Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии

Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии

Розглянуто питання ідентифікації параметрів дифузії двокомпонентного розчину в неоднорідних нанопористих матеріалах. Градієнт функціонала-нев’язки побудовано на основі теорії оптимального керування. Наведено результати чисельних експериментів. Questions of identification of diffusion parameters of a...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Кибернетика и системный анализ
Datum:2011
Hauptverfasser: Дейнека, В.С., Петрик, М.Р., Фрессард, Ж.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Schlagworte:
Системный анализ
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84233
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Ж. Фрессард // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 45-64. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84233
record_format dspace
spelling Дейнека, В.С.
Петрик, М.Р.
Фрессард, Ж.
2015-07-04T12:51:26Z
2015-07-04T12:51:26Z
2011
Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Ж. Фрессард // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 45-64. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84233
519.6
Розглянуто питання ідентифікації параметрів дифузії двокомпонентного розчину в неоднорідних нанопористих матеріалах. Градієнт функціонала-нев’язки побудовано на основі теорії оптимального керування. Наведено результати чисельних експериментів.
Questions of identification of diffusion parameters of a two-component solution in heterogeneous nanoporous materials are considered. The results of numerical experiments are presented.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии
Ідентифікація кінетичних параметрів масопереносу в складових багатокомпонентних неоднорідних нанопористих середовищ системи компетитивної дифузії
Identification of kinetic parameters of mass transfer in components of multicomponent heterogeneous nanoporous media of a competitive diffusion system
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии
spellingShingle Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии
Дейнека, В.С.
Петрик, М.Р.
Фрессард, Ж.
Системный анализ
title_short Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии
title_full Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии
title_fullStr Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии
title_full_unstemmed Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии
title_sort идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии
author Дейнека, В.С.
Петрик, М.Р.
Фрессард, Ж.
author_facet Дейнека, В.С.
Петрик, М.Р.
Фрессард, Ж.
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
publishDate 2011
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Ідентифікація кінетичних параметрів масопереносу в складових багатокомпонентних неоднорідних нанопористих середовищ системи компетитивної дифузії
Identification of kinetic parameters of mass transfer in components of multicomponent heterogeneous nanoporous media of a competitive diffusion system
description Розглянуто питання ідентифікації параметрів дифузії двокомпонентного розчину в неоднорідних нанопористих матеріалах. Градієнт функціонала-нев’язки побудовано на основі теорії оптимального керування. Наведено результати чисельних експериментів. Questions of identification of diffusion parameters of a two-component solution in heterogeneous nanoporous materials are considered. The results of numerical experiments are presented.
issn 0023-1274
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84233
citation_txt Идентификация кинетических параметров массопереноса в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной диффузии / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик, Ж. Фрессард // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 45-64. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT deinekavs identifikaciâkinetičeskihparametrovmassoperenosavsostavlâûŝihmnogokomponentnyhneodnorodnyhnanoporistyhsredsistemykompetitivnoidiffuzii
AT petrikmr identifikaciâkinetičeskihparametrovmassoperenosavsostavlâûŝihmnogokomponentnyhneodnorodnyhnanoporistyhsredsistemykompetitivnoidiffuzii
AT fressardž identifikaciâkinetičeskihparametrovmassoperenosavsostavlâûŝihmnogokomponentnyhneodnorodnyhnanoporistyhsredsistemykompetitivnoidiffuzii
AT deinekavs ídentifíkacíâkínetičnihparametrívmasoperenosuvskladovihbagatokomponentnihneodnorídnihnanoporistihseredoviŝsistemikompetitivnoídifuzíí
AT petrikmr ídentifíkacíâkínetičnihparametrívmasoperenosuvskladovihbagatokomponentnihneodnorídnihnanoporistihseredoviŝsistemikompetitivnoídifuzíí
AT fressardž ídentifíkacíâkínetičnihparametrívmasoperenosuvskladovihbagatokomponentnihneodnorídnihnanoporistihseredoviŝsistemikompetitivnoídifuzíí
AT deinekavs identificationofkineticparametersofmasstransferincomponentsofmulticomponentheterogeneousnanoporousmediaofacompetitivediffusionsystem
AT petrikmr identificationofkineticparametersofmasstransferincomponentsofmulticomponentheterogeneousnanoporousmediaofacompetitivediffusionsystem
AT fressardž identificationofkineticparametersofmasstransferincomponentsofmulticomponentheterogeneousnanoporousmediaofacompetitivediffusionsystem
first_indexed 2025-11-26T00:09:51Z
last_indexed 2025-11-26T00:09:51Z
_version_ 1850594743435657216
fulltext Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ, Ì.Ð. ÏÅÒÐÈÊ, Æ. ÔÐÅÑÑÀÐÄ ÓÄÊ 519.6 ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐΠÌÀÑÑÎÏÅÐÅÍÎÑÀ  ÑÎÑÒÀÂËßÞÙÈÕ ÌÍÎÃÎÊÎÌÏÎÍÅÍÒÍÛÕ ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ ÍÀÍÎÏÎÐÈÑÒÛÕ ÑÐÅÄ ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÌÏÅÒÈÒÈÂÍÎÉ ÄÈÔÔÓÇÈÈ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, êîìïåòèòèâíàÿ äèôôóçèÿ, íà- ÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è, ìîäèôèöèðîâàííàÿ ñõåìà Êðàíêà–Íèêîëñîíà, èäåíòè- ôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ, ãðàäèåíòíûé ìåòîä, íåîäíîðîäíàÿ íàíîïîðèñòàÿ ñðåäà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Íîâûå òåîðåòè÷åñêèå ðàçðàáîòêè â îáëàñòè ñèñòåìíîãî àíàëèçà è ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñòåì ñîñòàâëÿþò áàçó äëÿ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé óïðàâëå- íèÿ íàó÷íûì ýêñïåðèìåíòîì è àíàëèçîì ñîñòîÿíèÿ ñëîæíûõ ôèçè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ê ÷èñëó ïîñëåäíèõ ìîæíî îòíåñòè ìíîãîêîìïîíåíòíûå ñèñòåìû êîìïåòèòèâíîãî ìàññîïåðåíîñà â íåîäíîðîäíûõ íàíîïîðèñòûõ ñðåäàõ, èçó÷åíèå êèíåòèêè êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ âàæíîé ïðîáëåìîé ñîâðåìåííîé íàíîôèçèêè è íàíîäèôôóçèè. Íåîäíîðîäíûå íàíîïîðèñòûå ñðåäû, øèðîêî èñïîëüçóåìûå â ðàçëè÷íûõ îòðàñ- ëÿõ èíäóñòðèè (ìåäèöèíà, íåôòåõèìèÿ, êàòàëèç, ðàçäåëåíèå æèäêîñòåé è ãàçîâ), ñî- ñòîÿò èç òîíêèõ ñëîåâ ÷àñòèö ðàçâåòâëåííîé ïîðèñòîé ñòðóêòóðû, îáëàäàþùèìè ðàçíûìè ôèçèêî-õèìè÷åñêèìè, â òîì ÷èñëå äèôôóçèîííûìè, ñâîéñòâàìè. Êàæ- äûé ñëîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîãîóðîâíåâóþ ñèñòåìó ïîð, èç êîòîðîé ìîæíî âûäåëèòü äâå íàèáîëåå ãëàâíûå ïîäñèñòåìû (ïðîñòðàíñòâà): ñèñòåìó ìèêðîïîð è íàíîïîð ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ àäñîðáöèîííîé âìåñòèìîñòè è íèçêîé ñêîðîñòüþ äèôôóçèîííîãî ïðîíèêíîâåíèÿ (intraparticle space) è ñèñòåìó ìàêðîïîð è ïîëîñòåé ìåæäó ÷àñòèöàìè ñ íèçêèì óðîâíåì âìåñòèìîñòè è âûñîêîé ñêîðîñòüþ ïðîíèêíî- âåíèÿ (interparticle space) [1–4]. Ìíîãî÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ, ïðîâîäèìûå â ýòîé îáëàñòè, îòíîñèëèñü, êàê ïðàâèëî, ê ìîëåêóëÿðíîìó òðàíñïîðòó îòäåëüíûõ âåùåñòâ â ïîðèñòîé ñðåäå, ãäå â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàëñÿ ìàññîïåðåíîñ íà ìàêðîóðîâíå áåç ñóùåñòâåííîãî âëèÿ- íèÿ îñîáåííîñòåé ìèêðî- è íàíîïåðåíîñà â ÷àñòèöàõ [1–8], ÷òî ÿâëÿåòñÿ ëèìèòèðóþ- ùèì è îïðåäåëÿþùèì ôàêòîðîì îáùåé êèíåòèêè. Ïðè ýòîì âàæíåéøèå ïðîáëåìû ìåæäóìîëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, èñõîäÿ èç ïðèíöèïà Ëåíãìþðà–Õèíøåíâóäà [4], èìåþùèå ìåñòî â ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ äèôôóçèîííîãî «ñîñòÿçàíèÿ» — êîìïåòè- òèâíîé äèôôóçèè äâóõ è áîëåå âåùåñòâ, ïðàêòè÷åñêè íå èññëåäîâàíû. Êàê ïîêàçûâàþò äàííûå ïîñëåäíèõ íàíîôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ [9–11], ôèçè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû êîìïåòèòèâíîé äèôôóçèè ïðàêòè÷åñêè íåñîïîñòà- âèìî ñ ïîäîáíûìè ðåçóëüòàòàìè äëÿ ñèñòåì ìîíîäèôôóçèè. Âàæíîé íàó÷íîé ïðîáëåìîé, âîçíèêàþùåé íàðÿäó ñ îïðåäåëåíèåì êîíöåíòðàöèîííûõ è ãðàäèåíò- íûõ ïîëåé äëÿ êàæäîãî äèôôóíäèðóåìîãî âåùåñòâà, åñòü èäåíòèôèêàöèÿ êèíå- òè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ïåðåíîñà, îïðåäåëÿþùèõ ñêîðîñòü ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà íà ìàêðî- è ìèêðîóðîâíÿõ, à òàêæå óñëîâèÿ èõ ðàâíîâåñèÿ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 45 © Â.