Метод конечных элементов и теория графов
Предлагается в методе конечных элементов представлять конечные элементы и граничные условия в виде эквивалентных схем замещения, состоящих из двухполюсных компонент, а топологию расчетной схемы дискретной модели объекта – в виде графа с целью применения метода корректного формирования уравнений на с...
Saved in:
| Published in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84277 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод конечных элементов и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. — 2013. — № 4. — С. 114-125. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860254906069286912 |
|---|---|
| author | Волобоев, В.П. Клименко, В.П. |
| author_facet | Волобоев, В.П. Клименко, В.П. |
| citation_txt | Метод конечных элементов и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. — 2013. — № 4. — С. 114-125. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | Предлагается в методе конечных элементов представлять конечные элементы и граничные условия в виде эквивалентных схем замещения, состоящих из двухполюсных компонент, а топологию расчетной схемы дискретной модели объекта – в виде графа с целью применения метода корректного формирования уравнений на сетке конечных элементов. Предложена методика построения эквивалентных схем замещения по описаниям конечных элементов и граничных условий. Приведен пример построения графа дискретной модели объекта по описанию конечных элементов и граничных условий.
Пропонується у методі кінцевих елементів представляти кінцеві елементи і граничні умови у вигляді еквівалентних схем заміщення, які складаються із двополюсних компонент, а топологію розрахункової схеми дискретної моделі об’єкта – у вигляді графа з метою застосування методу коректного формування рівнянь на сітці кінцевих елементів. Запропоновано методику побудови еквівалентних схем заміщення за описами кінцевих елементів і граничних умов. Наведено приклад побудови графа дискретної моделі об'єкта за описами кінцевих елементів і граничних умов.
It is offered in the finite element method to represent finite elements and boundary conditions in the form of the equivalent circuits consisting of two-terminal components and topology of the settlement scheme of discrete model of object to be represented graphically for the application of a method of correct equations formation on a finite element mesh. The technique of construction of equivalent circuits under descriptions of final elements and boundary conditions is offered. The example of construction of the graph of discrete model of object under the description of finite elements and boundary conditions is suggested.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:48:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
114 © Волобоев В.П., Клименко В.П., 2013
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4
МОДЕЛЮВАННЯ І УПРАВЛІННЯ
УДК 519.63:519.17
В.П. ВОЛОБОЕВ*, В.П. КЛИМЕНКО
*
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ТЕОРИЯ ГРАФОВ
*
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина
Анотація. Пропонується у методі кінцевих елементів представляти кінцеві елементи і граничні
умови у вигляді еквівалентних схем заміщення, які складаються із двополюсних компонент, а то-
пологію розрахункової схеми дискретної моделі об’єкта – у вигляді графа з метою застосування
методу коректного формування рівнянь на сітці кінцевих елементів. Запропоновано методику по-
будови еквівалентних схем заміщення за описами кінцевих елементів і граничних умов. Наведено
приклад побудови графа дискретної моделі об'єкта за описами кінцевих елементів і граничних
умов.
Ключові слова: рівняння математичної фізики, метод кінцевих елементів, погана обумовленість,
кінцевий елемент, еквівалентна схема заміщення, двополюсний компонент, граф дискретної моде-
лі фізичного об'єкта, коректне формулювання математичної моделі.
Аннотация. Предлагается в методе конечных элементов представлять конечные элементы и
граничные условия в виде эквивалентных схем замещения, состоящих из двухполюсных компонент,
а топологию расчетной схемы дискретной модели объекта – в виде графа с целью применения
метода корректного формирования уравнений на сетке конечных элементов. Предложена мето-
дика построения эквивалентных схем замещения по описаниям конечных элементов и граничных
условий. Приведен пример построения графа дискретной модели объекта по описанию конечных
элементов и граничных условий.
Ключевые слова: уравнения математической физики, метод конечных элементов, конечный эле-
мент, эквивалентная схема замещения, двухполюсный компонент, граф дискретной модели физи-
ческого объекта, корректная формулировка математической модели.
Abstract. It is offered in the finite element method to represent finite elements and boundary conditions in
the form of the equivalent circuits consisting of two-terminal components and topology of the settlement
scheme of discrete model of object to be represented graphically for the application of a method of correct
equations formation on a finite element mesh. The technique of construction of equivalent circuits under
descriptions of final elements and boundary conditions is offered. The example of construction of the
graph of discrete model of object under the description of finite elements and boundary conditions is sug-
gested.
Keywords: the equations of mathematical physics, finite element method, the finite element, an equivalent
circuit, a two-terminal component, the graph of discrete model of physical object, the correct formulation
mathematical models.
1. Введение
Метод конечных элементов (МКЭ) – численный метод решения дифференциальных урав-
нений в частных производных, известных как уравнения математической физики (УМФ).
