Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями
На базі апарату канонічних розкладів випадкових процесів отримано алгоритм визначення оптимальних параметрів дискретного поліноміального фільтра-екстраполятора Вінера для неста-ціонарних випадкових процесів з похибками. The apparatus of canonical decompositions of random processes is used to obtain...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84192 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями / И.П. Атаманюк // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 154-159. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859638005013151744 |
|---|---|
| author | Атаманюк, И.П. |
| author_facet | Атаманюк, И.П. |
| citation_txt | Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями / И.П. Атаманюк // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 154-159. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | На базі апарату канонічних розкладів випадкових процесів отримано алгоритм визначення оптимальних параметрів дискретного поліноміального фільтра-екстраполятора Вінера для неста-ціонарних випадкових процесів з похибками.
The apparatus of canonical decompositions of random processes is used to obtain an algorithm determining the optimal parameters of a discrete polynomial Wiener filter-extrapolator for nonstationary random processes with errors.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:18:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.216
È.Ï. ÀÒÀÌÀÍÞÊ
ÀËÃÎÐÈÒÌ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ
ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÎÃÎ ÔÈËÜÒÐÀ-ÝÊÑÒÐÀÏÎËßÒÎÐÀ ÂÈÍÅÐÀ
ÄËß ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ,
ÍÀÁËÞÄÀÅÌÛÕ Ñ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒßÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, àëãîðèòì îïòèìàëüíîé ýêñòðàïîëÿöèè.
Ïóñòü èññëåäóåìûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X t( ) â äèñêðåòíîì ðÿäó òî÷åê t i ,
i I�1, , èçìåðÿåòñÿ ñ íåêîòîðîé ïîãðåøíîñòüþ Y i( ), â ðåçóëüòàòå èìååò ìåñòî
ñëó÷àéíûé ïðîöåññ èçìåðåíèé Z t( ) :
Z t X t Y t( ) ( ) ( )� � . (1)
Ïîëîæèì, ÷òî ïîëó÷åíû k � 1 ïåðâûõ åãî çíà÷åíèé: Z z( ) ( )� �� , � �1, k . Çà-
äà÷à ýêñòðàïîëÿöèè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íà îñíîâå ýòîé èíôîðìàöèè è àïðè-
îðíûõ ñâåäåíèé î ïðîöåññàõ X t Y t( ), ( ) òðåáóåòñÿ ïîëó÷èòü îïòèìàëüíóþ â ñðåä-
íåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå îöåíêó � ( )X i , i k I� �1, , áóäóùèõ çíà÷åíèé ñîîòâåò-
ñòâóþùåé ðåàëèçàöèè íåíàáëþäàåìîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X t( ) .
Îäèí èç íàèáîëåå èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è — ìåòîä Âèíåðà
[1, 2], ñîãëàñíî êîòîðîìó îöåíêà äàëüíåéøèõ çíà÷åíèé � ( )X i , i k I� �1, , ðåàëèçà-
öèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X t( ) îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
� ( ) ( ), ,X h i z i k I
k
� � �
�
� �
�
� 1
1
.
(2)
 (2) h i k� �( ), ,�1 , — äèñêðåòèçèðîâàííàÿ èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ õàðàêòå-
ðèñòèêà, îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
h i R j R j i j k i k Iz xz
k
�
�
�( ) ( , ) ( , ), , , ,� � � �
�
� 1 1
1
. (3)
Ðåçóëüòàò ïðîãíîçà ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà Âèíåðà íåñìåùåííûé è îáåñ-
ïå÷èâàåò ìèíèìóì ñðåäíåãî êâàäðàòà îøèáêè ýêñòðàïîëÿöèè. Îäíàêî îáëàñòü
ïðèìåíåíèÿ äàííîãî àëãîðèòìà ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åíà òåì, ÷òî ïðè åãî ïîëó-
÷åíèè èñïîëüçîâàíû ïðåäïîëîæåíèÿ î ñòàöèîíàðíîñòè èññëåäóåìîãî ñëó÷àéíîãî
ïðîöåññà X t( ) è ïðîöåññà ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé Y t( ) .  [3] äàííîå îãðàíè÷å-
íèå ñíÿòî è ïîëó÷åíî îïòèìàëüíîå â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå ðåøåíèå çà-
äà÷è ôèëüòðàöèè-ýêñòðàïîëÿöèè íåñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà:
m i
i I
m i z mx z
x z x z
/
( )
/
( )
/
(( )
, , , ,
( ) [ ( )
�
� �
�
�
�
� �
� �� �
0 0 1
1 1) ( )] ( ), , , , .� � � �� i k i I� � �
�
�
1 1 (4)
Àëãîðèòì (4) èìååò ýêâèâàëåíòíóþ ÿâíóþ ôîðìó çàïèñè:
m i z b i i k I
x z
k k
k
/
( ) ( )( ) ( ) ( ), ,� � �
�
� � �
�
1
1
, (5)
ãäå
b i
b i b k B i k
i
k
k k
k
k
�
� � �
� �
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ), ;
( ),
�
� � �
�
� �1 1 1
k.
