Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем
Для стохастичної динамічної системи з малим параметром доведено рівномірну обмеженість р-го моменту розв’язку (p . 1), слабку збіжність розв’язку системи до розв’язку стохастичного диференціального рівняння Іто, слабку збіжність нормованих відхилень. Проаналізовано стійкість лінійних систем з малим...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84207 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем / Е.Ф. Царьков, В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 127-145. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860157246861737984 |
|---|---|
| author | Царьков, Е.Ф. Ясинский, В.К. Малык, И.В. |
| author_facet | Царьков, Е.Ф. Ясинский, В.К. Малык, И.В. |
| citation_txt | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем / Е.Ф. Царьков, В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 127-145. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Для стохастичної динамічної системи з малим параметром доведено рівномірну обмеженість р-го моменту розв’язку (p . 1), слабку збіжність розв’язку системи до розв’язку стохастичного диференціального рівняння Іто, слабку збіжність нормованих відхилень. Проаналізовано стійкість лінійних систем з малим параметром і марковськими збуреннями.
For a stochastic dynamical system with small parameter, the smooth boundedness of the pth moment of the solution (p. 1), the weak convergence of the system to the solution of an Ito stochastic differential equation, and the weak convergence of normalized deviations are proved. The stability of linear systems with small parameter and Markov disturbances is analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:53:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.217; 519.718
Å.Ô. ÖÀÐÜÊÎÂ, Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ, È.Â. ÌÀËÛÊ
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ Â ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ
Ñ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌÈ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌÈ Â ÑÕÅÌÅ ÓÑÐÅÄÍÅÍÈÉ.
3. ÑËÀÁÀß ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÐÅØÅÍÈÉ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èìïóëüñíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìàðêîâñêàÿ ñèñòåìà, ìàðêîâñêèé
ïðîöåññ, ìåòîä óñðåäíåíèÿ, ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )� � F P , F tt� � �{ }� � , 0 , çàäàí íåïðå-
ðûâíûé ñïðàâà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ x t x t m( ) ( , ) ,� �� � êîòîðûé ïðè âñåõ
t j j� �( , )� �1 , j�� , óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (ÄÓ) �
dx
dt
f x y t� � �( , ( ), ), (1)
à ïðè âñåõ t jj j� � �{ }� � �( ), � óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñêà÷êà
x t x t g x t y t( ) ( ) ( ( ), ( ), )� � � �� � (2)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
x t x
t
( )
�
�
0
. (3)
Çäåñü y t( ) — ìàðêîâñêèé ïðîöåññ [7], çàäàííûé íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, êî-
òîðûé îïðåäåëÿåò ìîìåíòû ñêà÷êîâ â ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ [13]. Èññëåäîâàíèÿ
äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèñòåì ñ äðóãèìè óñëîâèÿìè ñêà÷êîâ ìîæíî íàéòè â [12].
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè f è g ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
f x y f x y f x y f x y( , , ) ( , ) ( , ) ( , , )� � � �� 1 2 3 , (4)
g x y g x y g x y g x y( , , ) ( , ) ( , ) ( , , )� � � �� 1 2 3 , (5)
ãäå f1 è g1 — íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, èìåþùèå ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîä-
íóþ Ôðåøå [4] ïî x ; f f g g2 3 2 3, , , — íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, èìåþùèå íå-
ïðåðûâíóþ îãðàíè÷åííóþ ïðîèçâîäíóþ Ôðåøå ïî x , ïðè÷åì äëÿ âñåõ y Y� è
��( , )0 1 ìîæíî çàïèñàòü
|| ( , , ) || || ( , , ) || ( )D f x y D g x y1
3
1
3� � � �
, (6)
ãäå lim ( )
�
� �
�
�
0
0. Çäåñü è äàëåå D k — k-ÿ ïðîèçâîäíàÿ Ôðåøå ïî x m�� [4].
Ðàññìîòðèì ÄÓ �
du
dt
b u� 1 ( ) , (7)
êîòîðîå íàçîâåì óñðåäíåííûì óðàâíåíèåì äëÿ èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)–(3).
Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî â ñèëó ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé (4)–(6) ðåøåíèå ÄÓ (7)
ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì óñëîâèè u u( )0 � .
Åñëè b u1 0( ) � , òî óñðåäíåííîå óðàâíåíèå (7) íå íåñåò íèêàêîé èíôîðìàöèè
î êîíöåïöèè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1)–(3) íà èíòåðâàëå âðåìåíè ïîðÿäêà ��1.  ýòîì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 127
1 Íà÷àëî ñì. â ¹ 6, 2010; ¹ 1, 2011.
© Å.Ô. Öàðüêîâ, Â.Ê. ßñèíñêèé, È.Â. Ìàëûê, 2011
ñëó÷àå, ñëåäóÿ ðàáîòàì [15, 22], ìîæíî ïåðåéòè ê «î÷åíü ìåäëåííîìó âðåìå-
íè» ��2 t.  ñèëó ëåììû 3 èç [17, ÷. 2] ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñëàãàåìûå f x y3 ( , , )�
è g x y3 ( , , )� íå âëèÿþò íà àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(3). Ïîýòîìó ïðåäìåò
èññëåäîâàíèÿ íàñòîÿùåé ñòàòüè — èìïóëüñíàÿ ñèñòåìà, êîòîðóþ çàïèøåì â âèäå
dx
dt
f x y t f x y t�
� �
�
�
1
1 2( , ( )) ( , ( )) (8)
ïðè t j j� �( , )� � � �2
1
2 , j�� , ÷òî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñêà÷êà
x t x t g x t y t g x t y t� � � � � �� �( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )� � � � � �1
2
2 ) (9)
ïðè t jj� �{ }� �2 , � ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
x x� ( )0 � . (10)
Äàëåå ïîëó÷èì íåîáõîäèìûå îöåíêè âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ.
2. ÎÖÅÍÊÈ ÂÑÏÎÌÎÃÀÒÅËÜÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÎÂ
Ðàññìîòðèì íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )� � F P [8, 9, 21] èìïóëüñíóþ ñèñòå-
ìó ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè (ÈÑÌÏ) (8)–(10). Ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû
(8) òðåáóåò âûïîëíåíèÿ äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé, ÷òî äàåò ñóùåñòâîâàíèå è åäèí-
ñòâåííîñòü ðåøåíèé íà ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåðâàëàõ âðåìåíè.
Ñëàáûé èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð (ÑÈÎ) L( )� ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà
{ }x t y t� �( ), ( ) [6, 7] èìååò âèä
~
( ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ) ( , )L x y Q x y f x y x y� �
�
�
�
�� �
1 1
2 1
� ( ( , ), ) ( , )
~
( ) ( , )f x y x y G x y2 � � � ,
ãäå
~
( ) ( , ) ( ) [ ( ( , ) ( , ), ) ( ,G x y a y x g x y g x y z x z� �
�
� � � �� �
1
1
2
2 )] ( , )p y dz
Y
. (11)
Ëåììà 1. Ïóñòü u x y( , ) èìååò íåïðåðûâíóþ ïî x ïðîèçâîäíóþ, u Vp� ,
| |� �u Vp ïðè íåêîòîðîì p � 1. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ��( , )0 1
� �
�
~
( ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ) ( , )L u x y Qu x y f x y u x y� �
1
1
�
a y u x g x y g x y z u x z p y dz r
Y
( ) [ ( ( , ) ( , ), ) ( , )] ( , )� �1
2
2 1� ( , )x y , (12)
ïðè÷åì âñå ñëàãàåìûå ïðàâîé ÷àñòè (12) ïðèíàäëåæàò Vp è, êðîìå òîãî,
sup || || , lim ( , )
0 1
1
0
1 0
� �
� � �
�
�
�
�r r x yp
äëÿ x y Ym� �� , . Çäåñü Vp — ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé
�
m Y� â �
1, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
sup | ( , ) | ( | | ) || ||
,x y Y
p
p
m
u x y x u
� �
� � �
�
1 . (13)
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ( )( )D x�� ìàòðèöó Ãåññà îòîáðàæåíèé u�
�C m2 ( )� [4, 5]. Åñëè f Ym: � �� � 1 èìååò ýëåìåíòû èç Vp , òî â äàëüíåéøåì
áóäåì ïèñàòü | |f Vp� è èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ (13).
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
 ñèëó ïðåäïîëîæåíèé ëåììû 1 èìååì || ||Dg j , || ||D f Vj � 0 ïðè j �1 2, . Ñëå-
äîâàòåëüíî, | |f Vj � 1 , | |g Vj � 1 ïðè j �1 2, è äëÿ âñåõ ��( , )0 1 , s�[ , ]0 1 çàïèøåì
| ( ( ( , ) ( , )), ) |�
u x s g x y g x y z� �1
2
2
�
�
�|| || ( | | | ( , ) | | ( , ) | )u x g x y g x yp
p
1 1 2
11
� �
� �|| || ( || || || || ) ( | | )u g g xp
p p
1 1 1 2 1
1 11 1 .
Äëÿ îïåðàòîðà (11) è âûøåóêàçàííîé â ëåììå 1 ïðîèçâîäíîé u x y( , ) ñïðàâåä-
ëèâî ðàâåíñòâî
� �
~
( ) ( , )G u x y �
� � a y u x s g x y g x y z g x y g x( ) ( ( ( ( , ) ( , )), ), ( , ) ( ,� � �1
2
2 1 2 y dsp y dz
Y
)) ( , )
0
1
�
� �
a y g x z u x y p y dz
Y
( ) ( ( , ), ) ( , ) ( , )1
�
� � � �a y u x s g x y g x y z g x y
Y
( ) ( ( ( ( , ) ( , )), ), ( , ))1
2
2 2
0
1
dsp y dz( , )
� ��a y u x s g x y g x y z u x z g x y( ) ( ( ( ( , ) ( , )), ) ( , ), ( ,� �1
2
2 1 )) ( , ).
