Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь
Дослiджено умови обмеженостi та методику побудови областi стiйкостi лiнiйних диференцiальних рiвнянь з багатьма запiзненнями. Исследованы условия ограничения и методика построения области устойчивости линейных
 дифференциальных уравнений с множеством опозданий. We investigate the boundedness...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84293 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь / I.I. Клевчук, С.А. Пернай, I.М. Черевко // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 28-34. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860248517805604864 |
|---|---|
| author | Клевчук, І.І. Пернай, С.А. Черевко, І.М. |
| author_facet | Клевчук, І.І. Пернай, С.А. Черевко, І.М. |
| citation_txt | Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь / I.I. Клевчук, С.А. Пернай, I.М. Черевко // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 28-34. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено умови обмеженостi та методику побудови областi стiйкостi лiнiйних диференцiальних рiвнянь з багатьма запiзненнями.
Исследованы условия ограничения и методика построения области устойчивости линейных
дифференциальных уравнений с множеством опозданий.
We investigate the boundedness conditions and the methods of construction of a stability domain
of linear differential equations with several delays.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:39:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
© 2012
I. I. Клевчук, С.А. Пернай, I.М. Черевко
Побудова областей стiйкостi лiнiйних
диференцiально-рiзницевих рiвнянь
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Дослiджено умови обмеженостi та методику побудови областi стiйкостi лiнiйних ди-
ференцiальних рiвнянь з багатьма запiзненнями.
Дослiдження стiйкостi розв’язкiв диференцiально-рiзницевих рiвнянь є важливою зада-
чею [1–3]. У зв’язку з численними прикладними застосуваннями значна увага придiляється
одержанню областей стiйкостi лiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненням [4–6].
Розглянемо лiнiйне диференцiально-рiзницеве рiвняння iз запiзненням
x′(t) +
n
∑
k=1
bkx(t− τk) = 0, (1)
де bk ∈ R, k ∈ {1, 2, . . . , n}, 0 < τ1 < τ2 < · · · < τn = τ .
Вiдомо [2, 4], що необхiдною i достатньою умовою стiйкостi розв’язкiв рiвняння (1) є роз-
мiщення нулiв його характеристичного рiвняння
P (λ) = λ+
n
∑
k=1
bke
−λτk = 0 (2)
в лiвiй пiвплощинi Reλ < 0.
Для лiнiйних диференцiальних рiвнянь без запiзнення характеристичне рiвняння є мно-
гочленом. У цьому випадку вiдомо ряд критерiїв, що дозволяють описати розмiщення ко-
ренiв характеристичного рiвняння: критерiй Рауса–Гурвiца, частотнi критерiї Михайлова
i Найквiста, метод D-розбиття простору параметрiв рiвняння.
Аналiз розмiщення коренiв рiвняня (2) є досить складною задачею, однак при дослiд-
женнi стiйкостi часто необхiдно знати не фактичне розмiщення коренiв квазiполiномiв,
а тiльки чи всi коренi мають вiд’ємнi дiйснi частини.
Теорема 1 [7]. Нехай {bk, τk} ⊂ (0,∞) (1 6 k 6 n). Якщо
n
∑
k=1
bkτk <
π
2
, (3)
то всi коренi квазiполiнома рiвняння (2) мають вiд’ємнi дiйснi частини.
Наведена теорема визначає достатнi умови стiйкостi рiвняння (1), однак вона не доз-
воляє ефективно побудувати коефiцiєнтнi областi стiйкостi, оскiльки нульовий розв’язок
рiвняння (1) може бути стiйким при як завгодно великому значеннi
n
∑
k=1
bkτk [7].
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
Нехай у рiвняннi (1) запiзнення τk — додатнi рацiональнi числа. Якщо зробити лiнiй-
ну замiну незалежної змiнної, можна одержати iнше лiнiйне рiвняння, якому вiдповiдає
характеристичне рiвняння вигляду
λ = a1e
−λ + a2e
−2λ + · · ·+ ane
−nλ. (4)
Отже, без втрати загальностi, можна вважати в цьому випадку, що запiзнення у рiв-
няннi (1) — цiлi додатнi попарно рiзнi числа.
