Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью
Системный анализ Розглянуто нелінійне автономне диференціально-операторне включення із псевдомонотонною залежністю між визначаючими параметрами задачі. Вивчено динаміку всіх слабких розв’язків, визначених на додатній півосі часу. Доведено існування траєкторного і глобального атракторів. Досліджено ї...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84245 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью / П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 150-163. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860222325456109568 |
|---|---|
| author | Касьянов, П.О. |
| author_facet | Касьянов, П.О. |
| citation_txt | Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью / П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 150-163. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Системный анализ
Розглянуто нелінійне автономне диференціально-операторне включення із псевдомонотонною залежністю між визначаючими параметрами задачі. Вивчено динаміку всіх слабких розв’язків, визначених на додатній півосі часу. Доведено існування траєкторного і глобального атракторів. Досліджено їх структуру. В якості одного із можливих застосувань розглянуто клас нелінійних параболічних рівнянь високого порядку.
This article considers a nonlinear autonomous differential-operator inclusion with a pseudomonotone dependence between determinative parameters of the problem. The dynamics of all weak solutions defined on the positive semi-axis of time is studied. The existence of a trajectory and global attractors is proved and their structure is investigated. A class of high-order nonlinear parabolic equations considered to be a possible application.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:18:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9
Ï.Î. ÊÀÑÜßÍÎÂ
ÌÍÎÃÎÇÍÀ×ÍÀß ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÐÅØÅÍÈÉ ÀÂÒÎÍÎÌÍÎÃÎ
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÎÏÅÐÀÒÎÐÍÎÃÎ ÂÊËÞ×ÅÍÈß
Ñ ÏÑÅÂÄÎÌÎÍÎÒÎÍÍÎÉ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÑÒÜÞ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíîå âêëþ÷åíèå, ãëîáàëüíûé àò-
òðàêòîð, òðàåêòîðíûé àòòðàêòîð, ïñåâäîìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Êà÷åñòâåííûì èññëåäîâàíèåì íåëèíåéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ýâîëþöè-
îííûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé ðàçíîé ïðèðîäû, â ÷àñòíîñòè âîïðîñàìè äèíàìèêè
ðåøåíèé íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷, çàíèìàþòñÿ ìíîãèå êîëëåêòèâû ìàòåìàòèêîâ,
ìåõàíèêîâ, ãåîôèçèêîâ (â îñíîâíîì òåîðåòèêîâ), èíæåíåðîâ. Äàëåêî íå ïî-
ëíûé ïåðå÷åíü ðåçóëüòàòîâ â ýòîì íàïðàâëåíèè ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòàõ [1–17].
Ïîñëåäíèå äàííûå, êàñàþùèåñÿ èçó÷åíèÿ ìíîãîçíà÷íîé, â îáùåì ñëó÷àå, äè-
íàìèêè ðåøåíèé ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ íåëèíåéíûìè, íåãëàäêèìè, ðàç-
ðûâíûìè, ìíîãîçíà÷íûìè, íåìîíîòîííûìè ôóíêöèÿìè âçàèìîäåéñòâèÿ îñíî-
âàíû íà òåîðèè ãëîáàëüíûõ è òðàåêòîðíûõ àòòðàêòîðîâ äëÿ ì-ïîëóïîòîêîâ ðå-
øåíèé [1, 5–7]. Ïðè ýòîì äëÿ ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìîé ýâîëþöèîííîé çàäà÷è
äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñâîéñòâà, ñâÿçàííûå ñ äèññèïàòèâíîñòüþ ñèñòåìû è çàìê-
íóòîñòüþ (â íåêîòîðîì ñìûñëå) ðàçðåøàþùåãî îïåðàòîðà [1, 5–8, 11, 13, 14].
Îòìåòèì, ÷òî ïðîâåðêà òàêèõ ñâîéñòâ ðåøåíèé äëÿ êàæäîãî âêëþ÷åíèÿ îñó-
ùåñòâëÿåòñÿ îòäåëüíî íà îñíîâå ëèíåéíîñòè èëè ìîíîòîííîñòè ãëàâíîé ÷àñòè
äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà, ôèãóðèðóþùåãî â çàäà÷å [1, 6, 11, 13, 14].
 áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ðàññìàòðèâàþò êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ.
 òî æå âðåìÿ ýíåðãåòè÷åñêèå ðàñøèðåíèÿ è îïåðàòîðû Íåìûöêîãî äëÿ
äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ, âîçíèêàþùèõ â îáîáùåííûõ ïîñòàíîâêàõ
ðàçëè÷íûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, çàäà÷ íà ìíîãîîáðàçèè ñ êðàåì è áåç
êðàÿ, çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì, ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, çàäà÷ ñ âûðîæäåíèåì, êàê ïðàâèëî, îáëàäàþò (ïðè
ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà) îáùèìè ñâîéñòâàìè,
ñâÿçàííûìè óñëîâèÿìè ðîñòà (÷àñòî íå áîëåå ÷åì ïîëèíîìèàëüíîãî), çíàêîâûìè
óñëîâèÿìè, ïñåâäîìîíîòîííîñòüþ [2–4, 12, 15, 16]. Ïðè òàêèõ îãðàíè÷åíèÿõ íà
îïðåäåëÿþùèå ïàðàìåòðû çàäà÷è â îáùåì ñëó÷àå óäàåòñÿ äîêàçàòü òîëüêî
ñóùåñòâîâàíèå ñëàáûõ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíîãî âêëþ÷åíèÿ,
ïðè÷åì íå âñåãäà êîíñòðóêòèâíî [2–4, 12, 15, 16]. Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìà
ñóùåñòâîâàíèÿ è èññëåäîâàíèÿ ñòðóêòóðû òðàåêòîðíûõ è ãëîáàëüíûõ
àòòðàêòîðîâ äëÿ ñëàáûõ ðåøåíèé ýâîëþöèîííûõ âêëþ÷åíèé â áåñêîíå÷íîìåðíûõ
ïðîñòðàíñòâàõ ñ ìíîãîçíà÷íûìè ôóíêöèÿìè âçàèìîäåéñòâèÿ ïñåâäîìîíîòîííîãî
òèïà ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷åé.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Äëÿ ýâîëþöèîííîé òðîéêè ( ; ; )*V H V ìíîãîçíà÷íîãî (â îáùåì ñëó÷àå) îòîáðà-
æåíèÿ A V V: *�� è âíåøíåé ñèëû f H� ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ
äèíàìèêè ïðè t � �� â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå H âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé íåëè-
íåéíîãî àâòîíîìíîãî äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíîãî âêëþ÷åíèÿ
y t A y t f� � �( ) ( ( )) � (1)
150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Ï.Î. Êàñüÿíîâ, 2011
çàäàííûõ ïðè t
0, ãäå ïàðàìåòðû çàäà÷è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:
1) p
2 , f H� ;
2) âëîæåíèå V â H — êîìïàêòíîå;
3) � �c 0 :
�u V ,
�d A u( ) | | | | ( | | | | )*d c u
V V
p� � �1 1 ;
4) � �� �, 0 :
�u V ,
�d A u( ) � �
�d u uV V
p, | | | |� �;
5) A V V: *�
� — (îáîáùåííî) ïñåâäîìîíîòîííûé [16], ò.å.
� äëÿ ëþáîãî u V� ìíîæåñòâî A u( ) ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì, âûïóêëûì è ñëàáî
êîìïàêòíûì â V *;
� èç òîãî, ÷òî u un � ñëàáî â V , d A un n� ( )
n 1 è lim
n
n n Vd u u
���
� � � �, 0 ,
ñëåäóåò, ÷òî
�� V � �d A u( ) ( )� òàêîå, ÷òî
lim
n
n n V Vd u d u
���
� � �
� � �, ( ),� � � .
Çäåñü � � � � � �, : *
V V V � — ñïàðèâàíèå â V V*� , ñîâïàäàþùåå íà H V� ñî
ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , )� � â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H .
