Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією

У статті розглядаються атрактори динамічних систем, оператори еволюції яких представляють багатозначними операторами. Отримані оцінки розмірностей Хаусдорфа. Оцінки таких розмірностей передбачають нелінійність операторів. Оцінки здійснювалися на основі побудови d-мір Хаусдорфа. Для іншого випадку по...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичні машини і системи
Date:	2013
Main Authors:	Лазаренко, С.В., Макаренко, О.С.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2013
Subjects:	Моделювання і управління
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84282
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією / С.В. Лазаренко, О.С. Макаренко // Математичні машини і системи. — 2013. — № 4. — С. 161-168. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860224296999190528
author	Лазаренко, С.В. Макаренко, О.С.
author_facet	Лазаренко, С.В. Макаренко, О.С.
citation_txt	Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією / С.В. Лазаренко, О.С. Макаренко // Математичні машини і системи. — 2013. — № 4. — С. 161-168. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичні машини і системи
description	У статті розглядаються атрактори динамічних систем, оператори еволюції яких представляють багатозначними операторами. Отримані оцінки розмірностей Хаусдорфа. Оцінки таких розмірностей передбачають нелінійність операторів. Оцінки здійснювалися на основі побудови d-мір Хаусдорфа. Для іншого випадку показано єдиність розв’язку оціночного співвідношення. На основі розроблених програмних засобів проведено численні розрахунки карт фрактальних розмірностей динамічних систем на обчислювальних кластерах Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАНУ та КПІ. В статье рассматриваются аттракторы динамических систем, операторы эволюции которых представляют многозначными операторами. Получены оценки размерностей Хаусдорфа. Оценки таких размерностей предвидят нелинейность операторов. Оценки осуществлялись на основе построения d-мер Хаусдорфа. В ином случае показано единство решения оценочного соотношения. На основе разработанных программных способов проведены многочисленные расчеты карт фрактальных размерностей динамических систем на вычислительных кластерах Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАНУ и КПИ. The attractors of dynamical system which evolution operators represent the multivalued operators are regarded in the paper. The estimates of the Hausdorff dimension were obtained. Estimates of such dimensions anticipate nonlinear operators. The estimates were carried out on the basis of d Hausdorff measures building. Otherwise, the estimate unity of the solutions relations were shown. On the basis of the developed software methods a numerous of calculations of cards of fractal dimensions of dynamic systems on computer clusters of Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine named after V.M. Glushkov and KPI.
first_indexed	2025-12-07T18:19:00Z
format	Article