Означення [8]. Областю стiйкостi рiвняння (4) називається множина точок
(a1, . . . , an) ∈ R
n, для яких всi коренi рiвняння (4) задовольняють умову Reλ < 0.
Нехай L — проста неперервна крива, на якiй вказано напрямок руху. Через △Argz∈L f(z)
позначимо змiну аргументу функцiї f(z) при русi вздовж кривої L.
Лема 1. Нехай функцiї f(z) та g(z) аналiтичнi в комплекснiй площинi i для точок z
iз деякої простої неперервної кривої L виконується нерiвнiсть |g(z)| < |f(z)|. Тодi
△Argz∈L(f(z) + g(z)) > △Argz∈L f(z)− π. (5)
Доведення. Справджується рiвнiсть
△Argz∈L(f(z) + g(z)) =
= △Argz∈L
[
f(z)
(
1 +
g(z)
f(z)
)]
= △Argz∈L f(z) +△Argz∈L
(
1 +
g(z)
f(z)
)
.
Оскiльки |g(z)/f(z)| < 1, то функцiя 1 + g(z)/f(z) вiдображає криву L у внутрiш-
нiсть одиничного круга з центром у точцi z = 1. Тому образ кривої L при вiдображен-
нi 1 + g(z)/f(z) може змiнити аргумент не бiльше, нiж на π. Iз нерiвностi △Argz∈L(1 +
+ f(z)/g(z)) > −π випливає нерiвнiсть (5). Лема 1 доведена.
Позначимо Q(z) = anz
n + an−1z
n−1 + · · · + a1z.
Лема 2. Нехай для всiх α ∈ [0; 1] iснує z таке, що |z| = e−α i виконується нерiвнiсть
|Q(z)| 6 π + 1. Тодi знайдеться стала K > 0 така, що |aj | 6 K для всiх j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Доведення. Розкладемо полiном Q(z) на множники Q(z) = anz(z − z1) · · · (z − zn−1).
Тодi вiрна нерiвнiсть
|an| |z| |(|z| − |z1|) · · · (|z| − |zn−1|)| 6 |Q(z)|. (6)
Розглянемо полiном Q1(x) = |an|x(x − |z1|) · · · (x − |zn−1|). Згiдно з умовою леми, iз (6)
випливає, що для всiх x ∈ [e−1; 1] виконується оцiнка |Q1(x)| 6 π + 1.
Застосовуючи теорему Чебишова, одержимо, що iснує x ∈ [e−1; 1] таке, що |Q1(x)| >
> 2|an|((1 − e−1)/4)n. Звiдси випливає, що |an| 6 ((π + 1)/2)(4e/(e − 1))n.
Одержимо оцiнку для an−1. Оскiльки
|an−1z
n−1 + . . .+ a1z| 6 |anz
n + · · ·+ a1z|+ |anz
n| 6 π + 1 +
π + 1
2
(
4e
e− 1
)n
,
то
|an−1| 6
1
2
[
π + 1 +
π + 1
2
(
4e
e− 1
)n]( 4e
e− 1
)n−1
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 29
Рис. 1
Аналогiчно можна одержати оцiнки для всiх коефiцiєнтiв. Лема 2 доведена.
Теорема 2. Область стiйкостi рiвняння (4) обмежена.
Доведення. Позначимо P (λ) = λ− Q(e−λ). Тодi рiвняння (4) перепишеться у виглядi
P (λ) = 0. Застосуємо принцип аргументу до прямокутника на рис. 1.
Згiдно з принципом аргументу, число нулiв квазiполiнома P (λ) у прямокутнику дорiв-
нює змiнi аргументу функцiї P (λ) при русi λ вздовж контура ABCD.
Сторона AB прямокутника перетинає дiйсну вiсь у точцi x = α, 0 6 α 6 1. Число α
ми виберемо пiзнiше. Сторону CD виберемо досить далеко вiд уявної осi. Тодi її образ при
вiдображеннi P (λ) буде мiститися в правiй пiвплощинi. На вiдрiзку BC маємо
λ = −πi+ x, x > α > 0, P (λ) = −πi+ x−Q(−e−x).