Çàìå÷àíèå 1. Èç óñëîâèé 3–5 ñëåäóåò, ÷òî îòîáðàæåíèå A ïîëóíåïðåðûâíî
ñâåðõó êàê òàêîå, ÷òî äåéñòâóåò èç ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîìåðíîãî ïîä-
ïðîñòðàíñòâà V â V *, ñíàáæåííîãî ñëàáîé òîïîëîãèåé.
Ïîä ñëàáûì ðåøåíèåì ýâîëþöèîííîãî âêëþ÷åíèÿ (1) íà îòðåçêå [ , ]� T ïîíè-
ìàåì ýëåìåíò u ïðîñòðàíñòâà L T Vp ( , ; )� òàêîé, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî
d L T Vq� ( , ; )*�
d t A y t( ) ( ( ))� äëÿ ïî÷òè âñåõ (ï.â.) t T�( , )� , (2)
� � � � � �� � �( ( ), ( )) ( ), ( ) ( , ( ))
� � �
� � �
T T
V
T
t u t dt d t t dt f t dt
� �� �C T V0 ([ , ]; ) , (3)
ãäå q �1:
1 1
1
p q
� � .
2. ÏÐÅÄÂÀÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ �� T ðàññìîòðèì
X L T VT p� �, ( , ; )� , X L T VT q� �,
* *( , ; )� , W u X u XT T T� � �, , ,
*|� � ��{ },
�� � �, , ,
*:T T TX X�
� , �� �, ,
*( ) | ( ) ( ( ))T Ty d X d t A y t� � �{ äëÿ ï.â. t T�( , )� },
f X f t fT T T� � �, ,
*
,, ( )� � äëÿ ï.â. t T�( , )� ,
ãäå u� — ïðîèçâîäíàÿ ýëåìåíòà u X T� � , â ñìûñëå ïðîñòðàíñòâà ðàñïðåäåëå-
íèé � ([ , ]; )*� T V [2; îïðåäåëåíèå IV.1.10]. Îòìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî W T� ,
ÿâëÿåòñÿ ðåôëåêñèâíûì áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñ íîðìîé ãðàôèêà ïðîèç-
âîäíîé [15; óòâåðæäåíèå 4.2.1]:
| | | | | | | | | | | | ,
, , ,
* ,u u u u WW X X TT T T� � �
�� � � � . (4)
Èç ðàáîòû [3; Lemma 7] è óñëîâèé 1–5 ñëåäóåò, ÷òî �� � �, , ,
*:T T TX X�
�
óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 151
à) � �C1 0 : | | | | ( | | | | )
,
*
,
d C y
X X
p
T T� �
� � �
1
11
�y X T� , ,
�d yT�� , ( );
á) � �C C2 3 0, : � �
�d y C y CX X
p
T T
, | | | |
, ,� �
2 3
�y X T� , ,
�d yT�� , ( );
â) �� � �, , ,
*:T T TX X�� (îáîáùåííî) ïñåâäîìîíîòîííûé íà W T� , , ò.å.
� äëÿ ëþáîãî y X T� � , ìíîæåñòâî �� , ( )T y ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì, âûïóêëûì è
ñëàáî êîìïàêòíûì â X T� ,
* ;
� �� ,T ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó êàê òàêîå, ÷òî äåéñòâóåò èç ïðîèçâîëüíîãî
êîíå÷íîìåðíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà X T� , â X T� ,
* , ñíàáæåííîãî ñëàáîé òîïîëîãèåé;
� èç òîãî, ÷òî y yn � ñëàáî â W T� , , d yn T n� �� , ( )
n 1 , d dn � ñëàáî
â X T� ,
* ,
lim
n
n n Xd y y
T���
� � � �,
,�
0,
ñëåäóåò d yT��� , ( ) è lim
n
n n X Xd y d y
T T���
� � � � �, ,
, ,� �
. Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå èç-
ìåðèìîñòè íà A íå íàêëàäûâàåòñÿ.
Çäåñü � � � � � �, :
, ,
*
,X T TT
X X
� � � � — ñïàðèâàíèå â X XT T� �,
*
,� , ñîâïàäàþ-
ùåå íà L T H X T2 ( , ; ) ,� �� ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â L T H2 ( , ; )� , ò.å.
�
� � � � �u L T H v X u v u t v t dtT X
T
T2 ( , ; ), , ( ( ), ( )), ,
� �
�
�
.
Çàìåòèì òàêæå [2; òåîðåìà IV.1.17], ÷òî âëîæåíèå W C T HT� �, ([ , ]; )� íåïðå-
ðûâíî, ïëîòíî è
� � � � � ��u v W u T v T u v u t v tT
T
V, ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) [ ( ), ( ),�
�
� � � � � �v t u t dtV( ), ( ) ] . (5)
Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé â ñìûñëå �([ , ]; )*� T V è ðàâåíñòâà (3) íåïî-
ñðåäñòâåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 1. Êàæäîå ñëàáîå ðåøåíèå u X T� � , äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíîãî
âêëþ÷åíèÿ (1) íà îòðåçêå [ , ]� T ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó W T� , , êðîìå òîãî,
u u fT T�� ��� �, ,( ) . (6)
Íàîáîðîò, åñëè u W T� � , óäîâëåòâîðÿåò (6), òî u ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì (1)
íà [ , ]� T .
Ñóùåñòâîâàíèå ñëàáîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
y y( )� �� (7)
íà îòðåçêå [ , ]� T äëÿ ïðîèçâîëüíîãî y H� � ãàðàíòèðóþò óñëîâèå 1, óñëîâèÿ
à)–â), à òàêæå ðåçóëüòàòû ðàáîòû [15, ãë. 5]. Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî ñëå-
äóþùèé ðåçóëüòàò.
Ëåììà 2. Äëÿ ëþáûõ � �� �T y H, çàäà÷à Êîøè (1), (7) èìååò ñëàáîå ðåøå-
íèå íà îòðåçêå [ , ]� T . Êðîìå òîãî, êàæäîå ñëàáîå ðåøåíèå u X T� � , çàäà÷è Êîøè
(1), (7) íà îòðåçêå [ , ]� T ïðèíàäëåæèò W C T HT� �, ([ , ]; )� è óäîâëåòâîðÿåò (6).
Çàìå÷àíèå 2. Ïîñêîëüêó W C T HT� �, ([ , ]; )� , äëÿ êàæäîãî ñëàáîãî ðåøåíèÿ
çàäà÷è (1) â ñèëó ëåììû 1 íà÷àëüíîå óñëîâèå (7) èìååò ñìûñë.
152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ �� T ââåäåì îáîçíà÷åíèå: �� �, ( ) ( ) |T u u u� �{ — ñëàáîå
ðåøåíèå (1) íà [ , ], ( )� � �T u u� }, u H� � .
Èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî �� �, ( )T u �� è �� � �, ,( )T Tu W�
�� T , u H� � .
Äîêàæåì, ÷òî òðàíñëÿöèÿ è êîíêàòåíàöèÿ ñëàáûõ ðåøåíèé ÿâëÿþòñÿ òàêæå
ñëàáûìè ðåøåíèÿìè.
Ëåììà 3. Åñëè �� T , u H� � , u uT( ) ( ),� ��� � , òî v u s( ) ( )� � � � �
� � ��� �s T s u, ( )
s . Åñëè �� �t T , u H� � , u ut( ) ( ),� ��� � è v u tt T( ) ( ( )),� �� , òî
z s
u s s t
v s s t T
( )
( ), [ , ],
( ), [ , ],
�
�
�
�
�
�
�
ïðèíàäëåæèò �� �, ( )T u .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ (3),
ëåììû 1 è òîãî, ÷òî z W T� � , , êàê òîëüêî v W t� � , , u Wt T� , è v t u t( ) ( )� . Ïðè äî-
êàçàòåëüñòâå ïîñëåäíåãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé â ñìûñ-
ëå �([ , ]; )*� T V , ôîðìóëó (5) è ëåììó IV.1.12 èç [2] î ïëîòíîñòè C t t V1
1 2([ , ]; )
â Wt t1 2, äëÿ t t1 2� .
3. ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÐÅØÅÍÈÉ
Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ êîìïàêòíîãî ãëîáàëüíîãî è òðàåêòîðíîãî àò-
òðàêòîðà ýâîëþöèîííûõ âêëþ÷åíèé è, â ÷àñòíîñòè, âêëþ÷åíèé òèïà (1) îïèðà-
åòñÿ íà ñâîéñòâà ñîâîêóïíîñòè ñëàáûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1), ñâÿçàííûõ ñ àáñîð-
áèðóåìîñòüþ ïîðîæäåííîãî ì-ïîëóïîòîêà ðåøåíèé è åãî àñèìïòîòè÷åñêîé
êîìïàêòíîñòüþ (ñì. ðàáîòû [5–8] è ññûëêè ê íèì). Ñëåäóþùèå ëåììà îá àï-
ðèîðíûõ îöåíêàõ ðåøåíèé è òåîðåìà î çàâèñèìîñòè ðåøåíèé îò íà÷àëüíûõ
äàííûõ èãðàþò êëþ÷åâóþ ðîëü â èññëåäîâàíèè äèíàìèêè âñåõ ñëàáûõ ðåøå-
íèé çàäà÷è (1) ïðè t � ��.
Ëåììà 4. Ñóùåñòâóþò c c c c4 5 6 7 0, , , � òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî èí-
òåðâàëà âðåìåíè [ , ]� T êàæäîå ñëàáîå ðåøåíèå u( )� çàäà÷è (1) íà [ , ]� T óäîâëåòâî-
ðÿåò îöåíêàì:
t s, t s T, [ , ]� � ,
| | ( )| | | | ( )| | | | ( )| | ( | | | |u t c u d u s c f
H
s
t
V
p
H
2
4
2
5 1� � � �� � �
H
t s2 )( )� , (8)
| | ( )| | | | ( )| | ( | | | | )
( )
u t u s e c f
H H
c t s
H
2 2
7
26 1� � �� �
. (9)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ñëåäóåò èç óñëîâèé
íà ïàðàìåòðû çàäà÷è (1) è ëåììû Ãðîíóîëëà–Áåëëìàíà.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü �� T , { }un n
1 — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëàáûõ
ðåøåíèé (1) íà [ , ]� T òàêàÿ, ÷òî un ( )� �� ñëàáî â H . Òîãäà ñóùåñòâóþò
{ } { }u un k n nk
�1 1 è u T( ) ( ),� ��� � òàêèå, ÷òî
� � � � � ��
� �
� �
� �
( , ) | | ( ) ( )| | ,
[ , ]
0 0T u t u t k
t T
n Hk
max . (10)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1. Òîãäà
âñëåäñòâèå ëåììû 1 äëÿ ëþáîãî n
1 èìååì u W C T Hn T( ) ([ , ]; ),� � �� � . Êðîìå
òîãî, èç ëåììû 4, óñëîâèÿ 4 è ñîîòíîøåíèÿ (6) ïîëó÷èì
� � � � �n d u u t d t fn T n n n1 �� , ( ) : ( ) ( ) äëÿ ï.â. t T�( , )� , (11)
� �
� � � �C n u u un X n X n C T HT T
0 1: | | | | | | | | | | | |
, ,
* ([ , ]; )� �
� | | | |
,
*d Cn X T�
� . (12)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 153
Îòñþäà, èç íåïðåðûâíîñòè âëîæåíèÿ W C T HT� �, ([ , ]; )� [2; òåîðåìà IV.1.17],
óñëîâèé 2 è à), êîìïàêòíîñòè âëîæåíèÿ W L T HT� �, ( , ; )� 2 [4; òåîðåìà 1.5.1],
à òàêæå ðåôëåêñèâíîñòè ïðîñòðàíñòâà W T� , ñ íîðìîé ãðàôèêà ïðîèçâîäíîé (4)
ïîëó÷èì, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè { } { }u d u dn n k n n nk k
, ,
�1 1
äëÿ íåêîòîðûõ u W T� � , , d X T� � ,
* èìåþò ìåñòî òàêèå ñõîäèìîñòè:
u unk
� ñëàáî â X T� , , � � �u unk
ñëàáî â X T� ,
* , d dnk
� ñëàáî â X T� ,
* ,
u unk
� ñëàáî â C T H([ , ]; )� , u unk
� â L T H2 ( , ; )� ,
u t u tnk
( ) ( )� â H äëÿ ï.â. t T k� � ��( , ),� . (13)
Çàâåðøèì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû â íåñêîëüêî øàãîâ.
Øàã 1. Äîêàæåì, ÷òî
� �t T u t u tnk
( , ] ( ) ( )� â H k, � ��. (14)
Èç ëåììû 4 ñëåäóåò, ÷òî
k 1 ,
t s, t s T, [ , ]� � ,
| | ( )| | ( | | | | ) | | ( )| | ( | | |u t c f t u s c fn H H n Hk k
2
5
2 2
51 1� � � � � | )
H
s2 . (15)
Èç (13) ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ï.â. s T�( , )� , äëÿ ï.â. t s T�( , )
| | ( )| | ( | | | | ) | | ( )| | ( | | | | )u t c f t u s c f
H H H H
2
5
2 2
5
21 1� � � � � s .
Ïîñêîëüêó u W C T HT� �� �, ([ , ]; ),
t s, t s T, [ , ]� � , èìååì
| | ( )| | ( | | | | ) | | ( )| | ( | | | | )u t c f t u s c f
H H H H
2
5
2 2
5
21 1� � � � � s . (16)
Ïîýòîìó ôóíêöèè
J t u t c f tk n H Hk
( ) | | ( )| | ( | | | | )� � �2
5
21 , (17)
J t u t c f t
H H
( ) | | ( )| | ( | | | | )� � �2
5
21 (18)
íåïðåðûâíûå è ìîíîòîííî íåâîçðàñòàþùèå íà [ , ]� T .
Ïîñêîëüêó u t u tnk
( ) ( )� â H äëÿ ï.â. t T�( , )� , èìååì
J t J t kk ( ) ( ),� � �� äëÿ ï.â. t T�( , )� . (19)
Ïîêàæåì, ÷òî
lim
k
kJ t J t t T
���
�
�( ) ( ) ( , ]� . (20)
Èç (19) ñëåäóåò, ÷òî
�t T( , ]� ,
�� 0 � � � �t t J t J t( , ) : | ( ) ( )|� � è
lim
k
kJ t J t
���
�( ) ( ) . Ïîýòîìó
k 1 èìååì
J t J t J t J t J t J t J t J tk k k( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( )| | ( ) ( )| |� � � � � � � � �� J t J tk ( ) ( )|� .
Òàêèì îáðàçîì,
�
� � �
���
t T J t J t
k
k( , ], ( ) ( )� � �0 lim ,
îòêóäà ñëåäóåò (20) è, â ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâî
lim
k
n H H
u t u t t T
k���
�
�| | ( )| | | | ( ) | | ( , ]2 2 � .
Èç ñëàáîé ñõîäèìîñòè u tnk
( ) ê u t( ) â H ïðè k � ��
�t T[ , ]� , íåðàâåíñòâà
(20) è ðàáîòû [2; òåîðåìà ².5.12] ïîëó÷èì (14).
154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Øàã 2. Ïîêàæåì, ÷òî
u f dT� � �� , . (21)
 ñèëó ëåììû 1 äëÿ ëþáûõ k
1, � �� �C T V0 ([ , ]; ) ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
� � � � � � � � � �� � �
� � �, , ,
, , ,u d fn X n X Tk T k T
. (22)
Ïåðåõîäÿ â (22) ê ïðåäåëó ïðè k � ��, ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � � ��� � � � �
� � �C T V u d fX X TT T0 ([ , ]; ) , , ,
, , , .
Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà èíòåãðàëà Áîõíåðà,
� � �C T0 ([ , ]),
�h V èìååì
� �
�
�
!