�
�
(6)
154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
� È.Ï. Àòàìàíþê, 2011
Ïàðàìåòðû àëãîðèòìà (4), (5) ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè êàíîíè÷åñêîãî ðàçëîæå-
íèÿ [4, 5] ñìåøàííîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { } = {X Z Z
( ), ( ),1 2 �
� �, ( ), ( ), , ( )Z k X k X I�1 }, ñî÷åòàþùåé â ñåáå êàê ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé äî i k� ,
òàê è äàííûå î ïðîöåññå X t( ) äëÿ i k I� �1, :
X i U i i I
i
� �
�
�( ) ( ), ,� �
�
� 1
1
; (7)
U Z i U i i ki
i
� � �
�
�
�( ) ( ), ,�
�
��
1
1
1 ; (8)
U X i U i i k Ii
i
� � � �
�
�
�( ) ( ), ,�
�
��
1
1
1 ;
(9)
D D i D i i ki z
i
� � �
�
�
�( ) ( ), ,� �
�
�2
1
1
1 ; (10)
D D i D i i k Ii x
i
� � � �
�
�
�( ) ( ), ,� �
�
�2
1
1
1 ; (11)
� � � � � � ��
�
�
( ) ( , ) ( ) ( ) , , , ,i
D
R i D i k i kz j j
j
j� � � �
�
�
�
1
1
1
1
{ } ; (12)
� � � � � ��
�
�
( ) ( , ) ( ) ( ) , , ,i
D
R i D i k i kzx j j
j
j� � � � �
�
�
�
1
1
1
1
{ } 1, I; (13)
� � � � ��
�
�
( ) ( , ) ( ) ( )i
D
R i D ix j j
j
j� �
�
�
�
�
� �
�
�
1
1
1
, � � � � �k I i k I1 1, , , . (14)
Ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê àëãîðèòìà (4), (5) — ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èè â
èññëåäóåìîì ñëó÷àéíîì ïðîöåññå X t( ) òîëüêî êîððåëÿöèîííûõ ñâÿçåé.
Ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì Âèíåðà ïîçâîëÿåò ó÷åñòü â ðåøåíèè çàäà÷è ïðî-
ãíîçà ñòîõàñòè÷åñêèå ñâÿçè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ:
� ( ) ( ) ( ), , , ,( )
X i h i z j N i k Ij
N
j
k
� � � �
��
�� � �
�
� 1 1
11
. (15)
Îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ äèñêðåòèçèðîâàííîé èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé õàðàê-
òåðèñòèêè h ij
( ) ( )� , j k�1, , � �1, N , i k I� �1, , îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
h i M Z j Z M Z X ij
N
j
k
l l( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]�
�
� � �
��
�� �
11
,
j k, ,� �1 , �, ,l N�1 , i k I� �1, . (16)
Îäíàêî ìåòîä (15), êàê è ôèëüòð-ýêñòðàïîëÿòîð (2), ïðèìåíÿåòñÿ òîëüêî äëÿ
ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.  ýòîé ñâÿçè âîçíèêàåò çàäà÷à ñíÿòèÿ óêà-
çàííîãî îãðàíè÷åíèÿ äëÿ íåëèíåéíîãî ñëó÷àÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü èññëåäóåìûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X t( ) ïîëíîñòüþ çàäàí â äèñêðåòíîì ðÿäó
òî÷åê t i Ii , ,�1 , äèñêðåòèçèðîâàííîé ìîìåíòíîé ôóíêöèåé M X X ih[ ( ) ( )]� � ,
� �, , , , ,h N i I� �1 1 . Òàêæå èçâåñòíû ñòîõàñòè÷åñêèå ñâîéñòâà M Y Y ih[ ( ) ( )]� � ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 155
�, ,h N�1 , �, ,i I�1 , ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà Y t( ) ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé. Áåç
îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîñëåäóþùåãî èçëîæåíèÿ ïîëîæèì M X i[ ( )] � 0 ,
M Y i[ ( )] � 0 , i I�1, . Íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü îïòèìàëüíûé â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñ-
êîì ñìûñëå àëãîðèòì ýêñòðàïîëÿöèè äàëüíåéøèõ çíà÷åíèé èññëåäóåìîãî ïðî-
öåññà X t( ) ïî ðåçóëüòàòàì ïîñëåäîâàòåëüíûõ èçìåðåíèé z( )� , � �1, k .
ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß
Ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è ìîæíî ïîëó÷èòü íà áàçå ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîëèíîìè-
àëüíîãî ðàçëîæåíèÿ [6, 7] ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }X
:
X i W i i I
Ni
� �
��
��( ) ( ), ,( ) ( )
�
�
��
�
��
11
1 1 . (17)
Ýëåìåíòû ðàçëîæåíèÿ (17) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ðåêóððåíòíûìè ñî-
îòíîøåíèÿìè:
W W Wj
j
N
j j
j
�
� �
�
�
�
�� �
�
� � �( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )� � �
��
�
�
�
��Z
11
1
1
1
� �� � �
��
( ) ( ), ,j
k1 ;
(18)
W X W Wj
j
N
j j
j
�
� �
�
�
�
�� �
�
� � �( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )� � �
�
�
�
�
�
��
1
1
1
1
1
�
� � �
1
1� � �
��
( ) ( ), ,j
k I; (19)
D M W M Z D j
j
N
� �
� �
�
�
��
� � � �( ) [ ] [ ( )] ( )( ) (� � �
��
�
��{ } {2 2
11
1
j) ( )� }2 �
� �
�
�
�D kj
j
j( ) ( ) , ,( )� � � �
�
��
1
1
2 1{ } ;
(20)
D M W� �
��( ) [ ]( )� �{ }2
� � �
��
�
�
��M X D Dj
j
N
j
j
j
[ ( )] ( ) ( ) ( )( )2
11
1
2
1
�
�
�
��
�
� � � � �{ }
�
� � �
1
2 1{ }� � �
��
( ) ( ) , ,j
k I; (21)
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
h
h
hi
M W Z i
M W D
M Z Z
( )
( )
( )
( )
[ ( )]
[ ] ( )
[ ( )� �
{ }2
1
( )]i �
�
�
� �
��
�
�
�
�� �D i Dj
j
N
j
h
j
j
j11
1
1
1
�
�
�� �
�
� � � � � �( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
�� �
� �( ) ( )( ) ( ) ,j
h
j
i
�
�
�
(22)
� �� � � �1 1, , ,h i k
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
h
h
hi
M W X i
M W D
M Z X
( )
( )
( )
( )
[ ( )]
[ ] ( )
[ ( )� �
{ }2
1
( )]i �
�
�
� �
��
�
�
�
�� �D i Dj
j
N
j
h
j
j
j11
1
1
1
�
�
�� �
�
� � � � � �( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
�� �
� �( ) ( )( ) ( )j
h
j
i
�
�
�
,
� �� � � �1 1 1, , , ,h k i k ; (23)
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
h
h
hi
M W X i
M W D
M X X
( )
( )
( )
( )
[ ( )]
[ ] ( )
[ ( )� �
{ }2
1
( )]i �
�
�
156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
� �
��
�
�
�
�� �D i Dj
j
N
j
h
j
j
j11
1
1
1
�
�
�� �
�
� � � � � �( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
�� �
� �( ) ( )( ) ( ) ,j
h
j
i
�
�
�
(24)
� �� � � �1, , .h k i I
 êàíîíè÷åñêîì ðàçëîæåíèè (17) ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X t( ) ïðåäñòàâëåí â èñ-
ñëåäóåìîì ðÿäó òî÷åê t i , i I�1, , ñ ïîìîùüþ N ìàññèâîâ { }W ( )� , � �1, N , íåêîððå-
ëèðîâàííûõ öåíòðèðîâàííûõ ñëó÷àéíûõ êîýôôèöèåíòîâ Wi
( )� , i I�1, . Äàííûå
êîýôôèöèåíòû ñîäåðæàò èíôîðìàöèþ î çíà÷åíèÿõ Z i� ( ) , � �1, N , i k�1, , è
