Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий
Означено дискретну безшумну дуель на одиничному квадраті, де кожен з гравців володіє кінцевим числом чистих стратегій, рівномірно розподілених на одиничному сегменті. Доведено теорему існування окремих розв’язків дискретної безшумної дуелі у чистих стратегіях. Представлено конструкцію програмної про...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84243 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий / В.В. Романюк // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 170-179. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859469158529368064 |
|---|---|
| author | Романюк, В.В. |
| author_facet | Романюк, В.В. |
| citation_txt | Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий / В.В. Романюк // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 170-179. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Означено дискретну безшумну дуель на одиничному квадраті, де кожен з гравців володіє кінцевим числом чистих стратегій, рівномірно розподілених на одиничному сегменті. Доведено теорему існування окремих розв’язків дискретної безшумної дуелі у чистих стратегіях. Представлено конструкцію програмної процедури для отримання розв’язку дискретної безшумної дуелі.
The discrete noiseless duel is defined on the unit square in which each player has a finite number of pure strategies uniformly distributed on the unit segment. The theorem on the existence of individual solutions of the discrete noiseless duel in pure strategies is proved.The construction of a program procedure for obtaining the solution of the discrete noiseless duel is presented.
|
| first_indexed | 2025-11-24T08:28:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.832.3
Â.Â. ÐÎÌÀÍÞÊ
ÄÈÑÊÐÅÒÍÀß ÁÅÑØÓÌÍÀß ÄÓÝËÜ Ñ ÊÎÑÎÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÍÎÉ
ÔÓÍÊÖÈÅÉ ÂÛÈÃÐÛØÀ ÍÀ ÅÄÈÍÈ×ÍÎÌ ÊÂÀÄÐÀÒÅ ÄËß
ÌÎÄÅËÅÉ ÑÎÖÈÀËÜÍÎ-ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÊÎÍÊÓÐÅÍÒÍÛÕ
ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Ñ ÊÎÍÅ×ÍÛÌ ×ÈÑËÎÌ ×ÈÑÒÛÕ ÑÒÐÀÒÅÃÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: áåñøóìíàÿ äóýëü, êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ÷èñòûõ ñòðàòåãèé,
îïòèìàëüíîå ïîâåäåíèå, ðàâíîâåñíàÿ ñèòóàöèÿ â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ.
ÎÁËÀÑÒÜ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß
Àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðû ñ âûáîðîì ìîìåíòà âðåìåíè ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî ãèáêèìè
è ïðîñòûìè ìîäåëÿìè îòíîñèòåëüíî øèðîêîãî êëàññà ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ ÿâëå-
íèé ñ êîíôëèêòàìè â óñëîâèÿõ ïðîòèâîïîëîæíûõ èíòåðåñîâ [1, 2]. Îäíîé èç íàèáî-
ëåå èçó÷åííûõ â ýòîé ñâÿçè ñ÷èòàþò àíòàãîíèñòè÷åñêóþ èãðó òèïà äóýëè, çàäàâàåìóþ
ñâîåé ôóíêöèåé âûèãðûøà F x y( , ) íà åäèíè÷íîì êâàäðàòå
X Y� � �[ ; ] [ ; ]0 1 0 1 , (1)
ãäå X � [ ; ]0 1 è Y � [ ; ]0 1 — ìíîæåñòâà ÷èñòûõ ñòðàòåãèé ïåðâîãî è âòîðîãî èãðî-
êîâ ñîîòâåòñòâåííî.  èãðå òèïà äóýëè ñ ñèììåòðè÷íûìè âîçìîæíîñòÿìè èãðî-
êîâ ôóíêöèÿ âûèãðûøà èìååò âèä
F x y
y x
K x y
y x
L x y( , )
( )
( , )
( )
( , )�
� �
�
� ��
�
�
�
1
2
1
2
sign sign
sign (| | )y x� , (2)
ò.å. ñîáëþäàåòñÿ óñëîâèå åå êîñîñèììåòðè÷íîñòè
F x y F y x( , ) ( , )� � (3)
ïðè ìîíîòîííîì âîçðàñòàíèè ïî x îáåèõ ôóíêöèé K x y( , ) è L x y( , ) ïðè ëþáîì
çíà÷åíèè y, à òàêæå ïðè ìîíîòîííîì óáûâàíèè ïî y ýòèõ æå ôóíêöèé ïðè ëþ-
áîì çíà÷åíèè x.
