Приближение гладким интерполяционным сплайном
Розглянуто властивості гладкого інтерполяційного сплайн-наближення. Встановлено умови існування і запропоновано алгоритм визначення параметрів такого сплайну з ланками у вигляді суми полінома та експоненти. Отримано оцінки похибок наближення функції та її похідної таким сплайном з поліноміальними ла...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84234 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Приближение гладким интерполяционным сплайном / В.В. Скопецкий, П.С. Малачивский, Я.В. Пизюр // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 65-71. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84234 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Скопецкий, В.В. Малачивский, П.С. Пизюр, Я.В. 2015-07-04T12:51:34Z 2015-07-04T12:51:34Z 2011 Приближение гладким интерполяционным сплайном / В.В. Скопецкий, П.С. Малачивский, Я.В. Пизюр // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 65-71. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84234 519.65 Розглянуто властивості гладкого інтерполяційного сплайн-наближення. Встановлено умови існування і запропоновано алгоритм визначення параметрів такого сплайну з ланками у вигляді суми полінома та експоненти. Отримано оцінки похибок наближення функції та її похідної таким сплайном з поліноміальними ланками та ланками у вигляді суми полінома та експоненти. Properties of a smooth continuous spline are considered. Existence conditions are established and an algorithm for determining parameters of such a spline by the sum of a polynomial and an exponent is proposed. Estimates of approximation errors are obtained for polynomial splines and splines with sections in the form of the sum of a polynomial and an exponent. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Приближение гладким интерполяционным сплайном Наближення гладким інтерполяційним сплайном Approximation by a smooth interpolation spline Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Приближение гладким интерполяционным сплайном |
| spellingShingle |
Приближение гладким интерполяционным сплайном Скопецкий, В.В. Малачивский, П.С. Пизюр, Я.В. Системный анализ |
| title_short |
Приближение гладким интерполяционным сплайном |
| title_full |
Приближение гладким интерполяционным сплайном |
| title_fullStr |
Приближение гладким интерполяционным сплайном |
| title_full_unstemmed |
Приближение гладким интерполяционным сплайном |
| title_sort |
приближение гладким интерполяционным сплайном |
| author |
Скопецкий, В.В. Малачивский, П.С. Пизюр, Я.В. |
| author_facet |
Скопецкий, В.В. Малачивский, П.С. Пизюр, Я.В. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Наближення гладким інтерполяційним сплайном Approximation by a smooth interpolation spline |
| description |
Розглянуто властивості гладкого інтерполяційного сплайн-наближення. Встановлено умови існування і запропоновано алгоритм визначення параметрів такого сплайну з ланками у вигляді суми полінома та експоненти. Отримано оцінки похибок наближення функції та її похідної таким сплайном з поліноміальними ланками та ланками у вигляді суми полінома та експоненти.
Properties of a smooth continuous spline are considered. Existence conditions are established and an algorithm for determining parameters of such a spline by the sum of a polynomial and an exponent is proposed. Estimates of approximation errors are obtained for polynomial splines and splines with sections in the form of the sum of a polynomial and an exponent.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84234 |
| citation_txt |
Приближение гладким интерполяционным сплайном / В.В. Скопецкий, П.С. Малачивский, Я.В. Пизюр // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 65-71. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT skopeckiivv približeniegladkiminterpolâcionnymsplainom AT malačivskiips približeniegladkiminterpolâcionnymsplainom AT pizûrâv približeniegladkiminterpolâcionnymsplainom AT skopeckiivv nabližennâgladkimínterpolâcíinimsplainom AT malačivskiips nabližennâgladkimínterpolâcíinimsplainom AT pizûrâv nabližennâgladkimínterpolâcíinimsplainom AT skopeckiivv approximationbyasmoothinterpolationspline AT malačivskiips approximationbyasmoothinterpolationspline AT pizûrâv approximationbyasmoothinterpolationspline |
| first_indexed |
2025-11-25T22:20:07Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:20:07Z |
| _version_ |
1850559646457135104 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.65
Â.Â. ÑÊÎÏÅÖÊÈÉ , Ï.Ñ. ÌÀËÀ×ÈÂÑÊÈÉ, ß.Â. ÏÈÇÞÐ
ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÃËÀÄÊÈÌ ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÛÌ ÑÏËÀÉÍÎÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ãëàäêèé èíòåðïîëÿöèîííûé ñïëàéí, èíòåðïîëèðîâàíèå íåëè-
íåéíûì âûðàæåíèåì, ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ, ýðìèòîâàÿ èíòåðïîëÿöèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ãëàäêèé èíòåðïîëÿöèîííûé ñïëàéí — ýòî ëîêàëüíûé ñïëàéí, â êîòîðîì ïðè-
áëèæåíèå íà êàæäîì èç çâåíüåâ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèé èíòåðïîëèðîâàíèÿ
çíà÷åíèé ôóíêöèè è ýðìèòîâîãî èíòåðïîëèðîâàíèÿ â êðàéíèõ òî÷êàõ çâåíà.