fulltext	© Лазаренко С.В., Макаренко О.С., 2013 161 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 УДК 515.127+519.7 С.В. ЛАЗАРЕНКО, О.С. МАКАРЕНКО ПРО ОЦІНКИ РОЗМІРНОСТЕЙ АТРАКТОРІВ ДИСКРЕТНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ІЗ АНТИСИПАЦІЄЮ * Національний технічний університет України «КПІ», Київ, Україна Анотація. У статті розглядаються атрактори динамічних систем, оператори еволюції яких представляють багатозначними операторами. Отримані оцінки розмірностей Хаусдорфа. Оцінки таких розмірностей передбачають нелінійність операторів. Оцінки здійснювалися на основі побу- дови d -мір Хаусдорфа. Для іншого випадку показано єдиність розв’язку оціночного співвідношен- ня. На основі розроблених програмних засобів проведено численні розрахунки карт фрактальних розмірностей динамічних систем на обчислювальних кластерах Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАНУ та КПІ. Ключові слова: системи ітерованих функцій, фрактальна розмірність, розмірність Хаусдорфа. Аннотация. В статье рассматриваются аттракторы динамических систем, операторы эволю- ции которых представляют многозначными операторами. Получены оценки размерностей Хаус- дорфа. Оценки таких размерностей предвидят нелинейность операторов. Оценки осуществлялись на основе построения d -мер Хаусдорфа. В ином случае показано единство решения оценочного соотношения. На основе разработанных программных способов проведены многочисленные рас- четы карт фрактальных размерностей динамических систем на вычислительных кластерах Ин- ститута кибернетики им. В.М. Глушкова НАНУ и КПИ. Ключевые слова: системы итерированных функций, фрактальная размерность, размерность Ха- усдорфа. Abstract. The attractors of dynamical system which evolution operators represent the multivalued operators are regarded in the paper. The estimates of the Hausdorff dimension were obtained. Estimates of such dimensions anticipate nonlinear operators. The estimates were carried out on the basis of d Hausdorff measures building. Otherwise, the estimate unity of the solutions relations were shown. On the basis of the developed software methods a numerous of calculations of cards of fractal dimensions of dynamic systems on computer clusters of Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine named after V.M. Glushkov and KPI. Keywords: iterated function systems, fractal dimension, Hausdorff dimension. 1. Вступ Теорія самоподібних множин (self-similar sets) на сьогоднішній день представляє значний прикладний інтерес в області математичного моделювання. Апарат систем ітерування фу- нкцій (СІФ (Iterated Function System)) використовується при побудові алгоритмів архівації даних. Такі алгоритми застосовуються при стисненні відео, звуку, зображень тощо (фрак- тальні алгоритми стиснення із втратою даних). Вони базуються, як правило, на фракталь- них властивостях об’єктів стиснення. Так будують системи СІФ афінних перетворень, що представляли б об’єкти стиснення максимально точно. Теорія систем ітерованих функцій бере свій початок з класичних робіт Дж. Хатчинсона [1], М. Барнслі [2], М. Хати та ін. Обчислення Хаусдорфової розмірності (dim )H атракторів СІФ, без самоперетинів, є добре вивченим, на відміну від розрахунку Хаусдорфової розмірності СІФ із самопере- тинами, що є більш складною, та менш вивченою проблемою в теорії СІФ, яка останнім часом представляє все більший прикладний інтерес. Обчисленню Hdim із самоперетинами присвячено ряд робіт, як правило, зосереджених на частинних випадках подібних СІФ. Се- ред таких сучасних робіт варто відзначити здобутки Ванга, Нгаі, Морана, Барані [3–5] та в їхніх посиланнях. 