В отличие от остальных численных методов, основывающихся на математической дискре-
тизации УМФ, МКЭ базируется на физической дискретизации объекта. В дальнейшем бу-
дут рассматриваться только линейные УМФ. Численное решение УМФ методом МКЭ сво-
дится к процессу, состоящему из набора следующих важнейших шагов [1]: дискретизация
сплошной среды, выбор интерполяционных функций и вычисление характеристик элемен-
тов, формирование уравнений для сетки конечных элементов, решение системы уравне-
ний, расчет нужных воздействий.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 115
На этапе дискретизации объект, рассматриваемый как сплошная среда с бесконечно
многими степенями свободы, заменяется дискретной моделью связанных между собой ко-
нечных элементов с конечным числом степеней свободы. Способ дискретизации объекта,
выбор вида конечных элементов и общего числа элементов зависят как от природы решае-
мой задачи, так и от необходимой точности требуемого решения.
Наряду с числом и видом элементов важен выбор узлов, неизвестных в них, и ин-
терполяционных функций, так как основная задача на шаге выбора интерполяционных
функций заключается в том, чтобы выбрать те модели конечных элементов, которые луч-
ше всего аппроксимируют УМФ. Характеристики отдельных элементов определяются не-
зависимо от сетки элементов, как единого целого. В результате выполнения перечислен-
ных этапов определяются характеристики конечных элементов и строится дискретная фи-
зическая модель объекта.
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), описывающая дискретную
модель, получается в результате формирования уравнений для сетки конечных элементов.
Для анализа и расчета СЛАУ действительны все принципы и способы, действующие в
классической дискретной математике. Основная задача при выборе метода решения СЛАУ
есть обеспечение необходимой точности решения.
Принято считать, что априорная оценка сверху, то есть наихудшая оценка возмож-
ных ошибок решения СЛАУ, характеризуется числом обусловленности [2], которое опре-
деляется как отношение максимального собственного значения матрицы СЛАУ к мини-
мальному. Под плохо обусловленной (неустойчивой) или в более общей формулировке –
некорректно поставленной задачей имеется в виду следующее [3]: если фиксированы уро-
вень ошибок входных данных и точность вычислений, то всегда найдутся системы с на-
столько большими значениями чисел обусловленности, что для них нельзя гарантировать в
решении никакой точности.
Разработаны различные инструменты для «улучшения» обусловленности матрицы:
метод регуляризации [4], предобусловливание [5], метод псевдообратной матрицы [6], ме-
тод главных компонент [7] и др. Следует заметить, что в работе [2] приведены примеры
матриц, для которых потеря точности при решении СЛАУ невелика, а величина числа обу-
словленности огромна. Это означает, что существующий критерий оценки точности реше-
ния СЛАУ по числу обусловленности есть необходимый, но недостаточный. Авторы пред-
ложили новый критерий количественного определения фактической потери знаков в рас-
чётах СЛАУ, но, к сожалению, в работе не исследовались факторы, от которых в действи-
тельности зависит точность решения плохо обусловленной СЛАУ.
Как следует из литературы [3], все трудности решения неустойчивых СЛАУ связа-
ны, по существу, лишь с трудностями решения систем неполного ранга либо очень близ-
ких к таковым в условиях возмущения входных данных и влияния ошибок округления. В
работах [8–12] предложен совершенно новый подход к решению некорректно поставлен-
ной задачи. Он заключается в том, что вместо "улучшения" обусловленности матрицы на
этапе решения предлагается корректно формулировать задачу, то есть формировать
СЛАУ, описывающую дискретный объект таким образом, чтобы потеря точности при ре-
шении была невелика даже при большой величине числа обусловленности, то есть стре-
миться составить СЛАУ полного ранга. Метод корректной постановки задачи рассмотрен
применительно к задачам моделирования поведения электрических цепей [8], энергосис-
тем [9] и стержневых систем механики [12]. Суть предлагаемого метода заключается в том,
что при составлении СЛАУ, описывающей дискретную модель физического объекта, учи-
тывается требование, которому должны удовлетворять элементы невырожденной матри-
цы. Это требование в виде леммы сформулировано в [3].
Представляется интересным рассмотреть применимость этого метода к формирова-
нию уравнений для сетки конечных элементов.
116 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4
2. Корректная формулировка СЛАУ для сетки конечных элементов
Как следует из [8–12], расчетная схема дискретной модели объекта должна быть представ-
лена в виде связанного графа, элементы которого удовлетворяют следующим требованиям.