Áîëåå óçêèé êëàññ äóýëåé ñîñòàâëÿþò òàê íàçûâàåìûå áåñøóìíûå äóýëè
[3, 4], â êîòîðûõ ôóíêöèÿ âûèãðûøà (2) èìååò âèä
F x y p x q y p x q y q y p x( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]� � � �sign (4)
ñ îáÿçàòåëüíûìè óñëîâèÿìè
p( )0 0� , q( )0 0� (5)
è
p( )1 1� , q( )1 1� (6)
äëÿ âåðîÿòíîñòíûõ ôóíêöèé p x( ) è q y( ) ìåòêîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî èãðîêîâ ñî-
îòâåòñòâåííî. Ñ ïîìîùüþ áåñøóìíûõ äóýëåé ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ïðèíÿòèå ðå-
øåíèé â ñèòóàöèÿõ, êîãäà, ñ îäíîé ñòîðîíû, íåêîå äåéñòâèå íåîáõîäèìî âûïîë-
íèòü êàê ìîæíî ïîçæå, à ñ äðóãîé — ñâîèì ïîâåäåíèåì íåîáõîäèìî îïåðåäèòü
êîíêóðåíòà, êîòîðûé ïðåñëåäóåò àíàëîãè÷íûå öåëè.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÏÐÎÁËÅÌÛ Â ÎÁËÀÑÒÈ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß
 íàèáîëåå òðèâèàëüíîì ñëó÷àå áåñøóìíîé äóýëè âåðîÿòíîñòíûå ôóíêöèè ìåò-
êîñòè èãðîêîâ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (5) è (6), ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè:
p x x( ) � , q y y( ) � . (7)
Òîãäà ôóíêöèÿ âûèãðûøà (4) ïðèíèìàåò âèä
F x y x y xy y x( , ) ( )� � � �sign . (8)
170 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
� Â.Â. Ðîìàíþê, 2011
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 171
Îäíàêî è â ýòîì ñëó÷àå èãðà, îïðåäåëÿåìàÿ ôóíêöèåé âûèãðûøà (8), íîñèò ðå-
øåíèå, ìàëî íàïîìèíàþùåå òðèâèàëüíîå. Õîòÿ óñëîâèå êîñîñèììåòðè÷íîñòè (3)
óêàçûâàåò íà íóëåâîå îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå èãðû è èäåíòè÷íûå îïòèìàëüíûå
ñòðàòåãèè îáîèõ èãðîêîâ, ñàìà êîíôèãóðàöèÿ ýòèõ ñòðàòåãèé ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî
ñëîæíîé äëÿ òîãî, ÷òîáû èãðîê ìîã âîïëîòèòü â ðåàëüíîñòü ñâîå îïòèìàëüíîå
ïîâåäåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, â íàèáîëåå òðèâèàëüíîì ñëó÷àå áåñøóìíîé äóýëè ñ
ôóíêöèåé âûèãðûøà (8) êàæäûé èãðîê äëÿ äîñòèæåíèÿ ñâîåãî îæèäàåìîãî íóëå-
âîãî âûèãðûøà äîëæåí ïðèìåíèòü îïòèìàëüíóþ ñìåøàííóþ ñòðàòåãèþ, ñîñòîÿ-
ùóþ â ñëó÷àéíîì âûáîðå ÷èñòûõ ñòðàòåãèé ñîãëàñíî çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ [5, 6]
�( )
, ; ,
, ; ,
u
u
u
u
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
0 0
1
3
1
4
1
3
1
3
(9)
ïðè u x� èëè u y� . Çàìåòèì, ÷òî çäåñü èäåò ðå÷ü î ðåàëèçàöèè íåêîòîðîãî ïîä-
ìíîæåñòâà åäèíè÷íîãî ñåãìåíòà ÷èñòûõ ñòðàòåãèé, ò.å. êîíòèíóóìà ÷èñòûõ ñòðà-
òåãèé, à ýòî óæå ïðèíöèïèàëüíî íåðàçðåøèìàÿ çàäà÷à. Òàêàÿ íåðàçðåøèìîñòü
åùå áîëåå óñèëèâàåòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷ ñ îäíîðàçîâîé âîçìîæíîñòüþ
ïðîâåäåíèÿ áåñøóìíîé äóýëè, êîãäà äâå èäåíòè÷íûå ôèðìû-êîíêóðåíòû ïûòà-
þòñÿ âûâåñòè ñâîè óñëóãè íà èííîâàöèîííûé ðûíîê èëè íà ðàññìîòðåíèå âíî-
ñèòñÿ ðàöèîíàëüíîå ïðåäëîæåíèå äâóìÿ îïïîíåíòàìè [7]. Ïîýòîìó èçó÷åíèå âîç-
ìîæíîñòåé àäàïòàöèè ìîäåëè áåñøóìíîé äóýëè ê óñëîâèÿì åå íåìíîãîêðàòíîãî
ïîâòîðåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò â èçâåñòíîé ñòåïåíè àêòóàëüíóþ çàäà÷ó. Êðîìå òîãî,
ïðàêòè÷åñêè öåëåñîîáðàçíî ïðèâåñòè ìíîæåñòâà ÷èñòûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ ê
ìíîæåñòâàì èçîëèðîâàííûõ òî÷åê, ïîñêîëüêó íåïðåðûâíîñòü ýòèõ ìíîæåñòâ íî-
ñèò õàðàêòåð ñîîòâåòñòâóþùåé àáñòðàêöèè â ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå.
ÖÅËÜ ÑÒÀÒÜÈ
Øèðîêèé êëàññ ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ ÿâëåíèé ñ êîíôëèêòàìè â óñëîâèÿõ
ïðîòèâîïîëîæíûõ èíòåðåñîâ îñíàùàåò äâóõ ó÷àñòíèêîâ ñòðàòåãè÷åñêè îãðàíè-
÷åííî. Ýòî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ïðè ïîñòðîåíèè ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè
âûèãðûøà äëÿ àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû òèïà äóýëè, êîòîðàÿ áóäåò ñëóæèòü ìî-
äåëüþ ýòèõ ÿâëåíèé. Íàïðèìåð, åñëè ïðè âûâåäåíèè ñâîèõ óñëóã íà èííîâàöèîí-
íûé ðûíîê äâå èäåíòè÷íûå ôèðìû-êîíêóðåíòû èìåþò â ðàñïîðÿæåíèè íåêîòî-
ðûé êîíå÷íûé ïåðèîä âðåìåíè, âûðàæåííûé â äíÿõ èëè íåäåëÿõ, òî, èñõîäÿ èç
ëîãè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, ïðè ìîäåëèðîâàíèè äàííîãî êîíôëèêòà êàæäîé ôèðìå
ñëåäóåò äàòü äèñêðåòíîå ìíîæåñòâî ÷èñòûõ ñòðàòåãèé, ïîäðàçóìåâàÿ îäèí äåíü
èëè îäíó íåäåëþ äëÿ êàæäîé. Çàäà÷à íàñòîÿùåé ñòàòüè ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè
àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû òèïà áåñøóìíîé äóýëè ñ äèñêðåòíûì ìíîæåñòâîì ÷èñ-
òûõ ñòðàòåãèé äëÿ êàæäîãî èãðîêà è êîíñòðóêöèè ïðîãðàììíîé ïðîöåäóðû äëÿ
ïîëó÷åíèÿ áûñòðîãî ðåøåíèÿ ýòîé èãðû.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÁÅÑØÓÌÍÎÉ ÄÓÝËÈ ÍÀ ÅÄÈÍÈ×ÍÎÌ ÊÂÀÄÐÀÒÅ
Äèñêðåòíîé áåñøóìíîé äóýëüþ íà åäèíè÷íîì êâàäðàòå íàçîâåì àíòàãîíèñòè÷åñ-
êóþ èãðó ñ âûáîðîì ìîìåíòà âðåìåíè, â êîòîðîé ôóíêöèÿ âûèãðûøà èìååò
âèä (8), ïðè÷åì
x
N N
N
N
i
N i
N
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
1
1
2
1
2
1
1
1
1 1
, , , , ,�
� � � �� �
{ } { }x x x x x x XN N i i
N
1 2 3 1 1
0 1, , , , , [ ; ]� , (10)
y
N N
N
N
j
N j
N
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
1
1
2
1
2
1
1
1
1 1
, , , , ,�
� � �� �
{ } = { }y y y y y y YN N j j
N
1 2 3 1 1
0 1, , , , , [ ; ]� , (11)
ãäå N
� \ { }1. Èíûìè ñëîâàìè, êàæäûé èãðîê èìååò â íàëè÷èè ïî N ÷èñòûõ
ñòðàòåãèé, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ïî åäèíè÷íîìó ñåãìåíòó [ ; ]0 1 . Î÷åâèäíî,
÷òî â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèþ âûèãðûøà öåëåñîîáðàçíî íàçûâàòü ìàòðèöåé âûèã-
ðûøà F ñ ýëåìåíòàìè f F x yij i j� ( , ), i N� 1, , j N� 1, , ïðè÷åì
F =
0
0
1 2 1 3 1 1 1
1 2
F x y F x y F x y F x y
F x y F
N N( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) (
� �
� x y F x y F x y
F x y F x y F x
N N2 3 2 1 2
1 3 2 3 30
, ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( ,
�
�
�
� � y F x y
F x y F x y F x y
N N
N N N
�
� � �� � �
1 3
1 1 2 1 3
) ( , )
( , ) ( , ) ( ,
� � � � � �
1 1
1 2 3 1
0) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( ,
�
�
F x y
F x y F x y F x y F x
N N
N N N N
�
�� � � � yN )
.
