К параметрической задаче решения с денежными потерями

У системі прийняття рішення, яка складається з пари: той, хто приймає рішення, і ситуація прийняття рішення, розглядається параметрична задача рішення з числовими доходами, на яких переваги підпорядковуються природньому порядку на числах. Отриманий критерій визначення переваги на розв’язках являє со...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Михалевич, В.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84190
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К параметрической задаче решения с денежными потерями / В.М. Михалевич // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 131-142. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84190
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-841902025-02-09T14:43:47Z К параметрической задаче решения с денежными потерями До параметричної задачі рішення з грошовими втратами Parametric decision problems with monetary losses Михалевич, В.М. Системный анализ У системі прийняття рішення, яка складається з пари: той, хто приймає рішення, і ситуація прийняття рішення, розглядається параметрична задача рішення з числовими доходами, на яких переваги підпорядковуються природньому порядку на числах. Отриманий критерій визначення переваги на розв’язках являє собою максимум очікуваних втрат за розподілами, які складають статистичну закономірність опису випадковості станів природи. При цьому клас тих, хто приймає рішення, в силу цього критерію задається аксіоматично. A decision-making system consisting of a decision maker and a decision-making situation is considered. A parametric decision problem with monetary incomes on which preferences obey a natural numerical order is investigated. A decision preference criterion that is the maximum of expected losses among distributions that constitute a statistical law describing the random nature of natural states is obtained. By this criterion, the decision-maker class is specified axiomatically. 2011 Article К параметрической задаче решения с денежными потерями / В.М. Михалевич // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 131-142. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84190 519.81 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Михалевич, В.М. К параметрической задаче решения с денежными потерями Кибернетика и системный анализ
description	У системі прийняття рішення, яка складається з пари: той, хто приймає рішення, і ситуація прийняття рішення, розглядається параметрична задача рішення з числовими доходами, на яких переваги підпорядковуються природньому порядку на числах. Отриманий критерій визначення переваги на розв’язках являє собою максимум очікуваних втрат за розподілами, які складають статистичну закономірність опису випадковості станів природи. При цьому клас тих, хто приймає рішення, в силу цього критерію задається аксіоматично.
format	Article
author	Михалевич, В.М.
author_facet	Михалевич, В.М.
author_sort	Михалевич, В.М.
title	К параметрической задаче решения с денежными потерями
title_short	К параметрической задаче решения с денежными потерями
title_full	К параметрической задаче решения с денежными потерями
title_fullStr	К параметрической задаче решения с денежными потерями
title_full_unstemmed	К параметрической задаче решения с денежными потерями
title_sort	к параметрической задаче решения с денежными потерями
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84190
citation_txt	К параметрической задаче решения с денежными потерями / В.М. Михалевич // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 131-142. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT mihalevičvm kparametričeskojzadačerešeniâsdenežnymipoterâmi AT mihalevičvm doparametričnoízadačíríšennâzgrošovimivtratami AT mihalevičvm parametricdecisionproblemswithmonetarylosses
first_indexed	2025-11-27T00:26:43Z
last_indexed	2025-11-27T00:26:43Z
_version_	1849901161020129280
