Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями
Розглянуто сімейство лінійних і нелінійних дискретних керованих систем, що зазнають впливу обмежених збурень. Для обох класів систем (зокрема для систем, що мають нелінійні функції певного класу) отримано конструктивний розв’язок задачі синтезу керування, мінімізуючо-го радіус інваріантної множини....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84217 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями / А.В. Кунцевич, В.М. Кунцевич // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 65-78. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84217 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кунцевич, А.В. Кунцевич, В.М. 2015-07-03T18:40:55Z 2015-07-03T18:40:55Z 2011 Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями / А.В. Кунцевич, В.М. Кунцевич // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 65-78. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84217 519.8 Розглянуто сімейство лінійних і нелінійних дискретних керованих систем, що зазнають впливу обмежених збурень. Для обох класів систем (зокрема для систем, що мають нелінійні функції певного класу) отримано конструктивний розв’язок задачі синтезу керування, мінімізуючо-го радіус інваріантної множини. Наведено ілюстративний приклад. We analyze the two sets of controlled linear and nonlinear discrete-time systems under bounded disturbances. We constructively solve the control synthesis problem for these two sets of systems, including systems with nonlinear functions of a certain class. The optimal control minimizes the radius of invariant set. An illustrative example is presented. Работа выполнена в рамках Российско-украинского проекта (проект № 09-01-90431-Укр_Ф_а) при финансовой поддержке Национальной академии наук Украины (проект 20-01-10). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями Синтез керування інваріантними множинами сімейств лінійних і нелінійних дискретних систем з обмеженими збуреннями Control synthesis for invariant sets of families of linear and nonlinear discrete systems with bounded disturbances Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями |
| spellingShingle |
Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями Кунцевич, А.В. Кунцевич, В.М. Системный анализ |
| title_short |
Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями |
| title_full |
Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями |
| title_fullStr |
Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями |
| title_full_unstemmed |
Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями |
| title_sort |
синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями |
| author |
Кунцевич, А.В. Кунцевич, В.М. |
| author_facet |
Кунцевич, А.В. Кунцевич, В.М. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Синтез керування інваріантними множинами сімейств лінійних і нелінійних дискретних систем з обмеженими збуреннями Control synthesis for invariant sets of families of linear and nonlinear discrete systems with bounded disturbances |
| description |
Розглянуто сімейство лінійних і нелінійних дискретних керованих систем, що зазнають впливу обмежених збурень. Для обох класів систем (зокрема для систем, що мають нелінійні функції певного класу) отримано конструктивний розв’язок задачі синтезу керування, мінімізуючо-го радіус інваріантної множини. Наведено ілюстративний приклад.
We analyze the two sets of controlled linear and nonlinear discrete-time systems under bounded disturbances. We constructively solve the control synthesis problem for these two sets of systems, including systems with nonlinear functions of a certain class. The optimal control minimizes the radius of invariant set. An illustrative example is presented.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84217 |
| citation_txt |
Синтез управления инвариантными множествами семейств линейных и нелинейных дискретных систем с ограниченными возмущениями / А.В. Кунцевич, В.М. Кунцевич // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 65-78. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kuncevičav sintezupravleniâinvariantnymimnožestvamisemeistvlineinyhinelineinyhdiskretnyhsistemsograničennymivozmuŝeniâmi AT kuncevičvm sintezupravleniâinvariantnymimnožestvamisemeistvlineinyhinelineinyhdiskretnyhsistemsograničennymivozmuŝeniâmi AT kuncevičav sintezkeruvannâínvaríantnimimnožinamisímeistvlíníinihínelíníinihdiskretnihsistemzobmeženimizburennâmi AT kuncevičvm sintezkeruvannâínvaríantnimimnožinamisímeistvlíníinihínelíníinihdiskretnihsistemzobmeženimizburennâmi AT kuncevičav controlsynthesisforinvariantsetsoffamiliesoflinearandnonlineardiscretesystemswithboundeddisturbances AT kuncevičvm controlsynthesisforinvariantsetsoffamiliesoflinearandnonlineardiscretesystemswithboundeddisturbances |
| first_indexed |
2025-11-25T22:20:07Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:20:07Z |
| _version_ |
1850559643258978304 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
À.Â. ÊÓÍÖÅÂÈ×, Â.Ì. ÊÓÍÖÅÂÈ×
ÑÈÍÒÅÇ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÛÌÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÌÈ
ÑÅÌÅÉÑÒÂ ËÈÍÅÉÍÛÕ È ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÕ
ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÌÈ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌÈ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óïðàâëåíèå, âîçìóùåíèÿ, íåëèíåéíûå ôóíêöèè, èíâàðèàíò-
íûå ìíîæåñòâà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðîáëåìà îïðåäåëåíèÿ èíâàðèàíòíûõ ìíîæåñòâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ïîäâåð-
æåííûõ âîçäåéñòâèþ îãðàíè÷åííûõ àääèòèâíûõ âîçìóùåíèé, ò.å. îïðåäåëåíèÿ
òîãî ìíîæåñòâà â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåì, êîòîðîå íå ïîêèäàåò âåêòîð
ñîñòîÿíèÿ ïðè âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ âîçìóùåíèé, èìååò ìåæäèñöèïëèíàð-
íûé õàðàêòåð, òàê êàê ê ýòîé ïðîáëåìå ñâîäÿòñÿ ìíîãèå çàäà÷è òåîðèè óïðàâëå-
íèÿ, ðàäèîòåõíèêè, ìåõàíèêè, ðîáîòîòåõíèêè è ðÿäà äðóãèõ îáëàñòåé íàóêè
è òåõíèêè. Èçó÷åíèå ýòîé ïðîáëåìû äëÿ ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ñèñòåì íà÷à-
ëîñü ñ ðàáîòû Á.Â. Áóëãàêîâà [1], îïóáëèêîâàííîé åùå â ñåðåäèíå ïðîøëîãî
ñòîëåòèÿ. Â ïîñëåäíåå âðåìÿ â ñâÿçè ñ îñîçíàíèåì êàê òåîðåòèêàìè, òàê è êîí-
ñòðóêòîðàìè ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ðåàëüíûìè îáúåêòàìè, ïîäâåðæåííûìè âîçäåé-
ñòâèþ âîçìóùåíèé, òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî äëÿ ïàðàìåòðîâ ýòèõ îáúåêòîâ
â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ èçâåñòíû ëèøü èõ íåêîòîðûå îöåíêè, âîçðîñ èíòåðåñ ê
îáîáùåíèÿì çàäà÷è Á.Â. Áóëãàêîâà íà ñåìåéñòâà ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ íå-
ïðåðûâíûõ è äèñêðåòíûõ ñèñòåì (ñì., íàïðèìåð, [2–6]).
Äî ïîñëåäíåãî âðåìåíè ñòàâèëèñü è ðåøàëèñü çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ èíâàðèàíò-
íûõ ìíîæåñòâ è ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ èõ ïàðàìåòðàìè äëÿ ñåìåéñòâ ëèíåéíûõ íåïðå-
ðûâíûõ è äèñêðåòíûõ ñèñòåì.  [6] ðåøåíà çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ èíâàðèàíòíûõ ìíî-
æåñòâ ñåìåéñòâ äèñêðåòíûõ ëèíåéíûõ è íåêîòîðîãî êëàññà íåëèíåéíûõ ñèñòåì. Â íà-
ñòîÿùåé ðàáîòå íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ â [7] ðåçóëüòàòîâ ðåøàåòñÿ çàäà÷à ñèíòåçà
óïðàâëåíèÿ, ìèíèìèçèðóþùåãî ðàäèóñû ýòèõ ìíîæåñòâ — àíàëîã âåëè÷èíû äèñïåð-
ñèè ïðè âåðîÿòíîñòíîé ïðèðîäå äåéñòâóþùèõ íà îáúåêò óïðàâëåíèÿ âîçìóùåíèé.
