Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора
Розглянуто задачу оцінювання (прогнозування) багатовимірної випадкової матриці за значенням іншої багатовимірної випадкової матриці, коли квадратична функція втрати розглядається з позицій теорії оптимальних статистичних рішень. Отримано вираз мінімального значення середнього ризику оптимального пол...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84189 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора / В.С. Муха // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 121-130. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860212598717284352 |
|---|---|
| author | Муха, В.С. |
| author_facet | Муха, В.С. |
| citation_txt | Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора / В.С. Муха // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 121-130. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто задачу оцінювання (прогнозування) багатовимірної випадкової матриці за значенням іншої багатовимірної випадкової матриці, коли квадратична функція втрати розглядається з позицій теорії оптимальних статистичних рішень. Отримано вираз мінімального значення середнього ризику оптимального поліноміального багатовимірно-матричного предиктора, доказано його властивості та введено поняття його ефективності.
Statistical decision theory is used to consider the problem of random multidimensional matrix estimation (prediction) on the measurement of another random multidimensional matrix in the case of a square loss func-tion. An expression for the minimum average risk value for optimal polynomial multidimensional-matrix pre-dictor is derived. The property of such a predictor is proved and the concept of its efficiency is introduced.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:14:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.514
Â.Ñ. ÌÓÕÀ
ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÉ ÑÐÅÄÍÈÉ ÐÈÑÊ È ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÎÑÒÜ
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÎÃÎ
ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎ-ÌÀÒÐÈ×ÍÎÃÎ ÏÐÅÄÈÊÒÎÐÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ðåøåíèé, ìíîãîìåð-
íûå ìàòðèöû, ïîëèíîìèàëüíàÿ ðåãðåññèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ îäíà èç àêòóàëüíûõ ïðîáëåì — ïðîãíîçèðîâàíèå ÿâëåíèé
ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ ïîâåäåíèÿ, íàïðèìåð ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ýòó
ïðîáëåìó ìîæíî ðåøèòü â ðàìêàõ òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêèõ ðåøåíèé. Ïðîñòåé-
øåé ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíàÿ çàäà÷à òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêèõ ðåøåíèé, ñîñòîÿùàÿ
â ïîñòðîåíèè îïòèìàëüíîé ïðîãíîçèðóþùåé ôóíêöèè (ïðåäèêòîðà), ïîçâîëÿþ-
ùåé ïî íàáëþäåíèþ îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðèíÿòü ðåøåíèå î çíà÷åíèè
äðóãîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.  ðàáîòàõ [1, 2] ýòà çàäà÷à îáîáùåíà íà ìíîãî-
ìåðíûå ñëó÷àéíûå ìàòðèöû. Êàê â ñêàëÿðíîì, òàê è â ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîì
ñëó÷àå îïòèìàëüíûì ïðåäèêòîðîì ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü ÿâëÿåòñÿ
àïîñòåðèîðíîå ñðåäíåå, è ýòîò ïðåäèêòîð â ñëó÷àå ñîâìåñòíîãî ãàóññîâñêîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ ëèíåéíûé ïî íàáëþäåíèþ. Îäíàêî îòûñêàíèå àïîñòåðèîðíîãî
ñðåäíåãî äëÿ ðàñïðåäåëåíèé, îòëè÷íûõ îò ãàóññîâñêèõ, ñâÿçàíî ñ ñåðüåçíûìè
òðóäíîñòÿìè.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ îòûñêàíèåì íàèëó÷øåãî ïî-
ëèíîìèàëüíîãî ïðåäèêòîðà. Ïîñëåäíÿÿ çàäà÷à áûëà ïîñòàâëåíà è ðåøåíà â ðà-
áîòå [3]. Îäíàêî âîïðîñ î âåëè÷èíå ñðåäíåãî ðèñêà äëÿ îïòèìàëüíîãî ïîëèíî-
ìèàëüíîãî ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà â íåé íå ðàññìàòðèâàëñÿ. Ðå-
øåíèå ýòîãî âîïðîñà âàæíî ñ òî÷êè çðåíèÿ âûÿñíåíèÿ âûèãðûøà îò
èñïîëüçîâàíèÿ òîãî èëè èíîãî ïðåäèêòîðà. Ýòîò âîïðîñ ðàññìàòðèâàåòñÿ
â äàííîé ðàáîòå. Èññëåäóþòñÿ òàêæå ñâîéñòâà îïòèìàëüíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî
ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà è ââîäèòñÿ ïîíÿòèå åãî ýôôåêòèâíîñòè.
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÅ ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÐÅØÅÍÈß ÄËß ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÕ
ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎ-ÌÀÒÐÈ×ÍÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ È ÍÀÁËÞÄÅÍÈÉ
Ïóñòü ñîñòîÿíèå íåêîòîðîé ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé p-ìåðíóþ ìàòðèöó
� �� ( ), ,...,j j jp1 2
, �� S, S — ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé, è èçâåñòíà ïëîòíîñòü âåðî-
ÿòíîñòè ñîñòîÿíèÿ f ( )� . Â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà íàä ñèñòåìîé (íàáëþäå-
íèÿ) ïîëó÷àåì q-ìåðíóþ ìàòðèöó íàáëþäåíèé � � � �� �( , , , )i i iq
X
1 2
� , X —
ïðîñòðàíñòâî íàáëþäåíèé. Ñâÿçü � ñ � âûðàæàåòñÿ óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ âåðî-
ÿòíîñòè f ( / )� � , êîòîðóþ áóäåì ñ÷èòàòü èçâåñòíîé. Íåîáõîäèìî ïðèíÿòü ðå-
øåíèå � �D î ñîñòîÿíèè ñèñòåìû �, ãäå D — ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé òàêîå
æå, êàê è ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûíîñèìîå ðåøåíèå ðàíäîìèçèðîâàííî îïðåäåëÿåòñÿ
ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè f ( )� , çàäàííîé â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé D. Â äàííîì
ñëó÷àå ðåøåíèå çàâèñèò îò ìàòðèöû íàáëþäåíèé �, ò.å. � �� ( )� . Ôóíêöèþ
� �� ( )� áóäåì íàçûâàòü ïðîãíîçèðóþùåé èëè ïðåäèêòîðîì. Êà÷åñòâî ðåøåíèÿ
îõàðàêòåðèçóåì ñðåäíèì ðèñêîì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 121
� Â.Ñ. Ìóõà, 2011
r E W W f f f d d d
DXS
� � ���( ( , )) ( , ) ( ) ( / ) ( )� � � � � � �� � � � , (1)
ãäå W ( , )� � — ôóíêöèÿ ïîòåðü. Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ðåøàþùåé
ôóíêöèè f ( ( ))� � , ìèíèìèçèðóþùåé ñðåäíèé ðèñê:
r r f
f
� �( ( )) min
( )
�
�
.
