �
�
�
�
�
� �
2
2
1
9
h
l
h
n
l
(ln ) ln ( ) ln
. (14)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 81
Äëÿ � �� îáîçíà÷èì ÷åðåç f t a i( , , ( ))� � áëèæàéøèé ê f t a( , , )� ýëåìåíò �-ñåòè.
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âûïóêëîñòü ( ( ) ( , , ))Y t f t a i
� 2
è óñëîâèå (5), ïîëó÷àåì
| ( , ) ( , ( ))|I a I a i� � �
�
�
| ( ( , , ) ( , , ( )))( ( ) ( , , ) ( , ,M f t a f t a Y t f t a f t ai i� � � � �2 ( )))|� �
�
� �� � � � � �� �M Y t f t a f t a I a I ai( ( ) ( , , ) ( , , ( ))) ( , ) ( ,2 2 22 � � � ��i ( )) .� 2
Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
� êà÷åñòâî ôóíêöèè f t ae e( , , )� , ìèíèìèçèðóþùåé
ýìïèðè÷åñêèé ðèñê I ae e( , )� , îöåíèâàåòñÿ âåëè÷èíîé
I a I a I ae e e i e e e i e( , ) ( , ( )) ( , ( ))� � � � � � � � � �� �� � � � �2 2 . (15)
Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (12).
Èç òåîðåìû 4 âûòåêàåò, ÷òî çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñè-
ìîñòè ïðîâîäèòñÿ ïî ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó:
1) íàõîäèì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ôóíêöèè, êîòîðûå ìèíèìèçèðóþò ýìïèðè-
÷åñêèé ðèñê ( , ) ( , )a I ae e e� �� arg min ;
2) îïðåäåëÿåì f t ae i e( , , ( ))� � — áëèæàéøèé ê f t ae e( , , )� ýëåìåíòà �-ñåòè;
3) âû÷èñëÿåì îöåíêó äëÿ ñðåäíåãî ðèñêà I ae e( , )� , èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (12).
Çàìåòèì, ÷òî çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ýìïèðè÷åñêîãî ðèñêà íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ
òðèâèàëüíîé; â ÷àñòíîñòè, êîãäà ïàðàìåòð � âõîäèò â ôóíêöèþ f t a( , , )� íåëè-
íåéíî. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 4 ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê
ìèíèìèçàöèè ðèñêà I ae ( , )� ëèøü ïî ïàðàìåòðó a , à çíà÷åíèå ïàðàìåòðà � ìîæåò
áûòü çàìåíåíî óçëîâûìè çíà÷åíèÿìè �-ñåòè.
Ñëåäñòâèå. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 4 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
� âûïîë-
íÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
I a I a je e
j n
e e j( , ) min ( ( ), )
, , ( )
� � � � �
�
�
�
� � �
�{ }1
4
�
, (16)
ãäå a j I ae
a
e j( ) ( , )� arg min � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 4 è èìååò ìåñòî íå-
ðàâåíñòâî (12). Îáîçíà÷èì a je ( ) çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a a�� , êîòîðîå ìèíèìèçè-
ðóåò ýìïèðè÷åñêèé ôóíêöèîíàë I ae j( , ) min� � ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè
� ��j j n, , , ( )�{ }1 � . Î÷åâèäíî, ÷òî ! �j n{ }1, , ( )� �� â ñèëó ïîñòðîåíèÿ
I a I a je e e e e j( , ) ( ( ), )� �� . Êàê è ðàíåå, îáîçíà÷èì f t ae i e( , , ( ))� � áëèæàéøèé ê
f t ae e( , , )� ýëåìåíò �-ñåòè. Òîãäà
I a I a I a j I a je e i e e e i e e e j e e( , ( )) ( , ( )) ( ( ), ) ( ( ),� � � � ��
� � j ) �
�
� � �I a I a I a j I a je e i e e e e e e j e e( , ( )) ( , ) ( ( ), ) ( (� � � � � ��2 ), )� j .
Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííóþ îöåíêó â íåðàâåíñòâî (15), ïîëó÷èì
I a I a je e e e j( , ) ( ( ), )� � � � ��� � � 4 ! �j n{1, , ( )� �� .
Ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî íåðàâåíñòâà íå çàâèñèò îò j , òî èìååò
ìåñòî è íåðàâåíñòâî (16).
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
3. ÌÅÒÎÄ ÓÏÎÐßÄÎ×ÅÍÍÎÉ ÌÈÍÈÌÈÇÀÖÈÈ ÐÈÑÊÀ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 4 è ñîîòâåòñòâåííî èìååò
ìåñòî íåðàâåíñòâî (12) (èëè (16)). Çàïèøåì åãî â ñëåäóþùåì âèäå:
I a I a
l
h h
n
l
e e e e i e( , ) ( , ( )) ,
ln
,
ln ( )
� � �
� ��� �
�
�
�
�
�
�# #1 $ ( )�� . (17)
Ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðîê ìàëàÿ âåëè÷èíà ýìïèðè÷åñêîãî ðèñêà (3) ãà-
ðàíòèðóåò (ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
�) ìàëóþ âåëè÷èíó ñðåäíåãî ðèñêà (2), ïîñêîëüêó
âòîðîå ñëàãàåìîå (17) áëèçêî ê íóëþ äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé l h/ , à òðåòüå ñëàãàå-
ìîå ìîæíî ìèíèìèçèðîâàòü âûáîðîì n( )�� . Òåì íå ìåíåå, â ñëó÷àÿõ, êîãäà îáú-
åì âûáîðêè íåçíà÷èòåëåí â ñðàâíåíèè ñ h , âòîðîå ñëàãàåìîå ìîæåò ñóùåñòâåííî
îòëè÷àòüñÿ îò íóëÿ è ïîýòîìó äîëæíî ó÷èòûâàòüñÿ ïðè ìèíèìèçàöèè ïðàâîé
÷àñòè (17). Äëÿ ýòîãî öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä óïîðÿäî÷åííîé
ìèíèìèçàöèè ðèñêà [1, 12]. Ââåäåì íà êëàññå ôóíêöèé F ñòðóêòóðó âèäà
F F Fv1 2% % %� , (18)
óïîðÿäî÷åííóþ ïî âîçðàñòàíèþ åìêîñòåé (ïðè ïðîèçâîëüíîì ôèêñèðîâàííîì
çíà÷åíèè � �i e
j
( )): h h hv1 2� � �� .
Äëÿ êàæäîãî ïîäêëàññà ôóíêöèé Fi âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 4, à ñëå-
äîâàòåëüíî, ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
� èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (17)
I a I a
l
h h
n
l
e
j
e
j
e e
j
i e
j
i i
( , ) ( , ( )) ,
ln
,
ln ( )
� � �
� ��� �
�
�
#1��
�
�
�#2 ( )�� , (19)
j �1, ,� � .
Îòìåòèì, ÷òî f t ae
j
e
j
( , , )� — ýëåìåíò, êîòîðûé ìèíèìèçèðóåò ýìïèðè÷åñêèé
ðèñê â ïîäêëàññå Fi , f t ae
j
i e
j
( , , ( ))� � — áëèæàéøèé ê íåìó ýëåìåíò �-ñåòè.
Ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè n( )�� ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè íåðàâå-
íñòâà (19) óìåíüøàåòñÿ, à âòîðîå âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì i . Åñëè çàôèêñèðîâàòü i
(ñîîòâåòñòâåííî Fi), òî ñ óâåëè÷åíèåì n( )�� âòîðîå ñëàãàåìîå âîçðàñòàåò, à
òðåòüå óáûâàåò. Ìåòîä óïîðÿäî÷åííîé ìèíèìèçàöèè ðèñêà ñîñòîèò â ñëåäóþ-
ùåì: íàéòè ïîäêëàññ ôóíêöèé Fi èç (18) è øàã �-ñåòè òàêèå, ÷òîáû ôóíêöèÿ
f t ae i e( , , ( ))� � (ÿâëÿþùàÿñÿ áëèæàéøèì ýëåìåíòîì �-ñåòè ê ôóíêöèè
f t a Fe e( , , )� � è ìèíèìèçèðóþùàÿ ýìïèðè÷åñêèé ðèñê) äîñòàâëÿëà ìèíèìóì
îöåíêè ñðåäíåãî ðèñêà.
