О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия

Проаналізовано нелінійні балансові моделі міжгалузевої еколого-економічної взаємодії та запропоновано нові підходи до їх розв’язання. Обґрунтовано ефективність цих алгоритмів і можливості їх застосування на практиці. This paper analyzes nonlinear balance models of intersectorial ecological-economic...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Кибернетика и системный анализ
Date:	2011
Main Authors:	Недашковский, Н.А., Крошка, Т.И.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Subjects:	Кибернетика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84231
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия / Н.А. Недашковский, Т.И. Крошка // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 21-32. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84231
record_format	dspace
spelling	Недашковский, Н.А. Крошка, Т.И. 2015-07-04T12:51:12Z 2015-07-04T12:51:12Z 2011 О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия / Н.А. Недашковский, Т.И. Крошка // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 21-32. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84231 519.86 Проаналізовано нелінійні балансові моделі міжгалузевої еколого-економічної взаємодії та запропоновано нові підходи до їх розв’язання. Обґрунтовано ефективність цих алгоритмів і можливості їх застосування на практиці. This paper analyzes nonlinear balance models of intersectorial ecological-economic interaction and proposes new approaches to solving them. The efficiency of these algorithms and possibility of using them in practice are substantiated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кибернетика О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия Про розв’язання одного класу нелінійних балансових моделей міжгалузевої еколого-економічної взаємодії On the solution of one class of nonlinear balance models of intersectorial ecological-economic interaction Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия
spellingShingle	О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия Недашковский, Н.А. Крошка, Т.И. Кибернетика
title_short	О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия
title_full	О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия
title_fullStr	О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия
title_full_unstemmed	О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия
title_sort	о решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия
author	Недашковский, Н.А. Крошка, Т.И.
author_facet	Недашковский, Н.А. Крошка, Т.И.
topic	Кибернетика
topic_facet	Кибернетика
publishDate	2011
language	Russian
container_title	Кибернетика и системный анализ
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Про розв’язання одного класу нелінійних балансових моделей міжгалузевої еколого-економічної взаємодії On the solution of one class of nonlinear balance models of intersectorial ecological-economic interaction
description	Проаналізовано нелінійні балансові моделі міжгалузевої еколого-економічної взаємодії та запропоновано нові підходи до їх розв’язання. Обґрунтовано ефективність цих алгоритмів і можливості їх застосування на практиці. This paper analyzes nonlinear balance models of intersectorial ecological-economic interaction and proposes new approaches to solving them. The efficiency of these algorithms and possibility of using them in practice are substantiated.
issn	0023-1274
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84231
citation_txt	О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия / Н.А. Недашковский, Т.И. Крошка // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 21-32. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT nedaškovskiina orešeniiodnogoklassanelineinyhbalansovyhmodeleimežotraslevogoékologoékonomičeskogovzaimodeistviâ AT kroškati orešeniiodnogoklassanelineinyhbalansovyhmodeleimežotraslevogoékologoékonomičeskogovzaimodeistviâ AT nedaškovskiina prorozvâzannâodnogoklasunelíníinihbalansovihmodeleimížgaluzevoíekologoekonomíčnoívzaêmodíí AT kroškati prorozvâzannâodnogoklasunelíníinihbalansovihmodeleimížgaluzevoíekologoekonomíčnoívzaêmodíí AT nedaškovskiina onthesolutionofoneclassofnonlinearbalancemodelsofintersectorialecologicaleconomicinteraction AT kroškati onthesolutionofoneclassofnonlinearbalancemodelsofintersectorialecologicaleconomicinteraction
