Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения
Предложен генератор случайных величин в виде программы на основе Mathcad, конвертирующей равномерно распределённые числа компьютерного датчика в последовательность DN-распределённых случайных чисел. Исследованы характеристики воспроизводимости, стабильности, независимости и быстродействия программн...
Saved in:
| Published in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84345 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения / В.М. Грибов, В.П. Стрельников // Математичні машини і системи. — 2014. — № 1. — С. 178-184. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859797370851557376 |
|---|---|
| author | Грибов, В.М. Стрельников, В.П. |
| author_facet | Грибов, В.М. Стрельников, В.П. |
| citation_txt | Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения / В.М. Грибов, В.П. Стрельников // Математичні машини і системи. — 2014. — № 1. — С. 178-184. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | Предложен генератор случайных величин в виде программы на основе Mathcad, конвертирующей равномерно распределённые числа компьютерного датчика в последовательность DN-распределённых случайных чисел. Исследованы характеристики воспроизводимости, стабильности, независимости и быстродействия программного конвертора.
Запропоновано генератор випадкових величин у вигляді програми на основі Mathcad, що конвертує рівномірно розподілені числа комп'ютерного датчика в послідовність DN-розподілу випадкових чисел. Досліджено характеристики відтворюваності, стабільності, незалежності й швидкодії програмного конвертора.
The generator of random values in the form of programme on the basis of Mathcad, converting regular uniformly distributed numbers of the computer gauge in sequence of the DN-distribution random numbers is offered. Characteristics of reproducibility, stability, independence and speedwork of programme converter are investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:10:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
178 © Грибов В.М., Стрельников В.П., 2014
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 1
ЯКІСТЬ, НАДІЙНІСТЬ І СЕРТИФІКАЦІЯ
ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ТЕХНІКИ І ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
УДК 681.32.019.3
В.М. ГРИБОВ*, В.П. СТРЕЛЬНИКОВ**
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С ФУНКЦИЕЙ
DN-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
*
Национальный авиационный университет, Киев, Украина
**
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина
Анотація. Запропоновано генератор випадкових величин у вигляді програми на основі Mathcad, що
конвертує рівномірно розподілені числа комп'ютерного датчика в послідовність DN -розподілу
випадкових чисел. Досліджено характеристики відтворюваності, стабільності, незалежності й
швидкодії програмного конвертора.
Ключові слова: випадкові числа, конвертування, закон розподілу, вибіркове середнє, відтворюва-
ність, стабільність, незалежність, швидкодія.
Аннотация. Предложен генератор случайных величин в виде программы на основе Mathcad, кон-
вертирующей равномерно распределённые числа компьютерного датчика в последовательность
DN -распределённых случайных чисел. Исследованы характеристики воспроизводимости, ста-
бильности, независимости и быстродействия программного конвертора.
Ключевые слова: случайные числа, конвертирование, закон распределения, выборочное среднее,
воспроизводимость, стабильность, независимость, быстродействие.
Abstract. The generator of random values in the form of programme on the basis of Mathcad, converting
regular uniformly distributed numbers of the computer gauge in sequence of the DN -distribution random
numbers is offered. Characteristics of reproducibility, stability, independence and speedwork of
programme converter are investigated.
Keywords: random values, conversion, distribution law, the sample mean, reproducibility, stability, inde-
pendence, speedwork.
1. Введение
Моделирование можно определить как исследование реально существующих систем, про-
цессов или явлений с целью их познания, изучения, а также для предсказания явлений, ин-
тересующих исследователя. В авиации моделирование является одним из эффективных ме-
тодов управления качеством авиационной техники. Моделирование процесса функциони-
рования проектируемых систем позволяет исследовать с минимальными затратами време-
ни и средств зависимость показателей эффективности и отказоустойчивости авионики как
системных свойств перспективных авиационных комплексов бортового оборудования от
принимаемых структурных технических решений и сравнить рассматриваемые варианты.
По результатам моделирования на этапе проектирования осуществляется целенаправлен-
ное достижение заданного уровня указанных показателей за счет изменения технических
решений, закладываемых в структуру авионики и обеспечиваемых на этапе производства.
Моделирование процесса эксплуатации авионики и воздушных судов в целом по-
зволяет определить оптимальные параметры и характеристики технического обслужива-
ния, в полной мере реализовать заданные свойства бортового оборудования и обеспечить
эффективную работу авиакомпании.