fulltext	ÓÄÊ 519.81 Â.Ì. ÌÈÕÀËÅÂÈ× Ê ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÐÅØÅÍÈß Ñ ÄÅÍÅÆÍÛÌÈ ÏÎÒÅÐßÌÈ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü, ñõåìà ñèòóàöèè, ìîäåëü ñèòóàöèè. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ïàðó: òîò, êòî ïðèíèìàåò ðåøåíèå (ÒÏÐ), è ñèòóàöèÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ (ÑÏÐ). Óñëîâèå, ñîãëàñíî êîòîðîìó ïàðàìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à ðåøåíèÿ (ÇÐ) áóäåò ñ äåíåæíûìè ïîòåðÿìè, à îòîáðàæåíèå ïîñëåäñòâèé — ôóíêöèåé ïîòåðü, ñëåäóÿ òåðìèíîëîãèè, ââåäåííîé â ðàáîòå [1], îçíà÷àåò, ÷òî ñõåìà ñèòóàöèè ýòîé çàäà÷è ðåøåíèÿ (ÑÑÇÐ) (( , ), , , )X U g� � ïðèíàäëåæèò êëàññó Z(( , ))� � . Çäåñü ( , )� � — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñ åñòåñòâåíííûì ïîðÿäêîì � , ïðè÷åì íà ìíî- æåòâå � çíà÷åíèé íåíàáëþäàåìîãî ïàðàìåòðà çàôèêñèðîâàíà íåêîòîðàÿ àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ � , à g U: �� — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ äâóì óñëîâèÿì: 1) inf ( , ): , ;{ }g u u U� �� 2) sup { }g u u U( , ): .� �� Â íàñòîÿùåé ñòàòüå, óïîòðåáëÿÿ îáîçíà÷åíèÿ ( , , )� U g , áóäåì ïîíèìàòü èìåííî óêàçàííîå ñîîòâåòñòâèå, îäíàêî îñëàáèì óñëîâèå 1, çàìåíèâ åãî íà óñëî- âèå inf ( , ):{ }g u u U� �� . Îáîçíà÷èì �( )� ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñõåì ñ ôèêñèðîâàííûì ìíîæåñòâîì �, à �0 ( )� — ïîäêëàññ êëàññà �( )� , äëÿ ñõåì êî- òîðîãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 1. Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ïðàâèëà âûáîðà êðèòå- ðèÿ (ÏÂÊ) îáîáùàåò ñîîòâåòñòâóþùåå åìó îïðåäåëåíèå â [2]. Îïðåäåëåíèå 1. ÏÂÊ äëÿ ÑÑÇÐ èç êëàññà � �� ( ) ( )� � áóäåì íàçûâàòü ëþáîå îòîáðàæåíèå �, îïðåäåëåííîå íà ��( )� è ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé Z U g� � �( , , ) ( )� �� íåêîòîðóþ äåéñòâèòåëüíóþ ôóíêöèþ gZ * ( )� íà ìíîæåñòâå ðåøåíèé U . Êëàññ âñåõ ÏÂÊ äëÿ ��( )� îáîçíà÷èì ÷åðåç � �( ( ))�� , è ïðè ýòîì áóäåì îò- íîñèòü ê � � � �0 ( ( )) ( ( ))� �� âñå ÏÂÊ äëÿ ��( )� , óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþ- ùèì óñëîâèÿì. Ó1. Åñëè Z U g1 1 1� � �( , , ) ( )� �� , Z U g2 2 2� � �( , , ) ( )� �� , U U1 2� , g u1( , )� � g u2 ( , )� �� , �u U1, òî g u g u u UZ Z1 2 1 * ( ) ( ) .� � Ó2. Åñëè Z U g� � �( , , ) ( )� �� , u Ui � , i �1 2, , è g u g u( , ) ( , )� �1 2� �� , òî g u g uZ Z ( ) ( ).1 2� Ó3. Åñëè Z U g� � �( , , ) ( )� �� , u Ui � , i �1 2, , a b a, ,� �� 0 è g u( , )� 1 � � �ag u b( , )� 2 �� , òî g u ag u bZ Z ( ) ( ) .1 2� � ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 131 © Â.Ì. Ìèõàëåâè÷, 2011 Ó4. Åñëè Z U g� � �( , , ) ( )� �� , u Ui � , i �1 3, , è g u g u g u( , ) ( , ) ( , )� � �1 2 32� � �� , òî g u g u g uZ Z Z * ( ) ( ) ( ).1 2 32� � Îïðåäåëåíèå 2. Ìîäåëüþ ÏÂÊ, ò.å. ÌÏÂÊ (�-ïàðàìåòðè÷åñêîé ÌÏÂÊ, ò.å. � ÏÌÏÂÊ) â êëàññå ÑÑÇÐ � �� ( ) ( )� � áóäåì íàçûâàòü êîíå÷íóþ ñîâîêóï- íîñòü óñëîâèé (àêñèîì) Ó íà ÏÂÊ äëÿ êëàññà ��( )� , êîòîðûå çàäàþò åäèíñòâåí- íîå ÏÂÊ (ñ òî÷íîcòüþ äî ïàðàìåòðà ��, ãäå � — ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðà- ìåòðà �), è îáîçíà÷àòü [Ó] â êëàññå ��( )� (ñ ïàðàìåòðîì ��). Îáîçíà÷èì M( )� (M â êîíòåêñòå ñ ôèêñèðîâàíûì �) áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ îãðàíè÷åíûõ ôóíêöèé f íà ìíîæåñòâå � ñ \|\| \| \| \| ( )\|f f� � sup � � � . Äàëåå, äëÿ ïðîèçâîëüíîé àëãåáðû ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà � îáîçíà÷èì B� �( ) , èëè ïðîñòî B( )� â êîíòåêñòå ñ ôèêñèðîâàíûì � (B â êîíòåêñòå ñ ôèêñè- ðîâàííûìè � è �), ìíîæåñòâî âñåõ �-èçìåðèìûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé íà �. Î÷åâèäíî, ÷òî B( )� âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå B( , )� � — âñåõ ðàâíîìåðíûõ ïðåäåëîâ êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíî- æåñòâ èç � . Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îòîáðàæåíèå �� ( ): ( ) ( ( ))� � � �P , ãäå P( )� — ñåìåéñòâî âñåõ ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé íà ( , )� � . Îòîáðàæåíèå �� ( )� îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè P P P Z U g Z g Z � � � � � � � ��( ), ( ), ( , , ) ( ) ( ), ( ) (( ) � � � �� ), òî g u g u p d u U Z p P * ( ) ( , ) ( ) ,� � � �max � � � ãäå èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ â åñòåñòâåííîì ñìûñëå èíòåãðàëà ïî êîíå÷íî-àääè- òèâíîé ìåðå. Ïðè ýòîì ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìóìà ñëåäóåò èç çàìêíóòîñòè ìíîæåñòâà P P� ( )� . Â ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ ñôîðìóëèðóåì îñíîâíóþ òåîðåìó, äîêàçàííóþ â ðàáîòå [2, òåîðåìà 3.1, ñ. 63]. Òåîðåìà 1. Åñëè � �� 2 , òî �� 0 0 0( ) ( ( )) ( ( )).