first_indexed	2025-11-26T02:45:06Z
last_indexed	2025-11-26T02:45:06Z
_version_	1850609182661672960
fulltext	ÓÄÊ 519.86 Í.À. ÍÅÄÀØÊÎÂÑÊÈÉ, Ò.È. ÊÐÎØÊÀ Î ÐÅØÅÍÈÈ ÎÄÍÎÃÎ ÊËÀÑÑÀ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÁÀËÀÍÑÎÂÛÕ ÌÎÄÅËÅÉ ÌÅÆÎÒÐÀÑËÅÂÎÃÎ ÝÊÎËÎÃÎ-ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈß Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìåæîòðàñëåâîé ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêèé áàëàíñ, ìàòðè÷íûå âåòâÿùèåñÿ öåïíûå äðîáè, ìàòðè÷íîå ïîëèíîìèàëüíîå óðàâíåíèå, ïåðèîäè÷åñ- êàÿ íåïðåðûâíàÿ äðîáü, ôîðìàëüíûé ñòåïåííîé ðÿä. Ñîâðåìåííûå ýêîíîìè÷åñêèå ñèñòåìû ôóíêöèîíèðóþò â óñëîâèÿõ ñèëüíîãî âëèÿ- íèÿ ýêîñèñòåì, è íàîáîðîò, àíòðîïîãåííîå âîçäåéñòâèå íà ýêîñèñòåìû î÷åíü ñèëüíî âëèÿåò íà èõ äèíàìèêó. Èìåííî ïîýòîìó â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ íå ñëå- äóåò ðàçäåëÿòü ýêîíîìèêó è ýêîëîãèþ, à ïîäðàçóìåâàòü èõ êàê ïîäñèñòåìû åäè- íîé öåëîñòíîé ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ýòî îñîáåííî âàæíî ñåé÷àñ, êîã- äà îáùåñòâî ñòðåìèòñÿ ê óñòîé÷èâîìó ðàçâèòèþ. Ñðåäè ìåòîäîâ èçó÷åíèÿ ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì èëè îòäåëüíûõ ïðî- öåññîâ ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âàæíîå çíà÷åíèå èìåþò ìåòîäû ìà- òåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Èìåííî ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ ýêîëî- ãî-ýêîíîìè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ íà ïðîèçâîäñòâåííî-òåõíîëîãè÷åñêîì óðîâíå ïîñâÿùåíà íàñòîÿùàÿ ðàáîòà, ïðåäìåòîì êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ òàê íàçûâàåìûå ìîäåëè ìåæîòðàñëåâîãî ýêîëîãî-ýêîíîìè÷åñêîãî áàëàíñà, èëè ìîäåëè Ëåîíòüåâà–Ôîðäà. Ðàññìîòðèì îäèí èç âàðèàíòîâ íåëèíåéíîãî ìåæîòðàñëåâîãî ýêîëîãî-ýêîíî- ìè÷åñêîãî áàëàíñà â ñëåäóþùåé ôîðìå [1, 2]: x x x yi ij j n j is s m s i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )1 11 1 1 12 1 2 1� � � � � � �� ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , ( ) ( i n x x x l lj j n j ls s m s � � � � � � � 1 2 21 1 1 22 1 � � 2 2 1) ( )) , , .� � � � � � � � y l m l (1) Çäåñü x i ( )1 ( , )i n�1 — ýëåìåíòû âåêòîðà îñíîâíîãî ïðîèçâîäñòâà x n( )1 �� (� � l — íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò l-èçìåðèìîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà); x l ( )2 ( , )l m�1 — ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà óíè÷òîæåííûõ çàãðÿçíèòåëåé x m( )2 �� (âñïî- ìîãàòåëüíûõ ïðîäóêòîâ-îòõîäîâ); y i ( )1 ( , )i n�1 — ýëåìåíòû âåêòîðà êîíå÷íîé ïðî- äóêöèè y n( )1 �� ; ýëåìåíòû y l ( )2 ( , )l m�1 îáðàçóþò âåêòîð íåóíè÷òîæåííûõ çà- ãðÿçíèòåëåé y m( )2 �� ; � ij j x( ) ( )( )11 1 — íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ çàòðàò ïðîäóêöèè i íà âûïóñê x j ( )1 åäèíèö ïðîäóêöèè j; � is sx( ) ( )( )12 2 — íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ çàòðàò ïðî- äóêöèè i íà óíè÷òîæåíèå xs ( )2 åäèíèö çàãðÿçíèòåëÿ s; � lj jx( ) ( )( )21 1 — íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ âûïóñêà çàãðÿçíèòåëÿ l ïðè âûïóñêå x j ( )1 åäèíèö ïðîäóêöèè j; � ls sx( ) ( )( )22 2 — íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ âûïóñêà çàãðÿçíèòåëÿ l ïðè óíè÷òîæåíèè xs ( )2 åäèíèö ïðîäóêöèè s. Ìîäåëü (1) òàêæå ìîæíî ïîäàòü â âåêòîðíîì âèäå x x x y x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 11 1 12 2 1 2 21 1 � � � � � � � � � � � � � �( ) ( ) ( )( ) ,22 2 2x y (2) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 21 © Í.À. Íåäàøêîâñêèé, Ò.È. Êðîøêà, 2011 ãäå �i j n ij jx x( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 1 1 11 1� � � � , �i is s s m x x( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )12 2 12 2 1 � � �� , i n�1, ; � l lj j j n x x( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )21 1 21 1 1 � � �� , � l ls s s m x x( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 22 2 1 � � �� , l m�1, ; � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) , , ( ))11 1 1 11 1 11 1x x xn� � T ; � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ), , ( ))12 2 1 12 2 12 2x x xn� � T ; � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ), , ( ))21 1 1 21 1 21 1x x xm� � T ; � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ), , ( ))22 2 1 22 2 22 2x x xm� � T ; T — ñèìâîë òðàíñïîíèðîâàíèÿ. Ìîäåëü (2) ÷àñòî íàçûâàþò ïðÿìîé ìîäåëüþ Ëåîíòüåâà–Ôîðäà [1, 