Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив
Досліджено векторні задачі оптимізації на нечіткій комбінаторній множині перестановок. На основі використання властивостей опуклої оболонки нечіткої комбінаторної множини перестановок розроблено і обґрунтовано модифікації методів багатокритеріального вибору на випадок нечітко заданої допустимої комб...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84187 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив / Н.В. Семенова, Л.Н. Колечкина, А.Н. Нагорная // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 88-99. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859669888445972480 |
|---|---|
| author | Семенова, Н.В. Колечкина, Л.Н. Нагорная, А.Н. |
| author_facet | Семенова, Н.В. Колечкина, Л.Н. Нагорная, А.Н. |
| citation_txt | Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив / Н.В. Семенова, Л.Н. Колечкина, А.Н. Нагорная // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 88-99. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Досліджено векторні задачі оптимізації на нечіткій комбінаторній множині перестановок. На основі використання властивостей опуклої оболонки нечіткої комбінаторної множини перестановок розроблено і обґрунтовано модифікації методів багатокритеріального вибору на випадок нечітко заданої допустимої комбінаторної множини. Наведено математичні моделі деяких прикладних задач.
Vector optimization problems on a fuzzy combinatorial set of permutations are investigated. Based on the properties of the convex hull of a fuzzy combinatorial set of permutations, modifications of multicriteria choice methods are developed and substantiated for a fuzzy feasible combinatorial set. Mathematical models of some application problems are presented.
|
| first_indexed | 2025-11-30T13:29:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.85
Í.Â. ÑÅÌÅÍÎÂÀ, Ë.Í. ÊÎËÅ×ÊÈÍÀ, À.Í. ÍÀÃÎÐÍÀß
ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ Ñ ËÈÍÅÉÍÛÌÈ
ÊÐÈÒÅÐÈßÌÈ ÍÀ ÍÅ×ÅÒÊÎ ÇÀÄÀÍÍÎÌ
ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÍÎÌ ÌÍÎÆÅÑÒÂÅ ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîêðèòåðèàëüíàÿ îïòèìèçàöèÿ, äèñêðåòíàÿ îïòèìèçà-
öèÿ, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè, êîìáèíàòîðíîå ìíî-
æåñòâî ïåðåñòàíîâîê, ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî
àëüòåðíàòèâ, íå÷åòêîå ìóëüòèìíîæåñòâî.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðåàëüíûõ ñèòóàöèÿõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé öåëè, îãðàíè÷åíèÿ, êðèòåðèè âûáîðà
â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ñóáúåêòèâíû è òî÷íî íå îïðåäåëåíû. Ïîýòîìó ïðè ïî-
ñòðîåíèè ìîäåëåé ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ
íå÷åòêîé ëîãèêè, íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ è îòíîøåíèé. Íå÷åòêèå ïîíÿòèÿ ïîçâîëÿ-
þò ìîäåëèðîâàòü ïëàâíîå, ïîñòåïåííîå èçìåíåíèå ñâîéñòâ, à òàêæå íåèçâåñò-
íûå ôóíêöèîíàëüíûå çàâèñèìîñòè, âûðàæåííûå â âèäå êà÷åñòâåííûõ ñâÿçåé.
Âî ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ äîâîëüíî ÷àñòî èñõîäíûå äàííûå íå ìîãóò áûòü
òî÷íî çàäàíû. Òàêèå ñèòóàöèè îòîáðàæàþò íåäîñòàòîê èíôîðìàöèè äëÿ ïîñòàíîâêè
çàäà÷è, ïîñêîëüêó ïðè íå÷åòêèõ óñëîâèÿõ è êðèòåðèÿõ ïðèíÿòèå ðåøåíèé îêàçûâàåòñÿ
ïðîáëåìàòè÷íûì. Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ðåàëüíûõ çàäà÷ íå÷åòêîñòü âûÿâëÿåòñÿ â ôîð-
ìå îïèñàíèÿ ôóíêöèé è ïàðàìåòðîâ, îò êîòîðûõ îíè çàâèñÿò. Óäîáíûì ìàòåìàòè÷åñ-
êèì èíñòðóìåíòàðèåì, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ è ó÷èòûâàåòñÿ ïîäîáíîãî
ðîäà èíôîðìàöèÿ, ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ, ïðåäëîæåííàÿ Ë. Çàäå â [1].
Íå÷åòêèå ìíîæåñòâà øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â ðàçëè÷íûõ ïðèìåíåíèÿõ èñêóññòâåííîãî
èíòåëëåêòà, ðàñïîçíàâàíèè îáðàçîâ, òåîðèè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé è äð.
Âî ìíîãèõ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ îïåðàöèé,
ïðîåêòèðîâàíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé
ñ ó÷åòîì íåñêîëüêèõ êðèòåðèåâ îïòèìàëüíîñòè.  òî æå âðåìÿ äîâîëüíî ðàñïðî-
ñòðàíåííûìè ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà ñ ìíîæåñòâîì àëü-
òåðíàòèâ, êîòîðûå ìîãóò îöåíèâàòüñÿ êàê êîëè÷åñòâåííî, òàê è êà÷åñòâåííî.
 óñëîâèÿõ ìíîãîêðèòåðèàëüíîñòè âûáîð íàèáîëåå öåëåñîîáðàçíîãî ðåøåíèÿ
îñóùåñòâëÿåòñÿ èç ìíîæåñòâà íåóëó÷øàåìûõ àëüòåðíàòèâ. Ïðîáëåìà îòûñêàíèÿ
òàêîãî ìíîæåñòâà èìååò áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå è òåîðåòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Êðîìå
òîãî, â ðåàëüíûõ çàäà÷àõ ìîùíîñòü ìíîæåñòâà àëüòåðíàòèâ ìîæåò áûòü î÷åíü âå-
ëèêà, ÷òî äåëàåò ïðîáëåìó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé.  ðàáîòå [2]
äàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà è ïðèâåäåíî àêñèîìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå
èçâåñòíîãî ñ XIX â. ïðèíöèïà Ýäæâîðòà–Ïàðåòî äëÿ ñëó÷àÿ ÷åòêîãî îòíîøåíèÿ
ïðåäïî÷òåíèÿ ëèöà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèå. Ýòîò ïðèíöèï ÿâëÿåòñÿ îñíîâîïîëà-
ãàþùèì ïðè âûáîðå íàèëó÷øèõ ðåøåíèé â ýêîíîìèêå è òåõíèêå â òåõ ñëó÷àÿõ,
êîãäà ïðèõîäèòñÿ ó÷èòûâàòü ñðàçó íåñêîëüêî öåëåâûõ ôóíêöèé (êðèòåðèåâ).
Îäíàêî îí íå óíèâåðñàëåí, à ñïðàâåäëèâ òîëüêî ïðè ðåøåíèè îïðåäåëåííîãî,
õîòÿ è äîñòàòî÷íî øèðîêîãî, êëàññà çàäà÷ ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà. Çà ãðà-
íèöàìè ýòîãî êëàññà åãî ïðèìåíåíèå ðèñêîâàííî èëè íåäîïóñòèìî.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðèíöèï Ýäæâîðòà–Ïàðåòî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà áîëåå
øèðîêèé êëàññ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷, â êîòîðûõ ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðå-
øåíèé çàäàíî íå÷åòêî.
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
© Í.Â. Ñåìåíîâà, Ë.Í. Êîëå÷êèíà, À.Í. Íàãîðíàÿ, 2011
Çíà÷èòåëüíûé âêëàä â ðàçðàáîòêó ìåòîäîâ ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè,
ïðèìåíåíèå ýòèõ ìåòîäîâ â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ ñëîæíûìè ñèñòåìàìè è èõ ïðîåê-
òèðîâàíèÿ âíåñëè Â.Ë. Âîëêîâè÷, È.Â. Ñåðãèåíêî, Â.À. Ïåðåïåëèöà, Þ.Þ. ×åðâàê,
Ð. Êèíè, Õ. Ðàéôà, Å.Ñ. Âåíòöåëü, Þ.Á. Ãåðìåéåð è äð. Ðàçëè÷íûì àñïåêòàì òåî-
ðèè âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè ïîñâÿùåíû ðàáîòû [2–9]. Âàæíàÿ ðîëü â ðàçðàáîòêå
íîâûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷ äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè ïðèíàäëå-
æèò È.Â. Ñåðãèåíêî, Â.Ñ. Ìèõàëåâè÷ó, Í.Ç. Øîðó è äð. Ñîçäàííûå èìè ìåòîäû
íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷ òåîðèè ðàñïèñàíèé, ðàçìå-
ùåíèÿ ïðîèçâîäñòâ, ïðîåêòèðîâàíèÿ ñåòåé, ìàãèñòðàëüíûõ ãàçîïðîâîäîâ.
Íà ïðàêòèêå íåðåäêî òî÷íàÿ òåîðèÿ îïòèìèçàöèè ïðèìåíÿåòñÿ ê íåòî÷íûì ìî-
äåëÿì, â êîòîðûõ íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé çàäàâàòü êîýôôèöèåíòû â âèäå òî÷íî îïðå-
äåëåííûõ ÷èñåë. Òàêîå èñêóññòâåííîå ñóæåíèå àïðèîðíîé èíôîðìàöèè ìîæåò ïðè-
âåñòè ê èñêàæåíèþ êîíå÷íûõ ðåçóëüòàòîâ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ äîñòàòî÷íî àêòóàëü-
íû çàäà÷è, ó÷èòûâàþùèå íå÷åòêèå ãðàíèöû êàê â öåëåâûõ ôóíêöèÿõ, òàê
è â îãðàíè÷åíèÿõ, çàäàííûõ íà êîìáèíàòîðíûõ ìíîæåñòâàõ. Çàäà÷à íå÷åòêîãî âûáî-
ðà — ïðÿìîå îáîáùåíèå çàäà÷è îáû÷íîãî (÷åòêîãî) âûáîðà, åå èññëåäîâàíèå ïðåä-
ñòàâëÿåò íåñîìíåííûé òåîðåòè÷åñêèé è ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ, à åå ðåøåíèÿ (íå÷åò-
êîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ ðåøåíèé) ìîãóò ñëóæèòü îñíîâîé äëÿ ïîñëåäóþùåãî
îêîí÷àòåëüíîãî âûáîðà. Èçó÷åíèå äàííîé çàäà÷è ïîëåçíî è ñ òî÷êè çðåíèÿ åå ïðè-
ëîæåíèé â ñàìûõ ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ.
