Cover Image

Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных

Досліджено динаміку стаціонарних структур у нелінійному оптичному резонаторі з перетворенням відображення в двовимірному оберненому зв’язку. Математичною моделлю системи є скалярне параболічне рівняння з відображенням просторових змінних та умовою Неймана на квадраті. Досліджено еволюцію структур та...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Кибернетика и системный анализ
Date:2011
Main Author: Белан, Е.П.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Subjects:
Кибернетика
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84199
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных / Е.П. Белан // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 33-41. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860231550824611840
author Белан, Е.П.
author_facet Белан, Е.П.
citation_txt Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных / Е.П. Белан // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 33-41. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
description Досліджено динаміку стаціонарних структур у нелінійному оптичному резонаторі з перетворенням відображення в двовимірному оберненому зв’язку. Математичною моделлю системи є скалярне параболічне рівняння з відображенням просторових змінних та умовою Неймана на квадраті. Досліджено еволюцію структур та їх стійкість при зменшенні коефіцієнта дифузії. Встановлено, що число стійких стаціонарних структур при цьому зростає. Використовується метод центральних многовидів та метод Гальоркіна. Properties of stationary structures in a nonlinear optical resonator with a lateral inversions trans-former in feedback are investigated. A mathematical description of optical structures is based on a scalar parabolic equation with an inversion transformation of its spatial arguments and the Neumann condition on a square. The evolution of forms of stationary structures and their stability with decreasing the diffu-sion coefficient are investigated. It is shown that the number of stable stationary structures increases with decreasing the diffusion coefficient. In this work, the center manifold method and Galerkin method are used.
first_indexed 2025-12-07T18:22:09Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 517.9 Å.Ï. ÁÅËÀÍ ÄÂÓÌÅÐÍÛÅ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÅ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ Â ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÎÌ ÓÐÀÂÍÅÍÈÈ Ñ ÎÒÐÀÆÅÍÈÅÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÛÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ Êëþ÷åâûå ñëîâà: îïòè÷åñêèå ñèñòåìû, îáðàòíàÿ ñâÿçü, ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâ- íåíèÿ, áèôóðêàöèÿ, öåíòðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ, óñòîé÷èâîñòü, áóôåðíîñòü. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Îïòè÷åñêèå ñèñòåìû ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ [1, 2] äåìîíñòðèðóþò øèðî- êèå âîçìîæíîñòè èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ çàðîæäåíèÿ è ðàçâèòèÿ äèññèïàòèâ- íûõ ñòðóêòóð. Îáðàòíàÿ ñâÿçü ïîçâîëÿåò âîçäåéñòâîâàòü íà äèíàìèêó ñèñòåìû ïîñðåäñòâîì óïðàâëÿåìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ ïðèç- ìàìè, ëèíçàìè, äèíàìè÷åñêèìè ãîëîãðàììàìè è äðóãèìè óñòðîéñòâàìè. Íåëè- íåéíûé èíòåðôåðîìåòð ñ çåðêàëüíûì îòðàæåíèåì ïîëÿ â äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçè — íàèáîëåå ïðîñòàÿ îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà, â êîòîðîé ðåàëèçóåòñÿ íåëîêàëü- íûé õàðàêòåð âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòîâûõ ïîëåé.  ýòîì ñëó÷àå ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî ìíîãîîáðàçèå îïòè÷åñêèõ ñòðóêòóð, âûÿâëåíà çàâèñèìîñòü èõ êîëè- ÷åñòâà è ôîðì îò êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè [3–5]. Ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ ÿâëÿþòñÿ ïîëóëèíåéíûå ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïðî- ñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ.  äàííîé ðàáîòå èññëåäóåòñÿ çàäà÷à Íåéìàíà íà êâàäðàòå äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðåîáðàçîâàíèåì îòðàæåíèÿ ïðî- ñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé. Ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ñóùåñòâîâàíèÿ, óñòîé÷è- âîñòè è àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìû åe ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñòàöèîíàð- íûõ ðåøåíèé, âîçíèêàþùèõ èç ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîãî ðåøåíèÿ. Ñëå- äóÿ [6], ñòðîèòñÿ èåðàðõèÿ óïðîùåííûõ ìîäåëåé óêàçàííîé çàäà÷è. Ýòîò ïîäõîä ïîçâîëÿåò îñâåòèòü âîïðîñû ðàçâèòèÿ è âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð ïðè çíà÷èòåëüíîì îòêëîíåíèè áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà îò áèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé. Ïîëó÷åííûå ïðè ýòîì ðåçóëüòàòû ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåí- íîãî èññëåäîâàíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è [3–5]. Îòìåòèì, ÷òî ðîäñòâåííûå çàäà÷è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàëèñü â [2, 7, 8]. 1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Íà êâàäðàòå P x y x y� � � � � � � � � � � � � ( , ): , � � 2 2 ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó [1, 3, 4] � � � � � �t u x y t u x y t D u x y t K u x y t( , , ) ( , , ) ( , , ) ( cos ( , , )),� 1 � t � 0, (1) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �x x yu y t u y t u x t � � � 2 2 2 , , , , , , � � � � � �yu x t, , � 2 0 . (2) Çàäà÷à (1), (2) ìîäåëèðóåò äèíàìèêó ôàçîâîé ìîäóëÿöèè u x y t( , , ) ñâåòîâîé âîë- íû, ïðîøåäøåé òîíêèé ñëîé íåëèíåéíîé ñðåäû êåððîâñêîãî òèïà ñ ïðåîáðàçî- âàíèåì îòðàæåíèÿ êîîðäèíàò â äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçè. Çäåñü � — îïåðàòîð Ëàïëàñà, D � 0 — ýôôåêòèâíûé êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ÷àñòèö íåëèíåéíîé ñðå- äû, 0 1� �� — êîíòðàñòíîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû, K � 0 — êîýôôèöè- åíò, ïðîïîðöèîíàëüíûé èíòåíñèâíîñòè ñâåòîâîãî ïîòîêà. Îáîçíà÷èì H L P� 2 ( ) ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ íà P ôóíêöèé. Øêàëó ïðîñòðàíñòâ, ïîðîæäåííóþ îïåðàòîðîì �� ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (2), ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 33 © Å.Ï. Áåëàí, 2011 îáîçíà÷èì H s, s Z� � . Íîðìà â ïðîñòðàíñòâå H s, s Z� � , îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé || || ( ) , ,u u u u us s2 �� � � �� �� . Çäåñü � �*,* — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ãèëüáåð- òîâîì ïðîñòðàíñòâå H .  äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ñóùåñòâîâàíèÿ, ôîðìû è óñòîé- ÷èâîñòè â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà H 1 ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñòàöèîíàð- íûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1), (2), áèôóðöèðóþùèõ èç ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûõ ðåøåíèé u t x w( , ) � , ò.å. èç ðåøåíèé óðàâíåíèÿ w K w� �( cos ).1 � (3) Ñ ðîñòîì K êîëè÷åñòâî ñóùåñòâóþùèõ êîðíåé ýòîãî óðàâíåíèÿ íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò, ïðè÷åì ïðè K � � èõ ñîñòàâ ïîñòîÿííî îáíîâëÿåòñÿ: ðîæäàþòñÿ íî- âûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ è èñ÷åçàþò ñòàðûå.  ýòîé ñâÿçè ôèêñèðóåì êà- êóþ-ëèáî ãëàäêóþ âåòâü ðåøåíèé w w K K w K� � �( ), sin ( )1 0� (4) óðàâíåíèÿ (3). Çàòåì ëèíåàðèçóåì çàäà÷ó (1), (2) íà w K( ) : � ,u u� �L 0 ãäå L � � � � � � � �1 D Q Qu x y u x y K K w K� � � �, ( , ) ( , ), ( ) sin ( ).� (5) Ëèíåéíûé îïåðàòîð L ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ H 2 , ðàññìàòðèâàåìûé êàê íåîãðàíè÷åííûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå H , — ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Ìå- òîäîì Ôóðüå óñòàíàâëèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà. Ëåììà 1. Îïåðàòîð L â ïðîñòðàíñòâå H èìååò ïîëíóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñ- òåìó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé e x y k x s y e x yk s k s2 1 2 1 2 1 22 1 2 1� � �� � �, ,( , ) sin( ) sin( ) , ( , ) � �sin( ) cos ,2 1 2k x sy e x y kx s y e x y kxk s k s2 2 1 2 22 2 1 2, ,( , ) cos sin( ) , ( , ) cos c� � � � os , , , , , ,2 0 1 2sy k s � � ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì � �2 1 2 2 2 2 21 2 1 1 2k s k sD k s D k s� � � � � � � � � �, ,(( ) ) , (( ) )� �. Âûáåðåì òåïåðü K òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå óñëîâèå. Óñëîâèå 1. � �� � �( )K 1 . Ïðîáëåìà ðåàëèçóåìîñòè ýòîãî óñëîâèÿ èññëåäîâàíà â [9, 10]. Åñëè D D� � � � 1 0 1 , ( )� , òî ñîãëàñíî ëåììå 1 w w K� ( ) — óñòîé÷èâîå ðåøå- íèå çàäà÷è (1), (2). Ïðè óáûâàíèè ïàðàìåòðà D è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç çíà÷åíèå D1 0, ðåøåíèå w w K� ( ) òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü. Îáîçíà÷èì D D k s k s2 1 1 2 22 1 � � � � , ( ) , k � 0 1 2 3, , , ,� , s �1 2 3, , ,� Åñëè D D D1 1 1 0, ,� � , òî èíäåêñ íåóñòîé÷èâîñòè [11, ãë. 6.4] ðåøåíèÿ w w K� ( ) ðàâåí 1. Èíäåêñ íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ w ïîâû- øàåòñÿ íà åäèíèöó ïðè óìåíüøåíèè D è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç D k s2 1� , , k � 0 1 2, , ,� , s � 0 1 2, , ,� Ïàðàìåòð D äàëåå ïðèíèìàåòñÿ â êà÷åñòâå áèôóðêàöèîí- íîãî. ×òîáû ïîä÷åðêíóòü çàâèñèìîñòü L, �k s, , k � 0 1 2, , ,� , s � 0 1 2, , ,� , îò ïàðà- ìåòðà D, èíîãäà áóäåì îáîçíà÷àòü èõ L ( )D , � k s D, ( ) ñîîòâåòñòâåííî. 2. ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ È ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ Ïðåîáðàçîâàíèå u w� � � ïðèâîäèò çàäà÷ó (1), (2) ê âèäó � ( ) ( ).� � �� � �L D Q (6) 34 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: � � � � � �( ) ( ), .� � � � 1 2 1 6 1 2 3 4 1� � � �O wctg (7)  êà÷åñòâå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà óðàâíåíèÿ, ò.å. åãî ïðîñòðàíñòâà íà÷àëü- íûõ óñëîâèé, ïðèìåì ïðîñòðàíñòâî H 1. Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå H 1 ïîðîæäàåò íåïðåðûâíóþ ïîëóãðóïïó. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå 1. Ñóùåñòâóåò � � 0 òàêîå, ÷òî ïðè 0 1 0 � � �D D , � çàäà÷à (1), (2) èìååò äâà ñòàöèîíàðíûõ ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíî- ðîäíûõ ðåøåíèÿ u x D w x D 1 0 1 0, , ( , ) ( , )� �� � � , ãäå � � � � �1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 0 04 1 2, , , / , , , sin� � � � � � � � � �c x c � 1 0 2 0 1 0 1 2 2 , , , cos� � � � � � � � � � x � � � � � � � � � � � � � 1 24 3 2 11 0 1 0 3 2 1 2 2 0 1 0 3 � � � � , , , , ,c � � 0 1 03 3 � � � � , sin ( , ).x r x D Çäåñü r x D O D D� � �( , ) (( ) ), / 1 0 3 2 , c1 0 1 2 0 0 1 1 2 0 1 1 1 4 1 2 1 2 2 1 8 , , , , ,( ) .� � � � � � � � � � �� � � � � � Ðåøåíèÿ u x D 1 0, ( , )� ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâû. Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû òàêîâà, êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùåé òåîðåìû. Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå 1. Ñóùåñòâóåò � � 0 òàêîå, ÷òî ïðè 0 1 1 � � �D D , � çàäà÷à (1), (2) èìååò äâà ñòàöèîíàðíûõ ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíî- ðîäíûõ ðåøåíèÿ u x y D w x y D 1 1 1 1, , ( , , ) ( , , )� �� � � , ãäå � � � �1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 04 1 , , , / , , , sin sin� � � � � � � � � c x y c � 0 1 1 2 0 1 12 1 2 2 � � � � � � � � � � �, , , cos x � � � � � � 1 2 2 1 2 2 2 0 2 1 1 2 2 1 1� � � �, , , , cos cos cosy x y � � � � � � � � � � 1 64 2 2 1 2 1 1 1 1 3 2 2 0 1 1 2 2 1 1 � � � � � , , / , , , ,c � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 3 1 1 1 2 3 3 sin sin , , x y � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1 2 2 0 2 1 1 2 2 1 1 1 2 � � � �, , , , sin � � x sin , , 3 31 3 1 1 y � �� � � � � � � � � � � � � � � �1 2 2 2 1 1 3 3 1 12 3 3 3 3� � � �, , , , sin sinx y r x y D� ( , , ). (8) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 35 Çäåñü r x y D O D D� � �( , , ) (( ) ), / 1 1 3 2 , c1 1 1 2 0 0 1 1 2 0 1 1 0 2 1 1 1 32 4 2 2 2 2 2 1 , , , , , , , � � � � � � � �� � � � � � � � 2 2 1 12 3 32, , . � � � � � � � � � (9) Ðåøåíèÿ u x y D 1 1, ( , , )� íåóñòîé÷èâû ñ èíäåêñîì íåóñòîé÷èâîñòè, ðàâíûì 1. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà ìåòîäå öåíòðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé [12, 13]. Ñóùåñòâîâàíèå öåíòðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåé- ñòâà óðàâíåíèé â îêðåñòíîñòè ( , ) ( , ),D H1 1 10 � � äîêàçûâàåòñÿ òàê æå, êàê è â [14]. Ñëåäóÿ [13, ñì. 6.2], öåíòðàëüíîå ìíîãîîáðàçèå ñåìåéñòâà óðàâíåíèé ïðåäñòàâèì â âèäå � � � � �z x y q x y D z q x y D zsin sin ( , , ) ( , , ) , 1 2 1 6 2 2 3 3 � (10) ãäå q2 , q3 , ... — ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà H 1. Íà óêàçàííîì öåíòðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä � ( ) ( ), ,z D z c D z� � � ��1 1 1 1 3 � (11) Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèé (10), (11), ïîäñòàâèì (10), (11) â (6) è çàòåì ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ z. Ñîãëàñ- íî ëåììå 1 è ðàâåíñòâó (7) îòíîñèòåëüíî q2 èìååì óðàâíåíèå ( ) sin sin .,L � �2 1 1 2 1 2 2� q x y�  ñèëó ëåììû 1 îíî èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå q x y 2 1 0 0 1 1 2 0 1 1 0 2 1 1 24 1 2 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � �, , , , , , cos cos 1 2 2 1 1 2 2 2 � � � � � � � cos cos . , , x y � � (12) Ïåðåéäåì ê óðàâíåíèþ 1 6 3 1 2 1 6 1 1 3 1 1 1 2( ) ( )sin sin sin sin s, ,L � � � � �� q c D x y x yq� � in sin ,3 3x y (13) ãäå q2 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (12). Ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèÿ (13) â ïðîñò- ðàíñòâå H 1 â êëàññå ãëàäêèõ ïî ïàðàìåòðó D â îêðåñòíîñòè òî÷êè D1 1, ôóíê- öèé ïðèâîäèò ê âûáîðó c D 1 1, ( ) ñîãëàñíî (9). Óðàâíåíèþ (13) ïðè óêàçàííîì âûáîðå c D1 1, ( ) óäîâëåòâîðÿåò ôóíêöèÿ q x y 3 1 2 2 0 1 1 3 1 1 1 3 2 3 3 � � � � � � � � � � � � � � � �, , , , sin sin � � � � � � � � � � 3 2 3 3 3 1 2 0 2 1 1 1 3 1 1 1 2� � � � � � � �, , , , sin sinx y 2 2 1 1 3 3 1 12 3 3 3 3, , , , sin sin . � � � � � � � �� � � � x y (14) Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî q4 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî q5 â ïðîñòðàíñòâå H 1 â êëàññå ãëàäêèõ ïî ïàðàìåòðó D ôóíêöèé íàõîäèì êîýôôèöèåíò ïðè z 5 â (11). Êàê èçâåñòíî, ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â (10), (11) íåîãðàíè÷åííî ïðîäîëæèì. Ïîëó÷åííûå ïðè ýòîì ðàçëîæåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñõîäÿòñÿ â îêðåñòíîñòè ( , ) ( , ),D H1 1 10 � � [13, cì. 6.2]. 36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå (11). Èç óñëîâèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî c D1 1 0, ( )� ïðè ìàëûõ D D1 1, � . Ñëåäîâàòåëüíî, â ñåìåéñòâå óðàâíåíèé (11) ïðè D D� 1 1, èìååò ìåñòî ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ âèëêà è èç òðèâèàëüíîé îñîáîé òî÷êè îòâåò- âëÿåòñÿ äâå ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâûå îñîáûå òî÷êè z D c D O D D� � � � � � � � � � �1 1 1 1 2 1 3 2, / /( ) ( ) (( ) ). (15) Èòàê, â ñåìåéñòâå óðàâíåíèé (6) èìååò ìåñòî ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ ïðè D D� 1 1, ïàðû íåóñòîé÷èâûõ ñ èíäåêñîì íåóñòîé÷èâîñòè 1 ïðî- ñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé [13, ñì. 6.2].  ñèëó (10), (12), (14), (15) äëÿ óêàçàííûõ ðåøåíèé ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (8). Òåîðåìà äîêàçàíà. Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïîçâîëÿþò äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ïàð u k s2 1� � , , k � 0 1, , ... , s � 0 1 2, , , ... , ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1), (2), áèôóðöèðóþùèõ èç w ïðè ïðîõîæäåíèè ïàðàìåòðà D ÷åðåç D k s2 1� , , ïîëó÷èòü èõ àñèìïòîòè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ è óêàçàòü èõ èíäåêñ íå- óñòîé÷èâîñòè. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (ïðèíöèï ïîäîáèÿ [10]) � � m k ms k s x y D mx my m D m ( ), ( ), ( , , ) ( , , ), , , , 2 1 2 1 2 2 3 � � � �� � � (16) ìîæíî óïðîñòèòü ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1), (2). 3. ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ Âîïðîñ î ðàçâèòèè ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé u k s2 1� � , , k � 0 1, , ... , s � 0 1 2, , ,� , çà- äà÷è (1), (2) ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà D îò D k s2 1� , ðàññìîòðèì ïðè �1 0� . Èññëåäîâàíèå ýòîãî ñëó÷àÿ ïðèâîäèò ê ìîäåëüíîé çàäà÷å � ( ) ( ) .� � �� �L D Q 3 (17) Äëÿ àíàëèçà äèíàìèêè � 1 0, ( , )� x D ïðè óìåíüøåíèè D îò D1 0, ïîñòðîèì ïðè- áëèæåííûå ãàëåðêèíñêèå àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (17) â âèäå � � �� � � z k xk k 2 1 0 4 2 1sin( ) . (18)  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ãðàäèåíòíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé � ( , ) , , , , , , , z G z D z kk k 2 1 1 0 2 1 0 1 2 3 4� � � � � � � (19) ãäå z z z z� ( , , , )1 3 9� , G z D D z zk k k k k 1 0 2 1 0 4 2 1 2 2 1 4 0 41 2 3 16 1 4 , ( , ) ( ) (� � �� � � � � � �� z z z z 1 3 3 3 3 9� �) � � � � � � � � � � � � 3 4 3 42 1 2 0 4 2 1 2 1 4 1 2 3 5 5 7 7 9z z z z z z z z z k k s s k ( ) � � � � � � 3 4 3 4 1 3 2 5 3 2 9 3 5 7 3 5 9 3 7 9 3 5 2 7z z z z z z z z z z z z z z z z z( ) ( �2 5 7 9z z z ). Ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ G z D1 0, ( , ) îãðàíè÷åíà ñíèçó. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèÿ ñèñòåìû îãðàíè÷åíû íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè. Àòòðàêòîðàìè ñèñòåìû (19) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 37 ÿâëÿþòñÿ åe ñòàöèîíàðíûå òî÷êè. Êàê èçâåñòíî, ñòàöèîíàðíûå òî÷êè ãðàäèåíò- íûõ ñèñòåì — óçëû è ñåäëà. Ïåðåéäåì òåïåðü ê àíàëèçó îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû (19). Èç åe íóëå- âîãî ðåøåíèÿ ïðè D D� 1 0, â ðåçóëüòàòå ñóïåðêðèòè÷åñêîé áèôóðêàöèè âèëêà îò- âåòâëÿåòñÿ ïàðà óñòîé÷èâûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ~ ( ) (~ ( ),z D z D� � � 1 � ... , ~ ( ))z D9 , ~ ( )z D1 0� . Íåïðåðûâíàÿ âåòâü ~ ( )z D� ñóùåñòâóåò íà ( , ),0 1 0D . Îòìåòèì åe îñîáåííîñòè: ~ ( ) ~ ( ) ~ ( )z D z D z D1 3 9 0� � � �� äëÿ âñåõ D D�( , ),0 1 0 ; ~ ( )z Ds2 1� , s � 0 1 4, , ,� , — ìîíîòîííî óáûâàþùèå îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè. Ðîäèâøèñü óñòîé÷èâûìè, ñòàöèîíàðíûå òî÷êè ~ ( )z D� ñîõðàíÿþò óñòîé÷èâîñòü ïðè óáûâà- íèè D îò D1 0, . Ïðè ýòîì ïðîñëåæèâàåòñÿ òåíäåíöèÿ ê ñáëèæåíèþ òî÷åê ñïåêòðà ñåìåéñòâà ~ ( )z D� è îòõîäå íàèáîëüøåé åe òî÷êè îò íóëÿ ïðè óìåíüøåíèè D. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê âîïðîñó î õàðàêòåðå áèôóðêàöèè ñåìåéñòâà óðàâíåíèé (19) â îêðåñòíîñòè òî÷êè ( , ),D3 0 0 . Êàê è âûøå, â ðåçóëüòàòå ñóïåðêðèòè÷åñêîé áèôóðêàöèè âèëêà èç íóëåâîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (19) îòâåòâëÿåòñÿ ïàðà ñòàöèî- íàðíûõ ðåøåíèé � � � z D z D z D� � �( ) ( , ( ), , , ( ))0 0 03 9 ñ èíäåêñîì íåóñòîé÷èâîñòè 1. Ìàòðèöà óñòîé÷èâîñòè òî÷êè � z D� ( ) áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿ. Îäèí èç åe áëîêîâ ðàçìåðíîñòè 3 èìååò îäíî ïîëîæèòåëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, êîòîðîå ïðè D D� � 3 ïåðåõîäèò íà îòðèöàòåëüíóþ ïîëóîñü. Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðà ñòàöèîíàð- íûõ ðåøåíèé � z D� ( ) ïðè D D� � 3 îáðåòàåò óñòîé÷èâîñòü ïî òèïó îáìåí óñòîé÷è- âîñòüþ. Îòìåòèì, ÷òî îáðåòåííàÿ ðåøåíèåì � z D� ( ) óñòîé÷èâîñòü ñîõðàíÿåòñÿ ïðè äàëüíåéøåì óìåíüøåíèè D. Èòàê, åñòü îñíîâàíèÿ ïðåäïîëàãàòü, ÷òî èíäåêñ íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ � 3 0, ( , )x D â ïðîöåññå óìåíüøåíèÿ D èçìåíÿåòñÿ. Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó âûøå àíàëèçó íà ïðîìåæóòêå ( , ),0 1 0D ñóùåñòâóåò ïàðà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé � 1 0, ( , )� x D óðàâíåíèÿ (17). Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî: � 1 0 2 1 0 4 2 1 , ( , ) ~ ( )sin ( ) .� � � � ��x D z D k xk k (20) Ðàññìîòðèì òåïåðü â ïðîñòðàíñòâå H 1 óðàâíåíèå � ( ) ~ ( )sin ( ) ,� � �� � � � � � � � � � �L D z D k x Qk k 3 2 12 1 0 4 2 (21) ïîëó÷åííîå ëèíåàðèçàöèåé óðàâíåíèÿ (17) íà ïðèáëèæåííîì ðåøåíèè (20). Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè óðàâíåíèÿ (21) íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ åãî ãàëåðêèíñêîé àïïðîêñèìàöèè â âèäå � � � � � z kxk k 2 1 0 4 2cos . (22)  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ëèíåéíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé B D( ). Ñïåêòð �( ( ))B D ìàòðèöû B D( ) çàâèñèò îò �. Ñó- ùåñòâóåò ��, � ,� � �1 85, òàêîå, ÷òî ïðè � �� � ñïåêòð �( ( ))B D ïðèíàäëåæèò îòðèöà- òåëüíîé ïîëóîñè äëÿ âñåõ D D�( , ),0 1 0 . Åñëè æå � �� � , òî íàéäåòñÿ � � ( )D D� � òà- êîå, ÷òî îäíà èç òî÷åê ñïåêòðà �( ( ))B D ïåðåõîäèò ïðè D D� � íà ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóîñü è îñòàeòñÿ íà íåé ïðè äàëüíåéøåì óìåíüøåíèè D. Ïðîâåäåííûé àíàëèç ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè óìåíüøåíèè D ñòà- öèîíàðíûå ðåøåíèÿ � 1 0, ( , )� x D ñîõðàíÿþò óñòîé÷èâîñòü, åñëè � �� � * , � ,*� � �185. Åñëè � �� � * , òî ðåøåíèÿ � 1 0, ( , )� x D òåðÿþò óñòîé÷èâîñòü ïðè óìåíüøåíèè ïàðà- ìåòðà D è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç íåêîòîðîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå. 38 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ îá ýâîëþöèè � 1 1, ( , , )� x y D ïðè óìåíüøåíèè ïàðà- ìåòðà D. Ïîëàãàÿ � � � �� � � � z k x s yk s k s 2 1 2 1 0 1 2 2 1 2 1, , , , sin( ) sin( ) , (23) ìåòîäîì Ãàë¸ðêèíà ïîëó÷èì ãðàäèåíòíóþ ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåí- öèàëüíûõ óðàâíåíèé � ( , ) , , , ., , , z G z D z kk s k s 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 0 1 2� � � � � � � � � (24) Ïðåäñòàâëåíèå G1 1, ââèäó åãî ãðîìîçäêîñòè îïóñòèì. Áèôóðêàöèîííûé àíà- ëèç îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà óðàâíåíèé (24) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì ðå- çóëüòàòàì. Ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà D è åãî ïðîõîæäåíèè D D� 1 1, èìååò ìåñ- òî ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ âèëêà è èç íóëÿ îòâåòâëÿeòñÿ äâå íåïðåðûâíûå âåòâè óñòîé÷èâûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé � �� �{ }~ ( ), , , ,,z D k sk s2 1 2 1 0 1 2 , îïðåäå- ëåííûõ íà ( , ),0 1 1D . Ñëåäîâàòåëüíî, èç íóëåâîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ïðè D D� 1 1, îòâåòâëÿåòñÿ ïàðà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé � 1 1, ( , , )� x y D , �1 1, ( , , )� �x y D � ��� 1 1, ( , , )x y D òàêàÿ, ÷òî èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî: � 1 1 2 1 2 1 0 1 2 2 1 , , , , , ( , , ) ~ ( )sin ( ) sin� � � � � ��x y D z D k xk s k s ( ) .2 1s y� (25) Äëÿ àíàëèçà íà óñòîé÷èâîñòü ýòîãî ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (17) ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå H 1 ñîîòâåòñòâóþùåå ëèíåàðèçîâàííîå óðàâíåíèå � ( ) ~ ( )sin ( ) sin (, , , , � �� � �� � � �L D z D k x sk s k s 3 2 1 22 1 2 1 0 1 2 � � � � � � 1 2 ) .y Q� (26) Àïïðîêñèìàöèÿ Ãàë¸ðêèíà óðàâíåíèÿ (26) â âèäå � � �� � � z k xk k 2 1 0 2 2 1sin( ) (27) ïðèâîäèò ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé. Åe ñïåêòð ïðè ìàëûõ D D1 1 0, � � ñîäåðæèò îäíó òî÷êó íà ïîëîæè- òåëüíîé ïîëóîñè. Ïðè óìåíüøåíèè D óêàçàííàÿ òî÷êà ñïåêòðà ìîíîòîííî ïðè- áëèæàåòñÿ ê íóëþ è çàòåì ïåðåõîäèò íà îòðèöàòåëüíóþ ïîëóîñü. Óêàçàííîå ïîâåäåíèå ñïåêòðà ìàòðèöû äàåò îñíîâàíèå äëÿ ñëåäóþùåãî çàêëþ÷åíèÿ. Ðå- øåíèå � 1 1, ( , , )� x y D ðîæäàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì ñ èíäåêñîì íåóñòîé÷èâîñòè 1. Ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà D ðåøåíèå � 1 1, ( , , )� x y D , óâåëè÷èâàÿñü ïî àìïëèòó- äå è ýâîëþöèîíèðóÿ ïî ôîðìå, îáðåòàåò óñòîé÷èâîñòü. Ïåðåéäåì òåïåðü ê àïïðîêñèìàöèè Ãàë¸ðêèíà óðàâíåíèÿ (26) â âèäå (22). Ìàòðèöà óñòîé÷èâîñòè ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ïðè ìàëûõ D D1 1 0, � � óñòîé÷èâàÿ. Äèíàìèêà ñïåêòðà óêàçàííîé ìàòðèöû çàâèñèò îò ïàðàìåòðà �, a èìåííî, ñóùåñ- òâóåò �1 1, òàêîå, ÷òî ïðè � �� 1 1, ñïåêòð óêàçàííîé ìàòðèöû îñòàåòñÿ íà îòðèöà- òåëüíîé ïîëóîñè. Åñëè æå � �� 1 1, , òî íàéäåòñÿ òàêîå çíà÷åíèå D, ïðè êîòîðîì îíà òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü. Òàêèì îáðàçîì, åñòü âåñêèå îñíîâàíèÿ óòâåðæäàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò � �1 1 1 1, * ,� òàêîå, ÷òî åñëè � �� 1 1, * , òî ðåøåíèå � 1 1, ( , , )� x y D óðàâíåíèÿ (17) ñîõðà- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 39 íÿåò óñòîé÷èâîñòü ïðè óìåíüøåíèè D. Åñëè � �� 1 1, * , òî ðåøåíèå � 1 1, ( , , )� x y D òå- ðÿåò óñòîé÷èâîñòü ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà D. Îòìåòèì, ÷òî èíòåðâàë óñòîé÷èâîñòè � 1 1, ( , , )� x y D ñ ðîñòîì � ñóæàåòñÿ. Åñëè � � 3, òî ñîãëàñíî ïðîâåäåí- íîìó ÷èñëåííîìó àíàëèçó � 1 1, ( , , )� x y D — óñòîé÷èâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (17) ïðè D �( , , , )0 35 0 6 . Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ � 1 1, ( , , )� x y D ïðè D � 0 ïðèáëèæàåòñÿ ê ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè ( ) (sin sin )/1 1 2� � Sign x y . Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì â (17) D � 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ( ) (sin( ) sin( ) )/1 2 1 2 11 2� � �� Sign k x s y , ( ) (sin( ) cos )/1 2 1 21 2� �� Sign k x sy , k s, , , , ...� 0 1 2 , — åe ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå ïðîñòðàíñòâó H . Ðàññóæäàÿ, êàê è â [8], ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî åñëè � � �2 , òî âñå îíè óñòîé÷èâûå â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà H . Åñëè �� �2 , òî óêàçàííûå ðåøåíèÿ íå- óñòîé÷èâû. Ðåøåíèå � 2 1k s x y D � � , ( , , ) , k � 01, ,� , s � 0 1, ,� , ïðè D � 0 ïðèáëèæàåòñÿ òàê- æå ê ñòóïåí÷àòûì ôóíêöèÿì. Îòìåòèì, îäíàêî, ÷òî ìû ðàñïîëàãàåì ïðèáëèæåí- íûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè � 2 1k s x y D � � , ( , , ) â âèäå ïîëèíîìîâ Ôóðüå.  ýòîé ñâÿçè ïðè ìàëûõ D èìååò ìåñòî ÿâëåíèå Ãèááñà. Ïðèâåäåì â ýòîé ñâÿçè èëëþñòðèðóþ- ùèå ïðèìåðû. Åñëè � � 2 , D � 0 07, , òî � 1 0 126 0 40 3 , , sin , sin� � � �x x 0 21 5, sin x � � �013 7 0 08 9, sin , sinx x. Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè, ðàññìàòðèâàåìîé íà êâàäðàòå P, ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 1. Ïðè � � 3, D � 0 01, êîýôôèöèåíòû ôóíêöèè, îïðåäåëåííîé ñîãëàñíî (25), òàêî- âû: ~ ,,z1 1 2 22� , ~ ,z3 1 � � � �~ , , ~ ~ , ,, , ,z z z1 3 5 1 1 50 68 0 34 z3 3 0 21, , ,� ~ ~ , ,, ,z z5 3 3 5 010� � z5 5 0 05, , .