162 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 Серед класичних робіт вивчення систем ітерованих функцій із самоперетинами від- значимо роботи К. Симона, Б. Солом’яка, М. Урбанскі [6]. Вони у своїх роботах проводять розрахунок розмірностей Хаусдорфа граничних множин параболічних СІФ, що залежать від параметра та задовольняють, зокрема, трансверсальній умові. Поміж частинних випад- ків СІФ, що саме перетинаються, зазначимо роботи Барані [7, 8], де вивчаються СІФ, сфо- рмовані із набору лінійних операторів, які мають спільні непорушні точки. Низка робіт Ванга та Нгаі присвячені підходу в оцінці розмірності Хаусдорфа гра- ничної множини СІФ, що задовольняє умові скінченної кількості типів околів (neighborhood type) [3]. Цей підхід базується на побудові орієнтованого графа інцидентно- сті для типів околів та його редукції, а вже на основі спектрального радіуса матриці інци- дентності такого графа і розраховують фрактальну розмірність граничної множини СІФ. У цих роботах показана рівність фрактальної та Хаусдорфової розмірностей для таких мно- жин. Також можна виділити окремий напрям в оцінці розмірностей граничних множин СІФ із самоперетинами, що базується на зведенні початкової СІФ скінченного набору опе- раторів, для якої не виконується умова OSC, до СІФ із зліченним набором операторів, для якого виконується OSC, розрахунок же розмірності останнього вже не представляє склад- ності. Серед робіт, в яких вперше були озвучені такі ідеї, відзначимо роботи М. Морана [5], де спрощення такої СІФ базується на побудові індуктивної процедури Віталі. Так, М. Моран показав, що атрактори гіперболічної СІФ із самоперетинами та приведеної СІФ із зліченним набором операторів, для якого виконується OSC, мають однакову фрактальну розмірність. Таким чином, дану статтю присвячуємо дослідженню фрактальних властивостей частинних випадків атрактора Α оператора еволюції H динамічної системи із антисипа- цією (ДСА), а саме ми розглядаємо питання оцінки розмірностей Хаусдорфа множини Α зверху. З системами такого типу можна ознайомитись у роботах [9, 10]. 2. Основні поняття Розглядатимемо скінченну систему функцій { }NfffF ,,, 21 …= , n i RIIIf ⊆→ ,: , визначе- них у повному метричному просторі ( )dI , із метрикою d , яка розглядається як метрика Хаусдорфа      = ∈∈∈∈ ),(infsup),,(infsupmax),( yxyxYXd XxYyYyXx H ρρ , )(, ICompYX ∈ , ρ – Евклідова метрика на I . Нехай кожне відображення if є iλ - стисненням, тобто Ліпшицева константа кожного з них ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) NiI yx yfxf IfLip i ii yx Iyx i ,1,1 , , sup ,, =<== ≠ ∈∀ λ ρ ρ . Таку систему F називають (гіперболічною) системою ітерованих функцій. Оператор )()(: ICompICompH → , що діє на множині всіх непустих компактних пі- дмножин із I : )()()( 1 ICompKxfKH Kx N i i ∈= ∈ = ∪∪ , називають оператором Хатчинсона чи оператором Барнслі. Як добре відомо [1], такий оператор має єдину непорушну точку ( ) )( 1 Α=Α⇒=Α ∞ = HKH k k ∩ в )(IComp . Інваріантну множину Α оператора H називають самоподібною множиною. Для такої множини вводять самоподібну розмірність s як єди- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 163 ний корінь рівняння 1 1 =∑ = N s s iλ (введена Мандельбротом), інколи цю рівність називають фо- рмулою Морана. Для СІФ, що задовольняють умові 0)()( =∩ XfXf ji при ji ≠ для { }Nji ,,2,1, …∈∀ (часто називають умовою відкритих множин (OSC)), Хатчинсон показав [1], що розмірність Хаусдорфа ( )ΑHdim , її атрактора рівна розмірності Мінковського (бокс-розмірності) ( )ΑBdim і рівна самоподібній розмірності s. СІФ, що не задовольняють умові відкритих множин, називають СІФ із самоперетинами. Розрахунок розмірностей та- ких систем на порядок складніший від розрахунку розмірностей атракторів СІФ із OSC. Визначають скінченний алфавіт { }N,,2,1 …=Σ символьної динаміки із СІФ F . По- слідовність застосування операторів із F кодують