О робастной устойчивости импульсных систем с последействием
Рассматривается класс неточных механических систем, математическое описание которых представлено так называемыми гибридными системами уравнений, т. е. системами, состоящими из двух типов уравнений, связанных между собой. А именно, рассматриваются системы с последействием при импульсных возмущениях,...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84356 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О робастной устойчивости импульсных систем с последействием / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 47-53. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859717847412899840 |
|---|---|
| author | Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| author_facet | Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| citation_txt | О робастной устойчивости импульсных систем с последействием / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 47-53. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассматривается класс неточных механических систем, математическое описание которых представлено так называемыми гибридными системами уравнений, т. е. системами, состоящими из двух типов уравнений, связанных между собой. А именно,
рассматриваются системы с последействием при импульсных возмущениях, для которых развит прямой метод Ляпунова на основе вспомогательных функций, заданных на произведении пространств.
Дослiджується клас механiчних систем, що описуються неточними рiвняннями. А саме,
розглядається система iз пiслядiєю при iмпульсних збуреннях. За допомогою методу функцiй Ляпунова, означених на добутку просторiв, встановлено умови робастної стiйкостi в термiнах обмежень на спецiальнi матрицi.
We investigate a class of mechanical systems that are described by uncertain systems of equations.
Namely, we consider the systems with delay under impulsive perturbations. By using the method
of Lyapunov functions defined on a product of spaces, the robust stability criteria are established
under fairly simple algebraic conditions.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:33:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2012
МЕХАНIКА
УДК 531.36
© 2012
Академик НАН Украины А.А. Мартынюк,
Ю.А. Мартынюк-Черниенко
О робастной устойчивости импульсных систем
с последействием
Рассматривается класс неточных механических систем, математическое описание ко-
торых представлено так называемыми гибридными системами уравнений, т. е. сис-
темами, состоящими из двух типов уравнений, связанных между собой. А именно,
рассматриваются системы с последействием при импульсных возмущениях, для кото-
рых развит прямой метод Ляпунова на основе вспомогательных функций, заданных на
произведении пространств.
Рассматриваемый класс систем имеет многие приложения (см. [1–6] и приведенную библио-
графию). Как и в случае импульсной системы без последействия, импульсное возмущение
может стабилизировать движение системы с последействием даже в том случае, когда обе
компоненты системы имеют неустойчивое решение. В работе приведены основные теоремы
прямого метода Ляпунова, основанные на вспомогательных функциях, определенных на
произведении пространств.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнения возмущенного движения механической
системы с неточными значениями параметров
dx
dt
= f(t, xt, α), t 6= τk,
∆x = Ik(t, x(t
−)), t = τk, k ∈ N+,
(1)
где x ∈ R
n, xt ∈ PC([−τ, 0],Rn), f : R+×PC×G → R
n; PC = PC([−τ, 0],Rn) — пространство
кусочно-непрерывных справа функций ϕ : [−τ, 0] → R
n; Ik : R+ × S(H) → R
n, S(H) = {x ∈
∈ R
n, ‖x‖ < H}; ∆x = x(t)− x(t−); t0 < τk < τk+1, τk → +∞ при k → +∞, k ∈ N+; α ∈ G —
параметр неточности системы (1), G ⊆ R
d, d > 1; N+ — множество всех положительных
чисел.
Пусть |ϕ| = sup
−τ6s60
‖ϕ(s)‖, где ‖ · ‖ — евклидова норма вектора в R
n и xt(s) = x(t + s)
при −τ 6 s 6 0; dx/dt обозначает правую производную вектора состояния системы x(t).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 47
Пусть σ > t0 и
x(σ) = ϕ(s) ∈ PC([−τ, 0),Rn), σ > t0. (2)
Движение системы (1) корректно определено при начальном состоянии (2), если вектор-
функция x(t) : [σ − τ, β) → R
n для некоторого значения β (0 < β 6 +∞) непрерывна при
t ∈ [σ − τ, β) \ {τk, k = 1, 2, . . .}, ее значения x(τ+k ), x(τ−k ) существуют, выполняется соотно-
шение x(τ+k ) = x(τk) для любого τk ∈ [σ − τ, β) и x(t) удовлетворяет системе уравнений (1)
при любом α ∈ G.