4. ÏÐÈÌÅÐ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß ÓÏÎÐßÄÎ×ÅÍÍÎÉ ÌÈÍÈÌÈÇÀÖÈÈ ÐÈÑÊÀ
 ÑËÓ×ÀÅ ×ÀÑÒÈ×ÍÎÃÎ ÏÎÊÐÛÒÈß �-ÑÅÒÜÞ
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè (1) â ñëó÷àå,
êîãäà êëàññ ðåãðåññèîííûõ ôóíêöèé F çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
F f t a t t a a� � � �{ }( , , ), [ , ], , [ , ]� � � �0 1 � ,
f t a a t P t a t a a tn n
n( , , ) ( ) ( )� � �� � & � � � �0 0 1 1� ,
a a a an a� ��( , , , )0 1 1� � , n� 'N { }0 . (20)
Ââåäåì êîíå÷íóþ �-ñåòü ïî ïàðàìåòðó � ñëåäóþùèì îáðàçîì: � �i i� � � ,
i n�
0 1, , ( )� �� , n( ) ( ) /� � �� �
�� 1. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ �� íàéäåì ìàêñè-
ìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ áëèæàéøèìè ýëåìåíòàìè �-ñåòè:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 83
sup
t t a
i n
i i
a
f t a f t a
� �
�
[ , ], ,
, , ( )
| ( , , ) ( , , )
0 1
1
1
�
� ��
� � |�
�
� �
�
�
� �
sup
t t a
i n
k
k k
a
i ia t t
[ , ], ,
, , ( )
| | | |
0
1
1
1
1
�
� �
� �
�
k
n
�
� �
0
A t t
t t
i n
k k
k
n
i isup
�
�
� �
�
�
[ , ],
, , ( )
| |
0
1
1
1
0
� �
� �
�
,
ãäå
A a a
a a
n
a a
�
�
�
"
�"
�
�
"
�"� �
�max , ,sup sup
� �
1 1� .
Äëÿ îöåíêè âòîðîãî ñëàãàåìîãî ðàññìîòðèì ôóíêöèþ g t t ti ik k
( ) �
� �� �1 .
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî
t
i k
i k i k
t* ( )
[ , ]�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
1
1 10
�
�
�
�
� �
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìàêñèìóìà g t( ) , à ñëåäîâàòåëüíî,
sup
t t
i n
k k
k
n
t ti i
�
�
� �
�
�
�
[ , ]
, , ( )
| |
0
1
1
1
0
� �
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�sup
i n
i k
k
n
i k i1 0
1
1, , ( ) ( )� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � k
.
Êàæäîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé ôóíêöèåé
ïî i ïðè ôèêñèðîâàííîì k , ò.å. ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ ïðè i �1.
Òîãäà
sup
i n
i k
k
n
i k i�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
1 0
1
1, , ( ) ( )� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
k
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
� 1
0
�
�
�
�
�
� �
�
k k
k
k
n
.
Çàìåòèì, ÷òî
� � �
�
�
�
k
1 è lim ( / ) /
x
xx e
� �
�1 1 1 . Òîãäà
1
1
0 0
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
� ��
�
� � �
�
�
� � �
�
�
k k e k e
n
k
k
n
k
n
( ( �
1) ( )) � ,
ãäå ( )z ÿâëÿåòñÿ -ôóíêöèåé.
Ïîëîæèì �
�
� :�
��
�A
e k
k
n� 1
0
. Òîãäà
sup
t t a
i n
i i
a
f t a f t a
� �
�
[ , ], ,
, , ( )
| ( , , ) ( , , )
0 1
1
1
�
� ��
� � |� �� .
