Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів
Розглянуто задачу оптимального керування переносом сумiшi радiоiзотопiв. Доведено
 iснування i єдинiсть оптимального керування, а також побудовано алгоритм розв’язання вiдповiдної задачi оптимального керування. В работе исследована задача оптимального управления переносом смеси радиоизотопов...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84355 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів / С. I. Ляшко, Д.А. Клюшин, Г.М. Стешенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 42-46. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860107524927127552 |
|---|---|
| author | Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Стешенко, Г.М. |
| author_facet | Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Стешенко, Г.М. |
| citation_txt | Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів / С. I. Ляшко, Д.А. Клюшин, Г.М. Стешенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 42-46. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто задачу оптимального керування переносом сумiшi радiоiзотопiв. Доведено
iснування i єдинiсть оптимального керування, а також побудовано алгоритм розв’язання вiдповiдної задачi оптимального керування.
В работе исследована задача оптимального управления переносом смеси радиоизотопов. Доказано существование и единственность оптимального управления, а также разработан алгоритм решения соответствующей задачи оптимального управления.
The optimal control problem for the transport of a radioisotope mixture is investigated. The theorem
on existence and uniqueness of an optimal control is proved, and the algorithm for solving the
optimal control problem is developed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:32:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.71
© 2012
Член-кореспондент НАН України С. I. Ляшко, Д. А. Клюшин,
Г.М. Стешенко
Якiсне та чисельне дослiдження сингулярного
керування конвективною дифузiєю сумiшi радiоiзотопiв
Розглянуто задачу оптимального керування переносом сумiшi радiоiзотопiв. Доведено
iснування i єдинiсть оптимального керування, а також побудовано алгоритм розв’я-
зання вiдповiдної задачi оптимального керування.
В наш час у всьому свiтi iснує велика кiлькiсть могильникiв радiоактивних вiдходiв, але
питання математичного моделювання конвективної дифузiї сумiшi iзотопiв з урахуванням
явища фiлiацiї розкрите не повнiстю. В основних роботах на цю тему [1–4] дослiджено
iснування слабкого розв’язку нелiнiйної початково-крайової задачi, що описує перенос ра-
дiоактивних речовин у пористому середовищi з урахуванням явища фiлiацiї. Водночас досi
не було розглянуто задачу про iдентифiкацiю координат i потужностi точкових джерел
забруднення.
Постановка задачi. Для того щоб перейти до задачi оптимального керування, розгля-
немо таку постановку:
∂
∂t
+ Cu1
+Du1
0 . . . 0 0
−a1(x)
∂
∂t
+ Cu2
+Du2
. . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . .
∂
∂t
+ CuY −1
+DuS−1
0
0 0 . . . −aY−1(x)
∂
∂t
+ CuY
+DuY
×
×
u1(x, t)
u2(x, t)
. . .
uY (x, t)
= −
q11 q21 . . . qE1
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
q1Y q2Y . . . qEY
×
δ(x − r1)
δ(x − r2)
. . .
δ(x− rE)
, (1)
де
∂us
∂t
+ Cusus +Dusus =
=
∂us
∂t
−
2
∑
i,j=1
∂
∂xj
(
asij(x)
∂us
∂xi
)
+
2
∑
i=1
asi(x)
us
∂xi
+ as(x)us, s = 1, . . . , Y ,
WEY (t) =
q11 q21 . . . qE1
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
q1Y q2Y . . . qEY
, FE(x) =
δ(x− r1)
δ(x− r2)
. . .
δ(x− rE)
—
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
вiдповiднi матриця i вектор правих частин; δ(x) — δ-функцiя Дiрака. В цих позначеннях
стан системи задається крайовими умовами:
us(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, s = 1, . . . , Y , us(x, 0) = 0, s = 1, . . . , Y . (2)
Оператори дифузiйного переносу Du1
, Du2
, . . . ,DuY
є самоспряженими i додатно визначе-
ними в просторi Ω: Ds = D∗
s > k0E, s = 1, . . . , Y , де Е — тотожний оператор.
Оператори конвективного переносу Cu1
, Cu2
, . . . , CuY
є кососиметричними, тобто C∗
s =
= −Cs, s = 1, . . . , Y в L2(Q).