 ðàáîòàõ [10–12] ðàññìîòðåíû ìíîãîêðèòåðèàëüíûå çàäà÷è ïðè óñëîâèÿõ
íå÷åòêî çàäàííîé èíôîðìàöèè î öåëåâûõ ôóíêöèÿõ è äîïóñòèìîé îáëàñòè çàäà-
÷è, â [13–16] — çàäà÷è íà êîìáèíàòîðíûõ ìíîæåñòâàõ. Öåëåñîîáðàçíî ðàññìîò-
ðåòü çàäà÷ó, êîòîðàÿ îáúåäèíÿåò óêàçàííûå çàäà÷è.
 äàííîé ñòàòüå çàäà÷à âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè îïðåäåëåíà íà êîìáèíàòîð-
íîì ìíîæåñòâå ïåðåñòàíîâîê, ïðè ýòîì ó÷èòûâàåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî âûïóêëîé
îáîëî÷êîé òàêîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ îáùèé ïåðåñòàíîâî÷íûé ìíîãîãðàííèê,
ìíîæåñòâî âåðøèí êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò ðàññìàòðèâàåìîå êîìáèíàòîðíîå ìíîæåñ-
òâî [14, 15]. Èçó÷åííûå ñâîéñòâà ýòîãî ìíîæåñòâà äàþò âîçìîæíîñòü ñâîäèòü ðå-
øåíèå çàäà÷è, îïðåäåëåííîé íà äèñêðåòíîì êîìáèíàòîðíîì ìíîæåñòâå, ê çàäà÷å
ñ íåïðåðûâíîé äîïóñòèìîé îáëàñòüþ. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå èññëåäîâàíà ìíîãîê-
ðèòåðèàëüíàÿ çàäà÷à ñ ó÷åòîì êîìáèíàòîðíûõ ñâîéñòâ íå÷åòêî çàäàííîé îáëàñòè
äîïóñòèìûõ àëüòåðíàòèâ è ïðåäëîæåíû ïîäõîäû ê åå ðåøåíèþ.
ÏÐÅÄÂÀÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß È ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß
Íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî îáðàçóåòñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ îáîáùåííîãî ïîíÿòèÿ ïðè-
íàäëåæíîñòè, ò.å. ðàñøèðåíèÿ äâóõýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè { }0 1, äî êîíòèíóóìà [ , ]0 1 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïåðåõîä îò
ïîëíîé ïðèíàäëåæíîñòè îáúåêòà ê ïîëíîé åãî íåïðèíàäëåæíîñòè ïðîèñõîäèò
ïëàâíî, ïðèíàäëåæíîñòü ìîæåò âûðàæàòüñÿ ëþáûì ÷èñëîì èç åäèíè÷íîãî èí-
òåðâàëà [ , ]0 1 , à íå òîëüêî îäíèì èç äâóõ çíà÷åíèé ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà
{ }0 1, , êàê â ñëó÷àå èíäèêàòîðîâ îáû÷íûõ ïîäìíîæåñòâ. Äàííîå ñâîéñòâî íå-
÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ îáåñïå÷èâàåò âîçìîæíîñòü òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ ðåàëüíûõ íåòî÷íûõ ïîíÿòèé. Âîçìîæíîñòü ôîðìàëèçàöèè òàêèõ
ïîíÿòèé îêàçàëàñü î÷åíü ïîëåçíîé, â ÷àñòíîñòè, ïðè ðàçðàáîòêå ïðèíöèïîâ èñêóñ-
ñòâåííîãî èíòåëëåêòà ÝÂÌ, êîòîðûå ìîäåëèðóþò ïðîöåññû ìûøëåíèÿ ÷åëîâåêà.
Íåçàâèñèìî îò òîãî, èñïîëüçóþòñÿ íå÷åòêèå èëè ÷åòêèå ïîäìíîæåñòâà,
îïðåäåëåíèå ñòåïåíåé ïðèíàäëåæíîñòè îïèðàåòñÿ íà íåêîòîðûå ñóáúåêòèâíûå
êðèòåðèè ëèöà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèÿ (ËÏÐ). Îäíàêî åñëè ïðè îïðåäåëåíèè
÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ îñóùåñòâëÿåòñÿ âûáîð îäíîãî èç äâóõ ÷èñåë — íóëÿ èëè
åäèíèöû, òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ íå÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ âîçìîæíîñòè âûáîðà ñòåïå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 89
íåé ïðèíàäëåæíîñòè íàìíîãî ðàçíîîáðàçíåå.  ðÿäå ñëó÷àåâ îïðåäåëåíèå ïîäõî-
äÿùèõ çíà÷åíèé ñòåïåíåé ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòîâ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ ïðèâî-
äèò ê çíà÷èòåëüíûì òðóäíîñòÿì â ðàáîòå ñ íå÷åòêèìè ïîíÿòèÿìè.
Ôîðìàëüíî îáùàÿ çàäà÷à íå÷åòêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ îïè-
ñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [11]. Ïóñòü X — óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî àëüòåð-
íàòèâ è �
A
X: [ , ]� 0 1 — çàäàííîå íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ àëüòåðíà-
òèâ; Y — óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî îöåíîê ðåçóëüòàòîâ âûáîðà àëüòåðíàòèâ èç
ìíîæåñòâà X è �
R
Y Y: [ , ]� � 0 1 — çàäàííîå íà ìíîæåñòâå Y íå÷åòêîå îòíîøåíèå
ïðåäïî÷òåíèÿ. Âûáîðû àëüòåðíàòèâ îöåíèâàþòñÿ íå÷åòêèìè çíà÷åíèÿìè çàäàííîé
íå÷åòêîé ôóíêöèè öåëè � : [ , ]X Y� � 0 1 . Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â ðàöèîíàëüíîì âû-
áîðå àëüòåðíàòèâ íà îñíîâå èíôîðìàöèè, çàäàííîé â îïèñàííîé ôîðìå.
Ñëåäóþùèì øàãîì íà ïóòè óòî÷íåíèÿ ðàññìîòðåííîé ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ
îïèñàíèå ïàðàìåòðîâ çàäà÷è â ôîðìå íå÷åòêèõ ïîäìíîæåñòâ. Ïðè ýòîì, êðîìå
çàäàíèÿ ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, â ìîäåëü ââîäèòñÿ äîïîë-
íèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ â âèäå ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè äàííûì ìíîæåñòâàì.
Ýòè ôóíêöèè ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñïîñîá ïðèáëèæåííîãî îòîáðàæåíèÿ ýêñ-
ïåðòîì â àãðåãèðîâàííîì âèäå èìåþùåãîñÿ ó íåãî íåôîðìàëèçîâàííîãî ïðåä-
ñòàâëåíèÿ î ðåàëüíîé âåëè÷èíå äàííîãî ïàðàìåòðà. Çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðèíàä-
ëåæíîñòè ìîæíî ïîíèìàòü êàê âåñîâûå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå ýêñïåðò ïðèïè-
ñûâàåò ðàçíûì âîçìîæíûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà.
Ó÷åò ïîäîáíîé äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè óñëîæíÿåò èñõîäíóþ ìàòåìà-
òè÷åñêóþ ìîäåëü, òåì íå ìåíåå îíà ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðîùå ìîäåëè, ó÷èòûâàþ-
ùåé ìíîãîîáðàçèå äîïîëíèòåëüíûõ ôàêòîðîâ.
Îïðåäåëèì äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ îáîáùåíèÿ ïîíÿòèé ìóëüòèìíîæåñ-
òâà, n-âûáîðêè è êîìáèíàòîðíîãî ìíîæåñòâà ïåðåñòàíîâîê íà ñëó÷àé íå÷åòêî çà-
äàííîé èíôîðìàöèè.
Îïðåäåëåíèå 1. Íå÷åòêèì ìóëüòèìíîæåñòâîì
~
X , çàäàííûì íà óíèâåðñàëü-
íîì ìíîæåñòâå X , íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ïàð ( , ( ))~x x
X
� , ãäå x X� , à � ~ ( )
X
x —
ôóíêöèÿ x � [ , ]0 1 , íàçûâàåìàÿ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè ìóëüòèìíîæåñòâà
~
X .
Çíà÷åíèå � ~ ( )
X
x äëÿ êîíêðåòíîãî x íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè ýòîãî
ýëåìåíòà íå÷åòêîìó ìóëüòèìíîæåñòâó
~
X .
Íàïîìíèì, ÷òî ìóëüòèìíîæåñòâà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ îáðàçóþò ïîäêëàññ
íå÷åòêèõ ìóëüòèìíîæåñòâ. Íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè, òàê æå êàê íàä îáû÷-
íûìè ìíîæåñòâàìè, âûïîëíÿåòñÿ ðÿä îïåðàöèé, òàêèõ êàê îáúåäèíåíèå, ïåðåñå-
÷åíèå, äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå, ðàçíîñòü è äð. Ýòè æå îïåðàöèè èìåþò ìåñòî äëÿ
íå÷åòêèõ ìóëüòèìíîæåñòâ [16].
