Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I
В абстрактному гільбертовому просторі Нрозглянуто нелінійні еволюційні диференційні рівняння з необмеженими лінійними операторами збурення гаусівськими випадковими процесами. Для задачі Коші диференціальних рівнянь доведено достатні умови існування і єдиності їх розв’язків, а також достатні умови ек...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84254 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I / А.А. Фомин-Шаташвили, Т.А. Фомина, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 89-101. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84254 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Фомин-Шаташвили, А.А. Фомина, Т.А. Шаташвили, А.Д. 2015-07-04T14:51:41Z 2015-07-04T14:51:41Z 2011 Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I / А.А. Фомин-Шаташвили, Т.А. Фомина, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 89-101. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84254 519.21 В абстрактному гільбертовому просторі Нрозглянуто нелінійні еволюційні диференційні рівняння з необмеженими лінійними операторами збурення гаусівськими випадковими процесами. Для задачі Коші диференціальних рівнянь доведено достатні умови існування і єдиності їх розв’язків, а також достатні умови еквівалентності ймовірнісних мір, породжених цими розв’язками. В явному вигляді обчислено відповідні щільності Радона–Нікодима у термінах коефіцієнтів або характеристик розглянутих диференціальних рівнянь. Nonlinear evolutionary differential equations with unbounded linear operators, disturbed by Gaussian random processes, are considered in an abstract Hilbert space. For the Cauchy problem of the differential equations under study, the sufficient existence and uniqueness conditions for their solutions and the sufficient conditions for the equivalence of the probability measures generated by these solutions are derived. Moreover, the corresponding Radon–Nikodym densities are calculated explicitly in terms of the coefficients or characteristics of the considered differential equations. Refs: 49 titles. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I Про еквівалентність ймовірнісних мір, породжених розв’язками нелінійних еволюційних диференціаль-них рівнянь у гільбертовому просторі, збурених гаусівськими процесами. I Equivalence of the probability measures generated by solutions of nonlinear evolution differential equa-tions in a Hilbert space, disturbed by Gaussian processes. Part 1. Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I |
| spellingShingle |
Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I Фомин-Шаташвили, А.А. Фомина, Т.А. Шаташвили, А.Д. Системный анализ |
| title_short |
Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I |
| title_full |
Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I |
| title_fullStr |
Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I |
| title_full_unstemmed |
Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I |
| title_sort |
об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. i |
| author |
Фомин-Шаташвили, А.А. Фомина, Т.А. Шаташвили, А.Д. |
| author_facet |
Фомин-Шаташвили, А.А. Фомина, Т.А. Шаташвили, А.Д. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про еквівалентність ймовірнісних мір, породжених розв’язками нелінійних еволюційних диференціаль-них рівнянь у гільбертовому просторі, збурених гаусівськими процесами. I Equivalence of the probability measures generated by solutions of nonlinear evolution differential equa-tions in a Hilbert space, disturbed by Gaussian processes. Part 1. |
| description |
В абстрактному гільбертовому просторі Нрозглянуто нелінійні еволюційні диференційні рівняння з необмеженими лінійними операторами збурення гаусівськими випадковими процесами. Для задачі Коші диференціальних рівнянь доведено достатні умови існування і єдиності їх розв’язків, а також достатні умови еквівалентності ймовірнісних мір, породжених цими розв’язками. В явному вигляді обчислено відповідні щільності Радона–Нікодима у термінах коефіцієнтів або характеристик розглянутих диференціальних рівнянь.
Nonlinear evolutionary differential equations with unbounded linear operators, disturbed by Gaussian random processes, are considered in an abstract Hilbert space. For the Cauchy problem of the differential equations under study, the sufficient existence and uniqueness conditions for their solutions and the sufficient conditions for the equivalence of the probability measures generated by these solutions are derived. Moreover, the corresponding Radon–Nikodym densities are calculated explicitly in terms of the coefficients or characteristics of the considered differential equations. Refs: 49 titles.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84254 |
| citation_txt |
Об эквивалентности вероятностных мер, порожденных решениями нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, возмущенных гауссовскими процессами. I / А.А. Фомин-Шаташвили, Т.А. Фомина, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 89-101. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT fominšatašviliaa obékvivalentnostiveroâtnostnyhmerporoždennyhrešeniâminelineinyhévolûcionnyhdifferencialʹnyhuravneniivgilʹbertovomprostranstvevozmuŝennyhgaussovskimiprocessamii AT fominata obékvivalentnostiveroâtnostnyhmerporoždennyhrešeniâminelineinyhévolûcionnyhdifferencialʹnyhuravneniivgilʹbertovomprostranstvevozmuŝennyhgaussovskimiprocessamii AT šatašviliad obékvivalentnostiveroâtnostnyhmerporoždennyhrešeniâminelineinyhévolûcionnyhdifferencialʹnyhuravneniivgilʹbertovomprostranstvevozmuŝennyhgaussovskimiprocessamii AT fominšatašviliaa proekvívalentnístʹimovírnísnihmírporodženihrozvâzkaminelíníinihevolûcíinihdiferencíalʹnihrívnânʹugílʹbertovomuprostorízburenihgausívsʹkimiprocesamii AT fominata proekvívalentnístʹimovírnísnihmírporodženihrozvâzkaminelíníinihevolûcíinihdiferencíalʹnihrívnânʹugílʹbertovomuprostorízburenihgausívsʹkimiprocesamii AT šatašviliad proekvívalentnístʹimovírnísnihmírporodženihrozvâzkaminelíníinihevolûcíinihdiferencíalʹnihrívnânʹugílʹbertovomuprostorízburenihgausívsʹkimiprocesamii AT fominšatašviliaa equivalenceoftheprobabilitymeasuresgeneratedbysolutionsofnonlinearevolutiondifferentialequationsinahilbertspacedisturbedbygaussianprocessespart1 AT fominata equivalenceoftheprobabilitymeasuresgeneratedbysolutionsofnonlinearevolutiondifferentialequationsinahilbertspacedisturbedbygaussianprocessespart1 AT šatašviliad equivalenceoftheprobabilitymeasuresgeneratedbysolutionsofnonlinearevolutiondifferentialequationsinahilbertspacedisturbedbygaussianprocessespart1 |
| first_indexed |
2025-11-25T20:43:15Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:43:15Z |
| _version_ |
1850530448894066688 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À.À. ÔÎÌÈÍ-ØÀÒÀØÂÈËÈ, Ò.À. ÔÎÌÈÍÀ, À.Ä. ØÀÒÀØÂÈËÈ
ÎÁ ÝÊÂÈÂÀËÅÍÒÍÎÑÒÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÛÕ ÌÅÐ,
ÏÎÐÎÆÄÅÍÍÛÕ ÐÅØÅÍÈßÌÈ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ
ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
 ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ, ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÕ
ÃÀÓÑÑÎÂÑÊÈÌÈ ÏÐÎÖÅÑÑÀÌÈ. I
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýâîëþöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ýâîëþöèîííîå ñåìåé-
ñòâî îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ, ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà, ýêâèâàëåíòíîñòü âå-
ðîÿòíîñòíûõ ìåð, ïðîèçâîäÿùèé îïåðàòîð, îïåðàòîð Ãèëüáåðòà–Øìèäòà.
