Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом
Розглянуто задачу оцінки невідомого параметра, що входить в коефіцієнт зносу стохастичного диференціального рівняння з 1-періодичними коефіцієнтами. Малий параметр при коефіцієнті зносу робить таку модель придатною для опису слабких сигналів, збурених дифузійним процесом. Для невідомого параметра по...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84205 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом / Б.В. Бондарев, С.М. Козырь // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 109-117. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84205 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бондарев, Б.В. Козырь, С.М. 2015-07-03T16:33:47Z 2015-07-03T16:33:47Z 2011 Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом / Б.В. Бондарев, С.М. Козырь // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 109-117. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84205 519.246 Розглянуто задачу оцінки невідомого параметра, що входить в коефіцієнт зносу стохастичного диференціального рівняння з 1-періодичними коефіцієнтами. Малий параметр при коефіцієнті зносу робить таку модель придатною для опису слабких сигналів, збурених дифузійним процесом. Для невідомого параметра побудовано інтервал накриття. Аn unknown parameter problem is considered; this parameter is enters into the drift coefficient of a stochastic differential equation with 1-periodical factors. A small parameter in the drift coefficient makes this model suitable for the description of low signals disturbed by a diffusion process. A covering gap is constructed for the unknown parameter. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом Оцінка невідомого параметра в системах зі слабким сигналом Estimation of an uknown parameter in systems with weak signal Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом |
| spellingShingle |
Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом Бондарев, Б.В. Козырь, С.М. Системный анализ |
| title_short |
Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом |
| title_full |
Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом |
| title_fullStr |
Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом |
| title_full_unstemmed |
Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом |
| title_sort |
оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом |
| author |
Бондарев, Б.В. Козырь, С.М. |
| author_facet |
Бондарев, Б.В. Козырь, С.М. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Оцінка невідомого параметра в системах зі слабким сигналом Estimation of an uknown parameter in systems with weak signal |
| description |
Розглянуто задачу оцінки невідомого параметра, що входить в коефіцієнт зносу стохастичного диференціального рівняння з 1-періодичними коефіцієнтами. Малий параметр при коефіцієнті зносу робить таку модель придатною для опису слабких сигналів, збурених дифузійним процесом. Для невідомого параметра побудовано інтервал накриття.
Аn unknown parameter problem is considered; this parameter is enters into the drift coefficient of a stochastic differential equation with 1-periodical factors. A small parameter in the drift coefficient makes this model suitable for the description of low signals disturbed by a diffusion process. A covering gap is constructed for the unknown parameter.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84205 |
| citation_txt |
Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом / Б.В. Бондарев, С.М. Козырь // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 109-117. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bondarevbv ocenkaneizvestnogoparametravsistemahsoslabymsignalom AT kozyrʹsm ocenkaneizvestnogoparametravsistemahsoslabymsignalom AT bondarevbv ocínkanevídomogoparametravsistemahzíslabkimsignalom AT kozyrʹsm ocínkanevídomogoparametravsistemahzíslabkimsignalom AT bondarevbv estimationofanuknownparameterinsystemswithweaksignal AT kozyrʹsm estimationofanuknownparameterinsystemswithweaksignal |
| first_indexed |
2025-11-26T01:29:37Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:29:37Z |
| _version_ |
1850602055465435136 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.246
Á.Â. ÁÎÍÄÀÐÅÂ, Ñ.Ì. ÊÎÇÛÐÜ
ÎÖÅÍÊÀ ÍÅÈÇÂÅÑÒÍÎÃÎ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀ Â ÑÈÑÒÅÌÀÕ
ÑÎ ÑËÀÁÛÌ ÑÈÃÍÀËÎÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: îöåíêà ïàðàìåòðà, ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ,
ïëîòíîñòü ìåð, èíòåðâàë íàêðûòèÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Âîïðîñàì îöåíêè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ â êîýôôèöèåíòå ñíîñà ñòîõàñòè÷åñ-
êîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïîñâÿùåíî áîëüøîå ÷èñëî ïóáëèêàöèé
(ñì. [1–10] è äð.).  íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàäà÷à: íà-
áëþäàåòñÿ � � �
�
� �
�
�
0
2
0
0 2, / { ( ) : / }T t t T� � � , ãäå �
�
�
0
( )t — òðàåêòîðèÿ ðåøåíèÿ
ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè êî-
ýôôèöèåíòå ñíîñà � �( , )0 x ,
d t t dt t dW t� �� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
0 0 0 0
0 0( ) ( , ( )) ( ( )) ( ), ( )� � � �0 . (1)
Çäåñü �� 0 — ìàëûé ïàðàìåòð, êîýôôèöèåíò ñíîñà � �( , )0 x åñòåñòâåííî èíòåð-
ïðåòèðîâàòü êàê ñèãíàë, �0 — íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, ò.å. íàáëþäàåòñÿ «ñëà-
áûé» ñèãíàë, «çàøóìëåííûé» äèôôóçèîííûì øóìîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
�0 �Q, ãäå Q — íåêîòîðîå ïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî, ïàðàìåòð �0 ñëåäóåò
îöåíèòü ñ ïîìîùüþ �
�
� �
0
2, /T — íàáëþäàåìîé òðàåêòîðèè ðåøåíèÿ (1), è ïîñòðî-
èòü äëÿ íåãî èíòåðâàë íàêðûòèÿ: � � � � �� � � �� � � �0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� � � ,
ãäå � �� � 0 0, ïðè � 0 äîëæíû áûòü âûïèñàíû â ÿâíîì âèäå .
Çäåñü �� — íåêîòîðàÿ ïîñòðîåííàÿ ïî �
�
� �
0
2, /T îöåíêà íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà.
 äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.
Óñëîâèå 1. Ïåðèîäè÷åñêèå ñ ïåðèîäîì åäèíèöà êîýôôèöèåíòû � � �( , ), ( )x x
èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà
� � �xx xxx x( , ), ( ) .
Óñëîâèå 2. Ôóíêöèè � � �( , ), ( )x x ,
� � �x xx x( , ), ( ) òàêîâû, ÷òî
� � � � � � � � �( , ) ( , ), ( ) ( ), | ( , )| , (x x x x x K x� � � � � � �� � �1 1 0 2 ) � � ��K ,
| ( , )| | ( )|
�
� � ��� � �x xx x K .
Èäåÿ ïîñòðîåíèÿ ��-îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà �0 è ïîñòðîåíèÿ èíòåð-
âàëà íàêðûòèÿ áàçèðóåòñÿ íà «áëèçîñòè» ðåøåíèÿ çàäà÷è (1) â ìåòðèêå
( , ) sup | ( ) ( )|
/
X Y M X t Y t
t T
� �
�
�
�
�
�
� �0
2
1 2
ê ïðîöåññó
d t dt dW t� � � � �
�
�
� �
�
0 0
0 0 0( ) ( )
~
( ), ( ) ,� � � (2)
ãäå � � �( ),0 — êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå îïðåäåëåííûì îáðàçîì âûðàæàþòñÿ
÷åðåç � � �( , ), ( )x x — êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1),
~
( )W t� — ñåìåéñòâî ñòàí-
äàðòíûõ âèíåðîâñêèõ ïðîöåññîâ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 109
� Á.Â. Áîíäàðåâ, Ñ.Ì. Êîçûðü, 2011
ÂÑÏÎÌÎÃÀÒÅËÜÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ
 ðàáîòå [11] ïðèâåäåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ÷òîáû ñåìåéñòâî íåïðåðûâíûõ
ìàðòèíãàëîâ ��
t ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ �� 0 áûëî «áëèçêî» ê âèíåðîâñêî-
ìó ñåìåéñòâó â ñìûñëå ìåòðèêè
( , ) sup | ( ) ( )|
/
X Y M X t Y t
t T
� �
�
�
�
�
�
� �0
2
1 2
, à èìåí-
íî äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ïóñòü { }� t
t t, ,J
0
0� — íåïðåðûâíûé ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë òàêîé, ÷òî
lim
t
t
��
� � �[ , ]� � , à
� � �t ss t� � �inf :[ , ]{ }0 2 — êîíå÷íûé ìàðêîâñêèé ìî-
ìåíò äëÿ êàæäîãî t � 0. Òîãäà íàéäåòñÿ ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ Wt òà-
êîé, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
sup sup
0
2
0
2 2
2 2 2
� � � �
� � � � � �
t T
t t
t T
t
M W M t�� �� � � � �
� � �/ / /
, . (3)
Çäåñü áóäåò ðàññìîòðåí ïðîöåññ
� � � ��
�
�
�
t
t
s dW s� �
0
2
0
/
( ( )) ( ),
òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî � � � � � �
�
�
�
�2 2 2
0
2
2
0
� � � �, ( ( ))
/
/
t
t
s ds .
Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ îïèðàþòñÿ íà ðåçóëüòàòû ðàáîòû [8]. Ðàññìîòðèì
ôóíêöèþ
G x
x x
y
0 0
0
2
0
0
2
1 1
1�
� �
� ��
� � � � �
� � � �( , )
( ( , )) ( ) ( , )
( , ) ( ,�
�
0 0
1
0
) ( , )dy y dy
x
x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � �� ,
ãäå
� �
�� �
�
� ( , ) exp
( , )
( )
x
y
y
dy
x
0
0
2
0
2
� �
�
�
�
�
!
"
�
#�
� . (4)
Òîãäà ïëîòíîñòü ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà �
�
�
0
( )t ïðèìåò âèä
� � ��
� �( , ) ( , ) ( , ) .x G x G y dy0 0 0 0 0
0
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(5)
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïðè x �[ , ]0 1 äëÿ � �� ( , )x 0 ñïðàâåäëèâû îöåíêè
0
2 21
0� ���
!
"
#
� � � � �
�
!
"
#
� ���exp ( , )
�
� �
�
� � �
K
C x C
K
exp .
Ââåäåì îïåðàòîð
L U x
d U
dx
x
dU
dx
� � � �� �( ) ( ) ( , )0
2
2
2 0
1
2
� � .
(6)
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ïóñòü � � �( , ), ( )x x0 óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèÿì 1, 2. Òîãäà äëÿ 1-ïåðèîäè÷åñêîé äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðó-
åìîé ôóíêöèè f x( ) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà ïîñòîÿííàÿ f � �( )0 òàêàÿ, ÷òî
ïåðèîäè÷åñêàÿ çàäà÷à
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
L U f x f
U x U x
dU
dx
x
dU
dx
� � �
� �
� �
� �( ) ( ) ( ),
( ) ( ), ( ) (
0 0
1
� �
� � � x �
�
�
�
� 1)
(7)
èìååò åäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå [8], ïðèíàäëåæàùåå ïðîñòðàíñòâó
Ñîáîëåâà W p2 0 1, [ , ) ïðè êàæäîì p� ��[ , )1 , ïðè÷åì ïîñòîÿííàÿ f
�
�( )0 íàõî-
äèòñÿ ïî ôîðìóëå
f f x x dx
�
��
�( ) ( ) ( , )0 0
0
1
� � .
ÎÖÅÍÊÈ ÑÊÎÐÎÑÒÈ ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÈ Ê ÏÐÅÄÅËÜÍÛÌ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÀÌ
Èçâåñòíî [12, ñ. 373], ÷òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà
sup sup exp{ }
x
x
x
M f t f c f x t| ( ( )) ( )| | ( )|
,
� � �
�
� �
0
0� � � ,
(8)
ãäå ïîñòîÿííûå c� �0 0, � îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ
� �� � � � �
�
�
�
�
�
�
0 0 0
0
0
0
, , ,
( ) ( , ( )) ( ( ))
x
t
x x
t
t x s ds s d� � �� � W s( ).