Ïóñòü çàäàíî íå÷åòêîå ìóëüòèìíîæåñòâî
~
, ( ), , ( ), ..., , ( )~ ~ ~A a a a a a a
A A q A q� { }1 1 2 2� � � ,
åãî îñíîâàíèå
S A e e e e e e
A A k A k(
~
) , ( ), , ( ), ..., , ( )~ ~ ~� { }1 1 2 2� � � ,
ãäå
� �~ ~( ) min ( ) | , , , ,
A i A i i i qe a a a j t i j t N
j j t
� � � � �{ }, e Rj � � �j N kk = { }1, ...,
è êðàòíîñòü ýëåìåíòîâ k e rj j( ) � , j N k� , r r r qk1 2� � � �� .
Óïîðÿäî÷åííîé íå÷åòêîé n-âûáîðêîé èç íå÷åòêîãî ìóëüòèìíîæåñòâà
~
A íà-
çûâàåòñÿ íàáîð
a a a a a a ai A i i A i i A in n
� ( , ( ), , ( ), , , ( ))~ ~ ~
1 1 2 2
� � �� , (1)
ãäå ( , ( ))
~
~a a Ai A ij j
� � � �i Nj k , � �j N k , i is t� , åñëè s t� � �s N k , � �t N k .
Îïðåäåëåíèå 2. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî P A(
~
), ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
íå÷åòêèå n-âûáîðêè âèäà (1) èç íå÷åòêîãî ìóëüòèìíîæåñòâà
~
A, íàçûâàåòñÿ íå÷åò-
êèì åâêëèäîâûì êîìáèíàòîðíûì ìíîæåñòâîì, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïàðû åãî
ýëåìåíòîâ
� a a a a a a a
A A n A n( , ( ), , ( ), ..., , ( ))~ ~ ~1 1 2 2� � � ,
� a a a a a a
A A n A
( , ( ), , ( ), ..., , (~ ~ ~1 1 2 2� � � an))
âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ( ) ( : ( , ( )) ( , ( ))~ ~ �
� � � a a j N a a a an j A j j A j� � , ò.å.
ìíîæåñòâî P A(
~
) èìååò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: äâà ýëåìåíòà ìíîæåñòâà P A(
~
)
ðàçëè÷íû, åñëè îíè íåçàâèñèìî îò äðóãèõ îòëè÷èé ðàçëè÷àþòñÿ ïîðÿäêîì ðàç-
ìåùåíèÿ ñèìâîëîâ, îáðàçóþùèõ èõ, è ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîìó
ìíîæåñòâó P A(
~
) .
Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n äåéñòâèòåëüíûõ ÷è-
ñåë, ñðåäè êîòîðûõ k ðàçíûõ, íàçûâàåòñÿ îáùèì íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì ïåðåñòà-
íîâîê è îáîçíà÷àåòñÿ P Ank (
~
) .
Îïðåäåëåíèå 3. Âûïóêëîé êîìáèíàöèåé íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ A A An1 2, , ..., â
R n íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå ìíîæåñòâî A ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè âèäà
� � �A i i
i
n
x x( ) ( )�
�
�
1
,
ãäå � i
0 , i N n i
i
n
� �
�
�, � 1
1
.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýëåìåíòû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ïåðåñòàíîâîê ñ ïîâòî-
ðåíèÿìè êàê òî÷êè àðèôìåòè÷åñêîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà R n .
Íå òåðÿÿ îáùíîñòè, óïîðÿäî÷èì ýëåìåíòû ìóëüòèìíîæåñòâà
~
A òàêèì îáðàçîì:
a a an1 2� � �� . (2)
Íàðÿäó ñ êëàññè÷åñêèì ìíîãîãðàííèêîì ïåðåñòàíîâîê, ââåäåííûì Ðàäî [14],
îïèøåì îáùèé ïåðåñòàíîâî÷íûé ìíîãîãðàííèê � nk A(
~
) , ÿâëÿþùèéñÿ âûïóê-
ëîé îáîëî÷êîé îáùåãî ìíîæåñòâà ïåðåñòàíîâîê P Ank (
~
) è îïèñûâàþùèéñÿ
ñèñòåìîé ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ [15]:
x a x aj
j
n
j
j
n
j
i
j
j
i
j
� � � �
� � � ��
1 1 1 1
, � , (3)
� � �j n j t i nN j t j t N i N� � � � � � � �, , , , , , P A Ank nk( ) ( )� vert � ,
ãäå vert � nk A( ) — ìíîæåñòâî âåðøèí ìíîãîãðàííèêà � nk A( ).
Íå÷åòêèé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê � nk A(
~
) òàêæå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âû-
ïóêëóþ îáîëî÷êó íå÷åòêîãî êîìáèíàòîðíîãî ìíîæåñòâà ïåðåñòàíîâîê: � nk A(
~
) �
� convP Ank (
~
) .
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Êàê ïðàâèëî, ïîä çàäà÷åé ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè ïîäðàçóìåâàþò
çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìà âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ íà äîïóñ-
òèìîì ìíîæåñòâå àëüòåðíàòèâ. Ñ ïîìîùüþ âåêòîðíîé öåëåâîé ôóíêöèè ôîð-
ìàëüíî ïðåäñòàâëÿþòñÿ îñíîâíûå ñâîéñòâà àëüòåðíàòèâ: öåííîñòü, ïîëåçíîñòü,
ñòîèìîñòü è äð. Íå÷åòêîñòü â ïîñòàíîâêå çàäà÷è ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçà-
öèè ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ êàê â îïèñàíèè ìíîæåñòâà àëüòåðíàòèâ, òàê è â îïèñà-
íèè ôóíêöèé êðèòåðèåâ. Ðàçíûå ôîðìû îïèñàíèÿ èñõîäíîé èíôîðìàöèè ïðèâî-
äÿò ê ðàçëè÷íûì ôîðìóëèðîâêàì íå÷åòêèõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè: çàäà÷à äîñòèæå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 91
íèÿ íå÷åòêî ïîñòàâëåííîé öåëè ïðè íå÷åòêèõ îãðàíè÷åíèÿõ; çàäà÷à íå÷åòêîé
îïòèìèçàöèè ïðè íå÷åòêîì ìíîæåñòâå äîïóñòèìûõ àëüòåðíàòèâ; íå÷åòêèé âàðè-
àíò ñòàíäàðòíîé çàäà÷è îïòèìèçàöèè ñî «ñìÿã÷åíèåì» êðèòåðèåâ è/èëè îãðàíè-
÷åíèé, ò.å. âìåñòî çàäà÷è îïòèìèçàöèè ðåøàåòñÿ çàäà÷à óäîâëåòâîðåíèÿ öåëè
è íåðàâåíñòâà äëÿ öåëåâîé ôóíêöèè è îãðàíè÷åíèÿ ìîãóò íàðóøàòüñÿ; çàäà÷à
îïòèìèçàöèè ñ íå÷åòêèìè êîýôôèöèåíòàìè è äð.
 äàííîé ñòàòüå çàäà÷à ñîñòîèò â ìàêñèìèçàöèè âåêòîðíîé ôóíêöèè F íà íå-
÷åòêîì åâêëèäîâîì êîìáèíàòîðíîì ìíîæåñòâå
~
.X
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíàÿ çàäà÷à êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè âèäà
Z F X F x x X R n( , ): max { ( ) | },� � F x f x f xl( ) ( ( ), , ( ))� 1 � , f R Ri
n: � , i N l� ,
ãäå X A Dnk� � ��vert � ( ) , � nk nkA P A( ) ( )� conv , P Ank ( ) — êîìáèíàòîðíîå
ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê, D R n� — âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê.
Íà ìíîæåñòâå X çàäàíî íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî
~
, ( )~X x x
X
� { }� , ãäå x X� ,
� ~ ( ) : [ , ]
X
x X � 0 1 — ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâó
~
X , êîòîðîå íàçûâàåò-
ñÿ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì àëüòåðíàòèâ. Ïîä ìàêñèìèçàöèåé áóäåì ïîíèìàòü âû-
áîð íå÷åòêîãî ïîäìíîæåñòâà R èç íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
~
X , êîòîðîìó ñîîòâåò-
ñòâóåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå êàê âåêòîðíîé ôóíêöèè F, òàê è ôóíêöèè ïðèíàä-
ëåæíîñòè � ~ ( )
X
x íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà àëüòåðíàòèâ. Ýòè àëüòåðíàòèâû â çàäà÷àõ
ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè â çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà èõ ñðàâíåíèÿ íàçû-
âàþòñÿ ýôôåêòèâíûìè (îïòèìàëüíûìè ïî Ïàðåòî), ñëàáî ýôôåêòèâíûìè (ïî
Ñëåéòåðó), ñòðîãî ýôôåêòèâíûìè (ïî Ñìåéëó) è ñîîòâåòñòâåííî îáîçíà÷àþòñÿ:
P F X( ,
~
), Sl F X( ,
~
), Sm F X( ,
~
).
Îïðåäåëåíèå 4. Àëüòåðíàòèâà x X*
~
� íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé, åñëè íå ñó-
ùåñòâóåò èíîé àëüòåðíàòèâû x X�
~
òàêîé, ÷òî F x F x( ) ( )*
, � �D Dx x( ) ( )*
è õîòÿ áû îäíî íåðàâåíñòâî ñòðîãîå; ñëàáî ýôôåêòèâíîé, åñëè � � �x X F x F x
~
: ( ) ( )* ,
� �D Dx x( ) ( )*� ; ñòðîãî ýôôåêòèâíîé, åñëè � � �x X x x
~
: *, F x F x( ) ( )*
,
� �D Dx x( ) ( )*
.
Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî Sm F X P F X Sl F X( ,
~
) ( ,
~
) ( ,
~
)� � .