Уявна частина функцiї P (λ) залишається сталою, а дiйсна частина прямує до +∞ при
x → +∞. На вiдрiзку AD
λ = πi+ x, x > α > 0, P (λ) = πi+ x−Q(−e−x).
Тут знову уявна частина функцiї P (λ) буде сталою. В результатi сумарна змiна аргументу
функцiї при русi вздовж вiдрiзкiв BC, CD i DA буде додатною. Залишилось оцiнити змiну
аргументу образу вiдрiзка AB. Як ми побачимо, при досить великому max
16j6n
|aj | визначаль-
ним на вiдрiзку AB для приросту аргументу функцiї P (λ) буде вплив функцiї Q(e−λ).
Прирiст аргументу функцiї Q(e−λ) при русi по вiдрiзку AB дорiвнює приросту аргу-
менту функцiї Q(z), коли z робить обхiд кола |z| = e−α проти годинникової стрiлки. Згiдно
з принципом аргументу,
△Arg|z|=e−αQ(z) = 2πN,
де N — число нулiв функцiї Q(z) в крузi |z| < e−α. Але в цьому крузi завжди є нуль z = 0,
тому N > 1, значить
△Argπ>y>−πQ(e−(α+iy)) > 2π.
Якщо виконуються умови леми 2, то коефiцiєнти полiнома Q(z) обмеженi. У протилеж-
ному випадку, при досить великому max
16j6n
|aj | знайдеться таке α, 0 6 α 6 1, що
|Q(e−(α+iy))| > π + 1 > |α+ iy|, π > y > −π.
Використовуючи лему 1, оцiнимо змiну аргументу функцiї P (λ) при русi вздовж вiдрiзка
AB
△Argπ>y>−π(α+ iy −Q(e−(α+iy))) > 2π − π = π.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
Таким чином, при досить великому max
16j6n
|aj| змiна аргументу функцiї P (λ) при ру-
сi вздовж контура ABCD буде додатною. Отже, згiдно з принципом аргументу, функцiя
P (λ) матиме нуль в прямокутнику ABCD, а тодi (a1, . . . , an) не належить областi стiйкостi
рiвняння (4).
Звiдси випливає обмеженiсть областi стiйкостi. Теорема 2 доведена.
Наслiдок. Область стiйкостi рiвняння (1), де τk — додатнi, рацiональнi числа, є обме-
женою.
Лема 3. Якщо вектор (a1, a2, . . . , an) належить областi стiйкостi рiвняння (4), то
a1 + a2 + · · · + an < 0.
Доведення. Нехай a1+a2+· · ·+an > 0. Тодi квазiполiном P (λ) = λ−a1e
−λ−· · ·−ane
−nλ
задовольняє умови
P (0) 6 0, lim
λ→+∞
P (λ) = +∞.
Значить, iснує число λ0, 0 6 λ0 < ∞, таке, що P (λ0) = 0. Рiвняння (4) має невiд’ємний
дiйсний корiнь. Отже, вектор (a1, a2, . . . , an) не належить областi стiйкостi. Лема 3 доведена.
Розглянемо методику дослiдження стiйкостi розв’язкiв лiнiйних диференцiальних рiв-
нянь iз запiзненням, що базується на їх апроксимацiї послiдовнiстю систем звичайних ди-
ференцiальних рiвнянь [6, 9]. Поставимо у вiдповiднiсть рiвнянню (1) послiдовнiсть апрок-
симуючих систем звичайних диференцiальних рiвнянь [9]
z′0(t) +
n
∑
k=1
bkzlk(t) = 0, z′k(t) + µ(zk(t)− zk−1(t)) = 0, (7)
k ∈ {1, 2, . . . ,m}, µ =
m
τ
, lk =
[
mτk
τ
]
, m ∈ N.
Для характеристичного рiвняння апроксимуючої системи, враховуючи її структуру,
можна одержати спiввiдношення
Ψm(λ) = λ
(
1 +
λτ
m
)m
+
n
∑
k=1
bk
(
1 +
λτ
m
)m−lk
= 0. (8)
Дослiдимо зв’язок мiж квазiполiномом P (λ) i характеристичним многочленом (8).