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(12)
 íàèáîëåå òðèâèàëüíîì ñëó÷àå, êîãäà ó êàæäîãî èãðîêà â íàëè÷èè ïî äâå ÷èñ-
òûõ ñòðàòåãèè, ò.å. ïðè N � 2, ìàòðèöà âûèãðûøà (12) áóäåò èìåòü âèä
F �
��
�
��
�
�
��
1 1
1 0
. (13)
Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî çäåñü íèæíÿÿ V* è âåðõíÿÿV * öåíû èãðû ñîâïàäàþò:
V f f V f
i j
ij
j i
i*
, ,
*
, ,
� � � � �
� � � �
max min min max
1 2 1 2
22
1 2 1 2
0 j , (14)
è ìàòðè÷íàÿ 2 2� -èãðà ñ ìàòðèöåé âûèãðûøà (13) èìååò ñåäëîâóþ òî÷êó S ( )2
â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ:
S x y( ) ,2 2 2� { }. (15)
Èòàê, ïðè íàèìåíåå ñëîæíîì ñòðàòåãè÷åñêîì îñíàùåíèè áåñøóìíàÿ äóýëü ðå-
øàåòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî è ÿâëÿåòñÿ íåñóùåñòâåííîé èãðîé. Ìîæíî ïðåäïîëî-
æèòü, ÷òî ïðè äîáàâëåíèè îäíîé ÷èñòîé ñòðàòåãèè èãðà ïî-ïðåæíåìó îñòàåòñÿ íåñó-
ùåñòâåííîé. Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü, ïðèíèìàÿ N � 3 è ðåøàÿ ìàòðè÷íóþ 3 3� -èãðó
ñ ìàòðèöåé
F �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
1
2
1
1
2
0 0
1 0 0
,
(16)
èìåþùåé ÷åòûðå ñåäëîâûå òî÷êè:
S x y( ) ,3 2 2� { }, S x y( ) ,3 2 3� { }, S x y( ) ,3 3 2� { }, S x y( ) ,3 3 3� { }. (17)
Ñëåäóÿ äàëåå, äîêàæåì òåîðåìó î òîì, ÷òî ó êàæäîãî èãðîêà ïðè íåáîëüøîì êî-
ëè÷åñòâå ÷èñòûõ ñòðàòåãèé, íå ïðåâîñõîäÿùåì íåêîòîðîå èçâåñòíîå ÷èñëî, áåñøóì-
íàÿ äóýëü ñ ôóíêöèåé âûèãðûøà (8), çàäàâàåìàÿ íà äèñêðåòíûõ ìíîæåñòâàõ ÷èñòûõ
ñòðàòåãèé èãðîêîâ (10) è (11), èìååò ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ.
Î ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÈ ÐÅØÅÍÈß Â ×ÈÑÒÛÕ ÑÒÐÀÒÅÃÈßÕ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ
ÁÅÑØÓÌÍÎÉ ÄÓÝËÈ Ñ ÌÀËÛÌ ÊÎËÈ×ÅÑÒÂÎÌ ÑÒÐÀÒÅÃÈÉ
Òåîðåìà. Åñëè â äèñêðåòíîé áåñøóìíîé äóýëè ñ ìàòðèöåé âûèãðûøà (12) êàæ-
äûé èãðîê èìååò ñåìü ÷èñòûõ ñòðàòåãèé èëè íå áîëåå ïÿòè ÷èñòûõ ñòðàòåãèé, òî
ýòà àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ èãðà èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíó ñèòóàöèþ ðàâíîâåñèÿ
â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ, ïðè÷åì ïðè N � 3 (òðè ÷èñòûõ ñòðàòåãèè) ñóùåñòâóåò
÷åòûðå ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ èãðà ðå-
øàåòñÿ â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ïðè N
{ }2 3 4 5 7, , , , ìàòðèöà (12) äîëæ-
íà èìåòü ñåäëîâûå òî÷êè. Äëÿ ñëó÷àÿ N � 2 (óæå ðàññìîòðåííîãî âûøå) ñóùåñòâó-
åò ñåäëîâàÿ òî÷êà (15). Ïðè N � 3 â ìàòðèöå (16)
172 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
V f f f f f V
i j
ij
j
*
, ,
*� � � � � � � �
� � �
max min min
1 3 1 3
22 23 32 33
1
0
, ,3 1 3
max
i
ijf
�
, (18)
îòêóäà ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ (17), ÷òî è îïðåäåëÿåò íàëè÷èå ÷åòûðåõ ñèòóàöèé ðàâ-
íîâåñèÿ â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ ïðè òðåõ ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ ó êàæäîãî èãðîêà.