� � � �P � Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðè � �� 2 â êëàññå ÏÂÊ äëÿ �0 ( )� , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì Ó1, Ó2, Ó3, Ó4, ìåõàíèçì íå- îïðåäåëåííîñòè çíà÷åíèÿ íåíàáëþäàåìîãî ïàðàìåòðà èç ìíîæåñòâà � ÿâëÿåòñÿ ñëó- ÷àéíûì â øèðîêîì ñìûñëå (ñì. [2] ) è ïðè âûáðàííîé ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåð- íîñòè P P� ( )� , çàäàþùåé ýòîò ìåõàíèçì íåîïðåäåëåííîñòè, èìååò ìåñòî òî÷íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà ÇÐ â ëþáîé ñèòóàöèè ñ ÑÑÇÐ Z U g� �( , , ) ( )� ��0 , â êîòîðîé êðèòåðèåì ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ g u g u p d Z p P * ( ) ( , ) ( )� � �max � � � . Èíûìè ñëî- âàìè, åñëè ïîìèìî ÑÑÇÐ Z U g� �( , , ) ( )� ��0 çàôèêñèðîâàòü íåêîòîðóþ ñòàòèñ- òè÷åñêóþ çàêîíîìåðíîñòü P íà �, òî íåîïðåäåëåííîñòü êàñàòåëüíî âûáîðà îòíî- øåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ íà âîçìîæíûõ ðåøåíèÿõ â ýòîé ñèòóàöèè îòñóòñòâóåò, ò.å. ÒÏÐ, ó êîòîðûõ ÏÂÊ äëÿ �0 ( )� óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Ó1, Ó2, Ó3, Ó4, îäè- íàêîâî ðåøàþò âòîðóþ îñíîâíóþ ÇÐ è ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèé êðèòåðèé çàäà- åòñÿ ôóíêöèåé gZ * ( )� . È íàîáîðîò, åñëè äëÿ ëþáîé ñèòóàöèè Z U g� �( , , ) ( )� ��0 132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 è ëþáîé ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòè P P� ( )� êðèòåðèé âûáèðàåòñÿ â âèäå g u g u p d Z p P * ( ) ( , ) ( )� � �max � � � , òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ÏÂÊ äëÿ �0 ( )� âûïîëíÿ- þòñÿ óñëîâèÿ Ó1, Ó2, Ó3, Ó4. Ñîãëàñíî ââåäåíîé òåðìèíîëîãèè ïîëó÷èì ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 1. Ñëåäñòâèå 1. Óñëîâèÿ Ó1, Ó2, Ó3, Ó4 íà ÏÂÊ â êëàññå �0 ( )� ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé P( )� -ÏÌÏÂÊ â êëàññå �0 ( )� , ò.å. [Ó1, Ó2, Ó3, Ó4] â �0 ( )� ñ ïàðàìåòðîì P P� ( )� . Ñëåäñòâèå 2. ×åòâåðêà ( , , , )� U g P ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïèñà- íèåì ñèòóàöèè ñ ÑÑÇÐ Z U g� �( , , ) ( )� ��0 è çàêîíîìåðíîñòüþ P P� ( )� äëÿ [Ó1, Ó2, Ó3, Ó4] â �0 ( )� ñ ïàðàìåòðîì P P� ( )� . Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ÒÏÐ ñ ÏÂÊ èç êëàññà � �0 0( ( ))� ïðèíèìàþò â îïè- ñàííîé òàêèì îáðàçîì ñèòóàöèè îäèíàêîâîå ðåøåíèå. Ýòî äàåò îñíîâàíèå ââåñòè ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 3. Ìîäåëüþ ÑÇÐ (ÌÑÇÐ) äëÿ ÑÑÇÐ Z� �( )� áóäåì íàçûâàòü ëþáóþ ÷åòâåðêó âèäà ( , , , ) ( , )� U g P Z P� , ãäå P P� ( )� . Îáîçíà÷èì � êëàññ âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ÷åòâåðîê âèäà M � ( , , , )� U g P , ãäå ( , , ) ( )� �U g � � , à P P� ( )� . Êëàññ âñåõ ÌÑÇÐ âèäà ( , , , )� � � � áóäåì îáîçíà÷àòü � ( )� è ñîïîñòàâëÿòü ëþáîé ÌÑÇÐ M � ( , , , )� U g P ôóíêöèþ g uM * ( ) � � � �max p P g u p d( , ) ( ) � � � (êðèòåðèé äëÿ ÌÑÇÐ Ì), à òàêæå, êîãäà ( , , ) ( )� �U g � �0 , ÷èñëî �( ) ( )M inf M� �u U g u áóäåò îáîçíà÷àòü ðèñê äëÿ M . Îïðåäåëåíèå 4. Åñëè P P F M� �( ),� , òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàêîíîìåð- íîñòü P ÿâëÿåòñÿ F-ñòîõàñòè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóþò òàêàÿ �-àëãåáðà A � 2� è òàêàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà � ía A, ÷òî f p d f d p P f F( ) ( ) ( ) ( ) , . � � � �� Îïðåäåëåíèå 5. ÌÑÇÐ M � � �( , , , )� U g P � áóäåì íàçûâàòü áàéåñîâñêîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå F M� , ÷òî g u F u U( , )� � � , è ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíî- ìåðíîñòü Ð ÿâëÿåòñÿ F-ñòîõàñòè÷åñêîé. Îïðåäåëåíèå 6. ÌÑÇÐ M � � �( , , , )� U g P � áóäåì íàçûâàòü ìèíèìàêñíîé, åñëè P PF� ( )� [1, ôîðìóëà (1)]. Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî êðèòåðèè ýòèõ ÌÑÇÐ ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ñ áàéå- ñîâñêèì è ìèíèìàêñíûì êðèòåðèÿìè â îáùåïðèíÿòîì ñìûñëå. Äàëåå áóäåì îáîçíà÷àòü x�( )� îòîáðàæåíèå, òîæäåñòâåííî ðàâíîå x X� íà �, ò.å. x x� �( )� �� def ( åñëè ýòî íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèþ, òî èíäåêñ � îïóñêàåòñÿ). Òîãäà X � áóäåì îáîçíà÷àòü âñå ïîñòîÿííûå îòîáðàæåíèÿ íà � : X x x X� �: : .� �{ } (1) Òàêæå îáîçíà÷èì B0 ( )� (èëè ïðîñòî B0 â êîíòåêñòå �) ìíîæåñòâî âñåõ êî- íå÷íîçíà÷íûõ �-èçìåðèìûõ ôóíêöèé íà �: ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 133 B f B f0 ( ) : ( ): ( ) ,� � �� { Card } à ÷åðåç B a b0 ( , ) , ãäå a b a b, , ( ),� �� 0, — ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íîçíà÷íûõ �-èçìåðèìûõ ôóíêöèé íà � ñî çíà÷åíèÿìè â èíòåðâàëå [ , ]a b : B a b0 ( , ) :� := { co }f f B f f f a b� � � �� : , ( ) [ ( )], ( ) [ , ] .0 Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî B a b0 ( , ) ÿâëÿåòñÿ ïîãëîùàþùèì (ñì. [3]) â B0 . Îïðåäåëåíèå 7. ÑÑÇÐ Z U g� �( , , ) ( )� �� áóäåì íàçûâàòü îïðåäåëÿþùåé, åñëè ñóùåñòâóþò a b a b, , ( , )� �� 0 , êîãäà B a b g U g U B0 ( , ) ( , ) [ ( , )] .