Лема 4. Для фiксованих λ ∈ C послiдовнiсть функцiй
Hm(λ) = Ψm(λ)
(
1 +
λτ
m
)−m
, m ∈ N, (9)
збiгається при m → ∞ до квазiполiнома P (λ).
Доведення. Розглянемо деяке λ ∈ C. Оскiльки λ 6= −m/τ (за можливим винятком
одного значення m), то функцiя Hm(λ) визначена для всiх m ∈ N за можливим винятком
одного m ∈ N. Враховуючи вигляд функцiї
Hm(λ) = λ+
n
∑
k=1
bk
(
1 +
λτ
m
)−lk
, (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 31
на пiдставi вiдомої границi
lim
m→∞
(
1 +
λτ
m
)−τkm/τ
= e−λτk
та означення числа lk одержуємо рiвнiсть
lim
m→∞
(
λ+
n
∑
k=1
bk
(
1 +
λτ
m
)−lk
)
= λ+
n
∑
k=1
bke
−λτk .
Отже, переходячи в рiвностi (10) до границi при m → ∞, для фiксованого λ ∈ C одер-
жимо
lim
m→∞
Hm(λ) = λ+
n
∑
k=1
bke
−λτk .
Лема 4 доведена.
Зауваження. Функцiя Hm(λ), визначена спiввiдношенням (9), апроксимує при m →
→ ∞ квазiполiном P (λ). Цю властивiсть можна використати для наближеного знаходження
неасимптотичних коренiв квазiполiнома P (λ). Оскiльки нулi функцiй Ψm(λ) i Hm(λ), згiдно
з рiвнiстю (9), збiгаються, то коренi характеристичного многочлена (8) можна брати за
наближенi значення неасимптотичних коренiв квазiполiнома P (λ).
Конструктивнi алгоритми дослiдження стiйкостi лiнiйних стацiонарних систем iз запiз-
ненням на основi аналiзу властивостей нульового розв’язку апроксимуючої системи зви-
чайних диференцiальних рiвнянь наведено в [9].
Теорема 3 [9]. Якщо нульовий розв’язок рiвняння (1) експоненцiально стiйкий (нестiй-
кий), то iснує m0 > 0 таке, що при m > m0 нульовий розв’язок системи (7) експонен-
цiально стiйкий (нестiйкий). Якщо для всiх m > m0 нульовий розв’язок системи (7) екс-
поненцiально стiйкий (нестiйкий), то й нульовий розв’язок рiвняння (1) експоненцiально
стiйкий (нестiйкий).
Iз теореми 3 випливає, що при досить великих m стiйкiсть нульового розв’язку рiвнян-
ня (1) еквiвалентна стiйкостi нульового розв’язку апроксимуючої системи (7). Цю власти-
вiсть можна використати для побудови обчислювального алгоритму знаходження областi
стiйкостi рiвняння (1).
Як приклад розглянемо лiнiйне диференцiальне рiвняння iз двома запiзненнями
x′(t) = a1(t−m) + a2(t− n), (11)
де {a1, a2} ⊂ R, m, n — натуральнi взаємно простi числа. Iз теореми 2 i леми 3 одержимо,
що область стiйкостi рiвняння (11) на площинi параметрiв a1, a2 мiститься в обмеженому
многокутнику
||a1| − |a2|| < π, ||a1|e
−m − |a2|e
−n| <
√
π2 + 1, a1 + a2 < 0.
Покриваємо цю область сiткою вузлiв (a0i, a1j), i ∈ {0, 1, . . . , p}, j ∈ {0, 1, . . . , k}, {n, k} ⊂
⊂ N. Для кожного вузла (a0i, a1j) маємо лiнiйне рiвняння iз запiзненням вигляду (11).
Дослiджуємо його на стiйкiсть згiдно з теоремою 3, використовуючи вiдповiдну (7) апрокси-
муючу систему звичайних диференцiальних рiвнянь. Для дослiдження стiйкостi стацiо-
нарних лiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь використовується процедура
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
Рис. 2
polyroots пакета Mathcad, яка дозволяє обчислити коренi вiдповiдних цим системам хара-
ктеристичних многочленiв.
Провiвши такi дослiдження у кожному вузлi сiтки, можна побудувати область стiйкостi
рiвняння (11).