Äàííóþ çàäà÷ó ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ ìíîãîìåðíîé
ñëó÷àéíîé ìàòðèöû � ïî íàáëþäåíèþ äðóãîé ìíîãîìåðíîé ñëó÷àéíîé ìàòðèöû �
â óñëîâèÿõ, êîãäà èçâåñòíà ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ýòèõ ìàòðèö.
Àíàëîãè÷íî ñêàëÿðíîìó ñëó÷àþ [4] ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îïòèìàëüíîå ðåøå-
íèå ÿâëÿåòñÿ íåðàíäîìèçèðîâàííûì è îïòèìàëüíûé ïðåäèêòîð � �� ( )� îïðåäå-
ëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ
r W f d
S
( ) ( , ) ( / ) min� �
�
� �� � � � � , (2)
ãäå f
f f
f f d
( / )
( ) ( / )
( ) ( / )
� �
� � �
� � � �
�
�
�
— àïîñòåðèîðíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñîñòî-
ÿíèÿ �. Óðàâíåíèå Ýéëåðà äëÿ ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà (2) èìååò âèä
dr
d
( )�
�
� 0 .
Ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü W p( , ) ( ),� �� �� �0 2, ãäå 0 2, ( )p � � � —
( , )0 p -ñâåðíóòûé êâàäðàò ìàòðèöû ( )� � � [5, 6], ïîëó÷èì
d
d
d
d
p p
�
�
�
� �0 2 0, ,( ) (( )( ))� � �� � � � �
� � � � � � � �0 00 0 2, ,( ( , )( )) (( ) ( , )) ( )p H pE q E qp� � �� � � ,
dr
d
f d
S
( )
( ) ( / )
�
�
�� � � ��2 0� � � � .
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
� � �� � � � � � �f d E
S
( / ) ( / ) , (3)
ò.å., êàê è â ñêàëÿðíîì ñëó÷àå [4], îïòèìàëüíûé ïðåäèêòîð îïðåäåëÿåòñÿ êàê
àïîñòåðèîðíîå ñðåäíåå ñëó÷àéíîé ìíîãîìåðíîé ìàòðèöû � èëè êàê ôóíêöèÿ
ðåãðåññèè � íà �.
Àïîñòåðèîðíîå ñðåäíåå ñðàâíèòåëüíî ëåãêî ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ ìàòðèö � è
� ñ ñîâìåñòíûì ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì.  ñëó÷àå íå ãàóññîâñêîãî ñîâìåñò-
íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìàòðèö � è � çàäà÷à îòûñêàíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðåäèêòîðà
�( )� óñëîæíÿåòñÿ. Òîãäà ïðè ïîñòàíîâêå çàäà÷è ìîæíî ïîñòóëèðîâàòü ïîëèíî-
ìèàëüíûé õàðàêòåð ïðåäèêòîðà è îòûñêèâàòü êîýôôèöèåíòû ýòîãî ïðåäèêòîðà èç
óñëîâèÿ ìèíèìóìà ñðåäíåãî ðèñêà. Òàêàÿ çàäà÷à ñôîðìóëèðîâàíà è ðåøåíà â ðà-
áîòå [3]. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ðåçóëüòàòû åå ðåøåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ â ñëåäóþùåì
ðàçäåëå.