X i� ( ) , � �1, N , i k I� �1, , à êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè �
�
�
h
i
( ) ( ) �, h N�1, , v i I, ,�1 ,
îïèñûâàþò âåðîÿòíîñòíûå ñâÿçè ïîðÿäêà � � h ìåæäó ñå÷åíèÿìè t� è t i , v i I, ,�1 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ èçâåñòíî çíà÷åíèå z( )1 ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòè { }X
â òî÷êå t1. Ñëåäîâàòåëüíî, èçâåñòíû çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
W1
( )� , � �1, N :
w z M Z w I
j
j
j
1 1
1
1
11 1 1 1( ) ( ) ( )( ) [ ( )] ( ), ,� � �
�
�
� �� � � �
�
�
� . (25)
Ïîäñòàíîâêà w1
1( ) â (17) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïîëèíîìèàëüíîå êàíîíè÷åñêîå
ðàçëîæåíèå àïîñòåðèîðíîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }X X i z
�
( , ) ( / ( ))11
1 1 :
X i X i z z i W
N
�
� �
�
�( , ) ( ) ( ) (( ) ( / ( )) ( ) ( )11
11
1
1
2
111 1 � ��
�
�) ( )i �
� �
��
�� W i i I
Ni
�
�
��
�
��( ) ( ) ( ), ,
12
1 1 . (26)
Ïðèìåíåíèå ê (26) îïåðàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äàåò îïòèìàëüíóþ
ïî êðèòåðèþ ìèíèìóìà ñðåäíåãî êâàäðàòà îøèáêè ýêñòðàïîëÿöèè îöåíêó áóäó-
ùèõ çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }X ïðè óñëîâèè, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàííîé
îöåíêè èñïîëüçóåòñÿ îäíî çíà÷åíèå z( )1 :
m i M X i z z i i I
x z/
( , ) ( )( ) [ ( / ( ))] ( ) ( ), ,11
11
11 1 1�
� �� . (27)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè �
�
�
h
i
( ) ( ) , �, ,h N�1 , �, ,i I�1 , îïðåäåëÿ-
þòñÿ èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ñðåäíåãî êâàäðàòà îøèáêè ïðèáëèæåíèÿ â ïðîìåæóò-
êàõ ìåæäó ïðîèçâîëüíûìè çíà÷åíèÿìè Z � �( ) è X ih ( ), âûðàæåíèå (27) ìîæíî îá-
îáùèòü íà ñëó÷àé ïðîãíîçèðîâàíèÿ x ih ( ) , h N�1, :
m h i M X i z z i i k I
x z
h
h/
( , ) ( )( , ) [ ( / ( ))] ( ) ( ), ,11
1
11 1 1� � � �� . (28)
Êîíêðåòèçàöèÿ â (26) âòîðîãî çíà÷åíèÿ w1
2( ) äàåò êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå
àïîñòåðèîðíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { } zX X i z
�( , ) ( / ( ), ( ) )1 2
1 1
21 1 :
X i X i z z z i z z
� � � �( , ) ( )( ) ( / ( ), ( ) ) ( ) ( ) [ ( ) (1 2 2
11
1 21 1 1 1� 1 1 121
1
11
2) ( )] ( )( ) ( )� � �
� �
�
�
�
�
�
� ��W i W i
N Ni
1
3
1
11
1
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),�
�
�
�
�
��
�
�� � i I�1, . (29)
Ïðèìåíåíÿÿ ê (29) îïåðàöèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è èñïîëüçóÿ âûðà-
æåíèå (28), ïîëó÷àåì àëãîðèòì ýêñòðàïîëÿöèè ïî äâóì çíà÷åíèÿì z z1 1
21 1( ), ( ) :
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 157