2]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäàÿ èç ôóíêöèé � ij st jx( ) ( ) �i j s t, , , — ïîëèíîì ïîðÿä- êà l. Ýòî âûïîëíÿåòñÿ ïðè óñëîâèè, êîãäà � ij st jx( ) ( ) çàäàíà òàáëè÷íî è çàòåì èíòåð- ïîëèðóåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ïîðÿäêà l; èëè æå êîãäà � ij st jx( ) ( ) íåïðåðûâíà, l ðàç äèô- ôåðåíöèðóåìàÿ è åå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ôîðìóëå Òåéëîðà. Ïóñòü � ij j k l ijk j kx a x i n j( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( , , , ,11 1 0 11 1 1 2 1� � � � � � , , , ), ( ) [ ] ( ,( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 212 2 12 0 2 � n x a x iij j ijk s l j k� � � � � , , , , , , ), ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) � �n j m x a xij j ijk k l j � � � � 1 2 21 1 21 0 1� ] ( , , , , , , , ), ( )( ) ( ) ( ) k ij j ijk k i m j n x a � � � � 1 2 1 2 22 2 22 0 � � � l j kx i m j m� � � � � � � � � � � � � � � [ ] ( , , , , , , , ).( )2 1 2 1 2� � (3) Íà äàííîì ýòàïå èññëåäîâàíèé íàñ ïîêà íå èíòåðåñóþò êà÷åñòâåííûå èñ- ñëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ðåøåíèÿ. Ñîñðåäîòî÷èì âíèìàíèå íà ïðîáëåìå åãî ñóùåñòâî- âàíèÿ è âû÷èñëåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: u x p u q u i n j nj j ij j ijk k l j k� � � � � �( ) , ( ) ( , , , , , , , )1 0 1 2 1 2� � , , ( ) ( , , , , ,( )u x p u q u i n j n nj j ij j ijk k l j k� � � � � � � �2 0 1 2 1 2� , , ), , ( ) ( , , ,( ) � � n m u x p u q u i n nj j ij j ijk k l j k � � � � � � � �1 0 1 2 n m j n u x p u q u i nj j ij j ijk k l j k � � � � � � � � , , , , ), , ( ) (( ) 1 2 12 0 � , , , , , , , ).n n m j n n n m� � � � � �2 1 2� � (4) Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèÿ (3) è îáîçíà÷åíèé (4) íà îñíîâå (2) ìîæíî çàïèñàòü ìàòðè÷íîå ïîëèíîìèàëüíîå óðàâíåíèå 22 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 23 u u u u p u p u p n n m n1 2 11 1 12 2 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) (u p u p u p u p u p u n n m n m n n n m n m ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , � � � 1 21 1 22 2 2 2 � � � � ) ( ) ( ) ( ) ( ), � � � � � � � � � � � � � � p u p u p u p u p n n nn n n n m n m n 1 1 2 2 � � � � � � � � � � � � � m n m n m n n n m n m n mu p u p u p u, , , ,( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� y y y y n m 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � �� èëè u u u u q q q n n m k l k k nk1 2 0 11 12 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � q q q q q q q q n m k k k nk n m k n k n k nnk 1 21 22 2 2 1 2 , , , , � �� q q q q q n n m k n m k n m k n m n k n m n m k , , , , , , , , , , � � � � � � � � � � � � � �1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� u u u u k k n k n m k 1 2 � � � � �� y y y y n m 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . � � Òîãäà k l k k nk n m k k k nk n m k q q q q q q q q � � � � 2 11 12 1 1 21 22 2 2 � � � � � , , , , � � � � � � � � � � � � � � q q q q q q n k n k nnk n n m k n m k n m k 1 2 1 2 , , , , , , � � � q q u u u un m n k n m n m k k k n k n� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , , , ,� � � 1 2 � � � � � � � � �� m k � � � � � q q q q q q q q k k nk n m k k k nk n m k 11 12 1 1 21 22 2 2 1 1 � � � � � , , , , � � � � � � � � � � � � � q q q q q q n k n k nnk n n m k n m k n m 1 2 1 2 1� � � � , , , , , ,k n m n k n m n m k n q q u u u u� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , , , , 1 1 2 n m k k nnk n q y q y q y � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 11 1 1 22 2 1 ( ) ( ) � ( ) , , ( ) . 1 2 0 � q yn m n m k m� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Îáîçíà÷èì p q k l i n m j n m i j p ijk ijk� � � � � � �( , , , , , , , , , , , , ),0 2 1 2 1 2� � � ii ii ii ii i q i n m p q y i n p 1 1 0 0 1 1 2 1 2 � � � � � � ( , , , ), ( , , , ),( ) � � ii ii iq y i n n n m0 0 2 1 2� � � � � � � � � � � � ( ) ( , , , ).