К параметрической задаче решения с денежными доходами
Досліджується система прийняття рішень, ситуація в якій має числові наслідки з природним порядком як відношенням переваг того, хто приймає рішення. Виділяється досить широкий клас ситуацій, в яких той, хто приймає рішення, при погодженні з достатньо природними умовами, які базуються на принципі гара...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84242 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К параметрической задаче решения с денежными доходами / В.М. Михалевич // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 163-169. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859969265198694400 |
|---|---|
| author | Михалевич, В.М. |
| author_facet | Михалевич, В.М. |
| citation_txt | К параметрической задаче решения с денежными доходами / В.М. Михалевич // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 163-169. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Досліджується система прийняття рішень, ситуація в якій має числові наслідки з природним порядком як відношенням переваг того, хто приймає рішення. Виділяється досить широкий клас ситуацій, в яких той, хто приймає рішення, при погодженні з достатньо природними умовами, які базуються на принципі гарантованого результату, може використовувати критерій вказаного виду, що залежить лише від закономірності, яка описує випадковість в широкому сенсі — закономірність масового явища, що являє собою стан природи.
The subject of this paper is the study of a decision-making system in which a situation has its numerical consequences with the natural order as the preference relation of a decision-maker. The formalisation suggested selects a rather wide class of situations in which the decision-maker can use the criterion of the mentioned type under some rather natural conditions based on the principle of the guaranteed result, which depends only on the regularity that describes randomness in a general sense, i.e., the regularity of a mass phenomenon representing a state of nature.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:21:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.81
Â.Ì. ÌÈÕÀËÅÂÈ×
Ê ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÐÅØÅÍÈß
Ñ ÄÅÍÅÆÍÛÌÈ ÄÎÕÎÄÀÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü, ñõåìà ñèòóàöèè, ïðàâèëî
âûáîðà ïðåäïî÷òåíèÿ.
Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì èññëåäîâàíèé, ïðîâåäåííûõ â ðàáî-
òàõ [1, 2]. Öåëü ýòèõ èññëåäîâàíèé — îáîáùåíèå ðåçóëüòàòîâ àíàëèçà «îáùåé
çàäà÷è ðåøåíèÿ», ïîëó÷åííûõ â ìîíîãðàôèè [3].
Îáîçíà÷èì B0 ( )� , èëè ïðîñòî B0 â êîíòåêñòå � , ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íî-
çíà÷íûõ �-èçìåðèìûõ ôóíêöèé íà � , ò.å.
B f B Card f0 ( ) ( ): ( )� � �� � � �
def
{ },
à ÷åðåç B a b0 ( , ), ãäå a b, �� , ( ),� a b 0, — ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íîçíà÷íûõ
�-èçìåðèìûõ ôóíêöèé íà � ñî çíà÷åíèÿìè â èíòåðâàëå ( , )a b :
B a b f f B f a b0 0( , ) : : ( ) ( , )� � � �{ , }�
� � .
Ïóñòü L — ïðîèçâîëüíîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî òàêèõ �-èçìåðèìûõ îãðàíè-
÷åííûõ ôóíêöèé íà � , îáîçíà÷àåìûõ B , ÷òî íàéäóòñÿ a b, �� , äëÿ êîòîðûõ ìíî-
æåñòâî B a b0 ( , ) ñîäåðæèòñÿ â L :
B a b L L B0 ( , )
�
co . (1)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 163
© Â.Ì. Ìèõàëåâè÷, 2011
Äàëåå îáîçíà÷èì V L( ) êëàññ âñåõ ôóíêöèîíàëîâ � íà L , ò.å. � : L � � , à ÷å-
ðåç V L V L0 ( ) ( )� — åãî ïîäêëàññ, óäîâëåòâîðÿþùèé äëÿ ëþáûõ f f L1 2, � ñëåäó-
þùèì óñëîâèÿì.
V1. Åñëè f f1 2( ) ( )� � �
� �� , òî � �( ) ( )f f1 2
.
V2. Åñëè � � � � �a b a, ,� 0 è f a f b1 2( ) ( )� �� � � � � �� �, òî � �( ) ( )f a f b1 2� � � �.
