Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей

Побудовано математичну модель для дослідження динаміки локально-нерівноважних у часі неізотермічних процесів геофільтрації сольових розчинів. Поставлено відповідну цій моделі нелінійну крайову задачу, наведено алгоритм одержання її наближеного розв’язку та результати чисельної реалізації вказаного а...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Кибернетика и системный анализ
Date:	2011
Main Author:	Булавацкий, В.М.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Subjects:	Системный анализ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84253
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей / В.М. Булавацкий // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 79-88. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859654652293808128
author	Булавацкий, В.М.
author_facet	Булавацкий, В.М.
citation_txt	Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей / В.М. Булавацкий // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 79-88. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Кибернетика и системный анализ
description	Побудовано математичну модель для дослідження динаміки локально-нерівноважних у часі неізотермічних процесів геофільтрації сольових розчинів. Поставлено відповідну цій моделі нелінійну крайову задачу, наведено алгоритм одержання її наближеного розв’язку та результати чисельної реалізації вказаного алгоритму. A mathematical model is developed for the dynamic analysis of nonisothermal, locally nonequilibrium in time, processes of geofiltration of salt solutions. The corresponding nonlinear boundary-value problem is formulated, an algorithm of its approximate solution is presented, and results of the numerical solution are given.
first_indexed	2025-12-07T13:37:18Z
format	Article
fulltext	ÓÄÊ 517.9:519.6 Â.Ì. ÁÓËÀÂÀÖÊÈÉ ÍÅÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÃÅÎÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÈ ÄËß ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ× ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÍÅÐÀÂÍÎÂÅÑÍÛÕ ÍÅÈÇÎÒÅÐÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÃÅÎÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÎËÅÉ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, íåêëàññè÷åñêèå ìîäåëè, íåðàâíîâåñíàÿ íåèçîòåðìè÷åñêàÿ ãåîôèëüòðàöèÿ, ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êðàåâûå çàäà÷è, ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåå âðåìÿ çíà÷èòåëüíî âîçðîñ èíòåðåñ ê ðàçðàáîòêå ãåîèíôîðìàöèîí- íûõ ñèñòåì, âêëþ÷àþùèõ çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ îñîáåííîñ- òåé äèíàìèêè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ïðîöåññîâ ãåîôèëüòðàöèè è ìàñ- ñîïåðåíîñà, ïðîòåêàþùèõ â ñëîæíûõ ãîðíî-ãåîëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ. Ýòî ïðå- èìóùåñòâåííî ñâÿçàíî êàê ñ ðàçðàáîòêîé è îáîñíîâàíèåì ñîâðåìåííûõ ãåîòåõíî- ëîãèé äîáû÷è óãëåâîäîðîäîâ è äðóãèõ ïîëåçíûõ èñêîïàåìûõ, òàê è ñ âîïðîñà- ìè ýêîëîãè÷åñêîé áåçîïàñíîñòè è îõðàíû ïîäçåìíûõ âîä è âîäîçàáîðîâ îò çà- ãðÿçíåíèé, â ÷àñòíîñòè òåõíîãåííîãî õàðàêòåðà. Ñëåäóåò îñîáî îòìåòèòü àêòó- àëüíîñòü èññëåäîâàíèé â îáëàñòè èçó÷åíèÿ äèíàìèêè ïðîöåññîâ ïåðåíîñà â ãåîñðåäàõ ñëîæíîé ñòðóêòóðû (òðåùèíîâàòîñòü, êàâåðíîçíîñòü, ìèêðîíåîä- íîðîäíîñòü è ò.ä.) ïðè ôèëüòðàöèè íåíüòîíîâñêèõ æèäêîñòåé (ðàñòâîðîâ ïîëè- ìåðîâ, íåôòè, áóðîâûõ ðàñòâîðîâ, ñìåñåé, ýìóëüñèé, ïîëèýëåêòðîëèòîâ è ìíî- ãèõ äðóãèõ) [1–3]. Èçó÷åíèå îñîáåííîñòåé äèíàìèêè ñëîæíûõ ãåîôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ èãðàåò âàæíóþ ðîëü òàêæå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ îõðàíû ïîäçåìíûõ âîä îò çàãðÿç- íåíèé òîêñè÷íûì ñîäåðæèìûì ïîâåðõíîñòíûõ íàêîïèòåëåé ïðîìûøëåííûõ è áûòîâûõ ñòîêîâ (øëàìî- è õâîñòîõðàíèëèù), â ÷àñòíîñòè ïðè âûðàáîòêå èíæå- íåðíûõ ðåøåíèé, ìèíèìèçèðóþùèõ âðåäíîå âîçäåéñòâèå ñîäåðæèìîãî íàêîïè- òåëåé íà îêðóæàþùóþ ñðåäó. Â ñëó÷àå çàïîëíåíèÿ äàííûõ ãèäðîñîîðóæåíèé îòõîäàìè ãîðíîé èëè õèìè÷åñêîé ïðîìûøëåííîñòè, ÿâëÿþùèìèñÿ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè, îñîáóþ àêòóàëüíîñòü ïðèîáðåòàþò ðàçðàáîòêè â îáëàñòè ìàòåìàòè- ÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ãåîôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ â ïîðèñòûõ èëè òðåùèíîâàòî-ïîðèñòûõ ìàññèâàõ, íàñûùåííûõ òàêèìè ðàñòâîðàìè. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ âåäóòñÿ êîìïëåêñíûå èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè ìàòåìàòè- ÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ãåîôèëüòðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ [4–7] ïðè ó÷åòå ðåëàêñàöèîííûõ ñâîéñòâ æèäêîñòè [3, 8], ðåëàêñàöèîííûõ ñâîéñòâ ïîðè- ñòîãî ñêåëåòà [4], íåèçîòåðìè÷íîñòè ïðîöåññà è òåðìîäèôôóçèè [6, 7], òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîé ôàçû [9], âëèÿíèÿ ãåîõèìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ ïîäçåìíîãî âûùåëà÷èâàíèÿ [10] è äð. Ïðîÿâëÿþùàÿñÿ â ñëîæíûõ ãîðíî-ãåîëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ íåðàâíîâåñíîñòü ãåîôèëüòðàöèîííîãî ïðîöåññà, îáóñëîâëåííàÿ ðÿäîì ïðè÷èí [1, 4], ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ðàçðàáîòêè ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûõ ãåîôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ îùóùàåòñÿ îñòðûé íåäîñòàòîê â àäåêâàòíûõ êîëè÷åñòâåííûõ ìîäåëÿõ ïðîöåññîâ ìàññî- è òåïëîïåðåíîñà â ñèñòåìàõ ñî ñëîæíîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ñòðóêòóðîé, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíû ýôôåêòû ïàìÿòè, ïðîñòðàíñòâåííîé íåëî- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 79 � Â.Ì. Áóëàâàöêèé, 2011 êàëüíîñòè è ñàìîîðãàíèçàöèè. Â ýòîé ñâÿçè â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîñòðîåíà íîâàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè íåèçîòåðìè÷åñêîãî ïðîöåññà ôèëüòðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ â ãåîïîðèñòîé ñðåäå â óñëîâèÿõ ñèëüíîé âðåìåí- íîé íåëîêàëüíîñòè. Â ðàìêàõ ïðåäëîæåííîé ìîäåëè âûïîëíåíà ïîñòàíîâêà ñîîò- âåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è òåîðèè íåèçîòåðìè÷åñêîé ãåîôèëüòðàöèè äëÿ ìàññèâà êîíå÷íîé ìîùíîñòè ñ ïðîíèöàåìûìè ãðàíÿìè, ðàçðàáîòàíà ìåòîäèêà ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óêàçàííîé êðàåâîé çàäà÷è è ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÏÐÎÖÅÑÑÀ È ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È Èñïîëüçóåì ñëåäóþùåå îáîáùåíèå îäíîìåðíîãî ãåîôèëüòðàöèîííîãî çàêîíà Äàðñè [11, 12] íà ñëó÷àé äâèæåíèÿ ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ ñ ó÷åòîì îñìîñà â óñëî- âèÿõ íåèçîòåðìè÷íîñòè è ñèëüíîé âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè: u D k p x C x T x x t� � � � � � � � � � � � � � � �1 � � � � * , (1) ãäå ux — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè, x — ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïåðåìåííàÿ, p — äàâëå- íèå, C — êîíöåíòðàöèÿ ñîëåé â æèäêîé ôàçå, T — òåìïåðàòóðà, k — êîýôôè- öèåíò ôèëüòðàöèè, �* — âÿçêîñòü æèäêîñòè, � — êîýôôèöèåíò îñìîñà, � — êîýôôèöèåíò òåðìîîñìîñà [7], Dt 1� � — îïåðàòîð äðîáíîãî äèôôåðåíöèðîâà- íèÿ Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ [13–15] ïîðÿäêà 1� � (0 1 �� ). Îòñþäà ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè [11, 12] � � � � � � u x p t x �1 0* (2) (�1 * — êîýôôèöèåíò óïðóãîåìêîñòè ïëàñòà) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäå- ëåíèÿ ôèëüòðàöèîííîãî äàâëåíèÿ â âèäå � � � � � � � � � � � � � � � � �p t D p x C x T x t 1 2 2 2 2 2 2 � � � � (3) èëè D p x t p x C x T x t ( ) ( , )� � � �� 2 2 2 2 2 2 , (4) ãäå � � � � k * * 1 , � � � � 1 * , � � � � 1 * , Dt ( )� — îïåðàòîð ðåãóëÿðèçîâàííîé äðîáíîé ïðîèçâîäíîé (ïî Êàïóòî [16–18]) ïîðÿäêà �. Ïðåäïîëàãàÿ òàêæå íàëè÷èå óñëîâèé ñèëüíîé âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè è äëÿ äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà, áóäåì èñõîäèòü èç ñëåäóþùåãî îáîáùåíèÿ çàêîíà Ôèêà: q D d C x CJ ut t x� � � � � � � � �� 1 1� � , (5) ãäå q — äèôôóçèîííûé ïîòîê, d — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè, J t 1� � — äðîáíûé èíòåãðàë Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ ïîðÿäêà 1� � [13–19]. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ ïðè ãåîôèëüòðàöèè ñîëåâûõ 80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 ðàñòâîðîâ çàïèøåì îäíîìåðíîå óðàâíåíèå áàëàíñà ìàññû â âèäå [12] � � � � � � � C t q x 0, (6) ãäå � — ïîðèñòîñòü ñðåäû. Òîãäà èç ñîîòíîøåíèÿ (6) ñ ó÷åòîì (1) è (5) â ïðåäïîëîæåíèè ñëàáîé ñæèìàåìîñòè ñðåäû ïîëó÷àåì, â ïåðâîì ïðèáëèæå- íèè, óðàâíåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè â âèäå � � � �� C t D d C x k p x C x T x C x t 1 2 2 � � � � (7) èëè � � � ��D C x t d C x k p x C x T x C t ( ) ( , ) � � � � � � � � � � � � � � � �� 2 2 x . (8) Äëÿ çàìûêàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ìîäåëè ïîëó÷èì óðàâíåíèå äèíàìèêè ïðîöåññà òåïëîïåðåíîñà â ïîðèñòîé ñðåäå, ðóêîâîäñòâóÿñü ñëåäóþùèìè ñîîáðà- æåíèÿìè. Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â âèäå [12] � � � � � � e t q x 1 0, (9) ãäå e — îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè, q1 — óäåëüíûé ïîòîê ýíåðãèè. Ïðåä- ïîëîæèì, ÷òî äëÿ q1 èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå îáîáùåíèå çàêîíà òåïëîïðî- âîäíîñòè Ôóðüå íà ñëó÷àé âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè ïðîöåññà: q D T x C TJ ut t x1 1 1� � � � �� ( ), (10) ãäå — ïëîòíîñòü ïîðîâîãî ðàñòâîðà, C — óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ïîðîâîãî ðàñòâîðà, — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè. Ñ ó÷åòîì èçâåñòíîãî ñîîòíî- øåíèÿ [12] � � � � � e t C T t T (CT — îáúåìíàÿ òåïëîåìêîñòü ñðåäû) ïîëó÷àåì èç (9), (10) â ïåðâîì ïðèáëè- æåíèè óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû T x t( , ) â âèäå D T x t T x p x C x T x T t ( ) ( , )� � � �� 1 2 2 1 1 1 x , (11) ãäå 1 � CT , � � 1 � k C , � � 1 � C , � � 1 � C . Òàêèì îáðàçîì, íåêëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåèçîòåðìè÷åñêîé ãåîôè- ëüòðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ ñ ó÷åòîì õèìè÷åñêîãî îñìîñà è òåðìîîñìîñà â óñëîâèÿõ âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè áàçèðóåòñÿ íà ñèñòåìå óðàâíåíèé äðîáíîãî ïîðÿäêà âèäà D p x t p x C x T x t ( ) ( , )� � � �� 2 2 2 2 2 2 , (12) � � � ��D C x t d C x k p x C x T x C t ( ) ( , ) � � � � � � � � � � � � � � � �� 2 2 x , (13) D T x t T x p x C x T x T t ( ) ( , )� � � �� 1 2 2 1 1 1 x . (14) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 81 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, áàçèðóþùàÿñÿ íà óðàâíåíèÿõ (12)–(14), îáîáùàåò íà ñëó÷àé íàëè÷èÿ ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûõ âî âðåìåíè óñëîâèé ïðîòåêàíèÿ ïðî- öåññà ìàññîòåïëîïåðåíîñà èçâåñòíóþ [7] îáùåïðèíÿòóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü íåèçîòåðìè÷åñêîé ôèëüòðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ â äåôîðìèðóåìûõ ïîðèñòûõ ñðåäàõ â óñëîâèÿõ îñìîòè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, èç (12)–(14) ïðè � �1 ïî- ëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé îáùåïðèíÿòîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè â âèäå [6, 7, 9] � � � � � � � � � � � p t p x C x T x � � � 2 2 2 2 2 2 , (15) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� C t d C x k p x C x T x C x 2 2 , (16) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � T t T x p x C x T x T x � � �1 2 2 1 1 1 . (17) Ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî ôîðìàëüíàÿ çàìåíà ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè â óðàâ- íåíèÿõ ìîäåëè (15)–(17) èõ äðîáíûìè àíàëîãàìè íåïîñðåäñòâåííî ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì íåêëàññè÷åñêîé ìîäåëè (12)–(14). Â ðàìêàõ ïðåäëîæåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ïîëåé äàâëåíèé, êîíöåíòðàöèé è òåìïåðàòóð ïðè ãåîôèëüòðàöèè â óñëîâèÿõ âðå- ìåííîé íåëîêàëüíîñòè ñîñòàâëÿþùèõ ïðîöåññà ñâîäèòñÿ, íàïðèìåð â ñëó÷àå ìàñ- ñèâà êîíå÷íîé ìîùíîñòè l ñ ïðîíèöàåìûìè ãðàíèöàìè, ê ðåøåíèþ â îáëàñòè ( , ) ( , )0 0l � � � ñèñòåìû óðàâíåíèé (12)–(14) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè p t( , )0 0� , p l t( , ) � 0, p x p( , )0 0� , (18) C t C( , )0 0� , � � � C l t x ( , ) 0, C x( , )0 0� , (19) T t T( , )0 0� , T l t( , ) � 0, T x( , )0 0� , (20) ãäå p0 — íà÷àëüíîå ôèëüòðàöèîííîå äàâëåíèå, C T0 0, — çàäàííûå çíà÷åíèÿ ñîîò- âåòñòâåííî êîíöåíòðàöèè ñîëåé è òåìïåðàòóðû íà âõîäå ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå è ïàðàìåòðû ñîîòíîøåíèÿìè � �x x l , t l t' � � � � �� 2 1 , � �C C C0 , � �p p p0 , � �T T T0 , � �� C p 0 0 , � �� T p 0 0 , � � � 1 1 , � �k kp0 �� , � �� 1 1 0p , (21) � �� 1 0C , � �� 1 1 0T , � �d d � , � �� C0 , � �� T0 . Ïåðåõîäÿ â ñîîòíîøåíèÿõ (12)–(14), (18)–(20) ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì (21) è îïóñêàÿ â äàëüíåéøåì çíàê øòðèõ íàä áåçðàçìåð- íûìè âåëè÷èíàìè, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ íåëèíåéíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó: D p x t p x C x T x t ( ) ( , )� � �� 2 2 2 2 2 2 , (22) 82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 � � ��D C x t d C x k p x C x T x C x t ( ) ( , ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 , (23) D T x t T x p x C x T x T t ( ) ( , )� � � �� 1 2 2 1 1 1 x , (24) p t( , )0 0� , p t( , )1 0� , p x( , )0 1� , (25) C t( , )0 1� , � � � C t x ( , )1 0 , C x( , )0 0� , (26) T t( , )0 1� , T t( , )1 0� , T x( , )0 0� . (27) ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÏÎËÓ×ÅÍÈß ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È È ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÛÉ ÀËÃÎÐÈÒÌ Êðàòêî èçëîæèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàå- ìîé çàäà÷è, áàçèðóþùóþñÿ íà ñîâìåñòíîì ïðèìåíåíèè äèôôåðåíöèàëüíî-ðàç- íîñòíîãî (â ñîâîêóïíîñòè ñ ìåòîäîì ñóììàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé Ã.Í. Ïîëîæåãî [20]) è ñîáñòâåííî ðàçíîñòíîãî ìåòîäîâ. Ðàññìîòðèì ñåòî÷íóþ îáëàñòü � h i ix x ih i m� � � �{ }: ( , )0 1 , ãäå h — øàã ñåòêè ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé, è ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå çàäà÷å äëÿ âû- ÷èñëåíèÿ ïîëÿ äàâëåíèé (22), (25) äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó âèäà D u t h T E u t w tt m( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � 1 2 2 , (28) � � u e( )0 � , (29) ãäå � �u t p t p t p tm T( ) [ ( ), ( ), , ( )]� 1 2 , � �w t w t w t w tm T( ) [ ( ), ( ), , ( )]� �1 2 � � � � � � � 1 2 2 2 3 1 h T E V t T E R tm m[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) ( )� � � � � � � � , � �V t C t C t C tm T( ) [ ( ), ( ), , ( )] ,� 1 2 � �R t T t T t T tm T( ) [ ( ), ( ), , ( )]� 1 2 , � e T� ( , , ..., )1 1 1 , � ��1 1 0 0� ( , , , )T , T m( ) , T m 3 ( ) — êâàäðàòíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà m, îïðåäåëåííûå â [20], E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà m. Ââåäåì òàêæå â ðàññìîòðåíèå P — òðàíñôîðìàöèè âåêòîðîâ � u è � w ñîîòíîøå- íèÿìè � ( ) ( )( ) � � u t P u tm� , � ( ) ( )( ) � � w t P w tm� , ãäå P m( ) — ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà m, îïðåäåëåííàÿ ñîãëàñíî [20] P p m kj m m kj k j m k j m ( ) , , [ ] sin� � � � � � � � � � � � � �� 1 1 2 1 1 . Óìíîæàÿ (28), (29) ñëåâà íà ìàòðèöó P m( ) , ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà [12, 20] T P Pm m m m( ) ( ) ( ) ( )� � , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 83 ãäå �( ) [ , , , ]m m� 1 2 � — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðè- öû T m( ) , k k m � � � � � �2 1 cos ( , )k m�1 , ïîëó÷àåì çàäà÷ó â èçîáðàæåíèÿõ, çàïè- ñûâàåìóþ â ñêàëÿðíîé ôîðìå â âèäå D u t u t w tt i i i i ( ) � ( ) � ( ) � ( )� �� ( , )i m�1 , (30) � ( ) �u ei i0 � ( , )i m�1 , (31) ãäå � i i h � � 1 2 2 ( ), �e pi ik k m � � � 1 , � ( ) ( ( ( ) ( ) ( ))w t h p C t C t C ti k m ik k k k� � � � � � � �� 1 2 2 1 1 1� � � �� ( ( ) ( ) ( )))T t T t T tk k k1 12 . Ñîãëàñíî [15, 17] ðåøåíèå çàäà÷è (30), (31) íàõîäèì â âèäå � ( ) � ( ) ( ) ( ( ) ) � ( ),u t e E t t E t wi i i t i i� � � �� 1 0 d� ( , )i m�1 , (32) ãäå E z� ( ), E z� �, ( ) — ôóíêöèÿ Ìèòòàã–Ëåôôëåðà è îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ Ìèòòàã–Ëåôôëåðà ñîîòâåòñòâåííî [13–19]. Âîçâðàùàÿñü â ñîîòíîøåíèÿõ (32) ê îðèãèíàëàì ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðå- ìåííîé, ïîëó÷àåì òî÷íîå ðåøåíèå èñõîäíîé äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîé çàäà- ÷è (28), (29) â âèäå ñëåäóþùåé