0
1
Y
dsp y dz (14)
Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèè ( ( , ), ) ( , )f x y u x yj � , j �1 2, , Qu x y( , ) è âñå ñëàãàå-
ìûå ïðàâîé ÷àñòè (14) ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó Vp . Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçà-
òåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî �u x y( , ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ïî x îòîáðàæå-
íèåì, à çíà÷èò,
lim | ( ( ( , ) ( , )), ) ( , ) |
�
� �
�
� ��
0
1
2
2
0
1
u x s g x y g x y z u x z ds � 0
ïðè âñåõ x y Ym� �� , è z Y� . �
Ëåììà 2. Ïóñòü � 0 ( )x — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ èìååò äâå íåïðå-
ðûâíûå ïî x ïðîèçâîäíûå Ôðåøå, ïðè÷åì � 0 �Vp , | |� � �� 0 1Vp , || ||D Vp� � �� 0 2
äëÿ íåêîòîðûõ p � 2. Òîãäà � �� ( , )0 1 èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå
~
( ) ( ) ( ( , ), ) ( ) ( ( , ), ) ( )L x F x y x F x y x� �
�
� �0 1 0 2 0
1
� � �
�
1
2
0 1 1 2a y D x g x y g x y r x y( )([ ( )] ( , ), ( , )) ( , )� � , (15)
ãäå âñå ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè ïðèíàäëåæàò Vp , ïðè÷åì
sup || || , lim ( , )
0 1
2
0
1 0
� �
� � �
�
�
�
�r r x yp
ïðè âñåõ x y Ym� �� , .
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî
� � � � � � �
~
( ) ( , ) ( )[ ( ( , ) ( , )) ( )]G x y a y x g x y g x y x0 0 1
2
2 0� � �
�
�
�
��� a y x g x y g x y( ) ( ), ( , ) ( , )� � �0 1
2
2
� � �a y x s g x y g x y x g x( ) [( ( ), ( ( , ) ( , ))) ( ( ), (� � � � �0 1
2
2 0 1 , ) ( , ))]y g x y ds
�
�
� �
�2
2
0
1
�
�
�
��� �
a y x g x y g x y a y s D( ) ( ), ( , ) ( , ) ( ) (� � � �0 1
2
2
0
1
0
1
0 1( ( ( , )x ts g x y �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 129
� � � � �2
2 1
2
2 1
2
2g x y g x y g x y g x y g x y( , ))( ( , ) ( , ))), ( , ) ( , )) dsdt
�
�
�� �
�
�
�
��� a y x g x y g x y( ) ( ), ( , ) ( , )� � �0 1
2
2
�
�
�� �
�
� � �
2
0 1 2 1
2
a y D x g x y g x y g x y g( ) [ ( )]( ( , ) ( , )), ( , ) 2 ( , )x y
� �
� � � �2
0
1
0 1
2
2
0
1
a y s D x ts g x y g x y( ) ([( )( ( ( , ) ( , )))
� �
�
D x g x y g x y g x y g x y dsdt� � �0 1 2 1 2( )]( ( , ) ( , )), ( , ) ( , ))
�
��
�
�
�
� .
Òåïåðü ôîðìóëà (15) ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè D x�� 0 ( ) è íåðàâåíñòâ
([ ( )]( ( , ) ( , )), ( , ) ( , ))D x g x y g x y g x y g x y�
� � �0 1 2 1 2
� �| | ( ) | | (|| || || || ) ( | | )D x g g x
p
p� 0 2 1 1 2 1
2 1 ;
| (( )( ( ( , ) ( , ))) , ) |D x ts g x y g x y c c�
� � �0 1
2
2
� �
�| | || ( ) || ( || || | ( , ) | | ( , ) | )c D x x g x y g x y
p
p2
0 2 1 21� 2
� �
� �| | || ( ) | | ( || || || || ) ( | | )c D x g g xp
p p2
0 2 1 1 2 1
21 1� 2
äëÿ âñåõ c m�� , t �[ , ]0 1 , s�[ , ]0 1 , x y Ym� � �� , , ( , )� 0 1 . �
Ëåììà 3. Ïóñòü ôóíêöèÿ � 0 ( )x óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû 2, à u x y( , )
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû 1
� �1 1 0( , ) ( ( , ), ) ( )x y F x y x� �� ;
� � �� �( , ) ( ) ( , ) ( , )x y x x y u x y� 0 1
2 .
Òîãäà
~
( )L Vp� � � è sup ||
~
( ) ||
0 1� �
� �
�
� �L p .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî
| ( , ) | || || || || ( | | )� �1 0 1 1 1
1x y h F xp
p
� � � � ;
| ( , ) | || ( ) || | ( , ) | | ( ) | || ( ,�
� �� � �1 0 1 0 1x y D x F x y x DF x� � y) ||
� � � � � �[|| || || || || || || || ]( | |D h F h DF xp p� �0 2 1 1 0 1 1 0 1 ) p�1
äëÿ âåõ y Y� è x m�� . Ïî îïðåäåëåíèþ ïîòåíöèàëà äëÿ ëþáîãî ~ ( )� � V ìîæ-
íî çàïèñàòü
a y z p y dz y a y y z dz
YY
( ) ~ ( ) ( , ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( )� �� � � � �� �
.
Ïî ïîñòðîåíèþ � � � �1 1 1 1 0� � � ��
V V x y dyp p
Y
, | | , ( , ) ( ) . Òîãäà äëÿ � �� ( , )0 1
ïîëó÷èì
� � �
�
�
~
( ) ( , ) ( ( , ), ) ( )L x y F x y x1 1 0
1
� �
� � �([ ( )] ( , ), ( , )) ([ ( )] ( , ), (D x F x y F x y DV x g x y F� �0 1 1 0 1 1� x y, ))
� � �( ( ), [ ( , )] ( , )) ( ( ), [ ( , )] (� �0 1 1 0 1 1x DF x y F x y x DF x y g� x y r x y, ) ( , )) 3� ,
ãäå âñå ñëàãàåìûå ïðàâîé ÷àñòè ïðèíàäëåæàò Vp , ïðè÷åì
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
sup || || , lim ( , )
0 1
3
0
3 0
� �
� � �
�
�
�
�r r x y
p
äëÿ âñåõ x y Ym� �� , . Èç ôîðìóëû (15) èìååì ðàâåíñòâî
~
( )[ ( ) ( , )] ( ( ), ( , )) ([ ( )]L x x y x F x y D x F� � �� � �0 1 0 2 0 � � � 1 1( , ), ( , ))x y F x y� �
� � �([ ( )] ( , ), ( , )) ( ) ( , ) ( ( ),D x g x y f x y a y g x y x� �0 1 1 1 0
1
2
[ ( , )] ( , ))�DF x y F x y1 1 �
� � ( ( ), [ ( , )] ( , )) ( , ) ( , ))� � �0 1 1 2 3x DF x y g x y r x y r x y .
Îòìåòèì, ÷òî âñå ñëàãàåìûå ïðàâîé ÷àñòè ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó Vp .
Ïîýòîìó (
~
( ) ( ) )L x Vp� � ��0 1 � è, êðîìå òîãî,
sup ||
~
( )( ) ||
0 1
0 1
� �
� �
�
� � ��L p .
Òîãäà óòâåðæäåíèå ëåììû 3 ñëåäóåò èç ëåììû 1, ïîñêîëüêó Q Vp� . �
Äàëåå ïåðåéäåì ê óñòàíîâëåíèþ ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèé ñèñ-
òåìû (8)–(10).
3. ÐÀÂÍÎÌÅÐÍÀß ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÑÒÜ ÐÅØÅÍÈÉ
Ïóñòü èìååò ìåñòî ïîñòàíîâêà çàäà÷è, ðàññìîòðåííàÿ â ðàçä 1.
Òåîðåìà 1. Äëÿ êàæäîãî p� 0 ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû � p , cp ,
� p òàêèå, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû (8)–(10) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâî
E x t c e xx y
p
p
t pp
, | ( ) | ( | | )
��
1 (16)
äëÿ âñåõ y Y x m
p� � �, , ( , )� � �0 è t � 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ p� 2, ïîñêîëüêó äëÿ p' �( , ]0 2
îíî ñïðàâåäëèâî:
E x t E x tx y
p
x y
p /
, ,| ( ) | ( | ( ) | )� �
' '
2 2 .
Ïóñòü � 0 ( )x — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì ëåììû 2,
è ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû l1 è l2 , ÷òî
l x x l x xp p m
1 0 21 1( | | ) ( ) ( | | ) .
� �� �
Äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè � � ��( , ) ( ) ( , )x y x x y� 0 1 , ãäå �1 îïðåäåëåíî â
ëåììå 3, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó Äûíêèíà [7, §5.1]
E x t y t x y E L xx y p p x y
p
, ,( ( ( )), ( ( ))) ( , ) ( ) (� � � � � �� �
�
��
0
( ), ( ))s y s ds� , (17)
ãäå � � � �� � � � �min ~ , , ~ inf : | ( ) | ,{ } { }t t x t p0 0 è x x xm� � �{ }� : | | . Ïî
ïîñòðîåíèþ
h x x y h xp p
1 21 1( | | ) ( , ) ( | | )
� , (18)
ãäå êîíñòàíòû h l h Fp p1 1 0 1 1 1� � � ��� �|| || || || , h l h Fp p2 2 0 1 1 1� � ��� �|| || || || ÿâ-
ëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè äëÿ íåêîòîðîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãî � p � 0.
Èç ôîðìóëû (17) ñëåäóåò
~
( ) ( , )
~
( ) ( )
~
( , )L x y L x L x y� � � � � �� �0 1
� � � � ( ( ), ( , )) ([ ( )] ( , ), ( , ))� �0 2 0 1 1x F x y D x g x y f x y
�
1
2
1 0 1 1a y g x y D x F x y F x y( ) ( , ) ([ ( )] ( , ), ( , ))� �
� � �( ( ), [ ( , )] ( , )) ( ( ), [ ( , )] (� �0 1 1 0 1 1x DF x y F x y x DF x y g� x y r x y, )) ( , ) 4� ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 131
ãäå r V rp p4
0 1
4�
�
�� � �
� �
, sup || || . Òîãäà
~
( )L Vp� � � è ââèäó íåðàâåíñòâà (21) ìîæíî
çàïèñàòü
|
~
( ) ( , ) | ( , )L x y
h
h
x y� � �
3
1
,
ãäå h L
p3
0 1
�
� �
sup ||
~
( ) ||
�
� � . Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî ïðîöåññ
� � �� � ( ) ( ( ( ), ( ( ))))/
t e x t y t
h t h� � 3 1
èìååò íåïîëîæèòåëüíóþ ïðàâóþ ïðîèçâîäíóþ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, òàê êàê
lim ( ) ( ) / },
/
� �
�
�
� �
0
1 2
E t tx y
t{
�
�
� � �h
h
t e L x t y t
h t h3
1
3 1
� � � �� � ( )
~
( ) ( ( ( ), ( ( ))))/ .
Ñëåäîâàòåëüíî,
( )t ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì ñóïåðìàðòèíãàëîì [8] è òîãäà
P t E tx y
t t T
x y, ,: sup ( ) ( )
�
�
�
�
!
"
�
0
1
0{ } (19)
äëÿ âñåõ T t� �0 0 è � 0. Îòñþäà
P x t Px y
t T
x y
t
, ,: sup | ( ( )) | : sup
�
�
�
�
!
"
�
�
�
� � ��
0 0 T
x t y t� � �� � ( ( ( )), ( ( ))) �
�
!
"
�
�
�
!
"
h
h x
h
h
h
Tp
p
p1
2
1
3
1
1
1
1
( )
( | | )
( )
exp
,
à çíà÷èò, P t tx y, : lim ( )
�
�
�
�
!
"
�
� �
� �
1 äëÿ âñåõ x y Vm� �� , 1, � ��( , )0 p . Èç
(17) è (18) ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
E x t
h
E x t y tx y
p
x y, ,| ( ) | lim ( ( ( )), ( ( ))�
� � � � � �
� �
1
1
{ )}
�
�
�
!
"
h
h
x
h
h
tp2
1
3
1
1( | | ) exp
(20)
äëÿ âñåõ x y Ym
p� � �� , , ( , )� �0 . Òåîðåìà 1 äîêàçàíà. �
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè � � � �� � �D L V L Vp p(
~
( )), ,
~
( )
1 2
ïðè íåêîòîðûõ p1 0� ,
p2 0� , òî äëÿ âñåõ T t T� �0 0, [ , ] è y Y�
| ( ( ), ( )) ( , ) | ( | | ) .,E x t y t x y t M xx y T
p{ }� �� � �
1 2 (21)
Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ ëþáîãî T � 0 ñóùåñòâóåò òàêîå �T � 0, ÷òî ïðè âñåõ r � 0
lim sup sup : sup | ( ) |
| |
,
� �
��
�� � � �
�
�
�
�
0 0T x r
x y
t T
P x t !
"
� 0,
ãäå � 2.
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà (19).
4. ÑËÀÁÀß ÊÎÌÏÀÊÒÍÎÑÒÜ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÛÕ ÌÅÐ
 ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ ÑÊÎÐÎÕÎÄÀ
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëàáîé ñõîäèìîñòè ðåøåíèé èìïóëüñíûõ ñèñòåì ñ ìàðêîâ-
ñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè (ÈÑÌÏ) [13, 16, 17] èñïîëüçóþòñÿ íåêîòîðûå ñâåäå-
íèÿ èç [1, 14].
Ïóñòü B — ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé ñ íîðìîé
|| || sup | ( )|x x t
x
�
0 1
. (22)
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
Îáîçíà÷èì D ïîäìíîæåñòâî ôóíêöèé èç B , êîòîðûå íå èìåþò ðàçðûâîâ âòî-
ðîãî ðîäà è íåïðåðûâíû ñïðàâà, à â òî÷êå x �1 íåïðåðûâíû ñëåâà. Äëÿ õàðàê-
òåðèñòèêè ýëåìåíòîâ D áóäåì èñïîëüçîâàòü ôóíêöèîíàë, âûñòóïàþùèé â òîé
æå ðîëè, ÷òî è ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè â ïðîñòðàíñòâå C . Ñëåäóÿ [1], ýëåìåíòó
x D� ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ àðãóìåíòà ��( , )0 1 , îïðåäå-
ëåííóþ ðàâåíñòâîì
W x W x t t
t j r
j j
j
' ( , ) inf max ( , [ , ))
( )
� �
�
�
0
1 ,
ãäå W x t t x s x t s t t tj j j j( , [ , )) sup {| ( ) ( ) | , , [ , )� �� � �1 1 }, à íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ
ïî âñåì ðàçáèåíèÿì îòðåçêà [ , ]0 1 , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
0 10 1� � � � �t t tr� , t t j rj j� � ��1 1�, , .
Äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé x C� â ñèëó íåïðåðûâíîñòè èìååò ìåñòî
1
2
2W x W x W x( , ) ( , ) ( , )� � �
' ,
ãäå W x( , )� — ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè,
W x x s x t s t t
t
( , ) sup sup {| ( ) ( ) | , [ , )}� �
�
� � � �
�0 1
1 .
Ââåäåííûé ôóíêöèîíàë (22) ïî ñóòè ñîâïàäàåò ñ W x( , )� .
Ëåììà 4 [1]. Ôóíêöèÿ x ïðèíàäëåæèò D òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
lim ( , )
�
�
�
�
0
0W x' .
 ïðîñòðàíñòâå D ìîæíî ââåñòè ìåòðèêó d ñëåäóþùèì îáðàçîì [1, 3].
Îáîçíà÷èì � êëàññ ñòðîãî âîçðàñòàþùèõ ñêàëÿðíûõ îòîáðàæåíèé îòðåçêà [ , ]0 1
íà ñåáÿ. Äëÿ x D� è y D� îïðåäåëèì ðàññòîÿíèå d x y( , ) êàê íèæíþþ ãðàíü òàêèõ
ïîëîæèòåëüíûõ �� 0, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò � �� òàêîå, ÷òî
sup | ( ) |
[ , ]t
t t
�
� �
0 1
� � è sup | ( ) ( ( )) |
[ , ]t
x t y t
�
�
0 1
� �.
Î÷åâèäíî, ÷òî d x y( , ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñèììåòðèè d x y d y x( , ) ( , )� è óñ-
ëîâèþ òðåóãîëüíèêà d x y d x z d z y( , ) ( , ) ( , )
[1].
Ïðîñòðàíñòâî D ñ òîïîëîãèåé, ïîðîæäåííîé ìåòðèêîé d x y( , ), íàçûâàåòñÿ
ïðîñòðàíñòâîì Ñêîðîõîäà. Ê ñîæàëåíèþ, îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ â D íå ÿâëÿåòñÿ íå-
ïðåðûâíîé â ýòîé òîïîëîãèè [1]. Ïðîñòðàíñòâî Ñêîðîõîäà ñåïàðàáåëüíî, îäíàêî
â ìåòðèêå d x y( , ) ïðîñòðàíñòâî D íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì [1]. Ïîýòîìó èñïîëüçóþò
äðóãóþ ìåòðèêó d x y0 ( , ), êîòîðàÿ òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà d x y( , ), íî îòíî-
ñèòåëüíî êîòîðîé D åñòü ïîëíûì, ÷òî âåñüìà âàæíî äëÿ õàðàêòåðèñòèêè
êîìïàêòíûõ ïîäìíîæåñòâ [5].
Ìåòðèêà d x y0 ( , ) ââîäèòñÿ â [1, 3] êàê íèæíÿÿ ãðàíü òåõ �� 0, äëÿ êîòîðûõ
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
sup | ( ) ( ( )) | , sup ln
( ) ( )
[ , ]t s t
x t y t
t s
t s�
�
�
�
0 1
� �
� �
� .
Äàëåå ïðîâåäåì àíàëîã òåîðåìû Àðöåëëà [4, 5] äëÿ ïðîñòðàíñòâà Ñêîðîõîäà.
Òåîðåìà 2 [2]. Ìíîæåñòâî A D� èìååò êîìïàêòíîå çàìûêàíèå â ïðîñòðàí-
ñòâå Ñêîðîõîäà, åñëè
sup || ||
x A
x
�
� � è lim sup ( , )
�
�
� �
�
0
0
x A
W x' ,
ãäå || ||x îïðåäåëåíî (22).
Áîëåå ïðîñòî êîìïàêòíîå çàìûêàíèå ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëà
W x x t x t x t x t'' ( , ) sup min | ( ) ( ) | , | ( ) ( ) |� � � �{ }1 2 ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 133
ãäå âåðõíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì t t t, ,1 2 òàêèì, ÷òî t t t1 2
, t t2 1� � �.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî W x W x'' '( , ) ( , )� �
.
Òåîðåìà 3 [1]. Ìíîæåñòâî A èìååò êîìïàêòíîå çàìûêàíèå â ïðîñòðàíñòâå
Ñêîðîõîäà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
sup || ||
x A
x
�
� � , lim sup ( , [ , ))
�
�
� �
�
0
0 0
x A
W x ,
lim sup ( , [ , ))
�
�
� �
� �
0
1 1 0
x A
W x , lim sup ( , )
�
�
� �
�
0
0
x A
W x'' .
