О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн
Розглянуто першу крайову задачу для рівняння внутрішніх хвиль. Для її розв’язання вибрано метод скінченних елементів як за просторовими змінними, так і за часом. Це дозволяє одержати розв’язок підвищеної точності. Отримано оцінки точності методу при відповідних припущеннях про гладкість розв’язків д...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84208 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн / М.Н. Москальков, Д. Утебаев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 146-152. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860264938132471808 |
|---|---|
| author | Москальков, М.Н. Утебаев, Д. |
| author_facet | Москальков, М.Н. Утебаев, Д. |
| citation_txt | О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн / М.Н. Москальков, Д. Утебаев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 146-152. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто першу крайову задачу для рівняння внутрішніх хвиль. Для її розв’язання вибрано метод скінченних елементів як за просторовими змінними, так і за часом. Це дозволяє одержати розв’язок підвищеної точності. Отримано оцінки точності методу при відповідних припущеннях про гладкість розв’язків диференціальної задачі. При використанні кусково-кубічних елементів порядок точності дорівнює трьом.
This work considers the first extreme problem for the equation of internal waves. To solve it, the finite element method is selected for spatial variables and time. This allows one to obtain a solution of extended precision. Accuracy estimates are obtained for schemes of the method under appropriate assumptions on the smoothness of solutions to the differential problem. In using piecewise-cubic finite elements, the accuracy degree equals three.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:59:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.5:519.6
Ì.Í. ÌÎÑÊÀËÜÊÎÂ, Ä. ÓÒÅÁÀÅÂ
Î ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÈ ÑÕÅÌÛ ÌÅÒÎÄÀ ÊÎÍÅ×ÍÛÕ ÝËÅÌÅÍÒÎÂ
ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÂÍÓÒÐÅÍÍÈÕ ÂÎËÍ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, îöåíêè
òî÷íîñòè.
Ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèÿ âíóòðåííèõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â ñòðàòèôèöè-
ðîâàííîé æèäêîñòè, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ èëè ðàâíîìåðíîãî
âðàùåíèÿ, â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðèíèìàþòñÿ óðàâíåíèÿ â ÷àñò-
íûõ ïðîèçâîäíûõ, ñîäåðæàùèå äîïîëíèòåëüíûå ÷ëåíû, êîòîðûå ïðèâîäÿò
ê ñèëüíîé äèñïåðñèè ýòèõ âîëí. Òàêèå óðàâíåíèÿ ïðèìåíÿþòñÿ â ãåîôèçèêå,
îêåàíîëîãèè, ôèçèêå àòìîñôåðû [1].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíà ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî
òðåõìåðíîãî óðàâíåíèÿ âíóòðåííèõ âîëí è ïîëó÷åíû îöåíêè òî÷íîñòè ìåòîäà
êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó [1]
�
�
� � � � � �
2
2 1 2 0
t
L u L u f x t x t Q x t TT( ) ( , ), ( , ) , ( , ]{ }� ,
u x t T� � � � �0 0, , [ , ]� � , (1)
u x u x
u
t
x u x( , ) ( ), ( , ) ( )0 00 1�
�
�
� .
Çäåñü L u u
u
x
u
x
u
x
1 3
2
1
2
2
2
2
2
3
2
� �
�
�
�
�
�
�
�
, L u u
u
x
u
x
2 0
2
2 0
2
2
1
2
2
2
2
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � ; � 0 — ÷àñ-
òîòà Âÿéñÿëÿ–Áðåíòà; � � � � �{ }0 1 2 3x l kk k , , , .
