Пропозициональные логики доверия
Пропозицiйнi логiки довiри мають справу з такими твердженнями, якi сприймаються на рiвнi довiри–недовiри у дiапазонi вiд 51% до 100%. Доведено, що закони цих логiк i закони двозначної логiки мають однакову форму. Propositional trust logics deal with propositions that are considered at a trust-distru...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84212 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Пропозициональные логики доверия / В.Я. Бурдюк // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 182-187. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84212 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бурдюк, В.Я. 2015-07-03T16:44:05Z 2015-07-03T16:44:05Z 2011 Пропозициональные логики доверия / В.Я. Бурдюк // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 182-187. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84212 510.644 Пропозицiйнi логiки довiри мають справу з такими твердженнями, якi сприймаються на рiвнi довiри–недовiри у дiапазонi вiд 51% до 100%. Доведено, що закони цих логiк i закони двозначної логiки мають однакову форму. Propositional trust logics deal with propositions that are considered at a trust-distrust level from 51% to 100%. The rules of these logics and rules of 2-valued logic are proved to be of the same form. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Краткие сообщения Пропозициональные логики доверия Пропозицiйнi логiки довiри Propositional trust logic Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Пропозициональные логики доверия |
| spellingShingle |
Пропозициональные логики доверия Бурдюк, В.Я. Краткие сообщения |
| title_short |
Пропозициональные логики доверия |
| title_full |
Пропозициональные логики доверия |
| title_fullStr |
Пропозициональные логики доверия |
| title_full_unstemmed |
Пропозициональные логики доверия |
| title_sort |
пропозициональные логики доверия |
| author |
Бурдюк, В.Я. |
| author_facet |
Бурдюк, В.Я. |
| topic |
Краткие сообщения |
| topic_facet |
Краткие сообщения |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Пропозицiйнi логiки довiри Propositional trust logic |
| description |
Пропозицiйнi логiки довiри мають справу з такими твердженнями, якi сприймаються на рiвнi довiри–недовiри у дiапазонi вiд 51% до 100%. Доведено, що закони цих логiк i закони двозначної логiки мають однакову форму.
Propositional trust logics deal with propositions that are considered at a trust-distrust level from 51% to 100%. The rules of these logics and rules of 2-valued logic are proved to be of the same form.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84212 |
| citation_txt |
Пропозициональные логики доверия / В.Я. Бурдюк // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 182-187. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT burdûkvâ propozicionalʹnyelogikidoveriâ AT burdûkvâ propoziciinilogikidoviri AT burdûkvâ propositionaltrustlogic |
| first_indexed |
2025-11-25T20:39:27Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:39:27Z |
| _version_ |
1850525668497948672 |
| fulltext |
ÓÄÊ 510.644
Â.ß. ÁÓÐÄÞÊ
ÏÐÎÏÎÇÈÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ËÎÃÈÊÈ ÄÎÂÅÐÈß
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîçíà÷íàÿ ëîãèêà, çàêîíû ëîãèêè, ëîãèêà äîâåðèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå äâóçíà÷íîé ëîãèêè L2 ïðèíèìàþò ëèáî çíà÷åíèå «èñòèíà»,
îáîçíà÷àåìîå ÷èñëîì 1, ëèáî çíà÷åíèå «ëîæü», îáîçíà÷àåìîå ÷èñëîì 0.  òðåõçíà÷íîé ëîãèêå
Ëóêàñåâè÷à ïîÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå èñòèííîñòè, îáîçíà÷àåìîå ÷èñëîì 1 2/ . Îíî
âûçûâàåò íåäîâåðèå ê ñåáå è ïîáóæäàåò ê ñîçäàíèþ ëîãèêè (ëîãèê) äîâåðèÿ.
Ìíîãèå óòâåðæäåíèÿ, â òîì ÷èñëå è ìàòåìàòè÷åñêèå, âîñïðèíèìàþòñÿ íà óðîâíå äîâå-
ðèÿ–íåäîâåðèÿ, ïðè÷åì êàê ñòåïåíü äîâåðèÿ, òàê è ñòåïåíü íåäîâåðèÿ ìîãóò áûòü ðàçíûìè. Èçìå-
ðÿåì ýòó ñòåïåíü ÷èñëîì tt (trust), ñ÷èòàÿ, ÷òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ 1 2 1/ � �tt . Óòâåðæäåíèÿ, âû-
çûâàþùèå áåçðàçëè÷èå, ëîãèêîé äîâåðèÿ èãíîðèðóþòñÿ.
Óÿñíèâ ýòó ñèòóàöèþ, àâòîð âûíîñèò íà ñóä ÷èòàòåëåé ñåìåéñòâî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ëîãèê
äîâåðèÿ. Â ðàçä. 1 äàííîé ñòàòüè ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ââåäåíà óíàðíàÿ îïåðà-
öèÿ îòðèöàíèÿ. Â ðàçä. 2 ïî àíàëîãèè ñ ëîãèêîé L2 ââåäåíû áèíàðíûå îïåðàöèè èìïëèêàöèè,
äèçúþíêöèè, êîíúþíêöèè, ýêâèâàëåíöèè è èññëåäîâàíû èõ ñâîéñòâà. Â ðàçä. 3 äàíî îïðåäåëåíèå
ôîðìóë è çàêîíîâ ëîãèê äîâåðèÿ; äîêàçàíî, ÷òî ôîðìóëû ëîãèê äîâåðèÿ áóäóò çàêîíàìè ýòèõ ëî-
ãèê, åñëè è òîëüêî åñëè îíè (ôîðìóëû) ÿâëÿþòñÿ òàâòîëîãèÿìè ëîãèêè L2. Â ðàçä. 4 ðàññìîòðåíû
êîíå÷íîçíà÷íûå ëîãèêè äîâåðèÿ, ôàêòè÷åñêè ñîâïàäàþùèå ñ èçâåñòíûìè 2k-çíà÷íûìè ëîãèêàìè
( , , )k � 1 2 � ; ðàññìîòðåíà òàêæå ñ÷åòíîçíà÷íàÿ ëîãèêà äîâåðèÿ, îòëè÷àþùàÿñÿ îò áåñêîíå÷íî-
çíà÷íîé ëîãèêè Êëèíè (ñì. [1, ñ. 79] ) áîëåå óçêîé îáëàñòüþ èíòåðïðåòàöèè ïðîïîçèöèîíàëüíûõ
ïåðåìåííûõ.