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
ÍÀÈËÓ×ØÈÉ ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÛÉ ÏÐÅÄÈÊÒÎÐ ÄËß ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ
Ïîëèíîìèàëüíûé ñòåïåíè m ïðåäèêòîð p-ìåðíîé ìàòðèöû � �� ( )
( )i p
, i p( ) �
� ( , , , )i i i p1 2 � ïî íàáëþäåíèþ q-ìåðíîé ìàòðèöû � �� ( )
( )j q
, j j jq( ) ( , ,� 1 2 �
� , )jq èìååò âèä
� � �
� �
0
0
0
0
,
( , )
,
( , )( ) ( )kq
p kq
k
k
m
kq k
kq p
k
m
C C� � , m � 0 12, , , ,� (4)
ãäå C p kq( , ) — ( )p kq� -ìåðíûå ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ,
C cp kq i jp k
( , ) ,( )
( ) ( )
� , i i i ip p( ) ( , , , )� 1 2 � , j j j jk q q q k( ) ( ), ( ), ( ),( , , , )� 0 1 � ,
ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî q-ìóëüòèèíäåêñîâ j j jq q q k( ), ( ), ( ),, , ,0 1 � è óäîâ-
ëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì
C Cp kq kq p
H p kq kq
( , ) ( , )
,� � , C Ckq p p kq
Bp kq kq
( , ) ( , )
,� � ,
H p kq kq� , è B p kq kq� , — ïîäñòàíîâêè òðàíñïîíèðîâàíèÿ òèïà «âïåðåä» è «íà-
çàä» ñîîòâåòñòâåííî [5]. Îáîçíà÷èì
z C Ckq
p kq
k
k
m
kq k
kq p
k
m
� � � � � �
� �
� � � � �� 0
0
0
0
,
( , )
,
( , )( ) ( )
(5)
è ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùóþ îïòèìèçàöèîííóþ çàäà÷ó:
r E zzp
C C Cp p q p mq
� �( ( )) min,
, , ,( , ) ( , ) ( , )
0
0 �
. (6)
Ïðåäèêòîð (4), êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðåøåíèå çàäà÷è
(6), áóäåì íàçûâàòü íàèëó÷øèì ïîëèíîìèàëüíûì ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íûì
ïðåäèêòîðîì. Îí ìèíèìèçèðóåò ñðåäíèé ðèñê ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïî-
òåðü W p
i i
i
p p
p
( , ) ( ) ( ),
( ) ( )
( )
� � �� � �� � � �
0 2 2. Ìàòðèöó
R E zz E z R Ei jp p
� � � � �( ( )) ( ) ( ) (( ) ),
,( ) ( )
0 0 2 2� � (7)
íàçîâåì äèñïåðñèîííîé ìàòðèöåé ñðåäíåãî ðèñêà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäíèé
ðèñê îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëåä äèñïåðñèîííîé ìàòðèöû ðèñêà:
r R Ri i
i
p p
p
� �
tr( ) ( )
( ) ( )
( )
, .
 [3] ïîëó÷åíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà ñðåäíåãî ðèñêà (6)
0
0
,
( , )
( )
( )�
� �
�
�
��
� �q
p q
s
m
C s
�
�
� , s m� 0, , (8)
êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåá-
ðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ C p kq( , ) ïîëèíîìèàëüíî-
ãî ïðåäèêòîðà (4).  (8) è íèæå ïðèìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìî-
ìåíòîâ ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ ìàòðèö. Íà÷àëüíûå è öåíòðàëüíûå ìîìåíòû
k-ãî ïîðÿäêà ìíîãîìåðíîé ñëó÷àéíîé ìàòðèöû � îáîçíà÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî
êàê
� ��
( ) ( )k kE� , � � ��
( ) (( ( )) )k kE E� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 123
Ñìåøàííûå íà÷àëüíûå è öåíòðàëüíûå ìîìåíòû äâóõ ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àé-
íûõ ìàòðèö � è � îáîçíà÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êàê
� ���� � E( ) , � � � � ��� � � �E E E(( ( ))( ( ))) .
Çäåñü E — ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, à ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö ïîíè-
ìàþòñÿ êàê ( , )0 0 -ñâåðíóòûå [5, 6].  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ðàâåíñòâà:
� � � � � � � �
� � � � �k l E E Ek k l l k l k l� � � � ��
(( ( ))( ( )))
( ) ( ) ( )
, (9)
� � � � � � � �
� � � � � �k l k lE E Ek k l l k l� � � � �(( ( ))( ( )))
( ) ( ) . (10)
ÌÈÍÈÌÀËÜÍÎÅ ÇÍÀ×ÅÍÈÅ ÑÐÅÄÍÅÃÎ ÐÈÑÊÀ ÄËß ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÎÃÎ
ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎ-ÌÀÒÐÈ×ÍÎÃÎ ÏÐÅÄÈÊÒÎÐÀ
Òåîðåìà 1. Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ñðåäíåãî ðèñêà r (6) äëÿ ïîëèíîìèàëüíîãî ìíî-
ãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà (4) îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì èç ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé:
r C Ckq lq
p lq
l k
kq p
l
m
min
( ) , ,
( , )
( )
( , )( ( ) )� � �
�
tr � �� �
2 0 0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
k
m
0
, (11)
r Clq
lq p
l
m
lmin
( ) ,
( , )( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
tr � �� ��
2 0
0
. (12)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ñðåäíèé ðèñê îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëåä äèñïåðñè-
îííîé ìàòðèöû ðèñêà, áóäåì èñêàòü äèñïåðñèîííóþ ìàòðèöó ðèñêà
R E� � �( ( ) ),0 0 2� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
E C Clq
p lq
l
l
m
kq k
kq p
0 0 0
0
0, ,
( , )
,
( ,( ) (� � � � ) )
k
m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
� � �
�
E E C Ckq k
kq p
k
m
kq lq
p lq( ) ( ( ) ) ( (,
( , )
, ,
( , )� ��2 0
0
0 02 E Cl k
kq p
l
m
k
m
( )) )( , )� �
��
00
.
Èñïîëüçóÿ óêàçàííûå âûøå îáîçíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ ìíîãîìåðíûõ
ìàòðèö �, �, èìååì
R C Ckq
kq p
k
m
kq lq
p lqk� � �
�
� � �� �� �
( ) ,
( , )
, ,
( , )( ) (2 0
0
0 02
( )
( , )) .