послідовністю piii …21=i , Σ∈ji для pj ,1= і записують pΣ∈i . У символьній динаміці i називають словом довжини p в алфа- віті Σ . Позначають довжину слова через p=i . Така послідовність визначає порядок ком- позиції операторів із F : ( ) ( ) ( )⋅=⋅=⋅ pp iiiiii fffff �…��… 2121i . При 0=i (тобто пусте слово) розуміють тотожне відображення ( ) xxf =i . Перші p сим- волів у слові i записують )( pi . Через Σ позначатимемо множину всіх скінченних послі- довностей номерів із { }N,,2,1 … , тобто ∪ 0 ≥ Σ=Σ p p . На множині ∞Σ визначають адресне відображення Α→Σ∞:π . Як добре відомо, границя ( ) ( )xfii i ∞→ = limπ існує, але не залежить від вибору Ix ∈ . Так, i задає адресу x . Варто відзначити, що x може мати більше, ніж одну адресу, тобто адресне відображення π в загальному випадку є сюр’єктивним, до того ж неперервним. Сам атрактор F можна переписати як ( )∪ p xf Σ∈ =Α i i (1) для Ix ∈∀ при ∞→p . На множині ∞Σ∪Σ* визначають відношення лексикографічного порядку таким чи- ном. Нехай маємо два слова ∞Σ∪Σ∈ , ji , в яких співпадають перші 1−k символів )1()1( −=− kk ji . Якщо kk ji > , то кажуть, що слово j передує слову i . На множині ∞Σ∪Σ також визначають операцію злиття слів (конкатенацію). Якщо i pΣ∈ скінченне слово, а j ∞Σ∪Σ∈ * , то через ∞Σ∪Σ∈= * 2121 …… jjiii iij позначають їх конкатенацію. Через ( )⋅dH позначатимемо d -міру Хаусдорфа, тобто ( ) { } ( ) ( )       ∀<⊂⋅= ∑→ ∪ i ii i d id u d iudiamuXudiamcXH i ,,\|inflim 0 δ δ із нормуючим коефіцієнтом dc [1]. 3. Оцінка розмірності Хаусдорфа для атрактора ДСА без самоперетинів Тепер проведемо оцінку розмірності Хаусдорфа ( )ΑHdim зверху для СІФ F із нелінійни- ми функціями, що задає оператор еволюції антисипаційної системи [9, 10]. Розглядатиме- 164 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 мо випадок, коли F задовольняє умові OSC. p -те наближення інваріантної множини Α системи F позначимо із (1) як ∪ p p Σ∈ Α=Α i i , тобто ∞Α=Α (тобто об’єднання всіх підмно- жин із адресами зліченної довжини). Для нього, очевидно, виконується наступна умова, що ( ) ( )Α⋅≤Α diamdiam ii λ ([1]), тут під iλ розуміють Ліпшицевий коефіцієнт композиції ( )⋅if . Неважко переконатися, що iii iiiiii λλλλλ …… 2121 ≤= . Нерівності тут перетворюються у рів- ності у випадку, коли всі стиснення з F будуть самоподібними на nR [5]. Можемо записати d -міру pΑ таким чином (розглядаємо самоподібну множину), опускаючи нормуючий коефіцієнт: ( ) ( ) =Α=Α ∑ Σ∈ d p d p diamH i i ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ Σ∈ Α⋅⋅⋅⋅ p p d piii diamIII i λλλ …21 21 . Тут II p ≡ , ( )11 +−− +− = jpijp IfI jp для 1,1 −= pj . Звідси неважко побачити, що pj II ⊆ в силу стиснення if . Оцінимо Ліпшицеві константи зверху: ( ) ( )II jj iji λλ ≤ для j∀ . (2) Таким чином, запишемо оцінку ( )p d H Α зверху для міри ( )p dH Α : ( )≤Α p dH ( )p d H Α = ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ Σ∈ Α⋅⋅⋅⋅ p p d iii diamIII i λλλ … 21 = ( ) ( ) ( ) ( )( )diii d p p IIIdiam ∑ Σ∈ ⋅⋅⋅⋅Α= i λλλ … 21 = ( ) ( ) pN i d i d Idiam      ⋅Α ∑ =1 λ . Тут використали той факт, що суму всіх можливих добутків мультиплікаторів від- повідних p -слів можна представити як суму цих мультиплікаторів у степені p [1]. Звідси при переході ∞→p матимемо умову ( ) 1 1 =∑ = N i d i Iλ , (3) при якій ( ) ∞<Α< d H0 , що відповідає формулі Морана із максимальними значеннями му- льтиплікаторів на всьому I кожного із стискаючих відображень if . Враховуючи ту влас- тивість d -міри Хаусдорфа, що із ( ) ( )21 EHEH dd ≤ , де 21 EE ⊆ , виконується нерівність ро- змірностей Хаусдорфа ( ) ( )21 dimdim EE HH ≤ . Таким чином, маємо оцінку для ( )ΑHdim зве- рху ( ) dH ≤Αdim , де d – єдиний розв’язок (3). 