� Ãðàôèê óêàçàííîé ôóíêöèè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2. Îòìåòèì, ÷òî òàêîãî âèäà ñòðóêòóðû («êðåñò») âîçíèêàþò ïðè èññëåäîâàíèè äâóõêîìïîíåíòíûõ ñèñòåì ñ òðèããåðíûìè ñâîéñòâàìè [6, ñì. 2.2]. Ñòðóêòóðû âèäà, ïðåäñòàâëåííûõ íà pèñ 1, 2, ðàçóìååòñÿ, áåç èõ âîëíèñòîñòè, ïîëó÷åíû ÷èñëåííûìè ðàñ÷åòàìè â [3–5]. Ïðîâåäåííûé âûøå àíàëèç ïîçâîëÿåò ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â óðàâíåíèè (17) ðå- àëèçóåòñÿ ÿâëåíèå áóôåðíîñòè [10].  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çà ñ÷åò âûáîðà D ìîæíî îáåñïå÷èòü ñîñóùåñòâîâàíèå ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé. Ïðè ýòîì åñëè 40 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 1 0 0 0 1 1 - 1 - 1 - 1 x y Ðèñ. 2 0 0 0.0 -0.5 -1.0 0.5 1.0 1 1 -1 -1 x y Ðèñ. 1 � �� * , �* � �2 , òî áóôåðíîñòü íîñèò âûñîêîìîäîâûé õàðàêòåð. Îòìåòèì, ÷òî ÿâëåíèå áóôåðíîñòè â ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé èññëåäîâàëîñü â [9, 10, 14–16]. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ â äàííîé ðàáîòå èññëåäîâàíèé áèôóðêàöèé ðîæäåíèÿ è ýâîëþöèè ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé èñõîäíîé çàäà÷è ïðè óìåíüøåíèè êîýôôè- öèåíòà äèôôóçèè ñîîòâåòñòâóþò ðåçóëüòàòàì, ïîëó÷åííûì â [3–5]. Óñòàíîâëåí- íûå çäåñü îñîáåííîñòè äèíàìèêè ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ êàê ïðè ÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèè, òàê è â ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ äëÿ îðãà- íèçàöèè ýôôåêòèâíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûì ïðîôèëåì ñâåòîâîãî ïó÷- êà ñ ïîìîùüþ íà÷àëüíîé ôàçîâîé ìîäóëÿöèè, âûáîðà êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè, äðóãèõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû. Èç ïðîâåäåííîãî àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî ïðèìåíåíèå ìàëîìîäîâûõ àïïðîêñèìàöèé ïðèâîäèò ê ïðàâèëüíûì ðåçóëüòàòàì. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. À õ ì à í î â Ñ . À . ,  î ð î í ö î â Ì . À . , È â à í î â  . Þ . Ãåíåðàöèÿ ñòðóêòóð â îïòè- ÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ: íà ïóòè ê ñîçäàíèþ íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèõ àíàëîãîâ íåéðîííûõ ñåòåé // Íîâûå ïðèíöèïû îïòè÷åñêîé îáðàáîòêè èíôîðìàöèè. — Ì.: Íàóêà, 1990. — Ñ. 263–325. 2. Ð à ç ã ó ë è í À .  . Íåëèíåéíûå ìîäåëè îïòè÷åñêîé ñèíåðãåòèêè. — Ì.: Èçä. îòäåë ô-òà ÂÌèÊ ÌÃÓ, ÌÀÊÑ Ïðåññ, 2008. — 201 ñ. 3. V o r o n t s o v M . A . , Z h e l e z n y k h N . I . , I v a n o v V . Y u . Transverse interaction in 2-D feedback non-linear optical systems // Opt. and Quant. Electron. — 1988. — 22. — P. 301–318. 4.  î ð î í ö î â Ì . À . , Æ å ë å ç í û õ Í . È . Ïîïåðå÷íàÿ áèñòàáèëüíîñòü è ìóëüòèñòàáèëü- íîñòü â íåëèíåéíûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ // Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëè- ðîâàíèå. — 1990. — 2, ¹ 2. — Ñ. 31–38. 5. Æ å ë å ç í û õ Í . È . Èññëåäîâàíèå íåëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ: Äèñ. … êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. — Ì., 1991. — 115 ñ. 6. À õ ð î ì å å â à Ò . Ñ . , Ê ó ð ä þ ì î â Ñ . Ï . , Ì à ë è í å ö ê è é à . à . , Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Ñòðóêòóðû è õàîñ â íåëèíåéíûõ ñðåäàõ. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2007. — 485 ñ. 7. × ó ø ê è í  . À . , Ð à ç ã ó ë è í À .  . Ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû â ôóíêöèîíàëüíî-äèôôå- ðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè äèôôóçèè ñ îòðàæåííûì àðãóìåíòîì // Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. Ñåð. 15. Âû÷èñë. ìàòåìàòèêà è êèáåðíåòèêà. — 2003. — ¹ 2. — Ñ. 13–20. 8. Á å ë à í Å . Ï . Äèíàìèêà ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð â ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ îòðàæåíèåì ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 5. — Ñ. 95–111. 9. Ê î ë å ñ î â À . Þ . , Ð î ç î â Í . Õ . Îïòè÷åñêàÿ áóôåðíîñòü è ìåõàíèçìû åå âîçíèêíîâåíèÿ // Òåîð. è ìàò. ôèçèêà. — 2004. — 140, ¹ 1. — Ñ. 14–28. 10. Ì è ù å í ê î Å . Ô . , Ñ à ä î â í è ÷ è é  . À . , Ê î ë å ñ î â À . Þ . , Ð î ç î â Í . Õ. Àâòîâîëíî- âûå ïðîöåññû â íåëèíåéíûõ ñðåäàõ ñ äèôôóçèåé. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005. — 430 ñ. 11. Á à á è í À .  . ,  è ø è ê M . È . Àòòpàêòîðû ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 294 ñ. 12. Ì à ð ñ ä å í Ä æ . , Ì à ê - Ê ð à ê å í Ì . Áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ öèêëà è åå ïðèëîæåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1980. — 368 ñ. 13. Õ å í ð è Ä . Ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïîëóëèíåéíûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé. — Ì.: Ìèð, 1985. — 376 ñ. 14. Á å ë à í Å . Ï . Î âçàèìîäåéñòâèè áåãóùèõ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíî-äèôôå- ðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè // Äèô. óðàâíåíèÿ. — 2004. — 40, ¹ 5. — Ñ. 645–654. 15. Á å ë à í Å . Ï . Î äèíàìèêå áåãóùèõ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîì óðàâíåíèè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñäâèãà ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé // Æóðí. ìàò. ôèçèêè, àíàëèò. ãåîìåòðèè. — 2005. — 1, ¹ 1. — Ñ. 3–34. 16. Á å ë à í Å . Ï . Îïòè÷åñêàÿ áóôåðíîñòü ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 5. — Ñ. 61–75. Ïîñòóïèëà 21.10.2010 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 41
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84199
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0023-1274
language Russian
last_indexed 2025-12-07T18:22:09Z
publishDate 2011
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Белан, Е.П.
2015-07-03T16:19:29Z
2015-07-03T16:19:29Z
2011
Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных / Е.П. Белан // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 33-41. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84199
517.9
Досліджено динаміку стаціонарних структур у нелінійному оптичному резонаторі з перетворенням відображення в двовимірному оберненому зв’язку. Математичною моделлю системи є скалярне параболічне рівняння з відображенням просторових змінних та умовою Неймана на квадраті. Досліджено еволюцію структур та їх стійкість при зменшенні коефіцієнта дифузії. Встановлено, що число стійких стаціонарних структур при цьому зростає. Використовується метод центральних многовидів та метод Гальоркіна.
Properties of stationary structures in a nonlinear optical resonator with a lateral inversions trans-former in feedback are investigated. A mathematical description of optical structures is based on a scalar parabolic equation with an inversion transformation of its spatial arguments and the Neumann condition on a square. The evolution of forms of stationary structures and their stability with decreasing the diffu-sion coefficient are investigated. It is shown that the number of stable stationary structures increases with decreasing the diffusion coefficient. In this work, the center manifold method and Galerkin method are used.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Кибернетика
Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных
Двомірні стаціонарні структури в параболічному рівнянні з відображенням просторових змінних
Two-dimensional stationary structures in a parabolic equation with inversion transformer spatial arguments
Article
published earlier
spellingShingle Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных
Белан, Е.П.
Кибернетика
title Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных
title_alt Двомірні стаціонарні структури в параболічному рівнянні з відображенням просторових змінних
Two-dimensional stationary structures in a parabolic equation with inversion transformer spatial arguments
title_full Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных
title_fullStr Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных
title_full_unstemmed Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных
title_short Двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных
title_sort двумерные стационарные структуры в параболическом уравнении с отражением пространственных переменных
topic Кибернетика
topic_facet Кибернетика
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84199
work_keys_str_mv AT belanep dvumernyestacionarnyestrukturyvparaboličeskomuravneniisotraženiemprostranstvennyhperemennyh
AT belanep dvomírnístacíonarnístrukturivparabolíčnomurívnânnízvídobražennâmprostorovihzmínnih
AT belanep twodimensionalstationarystructuresinaparabolicequationwithinversiontransformerspatialarguments

Similar Items