l k
l
m
kq p
k
m
C
�
��
�
�
�
�
�
�
�
00
(13)
Ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå ñëàãàåìîå âûðàæåíèÿ (13) âìåñòî ìîìåíòîâ �
��k ñóì-
ìó èç ëåâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (8) ïðè s k� , � � l, ïîëó÷èì
R C Ckq lq
p lq
l k
l
m
kq pmin
( ) , ,
( , )
( )
( , )( )� �
�
�
�
� �� �
2 0 0
0
2 �
�
�
�
�
�
�
�
k
m
0
� ��
��
0 0
00
, ,
( , )
( )
( , )( ( ) )kq lq
p lq
l k
kq p
l
m
k
m
C C�
�
� � �
��
� �� �
( ) , ,
( , )
( )
( , )( ( ) )2 0 0
00
kq lq
p lq
l k
kq p
l
m
k
m
C C . (14)
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
Ïîäñòàâëÿÿ â òðåòüå ñëàãàåìîå âûðàæåíèÿ (13) âìåñòî ñóììû ïî ïåðåìåííîé
l ïðàâóþ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (8) ïðè s k� , � � l, ïîëó÷àåì
R C Ckq
kq p
k
m
kq
kq pk kmin
( ) ,
( , )
,
( ,( ) (� � �
�
� � �� �� ��
2 0
0
02 ) )
k
m
�
�
0
� �
�
� �� ��
( ) ,
( , )( )2 0
0
kq
kq p
k
m
k C .
(15)
Òàêèì îáðàçîì, èìååì äâå ôîðìû îïòèìàëüíîé äèñïåðñèîííîé ìàòðèöû
ðèñêà (14), (15) è ñðåäíèé ðèñê (11), (12) êàê èõ ñëåä.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Áîëåå ýêîíîìè÷íûì äëÿ ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå ìèíè-
ìàëüíîãî ðèñêà (12). Ôîðìóëà (11) îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíîé â àíàëèòè÷åñêèõ ïðåîá-
ðàçîâàíèÿõ.
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÍÀÈËÓ×ØÅÃÎ ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÎÃÎ
ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎ-ÌÀÒÐÈ×ÍÎÃÎ ÏÐÅÄÈÊÒÎÐÀ
Òåîðåìà 2. Ñðåäíåå çíà÷åíèå è äèñïåðñèîííàÿ ìàòðèöà îïòèìàëüíîãî ïîëèíî-
ìèàëüíîãî ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà � (4) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùè-
ìè âûðàæåíèÿìè:
E( )
( ) ( )�
�
� �� � �
1 1 , (16)
� �
� ��
� �( ) , ,
( , ) ( , )(( ( )) ) ( ( ) )
2 2 0 0� � �E E C Ckq lq
p lq kq pl k
l
m
k
m
��
11
, (17)
ãäå C
p lq( , )
, C kq p( , ) — îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Êîýôôèöèåíòû C p kq( , ) îïòèìàëüíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî
ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà � (4) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû ìíîãîìåð-
íî-ìàòðè÷íûõ ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (8). Ýòó ñèñòåìó ìîæíî ðå-
øèòü ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ Ãàóññà. Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò C p( , )0 îïðåäåëÿåòñÿ
íà ïîñëåäíåì øàãå îáðàòíîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà, ò. å. èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòå-
ìû (8), è èìååò âèä
C Cp
kq
p kq
k
k
m
( , )
( ) ,
( , )
( )
( )0
1 0
1
� �
�
� �� �
.
(18)
Ïðåäñòàâëÿÿ ïðåäèêòîð � (4) â âèäå
� � � � �
�
C C C Cp
kq
p kq
k
k
m
kq k
kq p( , )
,
( , )
,
( , ) ( ,( ) ( )0
0
1
0
0� � p
k
m
)
�
1
è ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå (18), äëÿ îïòèìàëüíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî ìíîãîìåð-
íî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
� � � � � �
�
� � � � �� � �
( ) ,
( , )
( ) , (
( ( )) ((1 0
1
0kq
p kq
k k
k
m
kq k k
C
)
( , )
( )) )C kq p
k
m
�
�
� �
1
1
, (19)
êîòîðîå ïîçâîëÿåò íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå îïòèìàëüíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî
ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà:
E Ckq
p kq
k
m
k
( ) ( )( ) ,
( , )
( )� � �
�
� ��
�
1 0 1
1
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 125
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî � � �
�k
E Ek k( )
( ( ))
1
0� � � , òî ïîëó÷èì E E( ) ( )( )� � �� ��
1 .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïòèìàëüíûé ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íûé ïîëèíîìèàëüíûé ïðå-
äèêòîð � (19) ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé ìíîãîìåðíîé ìàòðèöû �. Ñ ó÷åòîì
íåñìåùåííîñòè îïòèìàëüíîãî ïðåäèêòîðà � èç (19) ïîëó÷àåì, ÷òî
� �� � � � �
�
E Ckq
p kq
k k
k
m
kq k k
( ) ( ( )) ((,
( , )
( ) , ( )0
1
0� � � �
� �
) )( , )C kq p
k
m
�
1
,
îòêóäà íàõîäèì äèñïåðñèîííóþ ìàòðèöó îïòèìàëüíîãî ïðåäèêòîðà:
� � �
��
� �( ) ,
( , )
( ) ,(( ( ) )) ( ( ))
2 2 0
1
0� � � �
�
E E E Ckq
p kq
k k
k
m
lq l l
lq p
l
m
C(( ) )
( )
( , )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
.
Âûïîëíèâ â ýòîì âûðàæåíèè óìíîæåíèå è âçÿâ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå,
ïîëó÷èì âûðàæåíèå (17).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå. Ìàòðèöà R E zmin ( )� 2 (14), (15) íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ îïòèìàëüíîãî ïðåäèêòîðà â ñèëó òåîðåìû 2 E z( ) �
� � �E( )� � 0 è ìàòðèöà R E zmin ( )� 2 (14) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèñïåðñèîííóþ
ìàòðèöó ìàòðèöû z � �� �, ò.å. íåîòðèöàòåëüíî-îïðåäåëåííóþ ìàòðèöó. 2 p-ìåð-
íóþ ìàòðèöó íàçîâåì íåîòðèöàòåëüíî-îïðåäåëåííîé, åñëè ( , , )p p0 -àññîöèèðîâàí-
íàÿ ñ íåé ìàòðèöà íåîòðèöàòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ.