4. Оцінка розмірності Хаусдорфа для атрактора ДСА із самоперетинами Цей підрозділ присвятимо оцінці розмірності Хаусдорфа ( )ΑHdim зверху для СІФ F із нелінійними функціями, що перетинаються. Розглядатимемо систему F , що задовольняє умовам із [4]. В даній роботі була отримана формула розмірності Хаусдорфа для системи із лінійних операторів. Покажемо, що з її допомогою можна отримати оцінку зверху ( )ΑHdim для системи із нелінійних операторів. Збережемо наступні позначення. 1Σ та 2Σ (при 21 Σ∪Σ=Σ ) – алфавіти двох наборів операторів із F , що не перети- наються, для кожного з наборів виконується умова OSC. Кожний оператор із 1Σ має не по- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 165 рожній перетин із деяким оператором з 2Σ . У [4] показано, що можна виділити такий набір операторів { }m ij Djif 1221 ,,\| Σ∈Σ⊆∈Σ∈ ii , котрий разом з операторами із 2Σ задовольняє умові OSC. Позначимо через 3Σ всі такі слова iw ij= . Більш того, показано, що кожна то- чка на Α належить точці атрактора операторів із 32 Σ∪Σ . Автори у [4] показали, що СІФ із самоперетинами такого типу задовольняє слабкій умові подільності. Це є важливою умовою при дослідженні оцінок розмірностей таких СІФ, оскільки ще Мораном було доведено, що навіть при виконанні умови OSC система ітерованих функцій із зліченним набором операторів може мати не додатну міру. Отже, p -те наближення інваріантної множини Α системи F в цьому випадку прийме вид ∪∪ pp p 32 Σ∈Σ∈ Α∪Α=Α ii ii . Запишемо d -міру для pΑ (опускаючи нормуючий коефі- цієнт): ( ) ( ) ( ) =Α+Α=         Α+         Α=Α ∑∑ Σ∈Σ∈Σ∈Σ∈ d ij ij ddd p d pppp diamdiamHHH 3232 i i i i ii ii ∪∪ ( ) ( ) ( ) ( )( ) +Α⋅⋅⋅⋅= ∑ Σ∈ p p d piii diamIII 2 21 21 i λλλ … ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ Σ∈ Α⋅⋅⋅⋅+ p p p d p diamJlJlJl 31 21 21 ww www … … , (4) де IJ p ≡ , ( ) 1 1p kp k p kJ f J − +− − += w для 1,1 −= pk . За аналогією із iI матимемо pk JJ ⊆ в силу стиснень wf . Мультиплікатори k lw тут ( ) ( ) ( ) ( ) 012 kkjkik JJJJl kkkk iw λλλ= , де kkkk ji iw = , kk JJ = 0 , ( ) 21 kjk JfJ k =− . Враховуючи (2), оцінимо значення мультиплікаторів k lw зверху ( ) ( ) ( ) ( )IIIJl kkkk jik iw λλλ≤ . Оцінка зверху для першого доданку в (4) аналогічна тій, що отримана в попередньому розділі. Другий же доданок не перевищуватиме ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ Σ∈Σ∈ ⋅⋅⋅⋅Α=         Α p ppp ppp p jiji d jijiji dd IIIIIIIIIdiamH 3111 222111 3 ii iii i i … …∪ λλλλλλλλλ , тобто суму всіх можливих добутків по p мультиплікаторів ( ) ( ) ( )III kkk ji iλλλ , а маючи на увазі міркування із попереднього розділу, останнє можемо переписати як ( ) ( ) ( ) ( ) p ji dd j d i d p kkk kkk IIIdiam         ⋅Α ∑ Σ∈ 3i iλλλ . Групуючи доданки по всіх ki , а їх множники по всіх kj , отримаємо третій множник у вигляді суми мультиплікаторів, що відповідають словам довжини від 1 до m в алфавіті 1Σ . Таким чином, останній вираз зможемо записати у вигляді ( ) ( ) ( ) ( ) p i dd Dj j d i d m k k IIIdiam             ⋅⋅Α ∑ ∑∑ Σ∈ Σ∈ ∈ = 1 1 1 2 ∪i iλλλ . 