ÿâíîé çàâèñèìîñòè ôóíêöèè äàâëåíèÿ p îò êîíöåíòðàöèè C è òåìïåðàòóðû T : p t G t C C Ci i k k k t k m ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) ( ))� � � � �� 1 1 01 2 � � � �� ( ( ) ( ) ( ))) ( )T t T t T t t dk k k ik1 12 � ( , )i m�1 , (33) ãäå G t p p E ti is k m sk s m s( ) ( )� �� 11 � �� , �ik is sk s s m t t h p p E t( ) ( ),� � � � � � � �� 1 2 1 ( ,i m�1 ; k m�1, ). Çàäà÷è (23), (26) è (24), (27) äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëåé êîíöåíòðàöèé C è ïîëåé òåìïåðàòóð T ðåøàþòñÿ ÷èñëåííî. Äëÿ ýòîãî ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñåòî÷íóþ îáëàñòü � �h i j ix t x ih� �{( , ) : ( , )i m� �0 1 , t jj � � ( , )j n� 0 } (h, � — øàãè ñåòêè ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé è âðåìåíè ñîîòâåòñòâåííî) è èñïîëüçóåì, íàïðè- ìåð, ìîíîòîííóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó À.À. Ñàìàðñêîãî, êîòîðóþ â îáîçíà÷åíèÿõ ðàáîòû [21] çàïèøåì â âèäå � �� t xx x xC C u C u C( ) � � �� , (34) � t xx x xT T T T( ) � � �� 1 , (35) 84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 ãäå � � � d R1 , � 1 1 11 � � R , R h u d � \| \| 2 , R h 1 12 � \| \|� , u u u� � � 1 2 ( \| \| ) , � � �� 1 2 ( \| \| ) , u kp C T x x x � � �� , � � � �� 1 1 1p C T x x x � � � . Ïðè ýòîì â ñîîòíîøåíèÿõ (34), (35) îïåðàòîð � t ( )� îáîçíà÷àåò äèñêðåòíûé àíàëîã ïðîèçâîäíîé äðîáíîãî ïîðÿäêà Dt ( )� . Ñîãëàñíî, íàïðèìåð, [22] èìååì � � t j s j t s s j y x t b y( ) ( ) ,( , ) ( ) � � � � � � �1 0 1 2 , (36) ãäå b j s j ss j( ) [( ) ( ) ]� � � � �� 1 1 11 , y y y t s s s , � ��1 � , �( )� — ãàììà-ôóíêöèÿ [23]. Â êëàññå äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé èìååì D y y Ot t ( ) ( ) ( )� � �� [22]. Ðàñïèñûâàÿ â ñîîòíîøåíèÿõ (34), (35) ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíîñòíûå îïåðà- òîðû è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé: A C S C B C Fi j i j i j i j i j i j i j � � � � �� 1 1 1 1 1 ( , ; , )i m j n� �1 0 , (37) ~ ~ ~ ~ A T S T B T Fi j i j i j i j i j i j i j � � � � �� 1 1 1 1 1 ( , ; , )i m j n� �1 0 , (38) ãäå A h h ui j i j i j� � � � � � � �1 � ( ) , B h h ui j i j i j� � � � � � � �1 � ( ) , S A Bi j i j i j� � � � � � ��( )2 , F C b C C i j i j s j i s i s s j � � � �� ( ) ( ) 2 1 1 0 1 , ~ ( ) ( )A h hi j i j i j� � � � � � � �1 1� � , ~ ( ) ( )B h hi j i j i j� � � � � � � �1 1� � , ~ ( ) ~ ~ S A Bi j i j i j� � � � 1 2� �� , ~ ( ) ( )F T b T T i j i j s j i s i s s j � � � �� 1 2 1 1 0 1 � � � �� . Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñèñòåì (37), (38) ÿâëÿþòñÿ òðåõòî÷å÷íûìè è ýôôåê- òèâíî ðåøàþòñÿ ìåòîäîì ïðîãîíêè [21, 24, 25]. Ïðè ýòîì ïðîãîíî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò âèä C Ci j i j i j i j� � � � � � �1 1 1 1 1 � � , T Ti j i j i j i j� � � � � � �1 1 1 1 1 ~ ~ � � ( , ; , )i m j n� �1 0 , à ïðîãîíî÷íûå êîýôôèöèåíòû âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì � � i j i j i j i j i j B S A � � � 1 , � � � i j i j i j i j i j i j B F A � �� 1 1 ( ) ( , ; , )i m j n� �1 0 , ~ ~ ~ ~ ~ � � i j i j i j i j i j B S A � � � 1 , ~ ~ ~ ( ~ ~ ~ )� � � i j i j i j i j i j i j B F A � �� 1 1 ( , ; , )i m j n� �1 0 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 85 Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòàðòîâûõ çíà÷åíèé ïðîãîíî÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ èñïîëü- çóåì êîíå÷íîðàçíîñòíûå àíàëîãè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé C t( , )0 1� , T t( , )0 1� . Òîãäà ïîëó÷àåì � � 1 1 0j j, ~ � , � � 1 1 1j j, ~ � ( , )j n� 0 . Îòìåòèì, ÷òî óñòîé÷èâîñòü ìåòîäà ïðîãîíêè äëÿ ñèñòåì (37), (38) âûòåêàåò èç ôàêòà äèàãîíàëüíîãî ïðåîáëàäàíèÿ â ìàòðèöàõ êîýôôèöèåíòîâ ýòèõ ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ó÷èòûâàÿ èçëîæåííîå, âû÷èñëèòåëüíûé àëãîðèòì äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøå- íèÿ ïðèâåäåííîé çàäà÷è ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì. 1. Íà ðàññìàòðèâàåìîì âðåìåííîì ñëîå â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàçíîñòíîé ñõå- ìîé (35) âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû T , èñïîëüçóÿ çíà÷åíèÿ ôèëüòðàöèîí- íîãî äàâëåíèÿ p è êîíöåíòðàöèè C èç ïðåäûäóùåãî âðåìåííîãî ñëîÿ. 2. Ñ ó÷åòîì íàéäåííûõ íà äàííîì âðåìåííîì ñëîå çíà÷åíèé T âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå êîíöåíòðàöèè C â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàçíîñòíîé ñõåìîé (34), èñïîëüçóÿ çíà÷åíèÿ ôèëüòðàöèîííîãî äàâëåíèÿ p èç ïðåäûäóùåãî âðåìåííîãî ñëîÿ. 3. Èìåÿ íàéäåííûå íà äàííîì âðåìåííîì ñëîå çíà÷åíèÿ C è T , âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ p íà ýòîì ñëîå ñîãëàñíî ÿâíîé çàâèñèìîñòè (33). Ýòèì ðåøåíèå çàäà÷è íà ðàññìàòðèâàåìîì âðåìåííîì ñëîå çàâåðøàåòñÿ. 