Îòìåòèì, ÷òî ïðè ñëàáîé ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñî çíà÷åíèÿìè â D, ò.å.
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ
( )t , âñå èõ ðåàëèçàöèè ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà D.
Ïî êëàññè÷åñêîé òåîðåìå Ïðîõîðîâà [9] ñåìåéñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð H
ïðîñòðàíñòâà D ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñëàáî êîìïàêòíûì (ò.å. ëþáàÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ýëåìåíòîâ H ñîäåðæèò ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü)
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ïëîòíî. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ � �� 0 ñóùåñòâóåò
êîìïàêò K D� � òàêîé, ÷òî D K( )� �� �1 äëÿ âñåõ P H� .
Çàìå÷àíèå 1.  äàëüíåéøåì ïîä ñëàáîé ñõîäèìîñòüþ ñåìåéñòâà ñëó÷àéíûõ
ýëåìåíòîâ
n ñî çíà÷åíèÿìè â D áóäåì ïîíèìàòü ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ
ìåð P
n
, îïðåäåëåííûõ ýòèìè âåëè÷èíàìè íà ìèíèìàëüíîé �-àëãåáðå #D ïîä-
ìíîæåñòâ D , ïîðîæäåííîé áàçèñîì òîïîëîãèè Ñêîðîõîäà.
Îïðåäåëèì äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ñî çíà÷åíèÿìè â D êîíå÷íîìåðíûå
ïðîåêöèè �
t t kk
P P t t t
1 1 2, , }{ ( ) , ( ) , , ( )� �� � � � �$ $ $ . Ïóñòü T
— ìíîæåñ-
òâî òî÷åê íà îòðåçêå [ , ]0 1 , äëÿ êîòîðûõ ïðîåêöèÿ � t íåïðåðûâíà âñþäó (â ñìûñëå
ñëàáîé ñõîäèìîñòè âåðîÿòíîñòíûõ ìåð), çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà P
— ìåðû
íóëü. Ïî îïðåäåëåíèþ âñåãäà 0�T
è 1�T
. Î÷åâèäíî, ÷òî t T�
òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà P t t{ }�
: ( ) ( )% � � 0 . Çäåñü
( ) lim ( )t s
s t
� �
&
. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
äîïîëíåíèå íà îòðåçêå [ , ]0 1 íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî.
Òåîðåìà 4 [1]. Ïóñòü �
t tk n
P
1,..., ñëàáî ñõîäèòñÿ ïðè n � � ê �
t tk
P
1,..., äëÿ
âñåõ t T j nj � �
, ,1 , è P ( ( ) ( ))
1 1 0 0% � � . Åñëè äëÿ âñåõ t2 0 1�[ , ], t t t�[ , ]1 2 ,
n�� è íåêîòîðûõ c� � �0 1 0, ,� � âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
E t t t t c t tn n n n{ }| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | |
� � �� �
�
1 2 2 1
1 , (23)
òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }
n ñëàáî ñõîäèòñÿ ê
.
Çàìå÷àíèå 2. Îïèñàíûå âûøå ðåçóëüòàòû ïåðåíîñÿòñÿ íà ñëó÷àé, êîãäà
n t( ) ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè n-ìåðíûìè âåêòîðàìè, à àðãóìåíò t a b�[ , ] — ïðîèç-
âîëüíûé îòðåçîê.  äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîëó÷åííûå âûøå ñêàëÿð-
íûå ðåçóëüòàòû, ïðè ýòîì îòðåçîê [ , ]0 1 çàìåíèì, íå òåðÿÿ îáùíîñòè, îòðåçêîì
[ , ]a b ïðè ëþáûõ b a� .
Óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè ê äèôôóçèîííîìó ïðîöåññó îïèñàíû â ðàáîòå [14].
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå
�( ) ( , )t t m� �� — ñëàáîå ðåøåíèå ñòîõàñòè÷åñ-
êîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (ÑÄÓ) Èòî
d t a dt B dw t
( ) ( ) ( ) ( )� , (24)
ãäå a x B x( ), ( ) — íåïðåðûâíûå ôóíêöèè ïî x m�� , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëî-
âèþ ëèíåéíîãî ðîñòà
| ( , ) | || ( , ) || ( | | )a t x B t x K x
1
è ëîêàëüíîìó óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî x m�� .
134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
Òåîðåìà 5 [14]. Ïóñòü äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ
{ }
n t t a b( ); [ , ]� âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
à) ðàñïðåäåëåíèå
n a( ) ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû
;
á) ñóùåñòâóåò òàêîå ìíîæåñòâî
~
D äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ
ôèíèòíûõ ôóíêöèé â �
m , ïëîòíîå â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ÷òî äëÿ
âñåõ a t t t t h bk
� � �
1 1� è � �1 1' ' � � k D
~
âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
lim | ( ( )), ..., ( ( ))[ ( ( ))
n
k n k n k k nE t t t h
��
�{�
�
�
1 1
� � � �
�
k n k nt hL t o h1 1( ( )) ( ( ))] | ( )}
ïðè h � 0 ðàâíîìåðíî ïî t t b hk� � [ , ]1 , ãäå L — ñëàáûé èíôèíèòåçèìàëüíûé
îïåðàòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé (24).
Òîãäà êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
n t( ) ñõîäÿòñÿ
ê ñîîòâåòñòâóþùèì êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì ðåøåíèÿ ÑÄÓ (24) ñ íà-
÷àëüíûì óñëîâèåì
�
a) � .
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ � �T 0 ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû �T
è AT , ÷òî
| ~ ( ( ), ( )) ~ ( , ) | ( | | ),E x t y t x y tA xx y T{ }� �� � � �� � 1 2
(25)
ïðè âñåõ t T xT
m� � �[ , ], ( , ), ,0 0� � � y Y� è c m�� .
Ýòî ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåíèÿ
~ ( , ) | | ( , ( , )) | ( , ) |� � � � �� x y x x F x y x F x y� 2
1
2
1
22 � � ,
ëåììû 3 è ôîðìóëû (21).
Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ ëþáûõ T � 0 è c m�� ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû �T è AT ,
÷òî
| � ( ( ), ( ), ) � ( , , ) | | | ( | |,E x t y t ñ x y ñ tA ñ xx y T{ }� �� � � �� � 1 ) (26)
ïðè âñåõ t T xT
m� � �[ , ], ( , ) ,0 0� � � è y Y� .
Ýòî ñëåäóåò èç ëåììû 3 è ôîðìóëû (21).
Ñëåäñòâèå 3 . Äëÿ ëþáîãî T � 0 ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàí-
òû �T è AT , ÷òî
E x t F x t y t x F x y tAx y T, | ( ) ( ( ), ( )) ( , ) | ( |� � �� � � � � � �1 1
2 1 x | )2 (27)
ïðè âñåõ t T xT
m� � �[ , ], ( , ) ,0 0� � � è y Y� .
Çàïèøåì ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (27) â âèäå
| ( ) ( ( ), ( )) ( , ) | ~ ( ( ),x t F x t y t x F x y x t y� � � � �� � � � � �� �1 1
2
� ��( )) ~ ( , )t x y� �
� � 2 1 1 1( ( ) ( ( )) ( , ), ( , ))x t F x t F x y x F x y� �� � �� � � .
Äàëåå ïðèìåíèì ôîðìóëû (25) è (26) ïðè c x F x y� �� 1 ( , ), à òàêæå îöåíêó
| ( , ) | ( | | )( | | )x F x y h F x
�� 1 1 11 1 .
Ñëåäñòâèå 4. Äëÿ ëþáîãî T � 0 ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû �T è AT , ÷òî
E x t F x t y t x s F x s y s{| ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ))� � � � � �� � � �� �1 1 | / /2 2
�
s � }
� ( ) ( | ( ) | )t s A x sT 1 2
(28)
ïðè âñåõ s T t s T xT
m� � � �[ , ], [ ,` ], ( , ) ,0 0� � � è y Y� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 135
Ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (27) è ïðåäñòàâëåíèÿ
E x t y t E x t s yx y
s
x s y s,
/
( ), ( )( ( ), ( )) / ( ( ),{ }� �� �
�
�� �
�
2
� � � ( ))t s�
äëÿ ëþáîãî � �V2 .
Äàëåå îïðåäåëèì âåêòîð
b x F x y dy DF x y F x y dy DF
Y Y
( ) ( , ) ( ) [ ( , )] ( , ) ( ) [� �
2 1 1 1� �� ( , )] ( , ) ( )x y g x y dy
Y
1 �
è ñèììåòðè÷åñêóþ ìàòðèöó A x aij i j
m( ) ,� �{ } 0
ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû
1
2
1 1( ( ) , ) ( ( , ), )( ( , ), ) ( )A x c c F x y c F x y c dy
Y
� �
� �
�
( ( , ), )( ( , ) ( ) ( , ), ) ( )g x y c f x y a y g x y c dy
Y
1 1 1
1
2
� ,
ãäå c — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç �
m . Îòìåòèì, ÷òî ïî ïîñòðîåíèþ äëÿ êîîðäè-
íàò b xj ( ) âåêòîðà b x( ) è ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A x( ) èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
b V b V a V a V D a Vj j ij ij ij� � � � � � � �1 1 2 1 1, | | , , | | , || || (29)
äëÿ âñåõ i j m, ,�1 .