Ñôîðìóëèðóåì îáîáùåííóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è (1). Íàçîâåì îáîáùåííûì
ðåøåíèåì çàäà÷è (1) ôóíêöèþ u x t( , ), êîòîðàÿ ïðè êàæäîì t T�( , ]0 ïðèíàäëåæèò
ïðîñòðàíñòâó H W�
�
2
1( )� , îáëàäàåò ïðîèçâîäíîé
�
�
�
2
2 2
1u
t
W ( )� è ïî÷òè âñþäó
äëÿ âñåõ t T�( , ]0 óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì � �� ( )x H :
a
d u t
dt
a u t f t u u1
2
2 2 00
( )
, ( ( ), ) ( ( ), ), ( )� � �
�
�
�
�
�
�
� � � �H
du
dt
u H, ( )0 1� � . (2)
Çäåñü
a w t
w
x x
dx
k kk
1
1
3
( ( ), )�
�
�
�
�
�
��
��
�
; a u t
u
x x
dx
k kk
2 0
2
1
2
( ( ), )� �
�
�
�
�
�
��
��
�
;
u t( ) — ôóíêöèÿ àáñòðàêòíîãî àðãóìåíòà t T�[ , ]0 ñî çíà÷åíèÿìè â H W�
�
2
1( )� .
Âîïðîñû ñóùåñòâîâàíèÿ, ãëàäêîñòè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è îáñóæ-
äàþòñÿ â [1].
146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
© Ì.Í. Ìîñêàëüêîâ, Ä. Óòåáàåâ, 2011
Îáîçíà÷èì | | ( , )u a u um m� , m �1 2, , ýíåðãåòè÷åñêèå ïîëóíîðìû â H , ñîîò-
âåòñòâóþùèå áèëèíåéíûì ôîðìàì a um ( , )� . Ýíåðãåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî HA1
,
ïîðîæäåííîå ïîëóíîðìîé | |u 1, ýêâèâàëåíòíî ïðîñòðàíñòâó H W�
�
2
1( )� [2], ïîýòî-
ìó ñïðàâåäëèâû îöåíêè c u u c u1 1 1 2 1|| || | | || ||� � , c1 0� , ãäå || ||u 1 — íîðìà â H .
Äëÿ äðóãîé ýíåðãåòè÷åñêîé ïîëóíîðìû ñïðàâåäëèâà îöåíêà 0 2 0 2 1� �| | || ||u c u� .
2. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÒÎ×ÍÎÑÒÈ ÄÈÑÊÐÅÒÈÇÀÖÈÈ ÏÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÓ
Äèñêðåòèçèðóåì çàäà÷ó ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì ñ ïîìîùüþ ìåòîäà êî-
íå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Ïóñòü H Hh � — ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ âèäà � �h i
i
N
ia x�
�
�
1
( ).
Çäåñü { }� �i i i
Nx�
�
( )
1
— áàçèñ èç êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûõ ôóíêöèé, ÿâëÿþ-
ùèõñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè k íà êàæäîì êîíå÷íîì ýëåìåíòå.
Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå (2) ïîëóäèñêðåòíóþ çàäà÷ó äëÿ t T�[ , ]0 :
a
d u t
dt
a u f t Hh
h h h h h h1
2
2 2
( )
, ( , ) ( ( ), ) ,� � � �
�
�
�
�
�
�
� � � �
(3)
u u
du
dt
uh h
h
h( ) , ( ), ,0 00 1� � .
Çäåñü u u P u xh I h0 00, ( ) ( )� � — èíòåðïîëÿíò íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ, ãäå
Ph — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ P H Hh h: � .
Çàäà÷å (3) ñîîòâåòñòâóåò çàäà÷à Êîøè
D
d u t
dt
Au t f t u u
du
dt
uh
h h h h
h
h
2
2 0 10 0
( )
( ) ( ), ( ) , ( ), ,� � � � . (4)
Çäåñü îïåðàòîðû D A, äåéñòâóþò èç H h â H h . Èì ñîîòâåòñòâóþò ìàòðèöû æåñò-
êîñòè D �
�
( ( , ))
,
a i j i j
N
1 1
� � è A �
�
( ( , ))
,
a i j i j
N
2 1
� � .