1. ÑÈÍÒÅÇ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÛÌÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÌÈ
ÑÅÌÅÉÑÒÂ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Êëàññ ñèñòåì ñî ñêàëÿðíûì óïðàâëåíèåì. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ëèíåéíûõ
â îáùåì ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíûõ äèñêðåòíûõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì
X A n X u B n Z Z z Pn n n n n n� � � � �1 ( ) ( ) , , (1)
ãäå X n
m�� , P � ( , , , )0 0 1� , Bn — m-ìåðíûé âåêòîð, un — ñêàëÿðíîå óïðàâ-
ëåíèå, A n( ) — ìàòðèöà Ôðîáåíèóñà ( )m m� ,
A n
A nm
( )
( )
�
0
0
� I
T
, (2)
äëÿ m-é ñòðîêè A nm
T ( ) êîòîðîé çàäàíà åå îöåíêà
A n Am m
k K
m
kT conv { }( )
;
� �
�
A
1
, (3)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 65
1 Ðàáîòà âûïîëíåíà â ðàìêàõ Ðîññèéñêî-óêðàèíñêîãî ïðîåêòà (ïðîåêò ¹ 09-01-90431-Óêð_Ô_à)
ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè íàóê Óêðàèíû (ïðîåêò 20-01-10).
© À.Â. Êóíöåâè÷, Â.Ì. Êóíöåâè÷, 2011
Am
k — k-ÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà A m , K m� — ÷èñëî åãî âåðøèí,
B n b nT ( ) ( , ..., , ( ))� 0 0 , ãäå b n b b b b( ) :� � � �b { }, (4)
un — ñêàëÿðíîå óïðàâëåíèå, zn — âîçìóùåíèå, äëÿ êîòîðîãî çàäàíà åãî îöåíêà,
z z zn � � �z { }:| | � . (5)
 [7] ïîêàçàíî, ÷òî îãðàíè÷åííîå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî äëÿ ñåìåéñòâà
íåóïðàâëÿåìûõ ñèñòåì
X A n X Zn n n� � �1 ( ) (6)
ñóùåñòâóåò òîãäà, êîãäà ñåìåéñòâî íåâîçìóùåííûõ ñèñòåì
X A n Xn n� �1 ( ) (7)
ðîáàñòíî óñòîé÷èâî. Çäåñü, êàê è âûøå, äëÿ m-é ñòðîêè A nm
T ( ) ìàòðèöû A n( )
çàäàíà åå îöåíêà (3), à Z z Pn n� — âîçìóùåíèå, äëÿ êîòîðîãî çàäàíà åãî
îöåíêà (5). Ïîýòîìó ïðåæäå âñåãî îïðåäåëèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñóùåñòâó-
åò óïðàâëåíèå
u C Xn n� T , (8)
îáåñïå÷èâàþùåå ðîáàñòíóþ óñòîé÷èâîñòü ñåìåéñòâó íåâîçìóùåííûõ ñèñòåì,
X A n C Xn n� �1 H ( ( ), ) , (9)
ãäå H ( ) ( ) , � �A n BC CT T — âåêòîð.
 ñèëó (2)–(4), (8) ñåìåéñòâî ìàòðèö H ( ) — ñåìåéñòâî ìàòðèö Ôðîáåíèóñà,
m-ÿ ñòðîêà êîòîðûõ ðàâíà
H A n b n Cm m
T T T( ) ( ) ( ) � � .
Äàëåå ðàññìîòðèì òîëüêî òàêîé ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ìíîæåñòâî b îäíîòî-
÷å÷íîå, ñîäåðæàùåå ëèøü îäíó òî÷êó b
0, òàê êàê ïðè ýòîì ñóùåñòâåííî óïðî-
ùàåòñÿ «òåõíè÷åñêàÿ ñòîðîíà» ðåøåíèÿ çàäà÷è ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ. Ðàññìîòðå-
íèå íåîäíîòî÷å÷íîãî ìíîæåñòâà b, íå ìåíÿÿ ñóòè äåëà, òîëüêî óñëîæíÿåò âòî-
ðîñòåïåííûå äåòàëè ðåøåíèÿ çàäà÷è.
Ðîáàñòíàÿ ñòàáèëèçèðóåìîñòü ñåìåéñòâà ñèñòåì (2), (3), (9) íå èìååò ìåñòà
ïðè ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå A m , ïîýòîìó ïðèâåäåì çäåñü óñëîâèå ðîáàñòíîé
ñòàáèëèçèðóåìîñòè ýòîãî ñåìåéñòâà ñèñòåì. Ïðåäñòàâèì ìíîæåñòâî A m â öåí-
òðèðîâàííîì âèäå
A m mA� �
�
�A , � �A � � �
�
conv {
k K
m
k
m
k
mA A A
1;
}
�
, (10)
ãäå A m
�
— öåíòð ñôåðû ìèíèìàëüíîãî ðàäèóñà, îïèñàííîé âîêðóã ìíîæåñòâà A m .
 [8] ïîêàçàíî, ÷òî âûáîð âåêòîðà C T â (8) â âèäå
C b A m
� �
� � �1 (11)
îáåñïå÷èâàåò ñåìåéñòâó ñèñòåì
X
A n
X A nn
m
n m m� � �1
0
0
� I
�
� �
T
T
( )
, ( ) A , (12)
âûïîëíåíèå äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ñåìåéñòâó óïðàâëÿ-
åìûõ ñèñòåì (9) [9]:
� � � �A m m m mi
i
m
A n A n a n q� � � �
�
�
�
�
��
�( ): || ( ) || | ( ) |
1
1
1 (13)
ïðè íàèáîëüøåì ðàäèóñå ìíîæåñòâà �A m .
66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4
Íèæå ïðèìåì, ÷òî óñëîâèå (13) âûïîëíÿåòñÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ñåìåéñòâî
ñèñòåì (3), (8), (9), (11) èìååò îãðàíè÷åííîå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî. Íàðÿäó
ñ ñåìåéñòâîì ñèñòåì (1)–(4) ðàññìîòðèì íåóïðàâëÿåìîå ñåìåéñòâî ñèñòåì (6).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð ñîñòîÿíèÿ
X Xn n
s
n
s
m
� �
�
X conv { }
1 2;
, (14)
ãäå X n
s — s-ÿ âåðøèíà m-ìåðíîãî êóáà ñî ñòîðîíàìè, ðàâíûìè 2�, ñ öåíòðîì
â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Ñëåäóÿ [7], ýâîëþöèþ ýòîãî ñåìåéñòâà ñèñòåì çàïèøåì â òåðìèíàõ ðàçíîñò-
íûõ âêëþ÷åíèé
X n n n� �� � �1 1X X ZH ( ) , (15)
ãäå
H ( ) ( )
( )
( )
X
X
A
n
X
A n
m
n
n n
m m
A n
A
A n
X� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�T
T� . (16)
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå (16) äëÿ èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà X n
îïðåäåëÿåò èíòåðâàëüíîå ìíîæåñòâî X Xn n� �1 H ( ), èìåþùåå âèä
X X xn n m n� � �� �1 1 1, , (17)
ãäå
X x xn n m n� � � �� � �1 1 1 1 1, ,� , x
X
A
m n
X
A n
m n
n n
m m
A n X,
( )
( )�
�
�
�1
T
T
� . (18)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
min ( ) ( ) }
( )
,
X
A n
m n m n
n n
m m
A n X x
�
�
� � �
X
AT
{ T� 1, max ( , )
( )
,
X
A n
m n m n
n n
m m
A X x
�
�
��
X
AT
T� 1. (19)
Èç (17), (18) ïîëó÷àåì, ÷òî
x m n m n m n m n m nx x x x, , , , ,:� � � � �� � �1 1 1 1 1{ }. (20)
Âûðàæåíèå (15) çàïèøåì â âèäå
X X x Zn n m n� � �� � �1 1 1( ), . (21)
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ �( ) áèëèíåéíàÿ, òî åå ýêñòðåìóìû ïðèíàäëåæàò âåðøè-
íàì ìíîãîãðàííèêîâ A m è X n . Ïîýòîìó çàäà÷è (19) ñâîäÿòñÿ ê êîìáèíàòîðíûì
çàäà÷àì, ðåøåíèÿ êîòîðûõ, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå èõ ìàëóþ ðàçìåðíîñòü,
íàõîäèì ïðÿìûì ïåðåáîðîì.