Будем предполагать, что порядок системы (1) при любом α ∈ G остается неизменным,
и состояние равновесия x = 0 для системы (1) является единственным, т. е. f(t, 0, α) =
= Ik(t, 0) = 0, k = 1, 2, . . . , при всех t > t0 и любых α ∈ G.
Условия, при которых для заданных начальных функций (2) существует единственное
решение x(t, α) = x(t, σ, ϕ, α), имеют вид (cм. [2]):
H1) вектор-функция f непрерывна на [τk−1, τk] × PC × G при любом k ∈ N+ и ϕ ∈
∈ PC(ρ∗) = {ϕ ∈ PC : |ϕ| < ρ∗, ρ∗ > 0} и lim
(t,ϕ)→(τ−
k
,ϕ)
f(t, ϕ, α) = f(τ−k , ϕ, α) существует
при любом α ∈ G;
H2) вектор-функция f является локально липшицевой по ϕ для любого компактного
множества в PC(ρ∗) при любом значении α ∈ G;
H3) для любого k ∈ N+ Ik(t, x) ∈ C(R+ × S(H),Rn);
H4) существует величина H1 > 0 (H1 6 H) такая, что при x ∈ S(H1) вектор x +
+ Ik(τk, x) ∈ S(H) при всех k ∈ N+.
Далее, для краткости, решение x(t, σ, ϕ, α) будем обозначать x(t, α).
Определение 1. Состояние равновесия x = 0 системы (1)
а) устойчиво, если для любых σ > t0 и ε > 0 существует δ = δ(ε, σ) > 0 такое, что при
ϕ ∈ PC(δ) при всех t > σ имеет место оценка ‖x(t, α)‖ 6 ε при любых α ∈ G;
б) равномерно устойчиво, если величина δ в определении а не зависит от σ;
в) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и существует δ0 = δ0(ε) такое, что при
ϕ ∈ PC(δ0) верно соотношение lim ‖x(t, α)‖ = 0 при t → ∞.
Укажем условия, при которых нулевое решение системы (1) обладает определенным
типом устойчивости или неустойчивости в смысле приведенных определений.
Матричнозначная функция на произведении пространств. Для системы (1) бу-
дем рассматривать функцию
U(t, ∗) = [vij(t, ∗)], i, j = 1, 2, (3)
на произведении пространств R
n и PC(H). Предположим, что элементы vij(t, ∗) удовлет-
воряют таким условиям.
Условие B1: функционал v11(t, ϕ) : R+ × PC(H) → R+ определeн при всех t > t0 и,
кроме того,
а) v11(t, x) — непрерывен на [τk−1, τk) × PC(H) при ϕ ∈ PC(H), k ∈ N+, и существует
предел
lim
(t,y)→(τ−
k
,ϕ)
v11(t, y) = v11(τ
−
k , ϕ);
б) функционал v11(t, ϕ) — локально липшицев по ϕ на любом компактом множестве
в PC(H) и v11(t, 0) = 0 при всех t > t0.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
Условие B2: функция v22(t, x) : R+ × S(H∗) → R+ определена при всех t > t0 и, кроме
того,
а) функция v22(t, x) непрерывна на [τk−1, τk) × S(H∗) при каждом k ∈ N и при всех
x ∈ S(H∗) и k ∈ N существует предел
lim
(t,u)→(τ−
k
,ψ)
v22(t, u) = v22(τ
−
k , ψ);
б) функция v22(t, x) локально липшицева по x ∈ S(H∗) и v22(t, 0) = 0 при всех t > t0.
Условие B3: элемент v12(t, ϕ, x) = v21(t, ϕ, x) и v12(t, ϕ, x) : R+ × PC(H) × S(H∗) → R
является корректирующим, определeн на произведении пространств R
n×PC(H) и удовлет-
воряет условиям B1, B2 по переменным ϕ, x соответственно.