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÉ ÄÈÑÏÅÐÑÈÎÍÍÎÉ ÌÀÒÐÈÖÛ ÐÈÑÊÀ
Òåîðåìà 3. Îïòèìàëüíóþ äèñïåðñèîííóþ ìàòðèöó Rmin (14) îïòèìàëüíîãî
ïðåäèêòîðà � ïðåäñòàâèìà â âèäå
Rmin
( ) ( )� �� ��
2 2
�
, (20)
ãäå ��
( )2 — äèñïåðñèîííàÿ ìàòðèöà ìàòðèöû �, �
�
( )2
— äèñïåðñèîííàÿ ìàòðè-
öà (17) îïòèìàëüíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî ïðåäèêòîðà � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ôîðìóëû äëÿ ïîëèíîìèàëüíîãî ïðåäèêòîðà (4) ïîëó÷à-
åì âûðàæåíèå äëÿ åãî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà:
� � �
�
�( ) ,
( , )
,
(( ) ( ) (
2 2 0
0
0� �
�
�
�
�
�
�
�
�
E E C Clq
p lq
l
l
m
kq k
kq p
k
m
, ) )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
� �
��
0 0
00
, ,
( , )
( )
( , )( ( ) )kq lq
p lq
l k
kq p
l
m
k
m
C C�
�
. (21)
Îáðàòèìñÿ ê âûðàæåíèþ äëÿ Rmin (14). Ó÷èòûêàÿ âûðàæåíèå (21), âìåñòî (14)
ïîëó÷èì
Rmin
( ) ( )� �� ��
2 2
�
.
Ïîñêîëüêó � � �� � �
( ) ( ) ( )( )2 2 1 2� � , � � �
� � �
( ) ( ) ( )
( )
2 2 1 2� � , èìååì
Rmin
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )� � � �� � � �� �
2 1 2 2 1 2
� �
.
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
Ó÷èòûâàÿ íåñìåùåííîñòü îïòèìàëüíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî ïðåäèêòîðà, ò.å.
ñâîéñòâî (16), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå (20).
Òåîðåìà 3 äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå.  ñèëó ðàâåíñòâà � ��
( ) ( )1 1�
�
ìàòðèöó �
�
( )2
ìîæíî òðàêòîâàòü êàê
äèñïåðñèîííóþ ìàòðèöó îïòèìàëüíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî ïðåäèêòîðà � îòíîñè-
òåëüíî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ îöåíèâàåìîé ìàòðèöû �. Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî ìàòðèöó
Rmin ìîæíî òðàêòîâàòü êàê äèñïåðñèîííóþ ìàòðèöó îïòèìàëüíîãî ïðåäèêòîðà
îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû �.
Ñëåäñòâèå. Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ñðåäíåãî ðèñêà r (6) äëÿ ïîëèíîìèàëüíî-
ãî ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà (4) íàðÿäó ñ âûðàæåíèÿìè (11), (12) îïðå-
äåëÿåòñÿ òàêæå âûðàæåíèåì rmin
( ) ( )
( )� �tr � ��
2 2
�
, ãäå �
�
( )2
èìååò âèä (17).
ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÎÑÒÜ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÎÃÎ
ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎ-ÌÀÒÐÈ×ÍÎÃÎ ÏÐÅÄÈÊÒÎÐÀ
Òåîðåìà 3 ïîçâîëÿåò ââåñòè òàêîå ïîíÿòèå, êàê ýôôåêòèâíîñòü ïîëèíîìèàëü-
íîãî ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà. Ó÷èòûâàÿ íåîòðèöàòåëüíóþ îïðåäå-
ëåííîñòü ìàòðèöû Rmin , çàïèøåì íåðàâåíñòâî � ��
( ) ( )2 2
0� �
�
.
Ïîñêîëüêó ��
( )2 — íåîòðèöàòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, òî ïîñëå óìíîæå-
íèÿ ëåâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íà ( , )0 p -îáðàòíóþ ìàòðèöó 0 2 1, ( )( )p ��
�
ïîëó÷èì òàêæå íåîòðèöàòåëüíî-îïðåäåëåííóþ ìàòðèöó, ò.å. E p( , )0 �
� ��0 0 2 1 2
0, , ( ) ( )
( ( ) )p p � �� �
, èëè
E p p p( , ) ( ( ) ), , ( ) ( )
0 0 0 2 1 2� �� �� �
,
ãäå E p( , )0 — ( , )0 p -åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
det detE p p p( , ) ( ( ) ), , ( ) ( )
0 0 0 2 1 2� �� �� �
. (22)
Îïðåäåëèòåëåì 2 p-ìåðíîé ìàòðèöû íàçîâåì îïðåäåëèòåëü ( , , )p p0 -àññîöèè-
ðîâàííîé ñ íåé ìàòðèöû. Îáîçíà÷èì
e p p� �det det0 0 2 1 2, , ( ) ( )
( ( ) ) ( )� �� �
(23)
è íàçîâåì ýôôåêòèâíîñòüþ îïòèìàëüíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî ìíîãîìåðíî-ìàò-
ðè÷íîãî ïðåäèêòîðà � ïî ïðîãíîçèðîâàíèþ (îöåíèâàíèþ) ìàòðèöû �. Èç (22)
ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî detE p( , )0 1� , ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå äëÿ ýôôåêòèâíîñòè:
0 1� �e .
ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÉ ÑÐÅÄÍÈÉ ÐÈÑÊ È ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÎÑÒÜ
ÏÎÑÒÎßÍÍÎÃÎ ÏÐÅÄÈÊÒÎÐÀ
Äëÿ îïòèìàëüíîãî ïîñòîÿííîãî ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà (m � 0)
� � C p( , )0 â [3] ïîëó÷åíî âûðàæåíèå C p( , )
( )
0
1� � � .  ýòîì ñëó÷àå â ñîîòâåòñòâèè
ñ ôîðìóëîé (12) ìèíèìàëüíûé ñðåäíèé ðèñê ðàâåí
r C pmin
( ) ,
( , )
( ) ( ) ( ) (( ( )) (� � � �tr tr� � � � �� � � � �
2 0 0
0
1 2 1 1) ( )) ( )� tr ��
2 .
Èç ôîðìóëû (17) ñëåäóåò, ÷òî �
�
( )2
0� , òàê ÷òî ýôôåêòèâíîñòü e (23) ïîñòîÿí-
íîãî ïðåäèêòîðà ðàâíà íóëþ. Ýòî ïîíÿòíî, ïîñêîëüêó ðåøåíèå î ìàòðèöå � ïðèíè-
ìàåòñÿ áåç íàáëþäåíèÿ ìàòðèöû �, ÷òî íå óìåíüøàåò íåîïðåäåëåííîñòü ìàòðèöû �.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 127
ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÉ ÑÐÅÄÍÈÉ ÐÈÑÊ È ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÎÑÒÜ ËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÏÐÅÄÈÊÒÎÐÀ
Äëÿ íàèëó÷øåãî ëèíåéíîãî ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà ( m �1)
� � �C Cp
q
p q( , )
,
( , )( )0
0 �
â [3] ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ:
C p q
q q
( , )
, , ( )
( ( ) )� �0 0 2 1� ��� �
, (24)
C Cp
q
p q( , )
( ) ,
( , )
( )
( )0
1 0 1� �� �� �
.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (12) ìèíèìàëüíûé ñðåäíèé ðèñê ðàâåí
r C Cp
q
p qmin
( )
( , )
( ) ,
( , )( ( ))� � � �tr � � �� � ��
2
0
1 0
� � � �tr( (( ( )) ) (( ) ( ) ,
( , )
( ) ( ) ,
( ,� � � �� � � �
2 1 0 2 1 0q
p q
q
pC C q ) ))� �� �
� � � �tr( ( ( )) (( ) ( ) ( ) ,
( , )
( ) ( ) ,� � � � �� � � � �
2 1 1 0 1 1 0q
p q
qC C ( , ) ))p q � �� �
� � � �tr tr( ( )) ( ( ( (( ) ,
( , )
( ) , , ,� � � �� �� � ��
2 0 2 0 0 0q
p q
q q q
C � �
� ��
( )
) ) ))
2 1� .
Òåïåðü ïîëó÷èì ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíîñòè îïòèìàëüíîãî ëèíåé-
íîãî ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà. Èç ôîðìóëû (17) ñëåäóåò
� �
��
( ) , ,
( , )
( )
( , )( ( ) )
2 0 0 2� q q
p q q pC C .
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà C p q( , ) (24), ïîëó÷àåì íåîáõîäèìóþ äëÿ
ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíîñòè (23) ìàòðèöó �
�
( )2
:
� � � ��� � ���
( ) , , , ( )
( ( ( ) ))
2 0 0 0 2 1� �q q q .
ÌÈÍÈÌÀËÜÍÛÉ ÑÐÅÄÍÈÉ ÐÈÑÊ È ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÎÑÒÜ
ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎÃÎ ÏÐÅÄÈÊÒÎÐÀ
 [3] ïîêàçàíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû íàèëó÷øåãî ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî êâàä-
ðàòè÷íîãî ïðåäèêòîðà
� � � �C C Cp
q
p q
q
p q( , )
,
( , )
,
( , )( ) ( )0
0 0 2
2
2� �
ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì â ïîðÿäêå èõ íàïèñàíèÿ:
B p q
q q q
( , )
, , , ( )
( ( ( ) ) )2
0 0 0 2 1
2 2� � �� � � �
�� �� � ��
,
A q q
q q q
( , )
( ) , , , ( )
( ( ( ( ) ) ))2 2
2 0 0 0 2 1
2 2 2� � �� � � �
� � � � ��
,
Ñ B Ap q
q
p q
q
q q( , )
,
( , )
,
( , )
( )2
0 2
2
0 2
2 2
1� � ,
C Cp q
q q q q
p q( , )
, , ( ) , ,
( , )( ( ) ) ( ( )� ��0 0 2 1 0 0 2
2
0
2� � ��� � � �
, ( )
( ) )q �
�
2 1� ,
C C Cp
q
p q
q
p q( , )
( ) ,
( , )
( ) ,
( , )
( )
( ) ( )0
1 0 1 0 2
2
2� � �� � �� � �
.
Çàìåíÿÿ öåíòðàëüíûå ìîìåíòû â äàííûõ âûðàæåíèÿõ íà÷àëüíûìè â ñîîòâåò-
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
ñòâèè ñ ðàâåíñòâàìè (9), (10), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ìèíèìàëüíîãî
ñðåäíåãî ðèñêà îïòèìàëüíîãî êâàäðàòè÷íîãî ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íîãî ïðåäèêòîðà:
r C Cp
q
q p
q
min
( ) , ( )
( , )
,
( , )
,( ( ) ( )� � � �tr � � �� � ��
2 0 0 1
0
0 0 2 ( ))( , )�
��2 2C q p �
� � � �tr( ( ) ( ) (( ) ,
( , )
( ) ,
( , )
,
(� � �� � ��
2 0 0
0
1 0 0 2C C Cp
q
p q
q
p, ) ))2 2q �
� �
.