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî X n öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åñêîå, òî ñïðàâåäëèâî ðà-
âåíñòâî
x xm n m n, ,� �� �1 1, (22)
èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî X n�1 òàêæå öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åñêîå.
 [7] ïîêàçàíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà (13) ïðåîáðàçîâàíèå
H ( )X n îñóùåñòâëÿåò ñæàòîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà X n âî ìíîæåñòâî X n�1,
ò.å. èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå
X Xn n� �1 , (23)
êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
r rn n( ) ( )X X� �1 , (24)
ãäå r n( )X — ðàäèóñ ìíîæåñòâà X n , îïðåäåëÿåìûé êàê
r Xn
X n
( ) max || ||X
X
�
�
1, || || | |X xi
i
m
1
1
�
�
� . (25)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 67
Èç (19), (20) è (25) ïîëó÷àåì, ÷òî
r x xn i n i n
i
m
( ) , | |, ,X � � �
�
� ��1 1 1
1
0 5 . (26)
Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (23), ðàâíîñèëüíîãî óñëîâèþ (13), ñèñòåìà (15)
èìååò îãðàíè÷åííî èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî X
*
. Ïðèíÿâ â (15), ÷òî
X X Xn n� � �1
*
, ïîëó÷èì óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî
X X Z
* *
( )� �H . (27)
 [6] ïðèâåäåí ìåòîä îïðåäåëåíèÿ èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà X
*
èç óðàâíå-
íèÿ (27). Ðàäèóñ ýòîãî ìíîæåñòâà â ñîîòâåòñòâèè ñ (26) ðàâåí
r x xi i
i
m
( ) , | |
*
* *X � �
�
�0 5
1
. (28)
Ðàäèóñ èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà ñëóæèò åñòåñòâåííîé ìåðîé êà÷åñòâà
ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ñåìåéñòâîì îáúåêòîâ (1)–(4), ïîäâåð-
æåííûõ âîçäåéñòâèþ îãðàíè÷åííîãî âîçìóùåíèÿ. Òîãäà öåëü óïðàâëåíèÿ — ìè-
íèìèçàöèÿ ðàäèóñà èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà óïðàâëÿåìîãî ñåìåéñòâà îáúåêòîâ.
Èç (1) è (4) ñëåäóåò, ÷òî óïðàâëåíèå un âëèÿåò òîëüêî íà êîîðäèíàòó xm n, �1,
ïîýòîìó çàäà÷à ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å
min max [ ( ) ] min
( )
u X
A n
m n n
X
A
n n n
m m
n n
m
A n X bu
�
�
� �
�
�
�X
A
X
T
T
T
T
( )
[( ( ) ) ]
n
m n n
m
A n X bu
�
�
�
�
�
A
. (29)
 ñèëó ðàâåíñòâà (22) çàäà÷à (29) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å
min max [ ( ) ]
( )
u X
A n
m n n
n n n
m m
A n X bu
�
�
�
X
AT
T . (30)
Ïðåäñòàâèâ ìíîæåñòâî A m â öåíòðèðîâàííîé ôîðìå (10) è ïðèíÿâ âî âíè-
ìàíèå (19), ïåðåïèøåì (30) â âèäå
min max [ ( )]
( )
{ }
u X
A n
m m n n
n n n
m m
A A n X bu
�
�
� �
X
A� �
�
T
T
�
. (31)
 [8] ðåøåíèå çàäà÷è (31) ïîëó÷åíî â âèäå
u b X An n m
� �� � 1 T
�
.
(32)
Òàêèì îáðàçîì, èç (8), (11) è (32) ñëåäóåò, ÷òî çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ðàäèóñà
èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà â êîíå÷íîì ñ÷åòå ñâåäåíà ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè íîð-
ìû ìàòðèöû H ( ) ( )C A n BC� � T , êàê ýòî ïðåäëîæåíî â [8] ïðè äðóãîé
ïîñòàíîâêå çàäà÷è ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ.
Íèæå ïðèìåì, ÷òî âåêòîð X n èçìåðÿåòñÿ ïîëíîñòüþ è áåç ïîìåõ. Òîãäà èç
(1)–(4), (20), (30), (32) ïîëó÷èì, ÷òî ìíîæåñòâî ~ ( ),x m n nu�
�
1 óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû
èìååò âèä
~ ( ), ,x xm n n m n nu b u�
�
�
�
� �1 1 ,
ãäå
x
X
A
m n
X
A n
m n
n n
m m
A n X,
( )
( )�
�
�
�1
� �
�
T
T
� , (33)
è ñîîòâåòñòâåííî èìååì
~ : ~ ~
, , , , ,xm n m n m n m n m nx x x x� � � � �� � �1 1 1 1 1{ }, (34)
68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4
ãäå
~ max ( ),
( )
x A n Xm n
X
A n
m n
n n
m m
�
�
�
�1
X
A� �
�
T
T , ~ ~
, ,x xm n m n� �� �1 1. (35)
Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî X m n nu, ( )�
�
1 , êàê ýòî ñëåäóåò èç (15) è (33), èìååò âèä
X X Zn n n nu u�
� �
� �1 ( ) ( , )H . (36)
ãäå
H ( , ) ~ ( ),X X xn n n m n nu u
�
� �
�
� �1 1 . (37)
 ñèëó ïðèíÿòîãî âûøå ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî óñëîâèå (13) âûïîëíÿåò-
ñÿ, îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü â ïðîâåðêå äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ ðîáàñòíîé óñòîé-
÷èâîñòè ñèíòåçèðîâàííîé íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû
X Xn n n nu u�
� �
�1 ( ) ( , )H .
Ïðèíÿâ â (36), ÷òî X X Xn n� � �1
*
, ïîëó÷èì óðàâíåíèå
X X Zn n nu u�
� �
� �1 ( ) ( , )
*
H ,
(38)
îïðåäåëÿþùåå èñêîìîå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî X
*
. Ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ìíî-
æåñòâà X
*
èç óðàâíåíèÿ (38) ïîäðîáíî èçëîæåí â [6].
Ðàññìîòðèì òåïåðü áîëåå îáùèé ñëó÷àé, êîãäà âåêòîð X n èçìåðÿåòñÿ ïîë-
íîñòüþ, íî ñ îãðàíè÷åííîé ïîìåõîé Yn , è ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ èìååò âèä
Y X Vn n n� � , ãäå Vn �V. (39)
 (39) V — èíòåðâàëüíîå ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî v i i m, ;�1 , óäîâëåò-
âîðÿþò óñëîâèþ
� � �i n i i i, : | |� � �v { }� . (40)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè íàëè÷èè àääèòèâíîé ïîìåõè èçìåðåíèÿ Vn çàäà-
÷à ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ (31) òðàíñôîðìèðóåòñÿ â çàäà÷ó
min max [ ( )] ( )
( )
u X
V
A n
m m n n
n n n
n
m m
A A n X V
�
�
�
� � �
X
V
A� �
�
T
{ T
�
bun}, (41)
ðåøåíèå êîòîðîé àíàëîãè÷íî ðåøåíèþ (32) çàäà÷è (31) è èìååò âèä
u b X A V An n m n m
� �� � �1 ( )T T
� �
.