Èñõîäíóþ çàäà÷ó Z F X( , ) ïðåäñòàâèì â âèäå ( )l �1 -êðèòåðèàëüíîé çàäà÷è
F x( ) max� , � ~ ( ) max
X
x � , x X�
~
.
Ïîä ðåøåíèåì çàäà÷è ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì àëüòåðíàòèâ áóäåì ïîíèìàòü
íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè
� �( ) ( ) | ( ,
~
) | ( ,
~
)~x x x P F X x P F X
X
� � � �{ }0 .
Òàêèì îáðàçîì, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé âêëþ÷àåò â ñåáÿ òå è òîëüêî òå àëü-
òåðíàòèâû óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà X , êîòîðûå äàþò çíà÷åíèÿ âåêòîðíîé ôóíêöèè
F x( ) è ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè � ~ ( ),
~
X
x x X� , íå óëó÷øàåìûå îäíîâðåìåííî.
Ïóñòü
~
{ | ( ),
~
}Y y R y F x x Xl� � � � — ìíîæåñòâî äîñòèæèìûõ âåêòîðíûõ
îöåíîê, êîòîðûå çàäàþòñÿ íå÷åòêèìè çíà÷åíèÿìè âåêòîðíûõ îöåíîê
y y y yl� ( , , , )1 2 � , è P( )� — ìíîæåñòâî âñåõ ýôôåêòèâíûõ àëüòåðíàòèâ
( )l �1 -êðèòåðèàëüíîé çàäà÷è
yi � max , i N l� , �D x( ) max� , F x y( , )
� , x X y y y Yl� � �, ( , ..., )1 .
Òîãäà ðåøåíèåì âåêòîðíîé çàäà÷è íå÷åòêîé îïòèìèçàöèè ñ íå÷åòêèì ìíîæåñ-
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
òâîì àëüòåðíàòèâ è ñî ñòåïåíüþ íåäîìèíèðóåìîñòè àëüòåðíàòèâ íå ìåíüøå �
íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè âèäà
�
�
�
�
�
( )
( ), ( ,
~
),
, ( ,
~
).
~
x
x x P F X
x P F X
X�
�
�
�
�
�0
Òàêèì îáðàçîì, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé èñõîäíîé çàäà÷è ñîäåðæèò òå
è òîëüêî òå àëüòåðíàòèâû ñî ñòåïåíüþ íåäîìèíèðóåìîñòè íå ìåíüøå � , êîòîðûå
ýôôåêòèâíû êàê ïî îöåíêàì àëüòåðíàòèâ yi , i N l� , òàê è ïî ôóíêöèè ïðèíàäëåæ-
íîñòè � ~ ( )
X
x íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó àëüòåðíàòèâ
~
X . Âûáîð èç íèõ íåêîòîðîé êîíê-
ðåòíîé àëüòåðíàòèâû îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ ìíîãîêðèòåðèàëüíîé
îïòèìèçàöèè. Áîëåå òîãî, âìåñòî çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè âåêòîðíîé öåëåâîé ôóíê-
öèè ìîæíî ïîñòàâèòü çàäà÷ó äîñòèæåíèÿ íåêîòîðîãî íàïåðåä çàäàííîãî çíà÷åíèÿ
âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî óäîâëåòâîðåíèþ èñõîäíîé öåëè.
ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÏÎÄÕÎÄÛ Ê ÐÅØÅÍÈÞ ÇÀÄÀ×È
Ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ìíîãî ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷, íî áîëü-
øèíñòâî èç íèõ ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ âûáîðà àëüòåðíàòèâ â ÷åòêîé
ñðåäå. Íåêîòîðàÿ ìîäèôèêàöèÿ äåëàåò èõ ïðèìåíèìûìè è â óñëîâèÿõ íå÷åòêîñòè.
Ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è Z F X( , ) â óñëîâèÿõ íå÷åòêîé îïðåäåëåí-
íîñòè òðåáóåò çíàíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ ðåçóëüòàòîâ îïåðàöèé íàõîæäåíèÿ ñóììû,
ïðîèçâåäåíèÿ, ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà íå÷åòêèõ âåëè÷èí.
Ïîä íå÷åòêèì ÷èñëîì áóäåì ïîíèìàòü íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ñ îáëàñòüþ
îïðåäåëåíèÿ â âèäå èíòåðâàëà äåéñòâèòåëüíîé îñè R.
Ìíîæåñòâî âñåõ íå÷åòêèõ ÷èñåë, îïðåäåëåííûõ íà R1, îáîçíà÷èì
~
R1. Ïóñòü
x è y — äâà íå÷åòêèõ ÷èñëà ñ íîñèòåëÿìè S a ax � ( , )1 2 è S b by � ( , )1 2 ñîîòâåòñò-
âåííî; a a2 1� , b b2 1� ; g R R R: 1 1 1� � — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ñîãëàñíî
ïðèíöèïó îáîáùåíèÿ [12] íå÷åòêîå ÷èñëî D g x y� ( , ) îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïðè-
íàäëåæíîñòè
� � �D
g a b z
a S b S
x yz a b
x y
( ) sup min { ( ), ( )}
( , )
,
�
�
� �
. (4)
Ïóñòü � — îäíà èç ÷åòûðåõ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé: �, � , � , / ;
g a b a b( , ) � � . Òîãäà ôîðìóëà (4) îïðåäåëÿåò ðåçóëüòàò àðèôìåòè÷åñêîé îïåðà-
öèè � íàä íå÷åòêèìè ÷èñëàìè x è y. Åñëè g( )� — ôóíêöèÿ íå äâóõ, à n àðãóìåí-
òîâ, òî ïðèíöèï îáîáùåíèÿ ôîðìóëèðóåòñÿ àíàëîãè÷íî ôîðìóëå (4).
Ïðè ñðàâíåíèè äâóõ íå÷åòêèõ âåëè÷èí íåîáõîäèìî äàòü îïðåäåëåíèÿ ðàâåí-
ñòâà ýòèõ âåëè÷èí.
Îïðåäåëåíèå 5. Äâå íå÷åòêèå âåëè÷èíû (äâà ÷èñëà) ( , ( ))x x1 1 1� è ( , ( ))x x2 2 2�
áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè, åñëè x x1 2� è � �1 1 2 2( ) ( )x x� .
Îïðåäåëåíèå 6. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ x x1 2
, � �1 1 2 2( ) ( )x x
è îäíî
èç ýòèõ íåðàâåíñòâ ñòðîãîå, òî íå÷åòêàÿ âåëè÷èíà ( , ( ))x x1 1 1� áîëüøå íå÷åòêîé
âåëè÷èíû ( , ( ))x x2 2 2� .
Ðàçðàáîòàí ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ìåòîäå ïîñëåäîâàòåëüíûõ óñòóïîê. Ïðè
ðåøåíèè ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ óñòóïîê ñíà÷à-
ëà îñóùåñòâëÿåòñÿ êà÷åñòâåííûé àíàëèç îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ÷àñòè÷íûõ
êðèòåðèåâ. Êðèòåðèè çàäà÷è ïðåäâàðèòåëüíî ïðîíóìåðîâûâàþò ïî óìåíüøåíèþ
èõ âàæíîñòè, òàêèì îáðàçîì, ãëàâíûì ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèé f x1( ), ìåíåå âàæíûé —
f x2 ( ), ïîòîì ñëåäóþò äðóãèå ÷àñòè÷íûå êðèòåðèè — f x3 ( ), f x f xl4 ( ), , ( )� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 93
Ìàêñèìèçèðóåòñÿ ïåðâûé ïî âàæíîñòè êðèòåðèé f x1( ) è îïðåäåëÿåòñÿ åãî íàè-
áîëüøåå çíà÷åíèå f1
*. Äàëåå çàäàåòñÿ âåëè÷èíà äîïóñòèìîãî ñíèæåíèÿ (óñòóïêè)
�1 0
êðèòåðèÿ f x1( ) è èùåòñÿ íàèáîëüøåå çíà÷åíèå f2
* âòîðîãî êðèòåðèÿ f x2 ( )
ïðè óñëîâèè, ÷òî çíà÷åíèå ïåðâîãî êðèòåðèÿ äîëæíî áûòü íå ìåíüøå f1 1
* �� . Çà-
òåì çàäàåòñÿ âåëè÷èíà óñòóïêè �2 0
ïî âòîðîìó êðèòåðèþ, êîòîðûé âìåñòå
ñ ïåðâîé óñòóïêîé èñïîëüçóåòñÿ ïðè íàõîæäåíèè óñëîâíîãî ìàêñèìóìà òðåòüåãî
êðèòåðèÿ, è ò.ä. Â èòîãå ìàêñèìèçèðóåòñÿ ïîñëåäíèé ïî âàæíîñòè êðèòåðèé f xl ( )
ïðè óñëîâèè, ÷òî çíà÷åíèå êàæäîãî êðèòåðèÿ f xr ( ) èç l �1 ïðåäûäóùèõ äîëæíî
áûòü íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíû f r r
* �� , òîãäà ïîëó÷åííûå àëüòåð-
íàòèâû ñ÷èòàþòñÿ îïòèìàëüíûìè.
Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì âûïîëíåíèÿ
ìíîãîøàãîâîé ïðîöåäóðû è ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì âêëþ÷åíèè îãðàíè÷å-
íèé çàäà÷è Z F X( , ) è ó÷åòå ñòðóêòóðíûõ îñîáåííîñòåé åå äîïóñòèìîé îáëàñòè.
Îïòèìàëüíûì ñ÷èòàåòñÿ ðåøåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì ïîñëåäíåé çàäà÷è èç
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàäà÷:
f f x x X1 1
* max ( ) |� �{ } , f f x x X f x f2 2 1 1 1
* *max ( ) | , ( ) ,� �
�{ }� �
�, max ( ) | , ( ) ,* *f f x x X f x f r Nl l r r r l� �
� �� � �{ \ {1}}1 1 1� .
Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âñå � r — íóëè, ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ óñòó-
ïîê âûäåëÿåò òîëüêî ëåêñèêîãðàôè÷åñêè îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå
îáåñïå÷èâàþò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå íà ìíîæåñòâå äîïóñòèìûõ ðåøåíèé ïåðâîìó
ïî âàæíîñòè êðèòåðèþ f x1( ). Ïîýòîìó âåëè÷èíû óñòóïîê, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ
ðåøåíèÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñâîåîáðàçíóþ
ìåðó îòêëîíåíèÿ ïðèîðèòåòà (ñòåïåíè îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè) ÷àñòè÷íûõ êðè-
òåðèåâ îò æåñòêîãî, ëåêñèêîãðàôè÷åñêîãî.
Ïîíÿòèÿ ñòðóêòóð äîìèíèðîâàíèÿ è íåäîìèíèðóåìûõ ðåøåíèé â ìíîãîêðè-
òåðèàëüíûõ çàäà÷àõ ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü îáùèå ñëó÷àè, â êîòîðûõ èìååòñÿ
èíôîðìàöèÿ î ïðåäïî÷òåíèÿõ ËÏÐ.  [17] ââåäåíû ïîíÿòèÿ íå÷åòêèõ âûïóêëûõ
è íå÷åòêèõ ïîëÿðíûõ êîíóñîâ, îáîáùàþùèõ ñòðóêòóðû, èñïîëüçóþùèåñÿ äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèé îïòèìàëüíîñòè ïî Ïàðåòî, Ñëåéòåðó, Ñìåéëó è äð.
Åñëè îòñóòñòâóåò èíôîðìàöèÿ êàê î ïðåäïî÷òåíèÿõ íà ìíîæåñòâå àëüòåðíà-
òèâ, òàê è î ïðåäïî÷òåíèÿõ íà ìíîæåñòâå êðèòåðèåâ, òî, êàê ïðàâèëî, èñïîëüçó-
þòñÿ ïðîñòåéøèå ìåòîäû: ìèíèìàêñíûé, ìàêñèìàêñíûé è äð. Ïðè íàëè÷èè èí-
ôîðìàöèè òîëüêî î ñðàâíèòåëüíîé âàæíîñòè îöåíîê ïî êàæäîìó êðèòåðèþ ïîëü-
çóþòñÿ ìåòîäàìè ïîñëåäîâàòåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ àëüòåðíàòèâ ïî îòäåëüíûì
êðèòåðèÿì (ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ìåòîä, ìåòîä ïåðåñòàíîâîê, ìåòîä ïîñëåäîâà-
òåëüíîãî ñîêðàùåíèÿ íåâÿçîê è äð.). Åñëè ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ íà ìíîæåñòâå êðè-
òåðèàëüíûõ îöåíîê âûðàæåíû â ïîðÿäêîâûõ øêàëàõ è çàäàíû îòíîñèòåëüíî âåñà
êðèòåðèåâ, òî èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû ãîëîñîâàíèÿ, íàèáîëåå èçâåñòíûì èç êîòî-
ðûõ â ïðèíÿòèè ðåøåíèé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Á. Ðóà.
Åñëè ìîæíî ïîëó÷èòü îòíîñèòåëüíûå âåñà êðèòåðèåâ è îòíîñèòåëüíûå öåí-
íîñòè êðèòåðèàëüíûõ îöåíîê ïî îòäåëüíûì êðèòåðèÿì, òî ïðèìåíÿåòñÿ ìíîãî ðàç-
ëè÷íûõ ìåòîäîâ, â ÷àñòíîñòè ïðÿìûå ìåòîäû îöåíèâàíèÿ àëüòåðíàòèâ ñ èñïîëüçî-
âàíèåì çàðàíåå çàäàííûõ îöåíèâàþùèõ ôóíêöèé (íàïðèìåð, àääèòèâíîé âçâåøåí-
íîé ñâåðòêè îöåíîê ïî âñåì êðèòåðèÿì) è ìåòîäû òåîðèè ïîëåçíîñòè, òðåáóþùèå
ïðîäîëæèòåëüíîãî äèàëîãà ñ ËÏÐ.
Åñëè íàðÿäó ñ èíôîðìàöèåé î âàæíîñòè êðèòåðèåâ èçâåñòíû èäåàëüíûå êðè-
òåðèàëüíûå îöåíêè, âîçìîæíî ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ îöåíêè äîñòèæèìîñòè öåëåé.
Äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî ïåðå÷èñëåííûå ìåòîäû èçëîæåíû â [10, 18].
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðîñòûå ìåòîäû âûáîðà àëüòåðíàòèâ îòñóòñòâèÿ èíôîð-
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
ìàöèè î ïðåäïî÷òåíèÿõ íà ìíîæåñòâå êðèòåðèåâ [12] è ïîêàæåì, êàêèì îáðàçîì ìî-
æåò áûòü ðàñøèðåíà îáëàñòü èõ ïðèìåíåíèÿ.
Ïóñòü çàäàíû èëè âû÷èñëåíû íå÷åòêèå îöåíêè f f xij i j� ( ) àëüòåðíàòèâ
x j Nj n, � , ïî êðèòåðèÿì f i Ni l, � . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íå÷åòêèõ îöåíîê ìîæíî âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ óòâåðæäåíèåì 2 èç ðàáîòû [6].
ÌÅÒÎÄ ÏÎÈÑÊÀ ËÅÊÑÈÊÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÍÀ ÍÅ×ÅÒÊÎ
ÇÀÄÀÍÍÎÌ ÄÎÏÓÑÒÈÌÎÌ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÍÎÌ ÌÍÎÆÅÑÒÂÅ ÏÅÐÅÑÒÀÍÎÂÎÊ
Ïðèìåíåíèå ìåòîäà äëÿ çàäà÷ ñ íå÷åòêîé èñõîäíîé èíôîðìàöèåé ñâîäèòñÿ ê
ñëåäóþùèì äåéñòâèÿì.
1. Óïîðÿäî÷èòü êðèòåðèè ïî âàæíîñòè: f x f x f xl1 2( ), ( ), , ( )� .
2. Ïî ñîãëàñèþ ñ ËÏÐ çàäàòü óðîâåíü �� [ , ]0 1 , äëÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ
ìíîæåñòâî ëó÷øèõ àëüòåðíàòèâ ñîãëàñíî øàãàì 3–5.
3. Îïðåäåëèòü íèæíþþ ( )� è âåðõíþþ ( )u ãðàíèöû �-óðîâíåâûõ ïîäìíî-
æåñòâ äëÿ îöåíêè àëüòåðíàòèâ ïî ðàññìàòðèâàåìîìó êðèòåðèþ:
�( ) inf , ( ) sup .
( ) ( )
f x u f xij
x
ij
xfij fij
� �
� � � �
4. Äëÿ êàæäîé ïàðû àëüòåðíàòèâ z y X, � âû÷èñëèòü ïîêàçàòåëè âçàèìíîãî
ïðåâûøåíèÿ êðèòåðèàëüíûõ îöåíîê � zy z y( )� è � yz y z( )� :
à) åñëè îöåíêè òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå f fiy iz
� �� , òî
� zy
iz iy
iz iz
u f u f
u f l f
�
�
�
( ) ( )
( ) ( )
, � yz
iy iz
iz iz
l f l f
u f l f
�
�
�
( ) ( )
( ) ( )
, (5)
ãäå z y A, � ;
á) åñëè îöåíêè ïåðåñåêàþòñÿ è � � � �x S y Sf fiz iy0 : âûïîëíÿåòñÿ x y0 � , òî
� zy
iy izu f l f
r z r y
� �
�
1
( ) ( )
max ( ), ( ){ }
, � yz � 0, (6)
ãäå r z u f l fiz iz( ) ( ) ( )� � , r y u f l fiy iy( ) ( ) ( )� � ;
â) åñëè îöåíêè íå ïåðåñåêàþòñÿ è� � � �x S y Sf fiz iy
, âûïîëíÿåòñÿ x y� , òî
� zy �1, � yz � 0. (7)
5. Âû÷èñëèòü ïîêàçàòåëè �
Dij
ïðèíàäëåæíîñòè j -é àëüòåðíàòèâû ìíîæåñò-
âó ëó÷øèõ ( D -ìíîæåñòâó) àëüòåðíàòèâ ïî i -ìó êðèòåðèþ
�Dij
� max , (max max )}{0
j X
y j
jy
y X
y j
yj
�
�
�
�
�� � ,
ãäå � jy , � yj âû÷èñëåíû ïî ôîðìóëàì (5), (6) äëÿ i -ãî êðèòåðèÿ.
6. Åñëè D-ìíîæåñòâî ïî ðàññìîòðåííîìó êðèòåðèþ ñîäåðæèò îäíó àëüòåðíàòè-
âó ñ � �Dij
, òî îíà ñ÷èòàåòñÿ ëó÷øåé. Åñëè D-ìíîæåñòâî ñîäåðæèò áîëüøå, ÷åì
îäíó àëüòåðíàòèâó ñ � �Dij
, òî âûáèðàåòñÿ ñëåäóþùèé ïî âàæíîñòè êðèòåðèé è
ïîâòîðÿþòñÿ øàãè 3–5. Åñëè âñå êðèòåðèè ïåðåñìîòðåíû, D-ìíîæåñòâî ñîäåðæèò
áîëåå îäíîé àëüòåðíàòèâû è � � 1, òî ìîæíî óâåëè÷èòü � è ïåðåéòè ê øàãó 3. Åñëè
� �1, òî îêîí÷àòåëüíûé âûáîð ëó÷øåé àëüòåðíàòèâû ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ËÏÐ.