×òåíèå ñòàòüè òðåáóåò ìèíèìàëüíîãî çíàíèÿ ïî ëîãèêå L2 èç [2] è ïî ìíîãîçíà÷íûì ëîãè-
êàì èç [1].
1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß
Äëÿ íàòóðàëüíîãî m � 2 3, , � è ðàöèîíàëüíîãî tt � ( , ]/1 2 1 ñòðîèì ïðîïîçèöèîíàëüíóþ m-óðîâ-
íåâóþ ëîãèêó äîâåðèÿ ñòåïåíè tt, ñîêðàùeííî ëîãèêó L m tt( , ) . Ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåí-
íûå p p p, , ,1 2 � ëîãèêè L m tt( , ) ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ ëîãè÷åñêèõ m-ðàñïðåäåëåíèé a b c d, , , ,
e a b c, , , ,1 1 1 � Ëîãè÷åñêîå m-ðàñïðåäåëåíèå — ýòî òàêîé ÷èñëîâîé m-ìåðíûé âåêòîð
a a a� ( [ ], [ ],1 2 � , [ ])a m , ÷òî åãî êîìïîíåíòû a i[ ] — íåîòðèöàòåëüíûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà,
ïðè÷åì a a m[ ] [ ]1 1� � �� è a tt a m tt[ ] [ ]1 � � . Îäíàêî åñëè m
3, òî a[ ]2 � �� � �a m[ ]1
� � � �( [ ] [ ]) / ( )1 1 2a a m m .
Ëîãè÷åñêîå m-ðàñïðåäåëåíèå a íàçûâàåì tt-èñòèííûì, åñëè a tt[ ]1 � , è tt-ëîæíûì, åñëè
a m tt[ ] � . Ëîãè÷åñêèå m-ðàñïðåäåëåíèÿ ( , , , )1 0 0� è ( , , , )0 0 1� îáîçíà÷àåì 1m è 0m, íàçûâàÿ èõ
ñîîòâåòñòâåííî àáñîëþòíî èñòèííûì è àáñîëþòíî ëîæíûì, òàê êàê îíè ñîîòâåòñòâóþò íàèâûñ-
øåé ñòåïåíè äîâåðèÿ ( )tt � 1 è íåäîâåðèÿ ( )tt � 0 .
Èìååì 1 1 02 � ( , ) è 0 0 12 � ( , ). Ïîëó÷àåì åñòåñòâåííóþ áèåêöèþ 1 12 � è 0 02 � ìíîæåñòâ
{ }1 02 2, è { }1 0, , èíòåðïðåòèðóÿ { }1 0, êàê ìíîæåñòâî ëîãè÷åñêèõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ p p p, , ,1 2 �
ëîãèêè L2. Ïîýòîìó ëîãèêó L m tt( , ) ñòðîèì òàê, ÷òîáû ëîãèêè L( , )2 1 è L2 ïî ñóùåñòâó íå
ðàçëè÷àëèñü.
Ðàññìîòðèì ïîÿñíÿþùèé ïðèìåð. Ïóñòü â íåêîòîðîì êîëëåêòèâå, ñîñòîÿùåì èç n
2 èíäè-
âèäîâ, ïóòåì ãîëîñîâàíèÿ ïðèíèìàåòñÿ íåêîòîðîå æèçíåííî âàæíîå ïðàâèëî ïîâåäåíèÿ R, ïðè÷åì
êàæäûé èíäèâèä ãîëîñóåò ëèáî «ÇÀ», äîâåðÿÿ ïðàâèëó R (èõ v�), ëèáî «ÏÐÎÒÈ», íå äîâåðÿÿ
ïðàâèëó R (èõ v�), ëèáî «ÂÎÇÄÅÐÆÈÂÀÅÒÑß» (è òàêèõ v n v v� � �� � � ).  èòîãå ïîÿâëÿåòñÿ ëî-
ãè÷åñêîå 3-ðàñïðåäåëåíèå a a a a� ( [ ], [ ], [ ])1 2 3 , â êîòîðîì a v n[ ] /1 � � , a v n[ ] /2 � � , a v n[ ] /3 � � , è
ïðàâèëî ïîâåäåíèÿ R ëèáî ïðèíèìàåòñÿ (äëÿ ýòîãî íàäî èìåòü a tt[ ] /1 1 2�
), ëèáî íå ïðèíèìàåò-
ñÿ, íî â ñëó÷àå a tt[ ] /3 1 2�
ïðàâèëî R îòâåðãàåòñÿ, à âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ îíî ìîæåò áûòü
óñîâåðøåíñòâîâàíî è åùå ðàç ïðîãîëîñîâàíî.
Ìíîæåñòâî âñåõ tt-èñòèííûõ (âñåõ tt-ëîæíûõ) m-ðàñïðåäåëåíèé îáîçíà÷èì T m tt( , ) (ñîîòâåò-
ñòâåííî F m tt( , )). Ïîëó÷èì 1m T m tt� ( , ) è 0m F m tt� ( , ) . Îáðàçóåì ìíîæåñòâî D m tt( , ) �
�
T m tt F m tt( , ) ( , ) .
182 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
© Â.ß. Áóðäþê, 2011
Ëåììà 1. Åñëè a T m tt� ( , ) , òî a m tt[ ] � ; åñëè a F m tt� ( , ) , òî a tt[ ]1 � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a T m tt� ( , ) , çíà÷èò, a tt[ ]1 � ; è åñëè áû âûïîëíÿëîñü a m tt[ ] � , òî
ïîëó÷èëè áû a a m tt tt[ ] [ ]1 1� � �
, èáî tt
1 2/ . Îäíàêî ïî îïðåäåëåíèþ èìååì a a m[ ] [ ]1 1� � ,
òàê ÷òî äîëæíî áûòü a m tt[ ] � . Âòîðàÿ ÷àñòü ëåììû äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. �
Ëåììà 2. Åñëè äëÿ a b D m tt, ( , )� âû÷èñëèòü
c a m b1 1� max( [ ], [ ]), c a b m2 1� min ( [ ], [ ]) ,
c a a m a m b m3 1� � �min ( [ ] [ ], [ ] [ ]), c a b b b m4 1 1 1� � �min ( [ ] [ ], [ ] [ ]) ,
òî ïîëó÷èì c c c c1 2 3 4 1� � �max ( , ) , ïðè÷åì ëèáî c tt1 � , ëèáî c tt2 � , íî åñëè a a m[ ] [ ]1 1� �
è b[ ]1 � �b m[ ] 1, òî c c1 2 1� � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî c c c c1 2 3 4� � max ( , ) . Èìååì
c c a m c b c1 2 2 21� � � � �max ( [ ] , [ ] )
� � � � �max (min ( [ ] [ ], [ ] [ ]), min ( [ ] [ ], [ ]a a m b m a m a b b m b1 1 1 [ ])) max ( , )1 3 4� c c ,
à òàêæå a a m[ ] [ ]1 1� � è b b m[ ] [ ]1 1� � , ïîýòîìó c3 1� è c4 1� . Ïîëó÷èëè c c1 2� �
� �max ( , )c c3 4 1 .
Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ëèáî c tt1 � , ëèáî c tt2 � . Åñëè c tt1 � , òî èç tt
1 2/ è òîëüêî ÷òî ïîëó-
÷åííîãî c c1 2 1� � ñëåäóåò c tt2 � , èíà÷å c a m b tt1 1� �max ( [ ], [ ]) , ïîýòîìó a m tt[ ] � è b tt[ ]1 � , òàê
÷òî (ñì. ëåììó 1) a tt[ ]1 � è b m tt[ ] � . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî min ( [ ], [ ])a b m tt1 � , ò.å. ÷òî c tt2 � .
Ïóñòü òåïåðü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ a a m[ ] [ ]1 1� � è b b m[ ] [ ]1 1� � . Òîãäà
c a m b m3 1� �min ( , [ ] [ ]) , c a b4 1 1 1� �min ( [ ] [ ], ) ,
îäíàêî ( [ ] [ ]) ( [ ] [ ]) [ ] [ ] [ ] [ ]a m b m a b a a m b b m� � � � � � � �1 1 1 1 2 . Ïîýòîìó åñëè ( [ ] [ ])a m b m� �
� �( [ ] [ ])a b1 1 , òî a b[ ] [ ]1 1 1� � . Îòñþäà
c a b4 1 1 1 1� � �min ( [ ] [ ], ) ;
íî òîãäà max ( , )c c3 4 1� , ÷òî âìåñòå ñ ðàíåå ïîëó÷åííûì max ( , )c c3 4 1� äàåò c c1 2� �
� �max ( , )c c3 4 1 . Åñëè æå ( [ ] [ ]) ( [ ] [ ])a m b m a b� � �1 1 , òî a m b m[ ] [ ]� � 1, è ïîýòîìó
c a m b m3 1 1� � �min ( , [ ] [ ]) . Îäíàêî òîãäà, êàê è ðàíåå, max ( , )c c3 4 1� , òàê ÷òî èìååì c c1 2� �
� �max ( , )c c3 4 1. �
Ââåäåì íà ìíîæåñòâå D m tt( , ) óíàðíóþ îïåðàöèþ îòðèöàíèÿ � , à èìåííî
� � �( [ ], [ ], , [ ]) ( [ ], [ ], , [ ])a a a m a m a m a1 2 1 1� � äëÿ a D m tt� ( , ) , ò.å. �a — ýòî çàïèñàííîå â îá-
ðàòíîì ïîðÿäêå m-ðàñïðåäåëåíèå a. Èìååì � �1 0m m, � �0 1m m (àíàëîãè � �1 0, � �0 1 â ëîãèêå L2),
�� �a a ; åñëè a T m tt� ( , ), òî � �a F m tt( , ) ; åñëè a F m tt� ( , ) , òî � �a T m tt( , ) .
 ñëåäóþùåì ðàçäåëå ââåäåì íîâûå îïåðàöèè íà ìíîæåñòâå D m tt( , ) — àíàëîãè îïåðàöèé
� � �, , , ëîãèêè L2. Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ íîâûõ îïåðàöèé ïðè îòñóòñòâèè ñêîáîê, ðåãóëèðóþ-
ùèõ ýòîò ïîðÿäîê, áóäåò òàêèì æå, êàê è â ëîãèêå L2, ò.å. � � � �, , , , .
2. ÁÈÍÀÐÍÛÅ ÎÏÅÐÀÖÈÈ
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ a b D m tt, ( , )� ñòðîèì m-ìåðíûé âåêòîð c, ãäå c c[ ]1 1� , c m c[ ] � 2, à åñëè
m
2, òî c c m c c m[ ] [ ] ( ( )) / ( )2 1 1 21 2� � � � � � �� , ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëèâ ÷èñëà c1 è c2
òàê, êàê â ëåììå 2, ò.å. c a m b1 1� max ( [ ], [ ]) , c a b m2 1� min ( [ ], [ ]) .
Èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî ïîñòðîåííûé m-ìåðíûé âåêòîð c — ýòî ëîãè÷åñêîå m-ðàñïðåäåëå-
íèå; îáîçíà÷èì c a b� � è íàçîâåì m-ðàñïðåäåëåíèå a b� èìïëèêàöèåé m-ðàñïðåäåëåíèé a è b.
Òàêîå íàçâàíèå åñòåñòâåííî, èáî
1 1 1m m m� � , 1 0 0m m m� � , 0 1 1m m m� � , 0 0 1m m m� � , (1)
1 1 1� � , 1 0 0� � , 0 1 1� � , 0 0 1� � , (2)
ïðè÷åì âû÷èñëåíèÿ ñîîòíîøåíèé (2) ïðîâåäåíû â ëîãèêå L2.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 183
Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáûõ a b D m tt, ( , )� âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
1) a b a m b a b m� � �(max ( [ ], [ ]), , min ( [ ], [ ]))1 1 ;
2) åñëè a T m tt� ( , ) è b T m tt� ( , ) , òî a b b� � ;
3) åñëè a T m tt� ( , ) è b F m tt� ( , ) , òî a b F m tt� � ( , );
4) åñëè a F m tt� ( , ) è b T m tt� ( , ) , òî a b T m tt� � ( , );
5) åñëè a F m tt� ( , ) è b F m tt� ( , ) , òî a b a� � � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èâ c a b� � , äîêàæåì óòâåðæäåíèÿ 1)–5):
1) ýòî óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ;
2) ïóñòü a T m tt� ( , ) è b T m tt� ( , ) , çíà÷èò, a tt[ ]1 � è b tt[ ]1 � ; òîãäà a m tt[ ] � è b m tt[ ] �
(ñì. ëåììó 1), ïîýòîìó ïîëó÷àåì
c a m b b c m a b m b m[ ] max ( [ ], [ ]) [ ], [ ] min ( [ ], [ ]) [ ]1 1 1 1� � � � ,
òàê ÷òî îêîí÷àòåëüíî èìååì c b� , ò.å. ( )a b b� � ;
3) ïóñòü a T m tt� ( , ) è b F m tt� ( , ) , çíà÷èò, a tt[ ]1 � è b m tt[ ] � ; òîãäà c m a[ ] min ( [ ],� 1
b m tt[ ]) � , ïîýòîìó a b F m tt� � ( , ) ;
4) ïóñòü a F m tt� ( , ) è b T m tt� ( , ) , çíà÷èò, a m tt[ ] � è b tt[ ]1 � ; òîãäà c a m[ ] max ( [ ],1 �
b tt[ ])1 � , ïîýòîìó ( ) ( , )a b T m tt� � ;
5) ïóñòü a F m tt� ( , ) è b F m tt� ( , ) , çíà÷èò, a m tt[ ] � è b m tt[ ] � ; òîãäà a tt[ ]1 � è b tt[ ]1 �
(ñì. ëåììó 1); îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî c a m b a m[ ] max ( [ ], [ ]) [ ]1 1� � è c m a b m a[ ] min ( [ ], [ ]) [ ]� �1 1 ,
ò.å. ÷òî a b a� � � . �
Òåîðåìà 2. Èìïëèêàöèÿ a b� áóäåò tt-ëîæíîé, åñëè è òîëüêî åñëè a åñòü tt-èñòèííîå, à b —
tt-ëîæíîå ëîãè÷åñêèå m-ðàñïðåäåëåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè a T m tt� ( , ) è b F m tt� ( , ) , òî a b F m tt� � ( , ) â ñèëó ï. 3) òåîðåìû 1.
 îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ (ñì. ïï. 2), 4), 5) òîé æå òåîðåìû) âûïîëíÿåòñÿ a b T m tt� � ( , ). �
Èç òåîðåìû 2 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò âàæíàÿ äëÿ äàëüíåéøåãî òåîðåìà.
Òåîðåìà 3. Åñëè a T m tt� ( , ) è a b T m tt� � ( , ), òî b T m tt� ( , ) .
Íà îñíîâàíèè ýòîé òåîðåìû ïðàâèëîì âûâåäåíèÿ modus ponens ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ è â ëî-
ãèêå L m tt( , ). Ñëåäóþùåé òåîðåìîé ââåäåì îïåðàöèè äèçúþíêöèè , êîíúþíêöèè � è ýêâèâàëåí-
öèè �.
Òåîðåìà 4. Åñëè äëÿ a b D m tt, ( , )� îïðåäåëèì a b a b � � � , a b� � � � �( )a b ,
a b a b b a� � � � �( ) ( ), òî ïîëó÷èì çàêîíû äå Ìîðãàíà � �( )a b � � �a b, � � � � �( )a b a b,
à òàêæå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
1) a b a b a m b m � (max ( [ ], [ ]), , min ( [ ], [ ]))1 1 � ;
2) a b a b a m b m� � (min( [ ], [ ]), , max ( [ ], [ ]))1 1 � ;
3) a b� � (min ( , ), , max ( , ))� � � �� , ãäå � � max ( [ ], [ ])a b m1 , � � max ( [ ],a m b[ ])1 ,
� � min ( [ ], [ ])a b m1 , � � min ( [ ], [ ])a m b 1 ;
4) åñëè a b T m tt, ( , )� , òî ( ) ( , )a b T m tt � , ( ) ( , )a b T m tt� � , a b b a� � � ;
5) åñëè a T m tt� ( , ), b F m tt� ( , ), òî ( ) ( , )a b F m tt� � , a b a � , a b b� � ;
6) åñëè a F m tt� ( , ), b T m tt� ( , ), òî ( ) ( , )a b F m tt� � , a b b � , a b a� � ;
7) åñëè a b F m tt, ( , )� , òî ( ), ( ) ( , )a b a b F m tt � � è a b a b� � � ( ) .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç a b a b � � � è �� �a a ïîëó÷àåì � �a b �� � � �a b a b. Ïîýòî-
ìó � � � � �a b a b. Îòñþäà èìååì � � �( )a b � � � � � �( )a b a b, ïîýòîìó � � �( )a b
� � �a b, à òàêæå � � � �( )a b � �� �� � a b a b, òàê ÷òî � � � � �( )a b a b.
Òåïåðü ïðîâåðèì ñîîòíîøåíèÿ 1) – 3) òåîðåìû 4.
1) èìåÿ � � �a a m a m a( [ ], [ ], , [ ])1 1� è òåîðåìó 1, ïîëó÷àåì
a b a b a b a m b m � � � � (max ( [ ], [ ]), ,min ( [ ], [ ]))1 1 � ;
2) èç 1) èìååì � � �a b a m b m a b(max ( [ ], [ ]), ,min ( [ ], [ ]))� 1 1 , ïîýòîìó a b� � � � ( a
� �b a b a m b m) (min( [ ], [ ]), ,max ( [ ], [ ]))1 1 � ;
3) èç ñîîòíîøåíèé 1) òåîðåìû 1 è ïðîâåðåííîãî ï. 2) ïîëó÷àåì íåïîñðåäñòâåííî ñîîòíîøå-
íèå 3);
(îáîçíà÷èâ d a b� , c a b� � , e a b� � , äîêàæåì óòâåðæäåíèÿ ïï. 4)–7))
4) ïóñòü a b T m tt, ( , )� , çíà÷èò, a tt[ ]1 � è b tt[ ]1 � , òîãäà èìååì (â ñèëó ëåììû 1) a m tt[ ] � è
b m tt[ ] � , ïîýòîìó d a b tt[ ] max ( [ ], [ ])1 1 1� � , c[ ]1 � min ( [ ], [ ])a b tt1 1 � ; èòàê, d c T m tt, ( , )� ;
(èç òåîðåìû 1 èìååì: åñëè a b T m tt, ( , )� , òî a b b� � è b a a� � ; îòñþäà ïîëó÷àåì
a b a b b a b a� � � � � � �( ) ( ) )
5) ïóñòü a T m tt� ( , ), b F m tt� ( , ), çíà÷èò, a tt[ ]1 � , b m tt[ ] � ; òîãäà a m tt[ ] � è b tt[ ]1 � ; ñëåäîâà-
òåëüíî, d a b a[ ] max ( [ ], [ ]) [ ]1 1 1 1� � , c a b b[ ] min ( [ ], [ ]) [ ]1 1 1 1� � , d m a m b m[ ] min ( [ ], [ ])� �
� a m[ ]) , c m a m b m b m[ ] max ( [ ], [ ]) [ ])� � , ïîýòîìó d � ( )a b a � , c a b b� � �( ) ; êðîìå òîãî, âû-
184 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
ïîëíÿåòñÿ max ( [ ], [ ])a b m tt1 � è max ( [ ], [ ])a m b tt1 � ; ïîýòîìó e a b m[ ] min (max ( [ ], [ ]),1 1�
max ( [ ], [ ]))a m b tt1 � ; îòñþäà ïîëó÷àåì ( ) ( , )a b F m tt� � , òàê êàê e a b� �( );
