Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа
Досліджено точність скінченно-різницевої апроксимації задачі на власні значення для оператора Лапласа з крайовими умовами Діріхле у двовимірній області складної форми та одержано оцінку похибки власних функцій класу W2 2 (). у сітковій нормі W2 1 (). . The accuracy of the finite-difference approxima...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84240 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа / Н.В. Майко, В.Г. Приказчиков, В.Л. Рябичев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 131-139. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860254559784402944 |
|---|---|
| author | Майко, Н.В. Приказчиков, В.Г. Рябичев, В.Л. |
| author_facet | Майко, Н.В. Приказчиков, В.Г. Рябичев, В.Л. |
| citation_txt | Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа / Н.В. Майко, В.Г. Приказчиков, В.Л. Рябичев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 131-139. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Досліджено точність скінченно-різницевої апроксимації задачі на власні значення для оператора Лапласа з крайовими умовами Діріхле у двовимірній області складної форми та одержано оцінку похибки власних функцій класу W2 2 (). у сітковій нормі W2 1 (). .
The accuracy of the finite-difference approximation of the eigenvalue problem with the Dirichlet boundary conditions for the Laplace operator in an arbitrary domain is investigated and an eigenfunction error estimate is obtained in the grid norm of W2 2 (). under the condition that eigenfunctions belong to W2 1 ().
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:47:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Í.Â. ÌÀÉÊÎ, Â.Ã. ÏÐÈÊÀÇ×ÈÊÎÂ, Â.Ë. ÐßÁÈ×ÅÂ
ÒÎ×ÍÎÑÒÜ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÑÕÅÌÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×È
ÍÀ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÅ ÇÍÀ×ÅÍÈß ÄËß ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ËÀÏËÀÑÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: îïåðàòîð Ëàïëàñà, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ðàçíîñòíàÿ ñõå-
ìà, ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå èññëåäóåòñÿ òî÷íîñòü ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè çàäà÷è
íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè Äè-
ðèõëå â äâóìåðíîé îáëàñòè ñëîæíîé ôîðìû.  íàó÷íîé ëèòåðàòóðå îïèñàíû
ðàçëè÷íûå äèñêðåòíûå àíàëîãè îïåðàòîðà Ëàïëàñà, îäíàêî íå âñå îíè îêàçû-
âàþòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûìè ðàçíîñòíûìè îïåðàòîðàìè (ñì., íàïðèìåð, [1, ñ. 241]).
 íàøåì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ òàêàÿ æå, êàê è â [2], àïïðîêñèìàöèÿ îïåðàòîðà
Ëàïëàñà íà ïÿòèòî÷å÷íîì øàáëîíå íåðàâíîìåðíîé ñåòêè, ïðèâîäÿùàÿ ê ñàìî-
ñîïðÿæåííîìó ðàçíîñòíîìó îïåðàòîðó.
 [2] èññëåäîâàíà òî÷íîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû ðåøåíèÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà-
÷è äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè â äâóìåðíîé
îáëàñòè � ñëîæíîé ôîðìû è ïîëó÷åíû îöåíêè
| | | | ( )y u MhC� ��
2 , | | | |
( )
/y u Mh
W
� �
2
1
3 2
�
â ïðåäïîëîæåíèè u C� 4 ( )� , ãäå u y, — ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî äèôôåðåíöè-
àëüíîé è ðàçíîñòíîé çàäà÷, M — ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò
øàãà h.
Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ ýòîé æå çàäà÷è â ïðåäïîëîæåíèè u W m�
2
( )� ïðè
m � 2 3, èññëåäîâàíà â [3], ãäå ïîëó÷åíà îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè
| | | | | | | |
( )
/
( )
y u Mh u
W
m
W m� �
2
1
2
2
� � h h h� ��
�
�
1
2
2
2 .
Öåëü äàííîé ðàáîòû — ïîëó÷åíèå îöåíêè òîãî æå òèïà ïðè óñëîâèè ïðèíàä-
ëåæíîñòè îáîáùåííûõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé êëàññó W
2
2 ( )� .
1. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
� � �
�
�
�
�
�
��u
u
x
u
x
u
2
1
2
2
2
2
� , x x x� �( , )1 2 � , (1)
u x x x� � � � �0 1 2, ( , ) � � . (2)
Íàïîìíèì, ÷òî íå ðàâíàÿ íóëþ ôóíêöèÿ u W�
2
1
�
( )� íàçûâàåòñÿ îáîáùåííîé
ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è, èëè çàäà÷è Äèðèõëå, äëÿ îïåðàòî-
ðà L � ��, åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëî � òàêîå, ÷òî ôóíêöèÿ u ïðè âñåõ v W�
2
1
�
( )�
óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó òîæäåñòâó
�
�
�
�
�
�
��� ��
u
x
v
x
dx uvdx
� ��
�
1
2
� �
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 131
� Í.Â. Ìàéêî, Â.Ã. Ïðèêàç÷èêîâ, Â.Ë. Ðÿáè÷åâ, 2011
×èñëî � íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì (ñ.ç.), ñîîòâåòñòâóþùèì
ñîáñòâåííîé ôóíêöèè (ñ.ô.) u, êîòîðóþ ñ÷èòàåì íîðìèðîâàííîé, íàïðèìåð,
óñëîâèåì | | | | ( )( )
/
u u x dxL2
2
1 2
1� �
�
�
�
���
�
.