Граф содержит только двухполюсные компоненты. Ребра графа отображают двухполюс-
ные компоненты дискретного объекта, а узлы – соединение компонент. Функциональные
зависимости компонент описывают связь воздействия, приложенного к компоненте, к по-
току, протекающему через компоненту. При составлении уравнений используется понятие
тип компоненты, который определяется в зависимости от вида функциональной зависимо-
сти [10]. В качестве переменных при составлении уравнений выбираются воздействия,
приложенные к компонентам дерева графа. Требование, которому должны удовлетворять
элементы невырожденной матрицы, учитывается на этапе построения дерева графа, путем
учета типа компонент и параметров функциональных зависимостей компонент. Для записи
основной системы уравнений в матричном виде применяются матрицы контуров и сечений
графа. В результате выполнения перечисленных операций формируется невырожденная
система уравнений, описывающих дискретный объект.
В МКЭ сплошной объект заменяется дискретной моделью связанных между собой
конечных элементов [13]. Для этого в рассматриваемой области объекта фиксируется ко-
нечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами. Счита-
ется, что значение непрерывной переменной в каждой узловой точке, отсчитываемое от
базисного узла, должно быть определено. Область определения непрерывной величины
разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Конеч-
ные элементы соединяются между собой в конечном числе узловых точек, которые нахо-
дятся на контуре конечного элемента и в совокупности аппроксимируют форму области.
Для описания формы области, состоящей из конечных элементов, применяется матрица
соединений. После выполнения этапов дискретизации, выбора интерполяционных функ-
ций вычисленные характеристики конечных элементов имеют следующий вид:
n
i
nnnin
iniii
ni
n
i
aaa
aaa
aaa
f
f
f
ϕ
ϕ
ϕ
.
.
..
.....
..
.....
..
.
.
1
1
1
11111
= , (1)
где iϕ – переменная, описывающая воздействие, отсчитываемое от базисного узла и при-
ложенное к i -ому узлу, if – функция, описывающая поток, протекающий через i -ый узел,
n – количество узлов в конечном элементе.
При формировании уравнений для сетки конечных элементов используются харак-
теристики конечных элементов дискретной модели и матрица соединений. Полученная
система уравнений является вырожденной, поскольку при формировании уравнений часть
уравнений оказывается взаимно зависимой из-за граничных условий. Корректировка этой
системы уравнений приводит к невырожденной СЛАУ.
Как следует из вышерассмотренного, отличие формирования уравнений для сетки
конечных элементов от метода корректной подготовки задачи заключается в том, что в ка-
честве элементов расчетной схемы выступают конечные элементы (многополюсники), а не
двухполюсники, учёт граничных условий выполняется после формирования уравнений для
сетки конечных элементов и не учитываются особенности конкретного физического объ-
екта.
Для успешной реализации метода корректной постановки задачи формирования
СЛАУ, описывающей дискретную модель УМФ, необходимо расчетную схему дискретной
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 117
iϕif
i
kϕ kf
k
jϕ jf
j
k
kϕ
0kI
kf
0
jfj
jϕ
0jI
0
а б
Рис. 1. Конечный элемент, содержащий три узла и его
граф: а) трехполюсный конечный элемент,
б) граф конечного элемента
модели представить в виде графа, в котором конечные элементы, описываемые уравнени-
ем (1), и граничные условия представлены в виде эквивалентных схем замещения, содер-
жащих только двухполюсные компоненты.
2.1. Эквивалентные схемы замещения элементов МКЭ
Ниже будет рассмотрено построение эквивалентных схем замещения конечных элементов
и граничных условий. При построении эквивалентных схем, состоящих из двухполюсных
компонент, необходимо учитывать, что корректность составленной СЛАУ достигается за
счет целенаправленного выбора переменных на этапе составления дерева графа дискрет-
ной модели. Это означает, что, чтобы обеспечить целенаправленный выбор переменных,
граф эквивалентной схемы должен быть полносвязный или же приближаться к этому. В
общем случае не существует формализованной методики построения эквивалентных схем
замещения конечных элементов, состоящих из двухполюсных компонент, удовлетворяю-
щих этому требованию. Но практически всегда можно построить просто эквивалентную
схему замещения конечного элемента и преобразовать её к требуемому виду. Механизм
преобразования схем достаточно полно описан в литературе [14]. Далее будет рассмотрено
построение эквивалентной схемы трехполюсного элемента и граничных условий. Для ко-
нечного элемента с другим количеством полюсов эквивалентная схема строится аналогич-
ным образом.