Îñîáåííîñòè ïîñòðîåíèÿ ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî ñïëàéíà ñ ïîëèíîìèàëü-
íûìè çâåíüÿìè îïèñàíû â [1]. Òàêèå ñïëàéíû èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðåøåíèè
ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ [1]; â ÷àñòíîñòè, ïðè ïîñòðîåíèè íåïðåðûâíîãî
è ãëàäêîãî ìèíèìàêñíîãî ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ ñ çàäàííîé ïîãðåøíîñòüþ èìå-
þò ìåñòî ñëó÷àè, êîãäà íà ìèíèìàëüíî äîïóñòèìîé äëèíå çâåíà ïîãðåøíîñòü
ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè áîëüøå çàäàííîé [2, 3]. Ïðè ýòîì âìåñòî ÷åáûøåâñêî-
ãî ïðèáëèæåíèÿ ïðèìåíÿþò èíòåðïîëèðîâàíèå ôóíêöèè ñ âîñïðîèçâåäåíèåì
çíà÷åíèé åå ïðîèçâîäíîé â êðàéíèõ òî÷êàõ çâåíà. Ãëàäêèå èíòåðïîëÿöèîííûå
ñïëàéíû èñïîëüçóþòñÿ òàêæå äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé.
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f x C( ) [ , ]� 1 � � è íà îòðåçêå [ , ]� � çàäàíî çíà÷åíèå
ôóíêöèè f x( ) è åå ïðîèçâîäíîé f x� ( ) â òî÷êàõ xi �[ , ]� � , i s� 0, , à F a xm ( ; ) —
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå íà [ , ]� � âûðàæåíèå
F a x F a a a xm m m( ; ) ( , , . . . , ; )� 0 1
îò ( )m �1 -ãî ïàðàìåòðà ( )m � 3 . Ñïëàéí
S x F a x t x t j qm
j
j j( ) ( , ) , , ,( )� � � ��1 1 , (1)
ïàðàìåòðû a j( ) j-ãî çâåíà êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
f x F a x
f x F a x
k m
j
k
k i m
j
k i
j j
j j
� � � �
� �� �
( ) ( ; ) ,
( ) ( ; ) ,
( )
( )
0
0 i m
f x F a xk m m
j
k mj j
� �
� � � �
�
�
�
�
� � � � �
0 2
02 2
, ,
( ) ( ; ) ,( )
(2)
áóäåì íàçûâàòü ãëàäêèì èíòåðïîëÿöèîííûì ñïëàéí-ïðèáëèæåíèåì ôóíêöèè f x( )
íà ìíîæåñòâå òî÷åê xi ( , )i s� 0 .  ýòîì ñïëàéíå q — êîëè÷åñòâî çâåíüåâ, à îòðå-
çîê [ , ]x xk k mj j � �2 ñîîòâåòñòâóåò j-ìó çâåíó ñïëàéíà, ãäå k m jj � � �( )( )2 1 ,
t xj k j
� .  òî÷êàõ ñîïðèêîñíîâåíèÿ çâåíüåâ ñïëàéíà t j ( , )j q� 2 çíà÷åíèÿ ôóíê-
öèè è åå ïðîèçâîäíîé ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèåì ñïëàéíà è åãî ïðîèçâîäíîé
F a t F a t f tm
j
j m
j
j j( ; ) ( ; ) ( )( ) ( )� � �1 , (3)
� � � � ��F a t F a t f tm
j
j m
j
j j( ; ) ( ; ) ( )( ) ( )1 . (4)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 65
© Â.Â. Ñêîïåöêèé , Ï.Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, ß.Â. Ïèçþð, 2011
Ïîñòðîåíèå ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî ñïëàéíà (1) ñ ïîëèíîìèàëüíûìè
çâåíüÿìè äëÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè f x( ) íà îòðåçêå [ , ]� �
ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ êîýôôèöèåíòîâ ïîëèíîìîâ ôèêñèðîâàííîé ñòåïåíè íà
êàæäîì èç åãî çâåíüåâ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âèäà (2).
Ãëàäêèå èíòåðïîëÿöèîííûå ñïëàéíû (1) ñî çâåíüÿìè â âèäå íåëèíåéíûõ ïî ïàðà-
ìåòðàì âûðàæåíèé ñóùåñòâóþò íå âñåãäà. Êðîìå òîãî, ïðè ïîñòðîåíèè òàêèõ
ñïëàéíîâ âîçíèêàþò òðóäíîñòè ñ îïðåäåëåíèåì èõ ïàðàìåòðîâ, ïîñêîëüêó îíî
ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé [2].
ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÃËÀÄÊÈÌ ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÛÌ ÑÏËÀÉÍÎÌ
ÑÓÌÌÎÉ ÏÎËÈÍÎÌÀ È ÝÊÑÏÎÍÅÍÒÛ
Ïîñòðîåíèå äëÿ ôóíêöèè f x( ) íà îòðåçêå [ , ]� � ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî
ñïëàéíà (1) ñ íåëèíåéíûìè ïî ïàðàìåòðàì çâåíüÿìè îñíîâûâàåòñÿ íà ïðèìå-
íåíèè èíòåðïîëÿöèè ôóíêöèè f x( ) ýòèì âûðàæåíèåì ñ âîñïðîèçâåäåíèåì çíà-
÷åíèÿ åå ïðîèçâîäíîé â êðàéíèõ òî÷êàõ îòðåçêà. Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ òà-
êîé èíòåðïîëÿöèè äëÿ ôóíêöèè f x( ) ñóììîé ïîëèíîìà è ýêñïîíåíòû
F a x a x Aem i
i px
i
n
( ; ) � �
�
0
, A � 0, p � 0, m n� �2 ,
(5)
óñòàíîâëåíû â ðàáîòå [4].
Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ýðìèòîâîé èíòåðïî-
ëÿöèè, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé íà îòðåçêå [ , ]� � ôóíêöèè f x( ) ñóììîé
ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè n ( )n � 1 è ýêñïîíåíòû (5) íà ìíîæåñòâå ðàçíûõ óïîðÿäî÷åí-
íûõ ïî âîçðàñòàíèþ òî÷åê x j ( , )j n� �1 1 , êîòîðàÿ âîñïðîèçâîäèò çíà÷åíèÿ ïðîèç-
âîäíîé ôóíêöèè â êðàéíèõ òî÷êàõ x1 è xn�1, ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ
W W Wn n n( ) ( ) ( ),� �0
0
, (6)
ãäå:
W
D s z z z
D s z z z
n n n n
n n n
0
1 1 2 3 3
1 1 1 2
( ) ( ; , )
( ; ,
�
� �
� �
� � �
� � �
�
� 2 )
, (7)
W
D f z z z
D f z z z
n n n
n n
( ) ( ; , , , )
( ; , , ..., )
,� � �
� �
1 2 3 3
1 1 2 2
� (8)
D U z z z
D U z z z
D
k j j j k
k j j j k
k
( ; , , , )
( ; , )
(
� �
� � � �
�
�
� �
1
1 1 2
1
�
�
s z z zk j j j k� � � �
�
1 1 2; , , .., )
� � � � �
� � � � �
D U z z z
D s z z z
k j j j k
k k j j j k
1 1 1
1 1 1
( ; , , , )
( ; , , ,
�
� 1
1 3 3 1
)
, , , , ,j n k k n� � � � �
(9)
D U z z z
D U z z
D s z z
U z
j j j2 1 2
1 2 3
1 1 2 3
1
( ; , , )
( ; , )
( ; , )
( ) ,
� � �
� � åñëè j
D U z z
D s z z
D U z zj j
j j
j j
�
�� �
� �
1
1 1 2
1 1 1 2
1
;
( ; , )
( ; , )
( ; , �
�
�
�
� � �
� �
1
1 1 1
3
1 1
1 1
)
( ; , )
, ;
( )
( ; ,
D s z z
j n
U z
D U z z
j j
n
n
åñëè
n
n nD s z z
j n�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
2
1 1 1 2
1
)
( ; , )
, ,åñëè
(10)
66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
D U z z
U z j
U z U z jj j j j1 1
1
1
1
1( ; , )
( ) , ;
( ) ( ),� ��
� �
� �
åñëè
åñëè � �
� � �
�
�
�
�
n
U z j nn
1
23
;
( ) , ,åñëè
(11)
s x xk
k( ) � ,
U x� ( ) — ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè U x( ), z xj j� �1 ( , )j n� �2 2 , z z x1 2 1� � ,
z z xn n n� � �� �2 3 1.
Íåîáõîäèìîìó è äîñòàòî÷íîìó óñëîâèþ (6) ñóùåñòâîâàíèÿ íà îòðåçêå [ , ]� �
èíòåðïîëÿöèè ôóíêöèè f x( ) ñ âîñïðîèçâåäåíèåì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíê-
öèè â êðàéíèõ òî÷êàõ îòðåçêà âûðàæåíèåì (5) óäîâëåòâîðÿþò, â ÷àñòíîñòè, íå-
ïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå äî n-ãî ïîðÿäêà ôóíêöèè, n-ÿ ïðîèçâîäíàÿ êîòî-
ðûõ ñòðîãî ìîíîòîííà íà [ , ]� � , çà èñêëþ÷åíèåì ïîëèíîìà ( )n � 1 -é ñòåïåíè.