V3. Èìååò ìåñòî � � �( ) ( )f f f f1 2 1 22
1
2
1
2
� � �
�
�
�
�
�
� .
Ëåììà 1. Óñëîâèå V2 ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó óñëîâèþ.
V2'. Åñëè �, b1 �� , ��[ , )0 1 ,
b
B a b1
0
1�
�
�
�
�
�
� �
� �
( , ) è f f b1 2 1( ) ( )� � �� �
� �� �, òî � �( ) ( ) .f f b1 2 1� �
Äîêàçàòåëüñòâî. Óñëîâèå V2' ñëåäóåò èç óñëîâèÿ V2 òðèâèàëüíûì îáðàçîì.
Ïîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèÿ V2' âûòåêàåò óñëîâèå V2. Äåéñòâèòåëüíî, èç óñëî-
âèÿ f f b1 2 1( ) ( )� � �� � ñëåäóåò, ÷òî
f f
b
2 1
11
( ) ( )�
�
�
�
� � .
Òîãäà â ñèëó óñëîâèÿ V2' èìååì
�
�
�
�
( ) ( )f f
b
2 1
11
� � .
Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè � �[ , )0 1 è b1 �� ïîëó÷åíî, ÷òî óñëîâèå V2 âûïîëíÿåòñÿ
äëÿ � � � ��a [ , ) ( , )0 1 1 . Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè óñëîâèÿ V2 è ïðè � �a 1.
Ïóñòü f f b1 2( ) ( )� �� � �, òîãäà f f b1 12
1
2
( ) ( )� ��
�
��
�
��
� �, èáî åñëè f L� , òî
1
2
1
2
1
2
0f f L� � � �� . Íà îñíîâàíèè ýòîãî ïîëó÷èì
� �( )f f b1 22
1
2
�
�
�
�
�
�
�� �.
Íî òîãäà â ñèëó óñëîâèÿ V2' ïðè b1 0� èìååì � �
1
2
1
2
2 2f f
�
�
�
�
�
� � ( ) . Îòñþäà
� �( ) ( )f f b1 2� � � è óñëîâèå V2 ïðè � �a 1 òàêæå ñïðàâåäëèâî.
Ëåììà äîêàçàíà.
Ñëåäóÿ òåðìèíîëîãèè, ââåäåííîé â ðàáîòå [1], óñëîâèå, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêàÿ
çàäà÷à ðåøåíèÿ (ÇÐ) ñ äåíåæíûìè ïîòåðÿìè, à îòîáðàæåíèå ïîñëåäñòâèé åñòü
ôóíêöèÿ ïîòåðü, îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü ñõåìû ñèòóàöèè çàäà÷è ðåøåíèÿ
(ÑÑÇÐ) (( , ), , , )X U g� � êëàññó Z(( , ))�
, ãäå ( , )�
— ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëü-
íûõ ÷èñåë ñ åñòåñòâåíííûì ïîðÿäêîì ( )
è íà � çàôèêñèðîâàíà íåêîòîðàÿ àëãåá-
ðà ïîäìíîæåñòâ �, à g U: � � � — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ
äâóì óñëîâèÿì:
à) inf ( , ); ,{ }g u u U� �� � ��� ;
á) sup ( , );{ }g u u U� �� � �� � �� .
Îáîçíà÷àÿ ( , , )� U g , áóäåì ïîäðàçóìåâàòü èìåííî óêàçàííîå ñîîòâåòñòâèå è
ïîä � �( ( ))� ïîäðàçóìåâàòü Z( , )�
( (( , ), ))Z �
� . Àíàëîãè÷íî óñëîâèå, ÷òî
ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ÇÐ ñ äåíåæíûìè äîõîäàìè îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü ÑÑÇÐ
(( , ), , , )X U g� � êëàññó Z( , )� � .
Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå îáîáùàåò ñîîòâåòñòâóþùåå åìó îïðåäåëåíèå â [3]
íà ïîäêëàññû �' ( )� êëàññà �( )� .