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ìàòðèöå âûèãðûøà (12). Çàìåòèì, ÷òî åñëè â êàæäîé ñòðî-
êå ýòîé ìàòðèöû ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû îäèí îòðèöàòåëüíûé ýëåìåíò, òî ýòî îçíà÷àåò,
÷òî íèæíÿÿ öåíà èãðû V* � 0.  ýòîì ñëó÷àå áëàãîäàðÿ êîñîñèììåòðè÷íîñòè ìàòðè-
öû (12) â êàæäîì åå ñòîëáöå ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû îäèí ïîëîæèòåëüíûé ýëåìåíò;
çíà÷èò, âåðõíÿÿ öåíà èãðû V * � 0. Òîãäà V V*
*� è èãðà íå áóäåò èìåòü ñèòóàöèé
ðàâíîâåñèÿ â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ. Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ N â êàæäîé ñòðîêå
ìàòðèöû âûèãðûøà (12) ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû îäèí îòðèöàòåëüíûé ýëåìåíò. Äëÿ
ýòîãî ñíà÷àëà ïðè x y� ðåøèì íåðàâåíñòâî
x y xy� � � 0 (19)
îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé x. Çäåñü î÷åâèäíî, ÷òî íåðàâåíñòâî (19) èìååò ìåñòî ïðè
x
y
y
�
�1
, (20)
ãäå y
( ; ]0 1 , ïîñêîëüêó ñëó÷àé x y� � 0 íåâîçìîæåí. Èòàê, ïðè y
( ; ]0 1 èç íåðà-
âåíñòâà (20) ñëåäóåò, ÷òî x
�
�
�
�
�
�0
1
2
; . Òàêèì îáðàçîì, ïðè ëþáîì x �
1
2
ñóùåñòâóåò
òàêîå y, ÷òî F x y( , ) � 0. Ïåðåõîäÿ ê äèñêðåòíîé ôîðìå ôóíêöèè âûèãðûøà
F x y( , ), âûðàæåííîé ìàòðèöåé (12), ÷èñòóþ ñòðàòåãèþ y âòîðîãî èãðîêà çàïèøåì
ñîãëàñíî (11) êàê y
j
N
�
�
�
1
1
ïðè j N� 1, . Òîãäà
y
y
j
N
j
N
j
N j1
1
1
1
1
1
1
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
.
(21)
Èòàê, äëÿ x
j
N j
�
� �
�
�
�
�
�
��0
1
2
; ñóùåñòâóåò òàêîå y èç ìíîæåñòâà (11) áåç ó÷åòà y � 0,
÷òî F x y( , ) � 0, ãäå î÷åâèäíî, ÷òî j N� 2, .
Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ N äëÿ x
�
��
�
1
2
1; òàêæå ñóùåñòâóåò
õîòÿ áû îäíî çíà÷åíèå y òàêîå, ÷òî F x y( , ) � 0. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ýëåìåíòû ìàò-
ðèöû (12), ðàñïîëîæåííûå ïîä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ, ò.å. çàäàäèì x y� . Ðåøåíèåì
íåðàâåíñòâà
x y xy� � � 0 (22)
îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé x áóäåò
x
y
y
�
�1
(23)
èëè, áîëåå òî÷íî,
y x
y
y
� �
�1
.
(24)
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ñîáëþäåíèÿ äâîéíîãî íåðàâåíñòâà (24) íåîáõîäèìî èñêëþ-
÷èòü ñëó÷àè, êîãäà y � 0 è y � 1. Òåì íå ìåíåå ïðè y
( ; )0 1 èç íåðàâåíñòâà (24) ïîëó-
÷àåì x
( ; )0 1 , ÷òî â îáùåé ñëîæíîñòè èìååì ïðè ïîäñòàíîâêå êàæäîãî çíà÷åíèÿ y
èç èíòåðâàëà ( ; )0 1 .  äèñêðåòíîì âàðèàíòå ïîëó÷èì
y
y
j
N
j
N
j
N j1
1
1
1
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
(25)
ãäå ïðè x
j
N
j
N j
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
1
1
1
; , j N� �2 1, , ñóùåñòâóåò òàêîå y, ÷òî F x y( , ) � 0.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 173
Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ âî ìíîæåñòâî èíòåðâàëîâ
j
N
j
N j
j
N
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
� �
�
1
1
1
2
1
; (26)
ïåðåìåííîé x âõîäÿò âñå çíà÷åíèÿ x �
1
2
. Âíà÷àëå èç ýòîãî ìíîæåñòâà èñêëþ÷èì
òå èíòåðâàëû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè ïîëóèíòåðâàëà 0
1
2
;
�
��
�
�
� , ïîñêîëü-
êó äëÿ íåãî ñóùåñòâîâàíèå îòðèöàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ â ñòðîêàõ ìàòðèöû (12)
óæå óñòàíîâëåíî. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè
j
N j
�
�
�
1 1
2
, òî
j
N
j
N j
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
1
1
1
0
1
2
; ; . (27)
Òîãäà íåîáõîäèìû òîëüêî òàêèå x, ïðè êîòîðûõ
j
N j
�
�
�
1 1
2
. Îòñþäà ïîëó÷àåì
óñëîâèå j
N
�
� 2
3
äëÿ öåëûõ çíà÷åíèé j. Îäíàêî åñëè íåêîòîðûé èíòåðâàë ìíî-
æåñòâà (26) ñîäåðæèò òî÷êó x � 1, òî ñëåäóþùèå çà íèì èíòåðâàëû (åñëè òàêîâûå
åñòü) òàêæå íå èìååò ñìûñëà ðàññìàòðèâàòü, ïîñêîëüêó ïðè x � 1 èç íåðàâåí-
ñòâà (22) âûòåêàåò îòðèöàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ïîñëåäíåé ñòðîêè ìàòðèöû (12)
ïðè y
�
�
�
�
�
�
1
2
1; . Òàê åñëè ïðè íåêîòîðîì j âïåðâûå âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
j
N j
�
�
�
1
1, òî ïðè òàêîì j
N
�
� 1
2
ñëåäóåò ïðåêðàòèòü ðàññìîòðåíèå, ò.å. çäåñü èìå-
åì j
N N
�
�
� �
�1
2
1
3
2
.