Èçâåñòíî [4, 5], ÷òî çàäà÷à (1), (2) èìååò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ
ñ.ç.:
0 1 2� � � � �� � �� �n ( lim
n
n
��
� ��� ).
Êðîìå òîãî, åñëè � �� C k ïðè íåêîòîðîì k � 2 , òî ëþáàÿ ñ.ô. u çàäà÷è (1),
(2) ïðèíàäëåæèò W k
2
( )� [4, ñ. 251]. Åñëè k n� �[ / ]2 1 , òî u C k n� �� �[ / ] ( )2 1 �
� C ( )� . Åñëè � �� C 2 , òî ñ.ô. u W�
2
2 ( )� è u C� ( )� .
Èçâåñòíî òàêæå [4, ñ. 192], ÷òî â îáîáùåííîé ïîñòàíîâêå çàäà÷à (1), (2) ýêâè-
âàëåíòíà ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷å
�1
1
2
2
1
2
� �
�
�
��inf | |
( )
|| || ( )
v W
v L
v dx
�
� �
�
, � k
v W
v u j k
v
j L
L
�
�
� �
inf
( )
( , ) , , , , –
|| ||
( )
( )
2
1
2
2
0 1 2 1
�
�
�
�
� �
� ���
1
2 2 3| | , , ,v dx k �
�
,
ãäå uk — k-ÿ ñ.ô., � k — k-å ñ.ç.
2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî � — âûïóêëàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé ��C 2 . Ñëåäóÿ
[3, c. 125], ïðîâåäåì ïðÿìûå x x i h
i
� � � �
�� �( )
, i� � 0, � �1 2, ,� , ïåðïåíäèêóëÿð-
íûå êîîðäèíàòíîé îñè Ox� ( � �1 2, ). Ìíîæåñòâî ïðèíàäëåæàùèõ � òî÷åê ïåðå-
ñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ îáîçíà÷èì � è íàçîâåì ìíîæåñòâîì âíóòðåííèõ óçëîâ.
Ìíîæåñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ x x
i
� �
�� ( )
, i� � 0, � �1 2, ,� , ñ ãðàíèöåé �
îáîçíà÷èì � � è íàçîâåì ìíîæåñòâîì ãðàíè÷íûõ óçëîâ ïî íàïðàâëåíèþ x� .
Ïóñòü � �
� è � �
� — ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâà ëåâûõ è ïðàâûõ ãðàíè÷íûõ óçëîâ
ïî íàïðàâëåíèþ x� . Î÷åâèäíî, � � �� � �� �� � . Ìíîæåñòâî � � �� �1 2 íàçîâåì
ìíîæåñòâîì ãðàíè÷íûõ óçëîâ.
Ïðîâåäåì ïðÿìûå x x x x
i i i
� � � �
� � �� � �� �( , ) ( ) ( )
, ( )
0 5 1
0 5 , i� � � �0 1 2, , ,� ,
� �1 2, . Äëÿ êàæäîãî óçëà x x x� �( , )1 2 � ïîñòðîèì ïðÿìîóãîëüíèê �( )x , îãðàíè-
÷åííûé îòðåçêàìè ýòèõ ïðÿìûõ, è ÿ÷åéêó ~( ) ( )e x x� �� � . Ìíîæåñòâî âíóòðåí-
íèõ óçëîâ, äëÿ êîòîðûõ ~( ) ( )e x x� � , îáîçíà÷èì � � (� �� � ). ß÷åéêà ~( )e x îãðà-
íè÷åíà äâóìÿ îòðåçêàìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè îñè Ox� ; îáîçíà÷èì èõ l�
� è l�
� .
Äëÿ óçëà x�� � ÿ÷åéêà ~( )e x îãðàíè÷åíà òàêæå ÷àñòüþ �� êðèâîé �. Çàìåíèì
äóãó �� îòðåçêîì �l. Îáîçíà÷èì e x( ) ÿ÷åéêó, îãðàíè÷åííóþ îòðåçêàìè l� �� �, ,1 2,
è îòðåçêîì �l. Âñëåäñòâèå ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî � è � ïëîùàäè e x( ) è
~( )e x îòëè÷àþòñÿ íà O h( )2 , h h h2
1
2
2
2� � .