Ðàññìîòðèì ìåòîä âûáîðà àëüòåðíàòèâ ïî îáîáùåííîìó êðèòåðèþ ìàêñèìèíà,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 95
êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèåì ìåòîäà Âàëüäà ïðè íå÷åòêî çàäàííûõ àëüòåðíàòèâàõ.
ÌÅÒÎÄ ÂÛÁÎÐÀ ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂ ÏÎ ÎÁÎÁÙÅÍÍÎÌÓ ÊÐÈÒÅÐÈÞ ÌÀÊÑÈÌÈÍÀ
Äàííûé ìåòîä âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå øàãè.
1. Äëÿ êàæäîãî êðèòåðèÿ âû÷èñëèòü íå÷åòêóþ ìàêñèìàëüíóþ êðèòåðèàëü-
íóþ îöåíêó f f x x X j N i Ni i j j n lmax m~ax { ( ) | , ,� � � �} .
2. Âû÷èñëèòü ïðèâåäåííûå íîðìàëèçîâàííûå îöåíêè àëüòåðíàòèâ ïî êðèòå-
ðèÿì f f x f x X j N
ij i j i j n* ( ) / , ,max� � � .
3. Âû÷èñëèòü ìèíèìàëüíóþ êðèòåðèàëüíóþ îöåíêó äëÿ êàæäîé àëüòåðíàòè-
âû f jmin , îïðåäåëåííóþ êàê f f i N j Nj ij l nmin m
~
in | ,*� � �{ } .
4. Íàéòè îáîáùåííûé ìàêñèìóì ïîëó÷åííûõ ìèíèìàëüíûõ îöåíîê
f f j Nj n0 max minm~ax |� �{ } .
5. Îöåíèòü ñòåïåíü ñõîäñòâà f 0 max êàæäîé èç îöåíîê f j min . Êàê ïîêàçàòåëü ñõîä-
ñòâà íå÷åòêèõ ÷èñåë ìîæíî èñïîëüçîâàòü âåëè÷èíó � � �j
z
f fz z
j
� �
�
�
[ , ]
| ( ) ( ) |
max min
0 1
0
.
6. Âûáðàòü àëüòåðíàòèâó ñ ìàêñèìàëüíûì èíäåêñîì � j .
Åñëè àëüòåðíàòèâà âûáèðàåòñÿ ïî ìàêñèìàêñíîìó ïðèíöèïó, òî â ï. 3 íóæíî
âìåñòî f jmin âû÷èñëèòü f f i N j Nj ij l nmax m~ax | ,*� � �{ } , è â äðóãèõ ïóíêòàõ
âìåñòî f jmin èñïîëüçîâàòü çíà÷åíèå f j max , j N n� .
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÏÐÈÊËÀÄÍÛÕ ÇÀÄÀ×
Äâóõêðèòåðèàëüíàÿ çàäà÷à êîììèâîÿæåðà. Çàäà÷à êîììèâîÿæåðà ÿâëÿåòñÿ
îäíîé èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè [3]. Îíà çàêëþ÷àåòñÿ
â ñîñòàâëåíèè ìàðøðóòà ïîñåùåíèÿ òîðãîâûì àãåíòîì, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â íå-
êîòîðîì íà÷àëüíîì ïóíêòå, ( )n �1 ãîðîäà. Èçâåñòíû ñòîèìîñòè ïåðååçäà èç ãî-
ðîäà â ãîðîä, êîòîðûå çàäàþòñÿ ìàòðèöåé C cij n n� �[ ] . Äîïóñòèìûì ÿâëÿåòñÿ
òîëüêî òàêîé ìàðøðóò, êîòîðûé ïðåäóñìàòðèâàåò îäíîðàçîâîå ïîñåùåíèå âñåõ n
ãîðîäîâ è âîçâðàùåíèå â íà÷àëüíûé ïóíêò. Î÷åâèäíî, ÷òî íàèëó÷øèé ìàðøðóò
äîëæåí ìèíèìèçèðîâàòü ñóììàðíóþ ñòîèìîñòü ïåðååçäîâ.
Äîïóñòèìûìè ðåøåíèÿìè â ýòîé çàäà÷å ñëóæàò ñâÿçíûå ìàðøðóòû, êîòîðûå
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ óïîðÿäî÷åííûì íàáîðîì ãîðîäîâ, ïîñåùàåìûõ òîðãîâ-
öåì. Êàæäûé òàêîé ìàðøðóò ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïåðåñòàíîâêîé
p i i in� ( , , ..., )1 2 n ÷èñåë (óïîðÿäî÷åííîé âûáîðêîé èç ìíîæåñòâà n ÷èñåë ïî n).
Òàêèì îáðàçîì, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è êîììèâîÿæåðà èìååò
âèä
min ( ) | ( , , ..., )f p c p i i i Pi i
k
n
nk k
� � �
�
�
�
�
!
�
�
� 1
1
1 2 ,
ãäå P — ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê ÷èñåë îò 1 äî n.
Çàìåòèì, ÷òî çàäà÷à êîììèâîÿæåðà ïðè ïðîèçâîëüíîé (äàæå ñèììåòðè÷íîé)
ìàòðèöå C ÿâëÿåòñÿ NP-ïîëíîé çàäà÷åé. Îíà èìååò áîëüøîå êîëè÷åñòâî ñîäåðæà-
òåëüíûõ àíàëîãîâ.
 ÷àñòíîñòè, ê òàêîé ìîäåëè ïðèâîäèò çàäà÷à ðàçðàáîòêè ãðàôèêà ïåðåíàëà-
æèâàíèÿ îáîðóäîâàíèÿ, êîòîðîå ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âûïóñêà ðàçëè÷íûõ
òèïîâ èçäåëèé, íî òðåáóåò îïðåäåëåííûõ çàòðàò (âðåìåííûõ èëè ìàòåðèàëüíûõ)
ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî òåõíîëîãè÷åñêîãî ðåæèìà ê äðóãîìó. Î÷åâèäíî, ÷òî çà-
äà÷ó êîììèâîÿæåðà ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé ìíîãèõ êðèòåðèåâ è íå÷åòêî çà-
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
äàííîãî ìíîæåñòâà àëüòåðíàòèâ.
Ïóñòü x i i in� ( , , ..., )1 2 , ïðîèçâîëüíàÿ íå÷åòêî çàäàííàÿ ïåðåñòàíîâêà ýëåìåí-
òîâ ìíîæåñòâà N nn � { }1 2, , ..., íîìåðîâ ãîðîäîâ, ÿâëÿåòñÿ ìàðøðóòîì êîììèâîÿ-
æåðà. Êàæäîìó ìàðøðóòó x ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå äâà êðèòåðèÿ:
f x ci i
k
n
k k1
1
1
( ) �
�
�
� , (8)
f x c
i i
i i
k k
k k2
1
1
( ) max
( , )
�
�
�
, k n�1 2, , ..., ; (9)
çäåñü i in� �1 1. Êðèòåðèé f x1( ) — äëèíà ìàðøðóòà x , f x2 ( ) — «óçêîå ìåñòî» ýòî-
ãî ìàðøðóòà. Çàäà÷à ñ îäíèì êðèòåðèåì (8) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé, çàäà÷à ñ êðèòå-
ðèåì (9) — çàäà÷åé íà «óçêîå ìåñòî».
Ïóñòü F x f x f x( ) ( ( ), ( ))� 1 2 . Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â ìèíèìèçàöèè âåêòîðíîãî
êðèòåðèÿ F x( ) íà íå÷åòêî çàäàííîì ìíîæåñòâå
~
: min ( ) |
~
X F x x X{ }� .
Áàíêîâñêîå êðåäèòîâàíèå. Êàê èçâåñòíî, ñ ðàçâèòèåì ðûíî÷íûõ îòíîøåíèé
ïðîöåññ êðåäèòîâàíèÿ áàíêàìè ïðåäïðèÿòèé ñîïðÿæåí ñ ìíîãî÷èñëåííûìè ôàêòî-
ðàìè ðèñêà, ñïîñîáíûìè ïîâëå÷ü çà ñîáîé íåïîãàøåíèå ññóäû â óñòàíîâëåííûé
ñðîê. Ïðè àíàëèçå êðåäèòîñïîñîáíîñòè çàåìùèêà îïðåäåëÿþòñÿ âîçìîæíîñòü ñâî-
åâðåìåííîãî è ïîëíîãî ïîãàøåíèÿ çàäîëæåííîñòè ïî ññóäå; ñòåïåíü ðèñêà, êîòî-
ðóþ áàíê ãîòîâ âçÿòü íà ñåáÿ; ðàçìåð êðåäèòà, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäîñòàâëåí
â êîíêðåòíîé ñèòóàöèè; óñëîâèÿ ïðåäîñòàâëåíèÿ êðåäèòà.
 ñîâðåìåííûõ óñëîâèÿõ àíàëèç êðåäèòîñïîñîáíîñòè [19] ñâÿçàí íå òîëüêî
ñ îöåíêîé ïëàòåæåñïîñîáíîñòè êëèåíòà íà îïðåäåëåííóþ äàòó, íî è ñ âûÿâëåíè-
åì íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûõ çàåìùèêîâ, ïðîãíîçèðîâàíèåì èõ ôèíàíñîâîé
óñòîé÷èâîñòè â ïåðñïåêòèâå, ó÷åòîì âîçìîæíûõ ðèñêîâ ïî êðåäèòíûì îïåðàöè-
ÿì. Ïðîâåäåíèå òàêîãî âñåñòîðîííåãî àíàëèçà ïîçâîëÿåò áàíêó áîëåå ýôôåêòèâíî
óïðàâëÿòü êðåäèòíûìè ðåñóðñàìè è ïîëó÷àòü ïðèáûëü.