"
#
#
� � � �� �u s s ds h h u s s ds
T
H
T
( ) ( ) , ( , ( )) ( )
� �
� � � � � �� �
�
�
�
T
V T
T
V
f d s h s ds f s d s s ds h( ), ( ) [ ( ) ( )] ( ) ,, .
Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ýëåìåíòà u X T� � , â ñìûñëå �
* *([ , ]; )� T V íå-
ïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñîîòíîøåíèå (21).
Øàã 3. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå � �� �( , )0 T è ïîêàæåì, ÷òî
d t A u t( ) ( ( ))� äëÿ ï.â. t T� �( , )� � , (23)
èñïîëüçóÿ ïñåâäîìîíîòîííîñòü �� �� ,T íà W T� �� , .
Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèÿ unk
( )� , dnk
( )� , u( )� , d( )� íà îòðåçîê [ , ]� �� T . Äëÿ
ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ îáîçíà÷èì îãðàíè÷åíèÿ òåìè æå ñèìâîëàìè: unk
( )� ,
dnk
( )� , u( )� è d( )� ñîîòâåòñòâåííî. Èç ñõîäèìîñòåé (13), (14) èìååì
u unk
� ñëàáî â W T� �� , ,
d dnk
� ñëàáî â X T� �� ,
* ,
� � �t T u t u tnk
[ , ] ( ) ( )� � â H , k � �� . (24)
Ïîêàæåì, ÷òî
lim
k
n n Xd u u
k k T���
� � � �
�
,
,� �
0 . (25)
Äåéñòâèòåëüíî,
� � � �
�
�k d s u s u s ds
T
n n Vk k
1
� �
( ), ( ) ( )
� � � � � �
� �
� �( , ( ) ( )) , ( ), ( ) ( )
� � � �
T
n
T
n nf u s u s ds u s u s u s
k k k
�V ds .
(26)
Èç (24) ñëåäóåò
( , ( ) ( )) ,
� ��
� � � � ��
T
nf u s u s ds k
k
0 . (27)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 155
Èç (5) è (24) ïîëó÷èì
� � � � �
�
�
� �
T
n n Vu s u s u s ds
k k
( ), ( ) ( )
� � � � � � �
�
�
� �
� �
T
n V n H nu s u s u T u
k k k
( ), ( ) (| | ( )| | | | ( )| |
1
2
2
H
2 ) �
� � � � � � � �
�
�
� �
� � �
T
V H H
u s u s u u( ), ( ) (| | ( )| | | | ( )| | ) ,
1
2
02 2 k � �� .
(28)
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â (26) ïðè k � ��, èç (27) è (28) ïîëó÷èì (25).
Òàêèì îáðàçîì, èç (11), (24), (25) è ïñåâäîìîíîòîííîñòè �� �� ,T íà W T� �� ,
ïîëó÷èì (23).
Øàã 4. Èç ïðîèçâîëüíîñòè � �� �( , )0 T , ñõîäèìîñòåé (13), ñîîòíîøåíèÿ (23)
è îïðåäåëåíèÿ �� ,T ñëåäóåò u T( ) ( ),� � �� � .
Øàã 5. Äîêàæåì (10) îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî � �� 0, � �L 0,
� �
{ } { }u uk j n kj k1 1:
� � �
� �
j u t u t u t u t
t T
k H k j jj j
1 max
[ , ]
| | ( ) ( )| | | | ( ) ( )| |
� �
H L
.
Íå òåðÿÿ îáùíîñòè, ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî t t Tj � � �0 [ , ]� � , j � ��. Ñëåäî-
âàòåëüíî, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè u T H: [ , ]� �
lim
j
k j Hu t u t L
j
���
�
| | ( ) ( )| |0 . (29)
 òî æå âðåìÿ ïîêàæåì, ÷òî
u t u tk jj
( ) ( )� 0 â H , j � �� . (30)
Øàã 5.1. Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî
u t u tk jj
( ) ( )� 0 ñëàáî â H , j � ��. (31)
Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî h V� èç (13) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâè-
òåëüíûõ ôóíêöèé ( ( ), ) :[ , ]u h Tnk
� �� � ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà è ðàâíîñòåïåííî
íåïðåðûâíà. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå íåðàâåíñòâî (12) è ïëîòíîñòü âëîæåíèÿ
V H� , ïîëó÷àåì, ÷òî u t u tnk
( ) ( )� ñëàáî â H ðàâíîìåðíî íà [ , ]� T , k � ��,
îòêóäà ñëåäóåò (31).
Øàã 5.2. Äîêàæåì, ÷òî
lim
j
k j H Hu t u t
j���
�| | ( )| | | | ( )| |0 . (32)
Ðàññìîòðèì íåïðåðûâíûå, ìîíîòîííî íåâîçðàñòàþùèå ôóíêöèè Jkj
, J,
j
1 , îïðåäåëåííûå â (17), (18). Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå �1 0� . Èç (19) è íå-
ïðåðûâíîñòè J ñëåäóåò, ÷òî
� � �
���
t t J t J t
j
k j
( , ): ( ) ( )� 0 lim , | ( ) ( ) |J t J t� �0 1� .
Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ j
1
J t J t J t J t J t J t J t Jk j k kj j j
( ) ( ) | ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( )� � � � � � �0 0 ( )|t � �1.
Ñëåäîâàòåëüíî, lim
j
k jJ t J t
j���
� �( ) ( )0 1� . Èç ïðîèçâîëüíîñòè �1 0� è òîãî, ÷òî
t tj � 0 , j � ��, ïîëó÷èì (32).
156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Øàã 5.3. Èç (31), (32) è ðàáîòû [2; òåîðåìà ².5.12] íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò (30).
Øàã 5.4. Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îòìåòèì, ÷òî (30) âñòóïà-
åò â ïðîòèâîðå÷èå ñ (29).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü �� T , { }un n
1 — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëà-
áûõ ðåøåíèé (1) íà [ , ]� T òàêàÿ, ÷òî un ( )� �� â H , n � ��. Òîãäà ñóùåñòâóþò
u T( ) ( ),� ��� � è { } { }u un k n nk
�1 1 òàêèå, ÷òî u unk
� â C T H([ , ]; )� , k � ��.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åäèíñòâåííîå ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå îò äîêàçàòåëüñòâà
òåîðåìû 1 ñîñòîèò â ïðîâåðêå íåðàâåíñòâà lim
j
k jJ t J t
j���
�( ) ( )0 , êîãäà t0 � �,
t tj � 0 , j � ��, { }t Tj j
�1 [ , ]� (ñì. øàã 5.2 äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1). Â ýòîì
ñëó÷àå
j 1 J t J J Jk j kj j
( ) ( ) ( ) ( )� � �� � � . Ïîñêîëüêó u un ( ) ( )� �� â H ,
n � ��, èìååì J Jkj
( ) ( )� �� , j � ��. Ñëåäîâàòåëüíî, lim
j
k jJ t J t
j�� �
�( ) ( )0 .
4. Î ÃËÎÁÀËÜÍÎÌ ÀÒÒÐÀÊÒÎÐÅ
Ðàññìîòðèì êîíñòðóêöèè, ââåäåííûå â [7]. Îáîçíà÷èì êàê P H( ) (�( )H ) ñîâî-
êóïíîñòü âñåõ íåïóñòûõ (íåïóñòûõ îãðàíè÷åííûõ) ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà H .
Íàïîìíèì, ÷òî ì-ïîëóïîòîêîì íàçûâàåòñÿ ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
G H P H: ( )�� � , äëÿ êîòîðîãî:
� G Id( , )0 � � (òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå);
� G t s x G t G s x( , ) ( , ( , ))� �
� � �x H t s, , � ;
ì-ïîëóïîòîê ñòðîãèé, åñëè G t s x G t G s x( , ) ( , ( , ))� �
� � �x H t s, , � .
Èç ëåìì 3 è 4 ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå ñëàáîå ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî
äî ãëîáàëüíîãî, îïðåäåëåííîãî íà [ , )0 �� . Ïóñòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî y H0�
�( )y0 — ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé (îïðåäåëåííûõ íà [ , )0 �� ) çàäà-
÷è (1) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè y y( )0 0� .