Èçâåñòíî, ÷òî â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ íàóêè è òåõíèêè, êàê ïðàâèëî, ïðàêòè÷åñ-
êè âñåãäà ïðè èññëåäîâàíèÿõ ïðèõîäèòñÿ îïåðèðîâàòü äèôôåðåíöèàëüíûìè
óðàâíåíèÿìè ñî ñëó÷àéíûìè ñëàãàåìûìè èëè êîýôôèöèåíòàìè, îïèñûâàþùè-
ìè ïîâåäåíèå ñèñòåì â ñëó÷àéíûõ ñðåäàõ. Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâ-
íåíèé ïîðîæäàþò âåðîÿòíîñòíûå ìåðû â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ.
Îäíîé èç âàæíåéøèõ çàäà÷ òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâ-
ëåíèå äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé äëÿ ýêâèâàëåíòíîñòè óïîìÿíóòûõ âûøå âåðîÿòíîñò-
íûõ ìåð îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõ ñòàíäàðòíûõ õîðîøî èçó÷åííûõ ìåð è îïðåäå-
ëåíèå â ÿâíîì âèäå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïëîòíîñòåé Ðàäîíà–Íèêîäèìà, åñòåñòâåí-
íî, â òåðìèíàõ èçâåñòíûõ âåëè÷èí, à â äàííîì ñëó÷àå â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ
èçó÷àåìûõ óðàâíåíèé, èõ õàðàêòåðèñòèê èëè àáñòðàêòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ñó-
ùåñòâîâàíèå òàêèõ ïëîòíîñòåé äàåò âîçìîæíîñòü ýôôåêòèâíî ðåøàòü ïðèêëàä-
íûå çàäà÷è ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî èçâåñòíûì ñòàíäàðò-
íûì ðàñïðåäåëåíèÿì (íàïðèìåð, ãàóññîâñêèì, âèíåðîâñêèì è ò.ä.), äëÿ êîòîðûõ
ñóùåñòâóþò óæå ãîòîâûå àëãîðèòìû.
 ðàáîòàõ [1–42] èçó÷àëèñü çàäà÷è àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè è ýêâèâà-
ëåíòíîñòè âåðîÿòíîñòíûõ ìåð äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâà-
íèé è íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ãàóññîâñêèì âîçìóùåíèåì,
êîòîðûå ïðèìåíÿëèñü ïðè âû÷èñëåíèè îïòèìàëüíûõ îöåíîê â çàäà÷àõ ýêñòðà-
ïîëÿöèè è ôèëüòðàöèè äëÿ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé [7, 8, 12, 34–39].
Íàñòîÿùóþ ñòàòüþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîäîëæåíèå èññëåäîâàíèé
â ýòîì íàïðàâëåíèè äëÿ íåëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H , à òàêæå èññëåäîâàíèé, íà÷àòûõ â ðàáî-
òå [44] äëÿ ñëó÷àéíûõ ïîëåé, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè êðàåâûõ çàäà÷ Äèðèõëå
è Íåéìàíà äëÿ íåëèíåéíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â êî-
íå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.
 îòëè÷èå îò ðàííåå èçó÷àåìûõ óðàâíåíèé â íàñòîÿùåé ñòàòüå âïåðâûå ðàñ-
ñìàòðèâàþòñÿ íåëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ íåîãðàíè÷åííûìè
ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñåìåéñòâîì ïðîèçâîäÿùèõ îïåðàòî-
ðîâ äëÿ ýâîëþöèîííîãî ñåìåéñòâà îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ. Ñ èñïîëüçîâàíèåì
ïîíÿòèÿ ðàñøèðåííîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà, à òàêæå ðåçóëüòàòîâ ðàáî-
òû [9] çäåñü óñòàíàâëèâàþòñÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ýêâèâàëåíòíîñòè èçó÷àå-
ìûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð è â ÿâíîì âèäå âû÷èñëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïëîòíî-
ñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà.
Îáîçíà÷èì { }�, ,� P ôèêñèðîâàííîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, H — ñå-
ïàðàáåëüíîå âåùåñòâåííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 89
© À.À. Ôîìèí-Øàòàøâèëè, Ò.À. Ôîìèíà, À.Ä. Øàòàøâèëè, 2011
íèåì ( , )x y è íîðìîé || ||x , x y, �H . Äàëåå L L H2 2 0� { }[ , ],a áóäåì îáîçíà÷àòü
ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [ , ]0 a ñî çíà÷åíèÿìè èç H è èí-
òåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì ïî íîðìå H . Ïðîñòðàíñòâî L2 ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì.
Îáîçíà÷èì â íåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ( , )f g L, íîðìó || ||f L, f g, �L2 ,
è ïðåäñòàâèì èõ êàê
( , ) ( ( ), ( )) , || || | ( ) |f g f t g t dt f f t dtL
a
L
a
� �� �
0
2
0
, (1)
ãäå f g, �L2 ; f t g t( ), ( )�H .
Ïóñòü äàëåå B t s( , ) îáîçíà÷àåò îïåðàòîðíóþ ôóíêöèþ, äåéñòâóþùóþ ïðè
êàæäîì t s a, [ , ]� 0 â ïðîñòðàíñòâå H . Îáîçíà÷èì || ||B t s( , ) íîðìó îïåðàòîðíîé
ôóíêöèè â ïðîñòðàíñòâå H . Èçâåñòíî, ÷òî îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ B t s( , ) êàê ÿäðî
ïîðîæäàåò â ïðîñòðàíñòâå L2 èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð B ïî ñëåäóþùåìó ïðèíöèïó:
( ) ( , ) ( )B� �t
a
B t s s ds� �
0
, ��L2 . (2)
Îáîçíà÷èì â L2 íîðìó îïåðàòîðà B ÷åðåç | B |L ïî ïðèíöèïó
| B |
L
a a
B t s dtds2
0 0
2� � �� � | ( , ) | . (3)
Íîðìà îïåðàòîðà, îïðåäåëåííàÿ ïî ôîðìóëå (3), íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòî-øìèä-
òîâñêîé íîðìîé, à îïåðàòîð B ñ ýòîé íîðìîé íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåð-
òà–Øìèäòà.
Ðàññìîòðèì â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H íåëèíåéíîå ýâîëþöèîííîå
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
dy t
dt
A t y t A t y t f t y t t
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )
�1 � , (4)
0 � �t a , y( ) ( )0 0 0� �� ( )mod P , (5)
äëÿ êîòîðîãî áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñëåäóþùåå.