Ïðèìåíÿåìûå áàíêàìè ìåòîäû â îáëàñòè êðåäèòîâàíèÿ îñíîâàíû íà äàííûõ
áóõãàëòåðñêèõ îò÷åòîâ, ïîýòîìó îíè ïîçâîëÿþò ëèøü îöåíèòü êðåäèòîñïîñîá-
íîñòü ññóäîçàåìùèêà, ïðè ýòîì íå îáåñïå÷èâàÿ âûáîðà íàèáîëåå îïòèìàëüíûõ
çàåìùèêîâ â öåëÿõ ìèíèìèçàöèè ôàêòîðîâ ðèñêà äëÿ áàíêà è íàèáîëåå ýôôåê-
òèâíîãî ïëàíèðîâàíèÿ ñâîåé äåÿòåëüíîñòè.
Ïîñòðîèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü, îñíîâàííóþ íà èñïîëüçîâàíèè òåîðèè
íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ è ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè, ïîçâîëÿþùóþ ïîâû-
ñèòü îáîñíîâàííîñòü ïðèíèìàåìûõ ðåøåíèé â îáëàñòè êðåäèòîâàíèÿ è îáåñïå-
÷èòü âûáîð íàèáîëåå ðàöèîíàëüíûõ âàðèàíòîâ èç ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ. Çàäà÷à
ðàñïðåäåëåíèÿ ðåñóðñîâ ìåæäó àëüòåðíàòèâàìè ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé.  ÷àñòíî-
ñòè, èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò çàäà÷è êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè, çàêëþ÷àþùèåñÿ
â îïðåäåëåíèè ñî÷åòàíèé àëüòåðíàòèâ (ïðîåêòîâ), ìàêñèìèçèðóþùèõ ýôôåêòèâ-
íîñòü (èëè ýôôåêòèâíîñòü íà åäèíèöó òðåáóåìîãî ðåñóðñà) è óäîâëåòâîðÿþùèõ
îïðåäåëåííûì îãðàíè÷åíèÿì íà ðåñóðñû.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðûé áàíê îáðàòèëèñü ïðåäïðèÿòèÿ ñ ïðîñüáîé
î ïðåäîñòàâëåíèè êðåäèòà. Ïîñêîëüêó ðåñóðñû áàíêà îãðàíè÷åíû, âîçíèêàåò çà-
äà÷à âûáîðà ïðåäïðèÿòèé, ëó÷øèõ ïî êîìïëåêñó êðèòåðèåâ êà÷åñòâà.  ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé çàäà÷å ïðåäïðèÿòèÿ ÿâëÿþòñÿ àëüòåðíàòèâàìè a an1, ..., , èç êîòî-
ðûõ ïðåäñòîèò ñäåëàòü âûáîð ëó÷øèõ. Äëÿ îöåíêè êðåäèòîñïîñîáíîñòè ïðåäïðè-
ÿòèé-çàåìùèêîâ èñïîëüçóþòñÿ äàííûå èõ áóõãàëòåðñêîé îò÷åòíîñòè: äåíåæíûå
ñðåäñòâà ( )c1 , êðàòêîñðî÷íûå ôèíàíñîâûå âëîæåíèÿ ( )c2 , äåáèòîðñêàÿ çàäîëæåí-
íîñòü ( )c3 , çàïàñû è çàòðàòû ( )c4 , ñîáñòâåííûé êàïèòàë ( )c5 , êðàòêîñðî÷íûå îáÿçà-
òåëüñòâà ( )c6 , èòîã áàëàíñà ( )c7 , âàëîâàÿ âûðó÷êà ( )c8 , ïðèáûëü ( )c9 , íà îñíîâà-
íèè êîòîðûõ ðàññ÷èòûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòû, õàðàêòåðèçóþùèå êðåäèòîñïî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 97
ñîáíîñòü çàåìùèêîâ: êîýôôèöèåíò àáñîëþòíîé ëèêâèäíîñòè ( )F1 ,
ïðîìåæóòî÷íûé êîýôôèöèåíò ïîêðûòèÿ ( )F2 , îáùèé êîýôôèöèåíò ïîêðûòèÿ ( )F3 ,
êîýôôèöèåíò ôèíàíñîâîé íåçàâèñèìîñòè ( )F4 , êîýôôèöèåíò ðåíòàáåëüíîñòè ïðî-
äóêöèè ( )F5 . Ïåðå÷èñëåííûå êîýôôèöèåíòû ÿâëÿþòñÿ êðèòåðèÿìè êà÷åñòâà êðåäè-
òîñïîñîáíîñòè ïðåäïðèÿòèé è ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì [19]:
F
c c
c
F
c c c
c
1
1 2
6
2
1 2 3
6
�
�
�
� �
, , F
c c c c
c
F
c
c
F
c
c
3
1 2 3 4
6
4
5
7
5
9
8
�
� � �
� �, , .
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðàññìîòðèì íå÷åòêîå ìíîæåñòâî
~
, ( ), , ( ), ..., , ( )~ ~ ~A a a a a a a
A A q A q� { }1 1 2 2� � � , ñîñòîÿùåå èç åäèíèö è íóëåé. Ðàñ-
ñìîòðèì ìíîæåñòâî ñî÷åòàíèé C A(
~
) ýëåìåíòîâ a a a a ai A i i A i� ( , ( ), , ( ),~ ~
1 1 2 2
� � �
�, , ( ))~a ai A in n
� èç íå÷åòêî çàäàííîãî ìíîæåñòâà
~
A, ãäå a Aij
�
~
�i j , j N k� ,
i is t� , åñëè s t� � �s N k , � �t N k . Ââåäåì ïåðåìåííóþ
x
i
i �
1, åñëè -e ïðåäïðèÿòèå âûáèðàåòñÿ äëÿ êðåäèòîâàíèÿ,
0
�
�
�
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è èìååò âèä
max ( ) |
~
{ }F x x X� ,
ãäå F x F x F x F x( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))� 1 2 5 ,
~
X — íå÷åòêî çàäàííîå ìíîæåñòâî ñî÷åòà-
íèé àëüòåðíàòèâ.
Ðåøåíèå çàäà÷è ñ ïðèìåíåíèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà òåîðèè íå÷åòêèõ
ìíîæåñòâ ïðîâîäèòñÿ â òðè ýòàïà.
1. Ñòðîÿòñÿ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîíÿòèÿì ââåäåí-
íûõ âûøå êîýôôèöèåíòîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ êðåäèòîñïîñîáíîñòü çàåìùèêîâ.
Ïîñòðîåíèå òàêèõ ôóíêöèé ïðîâîäÿò ýêñïåðòû, ðàñïîëàãàþùèå çíàíèÿìè â îá-
ëàñòè êðåäèòîâàíèÿ ïðåäïðèÿòèé ðàçëè÷íîãî ôóíêöèîíàëüíîãî íàçíà÷åíèÿ.
2. Îïðåäåëÿþòñÿ êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè ïî êðèòå-
ðèÿì êà÷åñòâà F F1 5" "� , ñîîòâåòñòâóþùèå ðàññìàòðèâàåìûì àëüòåðíàòèâàì.
3. Ïðèìåíÿþòñÿ ïðåäëîæåííûå ìåòîäû ñ öåëüþ âûÿâëåíèÿ ëó÷øåé ïî âñåì
êðèòåðèÿì àëüòåðíàòèâû. Îïòèìàëüíûìè ñ÷èòàþòñÿ àëüòåðíàòèâû, ìàêñèìèçè-
ðóþùèå âåêòîðíûé êðèòåðèé è èìåþùèå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðè-
íàäëåæíîñòè ìíîæåñòâó X . Åñëè êðèòåðèè, ïî êîòîðûì îñóùåñòâëÿåòñÿ âûáîð
âàðèàíòîâ, èìåþò îäèíàêîâóþ âàæíîñòü, òî èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä âûáîðà àëüòåð-
íàòèâ ïî îáîáùåííîìó êðèòåðèþ ìàêñèìèíà.
 ñëó÷àå óïîðÿäî÷åííûõ ïî âàæíîñòè êðèòåðèåâ ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ïîèñêà
ëåêñèêîãðàôè÷åñêèõ ðåøåíèé.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Èññëåäîâàíû âåêòîðíûå çàäà÷è íà íå÷åòêî çàäàííûõ êîìáèíàòîðíûõ ìíîæåñ-
òâàõ àëüòåðíàòèâ, ðàçðàáîòàíû ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ, ïðèâåäåíû ìàòåìàòè÷åñ-
êèå ìîäåëè íåêîòîðûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ íà êîìáèíàòîðíûõ ìíîæåñòâàõ ïå-
ðåñòàíîâîê è ñî÷åòàíèé ïðè íå÷åòêî çàäàííîé èñõîäíîé èíôîðìàöèè.
Íà îñíîâàíèè èñïîëüçîâàíèÿ èíôîðìàöèè î âûïóêëîé îáîëî÷êå äîïóñòèìîé
îáëàñòè, èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ ìíîãîãðàííèêà, âåðøèíû êîòîðîãî îïðåäåëÿþò íå÷åòêî
çàäàííîå êîìáèíàòîðíîå ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê, ðàçðàáîòàí è îáîñíîâàí ìåòîä
ðåøåíèÿ ñëîæíûõ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷ íà óêàçàííîì êîìáèíàòîðíîì ìíî-
æåñòâå. Èñïîëüçîâàíèå ñòðóêòóðíûõ ñâîéñòâ êîìáèíàòîðíûõ ìíîãîãðàííèêîâ äàåò
âîçìîæíîñòü ñîçäàâàòü ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ íîâûõ êëàññîâ âåêòîðíûõ
çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè ïðè óñëîâèÿõ íå÷åòêî çàäàííûõ äàííûõ.  çàâè-
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
ñèìîñòè îò ñïåöèôèêè çàäà÷è âîçìîæíû ïðèìåíåíèÿ è äðóãèõ ìîäèôèöèðîâàííûõ
íà ñëó÷àé íå÷åòêî çàäàííîé èíôîðìàöèè ìåòîäîâ ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà.