164 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Îïðåäåëåíèå 1. Ïðàâèëîì âûáîðà êðèòåðèÿ (ÏÂÊ) äëÿ ÑÑÇÐ èç êëàññà
� �' ( ) ( )� �
áóäåì íàçûâàòü ëþáîå îòîáðàæåíèå �, îïðåäåëåííîå íà �' ( )� è
ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé Z U g� �( , , ) ( )� ��' íåêîòîðóþ äåéñòâèòåëüíóþ ôóíê-
öèþ gZ
* ( )� , îïðåäåëåííóþ íà U .
Êëàññ âñåõ ÏÂÊ äëÿ �' ( )� îáîçíà÷èì ! �( ( ))�' è ïðè ýòîì áóäåì îòíîñèòü
ê ! � ! �0 ( ( )) ( ( ))� �' '� âñå ÏÂÊ äëÿ �' ( )� , óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì
óñëîâèÿì.
Ó1. Åñëè Z U g1 1 1� �( , , ) ( )� ��' , Z U g2 2 2� �( , , ) ( )� ��' ,U U1 2
è g u1 ( , )� �
� g u2 ( , )� � �� �, � �u U1, òî
g u g u u UZ Z1 2 1
* *( ) ( )� � � .
Ó2. Åñëè Z U g� �( , , ) ( )� ��' , u Ui � , i �1 2, , è g u g u( , ) ( , )� �1 2
� �� �, òî
g u g uZ Z
* *( ) ( )1 2
.
Ó3. Åñëè Z U g� �( , , ) ( )� ��' , u Ui � , i �1 2, , a b, �� , a � 0 , è g u( , )� 1 �
� �ag u b( , )� 2 � �� � , òî
g u ag u bZ Z
* *( ) ( )1 2� � .
Ó4. Åñëè Z U g� �( , , ) ( )� ��' , u Ui � , i �1 3, , è g u g u g u( , ) ( , ) ( , )� � �1 2 32� �
� �� � , òî
g u g u g uZ Z Z
* * *( ) ( ) ( )1 2 32� � .
Îïðåäåëåíèå 2. ÑÑÇÐ Z U g� �( , , ) ( )� �� áóäåì íàçûâàòü îïðåäåëÿþùåé,
åñëè íàéäóòñÿ a b, �� , ÷òî
B a b g U g U B0 ( , ) ( , ) [ ( , )]
�
� �co . (2)
Äàëåå, äëÿ ÑÑÇÐ � �' ( ) ( )� �
áóäåì îòíîñèòü ê êëàññó ! �0 ( ( ))�'
! �( ( ))�' âñå ÏÂÊ äëÿ �' ( )� , êîòîðûå äëÿ ëþáîé îïðåäåëÿþùåé ÑÑÇÐ
Z U g� �( , , ) ( )� ��' óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Ó2, Ó4. Òàêèì îáðàçîì, îñëàá-
ëåííûå óñëîâèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü Ó2' è Ó4' ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî, ÷òî
! � ! �0 0( ( )) ( ( ))� �' '" . À ÷åðåç ! � ! �01 0( ( )) ( ( ))� �' '
îáîçíà÷èì âñå ÏÂÊ
äëÿ �' ( )� , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò òàêæå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì.
Ó1' . Åñëè Z U g1 1 1� �( , , ) ( )� ��' , Z U g2 2 2� �( , , ) ( )� ��' , u U1 1� , u U2 2� ,
g u g u1 1 2 2( , ) ( , )� �� � �� � , òî
g u g uZ Z1 21 2
* *( ) ( )� .
Ó3' . Åñëè Z U g� �( , , ) ( )� ��' — îïðåäåëÿþùàÿ, u Ui � , i �1 3, , � �[ , ]0 1 ,
g u c( , )� �3 � è g u g u c( , ) ( , ) ( )� � � �1 2 1� � � äëÿ ëþáûõ ���, òî
g u g u cZ Z
* *( ) ( ) ( )1 2 1� � �� � .
Çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå, êîãäà �' ( )� ñîâïàäàåò ñ Z(( , ), )�
� è � �� 2 , óñëî-
âèå Ó1' ñëåäóåò èç óñëîâèé Ó1, Ó2, Ó3, Ó4.
Êðîìå òîãî, î÷åâèäíî, ÷òî èç óñëîâèé Ó2, Ó3, Ó4 ñëåäóþò óñëîâèÿ Ó2' , Ó3' ,
Ó4' ñîîòâåòñòâåííî.