(42)
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (42) â (1) çàïèøåì
X A X V A B Zn m n n m n� � � �1 � T T
�
.
(43)
Èç (1)–(3), (36), (37) è (43) ñëåäóåò, ÷òî ýòî ñåìåéñòâî ñèñòåì îïèñûâàåòñÿ
ðàçíîñòíûì âêëþ÷åíèåì
X n n n� �� � �1 1X X Z� ( ) �H , (44)
ãäå
� ( ) ( )
( )
H X
X
A
n
X
A n
m n
n n
m m
A n X�
�
�� �
�
T
T
� , �Z Z v� � B .
Ïðèíÿâ â (44), ÷òî X X Xn n� � �1
*
, ïîëó÷èì óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå èñêî-
ìîå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî X
*
ýòîãî ñåìåéñòâà ñèñòåì:
X X Z
* *� ( ) �� �H . (45)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 69
Êëàññ ñèñòåì ñ âåêòîðíûì óïðàâëåíèåì. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó óïðàâëåíèÿ
ðàäèóñîì èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà ñåìåéñòâà ëèíåéíûõ ñèñòåì ñ âåêòîðíûì
óïðàâëåíèåì, îïèñàííûì óðàâíåíèåì
X n X BU Zn n n n� � � �1 A( ) , (46)
ãäå äëÿ êàæäîé i-é ñòðîêè A ni
T ( ) ìàòðèöû A n( ) çàäàíà åå àïðèîðíàÿ îöåíêà
A n A i mi i
k K
i
k
i
T conv { }( ) , ;
;
� � �
�
A
1
1 , (47)
Ai
k — k-ÿ âåðøèíà ìíîæåñòâà A i ; K mi � — ÷èñëî åãî âåðøèí; U l�� —
âåêòîð óïðàâëåíèÿ; l m� ; B — ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà ( )l m� .
 (46) Zn
m�� — íåêîíòðîëèðóåìîå âîçìóùåíèå, äëÿ êîòîðîãî çàäàíà
îöåíêà
Z Z Z zn
i m
i� � � ��
�
Z { }: || || max | |
;1
� . (48)
Òàêàÿ îöåíêà îãðàíè÷èâàåò òîëüêî «àìïëèòóäó» âîçìóùåíèÿ Zn è âûäåëÿåò
öåëûé êëàññ ìíîæåñòâ Z ïðè óñëîâèè, ÷òîáû íè îäèí èç ýëåìåíòîâ zi n, âåê-
òîðà Zn ïî ìîäóëþ íå ïðåâûøàë âåëè÷èíû � è íå áîëåå òîãî. Íèæå îãðàíè-
÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òàêîãî èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà Z z z z� � � �1 2 � m ,
äëÿ êîòîðîãî òîëüêî íà i-þ êîìïîíåíòó zi n, íàëàãàåòñÿ îãðàíè÷åíèå
� � � �z z i mi n i n, , , ;� 1 . (49)
Äèíàìèêó ðàññìàòðèâàåìîãî ñåìåéñòâà ñèñòåì, êàê è âûøå, îïèøåì ðàçíîñò-
íûì âêëþ÷åíèåì
X U Un n n n n� �� � �1 1
~
( ) ( , )X X ZH , (50)
ãäå H
A
( , ) ( ( ) ).
( )
X
X
A
n n
X
n
n nU A n X BU
n n
� �
�
�
�
Ïðåîáðàçîâàíèå H ( , )X n nU â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëÿåò íåâûïóêëîå ìíî-
æåñòâî
~
( ) ( , )X Xn n n nU U� �1 H , ÷òî ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåò ðåøåíèå çàäà÷è
ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ U n . Ïîýòîìó ââåäåì îöåíêó ñâåðõó ìíîæåñòâà
~
( )X n nU�1
â âèäå èíòåðâàëüíîãî ìíîæåñòâà
X X X Xn n n n n n m n nU U h U h U� � � � �1 1( ) ( , ) ( , ) ( , )H � , (51)
ãäå
h U A n X B U i mi n n
X
A n
i n i n
n n
i i
( , ) [ ( ) ], ;
( )
X
X
A
� � �
�
�T
T T
� 1 . (52)
Ïðèìåì îáîçíà÷åíèÿ
x X zi n n i n n iU h U i m, ( ) ( , ) , ;� � � �1 1 . (53)
Òîãäà âìåñòî ìíîæåñòâà
~
X n�1, îïðåäåëÿåìîãî ñîîòíîøåíèåì (50), èñïîëüçóåì
åãî îöåíêó ñâåðõó (51) è âìåñòî ñèñòåìû (50) ðàññìîòðèì ñèñòåìó
X X Zn n n nU U� � �1 ( ) ( , )H . (54)
Íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü, ñóùåñòâóåò ëè óïðàâëåíèå U U Xn n� ( ), ïðè êîòî-
ðîì ïðè çàäàííûõ îöåíêàõ (47) ñòðîê A ni
T ( ) ìàòðèöû A n( ) ñåìåéñòâî íåâîçìó-
ùåííûõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì
X A n X BUn n n� � �1 ( ) (55)
70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4
àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî íåâîçìóùåííûõ
ñèñòåì (55) ïðè óïðàâëåíèè
U CXn n� , (56)
ãäå C — ìàòðèöà âàðüèðóåìûõ êîýôôèöèåíòîâ.
Ïîäñòàâèâ (56) â (55), ïîëó÷èì
X n C Xn n� �1 H ( , ) , H A( ) ( ) � �n BC. (57)
Ïðåäñòàâèì ìíîæåñòâà A i i m, ;�1 , â öåíòðèðîâàííîé ôîðìå, àíàëîãè÷-
íîé (10), ò.å.
A Ai i iA� �
�
� , � �A i
k K
i
k
i
k
i
i
A A A� � �
�
conv
1;
{ }
�
. (58)
Ìàòðèöó C âûáåðåì êàê ðåøåíèå çàäà÷è
min max || ||
C A
A BC
� �
�
�
� �
A
�
A . (59)
Äëÿ ñëó÷àÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû B ïðè det B
0 â [7] ðåøåíèå çàäà÷è (59) ïî-
ëó÷åíî â âèäå
C B A� � �1
�
, (60)
÷òî ñ ó÷åòîì (56) äàåò
U B A Xn n
� �
� � �1 . (61)
Ïîäñòàâèâ (61) â (57), áóäåì èìåòü
X n Xn n� �1 �A( ) . (62)
 [7, 9] äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðîáàñòíîé óñòîé÷èâîñòè ñåìåéñòâà ñèñòåì
(62), (58) ïîëó÷åíî â âèäå
max || ( ) || max | | ( )
( ) ;
( )
� �
� �
� �
A n i m
A n
iA n A n
i i
� �
�
�
A
A
1
1
T
T ||1 1� �q . (63)
Íèæå ïðèìåì, ÷òî óñëîâèå (63) âûïîëíÿåòñÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè óïðàâëå-
íèè, îáåñïå÷èâàþùåì àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû (55), ñèñòåìà
(46) èìååò îãðàíè÷åííîå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî X
*
.
Åñëè ìàòðèöà B ïðÿìîóãîëüíàÿ, òî èñêîìóþ ìàòðèöó C îïðåäåëèì ñ ïî-
ìîùüþ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû B �1:
C B B B A� � �( )T T1
�
.