6) ïóñòü a F m tt� ( , ), b T m tt� ( , ), çíà÷èò, a m tt[ ] � , b tt[ ]1 � , òîãäà a tt[ ]1 � è b m tt[ ] � ; ñëåäîâàòåëü-
íî, d a b b[ ] max ( [ ], [ ]) [ ]1 1 1 1� � , c a b a[ ] min ( [ ], [ ]) [ ]1 1 1 1� � , d m a m b m[ ] min ( [ ], [ ])� � b m[ ],
c m a m b m a m[ ] max ( [ ], [ ]) [ ]� � , ïîýòîìó d � ( )a b b � , c a b a� � �( ) ; êðîìå òîãî, âûïîëíÿåòñÿ
max ( [ ], [ ])a b m tt1 � è max ( [ ], [ ])a m b tt1 � ; ïîýòîìó e a b m[ ] min (max ( [ ], [ ]),1 1� max ( [ ],a m
b tt[ ]))1 � ; îòñþäà ïîëó÷àåì e a b F m tt� � �( ) ( , ) ;
7) ïóñòü a b F m tt, ( , )� , çíà÷èò, a m tt[ ] � , b m tt[ ] � ; îòñþäà ïîëó÷àåì d m[ ] � min ( [ ],a m
b m tt[ ]) � è c m a m b m tt[ ] max ( [ ], [ ])� � , ïîýòîìó ( )a b � F m tt( , ) è ( ) ( , )a b F m tt� � .
Èç òåîðåìû 1 èìååì: åñëè a b F m tt, ( , )� , òî ( )a b a� � � è ( )b a b� � � , îòñþäà ïîëó÷àåì
( ) ( ) ( ) ( )a b a b b a a b a b� � � � � � � � � � � . �
Òåîðåìà 5. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ a b c D m tt, , ( , )� âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
a a a a a a a b b a a b b a a b c a b c � � � � � � � � , , , , ( ) ( ),
( ) ( ), ( ) , ( )a b c a b c a a b a a a b a� � � � � � � � � ,
a b c a b a c� � � �( ) ( ) ( ), a b c a b a c � � � ( ) ( ) ( ),
a am �0 , a am� �1 , a m m� �0 0 , a m m �1 1 ,
( ) ( , )a a T m tt � � , ( ) ( , )a a F m tt� � � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåðèì âçàèìíóþ äèñòðèáóòèâíîñòü êîíúþíêöèè è äèçúþíêöèè,
à òàêæå ïîñëåäíèå äâà ñîîòíîøåíèÿ òåîðåìû 5. Ïðîâåðêà îñòàëüíûõ ñîîòíîøåíèé òðèâèàëüíàÿ.
Èòàê,
a a a a m a m a � � (max ( [ ], [ ]), ,min ( [ ], [ ]))1 1� ,
a a a a m a m a� � � (min( [ ], [ ]), ,max ( [ ], [ ]))1 1� .
Íî max ( [ ], [ ])a a m tt1 � , ïîýòîìó ( ) ( , )a a T m tt � � è ( ) ( , )a a F m tt� � � .
Îáîçíà÷èâ d a b c� � ( ) , e a b a c� � �( ) ( ) , ïîëó÷èì:
d a b c[ ] min ( [ ],max ( [ ], [ ]))1 1 1 1� , d m a m b m c m[ ] max ( [ ],min ( [ ], [ ]))� ,
e a b a c[ ] max (min ( [ ], [ ]), min ( [ ], [ ]))1 1 1 1 1� ,
e m a m b m a m c m[ ] min (max ( [ ], [ ]), max ( [ ], [ ]))� .
Íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî d e[ ] [ ]1 1� è d m e m[ ] [ ]� . Äëÿ ýòîãî äîêàæåì ëåììó 3.
Ëåììà 3. Åñëè íà ìíîæåñòâå X çàäàíî îòíîøåíèå ëèíåéíîãî ïîðÿäêà � , òî
A x y z X x y z x y x z: ( , , ) min ( ,max ( , )) max (min ( , ),min ( , )� � � � ) ;
B x y z X x y z x y x z: ( , , )max ( ,min ( , )) min (max ( , ),max ( , )� � � � ) .
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê âèäèì, óòâåðæäåíèÿ A è B äâîéñòâåííûå, ïîýòîìó äîêàçûâàåì òîëüêî A,
ïðîâåðèâ âñå øåñòü âàðèàíòîâ ëèíåéíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ äëÿ ýëåìåíòîâ x y z X, , � (ñì. ñõåìó çàïè-
ñè, â êîòîðîé ðåçóëüòàò âûïîëíåíèÿ áèíàðíîé îïåðàöèè ïîìåùåí ïîä èìåíåì îïåðàöèè):
min ( ,max ( , )) max (min ( , ),min ( , ))x y z x y x z�
x y z� � x z x x x
x z y� � x y x x x
y x z� � x z x y x
y z x� � z z z y z
z x y� � x y x x z
z y x� � y y y y z
Èç ñõåìû âèäíî, ÷òî óòâåðæäåíèå A èñòèííî. �
Ïðîäîëæèì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 5. Ïîëîæèâ x a� [ ]1 , y b� [ ]1 , z c� [ ]1 , ïî óòâåðæäå-
íèþ A ëåììû 3 ïîëó÷èì d e[ ] [ ]1 1� . Ïîëîæèâ x a m� [ ] , y b m� [ ] , z c m� [ ] , ïî óòâåðæäåíèþ B
ëåììû 3 ïîëó÷èì d m e m[ ] [ ]� . Èòàê, èìååì ïåðâóþ äèñòðèáóòèâíîñòü.