Ñ. Äåéíåêà, Ì.Ð. Ïåòðèê, Æ. Ôðåññàðä, 2011  íàñòîÿùåé ñòàòüå íà îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé êîìïåòèòèâíîé äèô- ôóçèè â íåîäíîðîäíûõ íàíîïîðèñòûõ ñðåäàõ è ìåòîäîâ ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé [12–19], äàííûõ ýêñïå- ðèìåíòîâ [9, 11] ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêîå è ÷èñëåííîå ðåøåíèå ìîäåëè, îïèñûâà- þùåé íàíîïîðèñòóþ ñèñòåìó. Íà îñíîâå ðàçðàáîòàííîé òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñîñòîÿíèÿìè ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì [20–22], ñëåäóÿ [13, 23–26], îáîñíîâàíû ïîñòàíîâêè ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé êðàåâûõ çàäà÷ êîýôôèöèåíòíîé èäåíòèôèêàöèè, ðåàëèçîâàíà ãðàäèåíò-ïðîöåäóðà èäåíòèôèêà- öèè ïàðàìåòðîâ âíóòðåííåé êèíåòèêè ïåðåíîñà, ïîëó÷åíû ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷å- íèé êîýôôèöèåíòîâ êîìïåòèòèâíîé äèôôóçèè äëÿ âíóòðè÷àñòè÷íîãî ïåðåíîñà â íåîäíîðîäíîé íàíîïîðèñòîé ñðåäå. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÌÏÅÒÈÒÈÂÍÎÉ ÄÈÔÔÓÇÈÈ Ðàññìàòðèâàåìàÿ çäåñü ìîäåëü èìååò àíàëîãèþ ñ áèïîðèñòîé ìîäåëüþ [2–10, 13, 15]. Äàííàÿ ñèñòåìà ñëîæíîãî êîìïåòèòèâíîãî ìàññîïåðåíîñà äâóõ äèôôóíäèðóå- ìûõ ìåæäó ñîáîé êîìïîíåíòîâ â íåîäíîðîäíîé ñðåäå (êàòàëèòè÷åñêîì ëîæå) ÷àñòèö íàíîïîðèñòîé ñòðóêòóðû õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ âèäàìè ìàññîïåðåíîñà: äèôôóçèÿ â ïðîñòðàíñòâå ìàêðîïîð (ââèäó ïðîñòðàíñòâà ìåæäó ÷àñòèöàìè) è äèôôóçèÿ â ñèñòåìå ìèêðî- è íàíîïîð âíóòðè÷àñòè÷íîãî ïðîñòðàíñòâà. Íå- îäíîðîäíàÿ êàòàëèòè÷åñêàÿ îáëàñòü ïåðåíîñà ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà ( )n�1 òîíêèõ ñëîåâ, íàíîïîðèñòûõ ñôåðè÷åñêèõ ÷àñòèö, ðàñïîëîæåííûõ ïåðïåíäèêó- ëÿðíî ê íàïðàâëåíèþ âõîäíûõ ïîòîêîâ (ðèñ. 1). Ýòî ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ íåîäíîðîäíûõ òîíêèõ íàíîïîðèñòûõ îáðàçöîâ, îñîáåííî â ñëó÷àå äèôôóçèè ãàçà ïåðåä ñîñòîÿíèåì àäñîðáöèîííîãî ðàâíîâå- ñèÿ ñ ó÷åòîì ñèñòåìû ìíîãîèíòåðôåéñíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Êîìïåòèòèâíûé äâóõêîìïîíåíòíûé ïå- ðåíîñ îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç ïðîíèöàåìóþ ïîâåðõíîñòü ëîæà ÷àñòèö íàíîïîðèñòîé ñòðóêòóðû â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ: îñåâîì — â ïðîñòðàíñòâå ìàêðîïîð (oz — íàïðàâëåíèå âäîëü âûñîòû ëîæà, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïî- âåðõíîñòÿì ñëîåâ) è ðàäèàëüíîì — â ïðîñòðà- íñòâå ìèêðî- è íàíîïîð. Ýâîëþöèÿ ñèñòåìû â íàïðàâëåíèè ðàâíîâåñèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ãðàäèåíòàìè êîíöåíòðàöèé â ìàêðî-, ìèêðî- è íàíîïîðàõ ÷àñòèö (îò ïîâåðõíîñòè äî öåíòðà). Ìîëåêóëÿðíûé òðàíñïîðò äâóõ ñîâìåñò- íî äèôôóíäèðóåìûõ êîìïîíåíò â ñèñòåìå íàíîïîðèñòûõ ÷àñòèö (êðèñòàëëèòîâ) õàðàê- òåðèçóåòñÿ äâóìÿ âèäàìè ñîâìåñòíîãî ìàññî- ïåðåíîñà: êîìïåòèòèâíàÿ äèôôóçèÿ â ìàêðî- ïîðàõ âñëåäñòâèå ïðîñòðàíñòâà ìåæäó êðèñ- òàëëèòàìè (intercrystallite competitive diffusion) è êîìïåòèòèâíàÿ äèôôóçèÿ â ñèñ- òåìå ìèêðî- è íàíîïîð âíóòðè êðèñòàëëèòîâ (intracrystallite competitive diffusion). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âëèÿíèÿ êàæäîãî ðàññìàòðèâàå- ìîãî âèäà äèôôóçèè íà ñèñòåìó îáùåãî ñîâìåñòíîãî êîìïåòèòèâíîãî ìàññîïåðå- íîñà, â òîì ÷èñëå èõ âçàèìîâëèÿíèå íà ìàêðî- è ìèêðîóðîâíå, íåîáõîäèìî çíàòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, ëèìèòèðóþùèå ìîëåêóëÿðíûé òðàíñïîðò è óñëîâèÿ 46 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 z 0 Á åí çî ë à åê ñà í Ãàçîâàÿ ôàçà lk � 1 lk ln � 1 � 1 Ðèñ. 1. Ñõåìà äâóõóðîâíåâîãî êîìïåòè- òèâíîãî ìàññîïåðåíîñà â íåîäíîðîäíîé n-èíòåðôåéñíîé íàíîïîðèñòîé ñðåäå ñôåðè÷åñêèõ ÷àñòèö ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 47 àäñîðáöèîííîãî ðàâíîâåñèÿ íà ìàêðî- è ìèêðîóðîâíÿõ. Òàêèìè îïðåäåëÿþùèìè ïàðàìåòðàìè, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè, ïî- ëó÷åííûå íà îñíîâàíèè ñèñòåìíîãî âèäåíèÿ êèíåòèêè êîìïåòèòèâíîé äèôôóçèè. Ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëè êîìïåòèòèâíîãî ïåðåíîñà èñïîëüçóåòñÿ ñèñòåìíûé ïîäõîä, ñîñòîÿùèé â äåêîìïîçèöèè ñëîæíîé êîìïåòèòèâíîé äâóõêîìïîíåíòíîé äèôôóçèè D íà áîëåå ïðîñòûå è áîëåå èçó÷åííûå ìîäåëè (ìîíîäèôôóçèè) ñ èõ äàëüíåéøåé êîìïîçèöèåé äëÿ ïîëó÷åíèÿ îáùåé õàðàêòåðèñòèêè êîìïåòèòèâíîé äèôôóçèè. Ñîãëàñíî ïðåäëîæåííîé ñõåìå ñíà÷àëà ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîíîäèôôó- çèÿ îäíîãî êîìïîíåíòà áåç ó÷åòà îñòàëüíûõ êîìïîíåíòîâ (íàïðèìåð, ïåðâîãî äèôôóíäèðóåìîãî êîìïîíåíòà (áåíçîëà)).  ìàòðèöàõ êîýôèöèåíòîâ äèôôóçèè â ìèêðîïîðàõ ÷àñòèö [ ]D ijinter , [ ]D ijintra , i j, ,�1 2, ýòî ïðåäïîëîæåíèå ó÷èòûâà- åòñÿ ñîñòàâëÿþùèìè Dinter 11 , Dintra 11 . Àíàëîãè÷íà ñèòóàöèÿ îòíîñèòåëüíî ìàê- ðîóðîâíÿ. Äèôôóçèÿ â ýëåìåíòå ïîðèñòîé ñðåäû âòîðîãî äèôôóíäèðóåìîãî êîì- ïîíåíòà (ãåêñàíà) ïðè íàëè÷èè ïåðâîãî îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòàâëÿþùèìè ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè Dintra12 . Àíàëîãè÷íà ñèòóàöèÿ îòíîñèòåëüíî äèôôóçèè âòîðîãî êîìïîíåíòà ïðè íàëè÷èè ïåðâîãî. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îòäåëüíîãî ýëå- ìåíòà ïîðèñòîé ñðåäû êîìïåòèòèâíàÿ äèôôóçèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé èç ÷åòû- ðåõ êîìïîíåíòîâ êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè: D D D D D intra intra intra intra intra � � � � � 11 12 21 22 . Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñèñòåìû êîìïåòèòèâíîãî ìàññîïåðåíîñà â íåîäíî- ðîäíîé íàíîïîðèñòîé ñðåäå ñ ó÷åòîì óêàçàííûõ ôèçè÷åñêèõ ôàêòîðîâ ìîæåò áûòü îïèñàíà êàê íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íà îáëàñòÿõ � �m mT T� �( , )0 (� m m ml l� �( , )1 , m n� �1 1, , l l0 10� � � � ��l ln 1 ) êîíöåíòðàöèè U t z m1 ( , ) , U t z m2 ( , ) ñ ó÷åòîì [5, 7] óäîâëåòâîðÿ- þò ñèñòåìå óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ � � � � � � � � �t U t z U t z z D D D m m m m1 2 11 12 ( , ) ( , ) inter inter inter inter21 22 1 2 m m m m D z U U � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �m R D D D D m m m m intra intra intra intra 11 12 21 22 r q t r z q t r z m m r R 1 2 ( , , ) ( , , ) , � � � � � (1) ( , , ) ( , ) ( , ) , ,t r z T R m nm� � � � �0 0 1 1� , ãäå R l l m m m � �min( )1 , R — äèàìåòð ñôåðè÷åñêèõ ìèêðîïîðèñòûõ ÷àñòèö ñî- îòâåòñòâóþùåé îáëàñòè � m . Äëÿ êàæäîé ïîðèñòîé ìèêðî÷àñòèöû ðàäèóñà R c öåíòðîì â òî÷êå z m�� ïðè t T�( , )0 êîíöåíòðàöèè q t r z m1 ( , , ), q t r z m2 ( , , ) äèôôóíäèðóþùåé äâóõêîìïî- íåíòíîé ñìåñè èìååò ìåñòî ñèñòåìà óðàâíåíèé äèôôóçèè � � � � � � � t q t r z q t r z r D D m m m1 2 2 1 11 12 ( , , ) ( , , ) intra intra m m m m m D D r r r q qintra intra21 22 