Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів
Для аналiтичних у крузi характеристичних функцiй ймовiрнiсних законiв у термiнах узагальнених порядкiв встановлено зв’язок мiж зростанням максимуму модуля i спаданням суми “хвостiв” ймовiрнiсного закону. Для аналитических в круге характеристических функций вероятностных законов в терминах обобщенны...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84350 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів / О.М. Кiнаш, М. I. Пароля, М.М. Шеремета // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 13-17. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84350 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кінаш, О.М. Пароля, М.І. Шеремета, М.М. 2015-07-06T18:29:44Z 2015-07-06T18:29:44Z 2012 Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів / О.М. Кiнаш, М. I. Пароля, М.М. Шеремета // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 13-17. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84350 519.21+517.37 Для аналiтичних у крузi характеристичних функцiй ймовiрнiсних законiв у термiнах узагальнених порядкiв встановлено зв’язок мiж зростанням максимуму модуля i спаданням суми “хвостiв” ймовiрнiсного закону. Для аналитических в круге характеристических функций вероятностных законов в терминах обобщенных порядков установлена связь между возрастанием максимума модуля и убыванием суммы “хвостов” вероятностного закона. For the characteristic functions, which are analytic in a disk, of probability laws in terms of generalized orders, the relation between the modulus maximum growth and the decrease of a sum of “tails” of a probability law is established. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів Возрастание характеристических функций вероятностных законов A growth of the characteristic functions of probability laws Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів |
| spellingShingle |
Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів Кінаш, О.М. Пароля, М.І. Шеремета, М.М. Математика |
| title_short |
Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів |
| title_full |
Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів |
| title_fullStr |
Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів |
| title_full_unstemmed |
Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів |
| title_sort |
зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів |
| author |
Кінаш, О.М. Пароля, М.І. Шеремета, М.М. |
| author_facet |
Кінаш, О.М. Пароля, М.І. Шеремета, М.М. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Возрастание характеристических функций вероятностных законов A growth of the characteristic functions of probability laws |
| description |
Для аналiтичних у крузi характеристичних функцiй ймовiрнiсних законiв у термiнах
узагальнених порядкiв встановлено зв’язок мiж зростанням максимуму модуля i спаданням суми “хвостiв” ймовiрнiсного закону.
Для аналитических в круге характеристических функций вероятностных законов в терминах обобщенных порядков установлена связь между возрастанием максимума модуля и убыванием суммы “хвостов” вероятностного закона.
For the characteristic functions, which are analytic in a disk, of probability laws in terms of generalized orders, the relation between the modulus maximum growth and the decrease of a sum of “tails”
of a probability law is established.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84350 |
| citation_txt |
Зростання характеристичних функцій ймовірнісних законів / О.М. Кiнаш, М. I. Пароля, М.М. Шеремета // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 13-17. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kínašom zrostannâharakterističnihfunkcíiimovírnísnihzakonív AT parolâmí zrostannâharakterističnihfunkcíiimovírnísnihzakonív AT šeremetamm zrostannâharakterističnihfunkcíiimovírnísnihzakonív AT kínašom vozrastanieharakterističeskihfunkciiveroâtnostnyhzakonov AT parolâmí vozrastanieharakterističeskihfunkciiveroâtnostnyhzakonov AT šeremetamm vozrastanieharakterističeskihfunkciiveroâtnostnyhzakonov AT kínašom agrowthofthecharacteristicfunctionsofprobabilitylaws AT parolâmí agrowthofthecharacteristicfunctionsofprobabilitylaws AT šeremetamm agrowthofthecharacteristicfunctionsofprobabilitylaws |
| first_indexed |
2025-11-25T20:34:28Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:34:28Z |
| _version_ |
1850525683166478336 |
| fulltext |
УДК 519.21+517.37
© 2012
О.М. Кiнаш, М. I. Пароля, М. М. Шеремета
Зростання характеристичних функцiй ймовiрнiсних
законiв
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Для аналiтичних у крузi характеристичних функцiй ймовiрнiсних законiв у термiнах
узагальнених порядкiв встановлено зв’язок мiж зростанням максимуму модуля i спа-
данням суми “хвостiв” ймовiрнiсного закону.