Èç ôîðìóëû (17) ïîëó÷àåì ìàòðèöó �
�
( )2
, íåîáõîäèìóþ äëÿ ðàñ÷åòà ýôôåê-
òèâíîñòè îïòèìàëüíîãî ïðåäèêòîðà â ýòîì ñëó÷àå:
� �
��
( ) , ,
( , )
( )
( , )
, ,
( , )( ( ) ) ( (
2 0 0 2 0 0 2
2� �q q
p q q p
q q
p qC C C �
� �2 ) )( , )C q p �
� �0 0 2
2
0 2 0 2
22 2
,
( , )
,
( , )
, ,
( , )( ( )) ( (q
p q
q
q p
q q
p qC C C� �
�� �
( )
( , )) )
2
2C q p .
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì äâå ñêàëÿðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû: � è � ñ âîçìîæíûìè
çíà÷åíèÿìè � � ( , , )1 2 3 , � � ( , , )2 3 4 è äâóìÿ ìàòðèöàìè ñîâìåñòíûõ âåðîÿòíîñòåé:
P p Pi j i j1 1
0 1 0 1 0 06
0 03 0 13 0 22
0 0
� � � � �( ) ( , )
, , ,
, , ,
,
, , � � � �
5 0 08 0 23, ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
P p Pi j i j2 2
0 1 0 5 0
0 05 0 05 0
0 0 0 3
� � � � �
�
�
�( ) ( , )
, ,
, ,
,
, , � � � �
�
�
�
�
�
�
.
Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìàòðèöåé âåðîÿòíîñòåé P1 (äëÿ ìîäåëè 1) ìîìåíòû ðàâíû:
�
�
( )
,
1
333� , �
�
( )
,
2
0 5811� , �
�
( )
,
2
1167� , �
��2 35889� , ,
�
�2
2
22 3611
( )
,� , � �
( ) ,1 2 1� , ��
( ) ,2 0 61� , ��� � 0 187, .
Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìàòðèöåé âåðîÿòíîñòåé P2 (äëÿ ìîäåëè 2) èìååì:
�
�
( )
,
1
315� , �
�
( )
,
2
0 4275� , �
�
( )
,
2
10 35� , �
��2 2 6475� , ,
�
�2
2
16 6275
( )
,� , � �
( ) ,1 17� , ��
( ) ,2 0 81� , ��� � 0 445, .
Äëÿ ýòèõ äâóõ ìîäåëåé äàííûõ ðàññ÷èòàíû ìèíèìàëüíûé ñðåäíèé ðèñê rmin
è ýôôåêòèâíîñòü e ïîñòîÿííîãî, ëèíåéíîãî è êâàäðàòè÷íîãî îïòèìàëüíûõ ïðå-
äèêòîðîâ. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðèâåäåíû â òàáë. 1.
Èç òàáë. 1 âèäíî, ÷òî êàê ïî ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ ñðåäíåãî ðèñêà, òàê è
ïî ýôôåêòèâíîñòè íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì äëÿ îáåèõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòè÷íûé ïðåäèêòîð. Ïîñòîÿííûé ïðåäèêòîð èìååò íóëåâóþ ýôôåêòèâíîñòü
äëÿ îáåèõ ìîäåëåé, à ëèíåéíûé è êâàäðàòè÷íûé áîëåå ýôôåêòèâíû äëÿ âòîðîé
ìîäåëè. Âìåñòå ñ òåì äëÿ ìîäåëè 1 ýôôåêòèâíîñòü ëèíåéíîãî è êâàäðàòè÷íîãî
îïòèìàëüíîãî ïðåäèêòîðîâ âåñüìà ìàëà, ïðè÷åì ïåðåõîä îò ëèíåéíîãî ïðåäèêòî-
ðà ê êâàäðàòè÷íîìó íå ñïîñîáñòâóåò ñóùåñòâåííîìó óâåëè÷åíèþ ýôôåêòèâíîñ-
òè. Â òî æå âðåìÿ äëÿ ìîäåëè 2 ýôôåêòèâíîñòü ëèíåéíîãî ïðåäèêòîðà äîñòàòî÷-
íî âûñîêà, à èñïîëüçîâàíèå êâàäðàòè÷íîãî ïðåäèêòîðà ñóùåñòâåííî óâåëè÷èâàåò
ýôôåêòèâíîñòü ïðîãíîçèðîâàíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ëèíåéíûì ïðåäèêòîðîì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 129
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Òàêèì îáðàçîì, â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíà çàäà÷à òåîðèè îïòèìàëüíûõ
ñòàòèñòè÷åñêèõ ðåøåíèé ñ íàáëþäåíèÿìè â ñëó÷àå ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íûõ ñî-
ñòîÿíèé, íàáëþäåíèé è ðåøåíèé. Ïðè íàëè÷èè òðóäíîñòåé â îòûñêàíèè îïòè-
ìàëüíîãî ðåøåíèÿ (îïòèìàëüíîãî ïðåäèêòîðà), êîòîðûå íåèçáåæíî âîçíèêàþò
â ñëó÷àå íåãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé, íà ýòàïå ïîñòàíîâêè çàäà÷è ïðåäëàãà-
åòñÿ îãðàíè÷èòüñÿ ïîëèíîìèàëüíûì ïðåäèêòîðîì è îòûñêèâàòü åãî êîýôôèöè-
åíòû èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ñðåäíåãî ðèñêà.  áîëåå ðàííåé ðàáîòå [3] ïîëó÷å-
íû âûðàæåíèÿ è àëãîðèòìû îïòèìàëüíûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷-
íûõ ïðåäèêòîðîâ. Â äàííîé ñòàòüå ðåøåíû âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ìèíèìàëüíûì
çíà÷åíèåì ñðåäíåãî ðèñêà îïòèìàëüíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî ìíîãîìåðíî-ìàò-
ðè÷íîãî ïðåäèêòîðà è åãî ýôôåêòèâíîñòè. Ïîëó÷åííûå â ñòàòüå àëãîðèòìû
äëÿ ðàñ÷åòà ýòèõ õàðàêòåðèñòèê ïîçâîëÿþò ñðàâíèâàòü ðàçëè÷íûå ïðåäèêòîðû
ìåæäó ñîáîé, îöåíèâàòü èõ âîçìîæíîñòè è âûáèðàòü íàèáîëåå ïðèåìëåìûå
äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. M u k h a V . S . , K o r c h y t s K . S . Statistical weather forecasting // Computer Data Analysis and
Modeling. Robustness and Computer Intensive Methods. Proceeding of the Seventh Intern. Conf.