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �, ( , )r R0 . (2) Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ cîñòàâëÿþò U t z U t z z m nm m t m 1 2 0 0 1 1 ( , ) ( , ) , , , � � � � � � � � � � , q t r z q t r z r R z m nm m t m 1 2 0 0 0 1 ( , , ) ( , , ) , ( , ), , , � � � � � � � � � � �1. (3) Êðàåâûå óñëîâèÿ ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé r äëÿ q q q � � � � � 1 2 : D D D D r q m m m m m intra intra intra intra 11 12 21 22 1� � � � � � � ( , , ) ( , , ) , , , , ( , ) t r z q t r z z m n t T m r m 2 0 0 1 1 0 � � � � � � � � � � � , q t r z q t r z k k U t z m m m r R 1 2 1 2 10 0 ( , , ) ( , , ) ( ,� � � � � � � � � � � ) ( , ) , , , , ( , ) U t z z m n t T m m 2 1 1 0 � � � � � � � �� , (4) âòîðîå ðàâåíñòâî âûðàæàåò óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ. Êðàåâûå è èíòåðôåéñíûå óñëîâèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òîíêèìè ñëîÿìè ìèêðîïîðèñòûõ ÷àñòèö ñ ó÷åòîì [22, 27] ïî z äëÿ U U U � � � � � 1 2 ñëåäóþùèå: D D D D z U m m m m inter inter inter inter 11 12 21 22 11� � � � � � � ( , ) ( , ) , t z U t z z2 02 0 � � � � � � (5) U t z U t z U t U t tn n z l l l 1 2 1 2 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) , ( , � � � � � � � � � � � T ), [ ( , ) ( , )] , ,U t z U t z ss s z lm m m � � � � �1 0 1 2, D z U t z U t z D z U m m m m m z l inter inter � � � � � � � � � � � 1 2 1 ( , ) ( , ) 1 2 1 1 0m m m t z U t z z l � � � � � � � � ( , ) ( , ) , (6) m n t T� �1 0, , ( , ), ãäå D D D D Dm m m m m inter inter inter inter inter � � � � � � 11 12 21 22 . Ñèñòåìà (1), (2) ñîñòîèò èç äâóõ âçàèìîñâÿçàííûõ ïîäñèñòåì. Ïîäñèñòåìà (1) îïèñûâàåò äâóõêîìïîíåíòíûé ìàññîïåðåíîñ â ìåæäó÷àñòè÷íîì ïðîñòðàíñòâå ñ òå- êóùèìè êîíöåíòðàöèÿìè U U1 2, . Ïîäñèñòåìà (2) îïèñûâàåò âíóòðè÷àñòè÷íûé ìàññîïåðåíîñ êîìïîíåíòîâ â ìèêðî- è íàíîïîðàõ ÷àñòèö ñ òåêóùèìè êîíöåíòðà- öèÿìè q q1 2, . Ñâÿçü ìåæäó êîíöåíòðàöèÿìè U U1 2, è q q1 2, îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ ñèñòåìû (1) è óñëîâèÿìè (4), îïèñûâàþùèìè àäñîðáöèîííûå ðàâíîâåñèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ÷àñòèö [12]. Îòìåòèì, ÷òî � � �m m m� �3 1( ) / , ãäå �m — ïîðèñ- òîñòü m-ãî ñëîÿ. Âûáîð ôóíêöèîíàëà-íåâÿçêè. Ñ÷èòàåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè Dinter , Dintra çàäà÷è (1)–(6) íåèçâåñòíû. Îäíàêî íà ïîâåðõíîñòÿõ îáëàñòåé � m m� � , m n� �1 1, , íåîäíîðîäíîé ñðåäû èçâåñòíû ñëåäû ðåøåíèé (êîíöåíòðàöèé) U t z f t z q t z g t z ss s s sm m m m m m m m ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , , � � � � � � �1 2, (7) ãäå q t z R q t r z drs s R m m ( , ) ( , , )� � 1 0 — óñðåäíåííîå çíà÷åíèå êîíöåíòðàöèè s-ãî äèô- ôóíäèðóåìîãî êîìïîíåíòà âåùåñòâà â ìèêðîïîðàõ ÷àñòèöû, ñîñðåäîòî÷åíîé â òî÷êå r R� / 2. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíà çàäà÷à (1)–(7), ñîñòîÿùàÿ â íàõîæäåíèè ôóíêöèé D Dmintrasp , � , D Dmintersp , � , ãäå D t z C m n mT Tm� � � � �{� � �( , ) : | ( ) , , , ,� � 0 1 1 s p, ,�1 2}. 48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 49 Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêó, îïðåäåëÿþùèé âåëè÷èíó îòêëîíåíèÿ èñêîìîãî ðåøå- íèÿ îò ñëåäîâ ðåøåíèÿ (ïîëó÷åííûõ ýìïèðè÷åñêèì ïóòåì) íà ïîâåðõíîñòÿõ � m , çàïèøåì â âèäå J D D J D Ds s ( , ) ( , )inter intra inter intrasp sp sp sp � � � 1 2 , J D D U z Ds m n T sm ( , ) ( || ( , ,inter intra intesp sp � � � � � 1 2 1 1 0 � r intrasp sp , ) || ( ) D f s Lm m � � 2 2 � � �| | ( , , , ) || ) ( ) q z D D g ds sm Lm m � � �inter intra 2 2 , ãäå || || ( ) � � � � � L m m m d 2 2 2� � — êâàäðàò íîðìû.  äàííîì ñëó÷àå || || ( )� �L m2 � � �| ( , )|� �t z z m . Ñ÷èòàåì, ÷òî â òî÷êå r R� / 2 èçâåñòíû êîíöåíòðàöèè q t R q ts s( , / ) ( )2 � , s �1 2, ; t T�( , )0 . Ôóíêöèîíàë-íåâÿçêó çàïèøåì â âèäå J u q u t R q t dt s T s s( ) ( ( ; , / ) ( ))� � � � � 1 2 2 1 2 0 2 , (8) ãäå u R R D u� � � �� � �� �� � 4 0, ( , ), intra . ÎÄÍÎÐÎÄÍÀß ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒΠÄÈÔÔÓÇÈÈ D intra  îäíîðîäíîé ïîñòàíîâêå çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ Dintra êîìïå- òèòèâíîé äèôôóçèè áóäåò îïèñàíà â ñëåäóþùåì âèäå. Ðàññìàòðèâàåòñÿ îäíî- ðîäíàÿ îáëàñòü ïåðåíîñà � �T T� �( , )0 ( ( , ), )� � � �l l l l0 0 0 . Äëÿ êàæäîé ïîðèñòîé ìèêðî÷àñòèöû ðàäèóñà R c öåíòðîì â òî÷êå z�� ïðè t T�( , )0 êîí- öåíòðàöèè q t r z q t r z1 2( , , ), ( , , ) äèôôóíäèðóþùåé äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñè èìååò ìåñòî ñèñòåìà óðàâíåíèé äèôôóçèè � � � � � � � � � � � � � � � t q t r z r r r D r q r R t( , , ) , ( , ), ( , 1 0 0 2 2 intra T ). (9) Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ñîñòàâëÿþò q t r z r R z t ( , , ) , ( , ), � � � � 0 0 0 � . (10) Êðàåâûå óñëîâèÿ îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé r D r q t r z t T r intra � � � � � ( , , ) , ( , ) 0 0 0 , (11) q t r z k f z t T r R ( , , ) , , ( , ) � � � � �� 0 , âòîðîå ðàâåíñòâî âûðàæàåò óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ; k f, — èçâåñòíû. Çäåñü q q q � � � � � 1 2 , D D D D D k k intra intra intra intra intra � � � � � �11 12 21 22 1, 0 0 2k � � � � . Ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (9)–(11), ïîëó÷àåìîãî àíàëèòè- ÷åñêè ñ ïîìîùüþ îïåðàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ Õåâèñàéäà â èçîáðàæåíèè ïî Ëàïëà- ñó [28] äëÿ ôóíêöèé q p r z L q q t r z e dti i i pt k * ( , , ) [ ] ( , , )� � � � � 0 , i �1 2, , èìååì � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 11 12 21 2r r r D D D D intra intra intra intra 2 1 2 1 2 0 � � � � � � � � � � � � � � q p r z q p r z p q q * * * * ( , , ) ( , , ) (12) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè D D D D r q p r zintra intra intra intra 11 12 21 22 1 � � � � � � * ( , , ) ( , , )*q p r z r2 0 0 � � � � � � , (13) q p r z q p r z k f k f z r R 1 2 1 1 2 2 * * * * ( , , ) ( , , ) , � � � � � � � � � � � � �� . Èñïîëüçóÿ â êðàåâîé çàäà÷å (12), (13) çàìåíó ïåðåìåííûõ q R r Qi i� � �1 , i �1 2, , ïîëó÷àåì çàäà÷ó D d dr p D D D d dr p intra intra intra intra 11 12 21 22 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � Q Q 1 2 0 * * , (14) D r r dQ dr Q D s s r intra intra1 2 1 2 1 1 0 * *� � � � � � � � � � � � � � � � 1 0 2 2 2 0 r r dQ dr Q r * *� � � � � � � � � � � � � � � � , Q p r z Q p r z k f k f z r R 1 2 1 1 2 2 * * * * ( , , ) ( , , ) , � � � � � � � � � � � � �� . (15) Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè óñëîâèè D D D Dintra intra intra intra11 22 12 21 0� � ñèñòå- ìà (14) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ïàðàáîëè÷åñêîé ïî Ïåòðîâñêîìó [29]. Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ñèñòåìû (14) ê äèàãîíàëüíîìó âèäó è ïîëó÷åíèÿ äèôôå- ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ( ) * D D D D d dr intra intra intra intra11 22 12 21 4 4 � � � � � � �( ) * *D D p d dr pintra intra11 22 2 2 2 0 � � , (16) îáùèì ðåøåíèåì êîòîðîãî åñòü ôóíêöèÿ � � �* ( , , ) ( , ) ( , )p r z C p z pr C p z pr� � �1 1 2 1ch sh � �C p z pr C p z pr3 2 4 2( , ) ( , )ch sh� � , íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (14) â âèäå Q p r D D d dr p p Ei is s * * *( , ) ( ) (� � � �intra intra intra 2 1 2 2 1 � � [ ]C pr C pr1 1 2 1ch sh� �� � � � � � � � � � E C pr C pr i s si2 3 2 4 2 1 2 2 1 intra ch sh[ ]), , , , . � � (17) Çäåñü E D Dij j intra intra intra2s 1s � � �( )� 2 1, i s s � � � � � � 1 2 2 1 , , , , j �1 2, , � 1 2 1 2, , /� p, ãäå 1 2 2 11 22 11 22 4 , ( ) [( ) � � � �D D D D Dintra intra intra intra intra intra intra intra intra int 12 21 11 22 12 1 2 2 D D D D D ] ( / � ra21 ) p ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ( ) (D D D D D Dintra intra intra intra intra i11 22 12 21 11 4� � � ntra 22 2 2 0)p p � � . (18) 50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 Óñëîâèÿ íà ãðàíèöå r � 0 (15) ïîðîæäàþò àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé B C B C 11 1 12 3 intra intra� � � � � � �( ) (D E D E C D Eintra intra intra intra intra11 12 1111 21 1 12 22 2 21 1 22 12 0intra intra intra intra intra � � � � � D E C B C B ) , C3 � (19) � � �( ) (D E D E C D Eintra intra intra intra intra21 22 2111 21 1 12 22 222 0intra intra intra� �D E C) , ãäå B D E D Eij j ji i intra intra intra intra intra� � � � 1 21 2 . Ëåììà 1 (îá óñëîâèè ðàçðåøèìîñòè ñèñòåìû (19) è îïðåäåëåíèè êîýôôèöè- åíòîâ C C1 3, ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (14), (15)). Ñèñòåìà (19) èìååò åäèíñòâåí- íîå ðåøåíèå, åãî ñîñòàâëÿþùèìè ÿâëÿþòñÿ C C1 3 0� � . Äîêàçàòåëüñòâî. Óñòàíîâèì óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ñèñòåìû (19), íàéäÿ åå îïðåäåëèòåëü ! � �( )(D E D E D Eintra intra intra intra intra i 11 12 2111 21 12 ntra intra intra� �D E 12 22 ) � �( )(D E D E D Eintra intra intra intra intra in 21 22 1112 21 12 tra intra intra� �D E 12 22 ) � � �[D D E E D Dintra intra intra intra intra intra11 21 1111 12 22 11 22 � �E Eintra intra � � �D D E E D Dintra intra intra intra intra intra12 21 12 212 21 2 21 22 � �E Eintra intra ] � � �[D D E E D Dintra intra intra intra intra intra11 21 1111 12 22 12 21 � �E Eintra intra � � �D D E E D Dintra intra intra intra intra intra12 21 12 211 22 2 21 22 � �E Eintra intra ] � �( )(D D D D E Eintra intra intra intra intra in 11 22 12 21 11 22 tra intra intra�E E 12 21 ), èëè èç ïðåäñòàâëåíèÿ Eij intra ïîëó÷èì ! � � �( )[ ([D E D E D Dintra intra intra intra intra11 12 2211 21 intra intra intra12 11 211 2 1] )([ ]� � � �D D � � � � � �� � 2 2 2 21 1 22 12 11 ) ([ ] )([D D D Dintra intra intra intra21 1 2 1] )]� � . (20) Ïîäñòàâèâ â (20) çíà÷åíèÿ �1 2, è ñîîòâåòñòâåííî çíà÷åíèÿ êîðíåé 1 2, õà- ðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (16), ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ! � � � �(( ) ( ))[(D D D D Dintra intra intra intra intr11 22 12 21 a intra11 22 2� �D ) � "�4 0 12 21 1D Dintra intra ] . (21) Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà (19) èìååò òîëüêî åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ãäå C C1 3 0� � , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.  ðåçóëüòàòå ñòðóêòóðà ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (14), (15) ïðèíèìàåò âèä Q p r pE pr C pE pr Ñ1 11 1 2 12 2 4 * ( , ) ( ) ( )� �intra intrash sh� � , (22) Q p r pE pr C pE pr Ñ i2 21 1 2 22 2 4 * ( , ) ( ) ( ) ,� �intra intrash sh� � �1 2, . Óñëîâèÿ íà ãðàíèöå r R� äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ êîíñòàíò èíòåãðèðî- âàíèÿ C C2 4, äàþò àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ( ) ( ) ( , ),*E pR C E pR C k p f p z 11 1 2 12 2 4 1 1 intra intrash sh� �� � ( ) ( ) ( , ).*E pR C E pR C k p f p z 21 1 2 22 2 4 2 2 intra intrash sh� �� � � � # # � # # (23) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 51  ðåçóëüòàòå îäíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû (23) (îïðåäå- ëèòåëü îòëè÷íûé îò íóëÿ) è ïîäñòàíîâêè âû÷èñëåííûõ çíà÷åíèé C C2 4, â ðàâåí- ñòâà (22) ïîëó÷àåì åäèíñòâåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (14), (15) Q p r z E E pr pR E E 1 11 22 1 1 12* ( , , ) � � intra intra intra sh sh! � � 21 2 2 1 1 intra sh sh! � � pr pR k f � � � � � �* � � � � � � � E E pr pR pr pR 11 22 1 1 2 2 intra intra sh sh sh sh! � � � � k f2 2 * , (24) Q p r z E E pr pR pr 2 21 22 1 1 2* ( , , ) � � intra intra sh sh sh sh! � � � � 2 1 1 pR k f � � � � � �* � � E E pr pR E E 12 21 1 1 11 22 intra intra intra intra sh sh sh ! ! � � � � 2 2 2 2 pr pR k f sh � � � � � * . Ïåðåõîä ê îðèãèíàëàì. Äëÿ âûïîëíåíèÿ ïåðåõîäà ê îðèãèíàëàì ðàññìî- òðèì ôóíêöèþ $ j j j p r pr pR * ( , ) � sh sh � � , j �1 2, . Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ [28] îðèãè- íàëà ôóíêöèè èìååì $ j j j t r L pr pR ( , ) � � � � � � ��1 sh sh � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 1 2 0 0 0 0 � � � � � � i pr pR e dp i i i j j pt i i sh sh � � � sin sin i p r i p R e dp j j pt� � . Îáîçíà÷èì i p � � , òîãäà òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå sin �� j R � 0 èìååò êîðíè � � j j n n R � , j �1 2, , n � �0, , n � �1, . Çäåñü òî÷êè pjn jn � ��2 ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè ïîëþñàìè äëÿ ôóíêöèè $ j * . Íà îñíîâàíèè îáîáùåííîé òåîðåìû ðàçëî- æåíèÿ Õåâèñàéäà [19, 28] èìååì $ j j p p p t n t r i n R r d dp pR e jn jn( , ) ( )sin � � � � �� � � �� � � � � �sh1 2 2 1 2 1 2 2 2 2� � � � � � � � � � � � � � � j n n n R t R ne n r R j( ) sin . Ñîãëàñíî ôîðìóëå (24) ïîëó÷àåì q t r z q t r z t r t r t 1 1 0 11 12( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )� � � � � � � � � � � � � � 21 22 1 1 2 2( , ) ( , )t r t r k f k f R r� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� d�, (25) �11 11 22 1 12 21( , ) ( , )t r E E t r E E � � intra intra intra intra ! $ ! $2 ( , )t r � � � � � , �12 12 21 1 2( , ) [ ( , ) ( , )]t r E E t r t r� � intra intra ! $ $ , �21 12 22 1 2( , ) [ ( , ) ( , )]t r E E t r t r� � intra intra ! $ $ , 52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 �22 12 21 1 11 22( , ) ( , )t r E E t r E E � � intra intra intra intra ! $ ! $2 ( , )t r � � � � � . Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ôóíêöèè f jj , ,�1 2, íå çàâèñÿò îò ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîëó÷àåì q t r z E E t r E E 1 11 22 1 12 21( , , ) ( , )� � intra intra intra intr ! � a ! �2 1 1( , )t r k f � � � � � � � � �� � � � � � � � E E t r t r k f R r 11 12 1 2 2 2 intra intra ! [ ( , ) ( , )]� � , (26) q t r z E E t r t r k2 12 22 1 2( , , ) [ ( , ) ( , )]� � � � � � � intra intra ! � � 1 1f � � � E E t r E E t r12 21 1 11 22 2 intra intra intra intra ! ! � �( , ) ( , ) � � � � � � � � � � k f R r 2 2 , ãäå � j j t n n n t r t r d n e j( , ) ( , ) ( )� � � � � � � �� � � � � $ � � � 0 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 R t n r R j � � � � � � � �sin , , .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèîíàë-íåâÿçêà èìååò âèä J D q R D g ds s s T s ( ) ( ( , / , ) )intra intrasp sp � � � �� 1 2 2 2 1 2 0 � �. (27) Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ïðèðàùåíèé. Ñ ó÷åòîì ïðèðàùå- íèé êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè D Dn n intra intra � ! , ãäå ! ! ! ! ! D D D D D n n n n nintra intra intra intra intra 11 12 21 22 � � � � � � — ìàòðèöà ïðèðàùåíèé, íà îñíîâàíèè çàäà÷è (8)–(11) ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå ïðè- ðàùåíèÿ äëÿ êîíöåíòðàöèé q . Ñëåäóÿ [25], ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿä- êà ìàëîñòè, â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå z�� äëÿ ïðèðàùåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó: � � � � � � � � � � � � � � t t r z r r r D r n ( , , ) 1 2 2 intra � � � � � � � � � � � � � 1 0 0 2 2 r r r D r q r R t Tn! intra , ( , ), ( , ) . (28) Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ cîñòàâëÿþò ( , , ) , ( , ),t r z r R z t� � � � 0 0 0 � . (29) Êðàåâûå óñëîâèÿ ïî ïåðåìåííîé r îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè D r D r q t Tn r n r r Rintra intra � � � � � � � � � � � 0 0 0 0! , , ( , ). (30) Äëÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (28)–(30) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îáîáùåííîå ðåøåíèå. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 53 Îïðåäåëåíèå 1. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (28)–(30) íà- çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ( , ) ( , ; )t r L T V� 2 0 , êîòîðàÿ % �w r V( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì r t w dr a w l w t T R 2 0 0 � � � � �� ( , ) ( ), ( , ), t r R � � � 0 0 0, ( , ), (31) r R t T � � �0 0, ( , ), ãäå V t r W R t R t T� � � �{ }� � �( , ) : ( (( , ))) , ( , ) , ( , ) 2 1 20 0 0 , V r W R R0 2 1 20 0� � �{ }� �( ) ( (( , ))) : ( ) , a w r D r w r dr l w r r Dn R n( , ) , ( ) � � � � � � � � � � 2 0 2 intra intra ! q r wdr R � � � � � � �� 0 . Ñîïðÿæåííàÿ çàäà÷à. Ñëåäóÿ [25, 30], ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îáîçíà÷åíèÿ � � �( , ) ( ( ) ( ), ( ) ( ))u Y u Y u Y Y un n� � � , (32) L g Y u Y Y un n( ) ( ( ), ( ) ( ))� � �� � � , ãäå % � � �� � R 4 èìååì Y q t R( ) ( ; , / )� �� 2 , un ��, u Dn n� intra , ( , )� � � �� � �� 0 T dt , � �� � { }i i t( ) 1 2 , � �� � { }i i t( ) 1 2 , � � � �� � � � i i i 1 2 , g g ts s � � { }( ) 1 2 . Ñ ó÷åòîì (32) % �� � èìååì 2 2 0 2J L g Y( ) ( , ) ( ) || ( ) ||� � � � �� � � � . (33) Ïóñòü è èï ï� �! � . Òîãäà % �� ( , )0 1 èìååì u un n� ��! �. Ñ ó÷åòîì çàäà÷ (9)–(11), (28)–(30) èìååì y u u t r u t r t rn n n( ; , ) ( ; , ) ( , )� & �� � ! , (34) ãäå y u t r t rn( ; , ), ( , ) — ðåøåíèÿ çàäà÷ (9)–(11), (28)–(30) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ñ ó÷åòîì (33), (34) ïîëó÷àåì ' � � � & � ( �J u J u u J u Y u g Y uu n n n n n nn , lim ( ) ( ) ( ( ) , ~ ( )! ! � � �0 1 �Y un( )) ,� (35) ãäå ~ ( ) ~ ( ; , / ) ( ; , / ) ( , / )Y u y u t R y u t R t Rn n n� �� � �1 1 2 2 2 , 'Jun — ãðàäèåíò ôóíê- öèîíàëà J u( ) â òî÷êå u u Dn n� � � intra �. Ñëåäóÿ [25], ñ ó÷åòîì (35) ñîïðÿæåííàÿ çàäà÷à ïðèìåò âèä � � � � � � � � � � � � � � � � � � t r r r D r r t Tn d 1 0 0 2 2 ( ) , , ( , ) intra T � , [ ] , ( , ) / � r R t T � � � 2 0 0 , ( ) ( ( ; , / ) ( )), / D r r q u t R g t tn r R nintra T � � � � � � � � � � � 2 2 1 2 �( , )0 T , (36) 54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 � � � � � � � � ( ) , , ( , )D r t Tn r r Rintra T � � 0 0 0 0 , � t T dr � � �0, � , ãäå � d R R R� )( , / ) ( / , )0 2 2 , [ ] ( , / ) ( , / ) / � � � r R t R t R � � � � � 2 2 0 2 0 , u Dn n� intra . Âìåñòî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (36) áóäåì èñïîëü- çîâàòü åå îáîáùåííîå ðåøåíèå. Îïðåäåëåíèå 2. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (36) íàçûâà- åòñÿ ôóíêöèÿ �( , ) ( , ; )t r L T Vd� 2 0 , êîòîðàÿ % �w r Vd( ) 0 óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì � � � � � �� r t wdt a w q D t R g t w R T n2 0 2 2 � �( , ) ( ( ; , / ) ( )) ( / ) intra , ( , )t T� 0 , (37) � � r R t T dt T t r r � � � � � �0 0 0, ( , ), ( , ) , � . (38) Âûáèðàÿ â òîæäåñòâå (37) âìåñòî ôóíêöèè w ðàçíîñòü ~( ; , ) ( ; , )y u t r y u t rn n� �1 , ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ñ ó÷åòîì (35), (31), (38) ïîëó÷àåì ' & � �J D y D t R g t y Du n n n n , ( ( ; , / ) ( ))(~ (! intra intra intra 2 1 ; , / ) ( ; , / ))t R y D t R dtn T 2 2 0 � �� intra � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � t dt a dt r r D q r T T R n 0 0 0 2( , ) ! intra � drdt T 0 � . (39) Ñëåäîâàòåëüíî, ' &Ju nn ~� , (40) ãäå ~ ~ , � �n ij n i j � � { } 1 2 , ~ � �ii n i i RT r r q r drdt� � � � � � � � � � ��� 2 00 , i �1 2, ; ~ � �ij n j i RT r r q r drdt� � � � � � � � � � � � ��� 2 00 ïðè i j" , i j, ,�1 2. Ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è. Äëÿ ðåøåíèÿ ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (36) èñ- ïîëüçóåì àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû. Äëÿ ýòîãî çàäà÷ó (36) ïåðåïèøåì â ýêâèâàëåíò- íîì âèäå � � � � � � � � � � � � � � t t r z r r r D r n� �( , , ) ( ) 1 2 2 intra T � � � � � � �� ( ) ( / ), ( , ), , ( , )/ q g r r R r R z t Tr R 2 2 2 0 0� � , (41) �( , , ) , ( , ),t r z r R z t T� � � �0 0 � , � � � � � � � � � ( ) ; , ( , ),D r t T zn r r Rintra T � � 0 0 0 0 � . Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ïðÿìîé çàäà÷è â ñîïðÿæåííîé çàäà÷å èñïîëüçîâà- íà òðàíñïîíèðîâàííàÿ êîýôôèöèåíòíàÿ ìàòðèöà D D D D Dintra intra intra intra intra T 11 21 12 22 � � � � � . Ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (41) (êàê è ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è) ïîëó÷àåì àíàëèòè÷åñêè ñ ïîìîùüþ îïåðàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ Õåâèñàéäà, ïðåäâàðèòåëüíî ïåðåéäÿ ê íîâîé âðåìåííîé ïåðåìåííîé � � �T t .  èçîáðàæåíèè ïî Ëàïëàñó [28] äëÿ ôóíêöèé � � � �� i i i p k p r z L q r z e d* ( , , ) [ ] ( , , )� � � � � 0 , i �1 2, , çàäà÷à (41) èìååò âèä ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 55 p r r r D D D � � 1 2 2 2 2* * � � � � � � � � � � � � � � � � � � intra intra11 21 intra intra12 22 D p r z p r z g� � � � � � � � � � � 1 2 1 * * ( , , ) ( , , ) * *g2 � � � � , (42) ãäå g q g r R r R � � � � � ( ) ( / ) /2 2� , ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè ïî r � � � � � � � � D D D D r n n n n intra intra intra intra 11 21 12 22 1� * * ( , , ) ( , , ) p r z p r z r � 2 0 0 � � � � � � , � � 1 2 0 * * ( , , ) ( , , ) p r z p r z r R � � � � � � , z�� . (43) Ïðèìåíèâ ê êðàåâîé çàäà÷å (42), (43) çàìåíó � i iR r i� � ��1 1 2* , , , ïîëó÷èì çàäà÷ó D d dr p D D D d dr p intra intra intra intra 11 21 12 22 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � * * 1 2 1 2 * * * * g g , D r r d dr D s s r intra intra2 1 1 2 1 1 0 * * * *� � � � � � � � � � � � � � � � 1 0 2 2 2 0 r r d dr r * * * * ,� � � � � � � � � � � � � � � � (44) * * �1 2 0 * * ( , , ) ( , , ) , p r z p r z z r R � � � � � � � . Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû çàäà÷è (44) ê äèàãîíàëüíîìó âèäó, ñîñòîÿùåé èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ( ) * D D D D d w dr intra intra intra intra11 22 12 21 4 4 � � � � � � �( ) ( , ), , * * *D D p d w dr p w G p r iiintra intra11 22 2 2 2 1 2, (45) ïîëó÷àåì ðåøåíèå *i i i R ip r w p r p r G p d* * * * * *( , ) [ ( , )] ( , , ) ( , )� � � � ��� � � 0 � � � � � , (46) ãäå �i D D r p ss is * ( )� � � � �intra intra 2 2 , G p D r p g D r gi iss si * *( , )� � � � � � � � � � � � � � � � intra intra 2 2 2 2 s i s i i * , , ; , , , , � � � � � � � 1 2 2 1 1 2 � * ( , , )p r � — ôóíäàìåíòàëüíàÿ ôóíêöèÿ Êîøè âèäa [19] � � � * * *( , , ) sin , , p r C pr C pr r R C� � � � � � � � � � 2 1 1 4 1 2 1 2 0sh ch sh� � � � � 1 2 2 1 3 2 2 4 2 2 0 pr C pr C pr C pr r R � � � � � � cos sin , . ## � # # (47) Çäåñü íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû C k s k s , , , ,� �1 4 1 2, îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé, ó÷è- òûâàþùèõ õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ ôóíêöèè Êîøè âíóòðè îáëàñòè � � * *( , , ) ( , , )p r p r r r � � � �� � � � � � 0 0 0, � � � � � � � � � �r p r r p r r r � � * *( , , ) ( , , )� � � �0 0 0, (48) � � � � � � � � � � 2 2 0 2 2 0 0 0 r p r r p r r r � � * *( , , ) ( , , )� � � � , 56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 57 � � � � � � � � � � 2 2 0 3 4 0 1 r p r r p r r r � � * *( , , ) ( , , )� � � � , è íà ãðàíèöàõ îáëàñòè [19] D r r d dr r s r r Rintra 1 1 1 0 0 2 0 2 2 � � � � � � � � � � � � � � �� � � � * *, , � * , ( , ), . r R r R z � � � �0 0 � (49) Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (47) â ïåðâîå êðàåâîå óñëîâèå, ïîëó÷àåì C 1 1 0� , C 3 1 0� . Èç ÷åòûðåõ óñëîâèé (48), ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷àåì C p p C p 1 2 1 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 1 2 2 2 3 1 1 � � � � � �� � � � � � � �( ) ( ), ( )/ / sh 2 2sin ( ),� �p (50) ( ) ( ) ( ) / C C p p 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 2 1 1 � � �� � � � �ch , (51) ( ) ( ) cos ( ) / C C p p 4 2 4 1 2 1 2 2 2 3 2 2 1 � � � �� � � � � . Âòîðûå êðàåâûå óñëîâèÿ (49) (ïðè r R� ) ñ ó÷åòîì (50) äàþò âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü C C 2 2 4 2, : sh M( ) sin ( ) ( ( ) )/ � � � � � 1 2 2 2 4 2 3 2 1 2 1 2 2 1 1 1 pR C pR C p k k � � � � � k k * � � 1 2 , (52) � � � � � � 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 1 1 1 sin( ) sin( ) ( ) (/ pR C pR C p k k k � � � � � � 1 2 1 2 2 1 2 1� � � � � ( ) ) * k k k M , ãäå M sh ch k p pR k p pR k * ( ) ( ), , sin( )cos( ), . � � � � � � � � � � � 1 1 2 2 1 2� Ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷èì C p k k k k k2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 11 1 1 1 1 � � � � � � � � � ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) (� � � � �sh p pR pRk � � � ) ( ) ( ) ch sh 1 11 2 � � , (53) C p k k k k k4 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) sin (� � � � � � � � 2 2 21 2 p pR pRk )cos( ) sin ( )� � .  