Òåïåðü ïðîàíàëèçèðóåì, êàêèì îáðàçîì ìíîæåñòâî èíòåðâàëîâ (26) ïðè òàêîì
öåëîì j, ÷òî j
N N
� ��
�
�
�
�
�
2
3
3
2
; , ïîêðûâàåò ïîëóèíòåðâàë x
�
��
�
�
�
1
2
1; . Äëÿ ýòîãî ðàñ-
ñìîòðèì ðàçíîñòü ìåæäó ëåâûì êîíöîì ïîñëåäóþùåãî èíòåðâàëà è ïðàâûì êîíöîì
ïðåäûäóùåãî èíòåðâàëà:
( ) ( ) ( )( )
(
j
N
j
N j
j
N
j
N j
j N j j N
N
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
1 1
1
1
1
1 1 1
1)( )N j�
�
�
� � � � �
� �
�
� � � �
� �
jN j jN N j
N N j
j j N
N N j
2 21
1
1
1( )( ) ( )( )
, (28)
ãäå j
N N
� ��
�
�
�
�
�
2
3
3
2
; ïðè j N� �2 2, . Íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü âñå ñëó÷àè ñ
N
� \ ,{ }2 3 . Èòàê, îöåíèì ðàçíîñòü (28) äëÿ öåëûõ çíà÷åíèé èíòåðâàëà
N N� ��
�
�
�
�
�
2
3
3
2
; . Çíàìåíàòåëü ïðåäñòàâëÿåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ïîñêîëüêó ïðè
ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîì j
N
�
� 3
2
èìååì
( ) ( ) ( )N N
N
N
N N
N
N
� �
��
�
�
�
�
� � �
� ��
�
�
�
�
� � �
�
�1
3
2
1
2 3
2
1
3
2
0. (29)
Çíà÷èò, çíàê â ðàçíîñòè (28) îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëèòåëåì, òî÷íåå, êîðíÿìè êâàäðàò-
íîãî óðàâíåíèÿ
� � � � �j j N2 1 0 . (30)
174 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Åãî äèñêðèìèíàíò ðàâåí
1 4 1 1 4 3� � � �( )N N , (31)
îòêóäà êîðíè óðàâíåíèÿ (30) èìåþò âèä
j j
N N
� �
� � �
�
�
� �
1
1 4 3
2
1 4 3
2
(32)
èëè
j j
N N
� �
� � �
�
�
� �
2
1 4 3
2
1 4 3
2
. (33)
Ïåðâûé êîðåíü (32), áåçóñëîâíî, íåïðèåìëåì, òàê êàê j
N
1
1 4 3
2
0�
� �
� ïðè
N
� \ ,{ }2 3 . Ïîñêîëüêó âåòêè ïàðàáîëû � � � �j j N2 1 íàïðàâëåíû âíèç, òî ïðè
j j
N
� �
� �
2
1 4 3
2
ðàçíîñòü (28) ïîëîæèòåëüíà è ïðè öåëûõ çíà÷åíèÿõ j èç
èíòåðâàëà
N N N N� ��
�
�
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
2
3
3
2
2
3
1 4 3
2
; ;�
(34)
ïðåäûäóùèé è ïîñëåäóþùèé èíòåðâàëû èç ìíîæåñòâà (26) íå ïåðåñåêàþòñÿ:
j
N
j
N j
j
N
j
N j
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
� �
�
� �
� �
�
�
�
1
1
1 1 1
1
1 1
1
;
( )
;
( )
( )
� �
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�� � � �
�
�
��
�
�
�� � !
j
N
j
N j
j
N
j
N j
1
1
1
1 1
; ;� . (35)
Çàìåòèì, ÷òî ðàçíîñòü
1 4 3
2
2
3
3 4 3 2 1
6
� �
�
�
�
� � �N N N N (36)
ìåæäó âòîðûì êîðíåì (33) è íà÷àëîì èíòåðåñóþùèõ íàñ îòñ÷åòîâ öåëûõ çíà÷å-
íèé j ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé ôóíêöèåé îò N ïðè N
� \ ,{ }2 3 . Äåéñòâèòåëüíî, ïåð-
âàÿ ïðîèçâîäíàÿ ðàçíîñòè (36)
d
dN
N N
N
3 4 3 2 1
6
1
4 3
1
3
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� (37)
îáðàùàåòñÿ â íóëü (êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü) â òî÷êå N � 3.  ýòîé òî÷êå âòîðàÿ
ïðîèçâîäíàÿ
d
dN
N N d
dN N N
2
2
3 4 3 2 1
6
1
4 3
1
3
2
4
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�� �
�
( �3 3)
(38)
îòðèöàòåëüíà, ïîýòîìó òî÷êà N � 3 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìàêñèìóìà ðàçíîñòè (36).
Çíà÷èò, ïðè N � 4 ðàçíîñòü (36) óáûâàåò, íî ïðè N � 7 ðàçíîñòü (36) îáðàùàåòñÿ
â íóëü. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì öåëîì N � 7
N N� � ��
�
�
�
�
�
�
�
� !
2
3
1 4 3
2
;
(39)
è ïåðåñå÷åíèå (34) òàêæå ïóñòî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ëþáîì öåëîì N � 7 íå
ñóùåñòâóåò òàêèõ öåëûõ çíà÷åíèé j, ÷òîáû ñîîòíîøåíèå (35) âûïîëíÿëîñü, ò.å.
âî ìíîæåñòâî èíòåðâàëîâ (26) ïåðåìåííîé x âõîäÿò âñå x
�
�
�
�
�
�
1
2
1; .
Äàëåå ïðîâåðèì âõîæäåíèå âî ìíîæåñòâî (26) òî÷êè x �
1
2
. Äëÿ ýòîãî íåîáõî-
äèìû òàêèå öåëûå çíà÷åíèÿ j èç èíòåðâàëà
N N� ��
�
�
�
�
�
2
3
3
2
; , ÷òîáû
j
N
�
�
�
1
1
1
2
èëè, áî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 175
ëåå êîíêðåòíî, j
N
�
� 1
2
. Òàêèì îáðàçîì, ïðè öåëûõ j
N N
� ��
�
�
�
�
�
2
3
1
2
; òî÷êà x �
1
2
âõîäèò âî ìíîæåñòâî (26). Ïîñêîëüêó
N N N N N�
�
�
�
� � �
�
�1
2
2
3
3 3 2 4
6
1
6
,
(40)
òî ïðè N � 7 õîòÿ áû îäíî öåëîå j îáÿçàòåëüíî âîéäåò â èíòåðâàë
N N� ��
�
�
�
�
�
2
3
1
2
; .