166 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 Проведемо оцінку для множника ( ) ( ) ( )         −≤        = ∑∑ ∑∑ Σ∈= Σ∈ Σ∈ = 11 1 1 11 1 i d i m k k i d i d III m k k λλλ ∪i i . Повертаючись до оцінки (4), ( )p d H Α прийме вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤                         −⋅⋅+        ⋅Α=Α≤Α ∑ ∑∑∑ Σ∈ Σ∈∈Σ∈ p i i d i d Dj j d i p i d i d p d p d IIIIdiamHH 1 122 11 λλλλ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p i i d i d Dj j d i i d i d IIIIdiam                 −⋅⋅+⋅Α≤ ∑ ∑∑∑ Σ∈ Σ∈∈Σ∈ 1 122 11 λλλλ . При переході ∞→p , для того щоб оціночна d -міра ( )p d H Α була строго додатна та скінченна, необхідно, щоб виконувалась умова ( ) ( ) ( ) ( ) 111 1 122 =       −⋅⋅+∑ ∑∑∑ Σ∈ Σ∈∈Σ∈ i i d i Dj d j d i i d i IIII λλλλ . Після нескладних перетворень матимемо ( ) ( ) ( ) 1 1 22 \ =⋅−∑ ∑∑ Σ∈ Σ∈Σ∈ i Dj d j d i i d i III λλλ . (5) Лема. Співвідношення (5) має єдиний розв’язок. Розглядаємо функцію ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑ Σ∈ Σ∈Σ∈ ⋅−= 1 22 \i Dj d j d i i d i IIId λλλγ . Вона неперервна на [ )∞;0 . Позначимо 11 n=Σ , 22 n=Σ , 22 mD = . ( ) ( ) cnnnnmnnnn =⋅−+≥−⋅−+= 2121221210γ ⇒ 1 1 2 1 > − −= n nc n n ⇒ 1>c , тому ( ) 10 >γ . ( ) 0→dγ при ∞→d . Продиференціюємо (5) по d : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅−⋅−=′ ∑ ∑∑ ∑∑ Σ∈ Σ∈Σ∈ Σ∈Σ∈ 1 221 22 \\ lnlnln i Dj j d j d i i Dj d ji d i i i d i IIIIIIIId λλλλλλλλγ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ln1ln1ln 2122221 \\ <+      −+      −= ∑∑∑∑∑ ∈Σ∈Σ∈Σ∈Σ∈ Dj j d j i d i Dj j d j Dj d j i i d i IIIIIIII λλλλλλλλ , бо кожний із доданків – від’ємний. Тобто, ( )dγ – строго спадна, а тому прийме значення 1 лише в одній точці. Лему доведено. У результаті маємо оцінку розмірності ( )ΑHdim зверху для атрактора СІФ із само- перетинами зазначеного вище типу ( ) dH ≤Αdim , де d – єдиний розв’язок (5). Співвідношення (5) співпадає із формулою, отриманою у [4], при урахуванні інтервалу, по якому проводиться розрахунок мультиплікаторів. 5. Комп’ютерні обчислення фрактальних розмірностей У цьому розділі ми представимо результати комп’ютерних обчислень фрактальних розмі- рностей атракторів динамічної системи із антисипацією на множині параметрів такої ДС. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 167 Результати були отримані на обчислювальному кластері СКІТ-4 Інституту ім. В.М. Глуш- кова НАН України. Для розрахунків був спроектований пакет програмних засобів на мові програмування Java. Розрахунок фрактальних розмірностей проводився по двопараметричній карті у просторі параметрів ( )αλ, квадратичної динамічної системи 2 11 )1( ++ ⋅−−⋅⋅= nnnn xxxx αλ з антисипацією першого порядку. Розмірності атракторів, що приймають значення у [ ]1;0 , представлені відтінками чорного кольору. Розмірності 1 відповідає чорний колір, а розмір- ності 0 – білий. Рис. 1. Карта фрактальних розмірностей ДСА на множині її параметрів ( )αλ, Розрахунок проводився, базуючись на описаній у [10] схемі побудови карт абстрак- тних показників. Так, суцільні білі області свідчать про те, що на відповідній множині пар ( )αλ, чи існують регулярні атрактори, чи траєкторії цієї дискретної ДС «перериваються» або йдуть на нескінченність. 6. Висновки Проведена робота була орієнтована на один із найперспективніших напрямів математич- ного моделювання – дослідження фрактальних властивостей атракторів систем різних ти- пів, які можна представляти багатозначними операторами. Зокрема, розглядалися атракто- ри систем ітерованих функцій, до яких часто зводяться оператори еволюції нелінійних дискретних динамічних систем із антисипацією. В полі зору знаходилися випадки СІФ з нелінійними операторами без самоперетинів та із самоперетинами визначеного типу, що не підпадає під так званий «скінченний тип сусідства». Так, було отримано оцінки розмірності Хаусдорфа зверху для атракторів обох