ðåçóëüòàòå îäíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (52) è ïîäñòàíîâêè âû÷èñëåí- íûõ ñîãëàñíî (53) ïîñòîÿííûõ C C 2 2 4 2, è ñîîòâåòñòâåííî C C 1 2 3 2, â (47) â ñèëó ñèììåòðèè ôóíêöèè Êîøè ïîëó÷èì � � * * ( , , ) ( ( )) ( ) ( ) p r p p p R r p pR � � � � � � � � � � � � 1 11 1 1 1 sh sh sh � � � � � � � 12 2 2 2 21 0 sin ( ( ))sin( ) sin( ) , , * p R r p pR r R � �� � sh sh sh ( ( )) ( ) ( ) sin( ( ))sin( � � � � � � � 1 1 1 22 2 p R pr pR p R � � � � � � �2 2 0 pr pR r R ) sin( ) , , � � # # # # # � # # # # # (54) ãäå � � � � � ks k s k k k k� � � � � � � � � � ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) , , , 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 s k k � � � � � � 1 2 2 1 , , , . Ñîñòàâëÿþùèå sh sh sh ( ( )) ( ) ( ) � � � � 1 1 1 p R pr pR � , sin( ( ))sin( ) sin( ) � � � � 2 2 2 p R pr pR � ôóíêöèè Êîøè � * ( , , )p r � (54) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ îðèãè- íàëîâ ïî Ëàïëàñó. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî îñóùåñòâèòü ïåðåõîä ê îðèãèíàëó ïî ïåðåìåííîé ð [28]: � � �( , , ) [ ( , , )] ( , , )* *� � � � � � r L p r i p r i i � �� � � � � � � � 1 1 2 0 0 e dpp� . (55) Ê ïåðâîìó ñîñòàâëÿþùåìó ôóíêöèè Êîøè ìîæíî ïðèìåíèòü îáîáùåííóþ òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ Õåâèñàéäà [28]. Îðèãèíàë âòîðîãî ñîñòàâëÿþùåãî îïðåäåëÿ- åòñÿ âûðàæåíèåì [33]: L p R pr p pR p R� � � � � � � � �1 2 2 2 2 sin( ( ))sin( ) sin( ) (� � � � � � �) . r R Ïîñëå íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ïîëíîå âûðàæåíèå îðèãèíàëà ôóíêöèè Êîøè �( , , ) ( ) sin � � � � � � r R n e n R r R n n kn � � �� � � � � � � � 11 1 2 1 2 2 1 2 � � � � � � � � �� � 0 12 2 21 1 2 0 2 sin ( ) , , ( n R R r R r R R � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � 1 1 2 0 2) sin sin n n n e n R R n r R kn � � � � � � �22 2 0 ( ) , . R r R r R � � � # # # ## � # # # # # (56) Ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è áóäåò èìåòü âèä � � � �i i i r t r R r t r R r T t r G d( , ) ( , ) ( , , ) ( )� � � � � � � �� �* � 0 � � � �� �� ( , , ) ( ) , ,T t r G d ii r R � � � 1 2 . (57)  äàííîé çàäà÷å E D Dij js s intra intra intra2 1 � � �( )� 2 1, i s s � � � � � � 1 2 2 1 , , , , j �1 2, , � 1 2 1 2, , /� p, ãäå 1 2 2 11 22 11 22 , ( ) [( ) � � � � � i D D D Dintra intra intra intra 4 2 12 21 11 22 12 1 2D D D D D D intra intra intra intra intra i ] ( / � ntra21 ) p ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (45). ÀËÃÎÐÈÒÌ ÐÅÀËÈÇÀÖÈÈ ÃÐÀÄÈÅÍÒÍÎÃÎ ÌÅÒÎÄÀ ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒΠÂÍÓÒÐÈ×ÀÑÒÈ×ÍÎÉ ÄÈÔÔÓÇÈÈ ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÌÏÅÒÈÒÈÂÍÎÃÎ ÏÅÐÅÍÎÑÀ Îïèøåì îáùóþ ïðîöåäóðó ðåàëèçàöèè ãðàäèåíòíîãî ìåòîäà èäåíòèôèêàöèè êîýô- ôèöèåíòîâ âíóòðè÷àñòè÷íîé äèôôóçèè ñèñòåìû äëÿ intraparticle space (Dintrasp , s p, ,�1 2), ÿâëÿþùåéñÿ îïðåäåëÿþùåé è îêàçûâàþùåé ëèìèòèðóþùåå âîçäåéñòâèå 58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 íà îáùèé ïåðåíîñ â ñèñòåìå. Ìàòðèöà ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû M t z Ds k i( , , ) intra sp ñîîò- âåòñòâóåò ñóììàðíîìó íàêîïëåíèþ ìàññû j-ãî êîìïîíåíòà â ñëîÿõ íàíîïîðèñòûõ ÷àñòèö äëÿ interparticle space è intraparticle space (ðèñ. 2) [9]. Äëÿ èäåíòèôèêàöèè ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (âåêòîðà) Dintrasp èñïîëüçóåòñÿ îäèí èç ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ. Ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå ïðèìåíåíèÿ òàêèõ ìåòîäîâ ê çàäà÷àì ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ìóëüòèêîìïîíåíòíûõ ðàñ- ïðåäåëåííûõ ñèñòåì ïðåäñòàâëåíî â [25, 31]. Èñõîäÿ èç ñïåöèôèêè çàäà÷è, íàèáîëåå ïðèìåíèì ìåòîä ìèíèìàëüíûõ îøèáîê. Ñ ó÷åòîì ýòîãî äëÿ îïðåäåëå- íèÿ ( ) �1 -ãî ïðèáëèæåíèÿ êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè â intràparticle space Dintrasp ïðèìåíèì ñëåäóþùóþ ãðàäèåíò-ïðîöåäóðó èäåíòèôèêàöèè, îïðåäåëåííóþ â ìàòðè÷íîì âèäå: D D J D e J D intra intra intra intra sp � � �+ + 1 2 ( ) || || || ( )|| 2 . (58) Îáùàÿ ñõåìà àëãîðèòìà èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ âíóòðè÷àñòè÷íîé äèôôóçèè D mintrasp , m n� �1 1, , s p, ,�1 2, ïîêàçàíà íà ðèñ. 3. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå è èäåíòèôèêàöèÿ êèíåòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû. Âûïîëíÿåìûé çäåñü ïðîöåññ èäåíòèôèêàöèè çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëå- íèè ñîñòàâëÿþùèõ êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè D mintra ,12 â ìèêðîïîðàõ ÷àñòèö ñ èñ- ïîëüçîâàíèåì çíà÷åíèé ðàíåå èäåíòèôèöèðîâàííûõ êîìïîíåíòîâ ìàòðèöû êîýô- ôèöèåíòîâ äèôôóçèè D minter ,11 è D mintra ,11 , ïîëó÷åííûõ â ïðîöåññå ìîíîäèôôó- çèè áåíçîëà [11]. Èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ êðèâûå àäñîðáöèè äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñè (áåíçîëà è ãåêñàíà) â íåîäíîðîäíûõ ïîðè- ñòûõ öåîëèòíûõ êàòàëèçàòîðàõ (ðèñ. 4) [9, 10] îïèñàííîãî âûøå ãðàäèåíòíîãî ìå- òîäà, îñóùåñòâëåíà ïðîöåäóðà èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè D mintra ,12 (êàê ðåøåíèå çàäà÷è (8)–(11)), îïðåäåëÿþùåãî âëèÿíèå âçàèìîäèôôóçèè (êîìïî- íåíòà 1 äèôôóçèè (áåíçîëà) â ïðèñóòñòâèè êîìïîíåíòà 2 (ãåêñàíà)) â ÷àñòèöàõ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 59 Ðèñ. 2. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå èññëåäîâàíèé êîìïåòèòèâíîãî ìàcñîïåðåíîñà â íåîäíîðîä- íîé íàíîïîðèñòîé êàòàëèòè÷åñêîé cðåäå Îáðàçåö 5.88 4.58 2.54 0.84 0.56 0.31 Îáðàçåö 0.09 0.04 0.02 0.06 0.11 0.17 0.27 0.39 0.84 2.41 4.36 15.30 Áåíçîë + Ãåêñàí Ãåêñàí + Áåíçîë Ýëåìåíòàìè ìàòðèöû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ [ ]exp , , M ki k N i M � � 1 1 ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òîòàëüíîé (ñóììàðíîé) ïîãëîùåííîé ìàññû âäîëü êîîð- äèíàòû z äëÿ ðàçíûõ âðåìåííûõ îòðåçêîâ ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà äâóõêîìïîíåíòíîé êîìïåòèòèâíîé äèôôóçèè. Ïîëó÷åííûå çäåñü ðåçóëüòàòû ïðîâå- äåííîé èäåíòèôèêàöèè êèíåòèêè âíóòðè- ÷àñòè÷íîé êîìïåòèòèâíîé äèôôóçèè ñ èñ- ïîëüçîâàíèåì îïèñàííîé âûøå ìåòîäèêè èäåíòèôèêàöèè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5–7 ïî êîîðäèíàòå òîëùèíû ñëîÿ íàíîïîðèñòîé ñðåäû z äëÿ ðàçëè÷íûõ âðåìåííûõ ñðåçîâ � � 002. ÷àñ (72 ñ), � � 0 31. ÷àñ (1116 ñ), � � 084. ÷àñ (3024 ñ) è � � 2 54. ÷àñ (9144 ñ), � � 588. ÷àñ (21170 ñ) ñîãëàñíî ïðîãðàììû ïðîâåäåííûõ ôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïðèíÿòûå îñòàëüíûå ïàðàìåòðû ñîñòàâëÿ- þò l m� 0 1. , R m� 0 001. , � � 0 8. . Äëÿ âñåõ 60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 Íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå êîýôôèöèåíòîâ äëÿ êàæäîãî m-ãî ñëîÿ Íàõîæäåíèå ( + 1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ Dintra Âû÷èëåíèå ìàêñèìàëüíîé ïîãðåøíîñòè Îïðåäåëåíèå çíà÷åíèé qsm, �sm äëÿ -é èòåðàöèè Íîìåð èòåðàöèè Ïðîâåðêà óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà Âû÷èñëåíèå ãðàäèåíòà îò ôóíêöèîíàëà íåâÿçêè (8) ñ èñïîëü- çîâàíèåì ðåøåíèé ïðÿìîé qsm è ñîïðÿæåííîé �sm çàäà÷ � 0 � � � + 1 �� Ðèñ. 3. Îáùàÿ ñõåìà àëãîðèòìà èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ âíóòðè÷àñòè÷íîé äèôôóçèè [ ],D m m n intra 0 sp � � 1 1 qsm sm �, + � � � ��J q x dxsm R sm sm � 0 2 � sm n sm e J sm� + || || | | || 2 2 Íàõîæäåíèå çíà÷åíèÿ íåâÿçêè ensm è êîýôôèöèåíòà � � � �max D D sp spintra +1 intra D D Jm m sm smintra +1 intrasp sp, , �� � � + D mintra +1 sp, Ðèñ. 4. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå êðèâûå ñóì- ìàðíîé ïîãëîùåííîé ìàññû äâóõêîìïî- íåíòíîé êîìïåòèòèâíîé äèôôóçèè, èñïîëü- çóåìûå äëÿ èäåíòèôèêàöèè êèíåòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ 5.88 2.54 0.84 0.31 0.02 ðàññìàòðèâàåìûõ âðåìåííûõ ñðåçîâ íà ãðàôèêàõ (ðèñ. 5,a–7,à)) ïðåäñòàâëåíû ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è — èäåíòèôèöèðîâàííûå ðàñ- ïðåäåëåíèÿ êîìïåòèòèâíûõ ñîñòàâëÿþùèõ Dintra 12 ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ äèô- ôóçèè Dintra äëÿ intraparticle space. Êàê óïîìèíàëîñü âûøå, êîìïåòèòèâíûå ñî- ñòàâëÿþùèå Dintra 12 îïðåäåëÿþò âëèÿíèå äèôôóçèè ïåðâîãî êîìïîíåíòà â ïðèñó- òñòâèè âòîðîãî íà ñóììàðíûé ïåðåíîñ. Çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèé ñîñòàâëÿþùèõ ìîíîäèôôóçèè Dintra 11 ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè Dintra (äèôôóçèÿ ïåð- âîãî êîìïîíåíòà áåç ó÷åòà îñòàëüíûõ) îïðåäåëÿëèñü íà îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ìîíîäèôôóçèè äëÿ íåîäíîðîäíûõ íàíîïîðèñòûõ ñðåä, ïîëó÷åí- íûõ â [10, 11]. Àíàëèçèðóÿ èäåíòèôèöèðîâàííûå ïðîôèëè êîìïåòèòèâíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè D m nmintra ,12 , ,� �1 1, âäîëü êîîðäèíàòû òîë- ùèíû íàíîïîðèñòîé îáëàñòè, äëÿ âñåõ ïîëó÷åííûõ ãðàôèêîâ íàáëþäàþòñÿ õà- ðàêòåðíûå îáùèå çàêîíîìåðíîñòè — íåêîòîðûå ïñåâäîýêñïîíåíöèàëüíûå ñíè- æåíèÿ èõ çíà÷åíèé â äèàïàçîíå 2 10 4 1012 14 2� , �� � ì c/ (ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòåé âû÷èñëåíèÿ).  òî æå âðåìÿ ïîëó÷åííûå â [10, 11] ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ àíàëîãè÷- íûõ ñîñòàâëÿþùèõ êîýôôèöèåíòîâ ìîíîäèôôóçèè Dintra11 èìåþò â íåêîòîðîé ñòåïåíè îáðàòíûé õàðàêòåð — âîçðàñòàþò âäîëü êîîðäèíàòû òîëùèíû. Òàêîé õà- ðàêòåð ðàñïðåäåëåíèé ðàçëè÷íûõ êèíåòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ (âîçðàñòàíèå Dintra 11 è ñíèæåíèå Dintra 12 ) îïðåäåëÿåò åñòåñòâåííûå èçãèáû êîíöåíòðàöèîííûõ êðèâûõ îáùåãî ìàññîïåðåíîñà (ñì. ðèñ. 4). Ìàêñèìàëüíûå èëè ïèêîâûå çíà÷åíèÿ ïîêàçà- òåëåé îáùåé ïîãëîùåííîé ìàññû ñîîòâåòñòâóþò òî÷êàì ïåðåñå÷åíèÿ ñîîòâåòñòâó- þùèõ ãðàôèêîâ ñîñòàâëÿþùèõ êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè Dintra11 è Dintra12 è èõ ñîâìåñòíîãî ìàêñèìàëüíîãî âëèÿíèÿ. Åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå ïîë- íîé êàðòèíû êèíåòèêè ïîäîáíîãî ïåðåíîñà íåîáõîäèìî, ñ îäíîé ñòîðîíû, áîëåå äåòàëüíûå ðåçóëüòàòû íàòóðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ó÷èòûâàþùèå ðàçëè÷íûå ïðî- ïîðöèè âçàèìîâëèÿþùèõ êîìïîíåíòîâ, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàñøèðåíèÿ ìíîæåñò- âà èäåíòèôèöèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ, ÷òî óñëîæíÿåò ïðîöåäóðó è çàäà÷è èäåíòèôè- êàöèè. Íî äàæå ïîëó÷åííûå íà ýòîì ýòàïå ðåçóëüòàòû óæå ôîðìèðóþò íîâîå âè- äåíèå âíóòðåííåé êèíåòèêè ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà è ïîçâîëÿþò ïî-íîâîìó, íà áîëåå ñèñòåìíîì óðîâíå, ôîðìóëèðîâàòü çàäà÷è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ íàíîôèçè- ÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 61 Ðèñ. 5. Êðèâàÿ èçìåíåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè ïî òîëùèíå ïëàñòèíû äëÿ âðåìåíè � � 0 02. : ðàñïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè D mintra ,12 â intraparticle space (à); ïðåäñòàâëåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîé (1) è ìîäåëüíîé (2) êðèâûõ (á) 0.0 zz 1.00.80.4 0.60.20.2 0.60.4 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 M t z( , ) 6 0 13. E � 1.0 1 2 12. E � 1 8 12. E � 2 4 12. E � 3 0 12. E � 1 2 à á D intra12 62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 Ðèñ. 6. Êðèâàÿ èçìåíåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè äëÿ âðåìåíè � � 0 31. è � � 0 84. : ðàñïðåäåëå- íèå êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè D mintra ,12 â intraparticle space (à); ïðåäñòàâëåíèå ýêñïåðèìåíòàëü- íîé (1) è ìîäåëüíîé (2) êðèâûõ (á) 0.0 zz 1.00.80.4 0.60.20.2 0.60.4 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 M t z( , ) 6 0 13. E � 1.0 1 2 12. E � 1 8 12. E � 2 4 12. E � 3 0 12. E � 1 2 à á 0.0 zz 1.00.80.4 0.60.20.2 0.60.4 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 6 0 13. E � 1.0 1 2 12. E � 1 8 12. E � 2 4 12. E � 3 0 12. E � 1 2 � � 0 31. � � 0 31. � � 0 84.� � 0 84. D intra12 Ðèñ. 7. Êðèâàÿ èçìåíåíèÿ èäåíòèôèêàöèè äëÿ âðåìåíè � � 2 54. è � � 5 88. : ðàñïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè D mintra ,12 â intraparticle space (à); ñðàâíåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîé (1) è ìîäåëüíîé (2) êðèâûõ (á) 0.0 zz 1.00.80.4 0.60.20.2 0.60.4 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 M t z( , ) 6 0 13. E � 1.0 1 2 12. E � 1 8 12. E � 2 4 12. E � 3 0 12. E � 1 2 à á 0.0 zz 1.00.80.4 0.60.20.2 0.60.4 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 6 0 13. E � 1.0 1 2 12. E � 1 8 12. E � 2 4 12. E � 3 0 12. E � 1 � � 2 54. � � 2 54. 2 � � 5 88. � � 5 88. D intra12 Ïîëó÷åííûå õàðàêòåðèñòèêè èäåíòèôèöèðîâàííûõ ðàñïðåäåëåíèé êîýôôè- öèåíòîâ äèôôóçèè â intraparticle space âäîëü êîîðäèíàòû z (îñíîâíîãî íàïðàâëå- íèÿ) íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ïîçâîëÿþò ñ äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîäåëè- ðîâàòü êîíöåíòðàöèîííûå ïîëÿ è èíòåãðàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññû â íåîäíî- ðîäíîì êàòàëèòè÷åñêîì íàíîïîðèñòîì ñëîå. Ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 5,á–7,á êîíöåíòðàöèîííûå ïðîôèëè (ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è (1)–(4)) äåìîí- ñòðèðóþò õàðàêòåð ñðàâíèòåëüíîãî àíàëèçà ìîäåëüíûõ êðèâûõ (2), ïîñòðîåííûõ â ðåçóëüòàòå ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäèôèöèðîâàííîé [32] ñõå- ìû Êðàíêà–Íèêîëñîíà [33] è ðåçóëüòàòîâ èäåíòèôèöèðîâàííûõ êîýôôèöèåíòîâ âíóòðè ÷àñòè÷íîé äèôôóçèè (îáðàòíàÿ çàäà÷à) çà îòêëèêàìè ïîñòðîåííûõ ðåøå- íèé (7) — ýêñïåðèìåíòàëüíûõ êðèâûõ (1) ðàñïðåäåëåíèé ïîãëîùåííîé ìàññû â íàíîïîðèñòîì ñëîå. Êàê âèäíî èç ïðåäñòàâëåííûõ êîíöåíòðàöèîííûõ ðàñïðå- äåëåíèé, çíà÷åíèÿ ìîäåëüíûõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ïðîôèëåé äëÿ âñåõ ïîëó÷åí- íûõ ãðàôèêîâ èíòåãðàëüíîé ìàññû M t z( , ) â äîñòàòî÷íîé ñòåïåíè ñîãëàñîâûâà- þòñÿ ìåæäó ñîáîé ââèäó ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé îáðàòíîé çàäà÷è, ò.å. ðàñïðåäåëå- íèé êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè D mintra ,12 . Íåêîòîðûå ó÷àñòêè ìîäåëüíûõ êðèâûõ ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè. Ìàêñèìàëüíàÿ âåëè÷è- íà îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè äëÿ âñåõ ïîêàçàííûõ ðàñïðåäåëåíèé íå ïðåâûøà- åò 5 %. Òàêîé ïîäõîä îáåñïå÷èâàåò äîñòàòî÷íî âûñîêóþ ñòåïåíü àäåêâàòíîñòè ìà- òåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé è ìåòîäèê èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ èññëåäóåìûõ íå- îäíîðîäíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì ìíîãîêîìïîíåíòíîãî ïåðåíîñà. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ðåøåíà çàäà÷à êîýôôèöèåíòíîé ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ñèñòåì êîì- ïåòèòèâíîé äèôôóçèè äëÿ íåîäíîðîäíîé êàòàëèòè÷åñêîé íàíîïîðèñòîé ñðåäû. Âûïîëíåíû è îáîñíîâàíû ïîñòàíîâêè ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé êðàåâûõ çàäà÷ èäåòèôèêàöèè, íàéäåíû èõ ðåøåíèÿ è ðàçðàáîòàí àëãîðèòì ãðàäèåíò-ïðîöåäó- ðû èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ âíóòðåííåé êèíåòèêè. Ïîëó÷åíû ÷èñëåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ êîìïåòèòèâíîé äèôôóçèè äëÿ âíóòðè- ÷àñòè÷íîãî ïåðåíîñà âäîëü êîîðäèíàòû òîëùèíû ñðåäû (ãëàâíîãî íàïðàâëåíèÿ ïåðåíîñà) äëÿ ðàçëè÷íûõ âðåìåííûõ ñðåçîâ. Ïî ðåçóëüòàòàì èäåíòèôèêàöèè âûïîëíåíà ïðîâåðêà ìîäåëåé íà àäåêâàòíîñòü. Ïðîâåäåíî ÷èñëåííîå ìîäåëè- ðîâàíèå è àíàëèç êîíöåíòðàöèîííûõ è ãðàäèåíòíûõ ïîëåé ìàññîïåðåíîñà. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. K ��a r g e r J . , R u t h v e n D . Diffusion and adsorption in porous solids // Handbouk of Porous Solids / Eds. by F. Shuth, K.W. Sing, J.Weitkamp. — Wenheim: Wiely-VCH, 2002. — P. 2089–2173. 2. K ��a r g e r J . , R u t h v e n D . Diffusion in zeolites and other microporous solids. — New York: John Wiley & Sons, 1992. — 605 p. 3. C h e n N . Y . , D e g n a n T . F . , S m i t h M . C . Molecular transport and reaction in zeolites: de- sign and application of shape selective catalysis. — New York: Wiley, 1994. — 188 p. 4. R u t h v e n D . Principles of adsorption and adsorption processes. — New York: Wiley-Interscience, 1984. — 464 p. 5. N ’ G o k o l i - K e k e l e P . , S p r i n g u e l - H u e t M . - A . , F r a i s s a r d J . An analytical study of molecular transport in a zeolite crystallite bed // Adsorption. — 2002. — 8, N 3. — P. 35–44. 6. K ��a r g e r J . , G r i n b e r g F . , H e i t j a n s P . Diffusion fundamentals. — Leipzig: Leipziger Univ., 2005. — 615 p. 7. E d v a r d L . Cussler. Diffusion — mass trasfert in fluid systems. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2008. — 656 p. 8. M e h r e r H . Diffusion in solids. — Berlin; Heidrlberg; New york: Springer, 2007. — 650 p. 9. S t u d y of molecular transport in beds of zeolite crystallites: semi-quantitative modeling of 129 Xe NMR experiments / F.D. Magalh~aes, R.L. Laurence, W.C. Conner et al. // J. Phys. Chem. B. — 1997. — 101. — P. 2277–2284. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 63 10. P e t r y k M . , L e c l e r c S . , C a n e t D . , F r a i s s a r d J . Mathematical modeling and visualiza- tion of gas transport in a zeolite bed using a slice selection procedure // Diffus. Fundam. — 2007. — 4. — P. 11.1–11.23. 11. P e t r y k Ì . , F r a i s s a r d J . , L e c l e r c S . , C a n e t D . Modeling of gas transport in a microporous solid using a slice selection procedure: Application to the diffusion of benzene in ZSM5 // Catalysis Today. — 2008 — 139, N 3. — P. 234–240. 12. Ï å ò ð è ê Ì . Ð . , Ô ð å ñ ñ à ð ä Æ . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíîé êîìïåòèòèâ- íîé äâóõêîìïîíåíòíîé äèôôóçèè â ñðåäå íàíîïîðèñòûõ ÷àñòèö // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2009. — ¹ 2. — Ñ. 47–64. 13. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Èäåíòèôèêàöèÿ ãðàäèåíòíûìè ìåòîäàìè ïàðàìåò- ðîâ çàäà÷ äèôôóçèè äâóõêîìïîíåíòíûõ âåùåñòâ â íàíîïîðèñòûõ ñðåäàõ // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2010. — ¹ 2. — Ñ. 42–49. 14. Ï å ò ð è ê Ì . Ð . , Ô ð å ñ ñ à ð ä Æ . , Ì è õ à ë è ê Ä . Ì . Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç êîíöåíò- ðàöèîííûõ ïîëåé íåëèíåéíîé êîìïåòèòèâíîé äâóõêîìïîíåíòíîé äèôôóçèè â ñðåäå íàíîïî- ðèñòèõ ÷àñòèö // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2009. — ¹ 4. — Ñ. 73–82. 15. Ï å ò ð è ê Ì . Ð . , Ô ð å ñ ñ à ð ä Æ . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è âèçóàëèçàöèÿ ñèñòåìû ìíîãîóðîâíåâîãî ìàññîïåðåíîñà â íåîäíîðîäíûõ êàòàëèòè÷åñêèõ ñðåäàõ íàíîïîðèòûõ ÷àñòèö // Òàì æå. — 2008. — ¹ 5. — 63–72. 16. Ï å ò ð è ê Ì . Ð . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ìàñcîïåðåíîñà â ñèììåòðè÷åñêèõ íåîäíî- ðîäíûõ è íàíîïîðèñòûõ ñðåäàõ ñ ñèñòåìîé n-èíòåðôåéñíûõ âçàèìîäåéñòâèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 1. — C. 114–134. 17. P e t r y k . M . , V o r o b i e v E . Liquid flowing from porous particles during the pressing of bio- logical materials // Computer and Chem. Eng. — 2007. — 31. — P. 1336–1345. 18. P e t r y k M . , S h a b l i y O . , L e n i y k M . , V a s y l y u k P . Mathematical modeling and re- search for diffusion process in multilayer and nanoporous media // Fluid Transport in Nanoporous Materials / Eds. by W.C. Conner, J. Fraissard. NATO Sci. Series. Series II. Mathematics, Physics and Chemistry. Springer Publ. (Netherlands, Amsterdam). — 2006. — 219. — P. 685–655. 19. Ë å í þ ê Ì . Ï . , Ï å ò ð è ê Ì . Ð . ²íòåãðàëüí³ ïåðåòâîðåííÿ Ôóð’º, Áåññåëÿ ³ç ñïåêòðàëüíèì ïàðàìåòðîì â çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ ìàñîïåðåíîñó â íåîäíîð³äíèõ ñåðåäîâè- ùàõ. — Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2000. — 372 c. 20. Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå íåîäíîðîäíûìè ðàñïðåäå- ëåííûìè ñèñòåìàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2003. — 506 ñ. 21. S e r g i e n k o I . V . , D e i n e k a V . S . Optimal control of distributed systems with conjugation conditions. — New York: Kluwer Añademic Publishers, 2005. — 400 p. 22. Ä å é í å ê à  . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . Àíàëèç ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñ- òåì è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2007. — 703 ñ. 23. Ñ å ð ã è å í ê î È . B . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ðåøåíèå êîìáèíèðîâàííûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïà- ðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíà- ëèç. — 2007. — ¹ 5. — Ñ. 48–71. 24. Ä å é í å ê à  . Ñ . ,  å ù ó í î â à Í . À . ×èñëåííîå ðåøåíèå îáðàòíûõ çàäà÷ íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ïëàñòèíû // Êîìïüþòåðíàÿ ìàòåìàòèêà. — 2008. — ¹ 2. — Ñ. 32–43. 25. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ñèñòåìíûé àíàëèç ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäå- ëåííûõ ñèñòåì. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2009. — 638 ñ. 26. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Èäåíòèôèêàöèÿ ãðàäèåíòíûìè ìåòîäàìè ïàðàìåò- ðîâ çàäà÷ äèôôóçèè âåùåñòâà â íàíîïîðèñòîé ñðåäå // Ìåæäóíàðîäíûé íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé æóðíàëà «Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè». — 2010. — ¹ 6. — Ñ. 5–18. 27. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ñ ê î ï å ö ê è é  .  . , Ä å é í å ê à  . Ñ . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðî- âàíèå è èññëåäîâàíèå ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1991. — 432 ñ. 28. Ë à â ð å í ò ü å â Ì . À . , Ø à á à ò Á .  . Ìåòîäû òåîðèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. — Ì.: Íàóêà, 1973. —736 ñ. 29. Ï å ò ð î â ñ ê è é È . à . Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961. — 400 ñ. 30. Ë è î í ñ Æ . - Ë . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè, îïèñûâàåìûìè óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñòíû- ìè ïðîèçâîäíûìè. — Ì.: Ìèð, 1972. — 414 ñ. 31. À ë è ô à í î â Î . Ì . , À ð ò þ õ è í Å . À . , Ð ó ì ÿ í ö å â Ñ .  . Ýêñòðåìàëüíûå ìåòîäû ðåøå- íèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 288 ñ. 32. Ä å é í å ê à  . Ñ . , Å â ä è í Å . À. Ìîäèôèêàöèÿ ñõåìû Êðàíêà–Íèêîëñîíà äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííîãî ïåðåíîñà // Êîìïüþòåðíàÿ ìàòåìàòèêà. — 2006. — ¹ 3. — Ñ. 15–26. 33. Ä è ò ê è í  . À . , Ï ð ó ä í è ê î â À . Ï . Ñïðàâî÷íèê ïî îïåðàöèîííîìó èñ÷èñëåíèþ. — Ì.: Âûñøàÿ. øê., 1965. — 465 ñ. Ïîñòóïèëà 23.09.2010 64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5

Ähnliche Einträge