Äëÿ âñåõ � � �� [ , ] ïîëîæèì i �
[( ) / ]� � � . Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ïîêðû-
òèÿ ìíîæåñòâà ôóíêöèé F �-ñåòüþ, ò.å. sup
t t a
i
a
f t a f t a
� �
�
[ , ],
| ( , , ) ( , , )|
0 1 �
� � �� .
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
Ñîãëàñíî òåîðåìå 1 êëàññ ôóíêöèé F, îïðåäåëåííûõ â (20), ïðè ôèêñèðîâàí-
íîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà � � �� [ , ] èìååò êîíå÷íóþ åìêîñòü, ðàâíóþ n �2 . Òîãäà
âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 4 è èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ýìïèðè-
÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà ê ñðåäíåìó. Ïðèìåíèì ìåòîä óïîðÿäî÷åííîé ìèíè-
ìèçàöèè ðèñêà äëÿ íàõîæäåíèÿ îöåíêè ñðåäíåãî ðèñêà. Êàê è â ðàçä. 3, ââåäåì
ñòðóêòóðó íà êëàññå ôóíêöèé F ñëåäóþùèì îáðàçîì:
F a t P t j i t ti j� � � �{ { } }0 00 1� ( ), , , , [ , ]� , i �1, ,� � .
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè � � �� [ , ] åìêîñòü êëàññà Fi ðàâíà
i �2 è èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (16)
I a I a je e
j n
e e j( , ) min ( ( ), )
, , ( )
� �
��
� �
�
{ }0 1�
�
�
�
� �
�2
2
2
2
1
9 4�
�
�
� �
�
�
( )(ln ) ln ( ) lni
l
i
n
l
. (21)
Îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ( , )a � è îöåíêó ñðåäíåãî ðèñêà áóäåì íà-
õîäèòü ïî ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó.
1. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ i �1, ,� � è n n n n( ) , , ,�� � �1 � íàõîäèì ñëåäóþ-
ùèå ôóíêöèîíàëû:
I i n I a j I a j
j n
e e j e e1
0 1
( , ( )) min ( ( ), ) ( (
, , ( )
� ��
��
� �
�
{ }�
*
( , ( ))
( , ( ))), )*i n
j i n
� �� ��
,
I i n
i
l
i
n
l
2 2
2
2
2
1
9( , ( ))
( )(ln ) ln ( ) ln
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
,
I i n A
e n k
k
i
3
0
4
1
( , ( ))
( )
� �
� �
� �
�
�
�
��
� .
2. Âûáèðàåì f t a j i ne j i n
( , ( ( , )), )* * *
( , )* * *� èç óñëîâèÿ
( , ) ( ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))* *i n I i n I i n I i n� � �arg min 1 2 3� � �� � � ) .
5. ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÉ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ ÂÐÅÌÅÍÍÎÃÎ ÐßÄÀ
ÒÐÅÁÎÂÀÍÈÉ ÁÀÍÊÎÂ ÏÎ ÏÐÅÄÎÑÒÀÂËÅÍÍÛÌ ÊÐÅÄÈÒÀÌ
Ðàññìîòðèì âîññòàíîâëåíèå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè âðåìåííîãî ðÿäà òðå-
áîâàíèé áàíêîâ ïî êðåäèòàì, ïðåäîñòàâëåííûì þðèäè÷åñêèì ëèöàì â Èâà-
íî-Ôðàíêîâñêîé îáëàñòè.  êà÷åñòâå ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ èñïîëüçóåì çíà÷å-
íèÿ ýòîãî âðåìåííîãî ðÿäà çà 12 ìåñÿöåâ 2007 ãîäà: 2414.5981, 2561.231,
2784.8212, 3245.1509, 3305.1364, 3707.0809, 3992.2139, 4228.5949, 4291.3338,
4062.083, 3813.1825, 3908.7165 (ìëí. ãðí). Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî çàâèñèìîñòü
âðåìåííîãî ðÿäà îò âðåìåíè ìîæåò áûòü îïèñàíà ôóíêöèÿìè èç êëàññà (20).