Ñåðåäèíû îòðåçêîâ, îãðàíè÷èâàþùèõ �( )x è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñè Ox� ,
íàçîâåì ïîòîêîâûìè óçëàìè ïî íàïðàâëåíèþ x� ; ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ óçëîâ
îáîçíà÷èì ~� � , à ìíîæåñòâî âñåõ ïîòîêîâûõ óçëîâ — ~ ~ ~� � �� �1 2 .
Àïïðîêñèìèðóåì çàäà÷ó (1), (2) ðàçíîñòíîé ñõåìîé
� � � � � � � y y y y x x xx x x x
h
1 1 2 2 1 2� � , ( , )� �, (3)
y x x x� � �0 1 2, ( , ) �, (4)
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
ãäå y
y y
h
x�
( , ) ( , )
�
� �
�
�
�� �0 5 0 5
, y
y y
h
x�
�
�
�
( , )
( )
�
�
�
�
�0 5
1
, y
y y
h
x�
�
�
�
( , )
( )
�
�
�
�
�0 5
1
,
y y x
( ) ( )
( )
� ��1 1� � , y y x
( , ) ( , )
( )
� ��0 5 0 5� � , x
( )�1� — óçëû, ñîñåäíèå ñ óçëîì
x�� ïî íàïðàâëåíèþ x� , h�
� — ðàññòîÿíèå ìåæäó óçëàìè x è x
( )�1�
( )0� ��h h� � , y
h
y y
h
y y
h
x x� �
� �
� � �
�
( ) ( )
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
1
1 1
, � �1 2, .
Ââåäåì ïðîñòðàíñòâà ñåòî÷íûõ ôóíêöèé
Y y y x x� � �{ }( ), � , Y y y x x y x
�
� � � � �{ ïðè }( ), ;� �0
è îïðåäåëèì ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ è íîðìû:
( , ) ( ) ( )y z h h y x z x
x
�
�
�
�
� 1 2 , | | | | ( , )y y y� �� ,
( , ) ( ) ( )~
~( , )
y z h h y x z x
x x
� � �
�
�
�
�
� ! !�
�
!� ��
� 3
0 5
, | | | | ( , )~ ~y y y� �� �
� ,
( , ) ( , )~ ~y z y z� �
�
�
�
�
�
1
2
, | | | | ( , )y y y� �� ,
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
( )
~ ~y y y y y
W
x
2
1
2 2 2 2 2
�
� � � �� �
� � � � �
��
�
1
2
,
� � �� � �
y x y y x
x x( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )0 5 0 5 0 5�
�
�
�
� .
Ëåììà 1. Îïåðàòîð A Y Y� � � :
�
ñàìîñîïðÿæåí è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí.
Íåïîñðåäñòâåííî óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàâåíñòâî ( , ) ( , )� ~y z y zx x� � �� �� � . Òîãäà
( , ) ( , ) ( , )� ~Ay z y z y zx x x x� �
�
�
�
� � � � �
� � �
� �
� �
1
2
1
2
, ÷òî è äîêàçûâàåò ñàìîñîïðÿæåí-
íîñòü îïåðàòîðà. Îòñþäà âûòåêàåò ïîëåçíîå â äàëüíåéøåì ñîîòíîøåíèå
( , ) ( , ) | | | |~ ~Ay y y y yx x� �
�
�� � �
� � �
�
�
1
2
2 .
Ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü îïåðàòîðà è îöåíêà ( , ) | | | |Ay y y� ��� 2 , ãäå
� � 4 2/ D , D — äèàìåòð îáëàñòè �, äîêàçàíû, íàïðèìåð, â [3, ñ. 128]. �
Ñ÷èòàåì, ÷òî ñ.ô. çàäà÷è (3), (4) íîðìèðîâàíû óñëîâèåì | | | |y � �1 .
Èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî çàäà÷à (3), (4) ýêâèâàëåíòíà ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷å
� �
� �1
2 2 2 3h
v
s
h
v
v v s� � � � �inf | | | | , inf | | | | , , ,~ ~ � ,
ïðè óñëîâèÿõ ( , ) , ( , )( )v v v y k
� �� �1 0, k s� �1 2 1, , ,� .
