Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами
Отримано апрiорнi нерiвностi для системи параболiчних рiвнянь iз сингулярними правими частинами, що описують точковi джерела фiзичних полiв, та доведено iснування
 єдиного розв’язку задачi про дифузивно-конвективний перенос сумiшi iзотопiв у пористому середовищi з урахуванням явища фiлiацiї....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84295 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами / С. I. Ляшко, Д.А. Клюшин, Г.М. Стешенко // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 38-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860238177138114560 |
|---|---|
| author | Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Стешенко, Г.М. |
| author_facet | Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Стешенко, Г.М. |
| citation_txt | Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами / С. I. Ляшко, Д.А. Клюшин, Г.М. Стешенко // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 38-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано апрiорнi нерiвностi для системи параболiчних рiвнянь iз сингулярними правими частинами, що описують точковi джерела фiзичних полiв, та доведено iснування
єдиного розв’язку задачi про дифузивно-конвективний перенос сумiшi iзотопiв у пористому середовищi з урахуванням явища фiлiацiї.
Получены априорные неравенства для системы параболических уравнений с сингулярными
правыми частями, описывающими точечные источники физических полей, и доказано существование единственного решения задачи диффузно-конвективного переноса смеси изотопов в пористой среде с учетом филиации.
A priori inequalities for a system of parabolic equations with singular right-hand sides describing
the point sources of physical fields are obtained, and the existence of a unique solution of the
problem of diffusion-convection transport of an isotope mixture in porous medium with regard for
the filiation is proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:26:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2012
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.71
© 2012
Член-кореспондент НАН України С. I. Ляшко, Д. А. Клюшин,
Г.М. Стешенко
Iснування i єдинiсть слабкого розв’язку системи рiвнянь
параболiчного типу з сингулярними правими частинами
Отримано апрiорнi нерiвностi для системи параболiчних рiвнянь iз сингулярними пра-
вими частинами, що описують точковi джерела фiзичних полiв, та доведено iснування
єдиного розв’язку задачi про дифузивно-конвективний перенос сумiшi iзотопiв у пори-
стому середовищi з урахуванням явища фiлiацiї.
Задача математичного моделювання конвективної дифузiї сумiшi iзотопiв на даний час
вивчена досить мало. Серед основних робiт на цю тематику зазначимо статтi Шоке [1, 2],
Шоке i Цимермана [3] та Дугласа i Спаньоло [4]. В данiй роботi, розглянувши лiнiйний
варiант моделi Шоке з точковими джерелами та застосувавши теорiю, яка була детально
розроблена в роботах С. I. Ляшка та його однодумцiв [5, 6], ми поставили задачу довести
iснування єдиного розв’язку даної задачi.
Постановка задачi. Нехай Ω ∈ R
n — обмежена область з гладкою межею ∂Ω. Розгля-
немо в цилiндричнiй областi Q = {(0 < t < T ) × Ω} початково-крайову задачу
LU = F, (1)
де
L =
∂
∂t
+ Cu1
+Du1
−a1(x) . . . 0 0
0
∂
∂t
+ Cu2
+Du2
. . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . .
∂
∂t
+ CuY −1
+DuY −1
−aY−1(x)
0 0 . . . 0
∂
∂t
+ CuY
+DuY
,
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
U =
u1(x, t)
u2(x, t)
. . .
uY (x, t)
, F =
f1(x)
f2(x)
. . .
fY (x)
.
Початково-крайовi умови матимуть вигляд
us(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, s = 1, . . . , Y , us(x, 0) = 0, k = 1, . . . , Y , (2)
сама система рiвнянь конвективної дифузiї —
u1t −
n
∑
i,j=1
(a1ij(x)u1xi
)xj
+
n
∑
i=1
a1i(x)u1xi
+ a1(x)(u1 − u2) = f1(x),
u2t −
n
∑
i,j=1
(a2ij(x)u2xi
)xj
+
n
∑
i=1
a2i(x)u2xi
+ a2(x)(u2 − u3) = f2(x),
. . .
unt −
n
∑
i,j=1
(anij(x)u2xi
)xj
+
n
∑
i=1
ani(x)u2xi
+ an(x)un = fn(x).