Îïðåäåëèì ì-ïîëóïîòîê G ñëåäóþùèì îáðàçîì: G t y y t y y( , ) ( ) | ( ) ( )0 0� � �{ }� .
Ëåììà 5. Ì-ïîëóïîòîê G ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y G t s y� �( , )0 . Òîãäà y u t s� �( ), ãäå u y( ) ( )� �� 0 .
Èç ëåììû 3 âûòåêàåò, ÷òî v u s u s( ) ( ) ( ( ))� � � � �� . Ñëåäîâàòåëüíî, y v t� �( )
� �G t u s G t G s y( , ( )) ( , ( , ))0 .
Îáðàòíî, åñëè y G t G s y� ( , ( , ))0 , òî � � �u y( ) ( )� 0 , v u s( ) ( ( ))� �� : y v t� ( ).
Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå
z
u s
v s s t s
( )
( ), [ , ],
( ), [ , ].
�
� �
� �
�
�
� � �
�
�
�
0
Èç ëåììû 3 âûòåêàåò, ÷òî z y( ) ( )� �� 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, y z t s� � �( )
� �G t s y( , )0 .
Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî � íàçûâàåòñÿ ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîì G, åñëè:
� � — îòðèöàòåëüíî ïîëóèíâàðèàíòíîå (ò.å. � �� G t( , )
t 0);
� � — ïðèòÿãèâàþùåå ìíîæåñòâî, ò.å.
dist ( ( , ), ) , ( )G t B t B H� �� � ��
�0 , (33)
ãäå dist sup inf( , ) | | | |C D c d
c C d D H
� �
� �
— ïîëóìåòðèêà Õàóñäîðôà;
� äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà Y H� , óäîâëåòâîðÿþùåãî (33),
� � Y (ìèíèìàëüíîñòü).
Ãëîáàëüíûé àòòðàêòîð íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì, åñëè � �� G t( , )
t 0.
Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîãî êîìïàêòíîãî ãëîáàëüíîãî àòòðàêòîðà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 157
Òåîðåìà 2. Ì-ïîëóïîòîê G îáëàäàåò èíâàðèàíòíûì êîìïàêòíûì â ôàçîâîì
ïðîñòðàíñòâå H ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîì �.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ëåììû 4 ñëåäóåò, ÷òî
� �
� � �
� �R y H y y t y t y e
H H
, ~ : , ( ) ( ), | | ( )| | | | | |
~
� 0 00 0
2
0
2
�
�t R� . (34)
Òàêèì îáðàçîì, øàð B u H u RH0 1� � � �{ }| | | | | ÿâëÿåòñÿ àáñîðáèðóþùèì
ìíîæåñòâîì, ò.å.
�B H�( ) � �T B( ) 0 :
t T B( ) G t B B( , ) � 0 .  ÷àñòíîñòè,
èç (34) âûòåêàåò, ÷òî ìíîæåñòâî $
t G t B0 ( , ) îãðàíè÷åíî â H
�B H�( ).
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ñîãëàñíî òåîðåìå 1 îòîáðàæåíèå G t H( , ) :� � �( )H ïðè-
íèìàåò êîìïàêòíûå çíà÷åíèÿ è ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ïðè t � 0 â òîì ñìûñëå, ÷òî
ïåðåâîäèò îãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà â ïðåäêîìïàêòíûå.
Äîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå u G t u0 0� ( , ) ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó
[9; Definition 1.4.1]. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü [10; p. 48], ÷òî
�u H0 ,
�� 0
� �
�( , )u0 0 :
�u B u
( )0 G t u B G t u z H z G t u( , ) ( ( , )) | ( , ( , ))� � � �� �0 0{ dist }.
Åñëè ýòî íå òàê, òî ñóùåñòâóþò u H0 � , �� 0, { }
n n
� ��1 0( , ), { }u Hn n
�1 òà-
êèå, ÷òî
n 1 u B un n
�
( )0 , G t u B G t un( , ) ( ( , ))% � 0 è
n � 0, n � ��. Òîãäà
n 1 � � �v un n( ) ( )� : v t B G t un ( ) ( ( , ))& � 0 . Ïîñêîëüêó u un � 0 â H , n � ��, èç
òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî v t v t G t un ( ) ( ) ( , )� � 0 â H , n � ��, äëÿ íåêîòîðîãî
v u( ) ( )� �� 0 . Ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî
n 1 | | ( ) ( )| |v t v tn H�
�.
Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâîâàíèå ãëîáàëüíîãî àòòðàêòîðà ñ òðåáóåìûìè
ñâîéñòâàìè íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç [7; Proposition 2, Theorem 3, Remark 8].
Òåîðåìà äîêàçàíà.
5. Î ÒÐÀÅÊÒÎÐÍÎÌ ÀÒÒÐÀÊÒÎÐÅ
Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî � �� �� $ y H y
0 0( ) âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé âêëþ÷åíèÿ (1),
îïðåäåëåííûõ íà [ , )0 �� . Çàìåòèì, ÷òî �� ÿâëÿåòñÿ òðàíñëÿöèîííî èíâàðèàí-
òíûì, ò.å.
� � �u( ) � ,
h 0 uh ( )� � �� , ãäå u s u h sh ( ) ( )� � , s
0. Íà �� çà-
äàäèì ïîëóãðóïïó òðàíñëÿöèé { }T h h( )
0 , T h u uh( ) ( ) ( )� � � , h
0, u� �� .  ñèëó
òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè �� çàêëþ÷àåì, ÷òî T h( )� �� �� ïðè h
0.
Ïîñòðîèì àòòðàêòîð òðàíñëÿöèîííîé ïîëóãðóïïû { }T h h( )
0 , äåéñòâóþùåé
íà �� . Ðàññìîòðèì íà �� òîïîëîãèþ, èíäóöèðîâàííóþ èç ïðîñòðàíñòâà Ôðåøå
C Hloc ( ; )� � . Îòìåòèì, ÷òî
f fn ( ) ( )� � � â C H M fM n
loc ( ; ) ( )� � '
� � �0 (
� �( M f ( ) â C M H([ , ]; ),0
ãäå ( M — îïåðàòîð îãðàíè÷åíèÿ íà îòðåçîê [ , ]0 M [6; ñ. 18]. Îáîçíà÷èì â êà-
÷åñòâå (� îïåðàòîð îãðàíè÷åíèÿ íà [ , )0 �� .
Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî � � )� � �C H L Hloc ( ; ) ( ; )� � íàçûâàåòñÿ ïðè-
òÿãèâàþùèì äëÿ ïðîñòðàíñòâà òðàåêòîðèé �� âêëþ÷åíèÿ (1) â òîïîëîãèè
C Hloc ( ; )� � , åñëè äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî â L H� �( ; )� ìíîæåñòâà � �� � è
ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà M
0 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
distC M H M MT t t([ , ]; ) ( ( ) , ) ,0 0( (� � � � ��. (35)
Ìíîæåñòâî � �� � íàçûâàåòñÿ òðàåêòîðíûì àòòðàêòîðîì â ïðîñòðàíñòâå
òðàåêòîðèé �� îòíîñèòåëüíî òîïîëîãèè C Hloc ( ; )� � [6; îïðåäåëåíèå 1.2], åñëè:
� � êîìïàêòíî â C Hloc ( ; )� � è îãðàíè÷åíî â L H� �( ; )� ;
� � ñòðîãî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî { }T h h( )
0 , ò.å. T h( )� ��
h 0;
� � ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùèì ìíîæåñòâîì äëÿ ïðîñòðàíñòâà òðàåêòîðèé ��
â òîïîëîãèè C Hloc ( ; )� � .