(Minsk, September, 6–10, 2004). — 2004. — 2. — P. 142–145.
2. Ì ó õ à  . Ñ . Ñòàòèñòè÷åñêîå âåêòîðíîå ïðîãíîçèðîâàíèå êîëè÷åñòâåííûõ õàðàêòåðèñòèê
ïîãîäû // Èíôîðìàöèîííûå ñèñòåìû è òåõíîëîãèè (IST’2004). Ìàòåðèàëû ìåæäóíàð. êîíô.,
Ìèíñê, Áåëàðóñü, 8–10 íîÿáðÿ 2004. — 2004. — ×. 2. — Ñ. 195–200.
3. Ì ó õ à  . Ñ . Íàèëó÷øàÿ ïîëèíîìèàëüíàÿ ìíîãîìåðíî-ìàòðè÷íàÿ ðåãðåññèÿ // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 3. — Ñ. 138–143.
4. Ì ó õ à  . Ñ . Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû îáðàáîòêè äàííûõ: ó÷åá. ïîñîáèå. — Ìèíñê: Èçä. öåíòð
ÁÃÓ, 2009. — 183 ñ.
5. Ì ó õ à Â . Ñ . Àíàëèç ìíîãîìåðíûõ äàííûõ. — Ìèíñê: Òåõíîïðèíò, 2004. — 368 ñ.
6. Ñ î ê î ë î â Í . Ï . Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîãîìåðíûõ ìàòðèö. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1971. —
167 ñ.
Ïîñòóïèëà 17.03.2009
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
Ìàòðèöû
âåðîÿòíîñòåé
Ïîñòîÿííûé ïðåäèêòîð Ëèíåéíûé ïðåäèêòîð
Êâàäðàòè÷íûé
ïðåäèêòîð
P1 (ìîäóëü 1)
Cðåäíèé ðèñê,
rmin ,� 0 6100
Cðåäíèé ðèñê, rmin ,� 0 5498 Cðåäíèé ðèñê, rmin ,� 0 5482
Ýôôåêòèâíîñòü, e � 0 Ýôôåêòèâíîñòü, e � 0 0987, Ýôôåêòèâíîñòü, e � 01014,
P2 (ìîäóëü 2)
Cðåäíèé ðèñê,
rmin ,� 0 8100
Cðåäíèé ðèñê, rmin ,� 0 3468 Cðåäíèé ðèñê, rmin ,� 0 0788
Ýôôåêòèâíîñòü, e � 0 Ýôôåêòèâíîñòü, e � 0 5719, Ýôôåêòèâíîñòü, e � 0 9027,
Ò à á ë è ö à 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84189 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:14:51Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Муха, В.С. 2015-07-03T15:50:57Z 2015-07-03T15:50:57Z 2011 Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора / В.С. Муха // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 121-130. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84189 517.514 Розглянуто задачу оцінювання (прогнозування) багатовимірної випадкової матриці за значенням іншої багатовимірної випадкової матриці, коли квадратична функція втрати розглядається з позицій теорії оптимальних статистичних рішень. Отримано вираз мінімального значення середнього ризику оптимального поліноміального багатовимірно-матричного предиктора, доказано його властивості та введено поняття його ефективності. Statistical decision theory is used to consider the problem of random multidimensional matrix estimation (prediction) on the measurement of another random multidimensional matrix in the case of a square loss func-tion. An expression for the minimum average risk value for optimal polynomial multidimensional-matrix pre-dictor is derived. The property of such a predictor is proved and the concept of its efficiency is introduced. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора Мінімальний середній ризик і ефективність оптимального поліноміального багатовимірно-матричного предиктора nimum average risk and efficiency of optimal polynomial multidimensional-matrix predictor Article published earlier |
| spellingShingle | Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора Муха, В.С. Системный анализ |
| title | Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора |
| title_alt | Мінімальний середній ризик і ефективність оптимального поліноміального багатовимірно-матричного предиктора nimum average risk and efficiency of optimal polynomial multidimensional-matrix predictor |
| title_full | Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора |
| title_fullStr | Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора |
| title_full_unstemmed | Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора |
| title_short | Минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора |
| title_sort | минимальный средний риск и эффективность оптимального полиномиального многомерно-матричного предиктора |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84189 |
| work_keys_str_mv | AT muhavs minimalʹnyisredniiriskiéffektivnostʹoptimalʹnogopolinomialʹnogomnogomernomatričnogoprediktora AT muhavs mínímalʹniiseredníirizikíefektivnístʹoptimalʹnogopolínomíalʹnogobagatovimírnomatričnogoprediktora AT muhavs nimumaverageriskandefficiencyofoptimalpolynomialmultidimensionalmatrixpredictor |