Ëåãêî óñòàíàâëèâàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
( , )( ) ( )y yk k
� �1 , | | | |( )
~� �y k
k
h
�
�2 , y y
x x
k
x x
k
k
h
1 1 2 2
2
21
�
( )
�
( ) , ( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 133
è äâóìåðíàÿ îöåíêà äëÿ ñ.÷. ïðè h
l
k
l
k
�
"
#
$
%
&
'
min 1
1
2
23 3
,
9 1
1
2
2
2
2 1
1 2
k
L
k
L
k
lk
h
k k
h�
�
�
�
�
�
�
(
)
*
+
,
- � � �� � �
1
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
(
)
*
+
,
-
k
l
,
ãäå l l L L1 2 1 2, , , — äëèíû ñòîðîí ñîîòâåòñòâåííî âïèñàííîãî â � è îïèñàííîãî
îêîëî � ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Òîãäà ïî àíàëîãèè ñ ðàáîòîé [5] äëÿ íåêîòîðîé ïîä-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñãóùàþùèõñÿ (h� 0) ïðÿìîóãîëüíûõ ñåòîê ìîæíî äîêàçàòü:
1) ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíûõ ñ.÷. �
k
h ê ñ.÷. � k èñõîäíîé çàäà÷è; 2) ñèëüíóþ ñõîäè-
ìîñòü â L( )� êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ èíòåðïîëÿöèé ñåòî÷íûõ ñ.ô. yk è èõ ïåðâûõ
ðàçíîñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñîîòâåòñòâåííî ê ñ.ô. uk è åå ïåðâûì ïðîèçâîäíûì;
3) ñëàáóþ ñõîäèìîñòü êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ èíòåðïîëÿöèé âòîðûõ ðàçíîñòíûõ ïðî-
èçâîäíûõ ñ.ô. äèñêðåòíîé çàäà÷è êî âòîðûì ïðîèçâîäíûì ñ.ô. èñõîäíîé çàäà÷è.
 ÷àñòíîñòè, ó÷èòûâàÿ ñëàáóþ ñõîäèìîñòü èíòåðïîëÿöèé ñåòî÷íûõ ñ.ô., ïî-
ëó÷àåì ñîîòíîøåíèå lim
h k k
u y
�
�
0
1( , )� , îòêóäà ñëåäóåò èñïîëüçóåìàÿ â ï. 3 îöåí-
êà | ( , ) |u y Ck k � � . 0 äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ øàãîâ h.
3. Ïóñòü z y u� � — ïîãðåøíîñòü ñ.ô. íîìåðà k. Ïîäñòàâëÿÿ y z u� � â ðàç-
íîñòíóþ ñõåìó (3), (4), ïîëó÷àåì äëÿ z çàäà÷ó
� � � � z z xh� � �, , (5)
z x� �0, �, (6)
ãäå � �� �hu u — ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè. Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ � â äèâåð-
ãåíòíîì âèäå ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (1) ïî ÿ÷åéêå e x( ) è ðàçäåëèì íà h h1 2 :
� � �
�
� �
�h
e x
h h
udx
h h
l w l w
1 1
1 2 1 2
0 5
1
2
0
( )
( , ) (
�� �� ! � !� �
�
� � , ) ( )( )
5
1
2
0�
�
�
� �
�
�
�
x lw� ,
ãäå w
l
u
x
dx
l
�
� �
�
�
�
( , )�
� ��
�
��
�
0 5
3
1
, w
l
u
n
dl
l
( )0 1
�
�
���
�
,
�
n — åäèíè÷íûé âåêòîð âíåø-
íåé íîðìàëè ê ãðàíèöå ÿ÷åéêè e x( ),
�
� �
�
�
( )
, ,
, \ .
x
x
x
�
�
�
(
)
*
1
0
åñëè
åñëè
Øòðèõ ó çíà-
êà ïåðâîé (âòîðîé) ñóììû îçíà÷àåò, ÷òî â íåé îòñóòñòâóåò ñëàãàåìîå, äëÿ êî-
òîðîãî l�
� �/ (l�
� �/).
Ëåììà 2 [3, ñ. 129–132]. Äëÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè � èìååò ìåñòî
ïðåäñòàâëåíèå
� � � � �
�
�
�
� � � � � �
�
�h h
xu u u ( ) �
1
2
,
(7)
ãäå
� �
�
� �
�
� � �
( , )
( , ) ( , )
( ,
, ,
�
� � �
�
��
� �
0 5
0 5 0 5
3
0
u w l h
u
x
x
åñëè
5 0 5
3
0 5
1� � �
�
�
�
� �
) ( , ) ( , )
( ~ ),� � �
�
�
�
��
�
�
�
w
l
h
w w åñëè
åñëè
0
0
3
0 5
� �
� �
(
)
*
*
*
*
*
*
�
�
� �
l h
u w l
x
� �
� �
�
�
,
~ , ,
( , )
~w
l
u
x
dl
l
�
�
�
�
��
1
�
�
,
� � ��u
h h
udx
e x
1
1 2 ( )
.
134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Âñëåäñòâèå ñàìîñîïðÿæåííîñòè ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà A èç (5), (6) ïîëó÷èì
óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ( , )� �y � 0. Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ ïðåäñòàâëåíèå (7), èìååì
( )( , ) ( , ) ( , ) ~� � �
�� � �
�
� �
h
xu y y y� � �
�
�
1
2
.