� � � � �co (2) Äàëåå, äëÿ ÑÑÇÐ êëàññà � �� ( ) ( )� � áóäåì îòíîñèòü ê � �� ( ( ))�� âñå ÏÂÊ äëÿ �� ( )� , êîòîðûå ïðèíàäëåæàò � �( ( ))�� è äëÿ ëþáîé îïðåäåëÿþùåé ÑÑÇÐ Z U g� � �( , , ) ( )� �� óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Ó2, Ó4. Òàêèì îáðàçîì, îñëàáëåí- íûå óñëîâèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü Ó2 � è Ó4� ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî, ÷òî � �0 ( ( ))�� 0 ( ( )).�� Îáîçíà÷èì � �01( ( ))�� âñå ÏÂÊ äëÿ ��( )� , êîòîðûå ïðèíàäëåæàò � �� ( ( ))�� è óäîâëåòâîðÿþò òàêæå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì. Ó1�. Åñëè Z U g Z U g1 1 1 2 2 2� � � � � �( , , ) ( ), ( , , ) ( ),� � � �� u U1 1� , u U2 2� , g u g u1 1 2 2( , ) ( , )� �� , òî g u g u Z Z1 2 1 2 ( ) ( ).� Ó3 �. Åñëè Z U g� � �( , , ) ( )� �� — îïðåäåëÿþùàÿ, u Ui � , i �1 3, , � [ , ]0 1, g u c( , )� �3 � , à g u g u c( , ) ( , ) ( )� � 1 2 1� � äëÿ ëþáûõ ��, òî g u g u c Z Z ( ) ( ) ( ) .1 2 1� � Çàìå÷àíèå. Â ñëó÷àå, êîãäà � �� 2 è ��( )� ñîâïàäàåò ñ �( )� , óñëîâèå Ó1� ñëåäóåò èç óñëîâèé Ó1, Ó2, Ó3, Ó4. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà âîñïîëüçóåì- ñÿ òåîðåìîé 1, ñîãëàñíî êîòîðîé åñëè Z U g Z U g u U u U1 1 1 2 2 2 1 1 2 2� � � � � �( , , ) ( ), ( , , ) ( ), ,� � � �� è g u g u1 1 2 2( , ) ( , )� �� , òî g u g u p d g u p dZ p P p P1 1 1 1 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) (� � � � � �max max � � � � � �) ( ),� g uZ2 2 ò.å. óñëîâèå Ó1� ñïðàâåäëèâî. Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî èç óñëîâèé Ó2, Ó3, Ó4 ñëåäóþò óñëîâèÿ Ó2 �, Ó3 �, Ó4 � ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V ââåäåì îòíîøåíèå ýêâèâà- ëåíòíîñòè � co íà 2V ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ ëþáûõ X Y V, � X Y X Y� � � co co co . (3) Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç � �02 ( ( ))�� êëàññ âñåõ ÏÂÊ äëÿ ��( )� , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ó1�, à òàêæå óñëîâèÿì Ó2 �, Ó3 �, Ó4 �, îñëàáëåííûìè òåì, ÷òî èõ òðåáîâàíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ëèøü íà g B� 0 ( )� . Ñîîòâåòñòâóþùèå îñëàáëåííûå óñëîâèÿ îáîçíà÷èì Ó2 � �, Ó3 � �, Ó4 � �. Î÷åâèäíî, ÷òî � � � �01 02( ( )) ( ( )).� �� 134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 Ââåäåì òàêæå â ðàññìîòðåíèå îòîáðàæåíèå � � � � � � � � ( ) : ( ) / ( ( )) � � � �P co òà- êèì îáðàçîì, ÷òî åñëè ~ P — êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ( ( ), )P � � co ñ ïðåäñòàâèòåëåì P, òî � � � � � � � �( ) ( ) ( ~ ) ( ). � � P P def Îáîçíà÷èì Pco ( )� ìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîìåðíî- ñòåé íà �: P P P P Pco = { co }( ) : ( ):� �� . Î÷åâèäíî, ÷òî max max cop P p P f p d f p d � � � ��( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � , ãäå P P� ( )� , â ñèëó àôèííîñòè èíòåãðàëà ïî àääèòèâíîé ìåðå. Òîãäà � � � � � �� ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ) / ) � � � � � �P P Pco co . Íàêîíåö, îáîçíà÷èì ��1( )� ëþáîé ïîäêëàññ ÑÑÇÐ êëàññà �( )� , â êîòîðîì äëÿ ëþáîé ÑÑÇÐ Z U g� � � � � �( , , ) ( )� ��1 è ëþáîãî u U�� íàéäóòñÿ òàêàÿ îïðåäåëÿþùàÿ ÑÑÇÐ Z U g� � �( , , ) ( )� �� 1 è òàêîå u U� , ÷òî g u g u� � � �( , ) ( , ) ,� � � � à ÷åðåç �� 0 ( )� áóäåì îáîçíà÷àòü òàêîé ïîäêëàññ ��1( )� , ó êîòîðîãî äëÿ ëþáîé îïðåäåëÿþ- ùåé ÑÑÇÐ Z U g� � �( , , ) ( )� �� 0 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå g U B( , ) .� � 0 Äëÿ ëþáîãî êëàññà �� 1 ( )� îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâóþùèé åìó êëàññ �� 0 ( )� , êî- òîðûé îáîçíà÷èì �� 01 ( )� : � � � � �� 01 1( ): ( , , ): ( , , ) ( ),� � � �{ U g Z U g U u U g u B g u g u u U� � � � � � � �{ } }: ( , ) ( ) , ( , ) ( , ) .0 � Ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòàò, îáîáùàþùèé òåîðåìó 1. Òåîðåìà 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ��1( )� îòîáðàæåíèå � � � � 1 ( )� ÿâëÿåòñÿ èíúåêöèåé è � � � � � � � � � � � 1 1 2 1( ) ( ( ) / ) ( ( )) ( ( )) � �� P co . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî � � � �02 1 1 ( ( )) ( ( )) ( ) � � � � � � P . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü �� 02 1 ( ( ))� . Îïðåäåëèì íà B0 ôóíêöèîíàë �� ( ) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ÑÑÇÐ Z U g� � �( , , ) ( )� �� 1 ÿâëÿåòñÿ îïðå- äåëÿþùåé, ò.å. äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (2). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f B� 0 ñóùåñòâóþò òàêèå a a u U� � ��, ,0 è , ÷òî f ag u( ) ( , )� � � . Òîã- äà çíà÷åíèþ ( )f ôóíêöèîíàëà äëÿ f çàäàäèì ÷èñëî ag uZ ( ), ò.å. ( ) ( )f ag uZ� . Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, òàê êàê çíà÷åíèå ( )f , âî-ïåðâûõ, â ñèëó óñëîâèÿ Ó1� íå çàâèñèò îò âûáîðà ÑÑÇÐ Z, à òîëüêî îò ýëåìåíòà f , à âî-âòîðûõ, íå çàâèñèò îò ïðåäñòàâëåíèÿ f ( )� â âèäå ag u( , )� , èáî åñëè ag u a g u( , ) ( , )� �� , ãäå a a, �� 0, òî a a a a a a g u a a a g u a a a � � � � � � � � � � � � � � � � � �0 0( , ) ( , )� � . Â ñèëó óñëîâèÿ Ó3� ïîëó÷èì, ÷òî a a a g u a a a a a a g u a a a Z Z � � � � � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) .0 0 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 135 Çíà÷èò, ag u a g u Z Z ( ) ( )� � � . Ëåììà 1. Ôóíêöèîíàë �� ( ) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè ïðè F B� 0. S1. Åñëè f f F f f1 2 1 2, , ( ) ( )� �� ïðè âñåõ ��, òî ( ) ( )f f1 2� . S2. Åñëè f f F1 2, � , a b R, � , a f af b� � �0 1 2, ( ) ( )� � ïðè âñåõ ��, òî ( ) ( )f a f b1 2� � . S3. Åñëè f f F1 2, � , òî ( ) ( ) ( )f f f f1 2 1 2� � � . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f f B1 2 0, � è f f1 2( ) ( )� �� ïðè âñåõ ��. Òîãäà ñî- ãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñóùåñòâóþò òàêèå a a a a1 2 1 2 0, , ,� �� , è u u U1 2, ,� ÷òî f a g u1 1 1( ) ( , ),� � � f a g u2 2 2( ) ( , ).� � � Ñëåäîâàòåëüíî, a g u1 1( , )� � a g u2 2( , )� �� . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a a2 1� , òîãäà äëÿ ëþáûõ �� èìååì g u a a g u a a a ( , ) ( , ) .� �1 2 1 2 1 2 1 0� � � Òîãäà ñîãëàñíî (2) ñóùåñòâóåò òàêîå u U� , ÷òî äëÿ ëþáûõ �� g u a a g u a a a ( , ) ( , ) .� �� 2 1 2 1 2 1 0 Çíà÷èò, â ñèëó óñëîâèÿ ìîíîòîííîñòè Ó2� èç g u g u( , ) ( , )� � �1 � �� ñëåäóåò, ÷òî g u g uZ Z ( ) ( ).1 � Âîñïîëüçîâàâøèñü óñëîâèåì Ó3�, ïîëó÷èì g u a a g uZ Z ( ) ( ).� 2 1 2 Îòñþäà a g u a g uZ Z1 1 2 2 ( ) ( ),� ò.å. ( ) ( ).f f1 2� Ñâîéñòâî S1 äîêàçàíî. Äàëåå, åñëè f f B a b a f a f b1 2 0 1 1 1 1 1 2 10, , , , , ( ) ( )� � � � �� ïðè âñåõ ��, òî çàïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå 1 1 1 11 1 1 1 2 1 1a f a a f b a� � � � � �( ) ( )� � � �. (4) Òàê êàê ôóíêöèè 1 1 1 11 1 1 1 2 1 1a f a a f b a� � � � � ( ), ( ), ( )� ïðèíàäëåæàò B0, òî â ñèëó òîãî, ÷òî ìíîæåñòâî B a b0 ( , ) ïîãëîùàþùåå, ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî c c� ��, 0 , è òàêèå u u U1 2, � , ÷òî f c a g u a f c a g u1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ), ( ) ( ) ( , ) � � � � � � � � � ��, a b c a b� � � 2 1 1 1( ) . (5) Â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (4) èìååì g u g u b c a ( , ) ( , ) ( ) .� � �1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 � � � � � �� 136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 Ïîñêîëüêó âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (5), òî íàéäåòñÿ òàêîå u U3 � , ÷òî g u b c a ( , ) ( ) .� �3 1 1 2 1 � � �� Ñëåäîâàòåëüíî, âîñïîëüçîâàâøèñü óñëîâèåì Ó3�, ïîëó÷èì g u g u b c a Z Z ( ) ( ) ( ) .1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 � � � � � Îòñþäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëà 1 1 1 2 2 1 1 2 2 11 1 1 1 2 1 1c a f a c a f b c a( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � èëè ( ) ( )f a f b1 1 2 1� � . Òàêèì îáðàçîì, ñâîéñòâî S2 òàêæå äîêàçàíî. Íàêîíåö, åñëè f f B1 2 0, ,� òî â ñèëó (2) íàéäóòñÿ òàêèå a�� , a�� 0, è u u u U1 2 3, , � , ÷òî f a g u f a g u f f a g1 1 2 2 1 2 2 ( ) ( , ), ( ) ( , ), ( ) ( ) (� � � � � � � � � � � � � � , ).u3 Òîãäà èìååì g u f f a g u g u( , ) ( ) ( ) ( ( , ) ( , )).� � � � � � � � � �3 1 2 1 2 2 1 2 Âîñïîëüçîâàâøèñü óñëîâèåì Ó4�, ïîëó÷èì g u g u g uZ Z * ( ) ( ) ( ).1 2 32� � Ïîñêîëüêó g u f a Z ( )1 1� � � � � � ! , g u f a Z * ( )2 2� � � � � � ! , g u f f a Z * ( )3 1 2 2 � � � � � � � ! , òî ââèäó äîêàçàííîãî ñâîéñòâà S2 èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà èìååì ( ) ( )f f1 2� � � � ( ).f f1 2 Ñâîéñòâî S3 è, ñëåäîâàòåëüíî, ëåììà 1 ïîëíîñòüþ äîêàçàíû. Ëåììà 2. Ôóíêöèîíàë �� ( ) äîïóñêàåò åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå ïðî- äîëæåíèå íà B, ïðè÷åì ýòî ïðîäîëæåíèå ôóíêöèîíàëà óäîâëåòâîðÿåò ñâîé- ñòâàì S1, S2, S3 ïðè F B� . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáûõ f f B1 2 0, � \| ( ) ( )\| \| \| \| \| . f f f f1 2 1 2 � Äåéñòâèòåëüíî, èìååì f f f f f f2 1 2 2 1 2( ) \| \| \| \| ( ) ( ) ( ) .