158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Ðàññìîòðèì âêëþ÷åíèå (1) íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Ïî àíàëîãèè ñ ïðî-
ñòðàíñòâîì C Hloc ( ; )� � ïðîñòðàíñòâî C Hloc ( ; )� ñíàáæàåòñÿ òîïîëîãèåé ëî-
êàëüíîé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà êàæäîì îòðåçêå [ , ]� �M M � [6; ñ. 198].
Ôóíêöèÿ u C H L H� ) �
loc ( ; ) ( ; )� � íàçûâàåòñÿ ïîëíîé òðàåêòîðèåé âêëþ÷å-
íèÿ (1), åñëè
�h � (� �� �uh ( ) � [6; ñ. 198]. Ïóñòü � — ñîâîêóïíîñòü âñåõ
ïîëíûõ òðàåêòîðèé âêëþ÷åíèÿ (1). Îòìåòèì, ÷òî
�
� � � �h u uh�, ( ) ( )� � . (36)
Ëåììà 6. Ìíîæåñòâî � íåïóñòîå, êîìïàêòíîå â C Hloc ( ; )� è îãðàíè÷åííîå
â L H� ( ; )� , êðîìå òîãî,
� �
� �y t y t( ) , ( )� �� , (37)
ãäå � — ãëîáàëüíûé àòòðàêòîð èç òåîðåìû 2.
Äîêàçàòåëüñòâî. Øàã 1. Ïîêàæåì, ÷òî � ��. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó [15],
à òàêæå óñëîâèé 1, 3–5 ñëåäóåò, ÷òî � �v V : A v f( ) � . Ïîëîæèì u t v( ) �
�t �.
Òîãäà u� � �� .
Øàã 2. Äîêàæåì (37). Äëÿ ëþáîãî y�� � �d 0 : | | ( )| |y t dH �
�t �. Ïîëî-
æèì B y t Ht� $ ��� { }( ) ( )� . Îòìåòèì, ÷òî
�� �,
� �t � y y tt( ) ( )� �� ��
� ��G t y G t Bt( , ( )) ( , )� 0 . Èç òåîðåìû 2 è (33) âûòåêàåò, ÷òî
�� 0 � �T 0 :
�� � dist dist( ( ), ) ( ( , ), )y G T B� �� �� � . Ïîýòîìó, ó÷èòûâàÿ êîìïàêòíîñòü �
â H , äëÿ ëþáûõ u( )� �� , � �� ñëåäóåò, ÷òî u( )� �� .
Øàã 3. Îãðàíè÷åííîñòü � â L H� �( ; )� âûòåêàåò èç (37) è îãðàíè÷åííîñòè
� â H .
Øàã 4. Ïðîâåðèì êîìïàêòíîñòü � â C Hloc ( ; )� . Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðî-
âåðèòü ïðåäêîìïàêòíîñòü è çàìêíóòîñòü.
Øàã 4.1. Ïðîâåðèì ïðåäêîìïàêòíîñòü � â C Hloc ( ; )� . Åñëè ýòî íå òàê, òî
â ñèëó (36) � �M 0 : ( M � íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäêîìïàêòîì â C M H([ , ]; )0 . Ñëåäîâà-
òåëüíî, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }vn n M
�1 ( � , íå èìåþùàÿ ñõîäÿùóþ-
ñÿ â C M H([ , ]; )0 ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Â òî æå âðåìÿ v un M n� ( , ãäå un � � ,
v un n( ) ( )0 0� ��, n
1. Ïîñêîëüêó � — êîìïàêò â H (ñì. òåîðåìó 2), â ñèëó
ñëåäñòâèÿ 1 � �
{ } { }v vn k n nk 1 1, � �� H , � � �v M( ) ( ),�0 � : vnk
( )0 � � â H ,
v vnk
� â C T H([ , ]; )0 , k � ��. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.
Øàã 4.2. Ïðîâåðèì çàìêíóòîñòü � â C Hloc ( ; )� . Ïóñòü { }vn n
�1 � ,
v C H� loc ( ; )� : v vn � â C Hloc ( ; )� , n � ��. Èç îãðàíè÷åííîñòè � â L H� ( ; )�
ñëåäóåò v L H� � ( ; )� . Èç ñëåäñòâèÿ 1 èìååì, ÷òî
�M 0 îãðàíè÷åíèå v( )� íà îò-
ðåçîê [ , ]�M M ïðèíàäëåæèò �� �M M v T, ( ( )). Ñëåäîâàòåëüíî, v( )� — ïîëíàÿ òðà-
åêòîðèÿ âêëþ÷åíèÿ (1). Òàêèì îáðàçîì, v �� .
Ëåììà 7. Ïóñòü � — ãëîáàëüíûé àòòðàêòîð èç òåîðåìû 2. Òîãäà
� � � � �y y y y0 00� �( ) : ( ) . (38)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y0 � �, u y( ) ( )� �� 0 . Èç (9), (33) ïîëó÷èì
� �t �
y t( ) ��. Èç òåîðåìû 2 ñëåäóåò G( , )1 � �� . Ïîýòîìó
� � � � � � �� � � �� �� � �, ( ) ( ) : ( ),0 1 1 .
Äëÿ ëþáîãî t �� ïîëîæèì
y t
u t t
t k t k k ky k
( )
( ), ,
( ), [ , ), .( )
�
�
� � � � � �
�
�
�
�
� �
�
� 1 1
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 159
Îòìåòèì, ÷òî y C H� loc ( ; )� , y t( ) ��
�t � (ñëåäîâàòåëüíî, y L H� � ( ; )� ) è,
â ñèëó ëåììû 3, y�� , ïðè ýòîì y y( )0 0� .
Òåîðåìà 3. Ïóñòü � — ãëîáàëüíûé àòòðàêòîð èç òåîðåìû 2. Òîãäà â ïðî-
ñòðàíñòâå �� ñóùåñòâóåò òðàåêòîðíûé àòòðàêòîð � �� � . Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî
� � � �� � � �
�� �( ( { }y y t t| ( ) � . (39)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ëåììû 6 è íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà (� �: ( ; )C Hloc
�
� �C Hloc ( ; )� ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî (� � íåïóñòîå, êîìïàêòíîå â C Hloc ( ; )� �
è îãðàíè÷åííîå â L H� �( ; )� . Êðîìå òîãî, ñïðàâåäëèâî âòîðîå ðàâåíñòâî â (39).
Ñòðîãàÿ èíâàðèàíòíîñòü (� � ñëåäóåò èç àâòîíîìíîñòè âêëþ÷åíèÿ (1).
Äîêàæåì, ÷òî (� � ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùèì ìíîæåñòâîì äëÿ ïðîñòðàíñòâà
òðàåêòîðèé �� â òîïîëîãèè C Hloc ( ; )� � . Ïóñòü B � �� — îãðàíè÷åííîå ìíî-
æåñòâî â L H� �( ; )� , M
0. Ïðîâåðèì èñòèííîñòü (35). Åñëè ýòî íå òàê, òî ñó-
ùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè tn � � �, v Bn ( )� � òàêèå, ÷òî
� �
n v tC T H M n n M1 0dist ([ , ]; ) ( ( ), )( ( � � . (40)
 òî æå âðåìÿ èç îãðàíè÷åííîñòè B â L H� �( ; )� ñëåäóåò, ÷òî � �R 0:
� �v B( ) ,
� �t � | | ( )| |v t RH � . Òàêèì îáðàçîì, �
N 1:
n N v tn n( ) �
� � � �G t v G G t v G Bn n n n R( , ( )) ( , ( , ( ))) ( , )0 1 1 0 1 , ãäå B u H u RR H� � �{ }| | | | .
Ñëåäîâàòåëüíî, ó÷èòûâàÿ (33) è êîìïàêòíîñòü îòîáðàæåíèÿ G H( , ) :1 � �
� �( )H (ñì. äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2), ïîëó÷èì � �
{ } { }v t v tn n k n n nk k
( ) ( )1 1,
� �z �: v t zn nk k
( ) � â H , k � � �. Äàëåå,
k 1 ïîëîæèì k n nt v t t
k k
( ) ( )� � ,
t M�[ , ]0 . Çàìåòèì, ÷òî
k 1 k M n nv t
k k
( ) ( ( )),� ��0 . Òîãäà èç ñëåäñòâèÿ 1 ïî-
ëó÷àåì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { } { } k j k kj
�1 1 è ýëåìåíò ( ) ( ),� ��0 M z :
k j
� â C M H j([ , ]; ),0 � � �. (41)
Ïðè ýòîì, ó÷èòûâàÿ èíâàðèàíòíîñòü � (ñì. òåîðåìó 2),
�t M[ , ]0 ( )t ��.