Åñëè ôóíêöèÿ f x( ) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì (6) íà îòðåçêå [ , ]� � è çàäà-
íû åå çíà÷åíèÿ è çíà÷åíèÿ åå ïðîèçâîäíîé â íåîáõîäèìîì êîëè÷åñòâå òî÷åê
x i ni ( , )� �1 1 , òî ïàðàìåòðû a k nk ( , )� 0 è A èíòåðïîëÿöèè ôóíêöèè f x( )
ñ ýðìèòîâîé èíòåðïîëÿöèåé â êðàéíèõ òî÷êàõ îòðåçêà âûðàæåíèåì (5) íà ìíî-
æåñòâå ðàçíûõ, óïîðÿäî÷åííûõ ïî âîçðàñòàíèþ òî÷åê x i ni ( , )� �1 1 èç [ , ]� � ,
îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
A D f z z z D z z zn n n n� � � � �1 1 2 2 1 1 2 2( ; , , , ) / ( ; , , , )� �� ; (12)
a
D f z z z a D s z z z
k
k k i k i k
i k
n
�
� � � � �� �
� �
( ; , ) ( ; , )1 2 1 1 2 1
1
� �
D s z z zk k k( ; , )1 2 1� �
�
��
�
� �
� �
�
�
AD z z z
D s z z z
k k
k k k
( ; , )
( ; , )
� 1 2 1
1 2 1
�
�
, k n�1, ;
(13)
a f z f z a z z A e e
i
n
i
i i pz pz
0 2 3
1
2 3
1
2
2 3� � � � � �
�
�
�
�
�
( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
�
, (14)
ãäå �( ; )p x e px� , z xj j� �1 ( , )j n� �2 2 , z z x1 2 1� � , à z z xn n n� � �� �2 3 1.
Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà p âû÷èñëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
� n
np W( ) ( )� , (15)
ïðè ýòîì
�
�
�
n
n n
n n
p
D z z z
D z z z
( )
( ; , , , )
( ; , , , )
�
� �
� �
1 2 3 3
1 1 2 2
�
�
.
 ðàáîòå [4] óñòàíîâëåíî, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ äëÿ �( ; )p x e px�
âûñòóïàåò ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèåé, êîòîðàÿ èìååò âèä
� � �
n
p
p Ke( )
( )� �2 1 , (16)
ãäå K �
�
�
� �
� �
3 2
2 1
, �1 1 2� �( , )z zn , � 2 2 3� �( , )z zn .
Ó÷èòûâàÿ ýêñïîíåíöèàëüíûé õàðàêòåð çàâèñèìîñòè ëåâîé ÷àñòè óðàâíå-
íèÿ (15) îò p, åãî ðåøåíèå öåëåñîîáðàçíî èñêàòü êàê êîðåíü óðàâíåíèÿ
g p Vn
n( ) ( )� , (17)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 67
ãäå g p pn n( ) ln( ( ))� � , V Wn n( ) ( )ln( )� . Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîëó-
÷èòü ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííîãî ìåòîäà Íüþòîíà
p p
g p V
g p
i i
n i
n
n i
� � �
�
�
1
( )
( )
( )
, i � 0 1 2, , ,� , (18)
ãäå
� � �� �
� �
g p
D z z z
D z z z
D
n
n n
n n
n( )
( ; , , , )
( ; , , , )
1 2 3 3
1 2 3 3
�
�
�
�
� �
� �
1 1 2 2
1 1 2 2
( ; , , , )
( ; , , , )
,
�
�
z z z
D z z z
n
n n
�
�
(19)
�( ; )p z ze pz� ; �( , )p z e pz� ;
p W W
n V
z z
n n
n
n
0 0
3 2
1
� �
�
��
sign( )
( ) | |( ) ( )
( )
.
(20)
Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ïðèáëèæåíèÿ p0 (20) ê èñêîìîìó êîðíþ óðàâíåíèÿ (15)
îïðåäåëåíî ñ ó÷åòîì ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (16). Ïðè òàêîì âûáîðå çíà÷åíèÿ p0 åãî
çíàê âñåãäà áóäåò ñîâïàäàòü ñî çíàêîì èñêîìîãî ðåøåíèÿ. Ñîâïàäåíèå çíàêîâ íåîáõî-
äèìî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè èòåðàöèîííîãî ìåòîäà (18), ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ
g pn ( ) èìååò ðàçðûâ â òî÷êå p � 0. Ïðè òàêîì âûáîðå íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ p0 ïðîìå-
æóòî÷íûå çíà÷åíèÿ pi âñåãäà áóäóò îäíîãî çíàêà ñ èñêîìûì ðåøåíèåì. Ïðè ðåøåíèè
òåñòîâûõ çàäà÷ èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (18) ñõîäèëñÿ çà òðè–÷åòûðå èòåðàöèè.