Êëàññ âñåõ ÏÂÊ äëÿ �' ( )� , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ó1' , à òàêæå
óñëîâèÿì Ó2' , Ó3' , Ó4' , îñëàáëåííûì òåì, ÷òî òðåáîâàíèÿ ýòèõ óñëîâèé ðàñïðîñò-
ðàíÿþòñÿ ëèøü íà g B� 0 ( )� , áóäåì îáîçíà÷àòü ! �02 ( ( ))�' , à ñîîòâåòñòâóþùèå
îñëàáëåííûå òàêèì îáðàçîì óñëîâèÿ îáîçíà÷àòü Ó2'' , Ó3'' , Ó4'' .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 165
Î÷åâèäíî, ÷òî ! � ! �01 02( ( )) ( ( ))� �' '
.
Âûáåðåì òåïåðü ÑÑÇÐ Z U g� �( , , ) ( )� �� ñëåäóþùèì îáðàçîì.  êà÷åñòâå
ìíîæåñòâàU âîçüìåì ìíîæåñòâî L , a g f f( , ) : ( )� �� � �f L , � �� � . Òàêóþ ÑÑÇÐ
îáîçíà÷èì Z L0 ( ) (èëè ïðîñòî Z0) â êîíòåêñòå ôèêñèðîâàííîãî ìíîæåñòâà L .
Íàêîíåö, ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îòîáðàæåíèå � : ( ) ( ( ) )V L Z L�! { }0 , êîòî-
ðîå îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè � � � �� �( ), ( )V L , òî
[ ( )]( ) ( )� �Z f f f L0 � � � .
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáîãî L , îïðåäåëåííîãî ñîãëàñíî (1),
�( ( )) ( ( ) )V L Z L0 01 0� ! { } .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî �( ( )) ( ( ) )V L Z L0 01 0
! { } .
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü � � �� ( ), ãäå � �V L0 ( ) . Ïðîâåðèì äëÿ ��!( ( ) ){ }Z L0
âûïîëíèìîñòü óñëîâèé Ó2' , Ó3' , Ó4' .
Åñëè f f L1 2, � è f f1 2( ) ( )� �
� �� � , òî ñîãëàñíî óñëîâèþ V1 èìååì
� �( ) ( )f f1 2
. Òîãäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ � èìååì [ ( )]( ) ( ) ( )� � �Z f f f0 1 1 2�
�
� [ ( )]( )� Z f0 2 . Îòñþäà ñëåäóåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Ó2' .
Åñëè �, b1 — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, � �[ , )0 1 ,
b
B a b1
0
1�
�
�
�
�
�
� �
� �
( , ) è f1 ( )� �
� �� �f b2 1( ) � �� � , f f L1 2, � , òî ñîãëàñíî óñëîâèþ V2' èìååì
� ��( ) ( )f f b1 2 1� � . Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå �, ïîëó÷àåì
[ ( )]( ) ( ) ( ) [ ( )]( )� � �� � �Z f f f b Z f b0 1 1 2 1 0 2 1� � � � � ,
ò.å. âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Ó3' .
È, íàêîíåö, åñëè f f f L1 2 3, , � è f f f1 2 32( ) ( ) ( )� � �� � � �� � , òî â ñèëó óñëî-
âèÿ V3 ïîëó÷èì � � � �( ) ( ) ( )f f f f f1 2 1 2 32
1
2
1
2
2� � �
�
�
�
�
�
� � . Òîãäà ñîãëàñíî îïðå-
äåëåíèþ � è óñëîâèþ V2 èìååì
[ ( )]( ) [ ( )]( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )� � � � � �Z f Z f f f f Z0 1 0 2 1 2 3 02 2� � � � � ]( )f 3 ,
à çíà÷èò, âûïîëíÿåòñÿ è óñëîâèå Ó4.
Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî, ÷òî �( ( )) ( ( ) )V L Z L0 01 0
! { } .
×òîáû äîêàçàòü îáðàòíîå âêëþ÷åíèå, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ��!01 0( ( ) ){ }Z L
îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë � � : L � � ñîãëàñíî ôîðìóëå
� �� ( ) [ ( )]( )f Z f f L� � �
def
0 .