Òåîðåìà 1. Ïóñòü u x t( , ),
�
�
�
u
t
x t C T( , ) ([ , ]0 ; W Wk
2
1
2
1� �( ) ( ))� �
�
. Åñëè ñóæå-
íèå ïðîñòðàíñòâà H h íà îòäåëüíûé êîíå÷íûé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì
ñòåïåíè k, òî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (4) èìååò ìåñòî îöåíêà òî÷íîñòè
|| ( , ) ( , ) ||u x t u x th� �1
�
�
�
�
�
�
� � �
� �
� �Mh
u
t
x t
u
t
x t dt u xk
t k k
t t
max ( , ) ( , ) || (
1 1
2
0 0
, ) ||� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
t dt
k 1
2
� � � �t T M M T c[ , ], ( , , )0 0
0
2
2� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîèíòåãðèðóåì òîæäåñòâà (2) è (3) ïî t t tn n� �( , )1 . Ïðè-
ìåíÿÿ ê íèì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì è âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî òîæäåñòâà
âòîðîå, ïîëó÷àåì
[ ( � � , � ) ( , )]
( � � ,
� � � � �
� �
�
� a u u a u u dt
a u u
h h h h
t
t
h
n
n
1 2
1
1
� �
� �h t
t
h h
n
n x H) ( ) .� � � �1 0 (5)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 147
Çäåñü � /u u t�� � . Îáîçíà÷èì z u uh h� � , e u uh I� � , �h I hu u� � , ãäå
u P u x tI h� ( , ) . Ñëåäîâàòåëüíî, z eh h h� � � . Âûáåðåì
� � �h
t
s
h h ht t dt H t s t t s( ) ( ) , ; ( ) ,� � � � � � � �� 0 , � ( ) ( ), ( )� � �h h ht t s� � 0.
Èç (5) c ó÷åòîì òîæäåñòâà ( � , ) ( , )� � � �h h h h
d
dt
�
1
2
è ak h h( � , )� � �
�
1
2
d
dt
ak h h( , )� � , k �1 2, , ïîëó÷èì
� � �� �
1
2
1
2
1 1 2 1 1a t a t ah h n h h n h h t
t
n
( , )( ) ( , )( ) ( � , )� � � � � � n� �1
� � � ��a e a th h t
t
h h n
n
n
1 1
1 1
2
( � , ) ( , )( )� � �
� � �
�
�
1
2
2 1 2
1
a t a e a e dth h n
t
t
h h h h
n
n
( , )( ) [ ( � , ) ( , )]� � � � .
Ïðîñóììèðóåì ýòî òîæäåñòâî ïî n m� �1 1, , ãäå íîìåð m ñîîòâåòñòâóåò ìî-
ìåíòó âðåìåíè s m� �. Òîãäà ñ ó÷åòîì ñâîéñòâà ôóíêöèè � h t( ), íà÷àëüíîãî óñëî-
âèÿ �h ( )0 0� ïðè âûáîðå w t t dt Hh h
t
h( ) ( )� � � �� �
0
, t s� ; w th ( ) � 0 , t s� , ïîëó÷èì
ñëåäóþùåå ýíåðãåòè÷åñêîå òîæäåñòâî:
1
2
1
2
1 2a s a w w sh h h h( , )( ) ( , )( )� � � �
� � � � �a e w s a e a e w t w sh h h h h h h1 1 20( � ( ), ( )) [ ( � , ) ( , ( ) ( ))]� dt
s
0
� . (6)
Îöåíèì ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà Êîøè–Áóíÿêîâ-
ñêîãî è �-íåðàâåíñòâà:
� � � �a e w s e w s w sh h h h h1 1 1
1
1
2
0 0
2
1
( � ( ), ( )) | � ( ) | | ( ) | | ( ) |
�
2
0
1
1
2
�
| � ( ) |eh ,
� � �� � �a e t dt t dt eh h
s s
h
s
h1
0
2
0
1
2
2 0
2
1
2
( � , )( ) | ( ) | | � (�
�
�
�
t dt) |
1
2
,
a e w t dt w t dt e th h
s s
h
s
h2
0
3
0
2
2
3 0
2
1
2
( , )( ) | ( ) | | ( ) |� � �� �
�
� 2
2
dt,
� � �� �a e t w s dt
s
w s e th h
s
h
s
h2
0
4
2
2
4 0
2
1
2
( ( ), ( )) | ( ) | | ( ) |
�
� 2
2
dt .