158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2
m h i M X i z z m h i
x z
h
x z/
( , )
/
( , )( , ) [ ( / ( ), ( ) )] ( , )1 2 2 111 1� � �
� � � �[ ( ) ( , )] ( ), ,/
( , ) ( )
z m i i k I
x z
2 11
11
21 2 1 1� . (30)
Îáîáùåíèå ïîëó÷åííîé çàêîíîìåðíîñòè ïîçâîëÿåò çàïèñàòü àëãîðèòì ïðî-
ãíîçà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà èçâåñòíûõ çíà÷åíèé:
m h i
m h i z m l
x
l x
l h
x
l
( , )
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( ( ) ( , ))
�
� �� �
�
� �� �1 1 �
�
�
� �
h
l
x
N h
x
N
i l
m h i z m l
( )
( , ) ( , )
( ), ,
( , ) ( ( ) ( ,
�
� �� � �
1
1 1 1 � �
�
)) ( ), .( )
h
i l
1 1�
�
�
(31)
Âûðàæåíèå m h i M X i z j j N
x z
l h
/
( , ) ( , ) [ ( ) / ( ), , , , ;� � � �� � � �1 1 1 z l� � �( ), , ]�1
äëÿ h �1, l N� , � � k ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé îïòèìàëüíîé îöåíêîé m i
x z
k N
/
( , ) ( , )�1 1
áóäóùåãî çíà÷åíèÿ x i( ) , i k I� �1, , ïðè óñëîâèè, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ äàííîé
îöåíêè èñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ z j� ( ) , � �1, N , j k�1, , ò.å. èçâåñòíû ðåçóëüòàòû
èçìåðåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }X
â òî÷êàõ t j , j k�1, .
Âûðàæåíèå äëÿ èñêîìîé îöåíêè m i
x z
k N
/
( , ) ( , )1 ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì
âèäå:
m i z j S i N
x z
k N
j N
kN
N
j
k
/
( , )
( )
( )( , ) ( ) (( )1 11
11
� �
� �
��
�� �
�
�
� � �1 1), ,i k I, (32)
ãäå
S
S S
j N
j N j N
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) (
� �
� �
�
� �
�
�
�
1
1
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
� �) ( ), ( ) ;
([ / ]
( ),
( )
( ),
( )
� � �
� �
�
�
�
�
mod
mod
N
N
j
j
i j N
N
� � � �1 1
� � � � �
�
1 1 0), ( ) , / ;
( )([ / ]), (
( ),
( )
� � �
� � �
�
�
j N N
i N
N j
{ }
mod
j N N� �
�
�
1 0) , / .� �{ } =
(33)
Ïðè ýòîì ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè ýêñòðàïîëÿöèè îïðåäåëÿåòñÿ âûðà-
æåíèåì
M X i z j N j k m ix
k N[ ( / ( ), , , , ) ( , )]( , )� � � � � �1 1 1
� �
��
��M X i M W ij j
N
j
k
[ ( )] [( ) ]( ( ))( ) ( )2 2
1
2
11
� �
�
� , i k I� �1, . (34)
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÝÊÂÈÂÀËÅÍÒÍÎÑÒÈ
 ñëó÷àå, êîãäà ïðîãíîçèðóåìûé ïðîöåññ X t( ) è ïðîöåññ ïîãðåøíîñòåé èçìå-
ðåíèé Y t( ) ñòàöèîíàðíû, àëãîðèòì ïðîãíîçà (15) è (32) ñîâïàäàþò.
Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñâÿçè ìåæäó h ij
( ) ( )� è S i N
j N
kN
( )
( ) (( ) )
� �
� �1 1 1
�
ðàññìîòðèì
ïîäðîáíåå ìåõàíèçì ôîðìèðîâàíèÿ îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé h ij
( ) ( )� .