Ïðèìåíÿÿ â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâî Êîøè–Áóíÿêîâñêîãî, ñîîòíîøåíèå
| | | | | | | |~ ~� �� ��
� è ðàâåíñòâî | | | | | | | |� � �y yh h
� �� �2 , ïîëó÷àåì
| | ( , ) | | | | | | | | | | | | | | | |~ ~� � �
�� � � � �
�
� � �
h
xu y y y� � �
�
�
1
2
�
� � � � ��
� �
� �� � � � � �| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |~ ~ ~y y h .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî | ( , ) |u y � � .const 0 äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ h, èìååì
| | (| | | | | | | | )~� �
�� �
h M� � � . (8)
Çäåñü è äàëåå M îáîçíà÷àåò ðàçëè÷íûå ïîñòîÿííûå, íå çàâèñÿùèå îò h.
Ïðåäñòàâèâ z â âèäå ñóììû z v w� � , ãäå v — ðåøåíèå çàäà÷è
� � � v x� �, , (9)
v x� �0, �, (10)
w — ðåøåíèå çàäà÷è
� � � � w w v xh h� � �, , (11)
w x� �0, �. (12)
Ïîëó÷èì îöåíêó äëÿ v :
| | | | ( , ) ( , ) ( )( , ) ( , ) (~ �� � � � � � �v Av v v u v vh
x� � � � �� � � �
�2
� �
�
, )v
�
� �
1
2
� � � � �
�
�( )( , ) ( , ) ( , ) ~� � �
�� � �
�
� �
h
xu v v v
1
2
� � � � � �| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |~ ~� � �
�� � � � � �
h u v v v
� � � �
�
�
�
�| | | | | | | | | | | | | | | | | |~ ~� �
�
�
�
�� � � �
h u v
1 1
.
Îòñþäà ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (8) èìååì
| | | | (| | | | | | | | )~ ~� � �v M� � �
� . (13)
Óñòàíîâèì îöåíêó äëÿ w. Ëþáîå ðåøåíèå íîìåðà k çàäà÷è (11), (12) â ñëó-
÷àå, íàïðèìåð, íåêðàòíîãî �
k
h ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû w w yk k k k� �� ,
ãäå w
v y
yk
k
h
k j
j
h
k
h j
j k
�
��
�
�
� �
�( , )
, � k — ïîñòîÿííàÿ, ïðîèçâîëüíîñòü â âûáîðå êîòî-
ðîé îãðàíè÷åíà óñëîâèåì íîðìèðîâêè. (Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è (11), (12) ãàðàíòè-
ðóåòñÿ âûïîëíåíèåì óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè ( , )v y � � 0.) Èìååì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 135
| | | | ( , )
( , )
,~� � �
��
�w Aw w
v y
Ayk k k
k
h
k j
j
h
k
h j
j k
k
h
� �
��
� �
�
2
( , )v y
y
k p
p
h
k
h p
p k
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �k
h
k j
j
h
k
h j
h
j k
k
h
k j
j
h
v y v y( , ) ( , )
2
�
�
�
�
� � �
�
�
�
� � �
k
h j
h
k
h
k
h
j k
2
( )
�
�
�
��
�( )
( , )
( )
( )
( , )
(
�
� �
�
�
� �
k
h k j
j
h
k
h
j k
k
h k j
j
h
v y v y2
2
3
2
�
k
h
j k )2
�
� .
Ïóñòü � k — ïðîñòîå ñ.ç. çàäà÷è (1), (2). Îáîçíà÷èì a k k� � �min {| | ,� � 1
| |� �k k� �1 }, òîãäà | |� �k j a� � äëÿ âñåõ j k� . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïðè-
ìåì, ÷òî äëÿ âñåõ j k� | | | |� � � �j
h
k
h
k
h
k
h� � ��1
. Èç ñõîäèìîñòè � �
k
h
k� ,
� �
k
h
k� ��
1 1 ïðè h� 0 âûòåêàþò íåðàâåíñòâà | | /� �
k
h
k a� � 4,
| | /� �
k
h
k a� �� �
1 1 4 äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ h. Òîãäà
| | | |� � � � � � � �
k
h
k
h
k
h
k k k k k
h� � � � � � � �� � � �1 1 1 1
� � � � � � � � � �� � �| | | | | |� � � � � �k k k
h
k k k
h a
a a a
1 1 1 4 4 2
,
çíà÷èò, | | | | /� � � �j
h
k
h
k
h
k
h a� � � ��1
2 äëÿ âñåõ j k� . Ñëåäîâàòåëüíî,
| | | | ( ) ( ) ( , )~� � �
�
�
�
�
�w
a a
v yk k
h
k
h
k j
j k
� �� �2 2 3
2
22 4
� � �M v M vk k| | | | | | | | .~� ��
2 21
(14)
Îöåíèì òåïåðü ïàðàìåòð � k . Èìååì
z v w v w y z yk k k k k k k k k k� � � � � � �� � (z v wk k k� � ).