(3)
Äëÿ ôóíêöèîíàëà � � ïðîâåðèì âûïîëíåíèå ñâîéñòâ V1, V2' , V3.
Åñëè f f1 2( ) ( )� �
� �� � , f f L1 2, � , òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëà � �
èìååì � �� ( ) [ ( )]( ), ,f Z f ii i� �0 1 2 , ãäå ��!01 0
( ( ) ){ }Z L . Íî â ñèëó óñëîâèÿ Ó2
äëÿ � èìååì [ ( )]( ) [ ( )]( )� �Z f Z f0 1 0 2
, ÷òî ñîãëàñíî (3) ðàâíîñèëüíî
� �� �( ) ( )f f1 2
. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ � � âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî V1.
Åñëè f f L1 2, � , f f b1 2 1( ) ( )� � �� � � �� � , ãäå �, b1 — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñ-
ëà, � �[ , )0 1 ,
b
B a b1
0
1�
�
�
�
�
�
� �
� �
( , ) , òî â ñèëó (3) è óñëîâèÿ Ó3' ïîëó÷èì
[ ( )]( ) [ ( )]( )� � �Z f Z f b0 1 0 2 1� �
166 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
èëè
� ��� �( ) ( )f f b1 2 1� � ,
ò.å. äëÿ � � âûïîëíÿåòñÿ òàêæå ñâîéñòâî V2' .
Íàêîíåö, åñëè f f L1 2, � , òî, êàê è âûøå, âîñïîëüçîâàâøèñü (3) è óñëîâè-
åì Ó4 äëÿ �, ïîëó÷èì
[ ( )]( ) [ ( )]( ) [ ( )]� � �Z f Z f Z f f0 1 0 2 0 1 22
1
2
1
2
� � �
�
�
�
�
�
�
èëè
� � �� � �( ) ( )f f f f1 2 1 22
1
2
1
2
� � �
�
�
�
�
�
� .
Ýòî íåðàâåíñòâî è äîêàçàííûå äëÿ � � ñâîéñòâà V1 è V2', à ñîãëàñíî ëåììå 1
è ñâîéñòâî V2 ïîêàçûâàþò, ÷òî � � �V L0 ( ) .
Êðîìå òîãî, ñîãëàñíî (2) èìååì � � ��( ) � . Òåì ñàìûì â ñèëó ïðîèçâîëüíî-
ñòè ��!01 0( ( ) ){ }Z L ïîêàçàíî, ÷òî
�( ( )) ( ( ) )V L Z L0 01 0
! { } .
Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Èç òåîðåì 1 è 2 ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ëþáîãî L , îïðåäåëåííîãî ñîãëàñíî (1),
�( ( )) ( ( ) )V L Z L0 02 0� ! { } .
Èç òåîðåì 1 è 2 ïðè � �Z Z L0 ( ) òàêæå èìååì ñëåäñòâèå.
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè äëÿ L âûïîëíÿåòñÿ (1), òî � �{ }Z L P V L
0 0( ) ( ( )) ( ( ))� � .
Òåîðåìà 2. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàñøèðåíèå � ëþáîãî ôóíêöèîíàëà
� �V B a b0 0( ( , )) íà L, ïðè êîòîðîì � �V L0 ( ) .
Äîêàçàòåëüñòâî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç òåîðåìû 3, äîêàçàííîé â ðàáî-
òå [2], è òåîðåìû 1 íàñòîÿùåé ñòàòüè.
Òåîðåìà 3. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íåïóñòîãî ìíîæåñòâà � ôóíêöèîíàë � íà L
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì V1, V2, à òàêæå ñëåäóþùåìó óñëîâèþ.
V3' . Åñëè f f L1 2, � , òî
� � �( ) ( )f f f f1 2 1 22
1
2
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
(êëàññ òàêèõ ôóíêöèîíàëîâ áóäåì îáîçíà÷àòü �V L0 ( )) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîã-
äà ñóùåñòâóåò ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü P íà �, ÷òî � �f L èìååò ìåñòî
� � �( ) min ( ) ( )f f p d
p P
�
� #
�
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f f L1 2, � , òî � � �� � � � �f f L f B f L1 2, :
def
{ }. Ïðè
ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî B L L B0
� � �
co ( ) .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå � : ( ) ( )V L V L� � , îïðåäåëÿåìîå ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì. Åñëè � �� �V L( ), ( ) , òî � ( ) ( )� � � � �f f f L.