Ïðè èñïîëüçîâàíèè äëÿ ïðîãíîçà îäíîãî èçìåðåíèÿ z( )1 îïòèìàëüíîå çíà÷å-
íèå êîýôôèöèåíòà h i1
1( ) ( ) ñîãëàñíî (16) îïðåäåëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿ
h i
M Z X i
M Z
1
1
2
1
1
( ) ( )
[ ( ) ( )]
[ ( )]
� .
Ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ýëåìåíòîâ êàíîíè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ (17) è ñîîòíîøåíèÿ
(33) äëÿ ïîèñêà çíà÷åíèé âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ èìååì h i i S i1
1
11
1
1
1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )� �� .
Ïðè èñïîëüçîâàíèè äëÿ ïðîãíîçà äâóõ çíà÷åíèé: z z( ), ( )1 12 ñèñòåìà óðàâíå-
íèé (16) ïðèíèìàåò âèä
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 2 159
h i M Z Z h i M Z Z M Z X i
1
1
1
2 21 1 1 1 1( ) ( )( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) (� � )],
( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] [( ) ( )
h i M Z Z h i M Z Z M Z1
1 2
1
2 2 2 21 1 1 1� � ( ) ( )].1 X i
�
�
Èñïîëüçóÿ ìåòîä Ãàóññà, ïîëó÷àåì
h i h i
M Z
M Z
M Z X i
M Z
1
1
1
2
3
2 2
1
1
1( ) ( )( ) ( )
[ ( )]
[ ( )]
[ ( ) ( )]
[ (
� �
1
1
1
1
11
2 4
2 3
2
2
)]
,
( )( [ ( )
[ ( )]
[ ( )]
) [ ( ) (( )
h i M Z
M Z
M Z
M Z X i� � )]
[ ( ) ( )] [ ( )]
[ ( )]
.�
�
�
M Z X i M Z
M Z
1 1
1
3
2
(35)
Ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ýëåìåíòîâ êàíîíè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ (17) ñèñòåìó óðàâ-
íåíèé (35) çàïèøåì òàê:
h i h i i
h i
1
1
1
2
21
1
11
1
1
2
11
1( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
( ) ( ) ( ) ( ),
( )
� �
�
� �
� 2) ( ).i
�
�
Èç ñèñòåìû âûòåêàþò âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé
h i1
1( ) ( ) è h i1
2( ) ( ) :
h i i i h i1
1
11
1
11
2
21
1
1
2
111( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), ( )� � �� � � � ( ) ( )2
i .
Äàííûå âûðàæåíèÿ, êàê è â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ îäíîãî çíà÷åíèÿ z( )1 äëÿ
ïðîãíîçà, ñîâïàäàþò ñ âûðàæåíèÿìè äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ
àëãîðèòìà (32).
Èòàê, äëÿ N k� �2 1, , h i S i1
1
1
2 2 1( ) ( )( ) ( )� � , h i S i1
2
2
2 2 1( ) ( )( ) ( )� � .
Ïðîäîëæàÿ ðàññóæäåíèÿ äëÿ âîçðàñòàþùèõ íîìåðîâ N è k, íåñëîæíî óáå-
äèòüñÿ, ÷òî äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ àëãîðèòì (32) è àëãîðèòì
Âèíåðà ñîâïàäàþò.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïîëó÷åí àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé ïîëèíîìèàëüíîãî âèíåðîâ-
ñîãî ôèëüòðà-ýêñòðàïîëÿòîðà äëÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, íàáëþäàå-
ìûõ ñ ïîãðåøíîñòÿìè. Óíèâåðñàëüíîñòü ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òåì,
÷òî êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå (17) ñóùåñòâóåò è òî÷íî îïèñûâàåò â òî÷êàõ äèñ-
êðåòíîñòè ëþáîé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé. Îïðåäåëåíèå îïòè-
ìàëüíûõ èìïóëüñíûõ ïåðåõîäíûõ ôóíêöèé íà îñíîâå âûðàæåíèÿ (33) ñóùåñòâåííî
ïðîùå ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîöåäóðîé ôîðìèðîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíå-
íèé (16) äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà èçìåðåíèé è ïîðÿäêà íåëèíåéíîñòè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Â è í å ð Í . Ýêñòðàïîëÿöèÿ, èíòåðïîëÿöèÿ è ñãëàæèâàíèå ñòàöèîíàðíûõ âðåìåííûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ èíæåíåðíûìè ïðèëîæåíèÿìè. — Íüþ-Éîðê: Äæ. Âèëåé, 1949. — 250 ñ.