Способ моделирования случайных величин подробно описан в различных источни-
ках, например, в работах [3, 4], авторы которой реализуют описанный подход на алгорит-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 1 179
Рис. 1. Иллюстрация к конвертированию в статистическом
эксперименте случайного rnd -числа 0,5313 в случайное
dn -число 83,0=mX
мическом языке программирования, вычисляя функцию нормированного нормального
распределения Ф(arg) с помощью полиномиальной аппроксимации. Известно также пред-
ставление Ф(arg) с помощью степенного ряда [2].
Описанное ниже конвертирование “rnd(1)⇒DN(X)” основано на применении
современного информационного системного приложения Mathcad, которое на протяжении
многих последних лет является бесспорным лидером в своем классе математического и
образовательного программного обеспечения. Как показала практика преподавания в
Национальном авиационном университете (г. Киев) учебных дисциплин, связанных с
решением задач надёжности и диагностики бортового оборудования, Mathcad предлагает
простой и эффективный инструментарий для исследований по данной тематике, в том числе
и в задачах имитационного моделирования процессов и систем.
2. Программа-конвертор “rnd(1) ⇒⇒⇒⇒ DN(X)”
При моделировании процессов и систем авионики с целью статистического оценивания её
надёжности в качестве случайной величины выбирается время до отказа i -го элемента или
время достижения процессом деградации предельного значения, подчиняющегося DN -
распределению.
Генератор равномерно распределённых в интервале [0, 1] псевдослучайных чисел
задаёт значения вероятности отказа )ν,()ν,( XFXQ = . Переход от )ν,(XF к значениям
приведенных наработок до отказа µ/tX = реализуется на основе уравнения [4]
,
ν
1
ν
2
exp
ν
1
)ν,()ν,()1(
2
⋅
+−Φ⋅
+
⋅
−Φ===
X
X
X
X
XFXQrnd
(1)
где )1(rnd – функция обращения к генератору равномерно распределенных чисел;
)ν,( XF – функция DN -распределения случайной величины X ;
µ и v – известные параметры DN -распределения элемента, смысловое содержание ко-
торых подробно изложено
в [3].
Иллюстрация с
комментариями, пояс-
няющими конвертацию
равномерно распределён-
ного числа )1(rnd в число
X , имеющее диффузион-
ное немонотонное рас-
пределение, представлена
на рис. 1, где в выраже-
нии mFXF ≡)ν,( про-
грамма Mathcad
cnorm(arg) обеспечивает
вычисление функции
нормированного нор-
мального распределения
Ф(arg).
Последователь-
ность, содержащая N . dn -распределенных чисел, реализуется в компьютерной программе-
конверторе и приведена на листинге 1.
180 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 1
Fm
y
Fm-1
F(X)
Xm-1 Xdn Xm
∆
Рис. 2. Схема линейной интерполяции
при вычислении dnX
Листинг 1. Программа-конвертор dn -распределенных чисел
Входными параметрами программы-конвертора случайных чисел являются матема-
тическое ожидание µ и коэффициент вариации ν случайной величины t (наработки до
отказа) элемента системы.
Внешний цикл программы ( )Nnfor ..1∈ задаёт объём статистических эксперимен-
тов в имитационном моделировании.
Внутренний цикл программы ( )Mmfor ..1∈ обеспечивает последовательное вы-
числение значений правой части уравнения (1) как функции аргумента mX с заданным ша-
гом 1−−=∆ mm XXX и сравнивает полученные результаты mF с )1(rndy ← ; выполнение
условия yFm > останавливает вычисления ( )yFifbreak m > .
В этом состоянии программы выполня-
ются соотношения
1−>> mm FyF и 1−>> mdnm XXX ,
где dnX – точный результат конвертирования
равномерно распределенного числа y в случай-
ное dn -распределённое число.
Точное значение dn -распределённого
числа ∆+= −1mdn XX и находится с помощью
линейной интерполяции согласно приведенному
на рис. 2 чертежу, где ∆ определяется из подо-
бия треугольников.
Интерполяционная формула в программе
µ⋅
∆
+−
−+← −
−
−
− X
FF
Fy
Xdn
mm
m
mn 100
1
1
1 10
(2)
обеспечивает также переход от dnX к абсолютному значению случайной величины tdn ~
путём умножения результата интерполяции (в скобках) на заданное значение µ DN -
распределения. Слагаемое 10–100 в формуле (2) исключает возможное обнуление знамена-
теля при малых значениях X в начале вычисления функции распределения ( )XF . Введе-
ние интерполяции позволило увеличить шаг X∆ вычисления функции распределения
( )XF без потери точности воспроизведения dn -последовательностей, что в конечном счё-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 1 181
те повысило быстродействие конвертора. Рекомендованное значение 01,0=∆X получено в
результате исследования влияния X∆ на точность воспроизведения параметров µ и v –
DN -распределения.