ÎÖÅÍÊÀ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈß ÃËÀÄÊÈÌ
ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÛÌ ÑÏËÀÉÍÎÌ
Èññëåäóåì òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè f x( ) è åå ïðîèçâîäíîé íà
îòðåçêå [ , ]� � ãëàäêèì èíòåðïîëÿöèîííûì ñïëàéíîì (1). Ïóñòü ôóíêöèÿ f x( ) íå-
ïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà äî ( )m �1 -ãî ïîðÿäêà, ò.å. f x Cm m( ) ( ) [ , ]� ��1 1 � � .
Ïîñêîëüêó â ãëàäêîì èíòåðïîëÿöèîííîì ñïëàéíå (1) íà îáåèõ ãðàíèöàõ êàæ-
äîãî çâåíà âîñïðîèçâîäÿòñÿ çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f x( ), ò.å. âûïîë-
íÿåòñÿ óñëîâèå ýðìèòîâîé èíòåðïîëÿöèè êðàòíîñòè 2, òî ïîãðåøíîñòü ïðèáëè-
æåíèÿ ôóíêöèè f x( ) íà îòäåëüíîì çâåíå ñïëàéíà ïîëèíîìîì P a xm ( ; ) ñòåïåíè
m m( )� 3 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [5]
�
m
m
k i
i
m
k
f
m
x x x x
j j,
( ) ( )
( )!
( ) (0
1
0
2
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ) ( )x xk mj
� � �2 , � � �[ , ]x xk k mj j 2 . (21)
 ñëó÷àå ïîëèíîìîâ ñòåïåíè m � 3 è m � 4 ñïëàéí (1) — ýòî êëàññè÷åñêèé
ëîêàëüíûé ýðìèòîâûé ñïëàéí [6, 7] ñ ÷åòíûì m � �1 4 è íå÷åòíûì m � �1 5 êîëè-
÷åñòâîì ïàðàìåòðîâ â çâåíå. Ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ýòèìè ñïëàéíà-
ìè íà çâåíå, äëèíîé h, èññëåäîâàíà â ðàáîòàõ [6, 8], è åå çíà÷åíèå ðàâíî
�
3 0
4
4
4
2 4
,
( )| ( )|
!
�
h f
, �
4 0
5
5 2
5
2 5 5
, /
( )| ( )|
!
�
�
h f
,
(22)
ãäå �m ,0 — ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè ïîëèíîìèàëüíûì ýðìèòîâûì
ñïëàéíîì ñòåïåíè m, h x xk m kj j
� �� �( )2 — äëèíà çâåíà, à � � �[ , ]x xk k mj j 2 .
Äëÿ ïîëèíîìà ñòåïåíè m � 5 ñïëàéí (1) — ýòî ëîêàëüíûé ýðìèòîâûé ñïëàéí
ìàêñèìàëüíîãî äåôåêòà, ïîòîìó ÷òî íà êàæäîì çâåíå âî âñåõ âíóòðåííèõ óçëàõ
èíòåðïîëÿöèè x i mk ij � � �( , )1 3 äåôåêò ðàâåí m, à â êðàéíèõ óçëàõ, íà îáåèõ ãðà-
íèöàõ çâåíà [ , ]x xk k mj j � �2 , îí ðàâåí ( )m �1 .
68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Îöåíèì ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) íà îòäåëüíîì çâåíå ñïëàé-
íà (1) ïîëèíîìîì ïÿòîé ñòåïåíè P a x5 ( ; ). Äëÿ ýòîãî íàéäåì ìàêñèìóì ïîëèíîìà
� 6
2
1 2 3
2( ) ( ) ( )( )( )x x x x x x x x xk k k kj j j j
� � � � �� � � . (23)
Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ïîëèíîìà (23) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå
x x xk kj j
* ( ) /� � � 3 2 è ðàâíî
max | ( )|*
x x xkj kj
x
h
� � �
�
3
6
6
6 22 3
� ,
ãäå h x xk kj j
� �� 3 . Îòñþäà ìàêñèìàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè
f x( ) ñïëàéíîì (1) ñ ïîëèíîìèàëüíûìè çâåíüÿìè ñòåïåíè m � 5 ðàâíà
�
5 0
6
6 2
6
2 3 6
,
( )| ( )|
!
