О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов
Рассмотрена задача о страгивании межфазных трещин в кусочно-однородном изотропном упругом теле в угловой точке границы раздела сред в случае полного гладкого контакта берегов. Точное решение соответствующей краевой задачи построено методом
 Винера–Хопфа. Розглянуто задачу про зрушення мiжфаз...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84297 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Г.А. Хазин // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 48-53. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860233368502796288 |
|---|---|
| author | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Хазин, Г.А. |
| author_facet | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Хазин, Г.А. |
| citation_txt | О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Г.А. Хазин // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 48-53. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассмотрена задача о страгивании межфазных трещин в кусочно-однородном изотропном упругом теле в угловой точке границы раздела сред в случае полного гладкого контакта берегов. Точное решение соответствующей краевой задачи построено методом
Винера–Хопфа.
Розглянуто задачу про зрушення мiжфазних трiщин у кусково-однорiдному iзотропному
пружному тiлi в кутовiй точцi межi подiлу середовищ у випадку повного гладкого контакту берегiв. Точний розв’язок вiдповiдної крайової задачi побудовано методом Вiнера–Хопфа.
The problem of the start of the interfacial cracks in a piece-homogeneous isotropic elastic body at
a corner point of the interface is considered in the case of a full smooth contact of faces. An exact
solution of the corresponding boundary-value problem is constructed by the Wiener–Hopf method.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:22:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2012
МЕХАНIКА
УДК 539.375
© 2012
А.А. Каминский, Л. А. Кипнис, Г. А. Хазин
О страгивании межфазных трещин в угловой точке
границы раздела сред при полном гладком контакте
берегов
(Представлено академиком НАН Украины Я.М. Григоренко)
Рассмотрена задача о страгивании межфазных трещин в кусочно-однородном изотроп-
ном упругом теле в угловой точке границы раздела сред в случае полного гладкого кон-
такта берегов. Точное решение соответствующей краевой задачи построено методом
Винера–Хопфа.
Для горного дела существенный интерес представляют решения задач теории упругости
о предельном равновесии тел, находящихся в условиях сжатия и содержащих трещины
с контактирующими берегами. Такие трещины могут зарождаться вблизи различных остро-
конечных концентраторов напряжений в горных массивах сложной структуры. Если эти
трещины неустойчивы, то после достижения состояния предельного равновесия режим их
развития будет динамическим, что может привести к разрушению массива.
Ниже дается решение задачи о предельном равновесии кусочно-однородного изотропно-
го упругого тела с межфазными трещинами в угловой точке границы раздела сред в случае
полного гладкого контакта берегов.
В условиях плоской деформации в рамках статической симметричной задачи рассмот-
рим кусочно-однородное тело с границей раздела сред в форме сторон угла, которое состав-
лено из изотропных упругих частей с модулями Юнга E1, E2 (E1 > E2) и коэффициентами
Пуассона ν1, ν2 (рис. 1).
В силу общих положений о поведении напряжений вблизи угловых точек упругих тел [1]
угловая точка границы раздела сред O представляет собой остроконечный концентратор
напряжений со степенной особенностью. При этом справедливы следующие формулы:
τrθ(r, 0) = Cg1r
λ + o(rλ), σθ(r, 0) = Cg2r
λ + o(rλ) (r → 0).