Неспадна неперервна злiва на (−∞,+∞) функцiя F називається [1, c. 10] ймовiрнiсним
законом, якщо lim
x→+∞
F (−x) = 0 i lim
x→+∞
F (x) = 1, а характеристичною функцiєю закону F
називається [1, c. 12] функцiя
ϕ(z) = ϕ(z;F ) =
+∞
∫
−∞
eizxdF (x), z ∈ (−∞,+∞). (1)
Якщо функцiя ϕ допускає аналiтичне продовження на круг DR = {z : |z| < R}, 0 < R 6 +∞,
то вона називається аналiтичною в DR. Надалi вважатимемо, що DR є найбiльшим кругом
аналiтичностi функцiї ϕ. Вiдомо [1, c. 37–38], що для того щоб характеристична функцiя ϕ
була аналiтичною в DR, необхiдно i достатньо, щоб для кожного r ∈ [0, R)
WF (x) =: 1− F (x) + F (−x) = O(e−rx), x → +∞. (2)
Якщо R = +∞ (тобто ϕ — цiла характеристична функцiя) i ϕ(z) 6≡ const, то [1,
c. 45] iснує скiнченна чи нескiнченна границя lim
r→+∞
r−1 lnM(r, ϕ) > 0, де M(r, ϕ) =
= max{|ϕ(z)| : |z| = r}. Тому якщо ρ[ϕ] = lim
r→+∞
(ln lnM(r, ϕ)/ ln r) — порядок функцiї ϕ
i σ[ϕ] = lim
r→+∞
(lnM(r, ϕ)/rρ[ϕ]) — її тип, визначений за умови 0 < ρ[ϕ] < +∞, то або
ρ[ϕ] > 1, або ρ[ϕ] = 1 i σ[ϕ] > 0. Б. Рамачандран [2] (див. також [1, c. 54]) показав, що за
умови 1 6 ρ[ϕ] < +∞ правильна формула
1
ρ[ϕ]
+
1
γ[F ]
= 1, γ[F ] = lim
x→+∞
ln ln(1/WF (x))
lnx
, (3)
a за умови 1 < ρ[ϕ] < +∞
(γ[F ]δ[F ])ρ[ϕ]−1σ[ϕ]ρ[ϕ] = 1, δ[F ] = lim
x→+∞
x−γ[F ] ln
1
WF (x)
. (4)
Н. I. Яковлєва [3, 4] узагальнила формулу (3), використовуючи узагальненi порядки [5].
Як i в [5], через L позначимо клас неперервних додатних на (−∞,+∞) функцiй α таких,
що α(x) ≡ α(x0) > 0 для x 6 x0 i α(x) ↑ +∞ при x0 6 x → +∞. Будемо говорити, що
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 13
α ∈ L0, якщо α ∈ L i α((1 + o(1))x) = (1 + o(1))α(x) при x → +∞. Нарештi, α ∈ Lпз,
якщо α ∈ L i α(cx) = ((1 + o(1)))α(x) x → +∞ для кожного c ∈ (0,+∞), тобто α —
повiльно зростаюча функцiя. В [4] доведено, що якщо α ∈ Lпз i β ∈ L0, то для того щоб
lim
r→+∞
1
β(r)
α
(
1
r
lnM(r, ϕ)
)
= γ > 0, необхiдно i достатньо, щоб lim
x→+∞
1
α(x)
β
(
1
x
ln
1
WF (x)
)
=
=
1
γ
.
Оскiльки унiверсальної шкали зростання побудувати не можна, Б.В. Винницький [6]
встановив зв’язок мiж зростанням M(r, ϕ) i спаданням WF (x) для цiлих функцiй у термiнах
функцiї Φ−1(x), оберненої до функцiї Φ(x) = lnM(ex, ϕ). Вiн показав, що якщо ϕ має
нескiнченний порядок, то lim
x→+∞
Φ−1(x)
ln((1/x) ln(1/WF (x)))
= 1. М. Девес [7] замiсть функцiй
з класiв L0 i Lпз розглядала функцiї α i β такi, що lim
x→+∞
α(kx)
α(x)
6 A0k
a i lim
x→+∞
β(kx)
β(x)
6 B0k
b
для k > 1, де a, b, A0, B0 — додатнi сталi i, зрозумiло, замiсть рiвностей отримала оцiнки
lim
r→+∞
1
β(r)
α
(
lnM(r, ϕ)
r
)
зверху i знизу через lim
x→+∞
α(x)
β((1/x) ln(1/WF (x)))
.