Çäåñü � � � �1 2 3 4, , , — ïðîèçâîëüíûå ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Òàê êàê
| ( ) |w th 1
2 �
�
�
� �
�
�
�
�
�
!
!
� ����
�
�
�h
k
s
k
h
x
x t dt dx s t( , ) | (
01
3
2
3
�
�mes ) |
1
2
0
dt
s
�� , òî èç (6) äëÿ
� �1 2 1� � , �3 0 5� . , �4
1
2
�
T
ïîëó÷èì îöåíêó
| ( ) | | ( ) | ( ) | ( ) | |� �h h h
s
s w s T t dt
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1 3
1
2
� � � ��mes � w t dth
s
( ) |
2
2
0
� �
� � � �� �| � ( ) | | � ( ) | ( ) | ( ) |e e t dt T e t dth h
s
h
s
0 2 2
1
2
1
2
0
2
2
0
. (7)
148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
Ââåäåì ôóíêöèè g t t w th h( ) | ( ) | | ( ) |� ��
1
2
1
21
2
, b t e t T e th h( ) | � ( ) | ( ) | ( ) |� � �
1
2
2
2
2 1 .
Èç (7) ïîëó÷èì îöåíêè
dg
ds
Ag s b s� �( ) ( ), g eh( ) | � ( ) |0 0
1
2� ,
ãäå A T� �1 3 mes� . Ïåðâàÿ îöåíêà ïîëó÷àåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì (7) ïî s.
Òîãäà íà îñíîâàíèè ëåììû Ãðîíóîëà [3] èìååì îöåíêó
g t At g A t s b s ds
t
( ) exp ( ) ( ) exp ( ( )) ( )� � ��0
0èëè
| ( ) | | ( ) | | � ( ) | ( | � ( ) | | (�h h h h ht w t M e e s e
1
2
2
2
1
2
1
21
2
0� � � � s ds
t
) | )
2
2
0
�
�
�
�
�
�
!
!
.
Çäåñü M T eAT� �2 1( ) . Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà ýíåðãåòè÷åñêèõ ïîëóíîðì | ( ) |�h t 1,
| ( ) |w th 2 (ñì. ðàçä. 1), ïîëó÷àåì îöåíêó
|| ( ) || || � ( ) || || � ( ) || | | (�h h h
s
hs M e e t dt e t
1
2
1
2
1
2
0
0� � �� )| |
1
2
0
dt
s
�
�
�
�
�
�
�
. (8)
Äëÿ u x t( , ), �( , ) ( )u x t W k� �
2
1 � � �t T[ , ]0 èìåþò ìåñòî îöåíêè [2, 4]: | | ( ) ||e th 1 �
� �Mh u tk
k| | ( ) || 1, || � ( ) || || �( ) ||e t Mh u th
k
k1 1� � , ãäå || ||u k�1 — íîðìà ïðîñòðàíñòâà
W k
2
1� ( )� . Ñëåäîâàòåëüíî, íà îñíîâàíèè (8) è íåðàâåíñòâà || || | | || || ||z eh h h1 1 1� � �
èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
3. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÒÎ×ÍÎÑÒÈ ÏÎ ÂÐÅÌÅÍÈ
Àïïðîêñèìèðóåì çàäà÷ó (4) ðàçíîñòíîé ñõåìîé, êîòîðàÿ ïîëó÷åíà ìåòîäîì êî-
íå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî âðåìåíè ñ èñïîëüçîâàíèåì ýðìèòîâîãî ïîëèíîìà òðåòüåé
ñòåïåíè íà èíòåðâàëå t t tn n� �( , )1 (ñì. [5, 6]):
( )
�� � �
D A
y y
A
y y
�
�
�
�
���
�
�2
1
2
, ( )
�
( )
�� �
D A
y y
D A
y y
�
�
� �
�
� �
�
� �2 2
2
2
, (9)
y u y u0
0
0
1� �, � .