Ïðèìåíèì àëãîðèòì ðàçä. 4 äëÿ îòûñêàíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ( , )a � . Ïóñòü
� � 01. , � � 09. , n � 20 , n � 50 , � � 4 . Äëÿ âñåõ çíà÷åíèé i è n( )�� , èçìåíÿþ-
ùèõñÿ â óêàçàííûõ ïðåäåëàõ, íàéäåì îïòèìàëüíûé (â ñìûñëå ìèíèìàëüíîñòè
ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà) óçåë �-ñåòè j i n* ( , ( ))�� è âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ
ôóíêöèîíàëîâ I i n1( , ( ))�� , I i n2 ( , ( ))�� , I i n3 ( , ( ))�� . Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà óïîðÿ-
äî÷åííîé ìèíèìèçàöèè ðèñêà (ðàçä. 3) îïðåäåëèì ïîäêëàññ Fi (â äàííîì ïðè-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 85
ìåðå i — ñòåïåíü ïîëèíîìà) è ðàçìåð �-ñåòè n( )�� (ñîîòâåòñòâåííî ýëåìåíò
�-ñåòè �
��j i n* ( , ( ))
) òàêèå, ÷òîáû ôóíêöèÿ f t a j i ne j i n
( , ( ( , ( ))), )*
( , ( ))*� �� ��
îáåñ-
ïå÷èâàëà ìèíèìóì îöåíêè ñðåäíåãî ðèñêà (21). Çàâèñèìîñòü ñóììàðíîé îöåíêè
ñðåäíåãî ðèñêà I i n I i n I i n1 2 3( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))� � �� � �� � îò ïàðàìåòðà
m n n i n�
� �
( ) ( )1 19 ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1, à. Ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè
m � 81, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèÿì i* � 2 , n*� 38 . Óçåë �-ñåòè, íà êîòîðîì
äîñòèãàëñÿ ìèíèìóì ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà, ðàâåí j i n* * *( , ) � 6.
Êàê çàìå÷åíî â ðàçä. 3, ïðè ôèêñèðîâàííîì i ñ óâåëè÷åíèåì n( )�� ôóíêöèî-
íàë I i n2 ( , ( ))�� âîçðàñòàåò, à I i n3 ( , ( ))�� óáûâàåò. Ïðè ýòîì èõ ñóììà ìîæåò
èìåòü ìèíèìóì ïðè íåêîòîðîì n( )�� . Ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü
I i n I i n2 3( , ( )) ( , ( ))� �� �� îò n( ) , ,�� �{ }20 50� ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè i � 2
(åìêîñòü h � 4) ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1, á. Ýòà ôóíêöèÿ — âûïóêëàÿ ñ àðãóìåíòîì
ìèíèìóìà n* � 38 . Ïðè ôèêñèðîâàííîì n( )�� ôóíêöèîíàë I i n1( , ( ))�� óáûâàåò, à
I i n2 ( , ( ))�� âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì i . Ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü
I i n I i n1 2( , ( )) ( , ( ))� �� �� îò åìêîñòè êëàññà ôóíêöèé h i� � �2 2 6{ }, ,� ïðè ôèê-
ñèðîâàííîì çíà÷åíèè ðàçìåðà �-ñåòè n ( )�� � 38 ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1, â. Ôóíêöèÿ
ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ñ àðãóìåíòîì ìèíèìóìà i*� 2 . Òàêèì îáðàçîì, äàííûå, ïðè-
âåäåííûå íà ðèñ. 1, á, â, äåìîíñòðèðóþò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà óïî-
ðÿäî÷åííîé ìèíèìèçàöèè ýìïèðè÷åñêîãî ðèñêà äëÿ îòûñêàíèÿ îïòèìàëüíîé
ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî âðåìåííîãî ðÿäà îò âðåìåíè.
Âîññòàíîâëåííàÿ íà îñíîâàíèè ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ôóíêöèîíàëüíàÿ çà-
âèñèìîñòü èìååò ñëåäóþùèé âèä:
f t t t t( ) . . .. . .�
�
495605 3052 550 74 29310 229 1229 2 229 .