Òîãäà ìíîæåñòâî èíòåðâàëîâ (26) ïîëíîñòüþ ïîêðîåò ïîëóèíòåðâàë x
�
��
�
�
�
1
2
1; è
ïðè N � 7 äëÿ x
�
��
�
1
2
1; òàêæå íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíî òàêîå çíà÷åíèå y, ÷òî
F x y( , ) � 0. Ïîýòîìó ïðè N � 7 â êàæäîé ñòðîêå ìàòðèöû (12) ñîäåðæèòñÿ õîòÿ
áû îäèí îòðèöàòåëüíûé ýëåìåíò, à íèæíÿÿ öåíà èãðû V* � 0, âåðõíÿÿ öåíà èãðû
V * � 0 ; ñëåäîâàòåëüíî, ïðè N � 7 ìàòðèöà (12) íå èìååò ñåäëîâûõ òî÷åê â ÷èñ-
òûõ ñòðàòåãèÿõ è ñîîòâåòñòâóþùàÿ àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ èãðà ðåøàåòñÿ â ñìåøàí-
íûõ ñòðàòåãèÿõ.
Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ïðè N
{ }4 5 7, , ìàòðèöà (12) èìååò ñåäëîâûå òî÷êè,
à ïðè N � 6 ñîîòâåòñòâóþùàÿ èãðà ðåøàåòñÿ â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ. Ïðè N � 4
áåç ó÷åòà óñëîâèÿ (27) ìíîæåñòâî (26) ÿâëÿåòñÿ îäíîýëåìåíòíûì, îäíàêî â èí-
òåðâàë
2
3
2;
�
�
�
�
�
� íå âõîäèò ñòðàòåãèÿ x x� �3
2
3
, ïîýòîìó â òðåòüåé ñòðîêå ñîîòâåòñòâó-
þùåé ìàòðèöû (12) îòñóòñòâóþò îòðèöàòåëüíûå ýëåìåíòû è V* � 0. Ââèäó óñëîâèÿ
(3) â òðåòüåé ñòðîêå ìàòðèöû (12) ñóùåñòâóåò ñåäëîâàÿ òî÷êà
S x y( ) ,4 3 3� { }, (41)
÷òî ìîæíî ëåãêî ïðîâåðèòü. Ïðè N � 5 áåç ó÷åòà óñëîâèÿ (27) äëÿ (10) ìíîæåñò-
âîì (26) ÿâëÿåòñÿ îäèí èíòåðâàë
1
2
1;
�
�
�
�
�
� , â êîòîðûé íå âõîäèò ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ
x x� �3
1
2
, ïîýòîìó â òðåòüåé ñòðîêå ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû (12) îòðèöàòåëü-
íûå ýëåìåíòû îòñóòñòâóþò è V* � 0. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ñîîòâåòñòâóþùåé
5 5� -èãðå ñóùåñòâóåò ñåäëîâàÿ òî÷êà
S x y( ) ,5 3 3� { }. (42)
Åñëè N � 6, òî, äàæå íåñìîòðÿ íà íåâûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ (39), ïåðåñå÷å-
íèå (34) ñ öåëûìè j ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì è ñîîòâåòñòâóþùåå äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñò-
âî (26)
2
5
2
3
3
5
3
2
; , ;
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ïåðåìåííîé x ïîêðûâàåò íå òîëüêî âåñü èíòåðâàë
1
2
1;
�
�
�
�
�
� , íî
è âåñü ïîëóèíòåðâàë
1
2
1;
�
��
�
�
� . Ïîýòîìó ïðè N � 6 â êàæäîé ñòðîêå ìàòðèöû (12) ñî-
äåðæèòñÿ õîòÿ áû îäèí îòðèöàòåëüíûé ýëåìåíò, íèæíÿÿ öåíà èãðû V* � 0, âåðõíÿÿ
öåíà èãðû V * � 0, ìàòðèöà (12) íå èìååò ñåäëîâûõ òî÷åê â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ è ñî-
îòâåòñòâóþùàÿ 6 6� -èãðà ðåøàåòñÿ â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ.