Припускаючи середовище нестискненим, маємо:
2
∑
i=1
(asi(x))xi
= 0, s = 1, . . . , Y .
Точки x = rp, p = 1, . . . , E, E ∈ N визначають положення джерел, потужностi яких (фун-
кцiї qps(t), s = 1, . . . , Y , p = 1, . . . , E) невiдомi. Додаткова iнформацiя iнтерпретується як
усереднення вимiрювання U(x, t) в околi деяких окремих точок zm ∈ Ω, m = 1, 2, . . . ,M .
З урахуванням похибки вимiрiв маємо:
U(x, t) =
u1(zm, t)
u2(zm, t)
. . .
uY (zm, t)
≈ ϕm(t) =
ϕu1m(t)
ϕu2m(t)
. . .
ϕuY m(t)
, m = 1, 2, . . . ,M. (3)
Для дослiдження в просторах H та L2(Q) введемо скалярний добуток i такi норми:
‖u‖2L2
(Q) =
∫
Q
u2dQ, (u, υ)L2(Q) =
∫
Q
uυdQ,
‖u‖2H(Q) =
∫
Q
(
(u)2t +
2
∑
i=1
(u)2xi
+
2
∑
i,j=1
(u)2xixj
)
dQ
та розглянемо простори HK та (L2(Q))K вектор-функцiй U = (u1, u2, . . . , uK) та HK×M
i (L2(Q))K×M матриць-функцiй U =
u11 . . . u1K
. . . . . . . . .
uM1 . . . uMK
, де uk та umk належать H та L2(Q)
вiдповiдно, i введемо скалярний добуток i норми:
(U, V )LK
2
=
K
∑
k=1
∫
Q
ukυkdQ, (U, V )
LK×M
2
=
K,M
∑
k,m=1
∫
Q
ukmυkmdQ,
‖U‖2
LK
2
(Q) =
∫
Q
K
∑
k=1
(uk)
2dQ, ‖U‖2
LK×M
2
(Q) =
∫
Q
K,M
∑
k,m=1
(ukm)2dQ,
‖U‖2HK (Q) =
∫
Q
K
∑
k=1
(
(uk)
2
t +
2
∑
i=1
(uk)
2
xi
+
2
∑
i,j=1
(uk)
2
xixj
)
dQ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 43
‖U‖2HK×M (Q) =
∫
Q
K,M
∑
k,m=1
(
(ukm)2t +
2
∑
i=1
(ukm)2xi
+
2
∑
i,j=1
(ukm)2xixj
)
dQ.
Аналогiчно для спряженої задачi вводяться простори HK
+ та H+.
За парами H, L2(Q) та H+, L2(Q) побудуємо негативнi простори (H)∗ та (H+)
∗, а за
парами HK , (L2(Q))K та HK
+ , (L2(Q))K — негативнi простори (H+)
∗ та (HK
+ )∗, поповнюючи
L2(Q) та (L2(Q))K за нормами:
‖f‖(H)∗ = sup
u∈H
u 6=0
|(f, u)L2(Q)|
‖u‖H
, ‖F‖(HK )∗ = sup
U∈HK
U 6=0
|(F,U )(L2(Q))K |
‖U‖HK
,
‖F‖(HK
+
)∗ = sup
V ∈HK
+
V 6=0
|(F, V )(L2(Q))K |
‖V ‖HK
+
, ‖f‖(H+)∗ = sup
υ∈H+
υ 6=0
|(f, υ)L2(Q)|
‖υ‖H+
.
Нехай керування qps належить гiльбертовому простору L2(Q). Необхiдно визначити
U(x, t) та потужностi невiдомих джерел WEY (t). Функцiонал вiзьмемо у виглядi:
Jα(WEY ) =
M
∑
m=1
T
∫
0
(
ϕu1m(t)−
∫
Ω
gu1mu1(t, x)dx
)2
dt+
+
M
∑
m=1
T
∫
0
(
ϕu2m(t)−
∫
Ω
gu2mu2(t, x)dx
)2
dt+ · · · +
+
M
∑
m=1
T
∫
0
(
ϕuSm(t)−
∫
Ω
guSmuS(t, x)dx
)2
dt+ α(‖WEY ‖HE×Y )2, (4)
де gusm = χωsm/diamωsm, s = 1, . . . , Y , — ядро усереднення за областю ωsm; χωsm — iнди-
каторна функцiя; α > 0 — параметр регуляризацiї.