Öåëü óïðàâëåíèÿ ñåìåéñòâîì ñèñòåì (46)–(48) — ìèíèìèçàöèÿ ðàäèóñà
r U n( ( ))
*
X èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà X
*
. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî óìåíüøåíèå âå-
ëè÷èíû r U n( ( ))
*
X âûáîðîì óïðàâëåíèÿ U n ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî ëèøü çà ñ÷åò
óìåíüøåíèÿ âåëè÷èíû èíòåðâàëüíûõ ìíîæåñòâ
x Xi n n i n i nU h B U i m, ( ) ( ) , ;� � � �1 1T .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
W BU w B U i mn n i n i n� � �, , ;,
T 1 , (64)
è ïåðåïèøåì (53) â âèäå
x Xi n i n i n i n i nw h w w i m, , , ,( ) ( , ) , ;� � � �1 1 , (65)
èëè
x i n i n i n i n i n i n i n iw x x w x x w, , , , , , , ,( ) :� � � � �� � � � �1 1 1 1 1{ n },
ãäå
x A n Xi n
X
A n
i i
n n
i i
,
( )
min ( ) ( )�
�
�
� � 1
X
AT
{ }T� ; xi n
X
A n
i
n n
i i
,
( )
max ( )�
�
�
� 1
X
AT
� ; i m�1; . (66)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 71
Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ïîñêîëüêó ôóíêöèè � i ( ) áèëèíåéíûå, òî èõ ýêñòðå-
ìóìû ïðèíàäëåæàò âåðøèíàì ìíîãîãðàííèêîâ A i è X n , è ïîýòîìó ðåøåíèÿ çà-
äà÷ (66) ñâîäÿòñÿ ê ïåðåáîðó âåðøèí.
Ìíîæåñòâî H ( , )X n nW èíòåðâàëüíîå, ïîýòîìó ðåøåíèå çàäà÷è
min ( ( , ))
W
n n
n
r WH X (67)
ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè çàäà÷
min ( ( , )), ;
,w
i n n
i n
r h W i mX �1 . (68)
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî X n öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åñêîå, òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
min ( ) max
( ) ( )
X
A n
i n
X
A n
i
n n
i i
n n
i i
A n X A
�
�
�
�
� �
X
A
X
AT T
{ } {T T ( ) , ;n X i mn } �1 ,
è ïîýòîìó çàäà÷è (68) ñâîäÿòñÿ ê çàäà÷àì
min max ( ) , ;
,
( )
,
w X
A n
i n i n
i n n n
i i
A n X w i m
�
�
� �
X
AT
{ }T 1 . (69)
Ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèé çàäà÷è (69) ñîâïàäàþò ñ ðåøåííîé âûøå çà-
äà÷àìè (30), (39) è ïî àíàëîãèè ñ íèìè ðåøåíèÿ çàäà÷ (69) èìåþò âèä
w A X i mi n i n
*
, , ;� � �
�
T 1 , (70)
ãäå A i
�
— öåíòðû ìíîæåñòâ A i , ïðåäñòàâëåííûõ òàêæå â (10) â öåíòðèðîâàí-
íîé ôîðìå.
Çàïèñàâ ñèñòåìó óðàâíåíèé (70) â êîìïàêòíîì âèäå
W A Xn n
� �
� � , ãäå A Ai i
m� �
�
�
T
1
, (71)
è ïîäñòàâèâ (71) â (64), ïîëó÷èì
A X BUn n
�
� �
*
. (72)
Åñëè ìàòðèöà B ïðÿìîóãîëüíàÿ, òî èç (72) ñëåäóåò, ÷òî
U B B B A Xn n
*
( )� � �T T1
�
.
(73)
Ïîñêîëüêó è ñêàëÿðíûå, è âåêòîðíûå óïðàâëåíèÿ, ìèíèìèçèðóþùèå ðàäèó-
ñû èíâàðèàíòíûõ ìíîæåñòâ, îïðåäåëÿþòñÿ âåëè÷èíàìè, ñîäåðæàùèìèñÿ â àïðè-
îðíûõ îöåíêàõ, òî âñå âû÷èñëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ îïðåäåëåíèåì èñêîìûõ óïðàâëå-
íèé, ìîãóò áûòü âûïîëíåíû â ðåæèìå off-line.
2. ÑÈÍÒÅÇ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÛÌÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÌÈ
ÑÅÌÅÉÑÒÂ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ðàññìîòðèì ÷àñòî èñïîëüçóåìûé â ïðèëîæåíèÿõ ñëó÷àé, êîãäà íåëèíåéíàÿ
âåêòîð-ôóíêöèÿ F X L nn( , ( )) ñîäåðæèò ëèíåéíóþ ÷àñòü è ñêàëÿðíóþ íåëèíåé-
íóþ ôóíêöèþ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà
X F X L n Z A n X f X C u B Zn n n n n n n� � � � � � �1 ( , ( )) ( ) ( ) , (74)
ãäå A n( ) — ìàòðèöà ( )m m� îáùåãî âèäà, äëÿ ñòðîê A ni
T ( ) êîòîðîé çàäàíû èõ
àïðèîðíûå îöåíêè (47), f X n( ) — ñêàëÿðíàÿ îäíîçíà÷íàÿ çíàêîïåðåìåííàÿ íå-
ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà, òàêàÿ ÷òî f ( )0 0� , âåêòîðû C è B
ñîîòâåòñòâåííî èåþò âèä
C T � ( , , ..., , )0 0 0 1 , B bT � ( , , ..., , )0 0 0 . (75)
72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4
Âñå îñòàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ â (74) òå æå, ÷òî è âûøå, à ìíîæåñòâî X n
ïî-ïðåæíåìó çàäàíî â âèäå (14).
Ïðèìåì, ÷òî òî÷íîå çíà÷åíèå çíàêîïåðåìåííîé ôóíêöèè f ( )X íåèçâåñòíî è
äëÿ íåå çàäàíà ëèøü îöåíêà
f ( )X f� . (76)
Íà îöåíêàõ íåëèíåéíûõ ôóíêöèé âåêòîðíîãî àðãóìåíòà îñòàíîâèìñÿ ïîä-
ðîáíåå. Äèíàìèêà ñåìåéñòâà ñèñòåì (74), (75), (47), (48), (14) îïèñûâàåòñÿ ðàç-
íîñòíûì âêëþ÷åíèåì
X G u Bn n n n� �� � � �1 1X X Z( ) , (77)
ãäå
G A n X f X Cn
X
A n
f X
n n
n n
n
( ) [ ( ) ( ) ]
( )
(
X
X
A
f
� �
�
�
�)
� , A A A� � �1 � m . (78)
Òàê êàê â îáùåì ñëó÷àå ìíîæåñòâî G n( )X íåâûïóêëîå, ÷òî ñóùåñòâåííî
îñëîæíÿåò ðåøåíèå çàäà÷è ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ, àïïðîêñèìèðóåì åãî èíòåðâàëü-
íûì ìíîæåñòâîì G n( )X è âìåñòî ñèñòåìû (77), (78) áóäåì ðàññìàòðèâàòü
ñèñòåìó
X G u Bn n n n� �� � � �1 1X X Z( ) , (79)
ãäå
G g g gn n i n m n( ) ( ) ( ) ( )X X X X� � � � �1 � � ; (80)
g A n Xi n
X
A n
i n
n n
i i
( ) [ ( ) ]
( )
X
X
A
�
�
�T
T
� , i m� �1 1; ; (81)
g A n X f Xm n
X
A n
f X
m n n
n n
m i
n
( ) [ ( ) ( )]
( )
(
X
X
A
f
� �
�
�
�
T
)
T
� . (82)
Îá îïðåäåëåíèè ìíîæåñòâ (81) ñêàçàíî âûøå, à íà îïðåäåëåíèè ìíîæåñòâà
gm n( )X (82) îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå. Êàê èçâåñòíî, èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè
íåëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ íà÷àëîñü ñ ðàáîòû À.È. Ëóðüå
è Â.Í. Ïîñòíèêîâà [10], îïóáëèêîâàííîé â ñåðåäèíå ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ
(ñì. òàêæå [11]), â êîòîðîé ðàññìàòðèâàëàñü ñèñòåìà ñ íåëèíåéíîé çíàêîïåðå-
ìåííîé ñêàëÿðíîé «ñåêòîðèàëüíîé» ôóíêöèåé ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà, óäîâëåòâî-
ðÿþùåé îãðàíè÷åíèÿì
kx x f x kx2 2� �( ) , ãäå 0 0� � �k k , (83)
÷òî ýêâèâàëåíòíî kx x f x x kx xsign sign sign� �( ) èëè k x f x x k x| | ( ) | |� �sign .