� � � � �� Òîãäà ñîãëàñíî ñâîéñòâó S1 ( \| \| \| \| ) ( ).f f f f2 1 2 1� �� Íî â ñèëó ñâîéñòâà S2 ( \| \| \| \| ) ( ) \| \| \| \| .f f f f f f2 1 2 2 1 2� � � � Ñëåäîâàòåëüíî, ( ) \| \| \| \| ( )f f f f2 1 2 1� � èëè ( ) ( ) \| \| \| \|f f f f1 2 1 2 � è â ñèëó ñèììåòðèè ( ) ( ) \| \| \| \| .f f f f2 1 2 1 � Òàêèì îáðàçîì, \| ( ) ( )\| \| \| \| \| . f f f f1 2 1 2 � ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 137 Îòñþäà â ñèëó òîãî, ÷òî ïðîñòðàíñòâî B0 âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå B, ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîãî íåïðåðûâíîãî ïðîäîëæåíèÿ íà B. Î÷å- âèäíî, ÷òî îíî óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì S1, S2, S3 äëÿ F B� . Ëåììà äîêàçàíà. Îáîçíà÷èì " ìíîæåñòâî âñåõ îãðàíè÷åííûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ � íà B, óäîâëåòâîðÿþùèõ äâóì óñëîâèÿì: 1) �( ) ;1 1� � 2) �( ) ,f � 0 åñëè f ( ) .� �� 0 � Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè p PF� ( )� , � � � �: , ( ) ( ) ( ),B R f f p d� � � � (6) òî ��". Äîêàæåì îáðàòíîå: äëÿ ëþáîãî ��" ìîæíî îïðåäåëèòü òàêîå p PF� ( )� , äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî (6). Äëÿ ýòîãî ïîëîæèì p C C( ) ( )� � 1 ïðè âñåõ C ��. Î÷åâèäíî, ÷òî p p C( ) , ( )� � �1 0 è p C D p C p D C( ) ( ) ( \ )# � � ïðè âñåõ C D, ��. Çíà÷èò, p PF� ( )� . Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ òàêîãî p ñïðàâåäëèâî óñëîâèå (6). Çàäàäèì ïðîèçâîëüíûå f B� è �� ( , ).0 1 Äëÿ íèõ ïîñòðîèì ðàçáèåíèå E e i ni� �{ }, ,1 ìíîæåñòâà � íà êîíå÷íîå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíî- æåñòâ, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ sup ( ) inf ( ) , .f e e i ni i � �� 1 Ïóñòü f f e i n f fi i i i n ei � � � � � $sup ( ), , , .1 1 1 Òîãäà 0 � � �f f � � �. Îòñþäà 0 1� � � �� ( )f f è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ëèíåéíîñòè è ñâîéñòâà (2) 0 1 1 1� � � � � � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( ( )) .f f f f f f� � � Îäíàêî � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ),f f f p e f p d i n i e i i n ii � � � � � � $ $ � 1 1 1 �à òàêæå 0 � � �� ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � f f p d f p d f p d� � � � � � � � � �� ( ( ) ( )) ( ) ( ) � � f f p d p d� � � � � �. Ïîýòîìó \| ( ) ( )\| �f f � è \| ( ) ( ) ( )\| . � � �f f p d �� Îòñþäà \| ( ) ( ) ( )\| � � �f f p d �� 2 , è â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà f è � ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå (6). Ëåììà 3. Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàë :B � � îáëàäàë ñâîéñòâàìè S1–S3, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îí áûë ïðåäñòàâèì â âèäå � � ( ) ( ) ,f f f B� � � sup " 138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 ãäå " — íåêîòîðîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà ". Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f B0 � îáîçíà÷èì L äâóìåðíîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà B, ïîðîæäåííîå ôóíêöèÿìè f0 è 1�: L f B a b f af b� � % � � �{ }: , , .� 0 1� Îïðåäåëèì íà L îãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë 0 0 0 01: , ( ) ( ) .L af b a f b� � � �� Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî 0 ( ) ( )f f� ïðè âñåõ f L� . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè a � 0, f af b� �0 1� , òî ñîãëàñíî ñâîéñòâó S2 0 0( ) ( ) ( )f a f b f� � � . Åñëè a � 0, òî â ñèëó ñâîéñòâà S3 ( ) ( ) ( ) ( )f f f f� � � �2 2 0 1� . Ñëåäîâàòåëüíî, âîñ- ïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì S2, ïîëó÷èì ( ) ( )f f� � 0 èëè ( ) ( ). � f f Îòñþäà, ïîñêîëüêó f af b� �0 1� , ïîëó÷àåì ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ).f f a f b a f b f� � � � �0 0 0 Òàêèì îáðàçîì, âñëåäñòâèå ñâîéñòâ S2 è S3 åñòü êàëèáðîâî÷íàÿ ôóíêöèÿ íà ïðîñòðàíñòâå B è 0 ( ) ( )f f� ïðè f L� . Çíà÷èò, ñîãëàñíî òåîðåìå Õàíà–Áàíàõà â àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå [3, ñ. 84] ñóùåñòâóåò òàêîé îãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé ôóíê- öèîíàë 1 íà B, ÷òî 1 0f f) ( )� äëÿ âñåõ f L� è 1( ) ( )f f� äëÿ âñåõ f B� . Ïîêàæåì, ÷òî 1 �". Ïîñêîëüêó ôóíêöèîíàë 1 îãðàíè÷åí, ëèíååí è î÷å- âèäíî, ÷òî 1 1 1( )� � (òàê êàê 1� �L), òî îñòàåòñÿ ëèøü óáåäèòüñÿ, ÷òî 1 0( )f � ïðè f � 0. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè f � 0, òî �f 0, à çíà÷èò, â ñèëó ñâîéñòâà S1 ( ) ( ) . � � �f 0 1 0� Ïîýòîìó 1 1 0( ) ( ) ( )f f f� � � . Ñëåäîâàòåëüíî, 1 �". Áîëåå òîãî, � � 1 � � � � �{ } def " ": ( ) ( ) .f f f B Îäíàêî, ñ îäíîé ñòîðîíû, � � ( ) ( ),f f� � sup " ïîñêîëüêó �( ) ( )f f� ïðè âñåõ � � �" , f B ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ " , à ñ äðóãîé ñòîðîíû, � � ( ) ( ),f f� � sup " ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f B� , îáîçíà÷èâ åå ÷åðåç f0, ìîæíî ïîñòðîèòü (êàê ýòî áûëî ñäåëàíî âûøå) òàêîé ôóíêöèîíàë 1 �" , ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî ( ) ( )f f0 1 0� . Íåîáõîäèìîñòü äîêàçàíà. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü " " " 0 0 � � � � , : , ( ) ( ) � � B f f� sup . Åñëè f f B1 2, � è f f1 2( ) ( )� �� äëÿ âñåõ ��, òî ñîãëàñíî óñëîâèþ 2 äëÿ " èìååì �( )f f2 1 0 � äëÿ âñåõ ��". Îòñþäà è ââèäó ëèíåéíîñòè âñåõ ��" � � � � ( ) ( ) ( ) ( ).f f f f1 1 2 2 0 0 � � � � � sup sup " " Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ñâîéñòâî S1. Ñâîéñòâî S2 î÷åâèäíî, à ñâîé- ñòâî S3 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî � � ( ) ( )f f f f1 2 1 2 0 � � � � � sup " ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 139 � � � � � � � � sup sup sup � � � � � � � " " "0 0 0 1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( ) (f f f f f f1 2) ( )� . Ëåììà 3 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Èòàê, åñëè �� 02 1 ( ( ))� , òî ñîïîñòàâèì ÏÂÊ � ôóíêöèîíàë �� ( ) ñî- ãëàñíî ëåììå 2. Äàëåå íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ïîäìíîæåñòâî " " � , âîñ- ïîëüçîâàâøèñü ëåììîé 3. Çàòåì, îïðåäåëèâ äëÿ êàæäîãî � �" ñîîòâåòñòâóþ- ùåå åìó ñîãëàñíî (6) ðàñïðåäåëåíèå p p PF� �� ( )� , ââåäåì îáîçíà÷åíèå P p � �: ,� �{ }" . Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî P çàìêíóòî, ò.å. P P � â òîïîëîãèè �( )� . Òîãäà äëÿ ëþáûõ f B� � � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f f p d f p P p P � � � � � � � �sup sup max " � � p d( )� ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òîïîëîãèè �( )� . Òåì ñàìûì â ñèëó óñëîâèÿ Ó1� äîêàçàíî, ÷òî êàêîâû áû íè áûëè ÑÑÇÐ Z U g� � �( , , ) ( )� �� 1 , à òàêæå u U� è �� 02 1 ( ( ))� äëÿ g ZZ * ( )� � , ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî g u g u g u p dZ p P * ( ) ( ( , )) ( , ) ( ).� � � � � � �� max � Ïîýòîìó � � � � ��01 1 02 1 1 ( ( )) ( ( )) ( ( )). ( ) � � � � �� P Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îáðàòíîãî âêëþ÷åíèÿ çàìåòèì, ÷òî ïðè P P� ( )� ïî ëþ- áîìó ðàñïðåäåëåíèþ p P� ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèîíàë � p ñîãëàñíî ôîð- ìóëå (6). Çàòåì, îáîçíà÷èâ { } p p P, � ÷åðåç "0, ïîëó÷èì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 3 ôóíêöèîíàë � � : , ( ) ( )B f f� � � � sup "0 îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè S1, S2, S3. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèâ äëÿ ëþáîé ÑÑÇÐ Z U g� � �( , , ) ( )� ��1 êðèòåðèé gZ * âèäà g U g u g uZ Z * : , ( ) ( ( , )),� � �� ïîëó÷èì ÏÂÊ äëÿ ��1( )� èç êëàññà � �01 1( ( ))�� , îïðåäåëÿåìîå êðèòåðèåì g Z , ò.å. � ��1( ) ( ( ))� �P � � � �� 01 1 02 1( ( )) ( ( ))� � . Òîãäà � � � � �� 02 1 01 1 1 1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ( ) ( ) � � � � �� P Pco � ��)) ( ( ) / ) ( ) � � �� 1 P ñî . Íàêîíåö, ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó èíúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ � �� 1( )� . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäà íàéäóòñÿ äâå íåñîâïàäàþùèå âûïóêëûå ñòàòèñòè- ÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè P P P1 2, ( ),� � ÷òî äëÿ ëþáîé ÑÑÇÐ Z U g� � �( , , ) ( )� ��1 èìååì ( ( , ), ( , ) ( )) ( ( , ), (g U g u p d g U g p P p P � � � � � � �max max 1 2� � � � �, ) ( )).u p d� Â ñèëó ñèììåòðèè áåç óìåíüøåíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî p P P1 1 2� \ . Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå îòäåëèìîñòè [4, V. 2.12] è òåîðåìe î ïðåä- ñòàâëåíèè ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà B* ( , )� � [4, IV. 5.1] ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò 140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 f B� , ÷òî f p d f p d p P ( ) ( ) ( ) ( ). � � � �� 1 2 max Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî f B a b� 0 ( , ). Îòñþäà ñëå- äóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîé f B a b� 0 ( , ), äëÿ êîòîðîãî max max p P p P f p d f p d � � � �� 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ). � � � � � � Åñëè ÑÑÇÐ Z U g� ( , , )� — îïðåäåëÿþùàÿ, òî ñóùåñòâóåò òàêîå u U� , ÷òî g u f( , ) .� � Âûáåðåì c� òàêîå, ÷òî c� �, à c u� ~ . Òîãäà ïîëó÷èì c c p d f p d f p P p P p P � � � � � � � �max max max 1 1 2 � � � ( ) ( ) ( ) ( ) (� � � � � � � � �� ) ( ) ( ) ( )p d c p d c p P max 2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Ñôîðìóëèðóåì íåñêîëüêî ñëåäñòâèé òåîðåìû 2. Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî êëàññà �� 1 ( )� óñëîâèÿ Ó1�, Ó2� �, Ó3� �, Ó4� � íà ÏÂÊ â êëàññå �� 1 ( )� , ò.