4. Ïåðåõîäèì íà ñëåäóþùèé âðåìåííîé ñëîé è ïîâòîðÿåì âû÷èñëåíèÿ, íà- ÷èíàÿ ñ øàãà 1. Ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè èçëîæåííîãî àëãîðèòìà èíòåãðàë â ñîîòíîøåíèÿõ (33) àïïðîêñèìèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû [26]. ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ È ÂÛÂÎÄÛ ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ïîëåé ôèëüòðàöèîííûõ äàâëåíèé, òåìïå- ðàòóðíûõ ïîëåé è ïîëåé êîíöåíòðàöèé â ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîé ìàòåìàòè- ÷åñêîé ìîäåëè, ó÷èòûâàþùåé âðåìåííóþ íåëîêàëüíîñòü ãåîôèëüòðàöèîííîãî ïðîöåññà, âûïîëíåíî îòíîñèòåëüíî áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, îïðåëåëÿåìûõ ñîîòíîøåíèÿìè (21). Èçîáðàçèì ãðàôè÷åñêè íåêîòîðûå èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëü- òàòîâ ðàñ÷åòîâ. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíà äèíàìèêà ïîëåé ôèëüòðàöèîííûõ äàâëåíèé p x t( , ) ïðè ôèêñèðîâàííîì t äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñ ó÷åòîì âðåìåí- íîé íåëîêàëüíîñòè â èçîòåðìè÷åñêîì (êðèâûå 1 5� , � � 0 85, ) è íåèçîòåðìè÷å- 86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 Ðèñ. 1 p x 1� 1 4 5 2 3 3� 4� 5� 2� 1.0 ñêîì (êðèâûå �� 1 5 ) ñëó÷àÿõ. Äèíàìèêà ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëåé êîíöåíòðàöèé C x t( , ) (t ôèêñèðîâàííîå) â íåèçîòåðìè÷åñêîì (êðèâûå �� 1 5 ) è èçîòåðìè÷åñ- êîì (êðèâûå 1 5� ) ñëó÷àÿõ ïîêàçàíà íà ðèñ. 2. Ãðàôèêè íà ïðèâåäåííûõ ðèñóí- êàõ ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèì çíà÷åíèÿì áåçðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà t : t � 0 25, (êðèâûå 1 1, �), t � 0 3, (êðèâûå 2 2, �), t � 0 4, (êðèâûå 3 3, �), t � 0 6, (êðèâûå 4 4, �), t � 0 8, (êðèâûå 5 5, �). Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîçâîëÿåò, â ÷àñòíîñòè, ñäå- ëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû îá îñîáåííîñòÿõ äèíàìèêè ïîëåé ôèëüòðàöèîííûõ äàâ- ëåíèé è êîíöåíòðàöèé ïðè ôèëüòðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ â ãåîïîðèñòîé ñðåäå â óñëîâèÿõ íåèçîòåðìè÷íîñòè è çàìåòíîãî âëèÿíèÿ âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè. 1. Èìååò ìåñòî ÿâëåíèå óñêîðåííîãî ðàññåèâàíèÿ ïîëåé ôèëüòðàöèîííûõ äàâëåíèé ïðè ôèëüòðàöèè â ãåîïîðèñòîé ñðåäå â óñëîâèÿõ íåèçîòåðìè÷íîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà â ïðåäïîëîæåíèÿõ åãî èçîòåðìè÷íîñòè (ñì. ðèñ. 1). 2. Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ãåîôèëüòðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ â ðàìêàõ ëîêàëü- íî-íåðàâíîâåñíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íàáëþäàåòñÿ çàïàçäûâàíèå ïðîöåññà ôîðìèðîâàíèÿ ïîëÿ êîíöåíòðàöèé ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ â íåèçîòåðìè÷åñêîì ñëó÷àå ïî ñðàâíåíèþ ñ èçîòåðìè÷åñêèì (ñì. ðèñ. 2). ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ðàññìîòðåííàÿ â ðàáîòå ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò ÷èñëåííî ìîäåëèðîâàòü äèíàìèêó íåèçîòåðìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïåðåíîñà ïðè ãåîôèëüòðàöèè ñîëåâûõ ðàñ- òâîðîâ â ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûõ ïî âðåìåíè óñëîâèÿõ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äàþò âîçìîæíîñòü ó÷åòà âàæíûõ äîïîëíèòåëüíûõ ôàêòîðîâ, íå ó÷èòûâàåìûõ â êëàññè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ (íàïðèìåð, âðåìåííóþ íåëîêàëüíîñòü ñî- ñòàâëÿþùèõ ïðîöåññà ïåðåíîñà) ïðè ðàçðàáîòêå êîíñòðóêòèâíûõ ðåøåíèé â èí- æåíåðíîé ïðàêòèêå, â ÷àñòíîñòè ïðè ïðîåêòèðîâàíèè òàêèõ ýêîëîãè÷åñêè íåáåçî- ïàñíûõ èíæåíåðíûõ îáúåêòîâ, êàê ïîâåðõíîñòíûå íàêîïèòåëè ïðîìûøëåííûõ è áûòîâûõ ñòîêîâ, ôóíêöèîíèðóþùèõ â ñëîæíûõ ãîðíî-ãåîëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Õ à ñ à í î â Ì . Ì . , Á ó ë ã à ê î â à Ã . Ò . Íåëèíåéíûå è íåðàâíîâåñíûå ýôôåêòû â ãåîëîãè- ÷åñêè ñëîæíûõ ñðåäàõ. — Ìîñêâà; Èæåâñê: Èí-ò êîìïüþòåð. èññëåä., 2003. — 288 ñ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 87 Ðèñ. 2 Ñ x 5 4 3 21 4� 5� 3� 2�1� 1.0 1.0 2. Á ó ë à â à ö ê è é Â . Ì . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Ñèñòåìíûé ïîäõîä ê ïðîáëåìå ìàòåìàòè÷åñ- êîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 6. — Ñ. 71–79. 3. Á ó ë à â à ö ê è é Â . Ì . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè êîíñîëèäàöèîííûõ ïðîöåññîâ ñ ó÷åòîì ðåëàêñàöèîííûõ ýôôåêòîâ // Òàì æå. — 2008. — ¹ 6. — Ñ. 59–66. 4. Á ó ë à â à ö ü ê è é Â . Ì . , Ê ð è â î í î ñ Þ . Ã . , Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . Íåêëàñè÷í³ ìàòåìà- òè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â òåïëî- òà ìàñîïåðåíîñó. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. — 283 ñ. 5. Â ë à ñ þ ê À . Ï . , Ì à ð ò è í þ ê Ï . Ì . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ êîíñîë³äàö³¿ ãðóíò³â â ïðîöåñ³ ô³ëüòðàö³¿ ñîëüîâèõ ðîç÷èí³â. — Ð³âíå: Âèä-âî ÓÄÓÂÃÏ, 2004. — 211 ñ. 6. Á î ì á à À . ß . , Á ó ë à â à ö ü ê è é Â . Ì . , Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . Íåë³í³éí³ ìàòåìàòè÷í³ ìî- äåë³ ïðîöåñ³â ãåîã³äðîäèíàì³êè. — Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2007. — 292 ñ. 7. Â ë à ñ þ ê À . Ï . , Ì à ð ò è í þ ê Ï . Ì . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ êîíñîë³äàö³¿ ãðóíò³â ïðè ô³ëüòðàö³¿ ñîëüîâèõ ðîç÷èí³â â íå³çîòåðì³÷íèõ óìîâàõ. — Ð³âíå: Âèä–âî ÍÓÂÃÏ, 2008. — 416 ñ. 8. Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . , Á ó ë à â à ö ü ê è é Â . Ì . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ïðîöåñó ô³ëüòðàö³éíî¿ êîíñîë³äàö³¿ ìàñèâ³â, íàñè÷åíèõ ñîëüîâèìè ðîç÷èíàìè çà óìîâ ðåëàêñàö³éíî¿ ô³ëüòðàö³¿ // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2006. — ¹ 2. — Ñ. 55–61. 9. Á ó ë à â à ö ê è é Â . Ì . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Îá îäíîé íåèçîòåðìè÷åñêîé êîíñîëèäàöèîí- íîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ãåîèíôîðìàòèêè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2010. — ¹ 6. — Ñ. 35–45. 10. Á ó ë à â à ö ê è é Â . Ì . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå îäíîé äèíàìè÷åñêîé çàäà÷è ãåîèíôîðìàòèêè // Òàì æå. — 2010. — ¹ 3. — Ñ. 68–77. 11. Á à ð å í á ë à ò ò Ã . È . , Å í ò î â Â . Í . , Ð û æ è ê Â . Ì . Äâèæåíèå æèäêîñòåé è ãàçîâ â ïðè- ðîäíûõ ïëàñòàõ. — Ì.: Íåäðà, 1984. — 303 ñ. 12. Ë ÿ ø ê î È . È . , Ä å ì ÷ å í ê î Ë . È . , Ì è ñ ò å ö ê è é Ã . Å . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ òåï- ëî- è ìàññîïåðåíîñà â ïîðèñòûõ ñðåäàõ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1991. — 264 ñ. 13. Â ³ ð ÷ å í ê î Í . Î . , Ð è á à ê Â . ß . Îñíîâè äðîáîâîãî ³íòåãðî-äèôåðåíö³þâàííÿ. — Êè¿â: Çàäðóãà, 2007. — 361ñ. 14. Í à õ ó ø å â À . Ì . Äðîáíîå èñ÷èñëåíèå è åãî ïðèìåíåíèå. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003. — 272 ñ. 15. Ñ à ì ê î Ñ . Ã . , Ê è ë á à ñ À . À . , Ì à ð è ÷ å â Î . È . Èíòåãðàëû è ïðîèçâîäíûå äðîáíîãî ïîðÿäêà è íåêîòîðûå èõ ïðèëîæåíèÿ. — Ìèíñê: Íàóêà è òåõíèêà, 1987. — 688 ñ. 16. × è ê ð è é À . À . , Ì à ò è ÷ è í È . È . Îá àíàëîãå ôîðìóëû Êîøè äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ïðî- èçâîëüíîãî äðîáíîãî ïîðÿäêà // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2007. — ¹ 1. — Ñ. 50–55. 17. K i l b a s A . A . , S r i v a s t a v a H . M . , T r u j i l l o J . J . Theory and applications of fractional differential equations. — Amsterdam: Elsevier, 2006. — 523 p. 18. G o r e n f l o R . , M a i n a r d i F . Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order // Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics / Eds. A. Carpinteri, F. Mainardi. — Wien: Springer-Verlag, 1997. — P. 223–276. 