Òàê êàê ( , )z yk k � � 0, òî
� � � �k k k k k k k kz y y u y u y� � � � � �( , ) ( , ) ( , )1 0 ïðè h� 0.
Îáîçíà÷èì � �k k ku u� �1 ( , ) ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè óñëîâèÿ íîðìè-
ðîâêè u dx
k
2 1���
�
. Òîãäà
� � � �k k k k k k k k k k ku u y z y z y z z z� � � � � � � � �1 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )
� � � � � � �2 2 2 2� � � � �� �k k k k k k k k k k
z y z y z( , ) | | | | .
Îòñþäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ � k :
� � � �k k k kz2 22 0� � � �| | | | .
Ïîñêîëüêó � k � 0 ïðè h� 0 , òî
| | | | | |
| | | | | |
| | | |
� �
�
�
�
�
�
k k k
k k
k k
z
z
z
� � � � �
�
� � �
�1 1
1 1
2
2
2
| | | | | |� �k kz� �2
136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
� � � � � � �| | | | | | | | (| | | | | | | | )� �� � �k k k k k kv w v w2 2 22
� � � � � �| | (| | | | | | | | )~ ~�
� � �k k kv w
2 2 2
� � � � � � � �| | (| | | | | | | | ) | | | | | |~ ~ ~�
�
�
� � �k k k k kv w M v
2 2 2 2 . (15)
Ñîáèðàÿ îöåíêè (13)–(15) è îïóñêàÿ èíäåêñ k, èìååì
| | | | | | ( )| | | | | | | | | |~ ~ ~ ~� � � � � � � � � �z v w y v wk k k k k k k� � � �� | | | | | | ~� �k ky0 � �
� � � � �M (| | | | | | | | | | (| | | | | | | | ) )~ ~
� �
�� � � �
2 .
Îòñþäà è èç ñîîòíîøåíèÿ | | | | | | | | | | | | | | | |
( )
~ ~z z z z
W2
1
2 2 2 21
�
� � �
�
�
� � � �
�
� ïîëó÷èì
| | | | (| | | | | | | | | | (| | | | | | | | )
( )
~ ~z M
W2
1
2
� � � � �
� �
�� � � � � ). (16)
4. Äëÿ | | | | ~� � [3, ñ. 134] âûïîëíÿåòñÿ
| | | | | | | |~
( )
� � � Mh u
W2
2 � . (17)
Îöåíèì | | | |
� . Åñëè x�� � �\ , òî
e x x x h x h( ) ( ) ( , ): , , , ,� � � � � � �� { }
�� � � � �1 2 0 5 0 5 1 2 .
Ôóíêöèîíàë
� �
�
�
�
�u x x
h h
d u d
x h
x h
x
( , ) ( , )
,
,
1 2
1 2
1 1 2 2
0 5
0 5
1
2 2
2 2
1 0 5
0 5
1
1 1
,
,
h
x h
x
h
s
�
� �
�
�
(
)
*
+
,
- �
� �
�
�
� �
��
��~( , ) ~ ( , )
,
,
,
,
u ds u s s ds
h
h
h
h
0 0 1 1 2 2
0 5
0 5
0 5
0 5
2
2
1
1
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû Áðýìáëà–Ãèëüáåðòà [3, c. 111] è îáðàùàåòñÿ â
íóëü íà ìíîãî÷ëåíàõ íóëåâîé è ïåðâîé ñòåïåíåé:
[ ] [ ] [ ]1 01 2� � �s s , ïîýòîìó
| ( )| ( ) | |/
( ( ))
x Mh h h u
W e x
� �
1 2
1 2
2
2 . (18)
Åñëè x�� � , òî e x x( ) ( )� � . Ïðîäîëæèâ ôóíêöèþ u ñ ñîõðàíåíèåì êëàññà [6]
íà ìíîæåñòâî �( ) \ ( )x e x , ò.å. îïðåäåëèâ ôóíêöèþ u W x* ( ( ))�
2
2 � òàêóþ, ÷òî
u u* � íà e x( ) è äëÿ êîòîðîé | | | | | | | |*
( ( )) ( ( ))
u M u
W x W e x2
2
2
2� � , ïîëó÷èì
| ( )| ( ) | | ( ) | |/ *
( ( ))
/
x Mh h h u Mh h h u
W x W
� �� �
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