Ïóñòü � �
��
�
( , )
( , )
0
0x
dU x
dx
� , òîãäà (7) ïåðåïèøåì â âèäå
d x
dx
x
x
x
f x f� � �� �
�
� �
�
�
�
�
�
( , ) ( , )
( )
( , )
[ ( ) ( )]0 0
2 0
02 2
� �
�
2
0 01
( )
,
( , ) ( , ).
x
x x� � � �� �� �
�
�
�
�
(9)
Äàëüíåéøåå èçëîæåíèå ïåðåêëèêàåòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû [13]. Íåòðóä-
íî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðåøåíèåì çàäà÷è (9) áóäåò ôóíêöèÿ
� � � � � �
�
�
� � �
�
( , ) [ ( , )] ( , )
[ ( ) ( )]
( )
0 0
1
0
0
2
2
x x y
f y f
y
d� �
�� y
x
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. (10)
 ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè ðåøåíèå çàäà÷è (10) îãðàíè÷åíî:
| ( , )|� �
�
�0
24
x
C
K D� � . (11)
Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (7) áóäåò ôóíêöèÿ
U x M f t f dt
x
�
�
� �
� � �( , ) [ ( ( )) ( )]
,0 0
0
0
� � �
��
� . (12)
Èç [ ]13 ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ U x� �( , )0 1-ïåðèîäè÷åñêàÿ. Íåòðóäíî çàìå-
òèòü, ÷òî
| ( , )|U x
Kc
DU
� �
�
0 � � .
(13)
Ïóñòü U x� �( , )0 — ðåøåíèå çàäà÷è (7); òîãäà, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Èòî
ê ïðîöåññó U t�
�
�� �( , ( ))0
0
, èìååì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 111
� � � � � � �
�
� �
�
�
�
�2
0
0
2
0
2
0
2
0
[ ( ( )) ( )] [ ( , ( / ))
/
f s f ds U t
t
� �� � �U � � �( , )]0 0
� �� � � � � �
�
� �
�
�
�
2
0
0
0 0
2
( ( )) ( , ( )) ( )
/
s s dW s
t
.
Ðåçþìèðóÿ âûêëàäêè, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèÿì, äîêàçàòåëüñòâî
êîòîðûõ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ñîîòâåòñòâóþùèõ óòâåðæäåíèé èç [ ]13 .
Ëåììà 1. Ïóñòü äèôôóçèîííûé ïðîöåññ çàäàí êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) è
âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1, 2 ; òîãäà äëÿ ëþáîé 1-ïåðèîäè÷åñêîé äâàæäû íåïðåðûâíî
äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè f x( ) (| ( )| )f x K� � �� ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
ñïðàâåäëèâà îöåíêà
sup
0
2
0
0
2
0
2
0
2
� �
� �� �
t T
t t
f s f ds� � � � � �
�
�
� �
�
�
[ ( ( )) ( )] (
/ /
0 0
0
� �
�
�� � �( )) ( , ( )) ( )s s dW s �
� �
�
2 2
Kc
,
(14)
ãäå ïîñòîÿííûå c� �0 0, � ñëåäóþò èç îöåíêè (8), à
�� ( , )x 0 çàäàåòñÿ ôîðìó-
ëîé (5).
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîé 1-ïåðèîäè÷åñêîé äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåí-
öèðóåìîé ôóíêöèè � 2 ( )x ( ( ) )� 2 x K� � �� ñïðàâåäëèâà îöåíêà
M s ds t
Kc
T
C
t T
t
sup
0
2 2
0
0
2
2
2
2 4
� �
� � � �� � � � � �
�
�
�
�
�
�
/
( ( )) ( )
K K , (15)
ãäå � � �
��
�2
0
2
0
0
1
( ) ( ) ( , )� � x x dx.
Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ 1-ïåðèîäè÷åñêîé äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé
ïî x ôóíêöèè � �( , )0 x (| ( , )| )� �0 x K� � �� ñïðàâåäëèâû îöåíêè
sup
0
2
0
0 0
2 4
2 2
2
8
� �
� � �
t T
t
M s ds t
K c
| ( , ( )) ( )|
/
� � � � � � �
�
�
�
� 2
2 3 4
2
32
�
�
K TC
, (16)
ãäå � � � �
�� �( ) ( , ) ( , )0 0 0
0
1
� � x x dx.