Для аналiтичної в одиничному крузi D1 функцiї ϕ порядок i тип вводяться за формула-
ми ρ∗[ϕ] = lim
r↑1
ln+ ln+M(r, ϕ)
− ln(1− r)
i σ∗[ϕ] = lim
r↑1
(1 − r)ρ
∗[ϕ] ln+M(r, ϕ) за умови 0 < ρ∗[ϕ] < +∞.
В.М. Сорокiвський [8] довiв, що якщо ϕ — аналiтична в D1 характеристична функцiя ймо-
вiрнiсного закону F , то
1
γ∗[F ]
−
1
ρ∗[F ]
= 1, γ∗[F ] = lim
x→+∞
ln+
(
1− ln
1
WF (x)
)
lnx
, (5)
i
(γ∗[F ]δ∗[F ])ρ
∗[ϕ]+1 = σ∗[ϕ]ρ∗[ϕ], δ∗[F ] = lim
x+→∞
x−γ∗[F ]
(
x− ln
1
WF (x)
)+
. (6)
В [9] вiн показав, що якщо α ∈ Lпз i β ∈ Lпз такi, що lim
x→+∞
d ln β−1(cα(x))
d lnx
< 1,
lim
x→+∞
α(xα−1(cβ(x)))
β(x)
= c i β−1
(
cα
(
x
β−1(cα(x))
))
= (1 + o(1))β−1(cα(x)) при x → +∞
для кожного c ∈ (0;+∞), то
lim
r↑1
α(lnM(r, ϕ))
β
(
1
1− r
) = lim
x→+∞
α(x)
β
((
1
/
(
1−
1
x
ln
1
WF (x)
))+) . (7)
Тут ми доповнимо та узагальнимо вищенаведенi результати. Для цiлих характеристичних
функцiй правильна така теорема.
Теорема 1. Якщо або α ∈ Lпз i β ∈ L0, або α ∈ L0 i β ∈ Lпз, а ϕ — цiла характерис-
тична функцiя ймовiрнiсного закону F , то
lim
r→+∞
α
(
1
r
lnM(r, ϕ)
)
β(r)
= lim
x→+∞
α(x)
β
(
1
x
ln
1
WF (x)
) . (8)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
За умов α ∈ Lпз i β ∈ L0 теорема 1 збiгається з наведеним вище результатом Н. I. Яков-
лєвої [4], який вказує на зв’язок мiж зростанням M(r, ϕ) i спаданням WF (x) у випадку,
коли (1/r) lnM(r, ϕ) прямує до +∞ досить швидко. За умов α ∈ L0 i β ∈ Lпз теорема 1
є новим результатом i вказує на такий зв’язок, коли (1/r) lnM(r, ϕ) прямує до +∞ повiль-
но. Якщо виберемо α(x) = β(x) = lnx, для x > x0, то з (8) отримаємо формулу (3) для
знаходження порядку.
Для знаходження типу цiлої характеристичної функцiї ймовiрнiсного закону F пра-
вильна така рiвнiсть:
lim
r→+∞
lnM(r, ϕ)
rρ
=
ρ− 1
ρρ
lim
x→+∞
x
(
1
x
ln
1
WF (x)
)ρ−1 , ρ = ρ[ϕ],
з якої випливає формула (4). У випадку, коли характеристична функцiя ϕ ймовiрнiсно-
го закону F аналiтична у крузi DR, 0 < R < +∞, ситуацiя дещо iнша, бо ϕ може бути
обмеженою в DR, а для того щоб M(r, ϕ) ↑ +∞ при r ↑ R, достатньо, щоб
lim
r↑R
WF (x)e
Rx = +∞. (9)
Швидкiсть зростання функцiї M(r, ϕ) залежить вiд асимптотичного поводження функцiї
WF (x)e
Rx, на що вказує нижченаведена теорема.