Îáîçíà÷èâ d a b c1 � �( ) è e a b a c1 � � ( ) ( ) , ïîëó÷èì
d a b c1 1 1 1 1[ ] max ( [ ],min( [ ], [ ]))� , d m a m b m c m1[ ] min ( [ ],max ( [ ], [ ]))� ,
e a b a c1 1 1 1 1 1[ ] min (max ( [ ], [ ]),max ( [ ], [ ]))� ,
e m a m b m a m c m1[ ] max (min ( [ ], [ ]),min ( [ ], [ ]))� .
Íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî d e1 11 1[ ] [ ]� è d m e m1 1[ ] [ ]� . Ïîëîæèâ x a� [ ]1 , y b� [ ]1 , z c� [ ]1 ,
ïî óòâåðæäåíèþ B ëåììû 3 ïîëó÷èì d e1 11 1[ ] [ ]� . Ïîëîæèâ x a m� [ ] , y b m� [ ] , z c m� [ ] , ïî
óòâåðæäåíèþ A ëåììû 3 ïîëó÷èì d m e m1 1[ ] [ ]� . Èòàê, èìååì âòîðóþ äèñòðèáóòèâíîñòü. �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 185
3. ÔÎÐÌÓËÛ È ÇÀÊÎÍÛ ËÎÃÈÊÈ L m tt( , )
Ôîðìóëû ëîãèêè L m tt( , ) — ýòî âñå ïåðåìåííûå p, p1, p2 , � , à òàêæå � �, � �� , � � , � �� ,
� �� , ( )� , ( )� , íî ïðè óñëîâèè, ÷òî � è � — ôîðìóëû ëîãèêè L m tt( , ) . Äðóãèõ ôîðìóë ëîãèêà
L m tt( , ) íå èìååò.
Íàïîìíèì, ÷òî ôîðìóëû ëîãèêè L2 îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî, òàê ÷òî ðàçëè÷èå ìåæäó ëîãè-
êàìè L m tt( , ) è L2 òîëüêî â èíòåðïðåòàöèè èõ ôîðìóë.
Äëÿ èíòåðïðåòàöèè ôîðìóë ëîãèêè L m tt( , ) âûáèðàåòñÿ ìíîæåñòâî D m tt( , ). Êàæäàÿ ïåðåìåí-
íàÿ, êàê ôîðìóëà, ìîæåò ïðèíèìàòü â êà÷åñòâå ñâîåãî çíà÷åíèÿ ëþáîé ýëåìåíò a D m tt� ( , ). Åñëè
ôîðìóëû � è � ïðèíÿëè çíà÷åíèÿ a è b ñîîòâåòñòâåííî, òî ôîðìóëû � �, � �� , � � , � �� è
� �� , ( )� , ( )� ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ � a, a b� , a b , a b� è a b� , a, b ñîîòâåòñòâåííî.
Äëÿ çàïèñè ôîðìóëû �, ïîñòðîåííîé èç ïåðåìåííûõ p p pn1 2, , ,� è ñèìâîëîâ îïåðàöèé � ,
�, , �, �, èñïîëüçóåì âûðàæåíèå �( , , , )p p pn1 2 � , âîñïðèíèìàÿ åãî êàê ôîðìóëó.
Ôîðìóëó �( , , , )p p pn1 2 � íàçûâàåì çàêîíîì ëîãèêè L m tt( , ), åñëè ýòà ôîðìóëà ïðè ïðîèçâîëü-
íûõ çíà÷åíèÿõ åå ïåðåìåííûõ p p pn1 2, , ,� ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ òîëüêî èç ìíîæåñòâà T m tt( , ) .
Ïðèìåð çàêîíà ëîãèêè L m tt( , ) — ýòî ôîðìóëà � � � (ñì. òåîðåìó 5).
Òåîðåìà 6. Çàêîíàìè ëîãèêè L m tt( , ) ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
A1: ( )� � �� � � , A2: ( ( ( )) (( ) ( )))� � � � � � �� � � � � � � ,
A3: ( ) (( ) )� � � � � � � �� � � � � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â ôîðìóëû �, �, �,
ýòè ôîðìóëû ïðèíÿëè çíà÷åíèÿ a, b, c ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ôîðìóëû A1, A2, A3 ïðèìóò çíà÷åíèÿ
d1, d2, d3 ñîîòâåòñòâåííî.
Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî d d d T m tt1 2 3, , ( , )� . Ïî òåîðåìå 2 âûïîëíåíèå ( ) ( , )a b F m tt1 1� � ðàâíî-
ñèëüíî âûïîëíåíèþ a T m tt1 � ( , ) è b F m tt1 � ( , ). Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ôàêòîì. Èòàê,
d a b a1 � � �( ) . Ïóñòü d F m tt1 � ( , ), à çíà÷èò, a T m tt� ( , ) è ( ) ( , )b a F m tt� � , íî òîãäà
a F m tt� ( , ) , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïîëó÷åííîìó ðàíåå a T m tt� ( , ), ïîýòîìó d T m tt1 � ( , ) .
Èìååì d a b c a b a c2 � � � � � � �( ( )) (( ) ( )) . Åñëè d F m tt2 � ( , ), òî:
1) ( ( )) ( , )a b c T m tt� � � è 2) (( ) ( ))a b a c� � � � F m tt( , ). Íî èç 2) ñëåäóþò 3) ( )a b� �
�T m tt( , ) è 4) ( ) ( , )a c F m tt� � , à èç 4) ñëåäóþò 5) a T m tt� ( , ) è 6) c F m tt� ( , ). Òåïåðü èç 3) è 5)
ñëåäóåò 7) b T m tt� ( , ), à èç 7) è 6) ñëåäóåò 8) ( ) ( , )b c F m tt� � . Íî òîãäà èç 5) è 8) ñëåäóåò
( ( )) ( , )a b c F m tt� � � , à ýòî ïðîòèâîðå÷èò 1). Çíà÷èò, d T m tt2 � ( , ).
Òàêæå èìååì d b a b a b3 � � � � � � � �( ) (( ) ). Åñëè d F m tt3 � ( , ), òî:
1) ( ) ( , )� � � �b a T m tt è 2) (( ) ) ( , )� � � �b a b F m tt . Íî èç 2) ñëåäóþò 3) ( )� � �b a
�T m tt( , ) è 4) b F m tt� ( , ), à èç 4) ïîëó÷àåì 5) � �b T m tt( , ). Èç 3) è 5) èìååì 6) a T m tt� ( , ), à èç 6)
èìååì 7) � �a F m tt( , ). Èìåÿ 5) è 7), ïîëó÷àåì ( ) ( , )� � � �b a F m tt , à ýòî ïðîòèâîðå÷èò 1).