Çäåñü
y y y tn
n� � ( ) , �y yn� �1, � ( )y
dy
dt
tn
n� , � �� � � �k n kf t d� �� ( ) ( )
0
1
, k �1 2, ,
�
�
�
�t tn , � � � � � � � � � � �1 1 1
1
2 1
2
2 1 2
1
2 2
( ) ( ) ( ), ( ) ( )( ) ( ) ( ) (� � � �p p s s 2) ( )� ,
� � � � � � � � � � �
1
1
1
2 2
2
1
2
21
1
2
( ) ( ) ( ) (( ) , ( ) , ( ) ,� � � � �
�
�
�
�
) ( )� � � � �� � �
�
�
�
�
3 23
2
1
2
,
p p s s1 2 1 26 60 30 360 180 40 1680 280� � � � � � � �� �
, , , .
Òîãäà
y t y t y t y t y tn n n n n n n n( ) ( ) � ( ) ( ) � ( )� � � �� �� � � �
00 10
1
01
1
11
, (10)
ãäå
� � � � � �
00
3 2
01
2 32 3 1 3 2n nt t( ) , ( )� � � � � ,
� � � � � � � � �
10
3 2
11
3 22n nt t( ) ( ), ( ) ( )� � � � � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 149
Äëÿ ðàâåíñòâà
�
� � �1 6/ (11)
ñõåìà (9) àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (3) ñ ÷åòâåðòûì ïîðÿäêîì ïî øàãó �. Ïðèìå-
ðîì ïàðàìåòðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (11), ìîãóò ñëóæèòü òàêèå çíà÷å-
íèÿ: �1 8/ ,
�1 24/ , � �1 12/ .
Òåîðåìà 2. Ïóñòü D D" � � 0, A A" � � 0. Êðîìå òîãî, ïóñòü âûïîëíåíû
óñëîâèÿ àïïðîêñèìàöèè (11) è óñòîé÷èâîñòè
D m A D m� � � � �� � �
�2 0 1 0, , max , , ,{ }. (12)
Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ ñõåìû (9), àïïðîêñèìèðóþùåãî ðåøåíèå çàäà÷è (4), òàêî-
ãî, ÷òî
d u
dt
t C Th
4
4
0( ) [ , ]� , ñïðàâåäëèâà îöåíêà òî÷íîñòè
|| ( ) ( ) || ( )u t y t M
d u
dt
t dth
h
t
� � � ��1
3
4
4
1
2
0
� .
Äîêàçàòåëüñòâî.  ðàáîòå [5] äîêàçàíà ðàâíîìåðíàÿ óñòîé÷èâîñòü ñõåìû (9) ïî
íà÷àëüíûì äàííûì u0 , u1 ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (12) è ïîëó÷åíà îöåíêà ïî ïðàâûì
÷àñòÿì �1 è �2 .  íàñòîÿùåé ñòàòüå ïîëó÷èì îöåíêó òî÷íîñòè äðóãèì ñïîñîáîì.
Ïóñòü y t H( ) � � , ãäå H � — ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé àðãóìåíòà t , ÿâëÿþùèõñÿ
êóáè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì (10) íà èíòåðâàëå t t tn n� �( , )1 è ýðìèòîâûì ñïëàéíîì
äëÿ t T�[ , ]0 . Îäíîâðåìåííî y t( ) äëÿ êàæäîãî t t tn n� �( , )1 ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì
ïðîñòðàíñòâà H h . Ôàêòè÷åñêè y y x t H H H
h h� � � #( , ) �
� .
Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1, äëÿ y t( ) èìååì
[ ( �( ), � ) ( ( ), )] ( �( ), )� � �
�
� a y t a y t dt a y t
t
t
n
n
1 2 1
1
� � �� � � t
t
n
n� �1
� � �
�
� ( ( ), ) ( )f t dt x H
t
t
h
n
n
� �� �
�
1
.