Ëåììà 2. Èìååò ìåñòî �( ( )) ( )� � �V L V L0 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî �( ( )) ( )�
�V L V L0 0 .
Ïóñòü � �V L0 ( ) , òîãäà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ � èìååì [ ( )]( ) ( )� � � �f f
� �f L . Ïîêàæåì, ÷òî � ( ) ( )� �V L0 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 167
Åñëè f f L1 2, � , f f1 2( ) ( )� �
� �� � , òî â ñèëó óñëîâèÿ V1 äëÿ íà L èìå-
åì, ÷òî ( ) ( )f f1 2
. Îòñþäà � � ��f f L1 2, , � � �f f1 2( ) ( )� � � �� � è
[ ( )]( ) ( ) ( ) [ ( )]( )� � � � � � � � �f f f f1 1 2 2 .
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ � ( ) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå V1 íà �L .
Åñëè f f L1 2, � , a b, �� , a � 0 è f af b1 2
( ) ( )� �� � � �� � , òî â ñèëó óñëî-
âèÿ V2 äëÿ íà L èìååì, ÷òî ( ) ( )f a f b1 2� � .
Îòñþäà � f1, � ��f L2 , � � � �f a f b1 2( ) [ ( )]� � � �� � , a b, �� , a � 0 , è
[ ( )]( ) ( ) [ ( )] [ ( )]( )� � � � � � � � � � �f f a f b a f b1 1 2 2 .
Çíà÷èò, äëÿ � ( ) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå V2 íà �L .
Åñëè f f L1 2, � , òî â ñèëó óñëîâèÿ V3' äëÿ íà L èìååì
( ) ( )f f f f1 2 1 22
1
2
1
2
� � �
�
�
�
�
�
� . Îòñþäà � � ��f f L1 2, è
[ ( )]( ) [ ( )]( ) ( ) ( )� � � � � � � � �f f f f1 2 1 2
� � �
�
�
�
�
�
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1 2 1 2 � f f f f[ ( )] ( ) ( )��
�
�
�� .
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ � ( ) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå V3 íà �L , ò.å. � ( ) ( )� �V L0 .
Ïîêàæåì, ÷òî �( ( )) ( )� " �V L V L0 0 .
Ïóñòü � � �V L0 ( ) , òîãäà âûáåðåì �V L( ) òàêîå, ÷òî �( ) ( )f f� � � � �f L ,
è ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ � ïîëó÷èì [ ( )]( ) ( ) ( )� �� � � � �f f f � �f L . Ïîêà-
æåì, ÷òî � �V L0 ( ).
Åñëè f f L1 2, � , f f1 2( ) ( )� �
� �� � , òî � � �f f1 2( ) ( )� � � �� � , è â ñèëó
óñëîâèÿ V1 äëÿ � íà �L èìååì, ÷òî � �( ) ( )� � �f f1 2 . Îòñþäà
� � ( ) ( ) ( ) ( )f f f f1 1 2 2� � �
� � � .
Çíà÷èò, äëÿ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå V1 íà L.
Åñëè f f L1 2, � , a b, �� , a � 0 , è f af b1 2( ) ( )� �� � � �� �, òî
� � � �f a f b1 2
( ) [ ( )]� � � �� � è â ñèëó óñëîâèÿ V2 äëÿ � íà �L èìååì, ÷òî
� �( ) ( )� � � �f a f b1 2 . Îòñþäà
� � ( ) ( ) [ ( )] ( )f f a f b a f b1 1 2 2� � � � � � � � � .
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå V2 íà L.
Åñëè f f L1 2, � , òî � � ��f f L1 2, è â ñèëó óñëîâèÿ V3 äëÿ � íà �L èìååì,
÷òî � � �( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �
�
�
�
�
�
�f f f f1 2 1 22
1
2
1
2
. Îòñþäà
� � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f f f f f1 2 1 2 1 22
1
2
1
2
� � � � � �
� � � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�2
1
2
1
2
1 2 f f .