(3)
Нехай коефiцiєнти системи (3) задовольняють умови
asi,j = asji(x) ∈ C1(Ω), asi(x) ∈ C1(Ω), s = 1, . . . , Y ,
as(x) ∈ C1(Ω), s = 1, . . . , Y ,
(4)
а також виконуються такi нерiвностi:
n
∑
i,j=1
asijξiξj > ks
n
∑
i=1
ξ2i , s = 1, . . . , Y ,
n
∑
i=1
asi(x) 6 as(x), s = 1, . . . , Y ,
n
∑
i=1
(asi(x))xi
6 as(x), s = 1, . . . , Y ,
as(x) > 0, s = 1, . . . , Y .
(5)
Областю визначення D(L) оператора L є множина функцiй з (C∞(Q))n, що задовольняють
умови (2).
Для дослiдження в просторах H та L2(Q) введемо скалярний добуток i такi норми:
‖u‖2L2
(Q) =
∫
Q
u2dQ, (u, υ)L2(Q) =
∫
Q
uυdQ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 39
‖u‖2H(Q) =
∫
Q
(
(u)2t +
2
∑
i=1
(u)2xi
+
2
∑
i,j=1
(u)2xixj
)
dQ
та розглянемо простори HK та (L2(Q))K вектор-функцiй U = (u1, u2, . . . , uK) та HK×M
i (L2(Q))K×M матриць-функцiй U =
u11 . . . u1K
. . . . . . . . .
uM1 . . . uMK
, де uk та umk належать H та L2(Q)
вiдповiдно, i введемо скалярний добуток i норми:
(U, V )LK
2
=
K
∑
k=1
∫
Q
ukυkdQ, (U, V )
LK×M
2
=
K,M
∑
k,m=1
∫
Q
ukmυkmdQ,
‖U‖2
LK
2
(Q) =
∫
Q
K
∑
k=1
(uk)
2dQ, ‖U‖2
LK×M
2
(Q) =
∫
Q
K,M
∑
k,m=1
(ukm)2dQ,
‖U‖2HK (Q) =
∫
Q
K
∑
k=1
(
(uk)
2
t +
2
∑
i=1
(uk)
2
xi
+
2
∑
i,j=1
(uk)
2
xixj
)
dQ,
‖U‖2HK×M (Q) =
∫
Q
K,M
∑
k,m=1
(
(ukm)2t +
2
∑
i=1
(ukm)2xi
+
2
∑
i,j=1
(ukm)2xixj
)
dQ.
Формально спряжений оператор записується в такому виглядi:
V L∗ = G,
(
v1 v2 . . . vY
)
×
L∗
1 0 . . . 0 0
−a1(x) L∗
2 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . L∗
Y−1 0
0 0 . . . −aY−1(x) L∗
Y
=
(
g1 g2 . . . gY
)
,
L∗
1 = −ν1t −
n
∑
i,j=1
(a1ijν1xj
)xi
−
n
∑
i=1
a1xi
ν1xi
+ a1(x)ν1,
L∗
2 = −ν2t −
n
∑
i,j=1
(a2ijν2xj
)xi
−
n
∑
i=1
a2xi
ν2xi
+ a2(x)ν2,
. . .
L∗
Y = −νY t −
n
∑
i,j=1
(aY ijνY xj
)xi
−
n
∑
i=1
aY xi
νY xi
+ aY (x)νY .
(6)
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
Областю визначення D(L∗) оператора L∗ є множина функцiй (C∞(Q))n, що задовольняє
умови
νs(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, s = 1, . . . , Y , νs(x, T ) = 0, s = 1, . . . , Y . (7)
Простiр H+ — поповнення простору D(L∗) за аналогiчною нормою з H.