2� 2( ( ))e x
. (19)
Òîãäà ñ ó÷åòîì îöåíîê (18) è (19) èìååì
| | | | | | | | | | | | | | | |
( ) ( ) ( )
� � � �Mh u Mh u Mh u
W W W2
2
1 2
2
2 2
2� � � , (20)
ãäå �1 �
�
�
x
e x
� ��\
( ), � 2 �
�
�
x
e x
��
( ).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 137
Îöåíèì òåïåðü
�
�
�
� � � � �
�
���1 2 2
1 2( , ) ( ) ( )u u u d u x h h
x�
� � � ����
�
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( )\
* *
(
u u x d u u x d
xx x
2 2 2 2
� �� � � )
���
�
�
x ��
� � ���� ��
� � �
u d u d
x e xx
s
s
*
( )\~( ) \( )
( ) ( )2 2
1 3
�
�� � � � � 1
4
� ,
ãäå � 3 �
�
�
x
e x
��
~( ). Èìååì
| ( ) ( )| | ( ) ( )|
( ) ( )
u u x d M u u x d
x x
2 2
� � � ��� ��
� �
�
�
�
�
�
�
2
�� � �M
u
t
t dt
u
t
t x dt
x x x�( )
( , ) ( , )
2
1 2 2
1
1 2 1
2
2
1
1
2
22
2
2
22 �d
�
�
�
�
�
� �� �M
u
t
t dt dt
u
t t
t t dt
x
x
2
1 2 2 1
2
1 2
1 2 2
2
2
2
2
( , ) ( , )
x xx
u
t
t dt d
1
1
1
1
1
1 2 1
� ��� �
�
�
�( , )
( )�
�
�
�
2
2
2 2
2
2 ��� �
�
�
M
u
t
t dt dt
x x h
x h
�( ) ,
,
( , )
2
1 2 2
0 5
0 5
1
2 2
2 2
�
� �
�
�
�
�
�
2
1 2
1 2 2
0 5
0 5
0 5
0 5
2 2
2 2
1 1
1 u
t t
t t dt
x h
x h
x h
x
( , )
,
,
,
, h1
� �
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2
2
2
�
�
�
�
�
u
t
t dt d M h d
u
t
t
1
1 2 1 2 1
2
1 2( , ) ( , )
2
2
2 2
2
2 �
�
�
�
�
�
�� dt
x h
x h
x h
x h
x
2
0 5
0 5
0 5
0 5
2 2
2 2
1 1
1 1
,
,
,
,
1 1
1 1
0 5
0 5
�
�
�
,
,
h
x h
�
�
� �
2
2
2
2
2
2
�
�
�h h dt
u
t t
t t dt
x h
x h
1 2 1
0 5
0 5 2
1 2
1 2 2
2 2
2 2
,
,
( , )
x h
x h
1 1
1 1
0 5
0 5
�
�
� �
,
,
�
�
�
2
2
2 2
2
2
�
�
�
�h d
u
t
t dt
x h
x h
x
1
0 5
0 5
2
1
1 2 1
0 52 2
2 2
1,
,
,
( , )
h
x h
1
1 10 5�
�
�
�
�
,
�
�
�
2
2
2 2
2
2
�
�
�
��M h h h
u
t
t d dt
x
2 1 2
2
1 2
2
1 2
1
( , )
( )
�
/2
�
�
�
�
� �
2
2
2
2
2
2
�
�
��h h h h
u
t t
t t dt dt
x
1 2 1 2
2
1 2
1 2
2
1 2
�( )
( , )
�
�
1 2/
�
�
�
2
2
2 2
2
2
�
�
�
��h h h
u
t
t dt d
x
1 1 2
1
1 2
2
1 2
1
( , )
( )
/
�
2 �
�
�
138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
� � �M h h h u h h h h u h h h u
W x W x2 1 2 1 2 1 2 1 1 22
1
2
2| | | | |
( ( )) ( ( ))� � |
( ( ))W x2
1 �
�
�
�
�
� Mh u
W x
2
2
2| | | |
( ( ))� .
Òîãäà | | | | | | | | | |
( ( ))
\
( )
�
� ��
1
2 2
2
2
2
2� �
�
� Mh u Mh u
W x
x
W� � . Àíàëîãè÷íî âûâîäèì
îöåíêè è äëÿ � � �2 3 4, , . Îêîí÷àòåëüíî èìååì (ñì. [7, ñ. 378, 379])
| | | | | |
( )
� � Mh u
W
2
2
2 � . (21)
Ïîäñòàâëÿÿ îöåíêè (17), (20) â (8), à (17), (20), (21) — â (16), ïîëó÷àåì ñîîò-
âåòñòâåííî
| | | | | |
( )
� �h
W
Mh u� �
2
2 � ,
(22)
| | | | | | | |
( ) ( )
z Mh u
W W2
1
2
2�
� � .