19. P o d l u b n y I . Fractional differential equations. — New York: Acad. Press, 1999. — 341 p. 20. Ï î ë î æ è é Ã . Í . ×èñëåííîå ðåøåíèå äâóìåðíûõ è òðåõìåðíûõ êðàåâûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñ- êîé ôèçèêè è ôóíêöèè äèñêðåòíîãî àðãóìåíòà. — Êèåâ: Âèùà øê., 1962. — 161 ñ. 21. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 656 ñ. 22. Ò à ó ê å í î â à Ô . È . , Ø õ à í ó ê î â – Ë à ô è ø å â Ì . Õ . Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ êðàå- âûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äðîáíîãî ïîðÿäêà // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2006. — 46, ¹ 10. — Ñ. 1871–1881. 23. À ð ñ å í è í Â . ß . Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ è ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè. — Ì.: Íàóêà, 1966. — 386 ñ. 24. S a m a r s k i i A . A . , V a b i s h c h e v i c h P . N . Computational heat transfer. — New York: Wiley, 1995. — Vol. 2. — 422 p. 25. Á à õ â à ë î â Í . Ñ . , Æ è ä ê î â Í . Ï . , Ê î á å ë ü ê î â Ã . Ì . ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì.: Íà- óêà, 1987. — 600 ñ. 26. Ê ð û ë î â Â . È . , Ø ó ë ü ã è í à À . Ò . Ñïðàâî÷íàÿ êíèãà ïî ÷èñëåííîìó èíòåãðèðîâàíèþ. — Ì.: Íàóêà, 1966. — 372 ñ. Ïîñòóïèëà 27.12.2010 88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84253
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0023-1274
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T13:37:18Z
publishDate	2011
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Булавацкий, В.М. 2015-07-04T14:51:31Z 2015-07-04T14:51:31Z 2011 Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей / В.М. Булавацкий // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 79-88. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84253 517.9:519.6 Побудовано математичну модель для дослідження динаміки локально-нерівноважних у часі неізотермічних процесів геофільтрації сольових розчинів. Поставлено відповідну цій моделі нелінійну крайову задачу, наведено алгоритм одержання її наближеного розв’язку та результати чисельної реалізації вказаного алгоритму. A mathematical model is developed for the dynamic analysis of nonisothermal, locally nonequilibrium in time, processes of geofiltration of salt solutions. The corresponding nonlinear boundary-value problem is formulated, an algorithm of its approximate solution is presented, and results of the numerical solution are given. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей Некласична математична модель геоінформатики для розв’язання задач динаміки нерівноважних неізотермічних геофільтраційних полів Nonclassical mathematical model of geoinformatics to solve dynamic problems for nonequilibrium nonisothermal geofiltration fields Article published earlier
spellingShingle	Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей Булавацкий, В.М. Системный анализ
title	Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей
title_alt	Некласична математична модель геоінформатики для розв’язання задач динаміки нерівноважних неізотермічних геофільтраційних полів Nonclassical mathematical model of geoinformatics to solve dynamic problems for nonequilibrium nonisothermal geofiltration fields
title_full	Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей
title_fullStr	Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей
title_full_unstemmed	Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей
title_short	Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей
title_sort	неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей
topic	Системный анализ
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84253
work_keys_str_mv	AT bulavackiivm neklassičeskaâmatematičeskaâmodelʹgeoinformatikidlârešeniâzadačdinamikineravnovesnyhneizotermičeskihgeofilʹtracionnyhpolei AT bulavackiivm neklasičnamatematičnamodelʹgeoínformatikidlârozvâzannâzadačdinamíkinerívnovažnihneízotermíčnihgeofílʹtracíinihpolív AT bulavackiivm nonclassicalmathematicalmodelofgeoinformaticstosolvedynamicproblemsfornonequilibriumnonisothermalgeofiltrationfields

Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей

Institution

Similar Items