випа- дків СІФ на основі оціночної d -міри. Для випадку СІФ без самоперетинів було показано, що оцінка розмірності Хаусдорфа зверху визначається за формулою Морана. Для випадку ж СІФ із самоперетинами типу, що розглядаються, доведено, що така оцінка зверху визна- чається за співвідношенням, отриманим Денг КіРонгом (Deng QiRong) та Джоном Хардін- гом. Однак обидві оцінки враховують інтервали, за якими визначаються мультиплікатори 168 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4 відповідних операторів у СІФ. Показано єдиність розв’язку оціночного співвідношення для випадку СІФ із самоперетинами. Проведені чисельні розрахунки фрактальних розмір- ностей атракторів ДСА у просторі параметрів цієї динамічної систем, на основі яких побу- довано карти фрактальних розмірностей. У подальшому варто проводити оцінки розмірностей знизу для вказаних випадків СІФ чи розглядати інші особливі випадки самоперетинів між операторами СІФ. Розробка апарата побудови та аналізу систем ітерованих функцій дозволить розв’язувати різномані- тні проблеми фрактальної геометрії, що може мати потужний прикладний результат, зок- рема, в кібернетиці: теорії класифікації, розпізнавання образів тощо. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Hutchinson J.E. Fractals and Self-Similarity / J.E. Hutchinson // Indiana Univ., Math. Journal. – 1981. – Vol. 30, N 5. – P. 713 – 747. 2. Barnsley M.F. Fractals everywhere / Barnsley M.F. – Boston: Academic Press, 1988. – 394 p. 3. Ngai S. Hausdorff dimension of self-similar sets with overlaps / S. Ngai, Y. Wang // J. London Math. Soc. – 2001. – Vol. 63, N 3. – P. 655 – 672. 4. Deng Q. Hausdorff dimension of self-similar sets with overlaps / Q. Deng, J. Harding, Y.H. Tian // J. Science in China Series A: Mathematics. – 2009. – Is. 1, Vol. 52. – P. 119 – 128. 5. Moran M. Hausdorff measure of infinitely generated self-similar sets / M. Moran // Monatsh Math. – 1996. – Vol. 122. – P. 387 – 399. 6. Simon K. Hausdorff dimension of limit sets for parabolic IFS with overlaps / K. Simon, B. Solomyak, M. Urbanski // Pacific J. Math. – 2001. – Vol. 201, N 2. – P. 441 – 478. 7. Barany B. On the Hausdorff Dimension of a Family of Self-Similar Sets with Complicated Overlaps / B. Barany // Fund. Math. – 2009. – Vol. 206. – P. 49 – 59. 8. Barany B. Dimension of the generalized 4-corner set and its projections / B. Barany // Erg. Th. & Dyn. Sys.– 2012. – Vol. 32, N 4. – P. 1190 – 1215. 9. Лазаренко С.В. Класифікація операторів однієї дискретної антисипаційної системи першого по- рядку / С.В. Лазаренко, О.С. Макаренко // Системні дослідження та інформаційні технології. – 2013. – № 1. – C. 97 – 106. 10. Лазаренко С.В. Багатопоточні комп’ютерні обчислення у дослідженні нелінійних динамічних систем / С.В. Лазаренко, О.С. Макаренко // Прикладні проблеми програмування. – 2013. – № 3. – C. 109 – 116. Стаття надійшла до редакції 25.04.2013
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84282
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-9763
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:19:00Z
publishDate	2013
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
record_format	dspace