Качество конвертирования оценивалось по критериям воспроизводимости, стабиль-
ности, независимости и быстродействия [4].
3. Воспроизводимость конвертора “rnd(1)⇒⇒⇒⇒DN(X)”
Критерий воспроизводимости означает, что статистические моменты формируемой конверто-
ром случайной числовой DN -последовательности должны соответствовать характеристикам
распределения отказов исследуемой системы. Иными словами, случайные числа на выходе
конвертора (наработки до отказа) должны адекватно воспроизводить во времени “картину”
появления отказов в реальной системе. Для проверки воспроизводимости конвертора обычно
используют известные статистические критерии согласия (Пирсона, Колмогорова, ω2 [3]).
Процедура количественной оценки воспроизводимости конвертора dn -последовательностей
случайных чисел представлена на листинге 2.
Листинг 2. Количественная оценка воспроизводимости конвертора
Значение вероятности 50,0=P означает, что расхождения теоретической кривой
плотности ( )tfтеор и гистограммы распределения dn -чисел на выходе конвертора носят
исключительно случайный характер, что свидетельствует о высокой воспроизводимости
конвертором заданной модели ( )vtf ,,µ распределения случайных значений величины t –
наработки до отказа.
182 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 1
4. Стабильность конвертора “rnd(1)⇒⇒⇒⇒DN(X)”
Критерий стабильности означает, что статистические характеристики dn -последо-
вательностей на выходе конвертора имеют малый разброс при последовательных выборках
случайных чисел. Стабильность конвертора оценивалась точностью воспроизведения за-
данных характеристик распределения при моделировании наработок до отказа в 50=J
выборках объёмом 1000=N каждая.
Для получения средних значений и коэффициентов вариации случайных чисел в
формируемой на выходе конвертора dn -последовательности, как по одной выборке, так и
по J выборкам, используются стандартные процедуры Mathcad:
• mean (⋅) – для оценки средних значений;
• stdev (⋅) – для оценки средних квадратичных отклонений от среднего значения.
Обработка полученной статистики показывает, что относительные выборочные по-
грешности воспроизведения параметров DN -распределения составляют mean(δµ)=0,314 %
и mean(δν)=0,085 % (листинг 3), что говорит о высокой стабильности характеристик, фор-
мируемых конвертором dn-последовательностей случайных чисел.
Листинг 3. Оценки стабильности воспроизведения параметров µ и v
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 1 183
5. Независимость конвертирования числовых последовательностей
Критерий независимости характеризует случайность формируемых dn -последо-
вательностей или неповторяемость случайных чисел в соседних выборках [1] и оценивается
коэффициентом парной корреляции сorrK для двух выборок, который вычисляется по за-
висимости вида:
,
)(
1
)(
1
)()(
1
5.0
1
2
1
2
1
сorr
−⋅×−⋅
−×−⋅
=
∑∑
∑
==
=
N
i
i
N
i
i
N
i
ii
yy
N
xx
N
yyxx
N
K
(3)
где ix , iy – элементы 1-ой и 2-ой исследуемых dn -последовательностей (выборок X и Y ),
интерпретируемые как приведенные значения наработок до отказа µ/t ;
varc
1
)()(
1
Kyyxx
N
N
i
ii =−×−⋅∑
=
– корреляционный момент (ковариация) выборок X и
Y ;
∑∑
==
⋅=⋅=
N
i
i
N
i
i y
N
yx
N
x
11
1
,
1
– математические ожидания параметра масштаба в выборках
X и Y ;
2
1
2 σ)(
1
х
N
i
i xx
N
=−⋅∑
=
, 2
1
2 σ)(
1
y
N
i
i xx
N
=−⋅∑
=
– дисперсии выборок X и Y .
В результате расчётов ковариация двух выборок не превышает 0,012 %
)00012,0( −=arcvK , а коэффициент парной корреляции составил не более 0,02 %
)0002,0( −=сorrK (листинг 4).
Листинг 4. Результат оценивания независимости формируемых dn -последовательностей
X и Y случайных чисел
Столь малые значения ковариации и коэффициента парной корреляции свидетельст-
вуют о более чем достаточной для практических исследований независимости формируе-
мых DN-конвертором случайных числовых последовательностей.