å. [Ó1�, Ó2� �, Ó3� �, Ó4� �] â êëàññå �� 1 ( )� ñ ïàðàìåòðîì P P� ( )� , ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé P( )� -ÏÌÏÂÊ â êëàññå �� 1 ( )� . Ñëåäñòâèå 2. Ïðè � �� 2 è � �� 1 ( ) ( )� � ïîëó÷àåì òåîðåìó 1. Ñëåäñòâèå 3. Äëÿ ëþáîé îïðåäåëÿþùåé ÑÑÇÐ Z�� ( )� èìååò ìåñòî �{ } { }Z P Z� � �( ( )) ( ).� �0 Äåéñòâèòåëüíî, ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êëàññ ÏÂÊ �01( ){ }Z ñîâïàäàåò ñ êëàññîì ÏÂÊ �0 ( ){ }Z �Z �( )� . Èç ñëåäñòâèÿ 1 òåîðåìû 2 ïðè � �� 1 ( ) ( )� � ïîëó÷àåì, ÷òî áîëåå ñëàáûå óñëîâèÿ íà ÏÂÊ òàêæå ïîçâîëÿþò ââåñòè ìîäåëü ñèòóàöèè ñîãëàñíî îïðåäåëå- íèþ 3. Óòî÷íèì ýòî ñëåäñòâèå. Ñëåäñòâèå 4. ×åòâåðêà ( , , , )� U g P ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïè- ñàíèåì ñèòóàöèè ñ ÑÑÇÐ Z U g� �( , , ) ( )� �� è çàêîíîìåðíîñòüþ P P� ( )� äëÿ [Ó 1�, Ó2� �, Ó3� �, Ó4� �] â �( )� ñ ïàðàìåòðîì P P� ( )� . Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ÒÏÐ ñ ÏÂÊ èç êëàññà � �02 ( ( ))� ïðèíèìàþò â çàäàí- íîé òàêèì îáðàçîì ìîäåëè ñèòóàöèè îäèíàêîâîå ðåøåíèå. Òåîðåìà 3. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ �� 1 ( )� ëþáîå ÏÂÊ g* ( ( ))� �� 01 01 � ìîæíî, è ïðè ýòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ïðîäîëæèòü äî ÏÂÊ g* ( ( )) .� �� 01 1 � Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ñàìîãî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2, íî åãî ìîæíî ïîëó÷èòü è íåïîñðåäñòâåííî, à èìåííî â ñèëó òåîðåìû 2 äëÿ ëþáîé ÑÑÇÐ Z U g� � �( , , ) ( )� �� 01 èìååì, ÷òî äëÿ g* ( ( ))� �� 01 01 � íàéäåòñÿ åäèíñòâåííàÿ âûïóêëàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü P P� ( )� , äëÿ êîòîðîé g u g u p d u U Z p P * ( ) ( , ) ( ) .� � � �max � � � Ðàññìîòðèì ÏÂÊ g* òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîé ÑÑÇÐ Z U g� � �( , , ) ( )� �� 1 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 141 g u g u p d u U Z p P * ( ) ( , ) ( ) .� � � �max � � � Òàê êàê ñîãëàñíî óñëîâèÿì, îïðåäåëÿþùèì êëàññ �� 1 ( )� , èìååì g u( , )� � � � �g u u U( , ) , òî gZ * áóäåò ïðîäîëæåíèåì g Z * . À â ñèëó òåîðåìû 2 � � � � � � � � 1 01 1( ) ( ( ) / ) ( ( ))� � � �P co , òîãäà ÏÂÊ g* ( ( ))� �� 01 1 � . Ïðè ýòîì îíî åäèíñòâåííî äëÿ íàéäåííîé ñòàòèñ- òè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòè P. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî êëàññà ��1( )� óñëîâèÿ Ó �1 , Ó2 �, Ó3 �, Ó4 � äëÿ ÏÂÊ â êëàññå �� 01 ( )� , ò.å. [Ó �1 , Ó2 �, Ó3 �, Ó4 �] â êëàññå �� 01 ( )� ñ ïàðàìåòðîì P P� ( )� , ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé P( )� -ÏÌÏÂÊ â êëàññå �� 01 ( )� . Â ÷àñòíîñòè, ïðè � �� 1 ( ) ( )� � ïîëó÷èì ñëåäóþùåå. Ñëåäñòâèå 2. ×åòâåðêà ( , , , )� U g P ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïè- ñàíèåì ñèòóàöèè ñ ÑÑÇÐ Z U g� �( , , ) ( )� �� è çàêîíîìåðíîñòüþ P P� ( )� äëÿ [Ó �1 , Ó2 �, Ó3 �, Ó4 �] â �� 01( )� ñ ïàðàìåòðîì P P� ( )� . Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ÒÏÐ ñ ÏÂÊ èç êëàññà � �01 01 ( ( ))�� ïðèíèìàþò â çà- äàííîé òàêèì îáðàçîì ìîäåëè ñèòóàöèè îäèíàêîâîå ðåøåíèå. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü, â ÷àñòíîñòè, òàêèì îáðàçîì: óñëîâèÿ Ó1�, Ó2� �, Ó3� �, Ó4� � ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ òî÷íîé ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è ðåøåíèÿ ñ ëþáîé ìîäåëüþ ñèòóàöèè M Z P� ( , ), ãäå Z U g� � �( , , ) ( )� �� 1 , à P P� ( )� . Ïðè ýòîì êðèòåðèé â ÇÐ çàäàåòñÿ ôóíêöèåé g u g u p dZ p P * ( ) max ( , ) ( )� � � � � � �u U . Áîëåå òîãî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ÒÏÐ, êîòîðûå ñîãëàñíû ñ óêàçàííûìè óñëîâèÿìè äëÿ ñõåì èç êëàññà �� 01( )� , áóäóò òðåáîâàòü ýòè óñëîâèÿ è äëÿ ñõåì êëàññà �� 1( )� . Èíûìè ñëîâàìè, èõ ïðåäïî÷òå- íèÿ íà ìíîæåñòâå ðåøåíèé â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îïðåäåëÿþò ïðåäïî÷òåíèÿ íà âñåõ ðåøåíèÿõ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ì è õ à ë å â è ÷ Â . Ì . Î íåêîòîðûõ êëàññàõ ïðàâèë âûáîðà ïðåäïî÷òåíèé â çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 6. — Ñ. 140–154. 2. È â à í å í ê î Â . È . , Ë à á ê î â ñ ê è é Â . À . Ïðîáëåìà íåîïðåäåëåííîñòè â çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1990. — 135 ñ. 3. Ý ä â à ð ä ñ Ð . Ý . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ / Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: Ìèð, 1969. — 1071 ñ. 4. Ä à í ô î ð ä Í . , Ø â à ð ö Ä æ . Ëèíåéíûå îïåðàòîðû. Îáùàÿ òåîðèÿ / Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: ÈË, 1962. — 895 ñ. Ïîñòóïèëà 15.12.2009 142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2

К параметрической задаче решения с денежными потерями

Репозитарії

Схожі ресурси