2.1.1. Эквивалентная схема замещения конечного элемента, содержащего три узла
Для конечного элемента, содержащего три узла, система уравнений (1) приобретает сле-
дующий вид:
k
j
i
kkkjki
jkjjji
ikijii
k
j
i
aaa
aaa
aaa
f
f
f
ϕ
ϕ
ϕ
= , (2)
где kji ,, – узлы конечного элемента. На рис. 1а приведено условное обозначение типич-
ного треугольного элемента, узлы kji ,, которого пронумерованы в направлении против
часовой стрелки. Уравнение (2) не трудно представить в виде эквивалентной схемы заме-
щения конечного элемента
(рис. 1б). На рис. 1б используются
следующие обозначения: 000 kji ,I,II
– потоки, протекающие через ком-
поненты, kji ϕϕϕ ,, – воздействия,
приложенные к компонентам,
kji fff ,, – внешние потоки, вте-
кающие в kji ,, узлы, 0 – базисный
узел. Функциональные зависимо-
сти компонент имеют следующий
вид:
kikjijiiii aaaI ϕϕϕ ++=0 ,
kjkjjjijij aaaI ϕϕϕ ++=0 , (3)
kkkjkjikik aaaI ϕϕϕ ++=0 .
118 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4
lm γϕ
if
iϕ
lmf γ
lmf γ
lm γϕ
lmJ γ
iJ
lmf γϕ
а б в г
Рис. 2. Условные обозначения типов компонент: а)
функциональная компонента, б) источник воздействия
lm γϕ , в) источник потока
lmf γ , г) эквивалентная схема
граничного условия Родена (уравнение (12))
ikϕ
ijϕ
jkϕikI
jkI
ijI
jf
j
jϕ
jI
if
i
iϕ
iI
kf
kϕ
kI
0
k
0
0
Рис. 3. Эквивалентная схема
конечного элемента в виде
связанного графа
Как следует из уравнений
(3), компоненты относятся к типу
функциональных. Условное обо-
значение компоненты приведено
на рис. 2а. Граф конечного эле-
мента – несвязный.
Если построить граф дис-
кретной модели, используя дан-
ную эквивалентную схему, то
окажется, что выбор дерева в
графе будет однозначный, то есть
эквивалентная схема не удовле-
творяет требованиям метода. Её не трудно преобразовать к следующему виду (рис. 3).
Функциональные зависимости компонент (рис. 3) приведены в (4). Как следует из (4),
компоненты – функциональные.
,ijijijiijij a)a(aI ϕϕ −−=,ikijiiii )aa(aI ϕ++= ,jiijгде ϕϕϕ −=
,jkjjjijj )aa(aI ϕ++= ,ikikikiikik a)a(aI ϕϕ −−= ,kiikгде ϕϕϕ −=
(4)
,jkjkjkjjkjk a)-a(aI ϕϕ −=,kkkjkikk )aa(aI ϕ++= .kjjkгде ϕϕϕ −=
Как видно из рис. 3, все узлы графа связаны
ребрами, то есть граф есть полносвязный и в нём
можно различным способом выбрать дерево графа.
Таким образом, эквивалентная схема замещения
(рис. 3) удовлетворяет требованиям метода коррект-
ной формулировки задачи, приведенного в статьях
[8, 10, 11].
2.1.2. Эквивалентные схемы замещения гранич-
ных условий
Обычно граничные условия в УМФ представлены в
виде математических выражений. При построении
дискретной модели УМФ в виде графа, содержащего
только двухполюсные компоненты, граничные усло-
вия также необходимо представить в виде эквива-
лентных схем замещения. Из всего многообразия
УМФ ограничимся рассмотрением граничных условий для стационарного УМФ 2-го по-
рядка типа
0),,( =zzyyxxF ϕϕϕ . (5)
Для уравнения (5) известны три основные типы граничных условий [15].
1) Краевая задача с граничными условиями первого рода (задача Дирихле). Требу-
ется найти решение уравнения (5) в некоторой области пространства, которое принимает
на участке границы lγ значение воздействия, описываемого функцией )( llg γ , то есть
)( lg
l
γϕ γ = , lnl ≤≤1 , (6)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 119
где ln – количество участков границы, )( lg γ – функция, описывающая воздействие, при-
ложенное к участку границы. После дискретизации области функциональная зависимость
будет иметь следующий вид:
llmm mmg
l
≤≤= 1,))(γϕ γ , (7)
где lm – количество точек, расположенных на l -ом участке границы. Функциональная за-
висимость (7) описывает поведение компоненты типа источник воздействия (рис.2б), при-
соединённой одним концом к точке m участка границы l , а другим – к базисной точке.
Отличительной особенностью источника воздействия есть то, что величина потока, проте-
кающего через компоненту, определяется внешними условиями.
2) Краевая задача с граничными условиями второго рода (задача Неймана). Требу-
ется найти решение уравнения (5) в некоторой области пространства, когда внешняя нор-
мальная производная
lγ
ϕ
n∂
∂
на участке границы lγ пропорциональна втекающему потоку
lf , то есть
)(
n lll gf
l
γϕ
γ =
∂
∂= , lnl ≤≤1 , (8)
где )( llg γ – функция, описывающая величину потока lf , протекающего через l -ый уча-
сток границы. Задача Неймана (для уравнения Лапласа) имеет смысл только в том случае,
когда полный поток, протекающий через все участки границы, равен 0. Математически это
значит, что для потока, проходящего через все участки границы ∑ , должно выполняться
соотношение
0
n
=
∑
∂
∂
∫
ϕ
. (9)
В противном случае задача не будет иметь решения. Физически это означает, что
поток, проходящий через границу, должен протекать через реальный объект.