Ëåììà 2. Äëÿ ëþáîé 1-ïåðèîäè÷åñêîé äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóå-
ìîé ôóíêöèè � 2 ( )x ( ( ) )� 2 x K� � �� ñïðàâåäëèâà îöåíêà
sup
0 0
0
2
2
0� �
� � �
t T
t
M s dW s W t� � � � �
�
�
�
� �
/
( ( )) ( ) ( )
~
( )
� � � �
� �
�sup
0
2 2
0
2
0
2
0
2
t T
t
M s ds t
Kc
� � � � � �
�
��
�
�
�
�
/
( ( )) ( ) $
4 2C
K K
. (17)
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
Ëåììà 3. Ñïðàâåäëèâû îöåíêè
| ( ) ( )| /� � � � �
� � 0 0
2 2
6
4
2
4 1 20� � ��
�
�
�
�
K K
Kexp{ }, (18)
� � � �
� �
2
0
2
3
2
4 1 10( ) /� � ��
�
�
�
�
K K
Kexp{ },
� � � �
� � ( ) /0
2 2
5
4
4
4 1 20� � ��
�
�
�
�
K K
Kexp{ },
ãäå
� � � �
� �
( ) ( , ) ( ) , ( )
( ) ( )
0 0
0
1
2 2
0
1
1
� �
�
�
�
�
�
�
� �x x dx x
x
dy
y
�
�
�1
,
� �
�
2 2
0
1
2
0
1 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
( ) ( )
( )
x x dx
dy
y
. (19)
Èç îöåíîê (15), (16) è (18) ñëåäóþò îöåíêè
M s ds t
Kc C
K K
t T
t
sup
0
2 2
0
2 2
2
2
2 4
� �
� � � � �� � � � �
�
�
�
�
/
( ( )) $
� ��
�
�
�
��
�
K K
K
3
2
4 1 10exp{ }/ ,
sup
0
2
0
0 0
2
4
2 2
2
2
8
3
� �
� � � �
t T
t
M s ds t
K c
� � � � � � �
�
�
�
/
( , ( )) ( )
2 2 3 4
2
�
K TC
�
� ��
�
�
�
��
� 2
6
4
2
4 1 20
K K
Kexp{ }/ ,
sup
0 0
22
0� �
� � �
t T
t
M s dW s W t� � � �
�
�
�
�
/
( ( )) ( )
~
( ) 2
0 0
0
22
0
sup
� �
� � �
t T
t
M s dW s W t� � � � �
�
�
�
� �
/
( ( )) ( ) ( )
~
( )
� � �
� �
2
0
0
2 2 2sup
t T
M W t� � �� �( )
~
( )
� � �
� � �
�2 2
0
2 2
0
2
0
0
2
0
sup sup
t T
t
t
M s ds t T� � � � �
�
�
�
�
/
( ( )) ( )
�
� �
T
M � � �� ( )0
2
� � � ��
�
�
�
� �2
2
2
4
2 4 1 102
2 3
2
�
�
�
�
�
Kc
T
C
K K
K K
Kexp{ }/
� ��
�
�
�
�2 4 1 202
5
4
4
T
K K
K�
� exp{ }/ . (20)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 113
ÎÑÍÎÂÍÎÉ ÐÅÇÓËÜÒÀÒ
Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1, 2 è M | |�0
2� ��, òîãäà ñïðàâåäëèâà
îöåíêà
sup
0
2
2
0
0
2
0 0
3
� � � �
� � �
t T t T
M t t M�� � � � �
�
�
�
�( / ) ( ) sup | |
� � �
� �
�3
0
2
0
0 0
2
2
sup
t T
t
M s ds t� � � � � �
�
�
/
( , ( )) ( )
� � �
� �
�sup
0 0
2
0
2
2
0
3
t T
t
M s dW s W t M� � � � � �
�
�
�
�
/
( ( )) ( )
~
( ) | | � � �24
324
2 2
2
2 3 4
2
�
�
�
K c K TC
� ��
�
�
�
� � � �3 4 1 20 6
2
6
42
6
4
2
2
2
�
� �
�
�
K K
K
Kc
T
C
K Kexp{ }/ (21)
� ��
�
�
�
� � ��
�
�
�
�6 4 1 10 6 4 1
3
2
2
5
4
4
�
� �
K K
K T
K K
exp{ }/ exp{ }20� � �K TC/ ( )� ,
ãäå
C M
K c K C
( ) | |� �
�
� � � �3 24
32
0
2
2 2
2
3 4
2
� ��
�
�
�
� � � �3 4 1 20 6
2
6
46
4
2 2K K
K
Kc C
K K
�
�
�
exp{ }/ (22)
� ��
�
�
�
� � ��
�
�
�
�6 4 1 10 6 4 1
3
2
5
4
4
K K
K
K K
�
exp{ } exp{/ 20� K / },
� � � �
� �
�( ) ( , )
( ) ( )
,0 0 2 2
0
1
1
0
1
21
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
x
x
dy
y
dx
dy
� 2
0
1
1
( )y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç îöåíîê (20).