По парам H, L2(Q) та H+, L2(Q) побудуємо негативнi простори (H)∗ та (H+)
∗, а по
парам HK , (L2(Q))K та HK
+ , (L2(Q))K — негативнi простори (H+)
∗ та (HK
+ )∗, поповнюючи
L2(Q) та (L2(Q))K за нормами:
‖f‖(H)∗ = sup
u∈H
u 6=0
|(f, u)L2(Q)|
‖u‖H
, ‖F‖(HK )∗ = sup
U∈HK
U 6=0
|(F,U )(L2(Q))K |
‖U‖HK
,
‖f‖(H+)∗ = sup
υ∈H+
υ 6=0
|(f, υ)L2(Q)|
‖υ‖H+
, ‖F‖(HK
+
)∗ = sup
V ∈HK
+
V 6=0
|(F, V )(L2(Q))K |
‖V ‖HK
+
.
Має мiсце ланцюжок щiльних вкладень просторiв:
H ⊂ L2(Q) ⊂ (H)∗, (HK) ⊂ (LK
2 (Q)) ⊂ (HK)∗,
H+ ⊂ L2(Q) ⊂ (H+)
∗, (HK
+ ) ⊂ (LK
2 (Q)) ⊂ (HK
+ )∗,
ci — константи, ci > 0 i не залежить вiд U та V .
Апрiорнi нерiвностi та теореми про iснування i єдинiсть слабкого розв’язку.
Для даної постановки задачi отримано такi леми та теореми.
Лема 1. Для довiльної функцiї U(t, x) ∈ D(L) має мiсце оцiнка
‖LU‖LY
2
(Q) 6 C1‖U‖HY .
Лема 2. Для довiльної функцiї V (t, x) ∈ D(L∗) має мiсце оцiнка
‖L∗V ‖LY
2
(Q) 6 C1‖V ‖HY
+
.
Лема 3. Для довiльної функцiї U(t, x) ∈ H має мiсце оцiнка
C1‖U‖HY 6 ‖LU‖LY
2
(Q).
Лема 4. Для довiльної функцiї V (t, x) ∈ D(L∗) має мiсце оцiнка
C1‖v‖HY
+
6 ‖L∗V ‖LY
2
(Q).
Теорема 1. Для будь-якого елемента F ∈ (L2(Q))Y iснує єдиний розв’язок U ∈ HY
операторного рiвняння LU = F в нормi простору (L2(Q))Y .
Теорема 2. Для будь-якого елемента F ∈ (L2(Q))Y iснує єдиний розв’язок V ∈ HY
+
операторного рiвняння V L∗ = G.
Теорема 3. Для будь-якого елемента F ∈ (HY
+ )∗ iснує єдиний слабкий розв’язок U ∈
∈ (L2(Q))Y задачi LU = F .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 41
Теорема 4. Для будь-якого елемента G ∈ (HY )∗ iснує єдиний слабкий розв’язок V ∈
∈ (L2(Q))Y задачi V L∗ = G.
В роботi отриманi апрiорнi нерiвностi для параболiчних систем iз сингулярними правими
частинами, що описують точковi джерела радiоактивного забруднення, а також доведено
iснування єдиного слабкого розв’язку задачi конвекцiї-дифузiї сумiшi iзотопiв у пористому
середовищi з урахуванням явища фiлiацiї.
1. Choquet C. Radionuclide transport model with wells // Asymptotic Analysis. – 2004. – 37. – P. 57–78.
2. Choquet C. Existence result for a radionuclide transport model with unbounded viscosity // J. of Math.
and Fluid Mechanics. – 2004. – 6. – P. 365–388.
3. Choquet C., Zimmermann S. Study of a finite volume-finite element scheme for a nuclear transport model. —
http://arxiv.org/abs/0704.1286.
4. Douglas J. Jr. The transport of nuclear contamination in fractured porous media // J. of Korean Math.
Society. – 2001. – 38. – 723–761 p.
5. Ляшко С.И. Моделирование и оптимизация подземного массопереноса. – Киев: Наук. думка, 1998. –
240 с.
6. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. – Киев: Наук. думка, 1998. – 472 с.