После дискретизации области граничные условия (8) приобретают следующий вид:
)( lmlm gf
l
γγ = , lmm ≤≤1 . (10)
Функциональная зависимость (10) описывает поведение компоненты типа источник
потока (рис. 2в), присоединённой одним концом к точке lmγ , а другим – к базисной точке.
Отличительной особенностью источника потока есть то, что величина воздействия, при-
ложенного к компоненте, определяется внешними условиями.
3) Краевая задача с граничным условием третьего рода (задача Робена). Требуется
найти такое решение уравнения в некоторой области пространства, которое удовлетворяет
на границе iγ условию вида
))()((h
n llll gf
ll
γγϕϕ
γγ −−=
∂
∂= , lnl ≤≤1 , (11)
где h – заданная константа, а lg – заданная функция, которая меняется вдоль границы.
Уравнение (11) можно интерпретировать следующим образом. Поток, втекающий в об-
ласть через границу lγ , пропорционален разности между воздействием lϕ , приложенным
к границе, и некоторой заданной величиной lg .
После дискретизации области граничное условие (11) приобретает следующий вид:
120 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4
))()((h
n lmllml
m
m gf
ll
γγϕϕ
γγ −−=
∂
∂= lmm ≤≤1 . (12)
Уравнению (12) соответствует эквивалентная схема замещения, приведенная на рис.
2г. Направления потоков, протекающих через компоненты, учитывают знаки элементов
уравнения (12). Функциональные зависимости компонент имеют следующий вид:
)( lmlm hgJ
l
γγ = , (13)
)( lmlm hy
l
γϕγϕ = , (14)
Функциональной зависимости (13) соответствует компонента типа источник потока, а (14)
– типа функциональная.
Ниже будет рассмотрен пример построения дискретной модели для МКЭ, удовле-
творяющей требования метода корректного формирования СЛАУ для сетки конечных
элементов.
3. Пример построения графа дискретной модели объекта
Метод довольно подробно описан в работах [8, 10, 11]. В данной работе будет рассмотрено
построение графа дискретной модели реального объекта на конкретном примере. Суть ме-
тода построения графа дискретной модели заключается в том, что по известным уравнени-
ям характеристик конечных элементов и граничных условий строятся их эквивалентные
схемы замещения. На следующем шаге составляется граф модели реального объекта путем
замены конечных элементов и граничных условий их эквивалентными схемами. Для фор-
мирования уравнений на сетке конечных элементов, представленной в виде графа, приме-
няется метод корректного составления уравнений, предложенный в [8].
В качестве примера выбрана задача Адамара [16]. На примере этой задачи Адамар
первым поднял вопрос о корректной постановке задачи расчета УМФ. Следует заметить,
что если Адамар решал эту задачу аналитически, то в данной работе будет рассмотрено
построение дискретной физической модели задачи в виде графа и проведена оценка её фи-
зической реализуемости. Задача Адамара представляет собой классическое двумерное
уравнение потенциала
,0
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂
yx
ϕϕ
(15)
в полуполосе
0≻y ;
22
ππ ≤≤− x , (16)
удовлетворяющее условиям
0
22
==
=−= ππ ϕϕ
xx
, (17)
00 ==yϕ , )cos(
y 0 nxe n
y
−
= =
∂
∂ϕ
, (18)
где n – нечетное число. Решение при любом y , отличном от нуля, имеет вид косинусоиды
со сколь угодно большой амплитудой, то есть задача физически нереализуема.
При построении дискретной модели МКЭ в виде графа в качестве прототипа ис-
пользовалось решение задачи, рассмотренной в [13]. Её отличие от задачи Адамара заклю-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 121
чается в том, что уравнение (15) рассматривается в ограниченной области, а сама область
разбита на треугольные конечные элементы. Так же, как в [13], исходная задача будет рас-
сматриваться в ограниченной двумерной области:
,1x1- ≤≤ 2y0 ≤≤ , (19)
с граничным условием (17), принимающим следующий вид:
011 == =−= xx ϕϕ . (20)
Далее таким же образом, как в [13], разбивается двумерная область на треугольные
конечные элементы и нумеруются узлы конечных элементов (рис. 4). На рис. 4 стрелками
указаны направления нумерации узлов конечных элементов. Как следует из [13], характе-
ристика треугольного конечного элемента после выполнения этапов дискретизации
сплошной среды, выбора интерполяционных функций и вычисления характеристик конеч-
ных элементов имеет следующий вид:
k
j
i
k
j
i
f
f
f
ϕ
ϕ
ϕ
110
121
011
2
1
−
−−
−
= . (21)
Для треугольного конечного элемента, описываемого уравнением (21), эквивалент-
ная схема, приведенная на рис. 3, приобретает вид, показанный на рис. 5. Функциональные
зависимости компонент, связывающие потоки, протекающие через компоненты, с воздей-
ствием, приложенным к компонентам, имеют следующий вид:
1 ,2
1 .2
ij ij
jk jk
I
I
= φ
= φ
(22)
На следующем шаге строится граф двумерной области. Для этого в двумерной об-
ласти (рис. 4) конечные элементы заменяются их эквивалентными схемами. При этом учи-
тывается направление нумерации узлов конечных элементов. Граф двумерной области
приведен на рис. 6. На рис. 6 двойной линией показано параллельное соединение компо-
нент.