�
�
h f
, � �[ , ]x xk kj j 3 .
(24)
Èññëåäóåì òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f x( ) ïðîèçâîäíîé
ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî ñïëàéíà (1) ñ ïîëèíîìèàëüíûìè çâåíüÿìè. Äëÿ ïî-
ëèíîìà ñòåïåíè m � 3 ôóíêöèÿ ïîãðåøíîñòè èìåò âèä [5]
� 3
1
2 2 2
4
4
( )
( )
!
( )( )z
h z
f�
�
, � �[ , ]x xk kj j 1 , z h h� �[ , ]1 1 , (25)
ãäå h h x xk kj j
1 12 2� � ��/ ( ) / . Ôóíêöèÿ � 3 ( )z ìîæåò áûòü ôóíêöèåé ïîãðåø-
íîñòè èíòåðïîëÿöèè ôóíêöèè f x( ) ïîëèíîìîì òðåòüåé ñòåïåíè ( )m � 3 íà îò-
äåëüíîì çâåíå ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî ñïëàéíà (1), ïîñêîëüêó åå çíà÷å-
íèÿ â êðàéíèõ òî÷êàõ îòðåçêà èíòåðïîëèðîâàíèÿ äëÿ z h� � 1 ðàâíû íóëþ ñ
êðàòíîñòüþ 2, à âíóòðè îòðåçêà [ , ]�h h1 1 íå ïðèíèìàþò íóëåâûõ çíà÷åíèé
� 3 0( )z � . Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ïîãðåøíîñòè � 3 ( )z ðàâíà
� �
�
�� 3
2
1
2
4 4
3
( )
( )
!
( ) ( )( )z
z z h
f O h . (26)
Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
ïðîèçâîäíîé ñïëàéíà (1) ñ êóáè÷åñêèìè ïîëèíîìèàëüíûìè çâåíüÿìè ðàâíî
�
3 1 3
3
2 3 2
4
2 3 2 3 3
, /
( )| ( )|
!
� � �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
h h f
, � �[ , ]x xk kj j 1 , (27)
z h1 2 2 3, / ( )� � — òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè ïîãðåøíîñòè � � 3 ( )z .
Äëÿ ïîëèíîìà ñòåïåíè m � 4 ôóíêöèÿ ïîãðåøíîñòè èìååò âèä
� 4
1
2 2 2
5
5
( )
( )
!
( )( )z
h z z
f�
�
, � �[ , ]x xk kj j 2 , z h h� �[ , ]1 1 , (28)
ãäå h h x xk kj j1 22 2� � ��/ ( ) / . Ôóíêöèÿ � 4 ( )z ìîæåò áûòü ôóíêöèåé ïîãðåø-
íîñòè èíòåðïîëÿöèè ôóíêöèè f x( ) ïîëèíîìîì ÷åòâåðòîé ñòåïåíè íà îòäåëü-
íîì çâåíå ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî ñïëàéíà (1), ïîñêîëüêó â êðàéíèõ òî÷-
êàõ îòðåçêà èíòåðïîëèðîâàíèÿ (ãðàíèöàõ çâåíà) ïðè z h� � 1 ôóíêöèÿ � 4 ( )z è
åå ïðîèçâîäíàÿ �� 4 ( )z ïðèíèìàþò íóëåâîå çíà÷åíèå, â ñðåäíåé òî÷êå çâåíà
x x xk k kj j j� �� �1 2 2( ) / åå çíà÷åíèå ðàâíî íóëþ, à âî âñåõ äðóãèõ òî÷êàõ îòðåç-
êà [ , ]x xk kj j � 2 íå ïðèíèìàåò íóëåâûõ çíà÷åíèé � 4 0( )z � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 69
70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ïîãðåøíîñòè � 4 ( )z èìååò âèä
� �
� �
�� 4
2
1
2 2
1
2
5 5
5
5
( )
( )( )
!
( ) ( )( )z
z h z h
f O h .
Ìàêñèìóì ôóíêöèè | ( )|�� 4 z äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå z � 0 è ñîîòâåòñòâåííî ïî-
ãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ïðîèçâîäíîé ðàâíà
�
4 1 4
4
4
5
0
2 5
,
( )
| ( )|
| ( )|
!
� � ��
h f
, � �[ , ]x xk kj j 2 . (29)
Äëÿ ïîëèíîìà ñòåïåíè m � 5 ôóíêöèÿ ïîãðåøíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
� 5
1
2 2 2 2
1
2
6
3
6
( )
( ) ( / )
!