spelling	Лазаренко, С.В. Макаренко, О.С. 2015-07-05T07:51:24Z 2015-07-05T07:51:24Z 2013 Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією / С.В. Лазаренко, О.С. Макаренко // Математичні машини і системи. — 2013. — № 4. — С. 161-168. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84282 515.127+519.7 У статті розглядаються атрактори динамічних систем, оператори еволюції яких представляють багатозначними операторами. Отримані оцінки розмірностей Хаусдорфа. Оцінки таких розмірностей передбачають нелінійність операторів. Оцінки здійснювалися на основі побудови d-мір Хаусдорфа. Для іншого випадку показано єдиність розв’язку оціночного співвідношення. На основі розроблених програмних засобів проведено численні розрахунки карт фрактальних розмірностей динамічних систем на обчислювальних кластерах Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАНУ та КПІ. В статье рассматриваются аттракторы динамических систем, операторы эволюции которых представляют многозначными операторами. Получены оценки размерностей Хаусдорфа. Оценки таких размерностей предвидят нелинейность операторов. Оценки осуществлялись на основе построения d-мер Хаусдорфа. В ином случае показано единство решения оценочного соотношения. На основе разработанных программных способов проведены многочисленные расчеты карт фрактальных размерностей динамических систем на вычислительных кластерах Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАНУ и КПИ. The attractors of dynamical system which evolution operators represent the multivalued operators are regarded in the paper. The estimates of the Hausdorff dimension were obtained. Estimates of such dimensions anticipate nonlinear operators. The estimates were carried out on the basis of d Hausdorff measures building. Otherwise, the estimate unity of the solutions relations were shown. On the basis of the developed software methods a numerous of calculations of cards of fractal dimensions of dynamic systems on computer clusters of Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine named after V.M. Glushkov and KPI. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією Об оценке размерностей аттракторов дискретных динамических систем с антисипацией About the estimates of dimensions of attractors of discrete dynamical systems with anticipation Article published earlier
spellingShingle	Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією Лазаренко, С.В. Макаренко, О.С. Моделювання і управління
title	Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією
title_alt	Об оценке размерностей аттракторов дискретных динамических систем с антисипацией About the estimates of dimensions of attractors of discrete dynamical systems with anticipation
title_full	Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією
title_fullStr	Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією
title_full_unstemmed	Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією
title_short	Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією
title_sort	про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією
topic	Моделювання і управління
topic_facet	Моделювання і управління
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84282
work_keys_str_mv	AT lazarenkosv proocínkirozmírnosteiatraktorívdiskretnihdinamíčnihsistemízantisipacíêû AT makarenkoos proocínkirozmírnosteiatraktorívdiskretnihdinamíčnihsistemízantisipacíêû AT lazarenkosv obocenkerazmernosteiattraktorovdiskretnyhdinamičeskihsistemsantisipaciei AT makarenkoos obocenkerazmernosteiattraktorovdiskretnyhdinamičeskihsistemsantisipaciei AT lazarenkosv abouttheestimatesofdimensionsofattractorsofdiscretedynamicalsystemswithanticipation AT makarenkoos abouttheestimatesofdimensionsofattractorsofdiscretedynamicalsystemswithanticipation

Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією

Institution

Similar Items