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
Рис. 1
Здесь
g1 = λg11 sinλα+ g12 sin(λ+ 2)α,
g11 = (1− e)λ2 sin2 2α cos(λ+ 2)α− (1− κ1 − 2e)λ sin 2α cos(λ+ 2)α cos λ(π − α)×
× sin[λ(π − α)− 2α] + [2− (1− κ2)e]λ sin 2α cos λα sin(λ+ 2)α cos(λ+ 2)α−
− 2[1− κ1− (1− κ2)e] cos λα sin(λ+ 2)α cos(λ+ 2)α cos λ(π− α) sin[λ(π− α)− 2α] +
+ (1 + κ1)λ sin 2α sin(λ+ 2)α cos λ(π − α) cos[λ(π − α)− 2α] +
+ (1 + κ1)(1− κ2) cos λα sin2(λ+ 2)α cos λ(π − α) cos[λ(π − α)− 2α]−
− (1 + κ2)λ sin 2α cos λα sin(λ+ 2)α cos(λ+ 2)α +
+ (1− κ1)(1 + κ2) cos λα sin(λ+ 2)α cos(λ+ 2)α cos λ(π − α) sin[λ(π − α)− 2α],
g12 = (1− κ1 − 2e)λ(1 − κ2 + λ) sin 2α cos λα cos λ(π − α) sin[λ(π − α)− 2α] −
− (1− e)(1− κ2 + λ)λ2 sin2 2α cos λα−
− [2− (1− κ2)e]λ(1− κ2 + λ) sin 2α cos2 λα sin(λ+ 2)α +
+ 2[1−κ1− (1−κ2)e](1− κ2+ λ) cos2 λα sin(λ+ 2)α cos λ(π− α) sin[λ(π− α)− 2α]−
−(1 + κ1)λ
2 sin 2α sinλα cosλ(π − α) cos[λ(π − α)− 2α] −
− (1 + κ1)(1− κ2)λ sinλα cos λα sin(λ+ 2)α cos λ(π − α) cos[λ(π − α)− 2α] +
+(1 + κ2)λ
2 sin 2α sinλα cosλα cos(λ+ 2)α −
− (1− κ1)(1 + κ2)λ sinλα cos λα cos(λ+ 2)α cos λ(π − α) sin[λ(π − α)− 2α],
e =
1 + ν2
1 + ν1
e0, e0 =
E1
E2
, κ1,2 = 3− 4ν.
Для g2 имеет место подобное выражение.
Показатель степени сингулярности напряжений λ представляет собой единственный на
интервале ] − 1; 0] корень уравнения
∆(−x− 1) = 0,∆(z) = δ0(z) + δ1(z)e + δ2(z)e
2,
δ0(z) = (sin 2zα+ z sin 2α)[κ1 sin 2z(π − α) + z sin 2α],
δ1(z) = (1 + κ1)(1 + κ2) sin
2 zπ − (sin 2zα + z sin 2α)[κ1 sin 2z(π − α) + z sin 2α]−
− [sin 2z(π − α)− z sin 2α](κ2 sin 2zα− z sin 2α),
δ2(z) = [sin 2z(π − α)− z sin 2α](κ2 sin 2zα− z sin 2α).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 49
Рис. 2
Постоянная C должна определяться из решения каждой конкретной задачи теории упругос-
ти, изображенной на рис. 1. Будем считать эту постоянную отрицательной возрастающей по
модулю функцией внешней нагрузки, что соответствует широкому классу задач, в которых
тело находится в условиях сжатия.
Как показывают результаты расчетов, λ > −1/2; g1(α) < 0 при α 6= 0, π/2, π; g1(0) =
= g1(π/2) = g1(π) = 0; g1 = 0, если E1 = E2, ν1 = ν2; g2(α) < 0 при α ∈]0;α1]
⋃
]π/2;α2],
g2(α) > 0 при α ∈]α1;π/2]
⋃
]α2;π], g2(0) = g2(α1) = g2(π/2) = g2(α2) = g2(π) = 0; g2 = 0,
если E1 = E2, ν1 = ν2. Если e0 увеличивается, то α1, α2 уменьшаются.
В табл. 1 приведены некоторые значения показателя степени сингулярности напряже-
ний λ при ν1ν2 = 0,3. Значениям e0, равным 2; 3; 5; 10, соответствуют значения α1, равные
38,2◦; 34,4◦; 29,3◦; 21,7◦, и значения α2, равные 134,2◦; 133,4◦; 133,1◦; 131,3◦ (ν1 = ν2 =
= 0,3).
Используя приведенную информацию о функции g2 и считая всюду в дальнейшем α ∈
∈]α1;π/2[
⋃
]α2;π[, заключаем, что σθ(r, 0) → −∞ при r → 0. Поэтому на границе раздела
сред вблизи угловой точки нормальные напряжения являются сжимающими. Тогда вслед-
ствие высокой концентрации напряжений в угловой точке возможно зарождение исходя-
щих из нее межфазных трещин с полностью контактирующими берегами, длина которых
в значительной степени меньше размеров тела. Чем больше отличаются друг от друга ма-
териалы, тем шире область значений угла α, при которых следует ожидать образование
таких трещин. Предполагается, что трение между берегами трещин отсутствует.
Ставится задача определения условия страгивания зародившихся трещин и исследова-
ния их равновесия на устойчивость.