Óñëîâèå 1: à) îïåðàòîðû A t( ) ÿâëÿþòñÿ ñåìåéñòâîì ëèíåéíûõ íåîãðàíè÷åí-
íûõ îïåðàòîðîâ ñ ïëîòíîé, íåçàâèñèìîé îò t îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D H( )A � ;
á) îïåðàòîðû A t( ) ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîäÿùèìè îïåðàòîðàìè ýâîëþöèîííîãî
ñåìåéñòâà U t s( , ) îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ ïðè 0 � �t s a, , äåéñòâóþùèõ â H ,
ñèëüíî íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îò t è s è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
0
2
0
aa
U t s dtds�� � �| ( , ) | ; (6)
îòñþäà âèäíî, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ (2) è (3) èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð U â ïðîñòðàí-
ñòâå L2 , ïîðîæäåííûé ÿäðîì U t s( , ), ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà;
â) ëèíåéíûå îïåðàòîðû A t1 ( ) ÿâëÿþòñÿ íåîãðàíè÷åííûìè îïåðàòîðàìè ñ òîé
æå ïëîòíîé, íåçàâèñèìîé îò t îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D H( )A � , íî òàêèìè, ÷òî
îïåðàòîðû
U t s U t s A s1 1( , ) ( , ) ( )� (7)
ïðè êàæäîì 0 � �t s a, ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè îïåðàòîðàìè, à èíòåãðàëüíûé
îïåðàòîð U1, ïîðîæäåííûé ÿäðîì U t s1 ( , ), ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåð-
òà–Øìèäòà, ò.å.
0
1
2
0
aa
U t s dtds�� � �| ( , ) | ; (8)
ã) ÷èñëî 1 íå ïðèíàäëåæèò ñïåêòðó îïåðàòîðà U t s1 ( , ).
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6
Óñëîâèå 2. �( )t — ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, îïðåäåëåííûé íà îòðåç-
êå [ , ]0 a ñî çíà÷åíèÿìè èç H ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì M t�( ) � 0,
à åãî êîððåëÿöèîííàÿ îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ R t s
�
2 ( , ), 0 � �t s a, , óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ
| ( , ) |R t t dt
a
�
2
0
� �� . (9)
Èíà÷å ãîâîðÿ, îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ R t s
�
2 ( , ), äåéñòâóþùàÿ â H êàê ÿäðî, â ïðî-
ñòðàíñòâå L2 ïîðîæäàåò ÿäåðíûé êîððåëÿöèîííûé îïåðàòîð R
�
2 ãàóññîâñêîãî
ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà ��L2 .
Ïóñòü êîððåëÿöèîííàÿ îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå
R t s R t u R u s du
a
� � �
2
0
( , ) ( , ) ( , )*� � , (10)
ãäå îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ R t s� ( , ) è ñîïðÿæåííàÿ ê íåé ôóíêöèÿ R t s�
* ( , ) ïðè
êàæäûõ 0 � �t s a, êàê ÿäðà ïîðîæäàþò â ïðîñòðàíñòâå L2 èíòåãðàëüíûå îïå-
ðàòîðû Ãèëüáåðòà–Øìèäòà ñîîòâåòñòâåííî R� è R�
* .
Óñëîâèå 3. Íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ f t y t( , ( )), îïðåäåëåííàÿ íà [ , ]0 a
H , ïðè-
íèìàåò ñâîè çíà÷åíèÿ èç H , ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé ñ êâàäðàòîì ïî
íîðìå H äëÿ âñåõ y t( )�H è äèôôåðåíöèðóåìà ïî y. Ïðè ýòîì ïðîèçâîäíàÿ
�f t y ty ( , ( )) äëÿ âñåõ t a�[ ; ]0 ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà, äåéñòâóþ-
ùèì â H .
Êàê èçâåñòíî èç ðàáîò [47, 48], ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé 1–3 óðàâíåíèå (4)
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ( )mod P .
Åñëè â ïðîñòðàíñòâå L2 ôîðìàëüíî ñâÿçàòü êîððåëÿöèîííûå îïåðàòîðû Rx
2 è
R
�
2 ãàóññîâñêèõ ýëåìåíòîâ x è � ñîîòíîøåíèåì
R CR Cx
2 2�
�
*, (11)
òî åãî ìîæíî ðàñïèñàòü áîëåå ïîäðîáíî:
R R R C R R Cx x x
2 � �* * *,� � (12)
îòêóäà èìååì
R CRx � � , R R Cx
* * *.� � (13)
Îäíîâðåìåííî ñ íåëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì (4) ðàñ-
ñìîòðèì ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
dx t
dt
A t x t A t x t t
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�1 � , (14)
0 � �t a , x( ) ( )0 0 0� �� ( )mod P , (15)
ãäå ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ A t( ) è A t1 ( ), à òàêæå ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðî-
öåññ �( )t óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1, 2.
Êàê èçâåñòíî èç òåîðèè ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [45],
óðàâíåíèÿ (4) è (14) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåì âèäå:
y t U t s A s y s ds U t s f s y s ds U t
a a
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ( )) (
�� �1
0 0
, ) ( )s s ds
a
�
0
� , (16)
x t U t s A s x s ds U t s s ds
a a
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )
�� �1
0 0
� . (17)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 91
Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå z t y t x t( ) ( ) ( )� , òî èç (16) è (17) ïîëó÷èì
z t U t s A s z s ds U t s f s y s ds
a a
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ( ))
� � �1
0 0
. (18)
 ïðîñòðàíñòâå L2 óðàâíåíèÿ (16)–(18) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
y y f y
��U U U1 ( , ) �, (19)
x x
�U U1 �, (20)
z z f y
� �U U1 ( , ). (21)
Èç (21) ñëåäóåò
( ) ( , )I U U
� �1 z f y (22)
èëè
z f y�
�[ ] ( , )I U U1
1 , (23)
îòêóäà
y x f y �
�[ ] ( , )I U U1
1 ,
îêîí÷àòåëüíî èìååì
y f y x
� �[ ] ( , )I U U1
1 . (24)
Äàëåå, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ÷èñëî 1 ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé òî÷êîé, ò.å. íå
ïðèíàäëåæèò ñïåêòðó îïåðàòîðà U1, òî îïåðàòîð I U
1 îáðàòèì è îáðàòíûé
îïåðàòîð [ ]I U
1
1 íåïðåðûâåí, îãðàíè÷åí è îïðåäåëåí íà âñåì ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå L2 (ñì. [49]). Ïîýòîìó îïåðàòîð
[ ]I U U B
�
1
1
1
(25)
ñóùåñòâóåò, îãðàíè÷åí è ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (20) èìååì
[ ]I U U
�x �,
îòêóäà
x �
� [ ]I U U B1
1
1� �. (26)
Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëî 1 ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé òî÷êîé îïåðàòîðà U1, òî, êàê
îòìå÷àëîñü âûøå, îïåðàòîð [ ]I U
1
1 ñóùåñòâóåò, îãðàíè÷åí, íåïðåðûâåí è
îïðåäåëåí íà âñåì ïðîñòðàíñòâå L2 , à
B I U U1 1
1�
[ ] (27)
ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà.