( )( )z
h z z h
f�
� �
, � �[ , ]x xk kj j 3 , z h h� �[ , ]1 1 ,
ãäå h h x xk kj j1 32 2� � ��/ ( ) / . Ôóíêöèÿ � 5 ( )z ìîæåò áûòü ôóíêöèåé ïîãðåø-
íîñòè äëÿ ñïëàéíà (1) ïðè m � 5, ïîòîìó ÷òî â êðàéíèõ òî÷êàõ èíòåðâàëà ïðè-
áëèæåíèÿ (ãðàíèöàõ çâåíà) ïðè z h� � 1 îíà âìåñòå ñî ñâîåé ïåðâîé ïðîèçâîä-
íîé ïðåâðàùàåòñÿ â íóëü, à òàêæå ðàâíà íóëþ â äâóõ âíóòðåííèõ óçëàõ xkj �1
è xkj � 2 , ò.å. ïðè z h� � 1 3/ , âî âñåõ äðóãèõ òî÷êàõ îòðåçêà [ , ]x x
k k
j j � 3 ôóíêöèÿ
ïîãðåøíîñòè íå ïðèíèìàåò íóëåâûõ çíà÷åíèé: � 5 0( )z � . Ïðîèçâîäíàÿ ôóíê-
öèè ïîãðåøíîñòè � 5 ( )z îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
� �
� ��
�
�
�
�
�
�� 5
2
1
2 2
1
2
6 6
2 3
11
9
6
( )
( )
!
( ) ( )( )z
z z h z h
f O h . (30)
Ìàêñèìàëüíîå ïî ìîäóëþ çíà÷åíèå ôóíêöèÿ �� 5 ( )z ïðèíèìàåò â òî÷êàõ
z h� � 1 6/ , ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ïðî-
èçâîäíîé ôóíêöèè f x( ) ïðîèçâîäíîé ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî ñïëàéíà (1)
ñ ïîëèíîìèàëüíûìè çâåíüÿìè ïÿòîé ñòåïåíè ðàâíî
�
5 1 5
2 5
5
6
6
2
3 6
,
( )| ( )|
!
� � ��
�
�
�
�
� ��
h h f
, � �[ , ]x xk kj j 3 . (31)
 ñëó÷àå ïðèáëèæåíèÿ ãëàäêèì èíòåðïîëÿöèîííûì ñïëàéíîì (1) ïîãðåø-
íîñòü ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) íà j-ì çâåíå ñïëàéíà âûðàæåíèåì F a xm ( ; )
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
�
m
j m
k i
i
m
k
f F
m
x x x x
j j,
( , )
( )!
( ) ( )0
0
2
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
� ( ),x xk mj
� � �2 (32)
ãäå
j mf F( , ) — ÿäðî ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) âûðàæåíèåì
F a xm ( ; ) [9]. Äëÿ ÿäðà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) ñóìîé ïîëè-
íîìà è ýêñïîíåíòû (5) íà j-ì çâåíå ñïëàéíà [ , ]x xk k mj j � �2 â ðàáîòå [10] ïîëó-
÷åíà ôîðìóëà
j m
m
j
m
j
m
j
f F f
f
f
( , ) ( )
( ( ))
( )
( )
( )
( )
� ��
�
1
2
1
, j k k mx x
j j
� � �[ , ]2 . (33)
Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì ôîðìóë (22), (24) è (25), åñëè f x C m( ) [ , ]� �1 � � ,
ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) íà j-ì çâåíå ãëàäêèì èíòåðïîëÿöèîí-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 71
íûì ñïëàéíîì ñóììîé ïîëèíîìà è ýêñïîíåíòû (5) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
�
m
m
j mMh f F, ( , )0
1� � äëÿ m � 3 5, , (34)
ãäå
M
m mm
�
� �� � �
1
2 1 12 3 4 2( ) ( )/( ) ( ) !� �
, � �
�
1
0
,
,
åñëè
åñëè
m
m
h t tj j� ��1 , j j jt t� �[ , ]1 , à
j mf F( , ) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (33).
Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f x( )
íà j-ì çâåíå ïðîèçâîäíîé ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî ñïëàéíà ñóììîé ïîëè-
íîìà è ýêñïîíåíòû ñïðàâåäëèâû òàêèå îöåíêè:
�
3 1
3
2 3 2
3
2 3 3
, /
( , )
!
�
h f Fj
, �
4 1
4
4
4
2 5
,
( , )
!
�
h f Fj
, �
5 1
5
5
54
3 6
,
( , )
!