Îáîáùåíèå ÷åòêîãî ìåòîäà, êàê ïðàâèëî, íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäíîñòåé, åñëè ñïîñîáû
ïðåäñòàâëåíèÿ íå÷åòêèõ ïîíÿòèé, ðåàëèçàöèè íå÷åòêèõ âû÷èñëåíèé, ñðàâíåíèÿ íå-
÷åòêèõ ÷èñåë, ôîðìèðîâàíèÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ëó÷øèõ àëüòåðíàòèâ âûáðàíû
àäåêâàòíî óñëîâèÿì ðåøàåìîé çàäà÷è.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Z a d e h L . A . Fuzzy sets // Inform. and Control. — 1965. — 8. — P. 338–353.
2. Ï î ä è í î â ñ ê è é Â . Â . , Í î ã è í Â . Ä . Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ ìíîãîêðèòåðèàëü-
íûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 256 ñ.
3. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ø è ë î  . Ï . Çàäà÷è äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè: ïðîáëåìû, ìåòîäû ðå-
øåíèÿ, èññëåäîâàíèÿ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2003. — 264 ñ.
4. Ñ å ì å í î â à Í .  . , Ê î ë º ÷ ê ³ í à Ë . Ì . Âåêòîðí³ çàäà÷³ äèñêðåòíî¿ îïòèì³çàö³¿ íà êîì-
á³íàòîðíèõ ìíîæèíàõ: ìåòîäè äîñë³äæåííÿ òà ðîçâ’ÿçàííÿ / Çà ðåä. àêàä. ÍÀÍÓ ².Â. Ñåð-
㳺íêà. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2009. — 266 ñ.
5. Ë å á º ä º â à Ò . Ò . , Ñ å ì å í î â à Í . Â . , Ñ å ð ã ³ º í ê î Ò . ² . Óìîâè îïòèìàëüíîñò³ òà
ðîçâ’ÿçóâàíîñò³ â çàäà÷àõ ë³í³éíî¿ âåêòîðíî¿ îïòèì³çàö³¿ ç îïóêëîþ äîïóñòèìîþ ìíîæèíîþ //
Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2003. — ¹ 10. — Ñ. 80–85.
6. Ñ å ì å í î â à Í . Â . , Ê î ë å ÷ ê è í à Ë . Í . , Í à ã î ð í à ÿ À . Í . Ïîäõîä ê ðåøåíèþ âåêòîð-
íûõ çàäà÷ äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè íà êîìáèíàòîðíîì ìíîæåñòâå ïåðåñòàíîâîê //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 3. — Ñ. 158–172.
7. Ñ å ì å í î â à Í . Â . , Ê î ë å ÷ ê è í à Ë . Í . , Í à ã î ð í à ÿ À . Í . Ðåøåíèå è èññëåäîâàíèå
âåêòîðíûõ çàäà÷ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè íà ìíîæåñòâå ïîëèïåðåñòàíîâîê // Ïðîáë.
óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2008. — ¹ 6. — Ñ. 26–41.
8. Ñ å ì å í î â à Í .  . Óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â âåêòîðíûõ çàäà÷àõ êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçà-
öèè // Òåîð³ÿ îïòèìàëüíèõ ð³øåíü. — 2008. — ¹ 7. — Ñ. 153–160.
9. Ñ å ì å í î â à Í .  . , Ê î ë º ÷ ê ³ í à Ë . Ì . , Í à ã ³ ð í à À . Ì . Ðîçâ’ÿçàííÿ áàãàòîêðèòåð³àëüíèõ
çàäà÷ îïòèì³çàö³¿ íà ìíîæèí³ ïîë³ïåðåñòàíîâîê // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2009. — ¹ 2. — Ñ. 41–48.
10. Í å ÷ å ò ê è å ìíîæåñòâà â ìîäåëÿõ óïðàâëåíèÿ è èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà / À.Í. Àâåðêèí,
È.Ç. Áàòûðøèí, À.Ô. Áëèøóí è äð.; Ïîä ðåä. Ä.À. Ïîñïåëîâà. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 312 ñ.
11. Î ð ë î â ñ ê è é Ñ . À . Ïðîáëåìû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïðè íå÷åòêîé èñõîäíîé èíôîðìàöèè. —
Ì.: Íàóêà, 1981. — 208 ñ.
12. Î á ð à á î ò ê à íå÷åòêîé èíôîðìàöèè â ñèñòåìàõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé / À.Í. Áîðèñîâ, À.Â. Àëåê-
ñååâ, Ã.Â. Ìåðêóðüåâà è äð. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1989. — 304 ñ.
13. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ê à ñ ï ø è ö ê à ÿ Ì . Ô . Ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ íà ÝÂÌ êîìáèíà-
òîðíûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1981. — 287 ñ.
14. Å ì å ë è ÷ å â Â . À . , Ê î â à ë å â Ì . Ì . , Ê ð à â ö î â Ì . Ê . Ìíîãîãðàííèêè, ãðàôû, îïòèìè-
çàöèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1981. — 344 ñ.
15. Ñ ò î ÿ í Þ . à . , ß ê î â ë å â Ñ .  . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè è îïòèìèçàöèîííûå ìåòîäû ãåî-
ìåòðè÷åñêîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986. — 265 ñ.
16. ª ì å ö ü Î . Î . , ª ì å ö ü Î . Î . Äåÿê³ îïåðàö³¿ òà â³äíîøåííÿ íàä íå÷³òêèìè ÷èñëàìè // Íàóê.
â³ñò³ ÍÒÓÓ «Êϲ». — 2008. — ¹ 5. — Ñ. 39–46.
17. T a k e d a E . , N i s h i d a T . Multiple criteria decision problems with fuzzy domination structures
// Fuzzy Sets and Syst. — 1980. — 3. — P. 123–136.
18. Æ à ê å - Ë à ã ð å ç Ý . Ïðèìåíåíèå ðàçìûòûõ îòíîøåíèé ïðè îöåíêå ïðåäïî÷òèòåëüíîñòè ðàñ-
ïðåäåëåííûõ âåëè÷èí // Ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè è ìíîãîêðèòåðèàëüíûå çàäà÷è ïðèíÿòèÿ
ðåøåíèé. — Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1979. — Ñ. 168–183.
19. À í ä ð å é ÷ è ê î â À . Â . , À í ä ð å é ÷ è ê î â à Î . Í . Àíàëèç, ñèíòåç, ïëàíèðîâàíèå ðåøåíèé
â ýêîíîìèêå. — Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 2001. — 364 ñ.
Ïîñòóïèëà 08.07.2009
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 99
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84187 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T13:29:17Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Семенова, Н.В. Колечкина, Л.Н. Нагорная, А.Н. 2015-07-03T15:50:46Z 2015-07-03T15:50:46Z 2011 Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив / Н.В. Семенова, Л.Н. Колечкина, А.Н. Нагорная // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 88-99. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84187 519.85 Досліджено векторні задачі оптимізації на нечіткій комбінаторній множині перестановок. На основі використання властивостей опуклої оболонки нечіткої комбінаторної множини перестановок розроблено і обґрунтовано модифікації методів багатокритеріального вибору на випадок нечітко заданої допустимої комбінаторної множини. Наведено математичні моделі деяких прикладних задач. Vector optimization problems on a fuzzy combinatorial set of permutations are investigated. Based on the properties of the convex hull of a fuzzy combinatorial set of permutations, modifications of multicriteria choice methods are developed and substantiated for a fuzzy feasible combinatorial set. Mathematical models of some application problems are presented. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив Векторні задачі оптимізації з лінійними критеріями на нечітко заданій комбінаторній множині альтернатив Vector optimization problems with linear criteria on a fuzzy combinatorial set of alternatives Article published earlier |
| spellingShingle | Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив Семенова, Н.В. Колечкина, Л.Н. Нагорная, А.Н. Системный анализ |
| title | Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив |
| title_alt | Векторні задачі оптимізації з лінійними критеріями на нечітко заданій комбінаторній множині альтернатив Vector optimization problems with linear criteria on a fuzzy combinatorial set of alternatives |
| title_full | Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив |
| title_fullStr | Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив |
| title_full_unstemmed | Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив |
| title_short | Векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив |
| title_sort | векторные задачи оптимизации с линейными критериями на нечетко заданном комбинаторном множестве альтернатив |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84187 |
| work_keys_str_mv | AT semenovanv vektornyezadačioptimizaciislineinymikriteriâminanečetkozadannomkombinatornommnožestvealʹternativ AT kolečkinaln vektornyezadačioptimizaciislineinymikriteriâminanečetkozadannomkombinatornommnožestvealʹternativ AT nagornaâan vektornyezadačioptimizaciislineinymikriteriâminanečetkozadannomkombinatornommnožestvealʹternativ AT semenovanv vektornízadačíoptimízacíízlíníinimikriteríâminanečítkozadaníikombínatorníimnožiníalʹternativ AT kolečkinaln vektornízadačíoptimízacíízlíníinimikriteríâminanečítkozadaníikombínatorníimnožiníalʹternativ AT nagornaâan vektornízadačíoptimízacíízlíníinimikriteríâminanečítkozadaníikombínatorníimnožiníalʹternativ AT semenovanv vectoroptimizationproblemswithlinearcriteriaonafuzzycombinatorialsetofalternatives AT kolečkinaln vectoroptimizationproblemswithlinearcriteriaonafuzzycombinatorialsetofalternatives AT nagornaâan vectoroptimizationproblemswithlinearcriteriaonafuzzycombinatorialsetofalternatives |