Îïðåäåëèì êîððåëÿöèîííûé îïåðàòîð Rx ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà x .
Ïî èçâåñòíûì ïðàâèëàì
R B R Bx
2
1
2
1�
�
* . (28)
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îïåðàòîð Rx
2 ÿâëÿåòñÿ ÿäåðíûì îïåðàòîðîì è äîïóñ-
êàåò ïðåäñòàâëåíèå
R R Rx x x
2 � * , (29)
òî ñ ó÷åòîì (11) èç ñîîòíîøåíèÿ (28) ïîëó÷èì
R R R B R R Bx x x
2
1 1� �* * *
� � . (30)
Íà îñíîâàíèè ýòîãî îïåðàòîðû Ãèëüáåðòà–Øìèäòà Rx è Rx
* îïðåäåëÿþòñÿ èç
ñîîòíîøåíèé
R B Rx � 1 � è R R Bx
* * *� � 1 . (31)
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6
Òîãäà óðàâíåíèÿ (24) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
y f y x
��B1 ( , ) (32)
èëè, êàê íåëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå â L2 ,
S R Gy y y xx: ( , )
�� , (32*)
ãäå ïîëîæåíî
B R G1 f y yx( , ) ( , )� � � . (33)
 ñèëó óñëîâèÿ 3 ôóíêöèÿ G ( , )� y äèôôåðåíöèðóåìà ïî y, òàê êàê f t y( , )
äèôôåðåíöèðóåìà ïî y è, êðîìå òîãî, � �G y y( , ) ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì îïåðà-
òîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ G ( , )� y ïðèíèìà-
åò ñâîè çíà÷åíèÿ èç ïðîñòðàíñòâà R Lx 2 , òî óðàâíåíèå (33) îäíîçíà÷íî ðàçðå-
øèìî îòíîñèòåëüíî G ( , )� y :
G R B( , ) ( , )� �� y f yx
1
1 . (34)
Ìîæíî íàéòè äðóãèå óñëîâèÿ èëè îãðàíè÷åíèÿ, äîïîëíèòåëüíî íàëàãàåìûå íà
ôóíêöèþ f y( , )� , êîòîðûå áóäóò îáåñïå÷èâàòü ñóùåñòâîâàíèå è îãðàíè÷åí-
íîñòü ôóíêöèè G ( , )� y , åå ïðîèçâîäíîé � �G y y( , ) è îáðàòèìîñòü îòîáðàæåíèÿ
S y x S x: T � 1 , ãäå T x ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ãàóññîâñêîãî
ýëåìåíòà x ,
T R Gx x x yx: ( , )
�� , (34*)
çäåñü îïåðàòîð G ( , )� x îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (ñì. [46])
G G T( , ) ( , )� �� x x . (35)
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäèêîé, ïðåäëîæåííîé â ðàáîòå [9]. Ïåðåïèøåì
ïðåîáðàçîâàíèÿ (32) è (34), à òàêæå ôîðìóëû (33) è (35) â ïðîñòðàíñòâå H ,
ò.å. âû÷èñëèì èõ â òî÷êå t . Èìååì
( ) : ( ) ( , ) ( , ( )) ( )S y y t R t s G s y s ds x tt x
a
��
0
, (36)
( ) : ( ) ( , ) ( , ( )) ( )Tx x t R t s G s x s ds y st x
a
��
0
, (37)
B t s f s y s ds R t s G s y s ds
a
x
a
1
0 0
( , ) ( , ( )) ( , ) ( , ( ))�� � , (38)
ãäå B t s1 ( , ) — ÿäðî èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà [ ]I U U
1
1 è (ñì. [9, 46])
G t x t G t x t( , ( )) ( , ( ))� T . (39)
Èç äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîé èç âåëè÷èí â (39) ñëåäóåò ñóùåñò-
âîâàíèå âòîðîé âåëè÷èíû. Îáîçíà÷èì � y è �x ìåðû, ïîðîæäåííûå ðåøåíèÿìè
óðàâíåíèé (36) è (37) ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè y t( ) è x t( ) ñîîòâåòñòâåííî â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H . Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â óñòàíîâëåíèè óñëîâèé, ïðè âû-
ïîëíåíèè êîòîðûõ ìåðû � y è �x ýêâèâàëåíòíû ( )� � �y x , è â âû÷èñëåíèè â ÿâ-
íîì âèäå èõ ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà
d
d
y
x
�
�
è
d
d
x
y
�
�
. Íèæå ïîëó÷åíû óñëîâèÿ
ñóùåñòâîâàíèÿ ôóíêöèè G t y t( , ( )), åå ïðîèçâîäíîé �G t y ty ( , ( )), à òàêæå èõ êîíñò-
ðóêòèâíûé âèä.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 93
Îáîçíà÷èì { }� k t( ) è { }� k ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå ÷èñëà êîð-
ðåëÿöèîííîé îïåðàòîðíîé ôóíêöèè R t sx
2 ( , ). Òîãäà, êàê èçâåñòíî èç òåîðèè ñëó-
÷àéíûõ ïðîöåññîâ, êîððåëÿöèîííàÿ îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ R t sx
2 ( , ) ðàçëàãàåòñÿ â
ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì:
R t s t sx k k
k
k
2
1
( , ) ( )( ( ), )�
�
�
� �� � � (40)
è äåéñòâóåò ïî ïðèíöèïó
R t s s t s sx k k
k
k
2
1
( , ) ( ) ( ) ( ( ), ( ))� � � � ��
�
�
� . (40*)
Ïîñêîëüêó îïåðàòîð R t sx ( , ) åñòü «êîðåíü êâàäðàòíûé» îò îïåðàòîðà R t sx
2 ( , ),
òî ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà R t sx ( , ) ïðåäñòàâèòñÿ â âèäå
R t s t sx k k
k
k( , ) ( )( ( ), )�
�
�
� �� � �
1
. (41)
Ïîýòîìó ïðàâàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (38) áóäåò èìåòü âèä
R t s G s y s ds t s G s y sx
a
k k
k
k( , ) ( , ( )) ( ) ( ( ), ( , ( ))
0 1
� ��
�
�
� � �
0
a
ds� ) , (42)
ò.å.