Ïóñòü ( , )GT TR — èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
{ }x t Tt , 0 � � íà [ , ]0 T ñ �-àëãåáðîé R T . Îáîçíà÷èì �
�
T âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó íà
( , )GT TR , ïîðîæäåííóþ ïðîöåññîì �
�
� ( ) :t t T0 � � , ãäå
d t dt dW t� � � � �
�
�
� �
�( ) ( )
~
( ), ( )� � �0 0 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî � �
�
�
�
�
0 0
0, ( ) :T t t T� � �{ } — òðàåêòîðèÿ ðåøåíèÿ (2) íà
ïðîìåæóòêå âðåìåíè [ , ]0 T . Èçâåñòíî (íàïðèìåð, [ ]1 ), ÷òî ïðè ��Q, �0� Q ëîãà-
ðèôì îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ èìååò âèä
%T
T
T
T
T
d
d
( , , ) ln ( ), ,� � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
0
0
0
0
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
�� �
� � � �
�
� � � �
�
�
( ) ( ) ~
( )
( ) ( )0
0
0
2
0
1
2
dW t dt
T T
.
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
Çäåñü
dW t
d t dt~
( )
( ) ( )
�
�
�� � �
�
�
� 0
,
ò.å.
%T
T
T
dW t( , , )
( ) ( )
( )
( ) ( ),� � �
� � � �
�
� � � �
��
�
�0
0
0
0
0
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
2
0
dt
T
�
� �
�
��
�
�
�
�
�
� � � �
�
� � �
�
� � � �
�
�
�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0
01
2
d t dtT
� ��
2
0
dt
T
�
�
� �
� � � �
�
�
� �
�
� �
�
�
�( ) ( )
( )
( ) ( )0
2
2
0
2
2
22 2
T T T . (23)
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èìååò ìåñòî òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà �
�
�
0
( )t íà ïðîìåæóòêå
âðåìåíè 0 2� �t T / � , ò.å. � � �
�
� �
�
�
0
2
0
0 2, / ( ) : /T t t T� � �{ } . Ïîäñòàâèì â (23)
âìåñòî �
�
� ( )T âåëè÷èíó �� �
�
�
0
2( / )T . Ïóñòü ��
T — îöåíêà, äîñòàâëÿþùàÿ ìàêñè-
ìóì ôóíêöèè
%( , , (. / ))
( ) ( )
( / )
( )
� � �� �
� � � �
�
�� �
� �
�
�
�
�
0
2 0
2
2
2
0
0 0
�
�
�T
2 22
2
2�
� �
�
T T�
( )
,
ò.å. % %( , , (./ )) ( , , (. / ))� � �� � � � �� �� �
�
� �
�T
Q
0
2
0
2
0 0
�
�
max .
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 1, 2 è äëÿ � �( ) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
| ( ) ( )| | | , , , ,� � � � � � � � ��
1 2 1 2 1 20 1 0� � � � � � � �C C Q Q .
Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî �� 0 èìååì
P T R
CR T
K
T{ } exp| |
( )( )/
� �
� �
�
� �
� � � �
��
�
�
�
�
�
�
�
� �
0
1 2
2
2
1
8
2
�
�
�
!