Результати числових експериментiв для m = 1, n = 2 зображено на рис. 2, де область
стiйкостi — це заштрихована частина площини.
1. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с по-
следействием. – Москва: Наука, 1981. – 448 с.
2. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. – Москва: Наука,
1983. – 360 с.
3. Хусаинов Д.Я., Шатырко А. В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифферен-
циально-функциональных систем. – Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1997. – 236 с.
4. Слюсарчук В.Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю. – Рiвне: УДУВГП, 2003. –
288 с.
5. Баркин А.И. Устойчивость линейных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. –
2006. – № 3. – С. 3–7.
6. Матвiй О.В., Пернай С.А., Черевко I.М. Про стiйкiсть лiнiйних систем iз запiзненням // Наук. вiсн.
Чернiв. ун-ту: Зб. наук. праць. Вип. 421. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2008. – С. 66–70.
7. Вагина М.Ю., Кипнис М.М. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с за-
паздываниями // Мат. заметки. – 2003. – 74, вып. 5. – С. 786–789.
8. Клевчук I. I. Зведення крайових задач до рiзницевих та диференцiально-рiзницевих рiвнянь // Наук.
вiсн. Чернiв. ун-ту: Зб. наук. праць. Вип. 160. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2003. – С. 80–83.
9. Черевко I.М., Матвiй О.В. Про апроксимацiю систем iз запiзненням та їх стiйкiсть // Нелiнiйнi
коливання. – 2004. – 7, № 2. – С. 208–216.
Надiйшло до редакцiї 09.06.2011Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
И.И. Клевчук, С.А. Пернай, И.М. Черевко
Построение областей стойкости линейных
дифференциально-разностных уравнений
Исследованы условия ограничения и методика построения области устойчивости линейных
дифференциальных уравнений с множеством опозданий.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 33
I. I. Klevchuk, S.A. Pernay, I.M. Cherevko
The construction of the stability domains of linear differential-difference
equations
We investigate the boundedness conditions and the methods of construction of a stability domain
of linear differential equations with several delays.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84293 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:39:37Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Клевчук, І.І. Пернай, С.А. Черевко, І.М. 2015-07-06T08:35:37Z 2015-07-06T08:35:37Z 2012 Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь / I.I. Клевчук, С.А. Пернай, I.М. Черевко // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 28-34. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84293 517.925 Дослiджено умови обмеженостi та методику побудови областi стiйкостi лiнiйних диференцiальних рiвнянь з багатьма запiзненнями. Исследованы условия ограничения и методика построения области устойчивости линейных
 дифференциальных уравнений с множеством опозданий. We investigate the boundedness conditions and the methods of construction of a stability domain
 of linear differential equations with several delays. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь Построение областей стойкости линейных дифференциально-разностных уравнений The construction of the stability domains of linear differential-difference equations Article published earlier |
| spellingShingle | Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь Клевчук, І.І. Пернай, С.А. Черевко, І.М. Математика |
| title | Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь |
| title_alt | Построение областей стойкости линейных дифференциально-разностных уравнений The construction of the stability domains of linear differential-difference equations |
| title_full | Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь |
| title_fullStr | Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь |
| title_full_unstemmed | Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь |
| title_short | Побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь |
| title_sort | побудова областей стійкості лінійних диференціально-різницевих рівнянь |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84293 |
| work_keys_str_mv | AT klevčukíí pobudovaoblasteistíikostílíníinihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹ AT pernaisa pobudovaoblasteistíikostílíníinihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹ AT čerevkoím pobudovaoblasteistíikostílíníinihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹ AT klevčukíí postroenieoblasteistoikostilineinyhdifferencialʹnoraznostnyhuravnenii AT pernaisa postroenieoblasteistoikostilineinyhdifferencialʹnoraznostnyhuravnenii AT čerevkoím postroenieoblasteistoikostilineinyhdifferencialʹnoraznostnyhuravnenii AT klevčukíí theconstructionofthestabilitydomainsoflineardifferentialdifferenceequations AT pernaisa theconstructionofthestabilitydomainsoflineardifferentialdifferenceequations AT čerevkoím theconstructionofthestabilitydomainsoflineardifferentialdifferenceequations |