Âñëåäñòâèå ëåììû 7 ñóùåñòâóþò y v( ), ( )� � ��: y z( )0 � , v M( ) ( )0 � . Äëÿ ëþ-
áîãî t �� ïîëîæèì
� ( )
( ), ,
( ), [ , ] ,
( ), .
t
y t t
t t M
v t M t M
�
�
�
�
�
�
*
�
*
0
0
 ñèëó ëåììû 3 �( )� �� . Ñëåäîâàòåëüíî, èç (40) ïîëó÷èì
� � � � � �k v tM n n M C M H k Ck k
1 0 0| | ( ) ( )| | | | | |([ , ]; ) ([( ( � , ]; )M H
� ,
÷òî âñòóïàåò â ïðîòèâîðå÷èå ñ (41).
Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåííîå â (39) ìíîæåñòâî � ÿâëÿåòñÿ òðàåêòîðíûì àòòðàê-
òîðîì â ïðîñòðàíñòâå òðàåêòîðèé �� îòíîñèòåëüíî òîïîëîãèè C Hloc ( ; )� � .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ÏÐÈÌÅÐÛ
Ðàññìîòðèì êëàññ íåëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ ìîæíî èññëåäîâàòü
äèíàìèêó ðåøåíèé ïðè t � � �, íå ïðåòåíäóÿ íà îáùíîñòü ïðè èçëîæåíèè.
Ïóñòü n
2, m
1, p
2, 1 2� �q ,
1 1
1
p q
� � , + � �
n — îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü
ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé , +� - . ×åðåç N1 (ñîîòâåòñòâåííî N 2) îáîçíà÷èì
÷èñëî äèôôåðåíöèðîâàíèé ïî x ïîðÿäêà � �m 1 (ñîîòâåòñòâåííî ïîðÿäêà � m).
160 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Ïóñòü òàêæå A x� � �( , ; ) — ñåìåéñòâî âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé ( | |� � m), îïðåäå-
ëåííûõ â +� �� �
N N1 2 è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì:
à) äëÿ ï.â. x �+ ôóíêöèÿ ( , ) ( , , )� � � ��� A x íåïðåðûâíà â � �
N N1 2� ;
á)
� �( , )� � � �
N N1 2 ôóíêöèÿ x A x� � � �( , , ) èçìåðèìà â +;
â) ñóùåñòâóþò òàêèå c1 0
è k Lq1 � ( )+ , ÷òî äëÿ ï.â. x �+
�( , )� �
� �� �
N N1 2
| ( , , )| [| | | | ( )]A x c k xp p
� � � � �� � �� �
1
1 1
1 ;
ã) ñóùåñòâóþò òàêèå c2 0� è k L2 1� ( )+ , ÷òî äëÿ ï.â. x �+,
�( , )� �
� �� �
N N1 2
A x c k x
m
p
�
�
�� � � �
| |
( , , ) | | ( )
�
.
�2 2 ;
ä) äëÿ ï.â. x �+,
�� �
N 1 ,
�� �, *
�
N 2 , � �� * âûïîëíÿåòñÿ
( ( , , ) ( , , ))( )
| |
* *A x A x
m
�
�
� � �� � � � � �
�
. � � � 0.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: D u D u kk � �{ }� �, | | ,
u u Du D um� �{ }, , ..., 1 [4; ñ. 194].
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôèêñèðîâàííîé âíåøíåé ñèëû f L� 2 ( )+ èññëåäóåì äèíà-
ìèêó ïðè t � � � âñåõ ñëàáûõ (îáîáùåííûõ) ðåøåíèé, îïðåäåëåííûõ íà [ , )0 � � ,
ñëåäóþùåé çàäà÷è:
-
-
� � �
�
.
y x t
t
D A x y x t D y x t
m
m( , )
( ) ( ( , ( , ), ( , )))
| |
| |
�
� �
�
1 f x( ) â +� � �( , )0 , (42)
D y x t� ( , ) � 0 íà ,� � � � �( , ), | |0 1� m . (43)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ [4; c. 195] : H L� 2 ( )+ , V W m p�
0
, ( )+ — äåéñòâèòåëüíîå
ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà,
a u A x u x D u x D x dx u V
m
m( , ) ( , ( ), ( )) ( ) , ,
| |
�
� �
�
�
�� �
�
. �
+
.
Óñëîâèå 2 èìååò ìåñòî â ñèëó òåîðåìû Ñîáîëåâà î êîìïàêòíîñòè âëîæåíèÿ.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óñëîâèÿ à)–ä) è ðàññóæäåíèÿ èç ðàáîòû [4; ñ. 192–199],
îïåðàòîð A V V: *� , îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé � � �A u a uV( ), ( , )� �
�u V, � ,
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 3–5. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ïåðåéòè îò çàäà÷è (42), (43)
ê ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷å â «îáîáùåííîé» ïîñòàíîâêå (1). Îòìåòèì, ÷òî
A u D A x u D u u C
m
m( ) ( ) ( ( , , )) ( )
| |
| |� �
�
�
�.
�
� �
�
1 0 + .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñëàáûõ (îáîáùåííûõ) ðåøåíèé çàäà÷è (42), (43) âûïîë-
íÿþòñÿ âñå óòâåðæäåíèÿ èç ïðåäûäóùèõ ðàçäåëîâ, â ÷àñòíîñòè òåîðåì 1–3
è ëåìì 1–7.
Çàìå÷àíèå 3.  êà÷åñòâå ïðèëîæåíèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òàêæå íîâûå
êëàññû çàäà÷ ñ âûðîæäåíèåì, çàäà÷è íà ìíîãîîáðàçèè ñ êðàåì è áåç êðàÿ, çàäà÷è
ñ çàïàçäûâàíèåì, ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðî-
èçâîäíûìè è äðóãèå çàäà÷è ñ äèôôåðåíöèàëüíûìè îïåðàòîðàìè ïñåâäîìîíîòîí-
íîãî òèïà ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ [4, 11–13].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 161
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Èç ðåçóëüòàòîâ ðàçä. 4 è 5 ñëåäóåò ÷òî ì-ïîëóïîòîê G, ïîñòðîåííûé íà âñåõ
ñëàáûõ ðåøåíèÿõ (1), îáëàäàåò êîìïàêòíûì èíâàðèàíòíûì ãëîáàëüíûì àòòðàê-
òîðîì �. Äëÿ âñåõ ñëàáûõ ðåøåíèé (1), îïðåäåëåííûõ íà [ , )0 � � , ñóùåñòâóåò
òðàåêòîðíûé àòòðàêòîð �. Ïðè ýòîì � � �� � �( ) ( ) |0 0{ }y y , � �� �( , ãäå
� — ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïîëíûõ òðàåêòîðèé äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíîãî
âêëþ÷åíèÿ (1) â C H L Hloc ( ; ) ( ; )� �) � . Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ðàâåíñòâî
ãëîáàëüíûõ àòòðàêòîðîâ êàê â ñìûñëå [7; Definition 6], òàê è â ñìûñëå
[6; îïðåäåëåíèå 2.2]. Îòêðûòûìè îñòàþòñÿ âîïðîñû îòíîñèòåëüíî ñâÿçíîñòè è
ðàçìåðíîñòè ïîñòðîåííûõ àòòðàêòîðîâ â îáùåì ñëó÷àå. Îòìåòèì, ÷òî ïðåäëî-
æåííûå â [6, 7] ïîäõîäû îïèðàþòñÿ íà ñâîéñòâà ðåøåíèé ýâîëþöèîííûõ îáú-
åêòîâ, â äàííîé ðàáîòå — íà ñâîéñòâà ôóíêöèè âçàèìîäåéñòâèÿ A èç (1)
è ñâîéñòâà ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ.