5. ÏÐÅÄÅËÜÍÛÉ ÈÍÔÈÍÈÒÅÇÈÌÀËÜÍÛÉ ÎÏÅÐÀÒÎÐ
Èç ñëåäñòâèÿ 2 òåîðåìû 1 è ðåçóëüòàòîâ ðàçä. 4 äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî íàáîðà
ìîìåíòîâ âðåìåíè t t tr r� � � ��1 1 0... ìîæíî îïðåäåëèòü ñåìåéñòâî ðàñïðåäå-
ëåíèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà { }x t x tk� �( ), ..., ( )1 , � ��( , )0 0 , êîòîðîå áóäåò îòíîñè-
òåëüíî ñëàáî êîìïàêòíî. Ïîýòîìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ðåøåíèå èìïóëüñíîé
ñèñòåìû (8)–(10) êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå Ñêîðî-
õîäà D ([ , ], )0 T m
� ïðè íåêîòîðîì ôèêñèðîâàííîì T � 0.
Âåðîÿòíîñòíûå ìåðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðåøåíèÿì, îáîçíà÷èì P � . Äîêàæåì,
÷òî ñåìåéñòâî P � îòíîñèòåëüíî ñëàáî êîìïàêòíî, ò.å. ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü { }�n n, �� , ÷òî lim
n
n
��
�� 0 è { }P n�, �� ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó
ðàñïðåäåëåíèþ �P. Îòìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò áåç ñêà÷êîâ (ò.å. ïðè
g x y( , , )� � 0) èìååò ìåñòî â [19], íî îí ïîëó÷åí äðóãèì ñïîñîáîì.
Çàìå÷àíèå 3. Ðåçóëüòàò, èçëîæåííûé â íàñòîÿùåì ðàçäåëå, ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïî-
ìîùüþ ìåòîäèêè èç ðàáîòû [22]. Îäíàêî óêàçàííûé âûøå ðåçóëüòàò äîêàæåì áîëåå
ïðîñòûì ìåòîäîì, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé âòîðîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà [10].
Îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå x t� ( ) ÄÓ� (8), (9) è ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ
~ ( ) ( ) ( ( ), ( ))x t x t F x t y t� � � ��� � 1
èìåþò îäèíàêîâûå ñâîéñòâà ñëàáîé ñõîäèìîñòè ïðè � � 0, òàê êàê äëÿ âñåõ
T � 0 , �� 0, y Y� è r � 0
lim / sup ~ ( ) ( )
| |
,
�
� �
� �
�
�
�
�
� �
!
"
�
0 0x r
y Y
x y
t T
P x t x tsup 0 .
Çíà÷èò, åñòåñòâåííî îïåðèðîâàòü ôóíêöèîíàëàìè
~ ( , ) | ( , ) |� �� x y x F x y� � 1
2 , � ( , , ) ( ( , ), )� �� x y c x F x y c� � 1
ïðè íåêîòîðîì c m�� .
136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
Òåîðåìà 6. Ïóñòü � � �� �� 0 1
2u ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì èç ëåììû 3,
à u x y( , ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
Qu F � 0,
ãäå
F x y x F x y DF x y F x y DF x y( , ) ( ( ), ( , ) [ ( , )] ( , ) [ ( ,� � �� 0 2 1 1 1� )] ( , ) ( ))g x y b x1 �
� � �([ ( )] ( , ), ( , )) [ ( )] ( , ), (D x F x y F x y D x g x y f x� �0 1 1 0 1 1� , ) ( ) ( , )y a y g x y �
�
�
�
�
��
1
2
1
� �
1
2
0sp [ ( ) ( )]A x D x� .
Òîãäà
~
( ) , sup ||
~
( ) ||L V Lp p� � � �
�
� � �
� �0 1
è äëÿ âñåõ y Y� , x m�� èìååò ìåñòî
ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå
lim /
~
( ) ( , ) ( )
�
� � �
�
�
0
0 0L x y L x ,
ãäå L x A D x b xx0 0 0 0
1
2
� � �( ) ( ) ( , ( ))� � �sp .
Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ïîñòðîåííîé ìàòðèöû A x( ) è âåêòîðà
b x( ) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
F x y dy
Y
( , ) ( )�
� 0.
Îòñþäà ïî àëüòåðíàòèâå Ôðåäãîëüìà óðàâíåíèå Qu F � 0 èìååò ðåøåíèå [4].
Ïîýòîìó ýòî ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå u x y F x y( , ) ( , )� � , è òîãäà
óòâåðæäåíèå òåîðåìû 6 ìîæíî ïîëó÷èòü èç ëåìì 1–3, ïîñêîëüêó
~
( ) ( , ) ( ) ( )L x y A x D x� � �� �
1
2
0sp { }
� ( ( ), ( )) ( , ) ( , ) ( , )� � � � �0 1 2 3x b x r x y r x y r x y . �
Çàìå÷àíèå 4. Íèæå ïîêàæåì, ÷òî ìàòðèöà A x( ) íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà,
è òîãäà îïåðàòîð L0 ñ êîýôôèöèåíòàìè (29) ìîæíî ñ÷èòàòü èíôèíèòåçèìàëüíûì
îïåðàòîðîì äèôôóçèîííîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà { ( ), }x t t � 0 , çàäàííîãî íà íå-
êîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå.
6. ÑËÀÁÀß ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÐÅØÅÍÈÉ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ïóñòü äëÿ ñåìåéñòâà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ { }x t t T� ( ), 0
, îïðåäåëÿåìîãî
ÄÓ � (8), (9), âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 3.
Òåîðåìà 7. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû óêàçàííûå âûøå óñëîâèÿ îòíîñè-
òåëüíî êîýôôèöèåíòîâ çàäà÷è (8)–(10). Òîãäà äëÿ ëþáîãî T � 0 ïðîöåññû
{ }x t t T� ( ), [ , ]� 0 çàäà÷è (8)–(10) ïðè � � 0 ñëàáî ñõîäÿòñÿ ê äèôôóçèîííîìó ìàð-
êîâñêîìó ïðîöåññó { }x t t T( ), [ , ]� 0 (ñ èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì L0), êîòî-
ðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Èòî
dx b x dt A x dw t� ( ) ( ) ( ) , (30)
ãäå w t( ) — ñòàíäàðòíûé ïðîöåññ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ â Q , à b è A îïðåäå-
ëåíû íà ýòàïàõ 2 è 3 äîêàçàòåëüñòâà.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì çà íåñêîëüêî ýòàïîâ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 137
Ýòàï 1. Äîêàæåì, ÷òî ðåøåíèå { }x t t T� ( ), [ , ]� 0 çàäà÷è (8)–(10) ñëàáî êîì-
ïàêòíî.
Îïðåäåëèì âåêòîð-ôóíêöèþ � � �( , , ) ( , )x y x F x y� � 1 , êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò
äëÿ íåêîòîðîãî �1 0� è ïðîèçâîëüíûõ r � 0, T � 0, � r, x S r� , y Y� è � ��( , )0 1
çàïèñàòü íåðàâåíñòâî
P x t x t y tx y
t T
,
[ , ]
sup | ( ) ( ( ), ( ), ) |
�
�
�
� �
!
"
� 0
� � �� �
�
�
�
�
!
"
�
P h F x t
r h
x y
t T
,
[ , ]
( || || ) sup | ( ) |
( )
� �1
1
1 1
0
2
3
1
1 1 1
11 1
exp
( [ ( || || )] )
h T
h
h h F
�
�
�
!
"
� �
.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèÿ òåîðåìû 4 âûïîëíåíû äëÿ
x t x t y t� � �� �( ) ( ( ), ( ), )� .
Ôîðìóëà (28) ïîçâîëÿåò çàïèñàòü
E x t x s t s A x sx y
s
T,
/{ | ( ) ( ) | / } ( ) ( | ( ) | )� �
�
��
� 2 22
1�
äëÿ âñåõ s T t s T xT
m� � � �[ , ], [ , ], ( , ) ,0 0� � � è y Y� .
Èñïîëüçóåì íåðàâåíñòâî
E x t x x x sx y,
/ /{ | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | }� � � �� �� �
3 2 3 2
� �E E x t x x x sx y x y, ,
/ /{( { | ( ) ( ) | / }) | ( ) ( ) |� �
� �
� �� �2 3 42
�
3 2 3 4 3 4/ / /} ( )
� �A t
T
�
� �E E x E x xx y x y
s
x y, ,
/ /
,{( {( | ( ) | ) / }) ( {| ( )1 6 1 42
�
�
� �� �� ( ) | / }) }/ /s s2 3 42
�
�
� � A t t s E E x
T x y x y
s2 3 3 4 3 4 61/ / /
, ,
/( ) ( ) {( {( | ( ) | ) /� ��
�
�
2 1 4 3 21}) ( | ( ) | ) }/ / x s� .
Îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (23) òåîðåìû 4 äëÿ x t� ( ) ïðè � �
3
2
è � �
1
2
. Èòàê,
ñåìåéñòâî { }x t� ( ) , à ñëåäîâàòåëüíî è { }x t� ( ) , ñëàáî êîìïàêòíî.
Ýòàï 2. Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå êîýôôèöèåíòà b x( ). Ïóñòü { }x t
k� ( ) ñõîäèò-
ñÿ ê íåêîòîðîìó ïðîöåññó x t( ) ïðè �k � 0. Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë
u x y x c x c F x y c u x y� � �( , ) ( , ) ( , )( ( , ), ) ( , )� 2
1
22 � ,
ãäå
u x y F x y c F x y c( , ) ( ( , ), )( ( , ), )�
�
�
(
�(
�� �2 1 1
�
�
�
��
�
�
�� 2
1
2
21 1 1( ( , ), ) ( , ) ( ) ( , ), ( ,g x y c f x y a y g x y c x c)( ( , ), )F x y c2
�2 21 1 1 1( , )([ ( , )] ( , ), ) ( , )([ ( , )] (x c DF x y F x y c x c DF x y g� x y c, ), ) �
� �
!
(
"(
( ( ) , ) ( , )( ( , ))A x c c x c b x c2 .