Визначимо функцiю χ ∈ (HY )∗ виразом
χ =
M
∑
m=1
gu1m(x)
M
∑
m=1
gu2m(x)
. . .
M
∑
m=1
guY m(x)
,
де gu1m, gu2m, . . . , guY m — ядра усереднення вiдповiдних компонент вектора U в околi точки
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
спостереження. Нехай ψ(t) ∈ (L2(0, T ))
Y така, що
ψ(t) =
ψu1m(t)
ψu2m(t)
. . .
ψuY m(t)
, χψ(t) =
M
∑
m=1
gu1m(x)ψu1m(t)
M
∑
m=1
gu2m(x)ψu2m(t)
. . .
M
∑
m=1
guY m(x)ψuY m(t)
.
Значення α береться з урахуванням похибок вимiрiв (3). Оптимальне керування W опт
EY (t)
знаходиться за умови мiнiмiзацiї функцiонала (4):
Jα(W
опт
EY ) = min
W∈
EY
HE×Y
Jα(WEY ), (5)
а за розв’язок оберненої задачi вiзьмемо U(x, t) = U(x, t,W опт
EY ) i матрицю W опт
EY .
Позначимо через 〈·, ·〉Ω бiлiнiйну форму, побудовану розширенням скалярного добутку
в L2(Q) за неперервнiстю до бiлiнiйної форми на (H)∗×H, а через 〈·, ·〉YΩ — бiлiнiйну форму,
що побудована за просторами (H∗)Y та (H)Y , через 〈·, ·〉+ — бiлiнiйну форму, побудовану
розширенням скалярного добутку в L2(Q) за неперервнiстю до бiлiнiйної форми на (H+)
∗×
× H+.
Означення 1. U ∈ (L2(Q))Y називається слабким розв’язком системи (1)–(2), якщо
(U, V L∗)(L2(Q))Y = 〈F, V 〉Y+, ∀V ∈ (HY
+ ).
Розв’язок задачi оптимального керування. Оскiльки стан системи визначається
як розв’язок задачi (1)–(2) та справджуються вiдповiднi умови [6], iснує єдине оптимальне
керування системою (1)–(2).
При користуваннi iтерацiйними методами перехiд з k-ї на k+1-ту iтерацiю здiйснюється
таким чином.
1. Розв’язується задача для визначення cтану системи
LUk = FW k
EY , (6)
Uk(0) = 0. (7)
2. Визначається вiдповiдний спряжений стан системи
−
∂ψu1
∂t
− Cu1
ψu1
+Du1
ψu1
− a1(x)ψu2
= 2
M
∑
m=1
{
gu1m
(
∫
Ω
gu1mu
k
1dx− ϕu1m
)}
,
−
∂ψu2
∂t
− Cu2
ψu2
+Du2
ψu2
− a2(x)ψu3
= 2
M
∑
m=1
{
gu2m
(
∫
Ω
gu2mu
k
2dx− ϕu2m
)}
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
−
∂ψuY
∂t
− CuY
ψuY
+DuY
ψuY
= 2
M
∑
m=1
{
guY m
(
∫
Ω
guY mu
k
Y dx− ϕuY m
)}
,
(8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 45
T > t > 0, ψk(T ) = 0. (9)
3. Визначається нове наближення для iнтенсивностi джерел
W k+1
us
−W k
us
sk+1
ψus + αWus = 0, s = 1, . . . , Y . (10)
Таким чином, в данiй роботi розглянуто задачу оптимального керування конвективною
дифузiєю сумiшi радiоiзотопiв. Доведено iснування i єдинiсть розв’язку поставленої задачi.
Запропоновано алгоритм для використання чисельних методiв для знаходження розв’язку
даної задачi.
1. Choquet C. Radionuclide transport model with wells // Asymptotic Analysis. – 2004. – 37. – P. 57–78.
2. Choquet C. Existence result for a radionuclide transport model with unbounded viscosity // J. of Math.
and Fluid Mechanics. – 2004. – 6. – P. 365–388.
3. Choquet C., Zimmermann S. Study of a finite volume-finite element scheme for a nuclear transport model. –
arXiv:0704.1286.