Çíà÷èò, d T m tt3 � ( , ) . �
Èçâåñòíî (ñì. [2]), ÷òî ôîðìóëû A1, A2, A3 — ýòî àêñèîìû èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Òàê
êàê íà îñíîâàíèè òåîðåìû 3 ïðàâèëîì âûâåäåíèÿ modus ponens ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ è â ëîãèêå
L m tt( , ), òî êàæäàÿ ôîðìóëà ëîãèêè L m tt( , ), âûâåäåííàÿ èç åå çàêîíîâ A1, A2, A3, áóäåò çàêîíîì.
Îòâåò íà âîïðîñ: âñå ëè çàêîíû ëîãèêè L m tt( , ) ìîæíî âûâåñòè èç çàêîíîâ A1, A2, A3, êàê ýòî
èìååò ìåñòî â ëîãèêå L2, äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 7. Ôîðìóëà �( , , , )p p pn1 2 � ëîãèêè L m tt( , ) áóäåò çàêîíîì ýòîé ëîãèêè, åñëè è òîëü-
êî åñëè îíà (ôîðìóëà) — òàâòîëîãèÿ ëîãèêè L2.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôîðìóëà �( , , , )p p pn1 2 � — çàêîí ëîãèêè L m tt( , ). Òîãäà ïðè ïðîèç-
âîëüíûõ çíà÷åíèÿõ a a a D m ttn1 2, , , ( , )� � ïåðåìåííûõ p p pn1 2, , ,� ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷àåì
�( , , , ) ( , )a a a T m ttn1 2 � � . Íî âåäü èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå D m D m tt( , ) ( , )1 � . Ïîýòîìó ïðè ïðîèç-
âîëüíûõ çíà÷åíèÿõ a a a D mn1 2 1, , , ( , )� � ïåðåìåííûõ p p pn1 2, , ,� ïîëó÷èì �( , , , )a a an1 2 � �
�T m( , )1 , èáî îïåðàöèè � , �, , � , �, ïðèìåíåííûå ê ýëåìåíòàì èç D m( , )1 , äàþò ðåçóëüòàò èç
ýòîãî æå ìíîæåñòâà. Èòàê, åñëè ôîðìóëà �( , , , )p p pn1 2 � — çàêîí ëîãèêè L m tt( , ) ïðè íåêîòîðîì
çíà÷åíèè äëÿ tt, òî ýòà æå ôîðìóëà áóäåò çàêîíîì ëîãèêè L m( , )1 . Ïîýòîìó èññëåäóåì òîëüêî çàêî-
íû ëîãèêè L m( , )1 . Ïóñòü ôîðìóëà �( , , , )p p pn1 2 � — çàêîí ëîãèêè L m( , )1 ïðè íåêîòîðîì çíà÷å-
íèè äëÿ m. Òîãäà ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ a a a D mn1 2 1, , , ( , )� � ñîîòâåòñòâåííî ïåðåìåííûõ
p p pn1 2, , ,� ïîëó÷àåì �( , , , ) ( , )a a a T mn1 2 1� � . Îäíàêî âûïîëíÿåòñÿ D m( , )1 � { }1 0m m, ,
D( , ) ,2 1 1 02 2� { }, òàê ÷òî ìåæäó a a a D mn1 2 1, , , ( , )� � è a a a Dn1 2 2 1, , , ( , )� � èìååòñÿ åñòåñòâåí-
íàÿ áèåêöèÿ 1 12m � , 0 02m � , äàþùàÿ �( , , , ) ( , )a a a T mn1 2 1� � , åñëè òîëüêî
�( , , , ) ( , )a a a Tn1 2 2 1� � , èáî â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðîèçâîäÿòñÿ îäèíàêîâûå âû÷èñëåíèÿ íàä ýëåìåíòà-
186 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3
ìè ìíîæåñòâà { }1 0, . Èòàê åñëè ôîðìóëà �( , , , )p p pn1 2 � — çàêîí ëîãèêè L m( , )1 ïðè íåêîòîðîì
çíà÷åíèè äëÿ m, òî ýòà æå ôîðìóëà áóäåò çàêîíîì ëîãèêè L( , )2 1 . Ïîýòîìó èññëåäóåì òîëüêî çàêî-
íû ëîãèêè L( , )2 1 .
Ïóñòü ôîðìóëà �( , , , )p p pn1 2 � — çàêîí ëîãèêè L( , )2 1 , ïîýòîìó �( , , , )p p pn1 2 21� � ïðè
ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ 12 èëè 02 ïåðåìåííûõ p1, p2, …, pn. Âîñïîëüçóåìñÿ åñòåñòâåííîé áèåê-
öèåé 1 12 � , 0 02 � ìåæäó ìíîæåñòâàìè D( , ) ,2 1 1 02 2� { } è E2 1 0� { }, , è, çàñòàâèâ ïåðåìåííûå p1,
p2, … , pn ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå E2, ïîëó÷èì �( , , , )p p pn1 2 1� � , èáî èìåþò ìåñòî
ñîîòíîøåíèÿ (1) è (2). Èòàê åñëè ôîðìóëà �( , , , )p p pn1 2 � — çàêîí ëîãèêè L( , )2 1 , òî îíà — òàâ-
òîëîãèÿ ëîãèêè L2. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå òàêæå èìååò ìåñòî, èáî «ðàáîòàåò» åñòåñòâåííàÿ áèåê-
öèÿ 1 12 � , 0 02 � . �
4. ÊÎÍÅ×ÍÎÇÍÀ×ÍÛÅ ËÎÃÈÊÈ ÄÎÂÅÐÈß
 ïðåäûäóùåì ðàçäåëå áûëî ïðîäåìîíñòðèðîâàíî, êàê ñîãëàñóþòñÿ ëîãèêè L2 è L( , )2 1 . Ñëåäóÿ
ýòîìó îáðàçöó, ïîñòðîèì ïðîïîçèöèîíàëüíóþ ëîãèêó L tt( ) , êîòîðàÿ ñîãëàñóåòñÿ ñ ëîãèêîé L tt( , )2 .