Èç òåîðåìû 6 è ëåììû 3 ñëåäóåò, ÷òî ÑÈÎ èìååò âèä
~
( ) ( , ) ( ( ) , ) ( , )( ( ), ) ( , )L u x y A x c c x c b x c r x y� � �� 2 4 ,
ãäå r V r4 2
0 1
4�
�
�� � �
� �
, sup || || è lim ( , )
�
�
�
�
0
4 0r x y äëÿ âñåõ x m�� è y Y� .
138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
Ïóñòü
� � �� ( , ) ( , ) ( ( , ), ) ( , )x y x c F x y c u x y� � 1
2 ,
ãäå
u x y F x y c DF x y F x y c( , ) ( ( , ), ) ([ ( , )] ( , ), )� �� �{ 2 1 1
� �([ ( , )] ( , ), ) ( ( ), )�DF x y g x y c b x c1 1 }.
Î÷åâèäíî, ÷òî
L x y b x c r x y( ) ( , ) ( ( ), ) ( , )� � � �� 5 ,
ãäå r V r5 2
0 1
5�
�
�� � �
� �
, sup || || è lim ( , )
�
�
�
�
0
5 0r x y äëÿ âñåõ x m�� è y Y� .
Ýòàï 3. Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå êîýôôèöèåíòà A x( ) ÑÄÓ (30). Äëÿ ýòîãî
âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé
E x t x c E x t c x c x c E xx y x y x y, , ,( ( ) , ) ( ( ), ) ( , ) ( , ) (� � � �2 2 2 2 { ( ), ) ( , )t c x c� �}
� � �
�
lim ( ( ), ( )) ( , ),
�
� � � �
0
E u x t y t u x yx y k k k k
{ }
� �
�
2
0
( , ) lim ( ( ), ( )) ( , ),x c E x t y t x y
k
k k k kx y
�
� � � �� �{ }.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ � �t 0
0 2
0
� �
E x t x c E A x s c c dsx y x y
t
, ,( ( ) , ) ( ( ) , )
�
2 2
0
E x s c b x s ds x c E b x s cx y
t
x y, ,( ( ), )( ( ( ))) ( , ) ( ( ( )), ) ds
t
0
.
Òîãäà
( ( ), ) {( ( ) , ) },A x c
d
dt
E x t x cx y t
� � �
�
2
0
0
äëÿ âñåõ x m�� è ñ m�� . Èòàê, ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà A x( ) íåîòðèöàòåëüíî
îïðåäåëåíà, è òîãäà ñóùåñòâóåò íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà A x( ),
äëÿ êîòîðîé ( ( )) ( )A x A x2 � .
Ýòàï 4. Äîêàæåì, ÷òî ïðåäåëüíûé ïðîöåññ x t( ) óäîâëåòâîðÿåò ÑÄÓ (30).
Ïóñòü � 0 ( )x èìååò êîìïàêòíûé íîñèòåëü è äâå íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå
îò �1 è u óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 6, à � � �� �� � 0 1
2u. Òîãäà èç òåî-
ðåìû 6 ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
E x t y t x y E L x yx y
t
x y, ,( ( ), ( )) ( , ) { ( ) ( ( ),� � � � �� � � � � ��
0
� � �( ))}d �
�
� � � � �� � � � �( , ) ( ( )) {� ( ( ),, ,x y E L x d E r x yx y
t t
x y0 0
0 0
( ))}� �d ,
ãäå � , sup || � ||r V r�
�
�� � �
� �
2
0 1
, lim � ( , )
�
�
�
�
0
0r x y äëÿ âñåõ x m�� è y Y� .
Äàëåå èìååì î÷åâèäíûå ðàâåíñòâà
E x t y t E x s y s E xx y x y x y, , ,( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( (� � �� � � � � � �� � 0 t E x sx y)) ( ( )),� � �0
�� � �� � � �[ [ ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))]],E x t y t x s y sx y ;
E L x y dx y
t
, ( ) ( ( ), ( )){ }� � � � �� � �
0
�
�
E L x d E r x y dx y
t
x y
t
, ,( ( )) � ( ( ), ( ))0 0
0 0
� � � � � �� � � � ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 139
ãäå � � �( , ) ( , ) ( , )x y x y u x y� 1 , ïðè÷åì �1 0 0� �V u V, , ïîñêîëüêó � 0 ( )x èìååò
êîìïàêòíûé íîñèòåëü.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì áåñêîíå÷íî ìàëóþ âåëè÷èíó
sup ( ( )) ( ( )) ( (, , ,
0
0 0 0 0
� �
s t T
x y x y x yE x t E x s E L x� � �� � � � � �)) ( )d o
s
t
�
ïðè âñåõ T x y Ym� � �0, ,� .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðåäåëüíûé ïðîöåññ x t( ) óäîâëåòâîðÿåò ÑÄÓ Èòî (30).
Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (30) ââèäó âûïîëíåíèÿ îãðàíè÷åíèé íà
ôóíêöèè f x yj ( , ) è g x y jj ( , ), ,�1 2 , óäîâëåòâîðÿþò ãëîáàëüíîìó óñëîâèþ Ëèï-
øèöà. Ïîýòîìó äëÿ � �x m
� ÑÄÓ (30) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå íà÷àëüíîé
çàäà÷è x x( )0 � .
Òàêèì îáðàçîì, âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }x t� ( ) ïðè � � 0 ñëàáî ñõîäèòñÿ
ê ïðåäåëüíîìó ïðîöåññó x t( ), êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (30). Òåîðåìà 7
äîêàçàíà.
7. ÑËÀÁÀß ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÍÎÐÌÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÓÊËÎÍÅÍÈÉ
Ïóñòü íåïðåðûâíûé ñïðàâà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ x t m( )�� ïðè t j j� �( , )� �1 ,
j�� , óäîâëåòâîðÿåò ÄÓ �
dx
dt
f x y t� � �( , ( ), ), (31)
ïðè � � �t jj{ }� , � óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñêà÷êà
x t x t g x t y t( ) ( ) ( ( ), ( ), )� � � �� � (32)
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ x x( )0 � .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè f è g ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
f x y f x y f x y f x y( , , ) ( , ) ( , ) ( , , )� � � �� 1 2 3 ,
g x y g x y g x y g x y( , , ) ( , ) ( , ) ( , , )� � � �� 1 2 3 ,
ãäå f1 è g1 íåïðåðûâíû è èìåþò äâå îãðàíè÷åííûå íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå
ïî x ; f x y f x y g x y g x y2 3 2 3( , ), ( , , ), ( , ), ( , , )� � íåïðåðûâíû è èìåþò äâå îãðàíè-
÷åííûå íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïî x , ïðè÷åì äëÿ âñåõ y Y� è ��( , )0 1
|| ( , , ) || || ( , , ) || ( )Df x y Dg x y3 3� � � �
,
ãäå lim ( ) ( )
�
� � �
�
�
0
o . Îáîçíà÷èì
X t x t u t x� � �( ) [ ( / ) ( , )]/� �1 2 , (33)
ãäå x t( ) — ðåøåíèå (31), (32) ïî íà÷àëüíûì x x( )0 � , à u t x( , ) — ðåøåíèå óñðåä-
íåííîãî óðàâíåíèÿ [15, 18]
du
dt
b u� 1 ( ) (34)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì u x( )0 � .
Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X t� ( ) (33) ñîãëàñíî [15] áóäåì íàçûâàòü íîðìèðîâàí-
íûì îòêëîíåíèåì ðåøåíèÿ èìïóëüñíîé ñèñòåìû (31), (32) îò ñîîòâåòñòâóþùåãî
óñðåäíåííîãî óðàâíåíèÿ (34) ñ òåì æå íà÷àëüíûì óñëîâèåì.
Òåîðåìà 8. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèé ñèñòåì (31), (32) è (34).
Òîãäà íîðìèðîâàííûå îêëîíåíèÿ (33) { }X t� ( ) , 0
t �, äëÿ âñåõ x y Ym� �� , ,
T � 0 ïðè � � 0 ñëàáî ñõîäÿòñÿ ê äèôôóçèîííîìó ìàðêîâñêîìó ïðîöåññó { }X t( ) ,
0
t �, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò ÑÄÓ
140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
dX Db u t x X dt A u t x dW t� 1 ( ( , )) ( ( , )) ( )
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì X ( )0 0� . Çäåñü ñèììåòðè÷íàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà
A x( ) îïðåäåëåòñÿ êàê
| ( ) | ( ( , ) ( ), )( ( , ), ) ( ( ,A x c F x y b x c F x y c g x y
2
1 1 1 12�
�
�
�
� �� ), )( ( , ) ( )c f x y b x
Y
1 1�
!
"
1
2
1a y g x y c dy( ) ( , ), ) ( )� ,
ãäå c m�� — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, W t( ) — ñòàíäàðòíûé ïðîöåññ áðîóíîâ-
ñêîãî äâèæåíèÿ [6, 11].
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûïèøåì ñèñòåìó ÄÓ � â �
2m äëÿ ïàðû { }X t u t x� ( ), ( , )
â âèäå
dX
dt
f u y t b u Df u y t X� � �
��� � �1 2
1 1 1
/ ( ( , ( )) ( )) ( )( , ( ))
� �
(( )( , ( )) ( )( , ( )))/Df s X u y t Df u y t ds X1
1 2
0
1
1� �
� �
�
�
� � ��
�1 2
2
1 2/ /( , ( ), )f X u y t
äëÿ t j j� �( , )�� ��1 ,
X t X t g u t x y t Dg u t x y� �
�� �( ) ( ) ( ( , ), ( )) ( )( ( , ),/� � � 1 2
1 1 ( )) ( )t X t� � �
� � �� �
�[( )( ( ) ( , ), ( )) ( )( ( , ),/Dg se X t u t x y t Dg u t x y1
1 2
1
� ( ))]t ds�
0
1
� �� � ��
�3 2
2
1 2/ /( ( ) ( , ), ( ), )g X t u t x y t
äëÿ âñåõ t jj� �{ }�� , � ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì X � ( )0 0� , u x x( , )0 � , ãäå
f x y f x y f x y
�
� 2 2 3( , , ) ( , ) ( , , )� � , g x y g x y g x y2 2 3( , , ) ( , ) ( , , )� �� .
Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî äëÿ àíàëèçà ýòîé ñèñòåìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòà-
òû èç ðàçä. 6, çàìåíèâ � íà � , à f1 — íà âåêòîð ( ( , ) ( ); ) ,f u y b u1 1 0� T g1 — íà
âåêòîð ( ( , ); ) ;g u y1 0 T f 2 — íà âåêòîð ([ ( , )]; ( ))Df u y b u1 1
T; g2 — íà âåêòîð
([ ( , )] ; )Df u y X1 0 T. Çàìåòèì, ÷òî âñå îñòàëüíûå ñëàãàåìûå ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè
� � 0 è íà ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèÿ ÑÈÎ ïðåäåëüíîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà íå
îòðàæàåòñÿ. Îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 7, à òàêæå êîýôôèöèåíòàìè ñíî-
ñà è äèôôóçèè â óðàâíåíèè (30) ñ ó÷åòîì ñäåëàííûõ çàìå÷àíèé. Òåîðåìà 8 ïîë-
íîñòüþ äîêàçàíà. �
8. ÀÍÀËÈÇ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
ÏÎ ÏÐÅÄÅËÜÍÎÌÓ ÓÐÀÂÍÅÍÈÞ
Íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )� � F P , F tt� � �{ }� � , 0 , ðàññìîòðèì èìïóëüñ-
íóþ ñèñòåìó
dx
dt
A y t x A y t x� � �1
2
2( ( )) ( ( )) (35)
ïðè t jj j� ��( , ) ,� �1 � ,
x t x t B y t x t B y t x t� � � � � �� �( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )� � � � � �1
2
2
(36)
ïðè t jj� �( ,� �}.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 141
 ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 2 èç [17] îá ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè äîñ-
òàòî÷íûì óñëîâèåì ýêñïîíåíöèàëüíîé p-óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (35),
(36) ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü äåòåðìèíèðîâàííîãî ÄÓ
du
dt
G u� ,
ãäå
G A y a y B y dy
Y
�
[ ( ) ( ) ( )] ( )1 1 � ,
ò.å. óñëîâèå ïðèíàäëåæíîñòè ñïåêòðà
�( ) : : ReG z C z� �{ }0 .
Ïóñòü òåïåðü G � 0. Â (35), (36) ïðîâåäåì çàìåíó âðåìåíè t t� �2 è ïåðåéäåì
ê ñëó÷àéíûì ïðîöåññàì x t x
t
�
�
( ) �
�
�
��
�
�
��2
è y t y�
�
( ) �
�
�
��
�
�
��
t
2
.
Îáîçíà÷èì G y A y a y B y jj j( ) ( ) ( ) ( ), ,� �1 1 2, âûïèøåì äèôôóçèîííîå ÑÄÓ
äëÿ ñëàáîãî ïðåäåëà x t( ) ïðîöåññà x t� ( )
dx B xdt C x dW tj j
j
m
�
�
) ( )
1
, j m�1, ,� , (37)
ãäå W t W tm1 ( ), ..., ( ) — íåçàâèñèìûå ñêàëÿðíûå ñòàíäàðòíûå âèíåðîâñêèå ïðî-
öåññû,
B G y G y G y G y B y dy
Y
�
{ }2 1 1 1 1( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )� � ,
à äåéñòâèòåëüíûå ìàòðèöû C C Cm1 2, , ..., îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé
j
m
j j
Y
C qC G y q G y B y
�
)
� �
1
1 1 1
T T{ ( ) [ ( ) ( )]�
�a y B y qB y G y B y qG y dy( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )} ( )1 1 1 1 1
T T� �
ñ ïðîèçâîëüíîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé q .
Òåîðåìà 9. Ïóñòü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå ÑÄÓ (37) ýêñïîíåíöèàëüíî p-óñòîé-
÷èâî ïðè íåêîòîðîì p� 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî �0 0� ,
÷òî äëÿ � �� �( , )0 0 ñèñòåìà (35), (36) ýêñïîíåíöèàëüíî p-óñòîé÷èâà, ò.å.
sup | ( ) | | |,
y Y
x y
rt pE x t Me x
�
�
�
ïðè íåêîòîðîì r M� �0 0, è � �x m
� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà âèäà
� 0
0
( ) | ( ) |x E x t dt
T
x
p�
,
ãäå x t( ) — ðåøåíèå ÑÄÓ (37).
 ñîîòâåòñòâèè ñ ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû [15] äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî T � 0
ìîæíî âûïèñàòü îöåíêè
c x x c x c
L x c x c
p p
p
1 0 0 1
53
0 3 3
0
0
| | ( ) | | , ;
( ) | | , ;
|
( )
�
� �
�
�
| ( ) || | | , , ,D x k x jj p� 0
1 1 3
�
�
�
(
(
�
(
(
�
(38)
ãäå D j — ïðîèçâîäíàÿ Ôðåøå ïîðÿäêà j, L( )53 — ÑÈÎ ìàðêîâñêîãî ïðî-
öåññà x t( ).
142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
Äàëåå ñòðîèì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà
� � �� � � �( , ) ( ) ( , ) ( , )x y x x y x y� 0 1
2 ,
ãäå � �1 1 0( , ) ( ( ) , ) ( )x y G y x x� �� , à � 2 ( , )x y óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
Q x y G y x x y G y x x� � �2 1 1 2 0( , ) ( ( ) , ) ( , ) ( ( ) , ) ( )� �
�
�
�
� �
�
!
"
1
2
1
2
0
53
0( ( ) , ) ( ) ( )( )B y x x L x� � . (39)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (39) ñóùåñòâóåò â ñèëó êîíñòðóêöèè ìàòðèö B ,
C C Cm1 2, , ..., è ôóíêöèé � 0 ( )x è �1 ( , )x y , ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü (39) â ñðåäíåì
ïî ìåðå �( )dy ðàâíà íóëþ. Âñëåäñòâèå íåðàâåíñòâ (38) äëÿ âñåõ x m�� , y Y� ,
j �1 2, , âûïîëíåíû î÷åâèäíûå íåðàâåíñòâà
| ( , ) | | |� j
px y K x
1 , (40)
| ( , ) | | |�
�� j
px y K x1
1
(41)
ïðè íåêîòîðîì K1 0� . Ñëåäîâàòåëüíî,
~
( ) ( , ) ( , ) ( , , )( )L x y L x y r x y� � � �� 53
0 ,
ïðè÷åì
| ( , , ) | ( ) | |r x y L x p� �
,
à � �( ) — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà ïðè � � 0, L( )� — ÑÈÎ ïàðû { }x t y t� �( ), ( ) .
Äàëåå, èç (38), (40), (41) ïîëó÷èì íåðàâåíñòâà
c x x y c x cp p
4 5 4 0| | ( , ) | | ,
�� ;
~
( ) ( , ) | | ,L x y c x cp� �
� �6 6 0
ïðè âñåõ � �� � �( , ), ,0 0 x y Ym
� , íåêîòîðûõ c c5 4 0� � , c6 0� è äîñòàòî÷íî
ìàëîì �0 0� . Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü íåðàâåíñòâî
E x t
c
x y
c
E L x s y sx y
p
t
x y, ,| ( ) | ( , ) ( ) ( ( ), ( )� � �� � �
1 1
4 4 0
)ds
�
c
c
x
c
c
E x s dsp
x y
p
t
5
4
6
4 0
| | | ( )|, � .
Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 9. �
9. ÌÎÄÅËÜÍÀß ÇÀÄÀ×À
Íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )� � F P ðàññìîòðèì èìïóëüñíóþ ñèñòåìó
dx
dt
y t Ax� ( ) (42)
ïðè t jj j� ��( , ) ,� �1 � , ãäå A — äåéñòâèòåëüíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà m m� ,
x t I y t c x t( ) ( ( ) ) ( )� � �� (43)
ïðè t jj� �{ }� , � , ãäå y t( ) — ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñ äâóìÿ ñîñòîÿíèÿìè:
y1 1� ; y2 1� � è ïðîèçâîäÿùèì îïåðàòîðîì
Q �
��
�
��
�
�
�� � � �
� �
� �
� � � �, , ,0 0 1.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 143
Ðåøåíèå. Èíâàðèàíòíîé ìåðîé â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ñòðîêà � � �{ }, ,
à ïîòåíöèàëüíûé îïåðàòîð � îïðåäåëåí íà âåêòîðàõ âèäà c � �( , ) ,� � T c��
1,
�C c
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
�� .
Èíòåíñèâíîñòü ñêà÷êîâ îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì ñ êîîðäèíàòàìè a y( )1 � � ,
a y( )2 � � .
Òàêèì îáðàçîì, èìååì
A y yA By yC A y B y y y1 2 2 1 20 1 1( ) ; ; ( ) ( ) ; ;� � � � � � � ;
G y A Ñ G y A C1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )� � � � � ;
G y dy y y A y y C A
Y
1 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � �� � �
� � � .
Òîãäà äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè ÿâëÿåòñÿ ðàñïî-
ëîæåíèå ñïåêòðà ìàòðèöû ( )� �� A â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè { }� �� �C : Re 0 .