"
�
#�
�
� �
� �
C ( )
( )2
,
(24)
ãäå C ( )� îïðåäåëåíî â (21), 0 2 1 2� � �� � � �( ) ( )/CR T .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü T uT( )� �� � �0 , ò.å. � ��
T u T� �0 / , òîãäà
P T RT{ }| |� �� � � �0
� � �
�
P u T
u R
{max
| |
( / , , (. / )) ( , , (% %� � �� � � � ��
�
�
�
�
0 0
2
0 0
0 0
. / ))�2 } �
� � � �
�
P u T
u R
{max }
| |
( / , , (. / ))% � � �� �
�
�
0 0
2
0
0
�
� �
� �
�
�
�
�
P
u T
T T
u R
sup
( / ) ( )
( / ) ( )
| |
� � � �
�
�� � �
�
�
�
�0 0
2
2
0�
�
� �
� �
�
�
sup
( / ) ( )
( )
( ) (
| |u R
u T
T T
� � � �
�
�
� �
�
� �
�
�0 0
2
2
0
2
2
0
2
u T
T
/ )
2
0
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
�
#�
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 115
�
� �
�
�
�
�
� �
P
u T
T
u R
sup
( / ) ( )
( )
| |
� � � �
�
� �0 0
2
�
� �
� �
�
�
sup
( / ) ( )
( )
( ) (
| |u R
u T
T T
� � � �
�
�
� �
�
� �
�
�0 0
2
2
0
2
2
0
2
u T
T
/ )
2
0
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
�
#�
�
� � � �P T T T{ }| ( / ) ( )| ( )�� � � � �
�
�
�
�
0
2
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
P
u T
T
u R
sup
( / ) ( )
( )
| |
� � � �
�
� �0 0
2
�
� �
�
� � �
�
�
�
�
� � � �
�
� � � �
�
�( / ) ( )
( )
[ ( / ) ( )]0 0 0 0
2
22
u T
W T
u T
T 0
2
!
"
�
#�
� �
� �
� �
C ( )
( )
�
� �
�
� � �
P
u T
T
u R u R u R
sup
( / ) ( )
sup ( ) sup (
| | | | | |
� � � �
�
� �0 0
2
� �| ( ) / |W T T �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
� �
!
"
�
#�
� �
| ( / ) ( )| ( )
( )
� � � � � �
� �
0 0
22
0
u T
T
C
� � �
� ��
�
�
�
�
P W T T
u T
T
u R
sup ( ) | ( ) / |
| ( / ) ( )|
| |
� � �
� � � �� 0 0
2 �
�
�
�
�
�
�
�
!
"
�
#�
� �0
2
� �
� �
C ( )
( )
� � �
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
P
u T
T
u R
� � � �
� � � �
( ) | |
| ( / ) ( )|
| |
inf 0 0
2
0�
�
�
!
"
�
#�
� �
� �
� �
C ( )
( )2
� � � �
�
�
�
�
!
"
�
#�
� �P C
R T
T
C
� � � �
� �
� �
�
( ) | |
| / | ( )
( )2
0
2
� �
��
�
�
�
!
"
�
#�
� �P
C R T T
K
C
| |
| / | ( ) ( )
( )
�
� � � �
� �
� 2
2 2
� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
�
#�
�
�
2
1
8
21 2
2
exp
CR T
K
C� � � � � �( )/ ( ) ( )
( )� �2
.
Çäåñü � — N ( , )0 1 -ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.
Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå. Âûáèðàÿ â (24) T è R êàê ôóíêöèè ïàðàìåòðà �� 0 òàêèìè, ÷òî
� � � �
�
�
( ) , ( ) , ( ) ,
( )
( )
� �� � �� 0 0R R T T
R
T
, T ( ) ( )� � �2 0 ,
R T( ) ( ) ,
( )
( )/� �
�
� �
� �1 2
2
0� ��
ïðè � 0, äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî �� 0 äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ
� �, áóäåì èìåòü
R
T
CR T
K
( )
( )
,
( ) ( ) ( )( )/�
�
�
� � � �� �
� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
8
21 2
exp
2
2
�
�
�
�
!