R t s G s y s ds t G yx
a
k k
k
k( , ) ( , ( )) ( ) ( )
0 1
� ��
�
�
� � , (43)
ãäå
G y s G s y s dsk k
a
( ) ( ( ), ( , ( )))� � �
0
. (44)
Ââåäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé { }� k t( ) :
�
�
�k
k
kt t( ) ( )�
1
. (45)
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (41), (43) è (44), ôîðìóëà (38) ïðèìåò âèä
B t s f s y s ds t G y
a
k k
k
k1
0 1
( , ) ( , ( )) ( ) ( )�� �
�
�
� � . (46)
Óìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (46) ñêàëÿðíî íà � k t( ) è ïðîèíòåãðèðóåì îò
íóëÿ äî a , ïîëó÷èì
0
1
0
a
k
a
k kB t s f s y s ds t dt G y��
�
�
�
�
�
�
�
�
�( , ) ( , ( )) , ( ) ( )� � (47)
èëè
b y b t y t dt G yk k
a
k k( ) ( ( , ), ( )) ( )� �� � �
0
, (48)
ãäå ôóíêöèÿ b t y( , ) î÷åâèäíî îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
b t y B t s f s y s ds
a
( , ( )) ( , ) ( , ( ))� � � 1
0
. (49)
Ïîýòîìó èç (48) è (45) èìååì
G y b y b t y t dt bk
k
k
k
k
a
( ) ( ) ( , ( )), ( ) ( (� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
1 1
0
� �
� t y t dtk
a
, ( )), ( )) .�� �
0
(50)
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6
Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó
G y b t y t dt
k k
a
2
0
2
( ) ( ( , ), ( ))�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� � . (51)
Î÷åâèäíî, ÷òî G yk ( ) ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì Ôóðüå â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè
G t y( , ( ))� â ðÿä,
G t y G y tk k
k
( , ( )) ( ) ( )� �
�
�
� �
1
, (52)
è äëÿ òîãî, ÷òîáû ðÿä (52) ñõîäèëñÿ, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñõîäèëñÿ ðÿä
( ( , ( )), ( ))b t y t dtk
a
k
���
�
�
� ��
0
2
1
. (53)
 ýòîì ñëó÷àå ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè (52) ñõîäèòñÿ è ôóíêöèÿ G t y t( , ( )) âû÷èñëÿ-
åòñÿ ïî ôîðìóëå
G t y t G y t b s y
k
k k
k
a
k( , ( )) ( ( )) ( ) ( ( , ( )),� �
�
�
�
�
� � �� �
1 1 0
� � ( )) ( )s ds tk� . (54)
×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû [9], íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü óñëîâèÿ,
ïðè êîòîðûõ ñóùåñòâóåò è îãðàíè÷åí îïåðàòîð � �G y y( , ) â ïðîñòðàíñòâå L2 . Îïå-
ðàòîð � �G y y( , ), åñëè îí ñóùåñòâóåò, ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì îïåðàòîðîì, ïîðîæ-
äàåìûì íåêîòîðîé îïåðàòîðíîé ôóíêöèåé K t s y( , , ( ))� ïðè êàæäîì t s a, [ , ]� 0 ,
äåéñòâóþùåé â H ïî ïðèíöèïó
( ( , ) ) ( , , ( )) ( )� �� ��G y z K t s y z s dsy t
a
0
, z �L2 . (55)
Ïðè ýòîì èç (54) ôîðìàëüíî ñëåäóåò
( ( , ) ) ( ( , ( )) ( ), ( )) (� �� �
�
�
� �G y z b s y z s s ds ty t
k
a
y k k
1 0
' � � ) �
� �
�
�
� � �
k
a
y k kb s y s z s ds t
1 0
( ( , ( )) ( ), ( )) ( )* � � . (56)
Ñðàâíèâàÿ (55) è (56), èìååì
K t s y z s ds b s y s z s
a
k
y k( , , ( )) ( ) ( ( , ( )) ( ), ( )*� �� �� �
�
�
0 1 0
�
a
kds t� ) ( )� . (57)
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Êîøè–Áóíÿêîâñêîãî è ôîðìóëû (54)–(57), ïîëó÷àåì
îöåíêó
( ( , , ( )) ( ), ( , , ( )) ( ))K t s y z s K t s y z s dt ds
aa
� ��� �
00
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
k
y k
a
b s y s z s ds
1 0
2
( ( , ( )) ( ), ( ))* �
� � �� ��
�
�
| ( , ( )) ( ) | | ( ) |b s y s ds z s dsy k
a a
k
� 2
0
2
01
, (58)
îòêóäà âûòåêàåò
0
2
0 0
2
aa a
y k
k
K t s y dt ds b s y s ds�� �� �� �| ( , , ( )) | | ( , ( )) ( ) |�
�
�
�
1
; (59)
è äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è îãðàíè÷åííîñòè îïåðàòîðà � �G y y( , ) äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 95
ñõîäèëñÿ ðÿä
| ( , ( )) ( ) |� � ����
�
�
b s y s dsy k
a
k
� 2
01
. (60)
 ïðîñòðàíñòâå L L H2 2 0� { }[ , ],a ââåäåì äâà îïåðàòîðà:
F G R G( , ) ( , ) ( , )*� � �� �y y yy x y
2 , (61)
C R G G R R G G R( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )* *� � � � �� �
�
� �y y y y yx y y x x y y x . (62)
Îïåðàòîðû F ( , )� y è C ( , )� y ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëüíûìè îïåðàòîðàìè â L2 , à èõ
ÿäðà F t s y( , , ) è C t s y( , , ) — îïåðàòîðíûå ôóíêöèè, êîòîðûå äåéñòâóþò â ïðîñò-
ðàíñòâå H äëÿ âñåõ t s a, [ , ]� 0 è îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé (61), (62) ñîîòâåò-
ñòâåííî ñ ó÷åòîì (55) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
F t s y K t u y R u K s y du dx
aa
( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , )� �� 2
00
, (63)
C t s y R t u K u s y du K t u y R u s dux
a
x( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , )*�
�
0 0
a
�
� � �
0 0 0
a a
x x
a
R t u K u y K y R s du d d( , ) ( , , ), ( , , ) ( , )*
. (64)
 ñèëó òîãî, ÷òî Rx ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Ãèëüáåðòà–Øìèäòà, è âñëåäñòâèå
óñëîâèé (59) è (60) îïåðàòîðû F t s y( , , ) è C t s y2 ( , , ) îãðàíè÷åíû, ïîýòîìó èìå-
þò îãðàíè÷åííûé ñëåä
F t s y dt ds
aa
Sp ( , , )
00
�� � � , y�L2 , (65)
Sp C t s y dt ds
aa
2
00
( , , )�� � � , y�L2 . (66)
Äàëåå íåîáõîäèìî ââåñòè äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå, îáåñïå÷èâàþùåå îáðàòè-
ìîñòü îòîáðàæåíèÿ �S . Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèå (32*) çàïèøåì â ïðîñòðàíñòâå H
( ) : ( ) ( , ) ( , ( )) ( )�
��S y y t B t s f s y s ds x tt
a
1
0
, (67)
ãäå B t s1 ( , ) — ÿäðî èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà B1.