Ïóñòü òåïåðü � �� �1 2/ . Òîãäà
G G y A C G y G y A C1 1 1 1 2 2 20
1
2
1
2
� � � � �
�
�
�
�
�
�; ( ) ; ( )� � ;
B G y G y dy G y B y dy
Y Y
� � �
[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� 1 1 1 1 1 1� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�A C A C C A C A C
1
2
1
2
1
2
1
2
2
;
j
m
j j
Y
C qC G y q G y B y a y B y qB y
�
)
� �
1
1 1 1 1 1
T T T( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) (� )
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�[ ( ) ( )] ( ) ( )�G y B y qG y dy A C q A C1 1 1
1
2
1
2
T
T
} �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � C qC A C q A C A qA C qCT
T
T T1
2
1
2
2
1
2
,
ãäå C — ìàòðèöà ðàçìåðà m m� .
Ïðåäåëüíîå ÑÄÓ äëÿ (42), (43) èìååò âèä
dx A C A C x dt Ax dW t Cx dW t�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1
2
1
2
2
1
2
1 2( ) ( ) ,
ãäå W t W t1 2( ), ( ) — íåçàâèñèìûå ñêàëÿðíûå ïðîöåññû áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ [8].
Óñëîâèåì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ýòîãî óðàâ-
íåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü ìàòðèöû q, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
A C A C q q A C A C�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1
2
1
2
1
2
1
2
T T
2
1
2
A qA C qC IT T � � ,
ãäå I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà èç M m ( )�
1 . �
Òàêèì îáðàçîì, â ñòàòüå ïðèìåíåí âòîðîé ìåòîä Ëÿïóíîâà äëÿ èññëåäîâàíèÿ
óñòîé÷èâîñòè ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèì èìïóëüñíûõ ñèñòåì ñ ìàð-
êîâñêèì ïåðåêëþ÷åíèÿìè. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåëèíåéíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì
èíîãî ìåòîäà èññëåäîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ, ïî-âèäèìîìó, íå ñó-
ùåñòâóåò. Ðàññìîòðåí ìåòîä óñðåäíåíèÿ è åãî ïðèìåíåíèå äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðå-
144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
øåíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû. Ïîñòðîåíà ìîäåëüíàÿ çàäà÷à, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò âîç-
ìîæíîñòè àëãîðèòìèçàöèè èññëåäîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ èìïóëüñíûõ
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á è ë ë è í ã ë è Ï . Ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 352 ñ.
2. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ
ïðèëîæåíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. — 612 ñ.
3. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1975. —
Ò. 3. — 496 ñ.
4. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Ê ð å é í Ì . à . Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. — Ì.: Íàóêà, 1970. — 534 ñ.
5. Ä à í ô î ð ä Í . , Ø â à ð ö Ä æ . Ëèíåéíûå îïåðàòîðû. Îáùàÿ òåîðèÿ. — Ì.: ÈË, 1962. —
895 ñ.
6. Ä ó á Ä æ . Ë . Âåðîÿòíîñòíûå ïðîöåññû. — Ì.: ÈË, 1956. — 605 ñ.
7. Ä û í ê è í Å . Á . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. — 859 ñ.
8. Æ à ê î ä Æ . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. —
Ì.: Íàóêà, 1994. — Ò. 1. — 544 ñ.
9. Æ à ê î ä Æ . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. —
Ì.: Íàóêà, 1996. — Ò. 2. — 628 ñ.
10. Ê î ë ì à í î â ñ ê è é  . Á . , Í î ñ î â  . Ð . Óñòîé÷èâîñòü è ïåðèîäè÷åñêèå ðåæèìû ðåãóëèðó-
åìûõ ñèñòåì ñ ïîñëåäåéñòâèåì. — Ì.: Íàóêà, 1981. — 448 ñ.
11. Ê î ð î ë þ ê  . Ñ . , Ö à ð ê î â ª . Ô , ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . Éìîâ³ðí³ñòü, ñòàòèñòèêà òà âèïàä-
êîâ³ ïðîöåñè. Â 3-õ òîìàõ. — Ò. Ç. — Âèïàäêîâ³ ïðîöåñè. Êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ. —
×åðí³âö³: Çîëîò³ ëèòàâðè, 2009. — 798 ñ.
12. Ñ à ì î é ë å í ê î À . Ì . , Ï å ð å ñ ò þ ê Í . À . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ èìïóëüñíûìè
âîçäåéñòâèÿìè. — Êèåâ: Âèùà øê., 1967. — 287 ñ.
13. Ñ â å ð ä à í Ì . Ë . , Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Óñòîé÷èâîñòü èìïóëüñíûõ ñèñòåì. — Ðèãà: Èçä-âî
ÐÒÓ, 1994. — 304 ñ.
14. Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. —
Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1978. — 328 ñ
15. Õ à ñ ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Óñòîé÷èâîñòü ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðè ñëó÷àéíûõ
âîçìóùåíèå èõ ïàðàìåòðîâ. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 367 ñ.
16. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . , ß ñ è í ñ ê è é  . Ê . , Ì à ë û ê È .  . Óñðåäíåíèå è óñòîé÷èâîñòü èì-
ïóëüñíûõ ñèñòåì ñ ìàðêîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè. I // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
2010. — ¹ 6. — Ñ. 128–132.
17. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . , ß ñ è í ñ ê è é  . Ê . , Ì à ë û ê È .  . Óñðåäíåíèå è óñòîé÷èâîñòü èì-
ïóëüñíûõ ñèñòåì ñ ìàðêîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè. II // Òàì æå. — 2011. — ¹ 1. — Ñ. 50–60.
18. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. —
Ðèãà: Çèíàòíå, 1989. — 419 ñ.
19. B l a n k e n s h i p G . , P a p a n i c o l a o u G . C . Stability and control of stochastic system with
wide-band noise disturbance // SIAM. J. Appl. Mat.. 1978. — 34. — P. 437–476.
20. K o r o l y u k V . S . Averaging and stability of dynamical system with rapid Markov switchings //
Univ. of Umea, S-90167, Umea, 1991. — Febr. — 15 p.
21. K o r o l y u k V . S . , L i m n i o s N . Diffusion approximation of integral functional in merging an
averaging scheme // Theory Probab. and Math. Statist. — 2000. — 60. — P. 87–94.
22. T s a r k o v Y e . Averaging in dynamical system with Markov jumps. — Bremen, 1993. — 41 p.
(Prepr/ Univ. of Bremen, Inst. of Dynamical Syst.; N 282).
Ïîñòóïèëà 14.05.2009
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 145
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84207 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:53:11Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Царьков, Е.Ф. Ясинский, В.К. Малык, И.В. 2015-07-03T16:36:56Z 2015-07-03T16:36:56Z 2011 Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем / Е.Ф. Царьков, В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 127-145. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84207 519.217; 519.718 Для стохастичної динамічної системи з малим параметром доведено рівномірну обмеженість р-го моменту розв’язку (p . 1), слабку збіжність розв’язку системи до розв’язку стохастичного диференціального рівняння Іто, слабку збіжність нормованих відхилень. Проаналізовано стійкість лінійних систем з малим параметром і марковськими збуреннями. For a stochastic dynamical system with small parameter, the smooth boundedness of the pth moment of the solution (p. 1), the weak convergence of the system to the solution of an Ito stochastic differential equation, and the weak convergence of normalized deviations are proved. The stability of linear systems with small parameter and Markov disturbances is analyzed. Начало см. в № 6, 2010; № 1, 2011. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем Стійкість в імпульсних системах з марковськими збуреннями в схемі усереднень. 3. Слабка збіжність розв’язків імпульсних систем Stability in impulsive systems with Markov perturbations in averaging scheme. 3. Weak conver-gence of solutions of impulsive systems Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем Царьков, Е.Ф. Ясинский, В.К. Малык, И.В. Системный анализ |
| title | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем |
| title_alt | Стійкість в імпульсних системах з марковськими збуреннями в схемі усереднень. 3. Слабка збіжність розв’язків імпульсних систем Stability in impulsive systems with Markov perturbations in averaging scheme. 3. Weak conver-gence of solutions of impulsive systems |
| title_full | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем |
| title_fullStr | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем |
| title_full_unstemmed | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем |
| title_short | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. Слабая сходимость решений импульсных систем |
| title_sort | устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. 3. слабая сходимость решений импульсных систем |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84207 |
| work_keys_str_mv | AT carʹkovef ustoičivostʹvimpulʹsnyhsistemahsmarkovskimivozmuŝeniâmivshemeusrednenii3slabaâshodimostʹrešeniiimpulʹsnyhsistem AT âsinskiivk ustoičivostʹvimpulʹsnyhsistemahsmarkovskimivozmuŝeniâmivshemeusrednenii3slabaâshodimostʹrešeniiimpulʹsnyhsistem AT malykiv ustoičivostʹvimpulʹsnyhsistemahsmarkovskimivozmuŝeniâmivshemeusrednenii3slabaâshodimostʹrešeniiimpulʹsnyhsistem AT carʹkovef stíikístʹvímpulʹsnihsistemahzmarkovsʹkimizburennâmivshemíuserednenʹ3slabkazbížnístʹrozvâzkívímpulʹsnihsistem AT âsinskiivk stíikístʹvímpulʹsnihsistemahzmarkovsʹkimizburennâmivshemíuserednenʹ3slabkazbížnístʹrozvâzkívímpulʹsnihsistem AT malykiv stíikístʹvímpulʹsnihsistemahzmarkovsʹkimizburennâmivshemíuserednenʹ3slabkazbížnístʹrozvâzkívímpulʹsnihsistem AT carʹkovef stabilityinimpulsivesystemswithmarkovperturbationsinaveragingscheme3weakconvergenceofsolutionsofimpulsivesystems AT âsinskiivk stabilityinimpulsivesystemswithmarkovperturbationsinaveragingscheme3weakconvergenceofsolutionsofimpulsivesystems AT malykiv stabilityinimpulsivesystemswithmarkovperturbationsinaveragingscheme3weakconvergenceofsolutionsofimpulsivesystems |