Çíà÷èò, äëÿ âûïîëíÿåòñÿ è óñëîâèå V3' íà L, ò.å. � �V L0 ( ) .
Ëåììà äîêàçàíà.
Åñëè � íà L óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì V1, V2, V3', òî ñîãëàñíî ëåììå 2 � �( )
íà �L óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì V1–V3 è íàîáîðîò. Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû 1 ñó-
ùåñòâóåò ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü P íà � , ÷òî � �f L
� � � � � �( ) [ ( )]( ) max [ ( )] ( ) min (f f f p d f
p P p P
� � � � � � �
� �# #
� �
) ( )p d�
è íàîáîðîò.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
168 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Òåîðåìà 4. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàñøèðåíèå � ëþáîãî ôóíêöèîíàëà
� � �V B a b0 0( ( , )) íà L, ïðè êîòîðîì � � �V L0 ( ) .
Äîêàçàòåëüñòâî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç òåîðåìû 3, äîêàçàííîé â ðàáî-
òå [2], è òåîðåìû 3 íàñòîÿùåé ñòàòüè.
Äàëåå ââåäåì îòîáðàæåíèå �' ''� �( ) : ( ) / ( ( ))� � ! �P $ �
co
, àíàëîãè÷íîå ðàñ-
ñìîòðåííîìó â ñòàòüå [2] îòîáðàæåíèþ �'� '( )� , íî ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî â åãî
îïðåäåëåíèè îïåðàöèþ max çàìåíèì íà îïåðàöèþ min.
Îáîçíà÷èì ! �01 1( ( ))�� è ! �02 1( ( ))�� êëàññû âñåõ ÏÂÊ äëÿ ��1 ( )� , êîòîðûå
óäîâëåòâîðÿþò òåì æå óñëîâèÿì, ÷òî è êëàññû ! �01 1( ( ))�� è ! �02 1( ( ))�� ñîîòâåò-
ñòâåííî, íî âìåñòî åñòåñòâåííîãî ñ îáðàòíûì ê íåìó îòíîøåíèåì ïîðÿäêà íà �
â òåõ óñëîâèÿõ, ãäå ýòî îòíîøåíèå èñïîëüçóåòñÿ.
Òåîðåìà 5. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ ��1 ( )� îòîáðàæåíèå �' '�1 ( )� ÿâ-
ëÿåòñÿ èíúåêöèåé è
�' '� � �
1 01 1 02 1( ) ( ( ) / ) ( ( )) ( ( )( ))� � ! � ! � �P $ � � � �
co
.
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç òåîðåìû 2 ðàáîòû [2] è òåîðåìû 3 íàñòîÿùåé
ñòàòüè.
Òåîðåìà 6. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ ��1 ( )� ëþáîå ÏÂÊ
g * ( ( ))� ! �01 01� ìîæíî, è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ïðîäîëæèòü äî ÏÂÊ
g * ( ( ))� �! �01 1� .
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç òåîðåìû 3 íàñòîÿùåé ñòàòüè è òåîðåìû 3 ðàáîòû [2].
Äëÿ ÇÐ ñ äåíåæíûìè äîõîäàìè, ò.å. êîãäà �
�� �1 ( ) ( , )� Z , èìååì ñîîòâåò-
ñòâþùèå òåîðåìû.
Òåîðåìà 7. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ �
�� �1 ( ) ( , )� Z îòîáðàæåíèå
�'
�1
' ( )�
ÿâëÿåòñÿ èíúåêöèåé è
�' '� � �
1 01 1 02 1( ) ( ( ) / ) ( ( )) ( ( ))� � ! � ! �P $ � � � �
co
.
Òåîðåìà 8. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êëàññà ÑÑÇÐ �
�� �1 ( ) ( , )� Z ëþáîå ÏÂÊ
g * ( ( ))� �! �01 01� ìîæíî, è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ïðîäîëæèòü äî ÏÂÊ
g * ( ( ))� �! �01 1� .