При помощи вектора θ ∈ R
2
+ построим функцию [3]
V (t, ϕ, x) = θTU(t, ∗)θ (4)
и будем применять ее вместе с полной производной
D+V (t, ϕ, x) = θTD+U(t, ∗)θ (5)
вдоль решений системы (1). Здесь
D+U(t, x, ϕ) = lim sup{[U(t+ h, xt+h(t, ϕ), ϕ(0) + hf(t, ϕ, α)) − U(t, x, ϕ)]h−1 : h→ 0+}
вычисляется поэлементно.
Функция (4), разрешающая вместе с производной (5) проблему устойчивости состояния
x = 0 системы (1), называется функцией Ляпунова, заданной на произведении пространств
R
n и PC(H).
Заметим, что если в матрице (4) vij(t, ϕ, x) = 0 при i 6= j, i, j = 1, 2, тогда функция
V (t, ϕ, x) имеет вид
V0(t, ϕ, x) = θ21v11(t, ϕ) + θ22v22(t, x), θi ∈ R+.
Далее будем обозначать V1(t, ϕ) = θ21v11(t, ϕ) и V2(t, x) = θ22v22(t, x).
Функционал V1(t, ϕ) : R+×PC(H) → R+ принадлежит классу B0, если θ21v11(t, ϕ) удовле-
творяет условию B1 и для любого ϕ ∈ PC([σ − τ,∞),Rn) функционал V1(t, ϕ) непрерывен
при всех t > σ.
Заметим, что функционал V1(t, ϕ) вида
V1(t, ϕ) =
0
∫
−τ
b(s+ t)‖ϕ(s)‖γds, γ > 1
принадлежит классу B0, если b(u) ∈ PC([σ − τ,∞),R+) и существует постоянная m > 0
такая, что
t
∫
t−τ
b(s)ds 6 m при всех t > σ (см. [4]).
Далее применяются некоторые классы функций сравнения при получении достаточных
условий устойчивости движения системы (1). А именно,
K = {w ∈ C(R+,R+) : строго возрастающие и w(0) = 0};
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 49
Q = {ψ ∈ C(R+,R+) : ψ(0) = 0, ψ(s) > 0 при s > 0};
Q∗ = {ψ ∈ C(R+,R+) : неубывающие, ψ(0) = 0, ψ(s) > s при s > 0}.
Достаточные условия устойчивости. Установим условия робастной устойчивости
состояния x = 0 системы (1) на основе функции (3) при некоторых дополнительных усло-
виях.
Теорема 1. Предположим, что для системы (1) построена функция (3), в которой
элементы vij(t, ϕ, x) = 0 при i 6= j и существуют функции сравнения w1, w2, w3 ∈ K-клас-
су и ψ ∈ Q-классу такие, что для функции V0(t, x, ϕ) = V1(t, ϕ) + V2(t, x) верны оценки
1) wT1 (‖ϕ(0)‖)A1w1(‖ϕ(0)‖) 6 V0(t, x, ϕ) 6 wT2 (|ϕ|)A2w2(|ϕ|), где A1, A2 — 2×2-симмет-
рические постоянные матрицы; V1 ∈ B0-классу и V2 удовлетворяет условию B2;
2) для любого вектора x ∈ S(H∗) при t = τk верны оценки
V2(τk, x+ Ik(τk, x))− V2(τ
−
k , x) 6 −ψ
T
(V (τ−k , x, ϕ))Bkψ(V2(τ
−
k , x, ϕ)) при всех k ∈ N,
где Bk — 2 × 2-постоянные симметрические матрицы, для которых λkM (Bk) > 0
и
∞
∑
k=1
λkm(Bk) = ∞, λkm(Bk) — максимальное собственное значение матрицы Bk, k ∈ N+;
3) при любом значении α ∈ G для решений x(t, α) системы (1) в области значений
x ∈ S(H∗) выполняется оценка
D+V0(t, x, ϕ)|(1) 6 wT3 (|xt|)A3w3(|xt|),
где A3 — 2 × 2-постоянная симметрическая матрица;
4) для любого момента σ > t0 и числа η > 0 существует β > 0 такое, что из условия
V0(t, x, ϕ) > η при t > σ следует V2(t, x) > β при t > σ.