if
i
kf
k
jf
j
jkI
ijI
ijϕ
jkϕ
7 5 9
4
6
3
8
21
Рис. 4. Двумерная область,
разбитая на треугольные
конечные элементы
Рис. 5. Эквивалентная схема
конечного элемента,
описываемого уравнением (21)
Рис. 6. Граф двумерной
области, приведенной
на рис. 4
Не трудно убедиться, применив метод формирования уравнений [13] к графу (рис.
6), что полученная матрица коэффициентов системы уравнений (23) совпадает с приведен-
ной в [13].
122 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4
8I
6I
6ϕ
8ϕ
1y
1I
1y 2I
2ϕ4I
4ϕ
9I
9ϕ7I
7ϕ 5I
5ϕ
Рис. 7. Дискретная модель моди-
фицированной задачи Адамара
7
6
5
4
3
2
1
2011000
0200110
1030002
1003002
0100302
0100032
0022228
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−−−
. (23)
На следующем шаге определяются типы компонент, входящих в эквивалентные
схемы замещения граничных условий. Граничному условию, описываемому функцией
(20), соответствуют компоненты типа источника воздействия (рис. 2б), присоединенные
одним концом к узлам, расположенным по границам области, где -1x = и 1x = , то есть к
узлам 7, 4, 8 и 9, 2, 6, а другим – к общему узлу 0. Граничное условие, описываемое функ-
циями (18), можно представить компонентами, присоединенными к узлам, расположенным
по границе области 0y = , то есть к узлам 7, 5, 9. Компоненту, описываемую функцио-
нальной зависимостью (18), можно рассматривать как источник воздействия 00 ==yϕ , че-
рез который протекает поток )cos(
y 0 nxe n
y
−
= =
∂
∂ϕ
. Следует заметить, что данное гранич-
ное условие не соответствует ни одному из основных типов граничных условий, так как в
данном случае в граничном условии задается в качестве известных параметров как внеш-
нее воздействие, так и поток, протекающий через компоненту. Одновременно могут быть
известны величина воздействия, приложенного к компоненте, и поток, протекающий через
компоненту, только в результате численного расчета СЛАУ. Или же решение сформиро-
ванных уравнений при таком граничном условии возможно только при одном определен-
ном значении параметров дискретной модели объекта.
Таким образом, можно сделать следующий вывод: Адамар рассматривал задачу, у
которой некорректно задано граничное условие (18), то есть физически нереализуемую.
Следует отметить, что в отличие от общепринятого метода формирования уравнений для
сетки конечных элементов, когда только после составления СЛАУ начинают приводить
систему к корректному виду, при предложенном подходе контроль корректности поста-
новки задачи выполняется как на этапе построения графа модели, так и при составлении
СЛАУ.
4. Обсуждение полученных результатов
Рассмотрим более подробно граф дискретной модели ре-
ального объекта анализируемого примера при условии,
что второе выражение в уравнениях (18) не учитывается,
то есть будет рассматриваться физически реализуемый
объект. Граф строится заменой граничных условий и ко-
нечных элементов объекта (рис. 4) эквивалентными схе-
мами (рис. 1, 2). После соответствующих преобразова-
ний граф дискретной модели приобретает вид, показан-
ный на рис. 7.
Прежде всего, следует отметить то, что граф со-
стоит из отдельных элементов, связанных между собой
одним общим узлом. Отдельные элементы графа пред-
ставляют собой замкнутые контуры (циклы), состоящие
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 123
из двухполюсных компонент, в которых циркулируют потоки. Как известно [17], любая
циркуляция потока рассматривается как вихревое образование. Это означает, что дискрет-
ную модель физического объекта можно рассматривать как набор взаимодействующих
между собой энергетических вихрей, расположенных между узлами конечных элементов
объекта и базовым узлом. Представляет интерес сравнить с аналогами подобного объясне-
ния функционирование объектов, описываемых УМФ.