4. Douglas J. Jr., Spagnuolo A. The transport of nuclear contamination in fractured porous media // J. of
Korean Mathematical Society. – 2001. – 38. – P. 723–761.
5. Ляшко С.И. Моделирование и оптимизация подземного массопереноса. – Киев: Наук. думка, 1998. –
240 с.
6. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. – Киев: Наук. думка, 1998. – 472 с.
Надiйшло до редакцiї 09.11.2011Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Член-корреспондент НАН Украини С.И. Ляшко, Д. А. Клюшин,
Г. Н. Стешенко
Качественное и численное исследование сингулярного управления
конвективной диффузией смеси радиоизотопов
В работе исследована задача оптимального управления переносом смеси радиоизотопов. До-
казано существование и единственность оптимального управления, а также разработан
алгоритм решения соответствующей задачи оптимального управления.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine S. I. Lyashko, D.A. Klyushin,
G.M. Steshenko
The qualitative numerical investigation of the singular control over the
convection-diffusion of a radioisotope mixture
The optimal control problem for the transport of a radioisotope mixture is investigated. The theorem
on existence and uniqueness of an optimal control is proved, and the algorithm for solving the
optimal control problem is developed.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84355 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:32:30Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Стешенко, Г.М. 2015-07-06T18:31:35Z 2015-07-06T18:31:35Z 2012 Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів / С. I. Ляшко, Д.А. Клюшин, Г.М. Стешенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 42-46. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84355 519.71 Розглянуто задачу оптимального керування переносом сумiшi радiоiзотопiв. Доведено
 iснування i єдинiсть оптимального керування, а також побудовано алгоритм розв’язання вiдповiдної задачi оптимального керування. В работе исследована задача оптимального управления переносом смеси радиоизотопов. Доказано существование и единственность оптимального управления, а также разработан алгоритм решения соответствующей задачи оптимального управления. The optimal control problem for the transport of a radioisotope mixture is investigated. The theorem
 on existence and uniqueness of an optimal control is proved, and the algorithm for solving the
 optimal control problem is developed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів Качественное и численное исследование сингулярного управления конвективной диффузией смеси радиоизотопов The qualitative numerical investigation of the singular control over the convection-diffusion of a radioisotope mixture Article published earlier |
| spellingShingle | Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів Ляшко, С.І. Клюшин, Д.А. Стешенко, Г.М. Інформатика та кібернетика |
| title | Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів |
| title_alt | Качественное и численное исследование сингулярного управления конвективной диффузией смеси радиоизотопов The qualitative numerical investigation of the singular control over the convection-diffusion of a radioisotope mixture |
| title_full | Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів |
| title_fullStr | Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів |
| title_full_unstemmed | Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів |
| title_short | Якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів |
| title_sort | якісне та чисельне дослідження сингулярного керування конвективною дифузією суміші радіоізотопів |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84355 |
| work_keys_str_mv | AT lâškosí âkísnetačiselʹnedoslídžennâsingulârnogokeruvannâkonvektivnoûdifuzíêûsumíšíradíoízotopív AT klûšinda âkísnetačiselʹnedoslídžennâsingulârnogokeruvannâkonvektivnoûdifuzíêûsumíšíradíoízotopív AT stešenkogm âkísnetačiselʹnedoslídžennâsingulârnogokeruvannâkonvektivnoûdifuzíêûsumíšíradíoízotopív AT lâškosí kačestvennoeičislennoeissledovaniesingulârnogoupravleniâkonvektivnoidiffuzieismesiradioizotopov AT klûšinda kačestvennoeičislennoeissledovaniesingulârnogoupravleniâkonvektivnoidiffuzieismesiradioizotopov AT stešenkogm kačestvennoeičislennoeissledovaniesingulârnogoupravleniâkonvektivnoidiffuzieismesiradioizotopov AT lâškosí thequalitativenumericalinvestigationofthesingularcontrolovertheconvectiondiffusionofaradioisotopemixture AT klûšinda thequalitativenumericalinvestigationofthesingularcontrolovertheconvectiondiffusionofaradioisotopemixture AT stešenkogm thequalitativenumericalinvestigationofthesingularcontrolovertheconvectiondiffusionofaradioisotopemixture |