Ñëåäóåò îòìåòèòü ñëó÷àé, êîãäà N � 7. Çäåñü âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (39), ðàç-
íîñòü (40) îáðàùàåòñÿ â íóëü è, êðîìå òîãî, ìíîæåñòâî (26) äëÿ ñîîòíîøåíèÿ (10)
ñíîâà ñòàíîâèòñÿ îäíîýëåìåíòíûì áåç ó÷åòà óñëîâèÿ (27), è îíî ñîñòîèò èç èíòåð-
âàëà
1
2
1;
�
�
�
�
�
� .  ýòîò èíòåðâàë íå âõîäèò ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ x x� �4
1
2
, ïîýòîìó â ÷åòâåð-
òîé ñòðîêå ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû (12) îòðèöàòåëüíûå ýëåìåíòû îòñóòñòâóþò è
V* � 0. Òàêèì îáðàçîì, â ñîîòâåòñòâóþùåé 7 7� -èãðå ñóùåñòâóåò ñåäëîâàÿ òî÷êà
S x y( ) ,7 4 4� { }. (43)
Èòàê, ðàññìîòðåíû âñå ñëó÷àè ÷èñòûõ ñòðàòåãèé ñ ðàçëè÷íûì ÷èñëîì N .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
176 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
ÏÐÎÃÐÀÌÌÍÀß ÏÐÎÖÅÄÓÐÀ ÄËß ÏÎËÓ×ÅÍÈß ÐÅØÅÍÈß
ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÁÅÑØÓÌÍÎÉ ÄÓÝËÈ
Äîêàçàííàÿ òåîðåìà ñóùåñòâåííî óïðîùàåò àíàëèç äèñêðåòíîé áåñøóìíîé äóýëè ñ
ìàëûì êîëè÷åñòâîì ÷èñòûõ ñòðàòåãèé. Íàïðèìåð åñëè óïîìÿíóòûå äâå èäåíòè÷-
íûå ôèðìû-êîíêóðåíòû ïûòàþòñÿ âûâåñòè ñâîè óñëóãè íà èííîâàöèîííûé ðûíîê
â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ äíåé â óñëîâèÿõ îäíîêðàòíîãî ïîâòîðåíèÿ òàêîãî âûâåäå-
íèÿ, òî èäåàëüíûì ñðîêîì äëÿ ýòîãî ìîæíî ñ÷èòàòü ëþáîå êîëè÷åñòâî äíåé íåäå-
ëè, èñêëþ÷èâ ïåðèîä â øåñòü äíåé, ïîñêîëüêó òîãäà ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå
áóäåò â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ. Åñëè, íàïðèìåð, N � 7 è ïðîöåññ âûõîäà íà èííî-
âàöèîííûé ðûíîê íà÷èíàåòñÿ ñ ïîíåäåëüíèêà, òî ñîãëàñíî (43) äëÿ êàæäîé ôèðìû
îïòèìàëüíûì äíåì ÿâëÿåòñÿ ÷åòâåðã. Åñëè âûõîäíûå äíè èñêëþ÷èòü, òî N � 5 è
ñîãëàñíî (42) ñòàðòîâàòü êîíêóðåíòàì ñëåäóåò â ñðåäó. Îäíàêî âîçìîæíû è ìåíåå
áëàãîïðèÿòíûå âàðèàíòû ñ òî÷êè çðåíèÿ áûñòðîé ðåàëèçàöèè ïðèíöèïà îïòèìàëü-
íîñòè [5], êîãäà N � 6 èëè N � 7.  ýòîì ñëó÷àå êàæäîìó èãðîêó íåîáõîäèìî
áûñòðî ïîëó÷àòü ðåøåíèå èãðû â âèäå N-ýëåìåíòíîãî âåêòîðà âåðîÿòíîñòåé
P � �[ ]� � � � �1 2 3 1� N N (44)
âûáîðà ÷èñòûõ ñòðàòåãèé èç ìíîæåñòâ (10) è (11), ãäå � j
[ ; ]0 1 " �j N1, è
� j
j
N
�
# �
1
1. Äëÿ ýòîãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìîùíîå ïðîãðàììíî-ìàòåìàòè÷åñêîå
ñðåäñòâî MATLAB ñ ïîäêëþ÷åííûì ïðîãðàììíûì ìîäóëåì SP äëÿ íàõîæäåíèÿ
ñåäëîâûõ òî÷åê ìàòðèö â ÷èñòûõ èëè ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ [8]. Íà ðèñ. 1 ïîêà-
çàíî îêíî ñ òåêñòîì êîäà ïðîãðàììíîãî ìîäóëÿ SP, âîçâðàùàþùåãî ðåøåíèå
ìàòðè÷íîé èãðû, íèæíþþ è âåðõíþþ öåíû èãðû, èçâåùåíèå î ñóùåñòâåííîñòè
èãðû è îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå èãðû.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 177
Ðèñ. 1
178 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
Èíôîðìàöèÿ î âåêòîðå (44) âûâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììíîé ïðîöåäóðû,
âûïîëíåííîé â ìîäóëå DND, âõîäíûì ïàðàìåòðîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî ÷è-
ñòûõ ñòðàòåãèé N . Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíî îêíî ñ òåêñòîì êîäà ïðîãðàììíîãî ìîäóëÿ
DND, âîçâðàùàþùåãî ðåøåíèå äèñêðåòíîé áåñøóìíîé äóýëè â ôîðìå ñîîáùåíèÿ
îá îïòèìàëüíîé ÷èñòîé ñòðàòåãèè èëè â ôîðìå âåêòîðà (44). Íà ðèñ. 3 äàíû ïðèìå-
ðû ïîëó÷àåìûõ â êîìàíäíîì îêíå MATLAB ðåøåíèé, ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû âû-
ïîëíåíèÿ ìîäóëÿ DND ïðè N
{ }6 7 8, , .
Òàêèì îáðàçîì, íåñìîòðÿ íà âñþ ïðîñòîòó ìîäåëåé, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå àí-
òàãîíèñòè÷åñêèõ èãð, ðåçóëüòàòû äîêàçàííîé òåîðåìû äåéñòâèòåëüíî ïðèìåíèìû
ïðè ïðàêòè÷åñêîì ðàçðåøåíèè êîíôëèêòíûõ ñèòóàöèé. Ñêîíñòðóèðîâàííàÿ ïðî-
ãðàììíàÿ ïðîöåäóðà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ äèñêðåòíîé áåñøóìíîé äóýëè âûäàåò
åãî â äîñòóïíîé ôîðìå. Ïðè ýòîì, îäíàêî, íå ïðåäëàãàåòñÿ ñïîñîá ïðàêòè÷åñêîé ðå-
àëèçàöèè ñìåøàííîé ñòðàòåãèè â âèäå âåêòîðà âåðîÿòíîñòåé (44) ñ áîëåå ÷åì îäíèì
íåíóëåâûì ýëåìåíòîì. Ýòîò âîïðîñ ïîäðîáíî ðàññìàòðèâàåòñÿ â ðàáîòàõ [9, 10].
 äàëüíåéøèõ ïóáëèêàöèÿõ áóäåò ïðåäëîæåíî èññëåäîâàòü èãðó òèïà äèñêðåòíîé
áåñøóìíîé äóýëè ñ äâóìÿ è áîëåå âûñòðåëàìè ó èãðîêîâ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
â ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå áóäåò íàìíîãî ñëîæíåå, ÷åì â çàäà÷å ñ îäíèì âûñòðåëîì, íî
íå èñêëþ÷åíà âîçìîæíîñòü, ÷òî îòäåëüíûìè òåîðåìàìè áóäåò äîêàçàíà íåñóùåñò-
âåííîñòü èãðû èëè îïðåäåëåíû äðóãèå ïóòè ðåàëèçàöèè èçâåñòíîãî ïðèíöèïà îïòè-
ìàëüíîñòè â àíòàãîíèñòè÷åñêèõ èãðàõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ò å î ð è ÿ èãð: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ óí-òîâ / Ë.À. Ïåòðîñÿí, Í.À. Çåíêåâè÷, Å.À. Ñåìèíà. — Ì.:
Âûñø. øê., Êíèæíûé äîì «Óíèâåðñèòåò», 1998. — 304 ñ.