� (5) Òîãäà ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî U u u u un n n m� � �( , , , , , )1 1� � T : k l k k nk n m k k k nk n m k p p p p p p p p � � � � 0 11 12 1 1 21 22 2 2 � � � � � , , , , � � � � � � � � � � � � � p p p p p p n k n k nnk n n m k n m k n m 1 2 1 2 , , , , , , , , � � � k n m n k n m n m k k k n k p p u u u � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , , , , 1 2 un m k � � � � � � � � �� 0. (6) 24 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 Äàííîå óðàâíåíèå òàêæå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå k l k k nk n m k k k nk n m k p p p p p p p p � � � � 0 11 12 1 1 21 22 2 2 � � � � � , , , , � � � � � � � � � � � � � � p p p p p p n k n k nnk n n m k n m k n m k 1 2 1 2 , , , , , , � � � p pn m n k n m n m k� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , , , ,� � �� diag T( , , , , , ) ( , , , , , ) .u u u u u u u un n m k n n m1 2 1 1 2 0� � � � Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî ïîëèíîìèàëüíîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå [3, 4] ïîðÿäêà l. Ê ïîäîáíûì óðàâíåíèÿì ñâîäèòñÿ ìíîãî çàäà÷ ôèçèêè ÿäðà, êîíäåíñèðóåìûõ ñðåä è ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Îíè ÿâëÿþòñÿ òàêæå âàæíûì êëàññîì íåëèíåéíûõ óðàâíå- íèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå, ýëåêòðîòåõíèêå. Ðàññìîòðèì ïîäõîä ê ðåøåíèþ íåëèíåéíûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ìàòðè÷íûõ óðàâ- íåíèé, êîòîðûé îñíîâûâàåòñÿ íà òåîðèè âåòâÿùèõñÿ öåïíûõ äðîáåé (ÂÖÄ) [5–7]. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðå÷ü ïîéäåò íå òîëüêî î ÷èñëåííûõ, íî è î ñèìâîëüíûõ ìåòî- äàõ ðåøåíèÿ. Â ïîñëåäíåå âðåìÿ â ýëåêòðîòåõíèêå, ôèçèêå è äðóãèõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè âîçíèê èíòåðåñ ê èñïîëüçîâàíèþ êîìïüþòåðîâ è äëÿ ñèìâîëüíûõ ïðåîá- ðàçîâàíèé è ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé. Èíòåðåñ ê òàêèì èññëåäîâàíèÿì çíà÷èòåëüíî âûðîñ â ñâÿçè ñ èíòåíñèâíûìè ðàáîòàìè ïî èñêóññòâåííîìó èíòåëëåê- òó è ïî ñîçäàíèþ íåéðîêîìïüþòåðíûõ ñèñòåì. Îïåðàöèè ñ ñèìâîëüíûìè ýëåìåíòàìè íàêëàäûâàþò ïðèíöèïèàëüíî íîâûå òðåáîâàíèÿ íà âíåøíèå óñòðîéñòâà êîìïüþòåðîâ è àëãîðèòìè÷åñêèå ÿçûêè ïðî- ãðàììèðîâàíèÿ. Íà ïåðâûé ïëàí âûõîäÿò èíûå êðèòåðèè ýôôåêòèâíîñòè è îïòè- ìàëüíîñòè, ïîýòîìó íåîáõîäèìû äðóãèå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è [8, 9]. Ñóùåñòâóåò íåìàëî ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ íåèçâåñòíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé [8, 9]. Âû÷èñëèòåëüíàÿ ñõåìà êàæ- äîãî èç íèõ ñîñòîèò â ïðèìåíåíèè îïðåäåëåííûõ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé, ïîñëåäîâàòåëüíîå èñïîëüçîâàíèå êîòîðûõ è äàåò çíà÷åíèå íåèçâåñòíûõ. Íî äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé ñ ñèìâîëüíûìè ýëåìåíòàìè àíà- ëîãè÷íûé ïîäõîä ïðàêòè÷åñêè íå ïðèãîäåí. Ðàññìîòðèì ìåòîä ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå- íèé ìàòðè÷íûìè âåòâÿùèìèñÿ öåïíûìè äðîáÿìè (ÌÂÖÄ) [3, 4]. Ýòîò ïîäõîä èíòåðåñåí è ñàì ïî ñåáå, à êðîìå òîãî, ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ñîçäàíèÿ ìåòîäîëîãèè íîâûõ àëãîðèòìîâ è ïîëó÷åíèÿ íîâûõ ðåçóëüòàòîâ. Âåðíåìñÿ ê ìàòðè÷íûì öåïíûì äðîáÿì. Ïóñòü X — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà p p� íàä ïîëåì � . Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: D b a a b D b b k k k kk N k N k k k k 1 1 1 111 2 1 1 1 11 1 1 2 � � � � � �� ( ) ( ) , 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2� � � �� N k k k k N k k k k a a a b a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , k N k N i k k k k k N k D a b a b a i 21 11 1 1 2 2 1 �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , i k ik N k N k k k kk b D a b a b 21 2 11 1 1 2 21 �� N k i k ik N k N a b i � �� ( ) ( )111 Çäåñü k i k k k i( ) � 1 2� — ñîêðàùåííûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìóëüòèèíäåêñîâ; a b Xk i k i( ) ( ), — êâàäðàòíûå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû ðàçìåðà p p� . Îïðåäåëåíèå. Êîíå÷íóþ äðîáü D a b a b a b m k kk N k kk N k m k mk � � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 2 211 2 � m N � � 1 íàçîâåì m-é ïîäõîäÿùåé äðîáüþ áåñêîíå÷íîé ÌÂÖÄ. Â äàëüíåéøåì ÌÂÖÄ áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå D a b D i k i k ik N i � � � � � 1 1 ( ) ( ) , (7) òàêæå èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ D b D b a b k m m k m k i m k i k s k sk N s ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ,� � � � �� 1 111 � � � � �� a b i m k m k mk N m ( ) ( ) ( ) 1 . Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ÌÂÖÄ äëÿ ðåøåíèÿ ìàòðè÷íîãî ïîëèíîìèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ íà÷àëà îñòàíîâèìñÿ íà ïîñòðîåíèè àëãîðèòìà äëÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ XAX X B� � � 0, (8) ãäå A B, — êâàäðàòíûå íåíóëåâûå ìàòðèöû ïîðÿäêà N ñ ïîñòîÿííûìè ýëå- ìåíòàìè, X — íåèçâåñòíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà N . Óðàâíåíèå (8) ìîæíî çàïèñàòü ( )XA E X B� � � èëè, äîïóñêàÿ ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ( )XA E� �1, X XA E B� � � �( ) 1 . Äëÿ óäîáñòâà â äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå � � � � � �( )XA E B B E XA 1 . Òîãäà ìåòîäîì âêëàäûâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ (8) çàïèøåì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå X â íåïðåðûâíóþ äðîáü: X B E BA E BA E � � � � � � . Îïèøåì òåïåðü ïîñòðîåíèå âû÷èñëèòåëüíîé ñõåìû äëÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ AX BX C2 0� � � , (9) ãäå A B C, , è X — ìàòðèöû ðàçìåðà p p� . Ïîñëå ïåðåãðóïïèðîâêè åãî ÷ëåíîâ ìîæíî çàïèñàòü ( )AX B X C� � � , X AX B C C B AX � � � � � � �( ) 1 . (10) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 25 Ïðè èñïîëüçîâàíèè êîìïîçèöèè (10) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ôîðìàëüíîå ðàç- ëîæåíèå X â íåïðåðûâíóþ äðîáü: X C B AC B AC B � � � � �� , èëè X a b a b � � � 1 1 2 2 � , ãäå a C b B a AC b B ii i1 1 2 3� � � � � � �, , , ( , , )� . Àíàëîãè÷íóþ ñõåìó ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ óðàâíåíèÿ X A XB C2 0� � � , (11) A B C, , è X , êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, — ìàòðèöû ðàçìåðà p p� . Ïîñëå ïåðåãðóïïèðîâêè ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ (11) ìîæíî çàïèñàòü X XA B C( )� � � , îòêóäà X C XA B� � � �( ) 1 è X C B CA B CA B � � � � �� èëè X a b a b � � � 1 1 2 2 � , ãäå a C1 � � , b B1 � , a ACi � � , b Bi � ( , , )i � 2 3 � . Àíàëîãè÷íûé ïîäõîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ íå- êàíîíè÷åñêîãî âèäà, êîòîðîå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ íà ïðàêòèêå: AX XB XFX C� � � � 0, (12) A B C F, , , è X — ìàòðèöû ðàçìåðà p p� . Ïîñëå ïåðåãðóïïèðîâêè åãî ÷ëåíîâ ïîëó÷àåì ( )A XF X XB C AF B XFF B AF B C� � � � � � � �� 1 1 1 èëè X XF A XB C XF A XB C B FF B� � � � � � � �� ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 , X XF A XF CB F F B� � � �� ( ) ( )1 1 1 , X XF A XF A A CB F F B� � � � � �� ( ) ( )1 1 1 , X XF A XF A A CB F F B� � � � � �� ( ) [( ) ( )]1 1 1 , X F B XF A A CB F F B� � � � �� 1 1 1 1( ) ( ) , X F B XF A AF B C� � � � �� 1 1 1( ) ( ), ( ) ( ) ( )A XF X A XF F B AF B C� � � � � �� 1 1 , X F B AF B C A XF � � � � � � � 1 1 . (13) Òåïåðü, èñïîëüçóÿ êîìïîçèöèþ (13), ðàçëîæèì ôîðìàëüíîå ðåøåíèå (12) â ñëåäóþùóþ ïåðèîäè÷åñêóþ íåïðåðûâíóþ äðîáü: X F B AF B C A F BF AF BF CF A F BF AF BF C � � � � � � � � � � �� 1 1 1 1 1 1 � F A F BF� � �1 � Ïðåäñòàâëåííóþ ñõåìó òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ äèñêðåòíîãî óðàâíå- íèÿ Ðèêêàòè âèäà A XA X A XB R B XB B XA QT T T T� � � � ��( ) 1 0, (14) ãäå A B C R Q, , , , è X — ìàòðèöû ðàçìåðà p p� . 26 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 Ïåðåãðóïïèðîâàâ ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (14), ïîëó÷èì A X A E B R B XB B XA QT T T( ( ) )� � � � ��1 0, A X A E B R B XB B XBB A QT T T( ( ) )� � � � �� 1 1 0. Òîãäà A X A E B R B XB R B XB R B A QT T T[ ( ) ( ) )]� � � � � � �� 1 1 0, A X A E BB A B R B XB RB A QT T[ ( ) )]� � � � � �� 1 1 1 0. Îòñþäà X A E BB A B R B XB RB A A Q� � � � � � �� [ ( ) )] ( )1 1 1 1 1 0T T . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè ìîæíî çàïèñàòü ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó X A Q E BB A A B RB A R B XB � � � � � � � � � ( )1 1 1 T � . (15) Èñïîëüçóÿ êîìïîçèöèþ (15) äëÿ óðàâíåíèÿ (14) ñ ÷èñëîâûìè èëè ñèìâîëüíûìè ýëåìåíòàìè, ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå X â íåïðåðûâíóþ äðîáü: X A Q E BB A A B RB A R B A QB E BB A A � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( )1 1 1 1 1 T T T � � �� B RB A R B A QB E BB A A 1 1 1 T T( ) . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî èç ðàññìîòðåííûõ óðàâíåíèé ìîæíî ïîñòðîèòü ôîðìàëüíóþ ñõåìó ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ â ìàòðè÷íóþ öåïíóþ äðîáü. Âîïðîñ ñó- ùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ è ñõîäèìîñòè äðîáè ê íåìó íå áóäåò ñåé÷àñ îáñóæäàòü- ñÿ [10]. Îäíàêî äëÿ êàæäîãî êîíêðåòíîãî óðàâíåíèÿ (8), (9), (11), (12) è (14) ïðè- ìåíÿåòñÿ ñâîÿ îñîáåííàÿ ñõåìà, êîòîðàÿ íå íîñèò îáùåãî õàðàêòåðà. Íî òàêóþ ñõåìó ìîæíî ïîñòðîèòü, ïðè÷åì è äëÿ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé âûñøèõ ïîðÿäêîâ êàíîíè÷åñêîãî âèäà. Äàëåå ïðåäìåòîì ðàññìîòðåíèÿ áóäåò èìåííî îáùèé ïîä- õîä ê ðåøåíèþ ìàòðè÷íûõ ïîëèíîìèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûé îñíîâûâàåòñÿ íà èñïîëüçîâàíèè àïïàðàòà ÂÖÄ. Â ðàáîòå [3] óæå ðàññìàòðèâàëîñü ïðèìåíåíèå ÂÖÄ äëÿ óðàâíåíèé âèäà x a x a x a x an n n n n� � � � � �� 1 1 2 2 1 0 0� , (16) ãäå a i ni ( , , , )� �0 1 1� è x — âåùåñòâåííûå ÷èñëà, à n � 2 — öåëîå ÷èñëî. Ðàññìîòðèì ìàòðè÷íîå ïîëèíîìèàëüíîå óðàâíåíèå n-ãî ïîðÿäêà X A X A X A X An n n n n� � � � � �� 1 1 2 2 1 0 0� , (17) ãäå ìàòðèöû A i ni p p � �� ( , , , )0 1 1� , X p q � � , à n � 2 — öåëîå ÷èñëî. Ïðåäëîæåííàÿ â [3] ñõåìà äëÿ óðàâíåíèÿ (16) íå ìîæåò áûòü ôîðìàëüíî îáîá- ùåíà â ñëó÷àå ìàòðè÷íîãî ïîëèíîìà â ñèëó íåêîììóòàòèâíîñòè óìíîæåíèÿ ìàò- ðèö îáùåãî âèäà, íî ïîäõîä ê ðåøåíèþ (17) ìîæåò áûòü ïîñòðîåí, è åãî ñõåìà áóäåò ðàññìîòðåíà äàëåå. Òåîðåìà 1 (òåîðåìà Âèåòà). Ïóñòü F X( ) — ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n ñ êîýôôèöè- åíòàìè èç íåêîòîðîé îáëàñòè è ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì 1. Òîãäà íàä îáëàñòüþ, â êîòîðóþ âõîäÿò âñå êîðíè F X( ) (íàïðèìåð, íàä îáëàñòüþ ðàçëîæåíèÿ F X( )), ìíîãî÷ëåí F X( ) ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 27 F X X A X A X A X X Xn n n n( ) ( )( ) ( )� � � � � � � � �� 1 1 1 0 1 2� �� , ãäå � i — êîðíè F X( ), i n�1 2, , ..., , ïðè÷åì âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ A A n n n n n n 0 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 � � � � � �� ( ) , ( ) ( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 3 1 1 2 ... ), ( ) . n n nA � � Óòâåðæäåíèå. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (17) n-ãî ïîðÿäêà ìîæíî ïîäàòü â âèäå áåñêîíå÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé öåïíîé äðîáè âèäà (7) ñ n�1âåòêîé ðàçâåòâëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Îñíîâûâàÿñü íà òåîðåìå 1, óðàâíåíèå (17) òàêæå ìîæíî çà- ïèñàòü â âèäå ( )( ) ( )( )X X X X Bn� � � � �� 1 2 1 0� � � � � � �� B X B X B X Bn n n n1 2 2 3 3 2 0� . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî � � �1 2 1, � � �� n íå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì (16), ìîæíî çàïèñàòü X B X X X n� � � � � �� 0 1 2 1 1[( )( )... ( )]� � � � � � � � �� [ ]B X B X B X Bn n n n1 2 2 3 3 2� � � � � � � � � � � � � � � B B X B X B X B X X X n n n n n 0 1 2 2 3 3 2 1 2 1 � �( )( ) (� � � ) . Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå òàêæå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå X B X Y X Y X Yn n� � � � � � � � �� 0 1 1 1 2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( )� � �� B Y X Y X Y X n n 0 1 1 2 2 1 1� � � � , (18) ãäå Y Y Yn1 2 1, , ,� � — íåêîòîðûå íåèçâåñòíûå ìàòðèöû. Äëÿ èõ îïðåäåëåíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Äëÿ ýòîãî ïðèâåäåì ïðîñòûå äðîáè â (18) ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ: X B X Y X Y X i n i i n i i n � � � � � � � � � � � � � � � � �0 1 1 1 2 1 2 1 3 ( ) ( ) ( )� � � 1 � � �( )X i� � � �� Y X X Y Xj i j i i j n i n i n 1 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) (� � � i i n iX) ( )/ � � � � � � 1 1 � , îòêóäà ïîëó÷èì óðàâíåíèå � � � � � � � � � � � � � � � � � �X X B X Y X i n i i n i i n i 1 1 0 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � �Y X X i n i2 1 3 1 ( ) ( )� � � � �� Y X X Y Xj i j i i j n i n i n 1 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) (� � � i i n iX) ( )/ � � � � � � � 1 1 0� . 28 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 Äëÿ òî÷íîñòè ñíà÷àëà çàïèøåì êàæäîå ïðîèçâåäåíèå, âîñïîëüçîâàâøèñü òå- îðåìîé Âèåòà: � � � � � � � � � � � � � ��X X X X i n i n n n n n 1 1 1 1 2 1 1 21 1( ) [ ( ) ( ) (� � � �� 1 2 2� n� � � � � �� 1 2 3 1 2 3 1 2 � � � �n n n nX) � � �� ( ) ( ) ]� � � � � � � � �1 2 1 3 2 1 2 1 2 1n n nX X ; B X B X i n i n n 0 1 1 0 1 1 1 21 � � � �� ( ) ( )� � � � ... ( ) (� � � �n n n nB X� � � �� 1 0 2 2 1 2 21 � � � � �� 1 2 3 1 2 3 1 0 3 � � � �n n n nB X) � � �� ( ) ( )� � � � � � � � �1 2 1 3 2 1 0 1 2 1 0n n nB X B ; Y X Y X i n i n n 1 2 1 1 2 2 2 31 � � � �� ( ) ( )� � � � ... ( ) (� � � �n n n nY X� � � �� 2 1 3 3 2 3 21 � � � � �� 2 3 3 1 3 4 1 1 4 � � � �n n n nY X) � � �� ( ) ( )� � � � � � � � �2 3 2 4 2 1 1 2 3 1 1n n nY X Y ; � Y X Xj i j i i j n i � � � � �� 2 1 1 ( (� � � � � �� Y