Äëÿ ôóíêöèè f x( ), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ (83), ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
sign signf x x( ) � . (84)
Ïîñêîëüêó äëÿ çíàêîïåðåìåííûõ ôóíêöèé f X( ) âåêòîðíîãî àðãóìåíòà X
ìíîãîìåðíîãî àíàëîãà ðàâåíñòâà (84) íå ñóùåñòâóåò, òî, ñëåäóÿ [7], ââåäåì îöåí-
êè äëÿ ôóíêöèé f X( ) ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Äëÿ îäíîçíà÷íîé çíàêîïåðåìåííîé ôóíêöèè f X( ) ïî àïðèîðíûì ñâåäåíèÿì
î åå ñâîéñòâàõ îïðåäåëÿþòñÿ òå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìåæäó ñîáîé îáëàñòè X � , â êî-
òîðûõ f X( ) � 0, è îáëàñòè X � , â êîòîðûõ f X( ) � 0. Äëÿ îáëàñòè X � îöåíêó
ôóíêöèè f X( ) ïðèìåì â âèäå
k X f X k X|| || ( ) || ||� � ïðè X � �X (85)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 73
è ñîîòâåòñòâåííî äëÿ îáëàñòè X � îöåíêà ôóíêöèè f X( ) èìååò âèä
� � � �k X f X k X|| || ( ) || || ïðè X � �X . (86)
Çäåñü 0 � �k k .
Òàêèìè îáëàñòÿìè X � è X � ìîãóò áûòü òå èëè èíûå îðòàíòû ïðîñòðàíñòâà
�
m èëè èõ îáúåäèíåíèÿ è X X� �� � �
m . Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøü
òîò ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèÿ f X( ) çíàêîïåðåìåííàÿ è äëÿ íåå çàäàíû îöåíêè
(85) è (86).
Óïðàâëÿåìîå ñåìåéñòâî ñèñòåì (77) èìååò îãðàíè÷åííîå èíâàðèàíòíîå ìíî-
æåñòâî X
*
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé: ñóùåñòâóåò óïðàâëåíèå u u Xn n� ( ), îáåñïå-
÷èâàþùåå àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ñåìåéñòâó íåâîçìóùåííûõ ñèñòåì
X Xn n nG u B� � �1 ( ) â îáëàñòè X
�
� �{ }X X: || || � è èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå
X X
*
�
�
. (87)
Ïîëàãàåì, ÷òî âåêòîð X n èçìåðÿåòñÿ ïîëíîñòüþ è áåç ïîìåõ è èç íåãî ôîð-
ìèðóåòñÿ óïðàâëåíèå u u Xn n� ( ). Ïîäñòàâèâ åãî â (77), ïîëó÷èì óðàâíåíèå ýâî-
ëþöèè çàìêíóòîé ñèñòåìû
X Xn n nG u X B� � �1 ( ) ( ) . (88)
 ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäñòâèåì òåîðåìû èç [7] äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì àñèìï-
òîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ýâîëþöèîíèðóþùèõ ìíîæåñòâ X n â îáëàñòè X
�
ÿâëÿåò-
ñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà
r G rn n n[ ( )] ( )X X X� � �1 . (89)
Íèæå ïðèìåì, ÷òî îöåíêè ëèíåéíîé ÷àñòè ñèñòåìû (74) è íåëèíåéíîé îäíî-
çíà÷íîé çíàêîïåðåìåííîé ôóíêöèè òàêîâû, ÷òî íåðàâåíñòâî (89) ñïðàâåäëèâî.
Èç (80)–(82) ñëåäóåò, ÷òî óïðàâëåíèå u X n( ) âîçäåéñòâóåò ëèøü íà ìíîæåñòâî
~ ( , ) ( )g u g bum n n m n nX X� � , ïîýòîìó çàäà÷à ìèíèìèçàöèè âåëè÷èíû r n( )X �1
ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å
min (~ ),
u
m n
n
r x �1 , (90)
ãäå
~ :, , , , ,x m n m n m n n m n m n nx x bu x x bu� � � � �� � � � �1 1 1 1 1{ }. (91)
Äàëåå, ðàçîáüåì èíòåðâàë ~
,x m n�1 íà ïîäìíîæåñòâà ~
,x +
m n�1 è ~
,x m n�
�
1 â ñîîò-
âåòñòâèè ñ (85) è (86) è ñâåäåì ðåøåíèå çàäà÷è ê ïîèñêó ãðàíè÷íûõ òî÷åê èíòåð-
âàëîâ ~
,x +
m n�1 è ~
,x m n�
�
1:
x A n X k Xm n
X
A n
m n n
n
m m
,
( )
min ( ) || ||�
�
�
�
� �
�
1
X X
A
�
�
T
{ }T , (92)
x A n X k X
m n
X
A n
m n n
n
m m
,
( )
max ( ) || ||
�
�
�
�
� �
�
1
X X
A
�
�
T
{ }T , (93)
x A n X k Xm n
X
A n
m n n
n
m m
,
( )
min ( ) || ||
_
�
�
�
�
� �1
X X
A
�
�
T
{ }T , (94)
x A n X k Xm n
X
A n
m n n
n
m m
,
( )
max ( ) || ||
_
�
�
�
�
� �1
X X
A
�
�
T
{ }T . (95)
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4
Ïóòåì äàëüíåéøåãî ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà X
�
èçáàâèìñÿ îò íîðìû âåêòîðà ñî-
ñòîÿíèÿ è ñâåäåì çàäà÷è (92)–(95) ê ñîâîêóïíîñòè çàäà÷ ìèíèìèçàöèè è ìàêñè-
ìèçàöèè ëèíåéíûõ ôóíêöèé íà èíòåðâàëüíûõ ìíîæåñòâàõ, ðåøåíèå êîòîðûõ
ñâîäèòñÿ ê ïåðåáîðó âåðøèí.
Èç âñåõ íàéäåííûõ çíà÷åíèé xm n, �1 îïðåäåëèì íàèáîëüøåå, êîòîðîå îáîçíà-
÷èì xm n,
*
�1, à èç âñåõ çíà÷åíèé x m n, �1 — íàèìåíüøåå, êîòîðîå îáîçíà÷èì x m n,
*
�1,
è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
~ :, , ,
*
, ,
*x m n m n m n m n m nx x x x� � � � �� � �1 1 1 1 1{ },
ãäå x xm n m n,
*
,
*
� �� �1 1 â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ~
,x m n�1.
Ïðåäñòàâèì ìíîæåñòâî A m â öåíòðèðîâàííîé ôîðìå (10). Òàêæå ïîñòóïèì
è ñ èíòåðâàëüíûì ìíîæåñòâîì � äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé k :
� ��� � � �k k k k
� �
, ( )
1
2
, �� � �� � �
�
�
�
�
�
k k k k: | | ( )
1
2
. (96)
Ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé (96) çàäà÷ó (90) ïåðåïèøåì â âèäå
min max ( ) ( )
( )
u
X
A n
k
m m n
n
n
m m
A A X k k
�
�
�
� � �
X
A
�
� �
� �
� ��
� �
T
{ T || ||X n }. (97)
Ðåøåíèå çàäà÷è (97), ñîâïàäàþùåé ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèÿ ñ çàäà÷åé,
ðåøåííîé â [9], èìååò âèä
u A n X k Xn m n n
�
� � �
� �
T ( ) || || .