Âû÷èòàÿ èç (2) ïðè � � �� ïîñëåäíåå òîæäåñòâî, äëÿ ïîãðåøíîñòè
� � ( ) ( ) ( )t u t y th� � ïîëó÷àåì òîæäåñòâî
[ (� ( ), � ) ( ( ), )] (� ( ),� � �
�
� a t a t dt a t
t
t
n
n
1 2 1
1
� � � � �� � � � � � �� �
�) ( , ) .
t
t
hn
n x t H� � � �1 0 (13)
Ïîñêîëüêó � �� � �( ) ( ) ( )t t e t� � , èç (10) äëÿ � �� �( ) ( )t t dt
t
s
� � �� , t s� , è
� � ( )t � 0 , t s� , ïîëó÷èì ýíåðãåòè÷åñêîå òîæäåñòâî
1
2
1
2
0 01 2 1
0
1a s a a e a
s
( , )( ) ( , )( ) ( � , )( ) [� � � � �� � � � � �� � � � ( � , ) ( , )]e a e dt� � � �� �� 2 .
Îáîçíà÷èì w t t dt H t s w t t s
t
h� � ��( ) ( ) , , ( ) ,� � � � � � ��
0
0 , è çàìåòèì, ÷òî
� ( )e� 0 � � ( ) � ( ) , ,u u u uh I h h0 0 01 1� � � �� . Òîãäà èç ïîñëåäíåãî òîæäåñòâà ïîëó÷èì
îñíîâíîå ýíåðãåòè÷åñêîå òîæäåñòâî äëÿ ïîãðåøíîñòè �� ( )t
1
2
1
2
1 2 1 2a s a w w s a e a e w( , )( ) ( , )( ) [ ( � , ) ( ,� � �� � � � � � � �� � � ( ) ( ))] .t w s dt
s
�� �
0
(14)
150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
Êàê è â ðàçä. 2 (ñì. (8)), ïîëó÷èì îöåíêó
|| ( ) || || � ( ) || || ( ) ||�� � �s M e t dt e t dt
s s
1
2
1
2
0
1
2
0
� �
�
� � ��
�
�
�
. (15)
Ðàññìîòðèì ïîãðåøíîñòü e u u uh h I�
�( ) � � . Ââåäåì çàìåíó ïåðåìåííîé
t tn� � ��, 0 1� �� . Òîãäà
~ (~ ( )) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ~e u e u u t u t u uh h h n I n h I� �
�� �� �� �� � � � � � � � �( ).
Ýòîò ôóíêöèîíàë îãðàíè÷åí äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ~ ( ) [ , ]u Ch � � 0 1 , òåì áî-
ëåå îí îãðàíè÷åí è äëÿ ~ ( ) [ , ]u Wh � �
2
4 0 1 . Çíà÷èò,
| ~ ( ) | | ~ ( ) ~ ( ) |
~
~
e u u u M
d u
d
dh h I
m
h
m�
�� �
�
�� � �
�
�
�
�
�
�
2
0
1
��
�
�
�
�
�
�
�
��
1 2
0
4
/
m
.
Ýòîò ôóíêöèîíàë îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ìíîãî÷ëåíàõ äî òðåòüåé ñòåïåíè âêëþ-
÷èòåëüíî ïî ïåðåìåííîé � , òàê êàê íà îòðåçêå [ , ]0 1 ~u
I
� ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì
òðåòüåé ñòåïåíè, êîòîðûé èíòåðïîëèðóåò ~uh . Íà îñíîâàíèè ëåììû Áðýìá-
ëà–Ãèëüáåðòà [7] èç ïîñëåäíåé îöåíêè ìîæíî ïîëó÷èòü
| ~ (~ ) | | ~ ( ) ~ ( ) |
~
e u u u M
d u
d
dh h I
h
�
�� �
�
�� � �
�
�
�
�
�
�
4
4
2
0
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2/
.
Èñïîëüçóÿ ïåðåìåííóþ t , ïîëó÷àåì îöåíêó
| ( ( )) | | ( ) ( ) | /e u t u t u t M
d u
dt
dth h I
h
�
� �� � �
�
�
�
�
�
�
7 2
4
4
2
t
t
n n
n
n
t t t
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
1
1 2
1
/
[ , ] .