С учетом малости трещин приходим к плоской статической симметричной задаче теории
упругости для кусочно-однородной изотропной плоскости с границей раздела сред в форме
сторон угла, содержащей разрезы конечной длины, исходящие из угловой точки и распо-
ложенные на этой границе (рис. 2). На бесконечности реализуется асимптотика, представ-
ляющая собой решение аналогичной задачи без разрезов (задача К), порождаемое един-
ственным на интервале ]−1; 0[ корнем ее характеристического уравнения. Произвольная
постоянная C, входящая в указанное решение, считается заданной. Она характеризует ин-
тенсивность внешнего поля и должна определяться из решения внешней задачи.
Таблица 1
e0
α, ◦
15 30 45 60 75 105 120 135 150 165
2 −0,036 −0,075 −0,112 −0,112 −0,086 −0,025 −0,054 −0,089 −0,117 −0,104
3 −0,068 −0,132 −0,180 −0,184 −0,127 −0,037 −0,081 −0,130 −0,173 −0,168
5 −0,122 −0,232 −0,258 −0,248 −0,167 −0,049 −0,104 −0,168 −0,228 −0,241
10 −0,215 −0,310 −0,332 −0,308 −0,203 −0,059 −0,124 −0,202 −0,278 −0,318
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
Граничные условия рассматриваемой задачи (рис. 2) имеют следующий вид:
θ = π − α, τrθ = 0, uθ = 0; θ = −α, τrθ = 0, uθ = 0;
θ = 0, 〈σθ〉 = 〈τrθ〉 = 0, 〈uθ〉 = 0;
(1)
θ = 0, r < l, τrθ = 0; θ = 0, r > l, 〈ur〉 = 0; (2)
θ = 0, r → ∞, τrθ = Cg1r
λ + o(1/r). (3)
Здесь −α 6 θ 6 π − α; 〈a〉 — скачок a.
Решение сформулированной задачи теории упругости представляет собой сумму реше-
ний следующих двух задач. Первая отличается от нее тем, что вместо первого условия (2)
имеем
θ = 0, r < l, τrθ = −Cg1r
λ, (4)
а на бесконечности напряжения затухают как o(1/r) (в (3) отсутствует первое слагаемое).
Вторая задача — задача К. Поскольку решение второй задачи известно, достаточно по-
строить решение первой.
Для построения точного решения первой задачи используется метод Винера–Хопфа в со-
четании с аппаратом интегрального преобразования Меллина [2–4].
Применяя преобразование Меллина к уравнениям равновесия, условию совместности
деформаций, закону Гука, условиям (1) и учитывая второе условие (2) и условие (4), при-
ходим к следующему функциональному уравнению Винера–Хопфа:
Φ+(p) +
τ
p+ λ+ 1
= A ctg pπG(p)Φ−(p)
A =
(1 + κ1)[1 + κ1 + (1 + κ2)e]
2[κ1 + (1 + κ1κ2)e+ κ2e2]
, G(p) =
G1(p)
G2(p)
,
G1(p) = [κ1 + (1 + κ1κ2)e+ κ2e
2][a0(p) + a1(p)e] sin pπ,
G2(p) = [1 + κ1 + (1 + κ2)e][b0(p) + b1(p)e+ b2(p)e
2] cos pπ,
a0(p) = (1 + κ1)[cos 2p(π − α)− cos 2α](sin 2pα+ p sin 2α),
a1(p) = (1 + κ2)(cos 2pα− cos 2α)[sin 2p(π − α)− p sin 2α], (5)
b0(p) = (sin 2pα+ p sin 2α)[κ1 sin 2p(π − α) + p sin 2α],
b1(p) = (1 + κ1)(1 + κ2) sin
2 pπ − (sin 2pα+ p sin 2α)[κ1 sin 2p(π − α) + p sin 2α] −
− [sin 2p(π − α) − p sin 2α](κ2 sin 2pα− p sin 2α),
b2(p) = [sin 2p(π − α)− p sin 2α](κ2 sin 2pα− p sin 2α), τ = −Cg1l
λ,
Φ+(p) =
∞
∫
1
τrθ(ρl, 0)ρ
pdρ,Φ−(p) =
E1
4(1− ν2
1
)
1
∫
0
〈
∂ur
∂r
〉∣
∣
∣
∣r=ρl
θ=0
ρpdρ.
Здесь −ε1 < Re p < ε2, ε1,2 — достаточно малые положительные числа.