(98)
Óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñèñòåìû (77) ïðè óïðàâëåíèè un â âèäå (98) îêîí÷à-
òåëüíî çàïèøåì êàê
X X Zn nG� � �1 ( ) . (99)
Ïðèíÿâ â (99), ÷òî X X Xn n� � �1
*
, ïîëó÷èì óðàâíåíèå
X X Z
* *
( )� �G ,
(100)
îïðåäåëÿþùåå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî X
*
. Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäëîæåííûì
â [6] èòåðàöèîííûì ìåòîäîì îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà X
*
, íàéäåì åãî èç óðàâíå-
íèÿ (100).
Êàê îòìå÷àëîñü â [6], ñîîòíîøåíèå, îïðåäåëÿþùåå ðàäèóñ èíâàðèàíòíîãî
(ïðåäåëüíîãî) ìíîæåñòâà, ìîæíî ïîëó÷èòü èíûì ïóòåì. Äåéñòâèòåëüíî, â [7] ïî-
êàçàíî, ÷òî ïðè àíàëèçå óñòîé÷èâîñòè ýâîëþöèîíèðóþùèõ ìíîæåñòâ ðàäèóñ
öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîæåñòâà X n ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ëÿïóíîâà. Ïîý-
òîìó óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ïðåäåëüíîå (èíâàðèàíòíîå) ìíîæåñòâî ñèñòåìû
(99), ïîëó÷èì, ïðèðàâíÿâ íóëþ ïðàâóþ ÷àñòü âûðàæåíèÿ
�� � �n n n n nr F L r� � � � ��1 [( ( , )) ] ( )X Z X ,
÷òî äàåò óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ðàäèóñ èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà
r r G r G r( ) ( ( ) ) ( ( )) ( )
* * *
X X Z X Z� � � � .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèÿ ñåìåéñòâ (â îáùåì ñëó÷àå) íåëèíåé-
íûõ íåñòàöèîíàðíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì, ïîäâåðæåííûõ âîçäåéñòâèþ îãðàíè÷åí-
íûõ âîçìóùåíèé, íà÷àòûå â [6], è èñïîëüçóåò ïðåäëîæåííûé â [7] ìåòîä àïïðîê-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 75
ñèìàöèè ìíîæåñòâ, îïðåäåëÿåìûõ ðàçíîñòíûìè âêëþ÷åíèÿìè, îïèñûâàþùèìè
äèíàìèêó ñåìåéñòâà íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì, èíòåðâàëüíûìè ìíîæåñòâà-
ìè, à òàêæå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ èíâàðèàíòíûõ ìíîæåñòâ ýòèõ ñèñòåì [6].
Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ñòàòüè — ïîñòàíîâêà è ðåøåíèå çàäà÷è ñèíòåçà óïðàâ-
ëåíèÿ, ìèíèìèçèðóþùåãî ðàäèóñ èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà (ïðåäåëüíîãî ìíî-
æåñòâà) ñåìåéñòâà íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì — àíàëîãà äèñïåðñèè ïðè
ñòîõàñòè÷åñêîé ïðèðîäå âîçìóùåíèé.
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
Ïðîèëëþñòðèðóåì èçëîæåííûé âûøå ìåòîä îïðåäåëåíèÿ óïðàâëåíèÿ, ìèíèìè-
çèðóþùåãî ðàäèóñ èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà, äëÿ íåëèíåéíîãî ðàçíîñòíîãî
âêëþ÷åíèÿ (77) ïðè m � 2 íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå:
X A n X f X C u B Zn n n n n� � � � �1 ( ) ( ) , (Ï1)
ãäå äëÿ ýëåìåíòîâ a n i jij ( ), , ;�1 2, ìàòðèöû A n( ) çàäàíû èõ îöåíêè
0 1 0 2 0 1 0 2
0 1 0 2 0
11 12
21
, ( ) , ; , ( ) , ;
, ( ) , ; ,
� � � �
� � � � �
a n a n
a n 1 0 222� � �a n( ) , ;
(Ï2)
B b CT T� �( ; ); ( ; )0 0 1 . (Ï3)
Äëÿ îäíîçíà÷íîé çíàêîïåðåìåííîé ôóíêöèè f X( ) çàäàíû åå àïðèîðíûå
îöåíêè
k X f X k X X X x x|| || ( ) || || , : ;1 1 1 1 20 0� � � � � �X { };
f X X X x x
k X f X k X X
( ) , : ; ;
|| || ( ) || || ,
� � � � �
� � � �
0 0 02 1 2
1 1
X { }
� � � �X 3 1 20 0{ }X x x: ; ;
(Ï4)
f X X X x x( ) , : ;� � � � �0 0 04 1 2X { };
k � 0, k � 0 05, . (Ï5)
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ �( ) || || | | | |X X x x� � �1 1 2 íå ïðåäñòàâèìà
â êâàçèëèíåéíîé ôîðìå ïî Å.À. Áàðáàøèíó [12]:
� �( ) ( )X X X� T , ãäå � �( ) [ ( ) ]X Xi i
�
�1
2 ; �
�
i
i
X
X
x
i( )
( )
, ;� �1 2 ,
òàê êàê ïðè xi � 0 è x j
0, j i
� i X( ) �� .
Äëÿ âîçìóùåíèÿ Zn çàäàíà åãî àïðèîðíàÿ îöåíêà (5), ãäå
max | | ,
;i
inz
�
� �
1 2
0 9� . (Ï6)
Ýâîëþöèÿ ñåìåéñòâà ñèñòåì (Ï1)–(Ï6) îïèñûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
X X Zn n nG u B� � � �1 ( ) . (Ï7)
Çäåñü
G g gn n n( ) ( ) ( )X X X� �1 2 ,
g A n Xn
X
A n
n
n n
1 1
1 1
( ) ( )
( )
X
X X
A
�
� �
�
�
�
T
T ,
(Ï8)
g A n X k Xn
X
A n
n n
n n
2 2 1
2 2
( ) [ ( ) || || ]
( )
X
X X
A
� �
� �
�
�
�
T
T (k k k� � ).
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4
Èç (Ï8) äëÿ ïåðâîé êîîðäèíàòû âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ èìååì
x X1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , ,( ) :n n n n ng x x x x� � � �� � � �{ },
ãäå ïðè X n �X1
x A n Xn
X
A n
n
n
1 1 1
1 1
,
( )
min ( )�
�
�
�
X
A
�
T
T , x A n Xn
X
A n
n
n
1 1 1
1 1
,
( )
max ( )�
�
�
�
X
A
�
T
T .