Теорема 2. Нехай ϕ — аналiтична в DR, 0 < R < +∞, характеристична функцiя
ймовiрнiсного закону F , який задовольняє умову (9), а ρ∗[ϕ] — її порядок. Тодi
lim
x→+∞
ln+ ln+(WF (x)e
Rx)
lnx
=
ρ∗[ϕ]
ρ∗[ϕ] + 1
i lim
x→+∞
lnx
ln x
ln+(WF (x)eRx)
= ρ∗[ϕ],
а якщо 0 < ρ∗[ϕ] < +∞, то для типу σ∗[ϕ] правильнi формули
σ∗[ϕ] =
ρρ
(ρ+ 1)ρ+1
lim
x→+∞
(ln+(WF (x)e
Rx))ρ+1
xρ
=
ρρ
(ρ+ 1)ρ
lim
x→+∞
x
(
x
ln+(WF (x)eRx)
)ρ+1 ,
де ρ = ρ∗[ϕ].
Для R = 1 формули з теореми 2 збiгаються з формулами (5) i (6). Доцiльнiсть наведення
формули для знаходження ρ∗[ϕ] i σ∗[ϕ] в теоремi 2 у двох варiантах видно з таких трьох
теорем.
Теорема 3. Нехай функцiї α ∈ Lпз i β ∈ Lпз такi, що (β−1(cα(x)))/x → 0
i α(x/(β−1(cα(x)))) = (1 + o(1))α(x) при x → +∞ для кожного c ∈ (0,+∞), a ϕ — ана-
лiтична в DR, 0 < R < +∞, характеристична функцiя ймовiрнiсного закону F , який
задовольняє умову (9). Тодi
lim
r↑R
α(lnM(r, ϕ))
β
(
1
R− r
) = lim
x→+∞
α(x)
β
(
x
ln+(WF (x)eRx)
) . (10)
Зауважимо, що для R = 1 формула (10) збiгається з формулою (7), але умови на α i β
слабшi, нiж у [9].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 15
Теорема 4. Нехай функцiї α ∈ Lпз i β ∈ Lпз такi, що α(ln x)/β(x) → 0, α−1(cβ(x))/x →
→ 0 i β(x/(α−1(cβ(x))) = (1 + o(1))β(x) при x → +∞ для кожного c ∈ (0,+∞), a ϕ —
аналiтична в DR, 0 < R < +∞, характеристична функцiя ймовiрнiсного закону F , який
задовольняє умову (9). Тодi
lim
r↑R
α(lnM(r, ϕ))
β
(
1
R− r
) = lim
x→+∞
α(ln+(WF (x)e
Rx))
β(x)
.
Зауважимо, що умови на α i β в теоремi 3 вказують на те, що функцiя α зростає повiль-
нiше, нiж функцiя β, а з умов теореми 4 випливає, що функцiя β зростає повiльнiше, нiж
функцiя α. Цiкавим є випадок коли функцiї α i β мають однакове зростання, наприклад
коли α(x) ≡ β(x). Правильна така теорема.
Теорема 5. Нехай функцiя α ∈ Lпз така, що α(ln x)/α(x) → 0 i α(x/(α−1(cα(x)))) =
= (1 + o(1))α(x) при x → +∞ для будь-якого c ∈ (0, 1), a ϕ — аналiтична в DR, 0 <
< R < ∞, характеристична функцiя ймовiрнiсного закону F , який задовольняє умо-
ву (9). Нехай ρ∗α[ϕ] = lim
r↑R
α(lnM(r, ϕ))/α(1/(R − r)). Тодi якщо ρα[ϕ] > 1, то ρ∗α[ϕ] =
= lim
x→+∞
α(x)
/
α
(
x
ln+(WF (x)eRx)
)
, а якщо ρ∗α[ϕ] < 1, то ρ∗α[ϕ] = lim
x→+∞
α(ln(WF (x)e
Rx))
α(x)
.
У теоремах 3, 4 функцiї α i β є повiльно зростаючими. Проте можна отримати аналоги
цих теорем, коли одна з цих функцiй є степеневою. На це вказують нижченаведенi теореми.