Äëÿ a D tt� ( , )2 âûïîëíÿåòñÿ a a a� ( [ ], [ ])1 2 , ïðè÷åì ëèáî a tt[ ]1 � , ëèáî a tt[ ]2 � , è
a a[ ] [ ]1 2 1� � . Êàê âèäèì, äîñòàòî÷íî çíàòü ÷èñëî a[ ]1 , ÷òîáû âîññîçäàòü 2-ðàñïðåäåëåíèå
a a a� ( [ ], [ ])1 2 , èáî a a[ ] [ ]2 1 1� � . Ïåðåìåííûå p ëîãèêè L tt( ) ïðèíèìàþò ðàöèîíàëüíûå çíà÷å-
íèÿ a b1 1, , � èç ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà D tt tt tt( ) [ , ] [ , ]� �
0 1 1 . Ëîãèêè L tt( ) è L tt( , )2 èìåþò
îäèíàêîâûå ôîðìóëû. Èíòåðïðåòàöèÿ ôîðìóë ëîãèêè L tt( ) ñîîòâåòñòâóåò èíòåðïðåòàöèè ôîð-
ìóë ëîãèêè L tt( , )2 â ñëåäóþùåì ñìûñëå. Ïóñòü a b D tt, ( , )� 2 , a a1 1� [ ] , b b1 1� [ ] . Òîãäà åñëè
a tt[ ]1 � , òî a tt1 1�[ , ], ïîýòîìó a D tt1 � ( ) , íî åñëè a tt[ ]2 � , òî a a tt[ ] [ ]1 1 2 1� � � � , òàê ÷òî
a tt1 0 1� �[ , ] , ïîýòîìó a D tt1 � ( ) . Òàê êàê � �a a a( [ ], [ ])2 1 , òî � � �a a1 11 . Ïîñêîëüêó
a b a b a b� � (max ( [ ], [ ]), min ( [ ], [ ]))2 1 1 2 , òî a b a b1 1 1 11� � �max ( , ) . Îòñþäà a b1 1 � max ( , )a b1 1 ,
a b a b1 1 1 1� � min ( , ) .
Êàê âèäèì, ëîãèêà L tt( ) îòëè÷àåòñÿ îò áåñêîíå÷íîçíà÷íîé ëîãèêè Êëèíè (ñì. [1, ñ. 79]) òîëü-
êî òåì, ÷òî â ïîñëåäíåé äëÿ èíòåðïðåòàöèè èñïîëüçóåòñÿ ñåãìåíò [ , ]0 1 , õîòÿ ëîãèêà äîâåðèÿ
óáåæäàåò, ÷òî èç ñåãìåíòà [ , ]0 1 ìîæíî èñêëþ÷èòü ÷èñëî 1 2/ è âñå èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà,
ïîñêîëüêó äëÿ èíòåðïðåòàöèè ôîðìóë ëîãèêè L tt( ) ïðè ëþáîì tt
1 2/ îñòàâøèõñÿ ÷èñåë äîñòàòî÷íî.
Î÷åâèäíî, ÷òî ëîãèêà L tt( ) îòíîñèòñÿ ê êëàññó ñ÷åòíî-áåñêîíå÷íûõ.
Äëÿ k � 1 2, , � îáðàçóåì ìíîæåñòâî V k k kk2 0 1 2 1 2 2 2 1 1� � � �{ }, / , , / ,� , èñïîëüçóåìîå
äëÿ èíòåðïðåòàöèè ôîðìóë 2k-çíà÷íîé ëîãèêè, à ëîãèêó L tt( ) ñî ñòåïåíüþ äîâåðèÿ tt k k� �/ 2 1 è
ìíîæåñòâîì V k2 äëÿ èíòåðïðåòàöèè íàçîâåì 2k-çíà÷íîé ëîãèêîé äîâåðèÿ, îáîçíà÷àÿ åå L k2 . Íà-
ïîìíèì, ÷òî äëÿ k-çíà÷íîé ( )k � 2 ëîãèêè ìíîæåñòâîì èíòåðïðåòàöèè ñëóæèò V kk � �{0 1 1, / , �
� , / ,k k� �2 1 1}, è åñëè k íå÷åòíîå, òî âûïîëíÿåòñÿ íåíóæíîå äëÿ ëîãèêè äîâåðèÿ ñîîòíîøåíèå
1 2/ �Vk . Ïîýòîìó ëîãèêà L k2 ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííîé êîíå÷íîçíà÷íîé ëîãèêîé äîâåðèÿ äëÿ
k � 1 2, , �
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïîñòðîåíû ïðîïîçèöèîíàëüíûå ëîãèêè, ðàáîòàþùèå êàê ñ îáû÷íûìè
óòâåðæäåíèÿìè, òàê è ñ ïîëîæåíèÿìè, ïðèíèìàåìûìè ãîëîñîâàíèåì, ïðè÷åì óòâåðæäåíèÿ (ïî-
ëîæåíèÿ) ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íóþ ñòåïåíü äîâåðèÿ ëèáî íåäîâåðèÿ ê ñåáå — îò 100 % (àáñî-
ëþòíîå äîâåðèå ëèáî íåäîâåðèå) äî 51 % (ìèíèìàëüíîå äîâåðèå ëèáî íåäîâåðèå). Äîêàçàíî,
÷òî çàêîíû ýòèõ ëîãèê (ïî îïðåäåëåíèþ — àíàëîãè òàâòîëîãèé) è òàâòîëîãèè äâóçíà÷íîé ëî-
ãèêè îïèñûâàþòñÿ îäèíàêîâûìè ôîðìóëàìè. Ïîêàçàíî òàêæå, ÷òî ôîðìóëû-òàâòîëîãèè — ýòî
îáùå÷åëîâå÷åñêèå (íà óðîâíå äîâåðèÿ–íåäîâåðèÿ), à íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêèå (íà óðîâíå èñ-
òèííî–ëîæíî) ôîðìû ïðàâèëüíîãî ìûøëåíèÿ.
Îòìåòèì, ÷òî òðåõçíà÷íàÿ ëîãèêà Ëóêàñåâè÷à, íå ÿâëÿÿñü ëîãèêîé äîâåðèÿ, ìîæåò áûòü íà-
çâàíà ëîãèêîé îòâåòîâ (îòâåò ÄÀ — ýòî 1, îòâåò ÍÅÒ — ýòî 0, îòâåò ÍÅ ÇÍÀÞ — ýòî 1 2/ ).
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê à ð ï å í ê î À . Ñ . Ìíîãîçíà÷íûå ëîãèêè // Ëîãèêà è êîìïüþòåð. — Ì.: Íàóêà, 1997. — Âûï. 4. —
224 ñ.
2. Ì å í ä å ë ü ñ î í Ý . Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. — Ì.: Íàóêà, 1971. — 320 ñ.
Ïîñòóïèëà 05.05.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 3 187
|