Ôîðìàëüíî çàïèøåì ïðåîáðàçîâàíèå �S . Èç (67) èìååì
( ) : ( ) ( , ) ( , ( )) ( ) ( )�
� ��S z z t B t s f s y s z s ds u tt y
a
1
0
, z �L2 , (68)
èëè
( ) : ( ) ( , , ( )) ( ) ( )�
� ���S z z t M t s y z s ds u tt y
a
0
, z �L2 , (69)
ãäå ïîëîæåíî
M t s y B t s f s y s( , , ( )) ( , ) ( , ( ))� � 1 , (70)
� � ��M t s y B t s f s y sy y( , , ( )) ( , ) ( , ( ))1 . (70*)
Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äëÿ âñåõ t s a, [ , ]� 0
| ( , , ( )) |� ��M t s y cy . (71)
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6
Òîãäà èç (69) ðåêóððåíòíî èìååì
z t u t M t s y z s ds u t M t s y
a
y y( ) ( ) ( , , ( )) ( ) ( ) ( , , ( )� � � �� � �
0
) ( )u s ds
a
�
0
� �
� � � �
0 0
1 2 2 1 2
a a
y yM t s y M t s y u s ds ds( , , ( )) ( , , ( )) ( ) � (72)
Îòñþäà ñ ó÷åòîì (71) èìååì îöåíêè
|| ( ) || || ( ) || || ( ) || || ( ) ||z t u t ac u t
a c
u t�
2 2
2
�
� �
�
a c
n
u t e u t
n n
ac
!
|| ( ) || || ( ) || (73)
è
0
2 2
0
a
ac
a
z t dt e u t dt� ��|| ( ) || || ( ) || . (74)
Ýòî çíà÷èò, ÷òî
| ( ) | | ( ) |� � �
S Tz z eac1 , (75)
ò.å. âñåãäà ñóùåñòâóåò îáðàòíîå ê �S ( )z ïðåîáðàçîâàíèå �T ( )z . Â L2 , êàê ýòî
ñäåëàíî âûøå äëÿ S ( )y , ââåäåì äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ T ( )x èíòåãðàëüíûå îïåðà-
òîðû F ( , )� x è C ( , )� x ñ ÿäðàìè F t s x( , , ) è C t s x( , , ), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ
àíàëîãè÷íî ôîðìóëàì (63) è (64),
F t s x K t u x R u K s x du dx
aa
( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , )� �� 2
00
(76)
è
C t s x R t u K u s x du K t u x R u s dux
a
x( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , )*�
�
0 0
a
�
��� R t u K u x K x R s du d dx x
aaa
( , ) ( , , ), ( , , ) ( , )*
000
, (76*)
ãäå ôóíêöèè K t u x( , , ) è K t u x* ( , , ) ÿâëÿþòñÿ ÿäðàìè èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ
� �G x x( , ) è � �G x x* ( , ) .
 ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (39), óñëîâèé (53) è (60) îïåðàòîðíûå ôóíêöèè F t s y( , , )
è C t s y( , , ) ñóùåñòâóþò, îãðàíè÷åíû, à òàêæå îãðàíè÷åí èõ ñëåä
Sp F t s x dt ds
aa
( , , )
00
�� � � (77)
è
SpC t s x dt ds
aa
2
00
( , , )�� � � . (78)
Îáîçíà÷èì { }c x
k
( ) è { }~ ( )c xk ñîáñòâåííûå ÷èñëà ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîðîâ
C t s x( , , ) è C t s x( , , ) . Òîãäà, êàê èçâåñòíî èç òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ
(ñì. [46]), ïî îïðåäåëèòåëþ ïðåîáðàçîâàíèÿ è íà îñíîâàíèè ôîðìóë (77) è (78)
ñóùåñòâóþò è îãðàíè÷åíû âûðàæåíèÿ
D x c x e C t s x dt
k
k
c xk( ) ( ( )) exp ( , , )
( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
21
1
2
Sp ds
aa
00
��
�
�
!
"
#
$
, (79)
~
( ) ( ~ ( )) exp ( ,
~ ( )
D x c x e C t s
k
k
c xk�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
1
21
1
2
Sp , )x dt ds
aa
00
��
�
�
!
"
#
$
. (80)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 97
Íàêîíåö, ââåäåì îáîáùåííóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, òàê íàçûâàåìûé «áå-
ëûé øóì», è ñ åãî ïîìîùüþ ïîñòðîèì ðàñøèðåííûé ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë.
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (63), ãäå äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ âçÿò ãàóññîâñêèé ñëó÷àé-
íûé ýëåìåíò x ñ êîððåëÿöèîííûì îïåðàòîðîì Rx
2 â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå L2 .
 H ñòðîèì âèíåðîâñêèé ïðîöåññ w t( ), îïðåäåëåííûé íà èíòåðâàëå [ , ]0 a , ñî çíà÷å-
íèÿìè èç H ñîãëàñíî ìåòîäó, ïðåäëîæåííîìó â ðàáîòå [9], ñëåäóþùèì îáðàçîì:
x t R t s dw sx
a
( ) ( , ) ( )� �
0
. (81)
Òåïåðü ñ ïîìîùüþ ïðîöåññà w t( ) ñòðîèì ðàñøèðåííûå ñòîõàñòè÷åñêèå èíòåãðàëû
G t x dw t G t x t
a
k
aa
k
k
( , ( )), ( ) ( ( , ( )), ( ))� �� ����
�
�
0 001
1
�
� ( ( ), ( ))x s s dt dsk�
� ��� �
�
�
0 001
a
x
aa
k
k
kK s t x R t s dt ds( ( , , ( )) ( , ) ( ), ( )) � � d (82)
è àíàëîãè÷íî
G t x dw t G t x t
a
k
aa
k
k
( , ( )), ( ) ( ( , ( )), ( ))� �� ����
�
�
0 001
1
�
� ( ( ), ( ))x s s dt dsk�
�����
�
�
( ( , , ( )) ( , ) ( ), ( ))K s t x R t s dt dsx
aaa
k
k
k � �
0001
d , (83)
ãäå ðÿäû â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóë (82) è (83) ñõîäÿòñÿ ïî ìåðå �x èç óñëîâèé
(53) è (60).
Òàêèì îáðàçîì, èç ïðîâåäåííûõ âûøå èññëåäîâàíèé è ïîëó÷åííûõ óñëîâèé,
à òàêæå íà îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [9] äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H çàäàíû äâà ýâîëþöèîííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ: íåëèíåéíîå (4) è ëèíåéíîå (14) ñ íà÷àëüíûìè óñëî-
âèÿìè (5) è (15) ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 1–3, è, êðîìå
òîãî, íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ f t y t( , ( )) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (53), (60) è (71). Òîãäà
èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
1) ïðåîáðàçîâàíèÿ S (36) è T (37) âçàèìíî îäíîçíà÷íû, îáðàòèìû è èìåþò
åäèíñòâåííûå ðåøåíèÿ y t( ) è x t( ), êîòîðûå òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4) è (14);
2) ïðåîáðàçîâàíèå �S (68) ñóùåñòâóåò è âñåãäà îáðàòèìî, à òàêæå ñóùåñòâóåò
åãî îãðàíè÷åííîå îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå � � �
T S( ) 1;
3) âåðîÿòíîñòíûå ìåðû � y è �x , ïîðîæäåííûå ðåøåíèÿìè y t( ) è x t( ) ñîîò-
âåòñòâåííî äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4) è (14), ýêâèâàëåíòíû è èõ ïëîòíî-
ñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
�
�
�
( ) ( )
~
( )exp ( , ( )), ( ) | | (z
d
d
z D z G s z dw s G s
y
x
a
� � ��
1
2
0
, ( )) || ,z ds
a
��
�
�
!