"
�
#�
� �
� �
� �
�
C ( )
( )
.
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
Îòñþäà è èç (24) ñëåäóåò
P T{ }| |( )� � � ��
� � � � �0 1 ,
ò.å. èíòåðâàë íàêðûòèÿ ïîñòðîåí.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ðàññìîòðåíà çàäà÷à îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà, âõîäÿùåãî â êî-
ýôôèöèåíò ñíîñà ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ 1-ïåðèîäè-
÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè. Ìàëûé ïàðàìåòð ïðè êîýôôèöèåíòå ñíîñà äåëàåò
òàêóþ ìîäåëü ïðèãîäíîé äëÿ îïèñàíèÿ ñëàáûõ ñèãíàëîâ, çàøóìëåííûõ äèô-
ôóçèîííûì ïðîöåññîì. Íàáëþäàÿ òàêîé ïðîöåññ ðåøåíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîå
âðåìÿ, óäàåòñÿ ïîñòðîèòü äîñòàòî÷íî óçêèé èíòåðâàë íàêðûòèÿ ïàðàìåòðà, ãðà-
íèöû êîòîðîãî çàâèñÿò îò âåëè÷èíû ïàðàìåòðà è äëèòåëüíîñòè íàáëþäåíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. È á ð à ã è ì î â È . À . , Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Àñèìïòîòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îöåíèâàíèÿ. —
Ì.: Íàóêà, 1979. — 528 ñ.
2. Ë è í ü ê î â Þ . Í . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Êèåâ:
Íàóê. äóìêà, 1993. — 254 ñ.
3. Ë è ï ö å ð Ð . Ø . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ñòàòèñòèêà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1974. –
696 ñ.
4. Ä î ð î ã î â ö å â À . ß . Òåîðèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Êèåâ: Âèùà øê.,
1982. — 192 ñ.
5. Ê í î ï î â Ï . Ñ . Îïòèìàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì. — Ê.: Íàóê.
äóìêà, 1981. — 152 ñ.
6. Ê ó ò î ÿ í ö Þ . À . Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Åðåâàí: Èçä-âî
ÀÍ ÀðìÑÑÐ, 1980. — 254 ñ.
7. B h a t t a c h a r y a R . A central limit theorem for diffusions with periodic coefficients // Ann.
Probab. — 1985. — 13, N 2. — P. 385–396.
8. Ñ à ô î í î â à Î . À . Îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ îò
äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ ñ ïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè // Óêð. ìàò. æóðí. — 1992. —
44, ¹ 2. — Ñ. 245–252.
9. Á î í ä à ð å â Á . Â . , Ñ è ì î ã è í À . À . Íåðàâåíñòâà áîëüøèõ óêëîíåíèé äëÿ îöåíîê
íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ â ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
1994. — ¹ 2. — Ñ. 95–112.
10. Ê í î ï î â Ï . Ñ . , Ï å ï å ë ÿ å â  . À . Î íåïàðàìåòðè÷åñêîé îöåíêå ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêîãî
ñèãíàëà // Òàì æå. — 2007. — ¹ 3. — Ñ. 57–63.
11. Á î í ä à ð å â Á . Â . , Ê î â ò ó í Å . Å . Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè â îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ, íàõîäÿùèõñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ
ñ áûñòðûì âðåìåíåì // Óêð. ìàò. æóðí. — 2005. — 57, ¹ 4. — C. 435–457.
12. B e n s o u s s a n A . , L i o n s J . - L , P a p a n i c o l a o u G . Asymptotic analysis for periodic
structures. — Amsterdam: North-Holland Publ. Com., 1978. — 700 p.
13. Á î í ä à ð å â Á .  . , Ê î ç û ð ü Ñ . Ì . Î çàäà÷å Ð. Ìåðòîíà ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ áûñòðî
îñöèëëèðóþùèõ ñëó÷àéíûõ êîýôôèöèåíòàõ // Ïðîáëåìû óïðàâëåèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2009.
— ¹ 6. — Ñ. 1–19.
Ïîñòóïèëà 16.06.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 117
|