X Y Xj n n j j n j n2 2 1 2 1 1 1 31( � � � � � �� ( ) (1 3 1 2 1 1 2 1 2 1 1 3 1 n j j n j j n n� � � � � � � � � � �� 2 3 1 1 2 1 4 2 3 2 4j j n n j nY X) ( � �� j j j j n n jY X1 1 1 2 2 1 ) � � � � � � �� ( )� � � � �1 2 1 1 1� �j j n jY ; � Y X Y X Yn i n i n n n n n n� � � � � � � � �� 1 2 2 1 2 2 1 2 2 11( (� � � � � � �� 1 3X n� � � � � � �� ( ) ( )1 3 1 2 3 1 2 4 2 2 3 2 1 n n n n n nY X� � � � � � � � � �� n� �4 � � � �� ( ) ( )� � � � � � � � �1 2 1 3 3 2 1 1 2 2 1n n n n nY X Y . Âûïîëíèì òåïåðü ñëîæåíèå ïðàâûõ ÷àñòåé çàïèñàííûõ ðàâåíñòâ ñ îäíîâðå- ìåííûì ãðóïïèðîâàíèåì êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ X . Ïðèðàâ- íèâàÿ êîýôôèöèåíòû îäèíàêîâûõ ñòåïåíåé X , ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ Y j nj ( , , ..., )� �1 2 1 : ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 29 ( ) .... , ( ) � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 2 1 0 1 2 1 1 1 1 n n n k n i i k i B a� � � � � � � � � � � � � �� k n i i n i n n n Y B a 1 1 1 1 1 1 2 1 0 2 3 1 1 � � � �( ) , ( ) � k n l k n kl i i k i i k l i i l� � � � � � � � � � � � � � � �� 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1( )� � � � n k n i i k i i k n k n k n Y � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 � � ( ) i k i i i n k n l k n k l B a Y � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 0 3 1 1 2 1 1 1 1 � � � � , � � � � � � � � � � � � � � � �� l k n kl k l j k n l k n i l n Y Y 1 1 1 1 1 2 1( )� � � � � � � 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � a Y Y n k n i i n i n kl j j ; ( )� � � �� i i n n i i n nY B a � � � � � � �� 1 2 1 1 1 0� , � � � ãäå �kl k l k l � � � � � 1 0 , , , . åñëè åñëè Åñëè âûáðàòü âñå � i ïîïàðíî ðàçíûìè, òî ïîñëåäíÿÿ ñèñòåìà n óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè Yi ( , , ..., )i n� �1 2 1 áóäåò èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Èñïîëü- çóÿ çàêîí êîìïîçèöèè (7) äëÿ X , ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå â ÂÖÄ: X B Y B Y B Y B i ii n j jj n m mm n � � � � � � � � � � � � � � � � �0 01 1 01 1 01� � � � 1 � � , ÷òî è ñëåäîâàëî äîêàçàòü. Âîïðîñ ñõîäèìîñòè ê ðåøåíèþ òàêîé ÂÖÄ ðàññìàòðèâàòüñÿ íå áóäåò, à âîï- ðîñ ñõîäèìîñòè ñàìîé äðîáè ìîæíî èçó÷èòü, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè [11–14]. Ñóùåñòâóåò èíîé ïîäõîä, êîòîðûé îñíîâûâàåòñÿ íà òåîðåìå èç ðàáîòû [15]. Ýòà òåîðåìà äàåò íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òîãî, ÷òî äëÿ çàäàííîãî ôîðìàëüíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà (ÔÑÐ) ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðàâèëüíàÿ C-äðîáü, à òàêæå ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðàâèëüíîé C-äðîáè ÷å- ðåç êîýôôèöèåíòû ÔÑÐ. Óñëîâèÿ ôîðìóëèðóþòñÿ ñ ïîìîùüþ îïðåäåëèòåëåé Ãàíêåëÿ H k n( ) (ïîðÿäêà k), ñâÿçàííûõ ñ ÔÑÐ L c c z c z c z� � � � �0 1 2 2 3 3 � (19) è îïðåäåëåííûõ ñëåäóþùèì îáðàçîì: H n 0 1( ) � , H c c c c c c c c c k n n n n k n n n k n k n k n ( ) � � � � � � � � � � � 1 1 1 2 1 � � � � � � � 2 2k� , k �1 2 3, , ,� 30 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 Òåîðåìà 2 [15]. Åñëè äëÿ çàäàííîãî ÔÑÐ (19) ñóùåñòâóåò ïðàâèëüíàÿ C-äðîáü 1 1 1 � � � K n na z( / ), an � 0, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò L (â òî÷êå z � 0), òî H k ( )1 0� è H k ( )2 0� , k �1 2 3, , , ... , (20) a H1 1 1� ( ) , a H H H H m m m m m 2 1 1 2 1 1 2 � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) , a H H H H m m m m m 2 1 1 1 1 2 1 2� � �� ( ) ( ) ( ) ( ) , m �1 2 3, , , ... , (21) è íàîáîðîò, åñëè èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ (20) è (21), òî ïðàâèëüíàÿ C-äðîáü ñ êîýôôèöèåíòàìè an , êîòîðûå îïðåäåëåíû èç ðàâåíñòâ (20) è (21), ñîîòâåòñòâóþò ðÿäó (19). Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå âèäà A Xi n i i n � � �� 0 1 , (22) ãäå Ai — ïîñòîÿííàÿ, à X — íåèçâåñòíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî X � 0 íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (22), çàïèøåì ( )A A X A X A X An n n n0 1 2 2 1 0� � � � � �� , îòêóäà X A A X A X A An n n n� � � � � �� ( ) .0 1 2 2 1 1 � Ïðèìåíèâ òîæäåñòâî Ýéëåðà äëÿ ñâÿçè ìåæäó ðÿäàìè è öåïíûìè äðîáÿìè [13], ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå X A A E A A X E A A X A A X E n n n n n n n n � � � � � � � � � � � � � � � � 0 1 1 1 2 1 1 2 2 1 3 � � � �� A A X A A X E A A X n n2 1 3 0 1 1 0 1 1 � . Èñïîëüçóÿ çàêîí êîìïîçèöèè, (22) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì ðàçëîæåíèåì X â áåñêîíå÷íóþ ôèãóðíóþ [4] ÂÖÄ: X A A E A A A E E A A A E A n n n n n n n n � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 2 1 1 2 0 1 � � A A E E A A A E 1 2 0 1 1 2 � � � � � � . (23) Äëÿ íåôîðìàëüíîãî èñïîëüçîâàíèÿ (23) â ñèñòåìàõ êîìïüþòåðíîé àëãåáðû íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè è óñòîé÷èâîñòè ÂÖÄ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ çàïèñè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (22) â âèäå ÂÖÄ òàê- æå ìîæíî ïðèìåíÿòü T- è C -äðîáè [11]. Íî èõ îïèñàíèå, êàê è ïîëó÷åíèå êîðòå- æà ðåøåíèé, è èõ îòäåëåíèå, ÿâëÿþòñÿ ïðåäìåòîì îòäåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ. Íà ÿçûêå C++ íàïèñàíû ïðîöåäóðû äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé âèäà (22) ñ ïî- ìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â ïåðèîäè÷åñêóþ ÂÖÄ, à òàêæå â ôèãóðíûå T-, J- è C-äðîáè. Ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ x x x3 26 11 6 0� � � � ïîñëå 12 èòåðàöèé ïîëó÷åíû ñëåäó- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 31 þùèå ðåçóëüòàòû: çíà÷åíèå x äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ÂÖÄ ïðè íåâÿçêå 1.14441900 ñî- ñòàâèëî 0.999994247; äëÿ C-äðîáè ïðè íóëåâîé íåâÿçêå ñîñòàâèëî 1.0000000000; äëÿ J-äðîáè ïðè íåâÿçêå 0.8933951 ñîñòàâèëî 1.048081994. Õîòÿ ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà è èìåþò óáåäèòåëüíûé âèä, âîïðîñ î ñõîäèìîñòè àëãîðèòìà ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ îñòàåòñÿ îòêðûòûì, íî ýòî áóäåò ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ ñëåäóþùèõ ïóáëèêàöèé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ã ð è ã î ð ê ³ â Â . Ñ . Ìîäåëþâàííÿ åêîëîãî-åêîíîì³÷íî¿ âçàºìîä³¿: Íàâ÷. ïîñ³áíèê. — ×åðí³â- ö³: Ðóòà, 2007. — 84 ñ. 2. Ë ÿ ø å í ê î ² . Ì . Åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè òà ìîäåë³ ñòàëîãî ðîçâèòêó. — Ê.: Âèùà øê., 1999. — 236 ñ. 3. N e d a s h k o v s k y y M . Solving of non-linear polynomial equation by branching chain fractions // Comput. Intern. Sci. J. — 2003. — 2, N 1. 4. N e d a s h k o v s k y y M . The convergence of branched continued fractions to solutions of polyno- mial matrix equations // VIIth Intern. Conf. INTERPOR 2008. Porous Materials. Theory and Experi- ment. Bydgoszcz / Lubostron' , 20–22 October 2008, Kazimerz Wielki Bydgoszcz Univ., 2008. — P. 63–64. 5. Á î ä í à ð Ä . È . Âåòâÿùèåñÿ öåïíûå äðîáè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986. — 176 ñ. 6. Á î ä í à ð ÷ ó ê Ï . ² . , Ñ ê î ð î á î ã à ò ü ê î Â . ß . Ã³ëëÿñò³ ëàíöþãîâ³ äðîáè òà ¿õ çàñòîñó- âàííÿ. — Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 1974. — 271 ñ. 7. Ñ ê î ð î á î ã à ò ü ê î Â . ß . Òåîðèÿ âåòâÿùèõñÿ öåïíûõ äðîáåé è åå ïðèìåíåíèå â âû÷èñëè- òåëüíîé ìàòåìàòèêå. — Ì.: Íàóêà, 1983. — 311 ñ. 8. À ê ð è ò à ñ À . Îñíîâû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû ñ ïðèëîæåíèÿìè. — Ì.: Ìèð, 1994. — 544 ñ. 9. Ä ý â ý í ï î ð ò Ä æ . , Ñ è ð ý È . , Ò ó ð í ü å Ý . Êîìïüþòåðíàÿ àëãåáðà. — Ì.: Ìèð, 1991. — 352 ñ. 10. Í å ä à ø ê î â ñ ê è é Í . À . Î ñõîäèìîñòè è âû÷èñëèòåëüíîé óñòîé÷èâîñòè âåòâÿùèõñÿ öåï- íûõ äðîáåé íåêîòîðûõ òèïîâ // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû è ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå ïîëÿ. — 1984. — Âûï. 20. — Ñ. 27–31. 11. Â î å â î ä è í Â . Â . ×èñëåííûå ìåòîäû àëãåáðû. — Ì.: Íàóêà, 1966. — 248 ñ. 12. Ã ð è ã î ð ê ³ â Â . Ñ . , Â å ð ñ ò ÿ ê À . Â . Ïðîãíîçóâàííÿ ñèñòåìè çáàëàíñîâàíèõ ö³í íà îñíîâ³ ìîäåë³ Ëåîíòüºâà-Ôîðäà // Íàóê. â³ñí. Ëüâ³â. íàö. óí-òó ³ì. ²âàíà Ôðàíêà: Ïðîáëåìè åêîíîì³÷- íî¿ ê³áåðíåòèêè. — 2007. — Ñïåöâèïóñê 16. — Ñ. 61–68. 13. Ã ð è ã î ð ê ³ â Â . Ñ . Ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³êè: Íàâ÷. ïîñ³áíèê. ×. 2. — ×åðí³âö³: Ðóòà, 2006. — 100 ñ. 14. Ë à í ê à ñ ò å ð Ï . Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì.: Ìèð, 1978. — 280 ñ. 15. Ä æ î ó í ñ Ó . , Ò ð î í Â . Íåïðåðûâíûå äðîáè. Àíàëèòè÷åñêàÿ òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1985. — 414 ñ. Ïîñòóïèëà 11.09.2009 32 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5

О решении одного класса нелинейных балансовых моделей межотраслевого эколого-экономического взаимодействия

Institution

Similar Items