�
h f Fj
. (35)
Ïîñêîëüêó ÿäðî ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) ïîëèíîìîì ñòå-
ïåíè m ðàâíî ( )m �1 -é ïðîèçâîäíîé f xm( ) ( )�1 ( ( , ) ( ))( )
f P f xm
m� �1 , òî îöåí-
êè (34) è (35) ñïðàâåäëèâû òàêæå è äëÿ ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî ñïëàéíà
ñ ïîëèíîìèàëüíûìè çâåíüÿìè.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïîñòðîåíèå ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî ñïëàéíà (1) ñ ïîëèíîìèàëüíûìè çâåíü-
ÿìè äëÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè f x( ) íà îòðåçêå [ , ]� � ñâîäèòñÿ
ê îïðåäåëåíèþ êîýôôèöèåíòîâ ïîëèíîìîâ ôèêñèðîâàííîé ñòåïåíè íà êàæäîì èç
åãî çâåíüåâ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âèäà (2). Íåîáõîäè-
ìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ãëàäêîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî ñïëàé-
íà ñóììîé ïîëèíîìà è ýêñïîíåíòû ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ (6). Ýòîìó
óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò, â ÷àñòíîñòè, ôóíêöèè, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå
äî n-ãî ïîðÿäêà, n-ÿ ïðîèçâîäíàÿ êîòîðûõ ñòðîãî ìîíîòîííà íà [ , ]� � , çà èñêëþ-
÷åíèåì ïîëèíîìà ( )n �1 -é ñòåïåíè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ýêñïîíåíòû öåëå-
ñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü èòåðàöèîííóþ ôîðìóëó (18). Ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ
ôóíêöèè f x( ) íà j-ì çâåíå ãëàäêèì èíòåðïîëÿöèîííûì ñïëàéíîì îïðåäåëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå (34), à îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
ïðîèçâîäíîé ñïëàéíà — ïî ôîðìóëàì (35).
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ä å Á î ð Ê . Ïðàêòè÷åñêîå ðóêîâîäñòâî ïî ñïëàéíàì. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1985. — 304 ñ.
2. Ì à ë à ÷ ³ â ñ ü ê è é Ï . Íåïåðåðâíà àïðîêñèìàö³ÿ õàðàêòåðèñòèêè òåðìîä³îäíîãî ñåíñîðà ³
éîãî ÷óòëèâîñò³ ñóìîþ ìíîãî÷ëåíà é åêñïîíåíòè ç íåë³í³éíèì ïàðàìåòðîì // Âèìiðþâàëüíà
òåõíiêà òà ìåòðîëîãiÿ. — 2008. — ¹ 69. — Ñ. 84–89.
3. Ì à ë à ÷ i â ñ ü ê è é Ï . , Ï ³ ç þ ð ß . , À í ä ð ó í è ê  . Íåïåðåðâíå é ãëàäêå ð³âíîì³ðíå
ñïëàéí-íàáëèæåííÿ òåìïåðàòóðíî¿ õàðàêòåðèñòèêè ñåíñîðà òà éîãî ÷óòëèâîñò³ // Òàì æå. —
2007. — ¹ 67. — Ñ. 24–30.
4. Ñ ê î ï å ö ü ê è é  .  . , Ì à ë à ÷ ³ â ñ ü ê è é Ï . Ñ . Åðì³òîâà ³íòåðïîëÿö³ÿ ñóìîþ ïîë³íîìó
é íåë³í³éíîãî âèðàçó // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2010. — ¹ 9. — Ñ. 34–39.
5. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , à ó ë è í À .  . ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 432 ñ.
6. Ç à â ü ÿ ë î â Þ . Ñ . , Ê â à ñ î â Á . È . , Ì è ð î ø í è ÷ å í ê î Â . Ë . Ìåòîäû ñïëàéí-
ôóíêöèé. — Ì.: Íàóêà, 1980. — 352 ñ.
7. Ê î ð í å é ÷ ó ê Í . Ï . Ñïëàéíû â òåîðèè ïðèáëèæåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1984. — 352 ñ.
8. Ë è ã ó í À . À . , Ø ó ì å é ê î À . À . Îïòèìàëüíûé âûáîð óçëîâ ïðè ïðèáëèæåíèè ôóíêöèé
ñïëàéíàìè // Äîêë. ÀÍ ÓÑÑÐ. — 1984. — Ñåð. À, ¹ 6. — Ñ. 18–22.
9. Ï î ï î â Á . À . Pàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå ñïëàéíàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1989. — 272 ñ.
10. Ï ³ ç þ ð ß . Íàáëèæåííÿ ôóíêö³é åðì³òîâèìè ñïëàéíàìè ç åêñïîíåíö³àëüíèìè ëàíêàìè //
³ñí. Íàö. óí-òó «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà». — 2006. — ¹ 566. — Ñ. 68–75.
Ïîñòóïèëà 25.06.2010
÷åòíîå,
íå÷åòíîå,
|