"
#
$
2
0
(84)
~
( ) ( ) ( ) exp ( , ( )), ( ) | | (�
�
�
z
d
d
z D z G s z dw s G sx
y
a
� � ��
1
2
0
, ( )) || .z ds
a
��
�
�
!
"
#
$
2
0
.(85)
Åñëè, êðîìå òîãî, èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ñîîòíîøåíèå
Sp z� � ��� b t z dt
a
( , ( ))
0
, z L� 2 , (86)
òî, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàáîò [41, 42], çíà÷èòåëüíî óïðîùàþòñÿ ðåçóëüòàòû
òåîðåìû 1, è òîãäà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1 è óñëîâèå (86). Òîãäà èìå-
þò ìåñòî âñå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 1, à ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà âû÷èñëÿþòñÿ
ïî ôîðìóëàì
�
�
�
( ) ( ) exp ( , ( )) ( , ( )),z
d
d
z b t z dt G s z
y
x
z
a
� � � � ��
1
2
0
Sp dw s
a
( )
0
�
�
�
!
� ��� Sp K t s z R s t dt ds G s z dsx
aa
( , , ( )) ( , ) | | ( , ( )) | |
00
21
2
0
a
�
"
#
$
, (87)
~
( ) ( ) exp ( , ( )) ( , ( ))�
�
�
z
d
d
z b t z dt G s zx
y
z
a
� � � � ��
1
2
0
Sp , ( )dw s
a
0
�
�
�
!
� ��� Sp K t s z R s t dtds G s z dsx
aa
( , , ( )) ( , ) | | ( , ( )) | |
00
21
2
0
a
�
"
#
$
. (88)
Êàê âèäèì, â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû ïëîòíîñòåé Ðàäîíà–Íèêîäèìà èìåþò áî-
ëåå çàìêíóòîå âûðàæåíèå, ÷åì â (84) è (85).
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á à ê ë à í Â . Â . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Óñëîâèÿ àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòíûõ
ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ãàóññîâñêèì ñëó÷àéíûì ïðîöåññàì â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå //
ÄÀÍ ÓÑÑÐ. — 1965. — ¹ 1. — Ñ. 23–26.
2. Á à ê ë à í Â . Â . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãàóññîâñêèõ ìåð ïðè íåëèíåéíûõ
ïðåîáðàçîâàíèÿõ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå // Òàì æå. — 1965. — ¹ 9. — C. 1115–1117.
3. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Á å ë î ï î ë ü ñ ê à ÿ ß . È . Ñòîõàñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è äèôôåðåíöèàëü-
íàÿ ãåîìåòðèÿ. — Ê.: Âèùà øê., 1989. — 296 ñ.
4. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Ñ î õ à ä ç å Ã . À . Ýêâèâàëåíòíîñòü ìåð, ñäâèíóòûõ âäîëü òðàåêòîðèè
âåêòîðíîãî ïîëÿ / ÀÍ ÓÑÑÐ. Èí-ò ìàòåìàòèêè. — Ïðåïð. — Êèåâ, 1987. — 16 ñ.
5. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Ñ î õ à ä ç å Ã . À . Àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü ãëàäêèõ ìåð // Ôóíêöèî-
íàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ. — 1988 — 22, âûï. 2. — Ñ. 77–78.
6. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Ô î ì è í Ñ .  . Ìåðû è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â áåñêîíå÷íî-
ìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. — Ì.: Íàóêà, 1983. — 384 ñ.
7. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá îïòèìàëüíîì ïðîãíîçèðîâàíèè ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí, íåëèíåéíî ñâÿçàííûõ ñ ãàóññîâñêèìè // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — 1975. —
Âûï. 3. — C. 30–33.
8. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î õàðàêòåðèñòè÷åñêîì ôóíêöèîíàëå óñëîâíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ // Òàì æå. — 1976. — Âûï. 4. — C. 49–51.
9. Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ãàóññîâñêèõ ìåð
ïðè íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1976. —
Âûï. 15. — C. 139–151.
10. Ñ î õ à ä ç å Ã . À . Îá àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé 2-ãî ïîðÿäêà ñ íåîãðàíè÷åííûìè îïåðàòîðàìè // Äîêë. êîíô. ìîëîäûõ
ó÷åíûõ ïî ìàòåìàòèêå è ìåõàíèêå. — Òáèëèñè, 1976. — Ñ. 121–124.
11. Ñ î õ à ä ç å Ã . À . Àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü ìåð, ïîðîæäåííûõ ðåøåíèÿìè íåêîòîðûõ êðàå-
âûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì., 1978. — 10 ñ. — Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ 10.11.78, ¹ 2442.
12. Ñ î õ à ä ç å Ã . À . Ôîðìóëû ýêñòðàïîëÿöèè äëÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ãà-
óññîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè // Òåç. äîêë. VIII êîíô. ìàòåìàòèêîâ âóçîâ ÃÑÑÐ. — Êóòàèñè,
1979. — C. 137–139.
13. Ñ î õ à ä ç å à . À . Î ìåðàõ, ïîðîæäåííûõ ðåøåíèÿìè íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ýëëèïòè÷åñêîãî
òèïà ñ ãàóññîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — 1980. — Âûï. 8. —
C. 117–121.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 99
14. Ñ î õ à ä ç å à . À . Ýêâèâàëåíòíîñòü ìåð, ïîðîæäåííûõ ðåøåíèÿìè ñèñòåì ýëëèïòè÷åñêèõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Ðåñï. êîíô. ìîëîäûõ ó÷åíûõ è ñïåöèàëèñòîâ ïî àêòóàëüí.
ïðîáëåìàì ïðèêëàä. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè. — Òáèëèñè, 1983.— C. 156–160.
15. Ñ î õ à ä ç å à . À . Î ìåðàõ, ïîðîæäåííûõ ðåøåíèÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé çàäà÷è ñî ñëó÷àé-
íûì âîçìóùåíèåì // Òåç. äîêë. 20-é øêîëû-êîëëîêâèóìà ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàò.
ñòàòèñòèêå. — Òáèëèñè, 1986. — Ñ. 105–106.
16. Ñ î õ à ä ç å Ã . À . Àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãàóññîâñêîé ìåðû â ãèëüáåð-
òîâîì ïðîñòðàíñòâå // Èçâ. âóçîâ. Ìàòåìàòèêà. — 1987. — ¹ 4 (299). — C. 65–68.
17. Ñ î õ à ä ç å à . À . Àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü ðàñïðåäåëåíèé ðåøåíèé óðàâíåíèé ñî ñëó÷àé-
íûì øóìîì // Ñòàòèñòèêà è óïðàâëåíèå ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè. — Ì.: Íàóêà, 1989. —
C. 195–198.
18. Ñ î õ à ä ç å Ã . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè ãàóññîâñêèõ ìåð ïðè íåëèíåé-
íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1978. — 240, ¹ 4.