Òîãäà
|| ( ) || || ( ) ||e t dt e t dt
s
t
t
n
m
n
n
� �� � � � � �� ��
�
�
�
1
2
0
1
2
0
1 1
� � �
��
���
�
�
M
d u
dt
t dtdt M
dh
t
t
t
t
n
m
n
n
n
n
2 7
4
4
1
2
0
1
2 8
411
� �( )
u
dt
t dth
s
4
1
2
0
( )� . (16)
Äàëåå ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë � ( ) � �e u u uh h I�
�� � :
| ~� (~ ) |
~
( )
~
( )
~
e u
du
d
du
d
M
d u
d
h
h I h
�
�
� �
�
�
�
� �
� � �
�
�
�
1 1
4
4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
0
1
1 2
d�
/
.
Àíàëîãè÷íî (16) èìååì îöåíêó
|| � ( ) || ( )e t dt M
d u
dt
t dt
s
h
s
� �
0
2
0
2 6
4
4
0
2
0
� �� . (17)
Ñëåäîâàòåëüíî, èç îöåíîê (15)–(17) âûòåêàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 151
4. ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÑÕÅÌÛ
Çàìåòèì, ÷òî â îöåíêå òåîðåìû 2 ïîãðåøíîñòü çàâèñèò îò ðåøåíèÿ u th ( ) ïîëó-
äèñêðåòíîé çàäà÷è (4), îäíàêî áîëåå öåëåñîîáðàçíî èìåòü òðåáîâàíèÿ ãëàäêîñòè
äëÿ ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è (1). Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ îöåíêîé [8, ñ. 97]
|| || || || || || || || || || | |u u u u u u u u Ch uh k h k k h k k k� � � � � � � � � �� �1 1 0 1C u kk| | || , , .
Ïîñòîÿííàÿ C íå çàâèñèò îò h. Ñëåäîâàòåëüíî, îöåíêà â òåîðåìå 2 áóäåò
èìåòü âèä
|| ( ) ( ) || ( )u t y t M
d u
dt
t dth
t
� � � ��1
3
4
4
2
2
0
� .
Íà îñíîâå òåîðåì 1 è 2 èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2. Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ
ñõåìû (9), àïïðîêñèìèðóþùåãî ðåøåíèå çàäà÷è (1) u x t( , ),
�
�
�
u
t
x t C T( , ) ([ , ]0 ,
W Wk
2
1
2
1� �( ) ( ))� �
�
,
�
�
�
4
4 2
20
u
t
x t C T W( , ) [ , ]; ( ){ }� , ñïðàâåäëèâà îöåíêà òî÷íîñòè
|| ( , ) ( , ) || max ( , )u x t y x t M h
u
t
x t
uk
t k
t
� �
$
%
&
'&
�
�
�
�
��
�1
1 0
t
x t dt
k
( , )� � �
�
�
�
� �1
2
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�� �|| ( , ) || ( , )u x t dt
u
t
x t dt
k
t t
1
2
0
3
4
4
2
2
0
�
(
)
&
*&
� � � �t T M M T[ , ], ( , ) .0 0
0
2�
Ïðè âûáîðå ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè íå íèæå òðåòüåé íà êàæäîì êîíå÷íîì ýëå-
ìåíòå ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì èìååì òðåòèé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïî îáî-
èì øàãàì h, �.
Òàêèì îáðàçîì, â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïîñòðîåí ìåòîä ïîâûøåííîé ñêîðîñòè
ñõîäèìîñòè ðåøåíèÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ âíóòðåííèõ âîëí. Ïî-
ëó÷åíû îöåíêè òî÷íîñòè ìåòîäà ïðè äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ðåøåíèÿ äèôôåðåí-
öèàëüíîé çàäà÷è. Ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïî âðåìåííîé ïåðåìåííîé ðàâåí òðåì, à ïî-
ðÿäîê òî÷íîñòè ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì îïðåäåëÿåòñÿ ñòåïåíüþ ïîëè-
íîìîâ íà ïðîñòðàíñòâåííîì êîíå÷íîì ýëåìåíòå: ïðè âûáîðå òðåòüåé ñòåïåíè
ïîëèíîìîâ ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ïî ïðîñòðàíñòâó òàêæå ðàâíà òðåì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. à à á î â Ñ . À . , Ñ â å ø í è ê î â À . à . Ëèíåéíûå çàäà÷è òåîðèè íåñòàöèîíàðíûõ âíóòðåííèõ âîëí. —
Ì.: Íàóêà, 1990. — 344 ñ.