Подобные уравнения решены, например, в [2, 3].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 51
Решение уравнения (5) имеет вид
Φ+ =
τK+(p)G+(p)
p+ λ+ 1
[
1
K+(−λ− 1)G+(−λ− 1)
− 1
K+(p)G+(p)
]
(Re p < 0),
Φ−(p) =
τpG−(p)
AK+(−λ− 1)G+(−λ− 1)(p + λ+ 1)K−(p)
(Re p > 0),
exp
[
1
2πi
i∞
∫
−i∞
lnG(z)
z − p
dz
]
=
{
G+(p), Re p < 0,
G−(p), Re p > 0,
K±(p) =
Γ(1∓ p)
Γ(1/2 ∓ p)
(6)
(Γ(z) — гамма-функция).
Определим коэффициент интенсивности напряжений KII в конце O′ трещины. Вблизи
точки O′ в силу общих положений о поведении напряжений в окрестностях угловых точек
упругих тел реализуется асимптотика, представляющая собой решение однородной стати-
ческой задачи теории упругости для кусочно-однородной изотропной плоскости, содержа-
щей на прямолинейной границе раздела сред полубесконечную линию разрыва касательно-
го смещения, порождаемое корнем −1/2 ее характеристического уравнения. В частности,
имеют место асимптотики
θ = 0, r → l + 0, τrθ ∼
κ1 + e+ 1 + κ2e
2(1 + κ2e)
KII
√
2π(r − l)
,
θ = 0, r → l − 0,
〈
∂ur
∂r
〉
∼ −4(1 − ν21)
E1
κ1 + e
1 + κ1
KII
√
2π(l − r)
.
(7)
Исходя из (7), по теореме абелева типа получаем
p → ∞, Φ+(p) ∼ κ1 + e+ 1 + κ2e
2(1 + κ2e)
KII√
−2pl
; Φ−(p) ∼ −κ1 + e
1 + κ1
KII√
2pl
. (8)
С помощью (6) находим асимптотику
p → ∞, Φ−(p) ∼ τ
AK+(−λ− 1)G+(−λ− 1)
√
p
. (9)
Согласно (8), (9) получаем формулу для коэффициента интенсивности напряжений в конце
O′ трещины
KII =
2
√
2(1 + κ2e)g1Γ(λ+ 3/2)
[1 + κ1 + (1 + κ2)e]Γ(λ+ 2)G+(−λ− 1)
Clλ+1/2. (10)
Руководствуясь силовым критерием разрушения [5] и приравнивая правую часть (10) к кри-
тическому значению коэффициента интенсивности напряжений KIIc, представляющему со-
бой заданную постоянную материала, приходим к следующему уравнению, служащему для
определения разрушающей нагрузки:
C =
[1 + κ1 + (1 + κ2)e]Γ(λ + 2)G+(−λ− 1)
2
√
2(1 + κ2e)g1Γ(λ+ 3/2)
KIIc
lλ+1/2
. (11)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
Таким образом, страгивание трещин произойдет тогда, когда параметр нагружения C,
возрастая по модулю с ростом внешней нагрузки, достигнет своего предельного значения,
определяемого формулой (11).
Поскольку λ > −1/2, из (10) находим
∂KII
∂l
=
2
√
2(1 + κ2e)(λ+ 1/2)g1Γ(λ+ 3/2)
[1 + κ1 + (1 + κ2)e]Γ(λ+ 2)G+(−λ− 1)
Clλ−1/2 > 0. (12)
Используя (12) и критерий устойчивости равновесия трещин [5], можно сформулировать
следующий вывод. Если из угловой точки границы раздела изотропных упругих сред исхо-
дят межфазные трещины, длина которых в значительной степени меньше размеров тела,
находящегося в условиях сжатия, то в случае полного гладкого контакта берегов их равно-
весие неустойчиво. После достижения состояния предельного равновесия режим развития
трещин будет динамическим.
1. Партон В. З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – Москва: Наука, 1981. –
688 с.
2. Каминский А.А., Кипнис Л.А., Хазин Г.А. О критерии начала роста двух сдвиговых трещин в
упругом теле в условиях плоской деформации // Прикл. механика. – 2006. – 42, № 4. – С. 83–90.
3. Каминский А.А., Кипнис Л.А., Хазин Г.А. Об устойчивости равновесия трещины Коттрелла //
Прикл. механика. – 2010. – 46, № 2. – С. 13–23.
4. Нобл Б. Применение метода Винера–Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных
производных. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. – 279 с.