2. Ä ð à ã à í ß . Ï . Ìîäåëè ñèãíàëîâ â ëèíåéíûõ ñèñòåìàõ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1972. — 302 ñ.
3. Ê ó ä ð è ö ê è é Â . Ä . À ò à ì à í þ ê È . Ï . Àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ
ôèëüòðà-ýêñòðàïîëÿòîðà Âèíåðà äëÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, íàáëþäàåìûõ
ñ ïîãðåøíîñòÿìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1996. — ¹ 3. — Ñ. 183–186.
4. Ï ó ã à ÷ å â  . Ñ . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé è åå ïðèìåíåíèå. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1962. — 720 ñ.
5. Ê ó ä ð è ö ê è é  . Ä . Ïðîãíîçèðîâàíèå íàäåæíîñòè ðàäèîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ. — Êèåâ: Òåõí³êà,
1982. — 168 ñ.
6. À ò à ì à í þ ê È . Ï . Âåêòîðíîå ïîëèíîìèíàëüíîå êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà //
Òåõíè÷åñêàÿ äèàãíîñòèêà è íåðàçðóøàþùèé êîíòðîëü. — 2003. — ¹ 1. — Ñ. 40–43.
7. À ò à ì à í þ ê È . Ï . Àëãîðèòì ýêñòðàïîëÿöèè íåëèíåéíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íà áàçå åãî
êàíîíè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2005. — ¹ 2. — Ñ. 267–273.
Ïîñòóïèëà 27.04.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84192 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:18:17Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Атаманюк, И.П. 2015-07-03T15:51:13Z 2015-07-03T15:51:13Z 2011 Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями / И.П. Атаманюк // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 2. — С. 154-159. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84192 519.216 На базі апарату канонічних розкладів випадкових процесів отримано алгоритм визначення оптимальних параметрів дискретного поліноміального фільтра-екстраполятора Вінера для неста-ціонарних випадкових процесів з похибками. The apparatus of canonical decompositions of random processes is used to obtain an algorithm determining the optimal parameters of a discrete polynomial Wiener filter-extrapolator for nonstationary random processes with errors. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями Алгоритм визначення оптимальних параметрів поліноміального фільтра-екстраполятора Вінера для нестаціонарних випадкових процесів, що спостерігаються з похибками An algorithm to determine optimal parameters of a polynomial Wiener filter-extrapolator for nonstationary random processes observed with errors Article published earlier |
| spellingShingle | Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями Атаманюк, И.П. Системный анализ |
| title | Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями |
| title_alt | Алгоритм визначення оптимальних параметрів поліноміального фільтра-екстраполятора Вінера для нестаціонарних випадкових процесів, що спостерігаються з похибками An algorithm to determine optimal parameters of a polynomial Wiener filter-extrapolator for nonstationary random processes observed with errors |
| title_full | Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями |
| title_fullStr | Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями |
| title_full_unstemmed | Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями |
| title_short | Алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора Винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями |
| title_sort | алгоритм определения оптимальных параметров полиномиального фильтра-экстраполятора винера для нестационарных случайных процессов, наблюдаемых с погрешностями |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84192 |
| work_keys_str_mv | AT atamanûkip algoritmopredeleniâoptimalʹnyhparametrovpolinomialʹnogofilʹtraékstrapolâtoravineradlânestacionarnyhslučainyhprocessovnablûdaemyhspogrešnostâmi AT atamanûkip algoritmviznačennâoptimalʹnihparametrívpolínomíalʹnogofílʹtraekstrapolâtoravíneradlânestacíonarnihvipadkovihprocesívŝosposterígaûtʹsâzpohibkami AT atamanûkip analgorithmtodetermineoptimalparametersofapolynomialwienerfilterextrapolatorfornonstationaryrandomprocessesobservedwitherrors |