Теорема 6. Нехай α ∈ Lпз i α(x/α(x)) = (1+o(1))α(x) при x → +∞, а ϕ — аналiтична
в DR, 0 < R < +∞, характеристична функцiя ймовiрнiсного закону F , який задовольняє
умову (9). Тодi
lim
r↑R
(R− r)α(lnM(r, ϕ)) = lim
x→∞
α(x)
x
ln+(WF (x)e
Rx).
Теорема 7. Нехай β ∈ Lпз, (lnx)/β(x) → 0 i β(x/β(x)) = (1 + o(1))β(x) при x → +∞,
а ϕ — аналiтична в DR, 0 < R < +∞, характеристична функцiя ймовiрнiсного закону F ,
який задовольняє умову (9). Тодi
lim
r↑R
lnM(r, ϕ)
β
(
1
R− r
) = lim
x→+∞
ln+(WF (x)e
Rx)
β(x)
.
Зауважимо, що в теоремах 4 i 7 усунути умову α(ln x)/β(x) → 0 при x → +∞ не
можна. Покажемо це на прикладi теореми 7 з β(x) = lnx. Нехай F (x) = 0 для x 6 0,
F (x) = 1 − e−R для 0 < x 6 1, i F (x) = 1 − xe−Rx для x > 1. Тодi ϕ(t) = 1 − e−R +
+
∞
∫
1
eitxdF (x) i M(r, ϕ) = |ϕ(−ir)| = 1− e−R + e−(R−r) +
re−(R−r)
(R− r)2
(1 +R− r) =
(1 + o(1))R
(R− r)2
,
при r ↑ R, тобто lim
r↑R
lnM(r, ϕ)
β(1/(R − r))
= 2. З iншого боку, WF (x) = xe−Rx для x > 1, i, отже,
lim
x→+∞
ln(WF (x)e
Rx)
β(x)
= 1.
1. Линник Ю.В., Островский Н.В. Разложение случайных величин и векторов. – Москва: Наука, 1972. –
479 с.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
2. Ramachandran B. On the order and the type of entire characteristic functions // Ann. Math. – 1962. –
33, No 4. – P. 1238–1255.
3. Яковлева Н.И. О росте целых характеристических функций вероятностных законов // Теория функ-
ций, функц. анализ и их приложения. – 1971. – Вып. 15. – С. 43–49.
4. Яковлева Н.И. О росте целых характеристических функций вероятностных законов // Вопросы мат.
физики и функц. анализа. – Киев: Наук. думка, 1976. – С. 43–54.
5. Шеремета М. О связи между ростом максимума модуля целой функции и модулями коэффициентов
ее степенного разложения // Изв. вузов. Математика. – 1967. – № 2. – С. 100–108.
6. Винницкий Б.В. Об одном свойстве целых характеристических функций вероятностных законов //
Там же. – 1975. – № 4. – С. 95–97.
7. Dewess M. The tail behaviour of a distribution funсtion and its connection to the growth of its entire
characteristic function // Math. Nachr. – 1978. – 81. – P. 217–231.
8. Сорокивский В.М. О росте характеристических функций вероятностных законов // Изв. вузов. Ма-
тематика. – 1979. – № 9. – С. 48–52.
9. Сорокивский В.М. Об обобщенных порядках роста аналитических характеристических функций ве-
роятностных законов // Укр. мат. журн. – 1987. – 33, № 1. – С. 115–118.
Надiйшло до редакцiї 03.11.2011Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
О.М. Кинаш, М.И. Пароля, М. Н. Шеремета
Возрастание характеристических функций вероятностных законов
Для аналитических в круге характеристических функций вероятностных законов в тер-
минах обобщенных порядков установлена связь между возрастанием максимума модуля
и убыванием суммы “хвостов” вероятностного закона.
О. M. Kinash, M. I. Parolya, M. M. Sheremeta
A growth of the characteristic functions of probability laws
For the characteristic functions, which are analytic in a disk, of probability laws in terms of generali-
zed orders, the relation between the modulus maximum growth and the decrease of a sum of “tails”
of a probability law is established.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 17
|