— C. 790–793.
19. Ñ î õ à ä ç å Ã . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Íåëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãàóññîâñêèõ ìåð â
ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — 1979. — Âûï. 7. — C. 109–114.
20. Ñ î õ à ä ç å à . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ
ïîëåé, ñâÿçàííûõ ñ ãàóññîâñêèì ïîëåì íåëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè //
Òåç. äîêë. IV êîíô. ìàòåìàòèêîâ âóçîâ ÃÑÑÐ. — Áàòóìè, 1981. — Ñ. 208.
21. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè ìåð ïðè íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ
è íåëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ â åâêëèäîâîì è ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâàõ // Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà òà ôiíàíñîâà ìàòåìàòèêà. — 2000.
— ¹ 2. — C. 105–119.
22. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Íåêîòîðûå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ,
îáåñïå÷èâàþùèå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ ãàóññîâñêèõ ìåð, èíäóöèðóåìûõ ðåøåíèÿìè äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â åâêëèäîâîì è ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâàõ // Òàì æå. — 2002. —
¹ 1. — C. 61–80.
23. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ìåðàõ, ïîðîæäåííûõ óðàâíåíèÿìè ñî ñëó÷àéíû-
ìè êîýôôèöèåíòàìè // Òàì æå. — 2002. — ¹ 2. — C. 61–80.
24. F o m i n a T . A . , S h a t a s h v i l i A . D . Some necessary and sufficient conditions of the equiva-
lence of two Gaussian measures induced by solutions of differential equations in a Euclid and Hilbert
spaces // Random Oper. and Stoch. Equ. — 2003. — 11, N 4. — Ð. 351–370.
25. S o k h a d z e G . A . , F o m i n a T . A . , S h a t a s h v i l i A . D . On measures generated by equa-
tions with random coefficients // Random Oper. and Stoch. Equ. — 2003. — 11, N 3. —
Ð. 267–274.
26. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïðåîáðàçîâàíèè ãàóññîâñêèõ ìåð ïðè ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ //
ÄÀÍ ÓÑÑÐ. — 1963. — ¹ 4. — C. 437–440.
27. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîíòèíóàëüíûõ èíòåãðàëîâ ïî
ãàóññîâñêèì ìåðàì // Òàì æå. — 1963. — ¹ 6. — C. 717–719.
28. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ãàóññîâñêèì
ïðîöåññàì ïðè ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè // Òð. Âû÷. öåíòðà ÀÍ ÃÑÑÐ. — 1963. — ¹ 3. —
C. 241–248.
29. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Íåêîòîðûå íåëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîíòèíóàëüíûõ èíòåãðàëîâ ïî
ãàóññîâñêèì ìåðàì // Òåç. äîêä. VII âñåñîþç. ñîâåùàíèÿ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàò.
ñòàòèñòèêå. — Òáèëèñè, 1963. — Ñ. 92–94.
30. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá îäíîì êëàññå àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ íåëèíåéíûõ ïðåîáðà-
çîâàíèé ãàóññîâñêèõ ìåð // Òð. Âû÷. öåíòðà ÀÍ ÃÑÑÐ. — 1965. — 5, ¹ 1. — C. 69–105.
31. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü ãàóññîâñêèõ ìåð â íåêîòîðûõ
ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ // Ñîîáù. ÀÍ ÃÑÑÐ. — 1966. — 11, ¹ 2. — C. 277–284.
32. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïëîòíîñòÿõ ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íàõîäÿùèõñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ // Òð. Âû÷.
öåíòðà ÀÍ ÃÑÑÐ. — 1966. — 7, ¹ 1. — C. 43–58.
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6
33. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Óñëîâèÿ àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì
ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íàõîäÿùèõñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ
// Ìàò. ôèçèêà. — 1967. — ¹ 4. — C. 198–199.
34. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá îïòèìàëüíîì ïðîãíîçèðîâàíèè äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1970. — Âûï. 1. — C. 222–239.
35. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Íåëèíåéíàÿ ôèëüòðàöèÿ äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Êèáåðíåòèêà. — 1970. — ¹ 3. — C. 97–102.
36. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ìíîãîìåðíîì îïòèìàëüíîì ïðîãíîçèðîâàíèè è ôèëüòðàöèè îäíîãî
êëàññà ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ // Ìàò. ôèçèêà. — 1970. — ¹ 7. — C. 178–185.
37. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îïòèìàëüíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ è ôèëüòðàöèÿ äëÿ îäíîãî êëàññà ñëó÷àé-
íûõ ïðîöåññîâ. I // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1970. — Âûï. 2. — C. 235–253.
38. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îïòèìàëüíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ è ôèëüòðàöèÿ äëÿ îäíîãî êëàññà ñëó÷àé-
íûõ ïðîöåññîâ. II // Òàì æå. —1970. — Âûï. 3. — Ñ. 211–231.
39. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Ïðîãíîç è ôèëüòðàöèÿ ôóíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèé íåëèíåéíûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1970. — 194, ¹ 1.
— Ñ. 35–37.
40. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïëîòíîñòÿõ ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì íåêîòîðûõ äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè // Òàì æå. — 1970. — 194, ¹ 2. —
Ñ. 275–277.
41. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïðåîáðàçîâàíèè ìåð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïîìîùüþ ëè-
íåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — 1973. — Âûï. 2.
— Ñ. 113–120.
42. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïðåîáðàçîâàíèÿõ ãàóññîâñêîé ìåðû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå,
ïîðîæäåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè // Òàì æå. — 1973. — Âûï. 2. — Ñ. 120–128.
43. Á å ð å ç à í ñ ê è é Þ . Ì . Ðàçëîæåíèå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòî-
ðîâ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1965. — 799 ñ.
44. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè âåðîÿòíîñòíûõ ìåð èíäóöè-
ðóåìûõ ðåøåíèÿìè íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå,
âîçìóùåííûõ ñëó÷àéíûìè ãàóññîâñêèìè ïîëÿìè // Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà òà
ô³íàíñîâà ìàòåìàòèêà. – 2007. — ¹ 1. — C. 106–124.
45. Ê ð å é í C . Ã . Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. —
Ì.: Íàóêà, 1967. — 464 ñ.
46. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ò. 1. — Ì.: Íàóêà, 1971.
— 664 ñ.
47. D i n g X . On global random solutions for random integral and differential equations in Banach
spaces // Zbornik Radova Universiteta. — 1984. — N 2 (14). — P. 101–109.
48. K r o v a r i t i s . Nonlinear random equations with nonconvergive operators in Banach spaces //
J. Math. Analysis and Applications. — 1986. — N 120. — P. 572–583.
49. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . , Ô î ì è í Ñ . Â . Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíà-
ëèçà. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1968. — 544 ñ.
Ïîñòóïèëà 10.03.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 6 101
|