5. Механика разрушения и прочность материалов: Справ. пособие. В 4 т. Т. 1. Основы механики раз-
рушения материалов / Панасюк В. В., Андрейкив А.Е., Партон В. З. – Киев: Наук. думка, 1988. –
488 с.
Поступило в редакцию 01.12.2011Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Уманский государственный педагогический
университет им. Павла Тычины
А.О. Камiнський, Л.А. Кiпнiс, Г. А. Хазiн
Про зрушення мiжфазних трiщин у кутовiй точцi межi подiлу
середовищ при повному гладкому контактi берегiв
Розглянуто задачу про зрушення мiжфазних трiщин у кусково-однорiдному iзотропному
пружному тiлi в кутовiй точцi межi подiлу середовищ у випадку повного гладкого контак-
ту берегiв. Точний розв’язок вiдповiдної крайової задачi побудовано методом Вiнера–Хопфа.
A.A. Kaminsky, L. A. Kipnis, G.A. Khazin
On the start of interfacial cracks at a corner point of the interface under
a full smooth contact of faces
The problem of the start of the interfacial cracks in a piece-homogeneous isotropic elastic body at
a corner point of the interface is considered in the case of a full smooth contact of faces. An exact
solution of the corresponding boundary-value problem is constructed by the Wiener–Hopf method.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 53
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84297 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:22:10Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Хазин, Г.А. 2015-07-06T08:40:26Z 2015-07-06T08:40:26Z 2012 О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Г.А. Хазин // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 48-53. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84297 539.375 Рассмотрена задача о страгивании межфазных трещин в кусочно-однородном изотропном упругом теле в угловой точке границы раздела сред в случае полного гладкого контакта берегов. Точное решение соответствующей краевой задачи построено методом
 Винера–Хопфа. Розглянуто задачу про зрушення мiжфазних трiщин у кусково-однорiдному iзотропному
 пружному тiлi в кутовiй точцi межi подiлу середовищ у випадку повного гладкого контакту берегiв. Точний розв’язок вiдповiдної крайової задачi побудовано методом Вiнера–Хопфа. The problem of the start of the interfacial cracks in a piece-homogeneous isotropic elastic body at
 a corner point of the interface is considered in the case of a full smooth contact of faces. An exact
 solution of the corresponding boundary-value problem is constructed by the Wiener–Hopf method. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов Про зрушення мiжфазних трiщин у кутовiй точцi межi подiлу середовищ при повному гладкому контактi берегiв On the start of interfacial cracks at a corner point of the interface under a full smooth contact of faces Article published earlier |
| spellingShingle | О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Хазин, Г.А. Механіка |
| title | О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов |
| title_alt | Про зрушення мiжфазних трiщин у кутовiй точцi межi подiлу середовищ при повному гладкому контактi берегiв On the start of interfacial cracks at a corner point of the interface under a full smooth contact of faces |
| title_full | О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов |
| title_fullStr | О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов |
| title_full_unstemmed | О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов |
| title_short | О страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов |
| title_sort | о страгивании межфазных трещин в угловой точке границы раздела сред при полном гладком контакте берегов |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84297 |
| work_keys_str_mv | AT kaminskiiaa ostragivaniimežfaznyhtreŝinvuglovoitočkegranicyrazdelasredpripolnomgladkomkontakteberegov AT kipnisla ostragivaniimežfaznyhtreŝinvuglovoitočkegranicyrazdelasredpripolnomgladkomkontakteberegov AT hazinga ostragivaniimežfaznyhtreŝinvuglovoitočkegranicyrazdelasredpripolnomgladkomkontakteberegov AT kaminskiiaa prozrušennâmižfaznihtriŝinukutoviitočcimežipodiluseredoviŝpripovnomugladkomukontaktiberegiv AT kipnisla prozrušennâmižfaznihtriŝinukutoviitočcimežipodiluseredoviŝpripovnomugladkomukontaktiberegiv AT hazinga prozrušennâmižfaznihtriŝinukutoviitočcimežipodiluseredoviŝpripovnomugladkomukontaktiberegiv AT kaminskiiaa onthestartofinterfacialcracksatacornerpointoftheinterfaceunderafullsmoothcontactoffaces AT kipnisla onthestartofinterfacialcracksatacornerpointoftheinterfaceunderafullsmoothcontactoffaces AT hazinga onthestartofinterfacialcracksatacornerpointoftheinterfaceunderafullsmoothcontactoffaces |