Àíàëèçèðóÿ äîêàçàòåëüñòâà èçëîæåííûõ ðåçóëüòàòîâ, âìåñòî óñëîâèÿ 5 ìîæ-
íî ðàññìàòðèâàòü áîëåå ñëàáîå óñëîâèå íà îòîáðàæåíèå A V V: *�
� : èç òîãî, ÷òî
u un � ñëàáî â V , d A un n� ( )
n 1, d dn � ñëàáî â V *, n � � � è
lim
n
n n Vd u u
�� �
� � � �, 0, ñëåäóåò d A u� ( ) .
Äëÿ êëàññà àâòîíîìíûõ äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðàòîðíûõ âêëþ÷åíèé ñ ïñåâ-
äîìîíîòîííîé íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ ìåæäó îïðåäåëÿþùèìè ïàðàìåòðàìè
çàäà÷è èññëåäîâàíà äèíàìèêà ïðè t � � � âñåõ ãëîáàëüíûõ ñëàáûõ ðåøåíèé,
îïðåäåëåííûõ íà [ , )0 � � . Äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ãëîáàëüíîãî êîìïàêòíîãî àò-
òðàêòîðà è êîìïàêòíîãî òðàåêòîðíîãî àòòðàêòîðà, èçó÷åíà èõ ñòðóêòóðà, ïðîâå-
ðåíî ðàâåíñòâî ãëîáàëüíûõ àòòðàêòîðîâ êàê â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 6 èç [7], òàê è
â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2.2 èç [6]. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòü
äèíàìèêó ðåøåíèé íîâûõ êëàññîâ ýâîëþöèîííûõ âêëþ÷åíèé èç íåëèíåéíûõ ìà-
òåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ãåîôèçè÷åñêèõ è ñîöèîýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé
ñ ôóíêöèåé âçàèìîäåéñòâèÿ ïñåâäîìîíîòîííîãî òèïà, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëî-
âèþ íå áîëåå ÷åì ïîëèíîìèàëüíîãî ðîñòà è ñòàíäàðòíîìó çíàêîâîìó óñëîâèþ.
CÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. B a l l J . M . Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the
Navier–Stokes equations // J. Nonlinear Sci. — 1997. — 7, N 5. — Ð. 475–502.
2. Ã à å â ñ ê è é Õ . , Ã ð å ã å ð Ê . , Ç à õ à ð è à ñ Ê . Íåëèíåéíûå îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ è
îïåðàòîðíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1978. — 336 ñ.
3. M i g o r s k i S . Boundary hemivariational inequalities of hyperbolic type and applications //
J. Global Optim. — 2005. — 31, N 3. — P. 505–533.
4. Ë è î í ñ Æ . - Ë . Íåêîòîðûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷. — Ì.: Ìèð, 1972.
— 587 ñ.
5. Ë à ä û æ å í ñ ê à ÿ Î . À . Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû äèíàìèêè âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.
— Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961. — 203 ñ.
6. Â è ø è ê Ì . È . , × å ï û æ î â Â . Â . Òðàåêòîðíûé è ãëîáàëüíûé àòòðàêòîðû 3D ñèñòåìû
Íàâüå–Ñòîêñà // Ìàò. çàìåòêè. — 2002. — 71, ¹ 2. — C. 194–213.
7. M e l n i k V . S . , V a l e r o J . On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions //
Set-Valued Analysis. — 1998. — 6, N 1. — P. 83–111.
8. V a l e r o J . , K a p u s t y a n A . V . On the connectedness and asymptotic behaviour of solutions of
reaction-diffusion systems // J. Math. Analysis and Appl. — 2006. — 323, N 1. — P. 614–633.
9. A u b i n J . P . , F r a n k o w s k a H . Set-valued analysis. — Boston: Birkhauser, 1990. — 461 p.
10. A u b i n J . P . , S e l l i n a A . Set-valued analysis and viability theory. — Berlin: Springer, 1984.
162 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
11. S e l l G . R . , Y o u Y u . Dynamics of evolutionary equations. — New York: Springer, 2002. —
672 p.
12. Ä ó á è í ñ ê è é Þ . À . Íåëèíåéíûå ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà // Èòîãè
íàóêè è òåõíèêè. Ñîâð. ïðîáë. ìàòåìàòèêè. Íîâ. äîñòèæ. — 1990. — 37. — C. 89–166.
13. C h e p y z h o v V . V . , V i s h i k M . I . Trajectory attractor for reaction-diffusion system with dif-
fusion coefficient vanishing in time // Discr. and Contin. Dynam. Systems. — 2010. — 27, N 4. —
P. 1498–1509.
14. × ó å ø î â È . Ä . Ãëîáàëüíûå àòòðàêòîðû â íåëèíåéíûõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè //
ÓÌÍ. — 1993. — 48, ¹ 3(291). — C. 135–162.
15. Ç ã ó ð î â ñ ê è é Ì . Ç . , Ê à ñ ü ÿ í î â Ï . Î . , Ì å ë ü í è ê Â . Ñ . Äèôôåðåíöèàëüíî-îïåðà-
òîðíûå âêëþ÷åíèÿ è âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. — Ê.:
Íàóê. äóìêà, 2008. — 464 ñ.
16. K a s y a n o v P . O . , M e l ' n i k V . S . , T o s c a n o S . Solutions of Cauchy and periodic prob-
lems for evolution inclusions with multi-valued w�0
-pseudomonotone maps // J. Differ. Equa-
tions. — 2010. — 249, N 6. — P. 1258–1287.
17. C h i k r i i A . A . Conflict-controlled processes. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997. — 424 ð.
Ïîñòóïèëà 12.08.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84245 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:18:16Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Касьянов, П.О. 2015-07-04T12:52:49Z 2015-07-04T12:52:49Z 2011 Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью / П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 150-163. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84245 517.9 Системный анализ Розглянуто нелінійне автономне диференціально-операторне включення із псевдомонотонною залежністю між визначаючими параметрами задачі. Вивчено динаміку всіх слабких розв’язків, визначених на додатній півосі часу. Доведено існування траєкторного і глобального атракторів. Досліджено їх структуру. В якості одного із можливих застосувань розглянуто клас нелінійних параболічних рівнянь високого порядку. This article considers a nonlinear autonomous differential-operator inclusion with a pseudomonotone dependence between determinative parameters of the problem. The dynamics of all weak solutions defined on the positive semi-axis of time is studied. The existence of a trajectory and global attractors is proved and their structure is investigated. A class of high-order nonlinear parabolic equations considered to be a possible application. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью Багатозначна динаміка розв’язків автономного диференціально-операторного включення із псевдомонотонною нелінійністю Multivalued dynamics of solutions of an autonomous differential-operator inclusion with a pseudomonotone nonlinearity Article published earlier |
| spellingShingle | Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью Касьянов, П.О. Системный анализ |
| title | Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью |
| title_alt | Багатозначна динаміка розв’язків автономного диференціально-операторного включення із псевдомонотонною нелінійністю Multivalued dynamics of solutions of an autonomous differential-operator inclusion with a pseudomonotone nonlinearity |
| title_full | Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью |
| title_fullStr | Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью |
| title_full_unstemmed | Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью |
| title_short | Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью |
| title_sort | многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84245 |
| work_keys_str_mv | AT kasʹânovpo mnogoznačnaâdinamikarešeniiavtonomnogodifferencialʹnooperatornogovklûčeniâspsevdomonotonnoinelineinostʹû AT kasʹânovpo bagatoznačnadinamíkarozvâzkívavtonomnogodiferencíalʹnooperatornogovklûčennâízpsevdomonotonnoûnelíníinístû AT kasʹânovpo multivalueddynamicsofsolutionsofanautonomousdifferentialoperatorinclusionwithapseudomonotonenonlinearity |