2. Â à ñ è í À . À . , Ì î ð î ç î â Â . Â . Ââåäåíèå â òåîðèþ èãð ñ ïðèëîæåíèÿìè ê ýêîíîìèêå:
Ó÷åá. ïîñîáèå. — Ì., 2003. — 278 ñ.
3. T e r a o k a Y . A single bullet duel with uncertain information available to the duelists // Bull.
Math. Statist. — 1979. — N 18. — P. 69–80.
4. T e r a o k a Y . A two-person game of timing with random arrival time of the object // Math. Japo-
nica. — 1979. — N 24. — P. 427–438.
5. Â î ð î á ü ¸ â Í . Í . Òåîðèÿ èãð äëÿ ýêîíîìèñòîâ-êèáåðíåòèêîâ. — Ì.: Íàóêà, Ãëàâ. ðåä.
ôèç.-ìàò. ëèò., 1985. — 272 ñ.
6. Î ó ý í Ã . Òåîðèÿ èãð: Ïåð. ñ àíãë. Èçä. 2-å. — Ì.: Ýäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2004. — 216 ñ.
7. Ð î ì à í þ ê Â . Â . Ìîäåëèðîâàíèå âûõîäà íà ðûíîê äâóõ êîíêóðèðóþùèõ ïðåäïðèÿòèé
ñ ïîìîùüþ èãðîâîé áåñøóìíîé äóýëè â MATLAB 7.0.1 // ³ñí. Õìåëüíèöêîãî íàö. óí-òó.
Åêîíîì. íàóêè. — 2009. — 2, ¹ 3. — Ñ. 233–238.
8. Ð î ì à í þ ê  .  . Ðàçðåøåíèå ñèñòåìû ïðåñëåäîâàòåëü — äîáû÷à äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé
âåðîÿòíîñòè ïîðàæåíèÿ äîáû÷è ïðåñëåäîâàòåëåì // Âåñòí. ÍÒÓ «ÕÏÈ». Òåìàòè÷. âûï.:
Èíôîðìàòèêà è ìîäåëèðîâàíèå. — 2009. — ¹ 13. — Ñ. 138–149.
9. Ð î ì à í þ ê  .  . Ìåòîä ðåàë³çàö³¿ ïðèíöèïó îïòèìàëüíîñò³ ó ìàòðè÷íèõ ³ãðàõ áåç ñ³äëîâî¿ òî÷êè
// ³ñíèê ÍÒÓ «Õϲ». Òåìàòè÷. âèï. ²íôîðìàòèêà òà ìîäåëþâàííÿ. — 2008. — ¹ 49. — Ñ. 146–154.
10. Ð î ì à í þ ê  .  . Ìåòîä ðåàë³çàö³¿ îïòèìàëüíèõ çì³øàíèõ ñòðàòåã³é ó ìàòðè÷í³é ãð³
ç ïîðîæíüîþ ìíîæèíîþ ñ³äëîâèõ òî÷îê ó ÷èñòèõ ñòðàòåã³ÿõ ç â³äîìîþ ê³ëüê³ñòþ ïàðò³é ãðè //
Íàóêîâ³ â³ñò³ ÍÒÓÓ «Êϲ». — 2009. — ¹ 2. — Ñ. 45–52.
Ïîñòóïèëà 16.10.2009
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 179
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84243 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T08:28:22Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Романюк, В.В. 2015-07-04T12:52:31Z 2015-07-04T12:52:31Z 2011 Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий / В.В. Романюк // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 170-179. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84243 519.832.3 Означено дискретну безшумну дуель на одиничному квадраті, де кожен з гравців володіє кінцевим числом чистих стратегій, рівномірно розподілених на одиничному сегменті. Доведено теорему існування окремих розв’язків дискретної безшумної дуелі у чистих стратегіях. Представлено конструкцію програмної процедури для отримання розв’язку дискретної безшумної дуелі. The discrete noiseless duel is defined on the unit square in which each player has a finite number of pure strategies uniformly distributed on the unit segment. The theorem on the existence of individual solutions of the discrete noiseless duel in pure strategies is proved.The construction of a program procedure for obtaining the solution of the discrete noiseless duel is presented. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий Дискретна безшумна дуель з кососиметричною функцією виграшу на одиничному квадраті для моделей соціально-економічних конкурентних процесів зі скінеченною кількістю чистих стратегій Discrete noiseless duel with a skewsymmetric payoff function on the unit square for models of social-eco-nomic competitive processes with a finite number of pure strategies Article published earlier |
| spellingShingle | Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий Романюк, В.В. Системный анализ |
| title | Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий |
| title_alt | Дискретна безшумна дуель з кососиметричною функцією виграшу на одиничному квадраті для моделей соціально-економічних конкурентних процесів зі скінеченною кількістю чистих стратегій Discrete noiseless duel with a skewsymmetric payoff function on the unit square for models of social-eco-nomic competitive processes with a finite number of pure strategies |
| title_full | Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий |
| title_fullStr | Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий |
| title_full_unstemmed | Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий |
| title_short | Дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий |
| title_sort | дискретная бесшумная дуэль с кососимметричной функцией выигрыша на единичном квадрате для моделей социально-экономических конкурентных процессов с конечным числом чистых стратегий |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84243 |
| work_keys_str_mv | AT romanûkvv diskretnaâbesšumnaâduélʹskososimmetričnoifunkcieivyigryšanaediničnomkvadratedlâmodeleisocialʹnoékonomičeskihkonkurentnyhprocessovskonečnymčislomčistyhstrategii AT romanûkvv diskretnabezšumnaduelʹzkososimetričnoûfunkcíêûvigrašunaodiničnomukvadratídlâmodeleisocíalʹnoekonomíčnihkonkurentnihprocesívzískínečennoûkílʹkístûčistihstrategíi AT romanûkvv discretenoiselessduelwithaskewsymmetricpayofffunctionontheunitsquareformodelsofsocialeconomiccompetitiveprocesseswithafinitenumberofpurestrategies |