6. Быстродействие конвертора “rnd(1) ⇒⇒⇒⇒ DN(X)”
Предварительно приближённая оценка быстродействия конвертора может быть получена
по продолжительности работы программы анализа стабильности статистических характе-
184 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 1
ристик формируемых последовательностей случайных чисел (листинг 3). При общем чис-
ле статистических экспериментов, равном 4105 ⋅=× NJ , и ожидаемом числе итераций вы-
числения функции mF , равном ∼ 80 после каждого обращения к датчику rnd(1), затраты
времени на получение оценок стабильности δµ и δν составили 60 sec при рабочей частоте
процессора РС 0,95 GHz.
7. Выводы
1. DN-конвертор случайных числовых последовательностей имеет достаточно высокие
значения характеристик воспроизводимости, стабильности, независимости, быстродейст-
вия и может использоваться в научных исследованиях для имитационного моделирования
процессов и систем, в которых последовательность событий (появление отказов) описыва-
ется диффузионным немонотонным распределением.
2. При имитационном моделировании процессов и систем предлагаемое конвертирование
“rnd(1) ⇒ DN(X)” в информационном пакете Mathcad исключает необходимость програм-
мирования решений задач надёжности в алгоритмических языках [2, 4], а конвертор логи-
чески встраивается в моделирующую программу.
3. Все этапы реализации модели и обработка результатов моделирования оформляются на
страницах рабочего поля в виде единого Mathcad-документа с комментариями на основе
текстового редактора, с выводом результатов на основе символьного и графического ре-
дакторов и вставками необходимых иллюстраций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Вентцель Е.С. – [изд. 5-е]. – М.: Наука, 1998. – 576 с.
2. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Basic для персональных ЭВМ
/ Дьяконов В.П. – М.: Наука, 1987. – 240 с.
3. Стрельников В.П. Оценка и прогнозирование надёжности электронных элементов и систем /
В.П. Стрельников, А.В. Федухин. – К.: Логос, 2002. – 486 с.
4. Федухин А.В. К вопросу о статистическом моделировании надёжности / А.В. Федухин,
Н.В. Сеспедес Гарсия // Математичні машини і системи. – 2006. – № 1. – С. 156 – 163.
Стаття надійшла до редакції 23.01.2014
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84345 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:10:37Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Грибов, В.М. Стрельников, В.П. 2015-07-06T16:47:19Z 2015-07-06T16:47:19Z 2014 Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения / В.М. Грибов, В.П. Стрельников // Математичні машини і системи. — 2014. — № 1. — С. 178-184. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84345 681.32.019.3 Предложен генератор случайных величин в виде программы на основе Mathcad, конвертирующей равномерно распределённые числа компьютерного датчика в последовательность DN-распределённых случайных чисел. Исследованы характеристики воспроизводимости, стабильности, независимости и быстродействия программного конвертора. Запропоновано генератор випадкових величин у вигляді програми на основі Mathcad, що конвертує рівномірно розподілені числа комп'ютерного датчика в послідовність DN-розподілу випадкових чисел. Досліджено характеристики відтворюваності, стабільності, незалежності й швидкодії програмного конвертора. The generator of random values in the form of programme on the basis of Mathcad, converting regular uniformly distributed numbers of the computer gauge in sequence of the DN-distribution random numbers is offered. Characteristics of reproducibility, stability, independence and speedwork of programme converter are investigated. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения Моделювання випадкових величин з функцією DN-розподілу Modeling of random values of the DN-distribution Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения Грибов, В.М. Стрельников, В.П. Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення |
| title | Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения |
| title_alt | Моделювання випадкових величин з функцією DN-розподілу Modeling of random values of the DN-distribution |
| title_full | Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения |
| title_fullStr | Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения |
| title_full_unstemmed | Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения |
| title_short | Моделирование случайных величин с функцией DN-распределения |
| title_sort | моделирование случайных величин с функцией dn-распределения |
| topic | Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення |
| topic_facet | Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84345 |
| work_keys_str_mv | AT gribovvm modelirovanieslučainyhveličinsfunkcieidnraspredeleniâ AT strelʹnikovvp modelirovanieslučainyhveličinsfunkcieidnraspredeleniâ AT gribovvm modelûvannâvipadkovihveličinzfunkcíêûdnrozpodílu AT strelʹnikovvp modelûvannâvipadkovihveličinzfunkcíêûdnrozpodílu AT gribovvm modelingofrandomvaluesofthedndistribution AT strelʹnikovvp modelingofrandomvaluesofthedndistribution |