Íà ðèñ. 1, ã äàí ãðàôèê èñõîäíûõ çíà÷åíèé âðåìåííîãî ðÿäà (ñïëîøíàÿ
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
Ðèñ. 1. Ãðàôèê âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè âðåìåííîãî ðÿäà
à á
ãâ
(
)
I
I
I
1
2
3
3
1
0
�
�
(
(
)
I
I
1
2
3
1
0
�
(
(
)
I
I
2
3
2
1
0
�
(
Y
(
1
0
m n
th
êðèâàÿ), à òàêæå âîññòàíîâëåííàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü Y (ïóíêòèðíàÿ
êðèâàÿ) çà 12 ìåñÿöåâ. Çíà÷åíèå ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà ðàâíî
10928.9. Îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè (â ïðîöåíòàõ) ñìîäåëèðîâàííîãî âðåìåí-
íîãî ðÿäà ïî ìåñÿöàì:
0.42 , 1.19 ,
1.04 , 3.15 ,
4.76 ,
0.97 , 0.68 , 2.73 ,
2.67 ,
2.08 ,
5.32 , 3.32 .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðàññìîðåíà çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ïî ýìïèðè÷åñ-
êèì äàííûì. Ïðèâåäåíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû îòíîñèòåëüíî ðàâíîìåðíîé ñõîäè-
ìîñòè ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ðèñêà ê òåîðåòè÷åñêîìó ïðè óñëîâèè, ÷òî
êëàññ ðåãðåññèîííûõ ôóíêöèé èìååò êîíå÷íóþ åìêîñòü èëè ìîæåò áûòü ïîêðûò
êîíå÷íîé �-ñåòüþ. Óêàçàííûå ðåçóëüòàòû îáîáùåíû íà ñëó÷àé, êîãäà êëàññ ôóíê-
öèé ïî îäíîìó èç ïàðàìåòðîâ ìîæåò áûòü ïîêðûò êîíå÷íîé �-ñåòüþ, à ïî äðóãèì
ïàðàìåòðàì èìååò êîíå÷íóþ åìêîñòü. Äëÿ ìèíèìèçàöèè ïîãðåøíîñòè íå ðàöèî-
íàëüíîãî âûáîðà ìîäåëè ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä óïîðÿäî÷åííîé ìèíè-
ìèçàöèè ðèñêà. Ðàññìîòðåí ïðèìåð âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè
äëÿ êëàññà ðåãðåññîðîâ ïîëèíîìèàëüíîãî âèäà. Ðàçðàáîòàííàÿ òåîðèÿ ïðèìåíåíà
ê âðåìåííîìó ðÿäó òðåáîâàíèé áàíêîâ ïî êðåäèòàì, ïðåäîñòàâëåííûì þðèäè÷åñ-
êèì ëèöàì â Èâàíî-Ôðàíêîâñêîé îáëàñòè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. V a p n i k V . N . Estimation of dependences based on empirical data. — New York: Springer Verlag,
1982. — 399 p.
2. Â à ñ è ë ü å â Â . È . , Ñ ó ð î â ö å â È . Â . Èíäóêòèâíûå ìåòîäû îáíàðóæåíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé,
îñíîâàííûå íà òåîðèè ðåäóêöèè // Óïð. ñèñòåìû è ìàøèíû. — 1998. — ¹ 5. — Ñ. 3–13.
3. Â å ð ò ü å â Ñ . , Å ã î ð î â À . , Ç î ë î ò î â À . è ä ð . Ñåìåéñòâî ñèñòåì àâòîìàòèçàöèè
èñïûòàíèé ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ // Ìèð êîìïüþòåðíîé àâòîìàòèçàöèè. — 1995. — ¹ 1. —
Ñ. 68-71.
4. Ê à ë à ø í è ê î â Þ . Â . Ïðåäñòàâëåíèå è èñïîëüçîâàíèå çíàíèé äëÿ àâòîìàòèçèðîâàííîãî
êîíòðîëÿ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ // Çàðóáåæ. ðàäèîýëåêòðîíèêà.
— 1992. — ¹ 7. — Ñ 3–23.