Надiйшло до редакцiї 09.11.2011Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Член-корреспондент НАН Украины С.И. Ляшко, Д.А. Клюшин,
Г. Н. Стешенко
Существование и единственность слабого решения системы
уравнений параболического типа с сингулярными правыми частями
Получены априорные неравенства для системы параболических уравнений с сингулярными
правыми частями, описывающими точечные источники физических полей, и доказано суще-
ствование единственного решения задачи диффузно-конвективного переноса смеси изотопов
в пористой среде с учетом филиации.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine S. I. Lyashko, D.A. Klyushin,
G.M. Steshenko
Existence and uniqueness of the weak solution of a system of equations
of the parabolic type with singular right-hand sides
A priori inequalities for a system of parabolic equations with singular right-hand sides describing
the point sources of physical fields are obtained, and the existence of a unique solution of the
problem of diffusion-convection transport of an isotope mixture in porous medium with regard for
the filiation is proved.
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84295 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:26:42Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Стешенко, Г.М. 2015-07-06T08:38:21Z 2015-07-06T08:38:21Z 2012 Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами / С. I. Ляшко, Д.А. Клюшин, Г.М. Стешенко // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 38-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84295 519.71 Отримано апрiорнi нерiвностi для системи параболiчних рiвнянь iз сингулярними правими частинами, що описують точковi джерела фiзичних полiв, та доведено iснування
 єдиного розв’язку задачi про дифузивно-конвективний перенос сумiшi iзотопiв у пористому середовищi з урахуванням явища фiлiацiї. Получены априорные неравенства для системы параболических уравнений с сингулярными
 правыми частями, описывающими точечные источники физических полей, и доказано существование единственного решения задачи диффузно-конвективного переноса смеси изотопов в пористой среде с учетом филиации. A priori inequalities for a system of parabolic equations with singular right-hand sides describing
 the point sources of physical fields are obtained, and the existence of a unique solution of the
 problem of diffusion-convection transport of an isotope mixture in porous medium with regard for
 the filiation is proved. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами Существование и единственность слабого решения системы уравнений параболического типа с сингулярными правыми частями Existence and uniqueness of the weak solution of a system of equations of the parabolic type with singular right-hand sides Article published earlier |
| spellingShingle | Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Стешенко, Г.М. Інформатика та кібернетика |
| title | Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами |
| title_alt | Существование и единственность слабого решения системы уравнений параболического типа с сингулярными правыми частями Existence and uniqueness of the weak solution of a system of equations of the parabolic type with singular right-hand sides |
| title_full | Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами |
| title_fullStr | Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами |
| title_full_unstemmed | Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами |
| title_short | Існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами |
| title_sort | існування і єдиність слабкого розв'язку системи рівнянь параболічного типу з сингулярними правими частинами |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84295 |
| work_keys_str_mv | AT lâškosí ísnuvannâíêdinístʹslabkogorozvâzkusistemirívnânʹparabolíčnogotipuzsingulârnimipravimičastinami AT klûšinda ísnuvannâíêdinístʹslabkogorozvâzkusistemirívnânʹparabolíčnogotipuzsingulârnimipravimičastinami AT stešenkogm ísnuvannâíêdinístʹslabkogorozvâzkusistemirívnânʹparabolíčnogotipuzsingulârnimipravimičastinami AT lâškosí suŝestvovanieiedinstvennostʹslabogorešeniâsistemyuravneniiparaboličeskogotipassingulârnymipravymičastâmi AT klûšinda suŝestvovanieiedinstvennostʹslabogorešeniâsistemyuravneniiparaboličeskogotipassingulârnymipravymičastâmi AT stešenkogm suŝestvovanieiedinstvennostʹslabogorešeniâsistemyuravneniiparaboličeskogotipassingulârnymipravymičastâmi AT lâškosí existenceanduniquenessoftheweaksolutionofasystemofequationsoftheparabolictypewithsingularrighthandsides AT klûšinda existenceanduniquenessoftheweaksolutionofasystemofequationsoftheparabolictypewithsingularrighthandsides AT stešenkogm existenceanduniquenessoftheweaksolutionofasystemofequationsoftheparabolictypewithsingularrighthandsides |