2. Ñ ü ÿ ð ë å Ô . Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ çàäà÷. — Ì.: Ìèð, 1980. — 512 ñ.
3. Ë à ä û æ å í ñ ê à ÿ Î . À . Êðàåâûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì.: Íàóêà, 1973. — 408 ñ.
4. Ì à ð ÷ ó ê à . È . , À ã î ø ê î â  . È . Ââåäåíèå â ïðîåêöèîííî-ñåòî÷íûå ìåòîäû. — Ì.: Íàóêà, 1981.
— 416 c.
5. M o s k a l k o v M . N . , U t e b a e v D . Investigation of difference schemes of finite element method for
second-order unsteady-state equations // J. Comput. Appl. Math. — 2005. — N 92. — P. 70–76.
6. Ì î ñ ê à ë ü ê î â Ì . Í . Ñõåìà ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïîâûøåííîé òî÷íîñòè äëÿ ðåøåíèÿ íå-
ñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. — 1980. — 16. — Ñ. 1283–1292.
7. Ñ ò ð å í ã à . , Ô è ê ñ Ä æ . Òåîðèÿ ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. — Ì.: Ìèð, 1977. — 352 c.
8. Q u a r t e r o n i A . , V a l l i A . Numerical approximation of partial differential equations. — Berlin:
Springer-Verlag, 1994. — 544 p.
Ïîñòóïèëà 24.02.2010
152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84208 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:59:34Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Москальков, М.Н. Утебаев, Д. 2015-07-03T16:38:27Z 2015-07-03T16:38:27Z 2011 О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн / М.Н. Москальков, Д. Утебаев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 146-152. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84208 517.5:519.6 Розглянуто першу крайову задачу для рівняння внутрішніх хвиль. Для її розв’язання вибрано метод скінченних елементів як за просторовими змінними, так і за часом. Це дозволяє одержати розв’язок підвищеної точності. Отримано оцінки точності методу при відповідних припущеннях про гладкість розв’язків диференціальної задачі. При використанні кусково-кубічних елементів порядок точності дорівнює трьом. This work considers the first extreme problem for the equation of internal waves. To solve it, the finite element method is selected for spatial variables and time. This allows one to obtain a solution of extended precision. Accuracy estimates are obtained for schemes of the method under appropriate assumptions on the smoothness of solutions to the differential problem. In using piecewise-cubic finite elements, the accuracy degree equals three. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн Про збіжність схеми методу скінченних елементів для рівняння внутрішніх хвиль On the convergence of the scheme of the finite element method for the equation of internal waves Article published earlier |
| spellingShingle | О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн Москальков, М.Н. Утебаев, Д. Системный анализ |
| title | О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн |
| title_alt | Про збіжність схеми методу скінченних елементів для рівняння внутрішніх хвиль On the convergence of the scheme of the finite element method for the equation of internal waves |
| title_full | О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн |
| title_fullStr | О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн |
| title_full_unstemmed | О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн |
| title_short | О сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн |
| title_sort | о сходимости схемы метода конечных элементов для уравнения внутренних волн |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84208 |
| work_keys_str_mv | AT moskalʹkovmn oshodimostishemymetodakonečnyhélementovdlâuravneniâvnutrennihvoln AT utebaevd oshodimostishemymetodakonečnyhélementovdlâuravneniâvnutrennihvoln AT moskalʹkovmn prozbížnístʹshemimetoduskínčennihelementívdlârívnânnâvnutríšníhhvilʹ AT utebaevd prozbížnístʹshemimetoduskínčennihelementívdlârívnânnâvnutríšníhhvilʹ AT moskalʹkovmn ontheconvergenceoftheschemeofthefiniteelementmethodfortheequationofinternalwaves AT utebaevd ontheconvergenceoftheschemeofthefiniteelementmethodfortheequationofinternalwaves |