Так, по распространённым в XVIII — начале XIX века воззрениям причиной тепло-
вых явлений был теплород — невесомый флюид, присутствующий в каждом теле [19]. В
1783 году введен в Лавуазье. Гипотеза теплорода была отвергнута в результате испытаний,
что послужило опорой для принятия молекулярно-кинетической теории в середине XIX
века.
Джеймс Клерк Максвелл предложил модель физической среды, в которой в качест-
ве основного элемента рассматривался «молекулярный вихрь» и на ее основе получил
уравнения электромагнитного поля [19]. Следует заметить, что граф дискретной модели
физического объекта (рис. 7) подобен модели физической среды, предложенной Максвел-
лом.
В начале XX века Вальтер Ритц – швейцарский физик-теоретик и математик – вы-
двинул гипотезу о том, что любой источник, например, электрически заряженная частица
или электрон, постоянно испускает во всех направлениях мельчайшие частицы, обладаю-
щие одной и той же равномерной скоростью относительно заряда [19]. Основываясь на
взаимосвязи между электроном и частицами света, Ритц сформулировал “закон элемен-
тарных воздействий”, объясняющий появление силы между электрическими зарядами.
Следует заметить, что в конце XX века к применению данного метода при решении физи-
ческих задач вернулись некоторые исследователи [20], несмотря на нерешенные вопросы,
связанные с излучением мельчайших частиц объектом.
Отличие предлагаемой в данной работе интерпретации передачи тепла или электро-
статического взаимодействия в объектах, описываемых УМФ, заключается в том, что пе-
ренос тепла или электростатическое взаимодействие осуществляется при помощи обмена
энергией между энергетическими вихрями. Эти вихри возникают в объекте только в мо-
мент передачи тепла или электростатического взаимодействия. На первый взгляд, создает-
ся впечатление, что предложенный подход снимает недостатки, присущие методу Ритца,
заменой взаимодействия при помощи флюидов или мельчайших частиц между заряжен-
ными частицами на взаимодействие через энергетические вихри. Этот вопрос требует от-
дельного детального исследования.
Хмельник С.И. в работе [21] предложил свою гипотезу объяснения эффекта Брауна-
Бифельда, заключающегося в том, что электрически заряженный конденсатор теряет вес.
Исследуя задачу распределения электростатического потенциала заряженного конденсато-
ра, он получил аналитическое решение распределения электростатического поля в объеме
заряженного конденсатора, из которого следует, что в объеме конденсатора создается так
называемое гармоническое статическое электрическое поле, то есть волновое изменение
напряженности этого поля. Более подробной информации автор не приводит. Из приве-
денных материалов следует, что вопрос, связанный с применением вихрей для объяснения
функционирования дискретной модели, требует отдельного исследования.
5. Заключение
Предложен новый подход к решению плохо обусловленных систем алгебраических урав-
нений, возникающих при решении УМФ методом конечных элементов. В отличие от об-
щепринятого подхода к решению данной задачи, заключающегося в том, что привлекают-
ся все принципы и способы, действующие в классической дискретной математике, предла-
гается на этапе формирования уравнений на сетке конечных элементов их корректно со-
124 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4
ставлять. Для этого топология расчетной схемы УМФ представляется в виде графа, со-
стоящего из двухполюсных компонент. Разработана методика представления многополюс-
ных конечных элементов и граничных условий в виде эквивалентных схем замещения, со-
стоящих из двухполюсных компонент, функциональные зависимости которых описывают
связь между воздействием, приложенным к компоненте, и потоком, протекающим через
компоненту. Полученная в виде графа дискретная модель полностью удовлетворяет требо-
ваниям метода корректного составления уравнений, предложенного в [8, 10, 11].
Приведенный пример составления графа задачи Адамара показал, что дискретная
модель объекта проверяется на физическую реализуемость уже на этапе составления мо-
дели в виде графа, чего не обеспечивает существующий метод формирования уравнений
для сетки конечных элементов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Секулович М. Метод конечных элементов / Секулович М.; пер. с серб. Ю.Н. Зуева; под ред.
В.Ш. Барбакадзе. – М.: Стройиздат, 1993. – 664 с.
2. Калиткин Н. Н. Количественный критерий обусловленности систем линейных алгебраических
уравнений / Н.Н. Калиткин, Л.Ф. Юхно, Л.В. Кузьмина // Математическое моделирование. – 2011.
Т. 23, № 2. – С. 3 – 26
3. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / Воеводин В.В. – М.: Наука, 1977. –
304 с.
4. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. – М.: НАУ-
КА, 1970 – 285 с.
5. Cайт Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Предобу-
славливание.
6. Cайт Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод
главных компонент.
7. Cайт Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Псевдооб-
ратная матрица.
8. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию сложных систем / В.П. Волобоев, В.П. Кли-
менко // Математичні машини і системи. – 2008. – № 4. – С. 111 – 122.
9. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию энергосистем / В.П. Волобоев, В.П. Климен-
ко // Математичні машини і системи. – 2009. – № 4. – С. 106 – 119.
10. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по час-
тям / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2010. – № 3. – С. 53 – 68.
11. Волобоев В.П. Один способ корректной формулировки математической модели технической
(физической) задачи / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2011. –
№ 4. – С. 95 – 106.
12. Волобоев В.П. Механика стержневых систем и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко //
Математичні машини і системи. – 2012. – № 2. – С. 81 – 96.
13. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. – М.: МИР, 1986 –
318 с.
14 Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи / Л.А. Бессонов. –
[изд. 9-е, пер., доп.]. – М.: Высшая школа, 1996. – 638 с.
15. Кузнецова О.Б. Уравнения математической физики. / О.Б. Кузнецова, С.В. Булычева [Элек-
тронный ресурс]. – Режим доступа: http://umf.kmf.usu.ru/index.php?id=37&id1=0.
16. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / Соболев С.Л. – М.: Наука, 1966. – 444 с.
17 Никитин А.В. Вихрь и вихревые движители / А.В. Никитин [Электронный ресурс]. – Режим
доступа: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0231/008a/02311070.
18. Cайт Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/теплород.
19. Максвелл Д.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля / Максвелл Д.К.; пер. з
англ. З.А. Цейтлина; под ред. П.С. Кудрявцева. – М.: Гос. изд-во технико-теоретической литерату-
ры, 1952. – 687 с.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 125
20. Cайт Баллистическая теория Ритца [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ritz-
btr.narod.ru.
21. Хмельник С.И. Конструирование летательных аппаратов на основе эффекта Бифельда-Брауна /
С.И. Хмельник [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://la.mic34.com /doclad.htm.
Стаття надійшла до редакції 25.10.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84277 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:48:01Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Волобоев, В.П. Клименко, В.П. 2015-07-05T07:39:25Z 2015-07-05T07:39:25Z 2013 Метод конечных элементов и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. — 2013. — № 4. — С. 114-125. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84277 519.63:519.17 Предлагается в методе конечных элементов представлять конечные элементы и граничные условия в виде эквивалентных схем замещения, состоящих из двухполюсных компонент, а топологию расчетной схемы дискретной модели объекта – в виде графа с целью применения метода корректного формирования уравнений на сетке конечных элементов. Предложена методика построения эквивалентных схем замещения по описаниям конечных элементов и граничных условий. Приведен пример построения графа дискретной модели объекта по описанию конечных элементов и граничных условий. Пропонується у методі кінцевих елементів представляти кінцеві елементи і граничні умови у вигляді еквівалентних схем заміщення, які складаються із двополюсних компонент, а топологію розрахункової схеми дискретної моделі об’єкта – у вигляді графа з метою застосування методу коректного формування рівнянь на сітці кінцевих елементів. Запропоновано методику побудови еквівалентних схем заміщення за описами кінцевих елементів і граничних умов. Наведено приклад побудови графа дискретної моделі об'єкта за описами кінцевих елементів і граничних умов. It is offered in the finite element method to represent finite elements and boundary conditions in the form of the equivalent circuits consisting of two-terminal components and topology of the settlement scheme of discrete model of object to be represented graphically for the application of a method of correct equations formation on a finite element mesh. The technique of construction of equivalent circuits under descriptions of final elements and boundary conditions is offered. The example of construction of the graph of discrete model of object under the description of finite elements and boundary conditions is suggested. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Метод конечных элементов и теория графов Метод кінцевих елементів і теорія графів The finite element method and graph theory Article published earlier |
| spellingShingle | Метод конечных элементов и теория графов Волобоев, В.П. Клименко, В.П. Моделювання і управління |
| title | Метод конечных элементов и теория графов |
| title_alt | Метод кінцевих елементів і теорія графів The finite element method and graph theory |
| title_full | Метод конечных элементов и теория графов |
| title_fullStr | Метод конечных элементов и теория графов |
| title_full_unstemmed | Метод конечных элементов и теория графов |
| title_short | Метод конечных элементов и теория графов |
| title_sort | метод конечных элементов и теория графов |
| topic | Моделювання і управління |
| topic_facet | Моделювання і управління |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84277 |
| work_keys_str_mv | AT voloboevvp metodkonečnyhélementoviteoriâgrafov AT klimenkovp metodkonečnyhélementoviteoriâgrafov AT voloboevvp metodkíncevihelementívíteoríâgrafív AT klimenkovp metodkíncevihelementívíteoríâgrafív AT voloboevvp thefiniteelementmethodandgraphtheory AT klimenkovp thefiniteelementmethodandgraphtheory |