5. Ï à í ê ð à ò î â à Í . Ä . Ðàöèîíàëüíûé êîìïðîìèññ â ñèñòåìíîé çàäà÷å êîíöåïòóàëüíîé
íåîïðåäåëåííîñòè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2002. — ¹ 4. — Ñ. 162–180.
6. Ï à í ê ð à ò î â à Í . Ä . Ñèñòåìíàÿ ñòðàòåãèÿ ãàðàíòèðîâàííîé áåçîïàñíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ
ñëîæíûõ òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì // Òàì æå. — 2010. — ¹ 2. — Ñ. 81–91.
7. C r y e r J . D . , C h a n K . Time series analysis with applications in R. Second edition. — New
York: Springer, 2008. — 491 p.
8. R a w l i n g s J . , P a n t u l a S . , D i c k e y D . Applied regression analysis — a research too. Second
Edition. — New York: Springer Verlag, 1998. — 671 p.
9. A n t h o n y M . , S h a w e - T a y l o r J . A result of Vapnik with applications // Discrete Applied
Mathematics. — 1993. — N 47(3). — P. 207–217.
10. A n t h o n y M . Discrete mathematics of neural networks: selected topics. — New York: SIAM,
2001. — 131 p.
11. P o l l a r d D . Convergence of stochastic processes. — New York: Springer, 1984. — 215 p.
12. V a p n i k V . The nature of statistical learning theory. Second Edition. — New York: Springer
Verlag, 2000. — 314 p.
Ïîñòóïèëà 15.02.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 87
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84186 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:19:24Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Панкратова, Н.Д. Зражевский, А.Г. 2015-07-03T15:50:41Z 2015-07-03T15:50:41Z 2011 Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью / Н.Д. Панкратова, А.Г. Зражевский // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 77-87. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84186 681.518.25 Розглянуто задачу відновлення функціональної залежності часових рядів від індексу часу у випадку короткої вибірки даних. Доведено рівномірну збіжність ε-сіткою за деякими своїми параметрами. Наведено приклад застосування відновлення функціональної залежності стосовно поліноміального класу функцій. The problem of estimating the functional dependence of time series on the time index is considered in the case of short data retrieval. The uniform conver ε-net for some of its parameters. The functional dependence for the polynomial class of functions is estimated as an example. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью Відновлення функціональної залежності часових рядів у випадку часткового покриття класу регресорів скінченною ε-сіткою Estimation of functional dependence of time series for the class of regression functions partially covered by a finite ε-net Article published earlier |
| spellingShingle | Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью Панкратова, Н.Д. Зражевский, А.Г. Системный анализ |
| title | Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью |
| title_alt | Відновлення функціональної залежності часових рядів у випадку часткового покриття класу регресорів скінченною ε-сіткою Estimation of functional dependence of time series for the class of regression functions partially covered by a finite ε-net |
| title_full | Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью |
| title_fullStr | Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью |
| title_full_unstemmed | Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью |
| title_short | Восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью |
| title_sort | восстановление функциональной зависимости временных рядов в случае частичного покрытия класса регрессоров конечной ε-сетью |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84186 |
| work_keys_str_mv | AT pankratovand vosstanovleniefunkcionalʹnoizavisimostivremennyhrâdovvslučaečastičnogopokrytiâklassaregressorovkonečnoiεsetʹû AT zraževskiiag vosstanovleniefunkcionalʹnoizavisimostivremennyhrâdovvslučaečastičnogopokrytiâklassaregressorovkonečnoiεsetʹû AT pankratovand vídnovlennâfunkcíonalʹnoízaležnostíčasovihrâdívuvipadkučastkovogopokrittâklasuregresorívskínčennoûεsítkoû AT zraževskiiag vídnovlennâfunkcíonalʹnoízaležnostíčasovihrâdívuvipadkučastkovogopokrittâklasuregresorívskínčennoûεsítkoû AT pankratovand estimationoffunctionaldependenceoftimeseriesfortheclassofregressionfunctionspartiallycoveredbyafiniteεnet AT zraževskiiag estimationoffunctionaldependenceoftimeseriesfortheclassofregressionfunctionspartiallycoveredbyafiniteεnet |