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, âûòåêàþùèå èç òåîðåì 7 è 8, ìîæíî ïðîèíòåðïðåòè-
ðîâàòü, â ÷àñòíîñòè, òàêèì îáðàçîì: óñëîâèÿ Ó1' , Ó2'' , Ó3'' Ó4'' ÿâëÿþòñÿ íåîáõî-
äèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ ìàòåìàòè÷åñêè êîððåêòíîé ïîñòàíîâêè ÇÐ ñ ëþáîé
CCÇÐ Z U g� � �
�( , , ) ( ) ( , )� �� �1 Z è ëþáîé ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòüþ
P P� ( )� . Ïðè ýòîì êðèòåðèé â ÇÐ çàäàåòñÿ ôóíêöèåé g u g u p dZ
p P
* ( ) max ( , ) ( )�
� #
�
� �
� �u U . Ëèöà, ïðèíèìàþùèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå ñîãëàñíû ñ óêàçàííûìè óñëîâèÿ-
ìè äëÿ ñõåì èç êëàññà �� 01 ( )� , ïåðåíåñóò ýòè óñëîâèÿ è íà ñõåìû êëàññà ��1 ( )� .
 ýòîì ñëó÷àå èõ ïðåäïî÷òåíèÿ íà ðåøåíèÿõ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ïîñëåäñòâèé
ïðåäñòàâëÿþò ïðåäïî÷òåíèÿ íà âñåõ ðåøåíèÿõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ì è õ à ë å â è ÷  . Ì . Î íåêîòîðûõ êëàññàõ ïðàâèëà âûáîðà ïðåäïî÷òåíèé â çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ ðåøå-
íèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 6. — Ñ. 140–154.
2. Ì è õ à ë å â è ÷  . Ì . Ê ïàðàìåòðè÷åñêîé çàäà÷å ðåøåíèÿ ñ äåíåæíûìè ïîòåðÿìè // Òàì æå. — 2011.
— ¹ 2. — Ñ. 131–142.
3. È â à í å í ê î  . È . , Ë à á ê î â ñ ê è é  . À . Ïðîáëåìà íåîïðåäåëåííîñòè â çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ ðåøå-
íèé. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1990. — 135 ñ
Ïîñòóïèëà 07.09.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 169
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84242 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:21:38Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Михалевич, В.М. 2015-07-04T12:52:24Z 2015-07-04T12:52:24Z 2011 К параметрической задаче решения с денежными доходами / В.М. Михалевич // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 163-169. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84242 519.81 Досліджується система прийняття рішень, ситуація в якій має числові наслідки з природним порядком як відношенням переваг того, хто приймає рішення. Виділяється досить широкий клас ситуацій, в яких той, хто приймає рішення, при погодженні з достатньо природними умовами, які базуються на принципі гарантованого результату, може використовувати критерій вказаного виду, що залежить лише від закономірності, яка описує випадковість в широкому сенсі — закономірність масового явища, що являє собою стан природи. The subject of this paper is the study of a decision-making system in which a situation has its numerical consequences with the natural order as the preference relation of a decision-maker. The formalisation suggested selects a rather wide class of situations in which the decision-maker can use the criterion of the mentioned type under some rather natural conditions based on the principle of the guaranteed result, which depends only on the regularity that describes randomness in a general sense, i.e., the regularity of a mass phenomenon representing a state of nature. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ К параметрической задаче решения с денежными доходами До параметричної задачі рішення з грошовими доходами To parametric decision problems with money income Article published earlier |
| spellingShingle | К параметрической задаче решения с денежными доходами Михалевич, В.М. Системный анализ |
| title | К параметрической задаче решения с денежными доходами |
| title_alt | До параметричної задачі рішення з грошовими доходами To parametric decision problems with money income |
| title_full | К параметрической задаче решения с денежными доходами |
| title_fullStr | К параметрической задаче решения с денежными доходами |
| title_full_unstemmed | К параметрической задаче решения с денежными доходами |
| title_short | К параметрической задаче решения с денежными доходами |
| title_sort | к параметрической задаче решения с денежными доходами |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84242 |
| work_keys_str_mv | AT mihalevičvm kparametričeskoizadačerešeniâsdenežnymidohodami AT mihalevičvm doparametričnoízadačíríšennâzgrošovimidohodami AT mihalevičvm toparametricdecisionproblemswithmoneyincome |