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà. Ïóñòü ãðàíèöà � äâóìåðíîé âûïóêëîé îáëàñòè � ïðèíàäëåæèò
êëàññó C 2 . Òîãäà ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (3), (4) ñõîäèòñÿ â ñåòî÷íîé íîðìå W
2
1 ( )� ñî
ñêîðîñòüþ O h( ) , ïðè÷åì èìåþò ìåñòî îöåíêè (22).
Äèñêðåòíûé àíàëîã ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è èññëåäîâàí òàêæå â [8].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 656 ñ.
2. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Ô ð ÿ ç è í î â È . Â . Î ðàçíîñòíûõ ìåòîäàõ àïïðîêñèìàöèè çàäà÷
ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè // ÓÌÍ. — 1976. — 39, âûï. 6 (192). — Ñ. 167–197.
3. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Ë à ç à ð î â Ð . Ä . , Ì à ê à ð î â Â . Ë . Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ îáîáùåííûìè ðåøåíèÿìè. — Ì.: Âûñø. øê., 1987. — 296 ñ.
4. Ì è õ à é ë î â  . Ï . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. — Ì.: Íàóêà, 1983. —
424 ñ.
5. Ï ð è ê à ç ÷ è ê î â  . à . Òî÷íîñòü äèñêðåòíîãî àíàëîãà ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è äëÿ îïåðàòîðà ëèíåéíîé
òåîðèè óïðóãîñòè // Äèô. óðàâíåíèÿ. — 1999. — 35, ¹ 2. — Ñ. 273–279.
6. Î ã à í å ñ ÿ í Ë . À . , Ð ó õ î â å ö Ë . À . Âàðèàöèîííî-ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ
óðàâíåíèé. — Åðåâàí: Èçä-âî Àðì. ÀÍ ÑÑÐ, 1979. — 335 ñ.
7. Â à ç î â Â . , Ô î ð ñ à é ò Ä æ . Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. — Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò. 1963. — 487 ñ.
8. Ì à é ê î Í .  . , Ï ð è ê à ç ÷ è ê î â  . à . Òî÷íîñòü ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè çàäà÷è íà
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 3. — Ñ. 159–169.
Ïîñòóïèëà 17.05.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 139
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84240 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:47:41Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Майко, Н.В. Приказчиков, В.Г. Рябичев, В.Л. 2015-07-04T12:52:12Z 2015-07-04T12:52:12Z 2011 Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа / Н.В. Майко, В.Г. Приказчиков, В.Л. Рябичев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 131-139. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84240 519.6 Досліджено точність скінченно-різницевої апроксимації задачі на власні значення для оператора Лапласа з крайовими умовами Діріхле у двовимірній області складної форми та одержано оцінку похибки власних функцій класу W2 2 (). у сітковій нормі W2 1 (). . The accuracy of the finite-difference approximation of the eigenvalue problem with the Dirichlet boundary conditions for the Laplace operator in an arbitrary domain is investigated and an eigenfunction error estimate is obtained in the grid norm of W2 2 (). under the condition that eigenfunctions belong to W2 1 (). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа Точність різницевої схеми розв’язання задачі на власні значення для оператора Лапласа Accuracy of the difference scheme of solving the eigenvalue problem for the Laplace operator Article published earlier |
| spellingShingle | Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа Майко, Н.В. Приказчиков, В.Г. Рябичев, В.Л. Системный анализ |
| title | Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа |
| title_alt | Точність різницевої схеми розв’язання задачі на власні значення для оператора Лапласа Accuracy of the difference scheme of solving the eigenvalue problem for the Laplace operator |
| title_full | Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа |
| title_fullStr | Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа |
| title_full_unstemmed | Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа |
| title_short | Точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа |
| title_sort | точность разностной схемы решения задачи на собственные значения для оператора лапласа |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84240 |
| work_keys_str_mv | AT maikonv točnostʹraznostnoishemyrešeniâzadačinasobstvennyeznačeniâdlâoperatoralaplasa AT prikazčikovvg točnostʹraznostnoishemyrešeniâzadačinasobstvennyeznačeniâdlâoperatoralaplasa AT râbičevvl točnostʹraznostnoishemyrešeniâzadačinasobstvennyeznačeniâdlâoperatoralaplasa AT maikonv točnístʹríznicevoíshemirozvâzannâzadačínavlasníznačennâdlâoperatoralaplasa AT prikazčikovvg točnístʹríznicevoíshemirozvâzannâzadačínavlasníznačennâdlâoperatoralaplasa AT râbičevvl točnístʹríznicevoíshemirozvâzannâzadačínavlasníznačennâdlâoperatoralaplasa AT maikonv accuracyofthedifferenceschemeofsolvingtheeigenvalueproblemforthelaplaceoperator AT prikazčikovvg accuracyofthedifferenceschemeofsolvingtheeigenvalueproblemforthelaplaceoperator AT râbičevvl accuracyofthedifferenceschemeofsolvingtheeigenvalueproblemforthelaplaceoperator |