Äëÿ âòîðîé êîîðäèíàòû ïîëó÷èì
x X2 1 2 2 2 1 2 1 2 1, , , ,( ) :n n n n ng x x x x� � � �� � � �{ }
è äëÿ îòûñêàíèÿ x n2 1, � è x n2 1, � íàéäåì ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû ôóíêöèé
�1 2 1( ) ( ) || || � �A n X k Xn n
T , �2 2 1( ) ( ) || || � �A n X k Xn n
T è �3 2
( ) ( ) � A n X n
T íà
ìíîæåñòâàõ X1, X 2 , X 3 è X 4 :
x X A n k k k
n n2 1
1
1 1 2 2,
max ( ) : ; ( ) ;
�
� � � � � { }T� X X A
�
� , (Ï9)
x X A n k kn n2 1
1
1 1 2 2, min ( ) : ; ( ) ;� � � � � � { }T� X X A
�
� k , (Ï10)
x X A n k k k
n n2 1
3
2 3 2 2,
max ( ) : ; ( ) ;
�
� � � � � { }T� X X A
�
� , (Ï11)
x X A n k k kn n2 1
3
2 3 2 2, min ( ) : ; ( ) ;� � � � � � { }T� X X A
�
� , (Ï12)
x X A n
n n2 1
2
3 2 2 2,
max ( ) : ; ( )
�
� � � { }T� X X A
�
� , (Ï13)
x X A nn n2 1
2
3 2 2 2, min ( ) : ; ( )� � � � { }T� X X A
�
� , (Ï14)
x X A n
n n2 1
4
3 4 2 2,
max ( ) : ; ( )
�
� � � { }T� X X A
�
� , (Ï15)
x X A nn n2 1
4
3 4 2 2, min ( ) : ; ( )� � � � { }T� X X A
�
� . (Ï16)
Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå ñèñòåìû (Ï7) â îáëàñòè
X
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
conv
2
2
2
2
2
2
2
2
; ; ; .
Íàéäåì ðåøåíèÿ çàäà÷ (Ï9)–(Ï16) ïðè çàäàííûõ îöåíêàõ ñòðîê ìàòðèö
A ni
T ( ), i �1 2; , âåðøèíàõ ìíîæåñòâà X
�
è êîýôôèöèåíòàõ k , k :
x n1 1 0 8, ,� � � ; x n1 1 0 8, ,� � ;
x n2 1
1
0, � � ; x
n2 1
1 1 0
,
,
�
� ; x n2 1
3
1 0, ,� � � ; x
n2 1
3 0
, �
� ;
x n2 1
2
0 8, ,� � � ; x
n2 1
2 0 8
,
,
�
� ; x n2 1
4
0 8, ,� � � ; x
n2 1
4 0 8
,
,
�
� .
Âûáðàâ íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå çíà÷åíèÿ ëåâîé è ñîîòâåòñòâåííî ïðàâîé
ãðàíèöû, íàéäåì ìíîæåñòâî
X n� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
conv
,
,
;
,
,
;
,
,
;
,
,
. (Ï17)
Ðàäèóñ ìíîæåñòâà X n�1 ðàâåí 1,41. Ïîñêîëüêó ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
r rn n( ) , ( ) ,X X X� � � � �1 141 2 82
�
,
òî íåâîçìóùåííàÿ è íåóïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà X Xn nG� �1 ( ) àñèìïòîòè÷åñêè
óñòîé÷èâà â îáëàñòè X
�
; ñëåäîâàòåëüíî, íåóïðàâëÿåìàÿ âîçìóùåííàÿ ñèñòå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 77
ìà (99) ïðè îïðåäåëåííîé èíòåíñèâíîñòè âîçìóùåíèÿ Zn �Z èìååò îãðàíè-
÷åííîå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî X
�
, êîòîðîå ïðè ïîäñòàíîâêå â (99) X n� �1
= nX X�
*
îïðåäåëèì èç óðàâíåíèÿ (100).
Âîñïîëüçîâàâøèñü îïèñàííûì â [6] èòåðàöèîííûì ìåòîäîì îïðåäåëåíèÿ
ìíîæåñòâà X
*
èç (100) è ïðèíÿâ òî÷íîñòü åãî îïðåäåëåíèÿ 01, , ïîëó÷èì, ÷òî X
*
ñîâïàäàåò ñ (Ï17).
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ñåìåéñòâó óïðàâëÿåìûõ âîçìóùåííûõ ñèñòåì
(Ï1)–(Ï6). Óïðàâëåíèå un âûáèðàåì èç ðåøåíèÿ çàäà÷è (97) â âèäå (98).
Óðàâíåíèå ýâîëþöèè ñåìåéñòâà ñèñòåì (Ï1)–(Ï6) ïðè óïðàâëåíèè (98) âûðà-
æàåòñÿ óðàâíåíèåì (99), à óðàâíåíèå (100) îïðåäåëÿåò èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî
ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. Ïîâòîðèâ îïèñàííóþ âûøå ïðîöåäóðó îïðåäåëåíèÿ
èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà èç óðàâíåíèÿ (100), íàéäåì åãî ðàäèóñ, êîòîðûé ïî
îïðåäåëåíèþ ìåíüøå ðàäèóñà èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà ñîîòâåòñòâóþùåãî
ñåìåéñòâà íåóïðàâëÿåìûõ ñèñòåì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á ó ë ã à ê î â Á . Â . Î íàêîïëåíèè âîçìóùåíèé â ëèíåéíûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåìàõ ñ ïîñòî-
ÿííûìè ïàðàìåòðàìè // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1946. — 51, ¹ 5. — Ñ. 7–15.
2. à í î å í ñ ê è é Ë . Ñ . Çàäà÷à Áóëãàêîâà î íàêîïëåíèè âîçìóùåíèé // Çàäà÷à Áóëãàêîâà î ìàê-
ñèìàëüíîì îòêëîíåíèè è åå ïðèìåíåíèå / Ïîä ðåä. Â.Â. Àëåêñàíäðîâà. — Ì.:
Èçä-âî ÌÃÓ, 1993.
3. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . , Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . Ìèíèìàëüíûå èíâàðèàíòíûå ìíîæåñòâà äèíà-
ìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ îãðàíè÷åííûìè âîçìóùåíèÿìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
1996. — ¹ 1. — Ñ. 74–81.
4. K u n t s e v i c h V . M . , P s h e n i c h n y B . N . Analysis of some classes of nonlinear discrete
systems under bounded disturbances // Prepr. of the 4th Symp. IFAC Nonlinear Control Systems
Design, 1998. — Ð. 324–329.
5. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . , Ï î ë ÿ ê Á . Ò . Èíâàðèàíòíûå ìíîæåñòâà íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ ñèñ-
òåì ñ îãðàíè÷åííûìè âîçìóùåíèÿìè è çàäà÷è óïðàâëåíèÿ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîð-
ìàòèêè. — 2009. — ¹ 6. — Ñ. 6–21.
6. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . , Ê ó í ö å â è ÷ À . Â . Èíâàðèàíòíûå ìíîæåñòâà ñåìåéñòâ ëèíåéíûõ è íå-
ëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì ñ îãðàíè÷åííûìè âîçìóùåíèÿìè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà.
— 2011. — ¹ 6.
7. Ê ó í ö å â è ÷ À .  . , Ê ó í ö å â è ÷  . Ì . Óñòîé÷èâîñòü â îáëàñòè íåëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ
âêëþ÷åíèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 5. — Ñ. 51–59.
8. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . Óïðàâëåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè: ãàðàíòèðîâàííûå ðåçóëüòàòû
â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 2006. — 264 c.
9. Ê ó í ö å â è ÷  . Ì . , Ê ó í ö å â è ÷ À .  . Ñèíòåç ðîáàñòíî óñòîé÷èâûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì
óïðàâëåíèÿ íåëèíåéíûìè îáúåêòàìè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2008. — ¹ 12. —
Ñ. 105–118.
10. Ëó ð ü å À . È . , Ï î ñ ò í è ê î â  . Í . Ê òåîðèè óñòîé÷èâîñòè ðåãóëèðóåìûõ ñèñòåì // Ïðèê-
ëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1944. — 8, ¹ 3.
11. À é ç å ð ì à í Ì . À . , à à í ò ì à õ å ð Ô . Ð . Àáñîëþòíàÿ óñòîé÷èâîñòü ðåãóëèðóåìûõ ñèñòåì.
— Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1963. — 261 ñ.
12. Á à ð á à ø è í Å . À . Ôóíêöèè Ëÿïóíîâà. –– Ì.: Íàóêà, 1978. –– 287 ñ.
Ïîñòóïèëà 31.03.2011
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4
|