Тогда, если выполняются условия 1–3 и
а) матрицы A1, A2 положительно определенные и λM (A3) 6 0, то состояние равно-
весия x = 0 системы (1) равномерно устойчиво;
б) выполняются условия 1–4 теоремы 1 и условие (а), то состояние x = 0 системы (1)
равномерно асимптотически устойчиво.
Доказательство. Преобразуем оценку для функции V0(t, x, ϕ) из условия 1 теоремы 1
к виду
λM (A1)w1(‖ϕ(0)‖) 6 V0(t, x, ϕ) 6 λM (A2)w2(|ϕ|), (6)
где λm(A1) — минимальное собственное значение матрицы A1 и λM (A2) — максимальное
собственное значение матрицы A2, w1, w2 ∈ K-классу и такие, что
w1(‖ϕ(0)‖) 6 wT1 (‖ϕ(0)‖)w1(‖ϕ(0)‖) и w2(|ϕ|) > wT2 (|ϕ|)w2(|ϕ|).
Пусть задано 0 < ε 6 H∗. Для заданного ε выберем δ = δ(ε) > 0 так, чтобы выполнялось
неравенство
λM (A2)w2(δ) < λm(A1)w1(ε).
Рассмотрим решение x(t, α) = x(t, σ, ϕ, α) системы (1) с начальным условием ϕ ∈ PC(δ)
при σ > t0. Покажем, что при выполнении условий 1–3 теоремы 1 верна оценка ‖x(t, α)‖ < ε
при всех t > σ и при всех α ∈ G.
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
Условие 3 теоремы 1 выполняется, если
D+V0(t, x, ϕ) 6 λM (A3)w3(|ϕ|), (7)
где λM (A3) 6 0 — максимальное собственное значение матрицы A3 при всех α ∈ G
и w3(|ϕ|) > wT3 (|ϕ|)A3w3(|ϕ|), где w3 ∈ W -классу.
Из условия (7) следует, что
D+V0(t, x, ϕ)|(1) 6 0 при σ 6 τk−1 6 t < τk
и при всех k ∈ N. Следовательно, функция V0(t) = V0(t, xt, ϕ(t)) не возрастает на интервалах
[τk−1, τk). Из условия 2 теоремы 1 следует оценка функции V0(t) для значений t = τk:
V0(τk)− V0(τ
−
k ) = V2(τk, x(τk) + Ik(τk, x(τ
−
k )))− V2(τk, x(τ
−
k )) 6 −λkm(Bk)ψ(V0),
где ψ(r) > ψ
T
(r)ψ(r). Поэтому функция V0(t) не возрастает на интервале [σ,∞) и это
приводит к неравенствам
λm(A1)w1(‖x(t, α)‖) 6 V0(t) 6 V0(σ) 6 λM (A2)w2(δ) < λm(A1)w1(ε), t > σ.
Отсюда следует, что ‖x(t, α)‖ < ε при всех t > σ и любых α ∈ G как только ϕ ∈ PC(δ).
Этим доказана равномерная устойчивость состояния x = 0 гибридной системы (1).
Далее покажем, что состояние x = 0 системы (1) асимптотически устойчиво, т. е.
lim
t→∞
‖x(t, α)‖ = 0 при всех α ∈ G. Обозначим η = lim V0(t, xt) при t → ∞. Пусть η > 0.
Тогда, согласно условию 4 теоремы 1, существует β > 0 такое, что V2(t, x) > β при всех
t > σ.
Вычислим величину
K = inf
β6V26λM (A2)w2(δ)
[ψ(V2)] > 0.
Из условия (2) теоремы 1 следует, что
V2(τk)− V2(τ
−
k ) 6 −λkM (B3)ψ(V2(τ
−
k )) < −Kλkm(B3) при всех k ∈ N+.
Функция V0(t) не возрастает при всех t > σ и при любых значениях α ∈ G, т. е.
V0(τk)− V0(τk−1) 6 V0(τk)− V0(τ
−
k ) = V2(τk)− V2(τ
−
k ) < −Kλkm(B3).
Отсюда находим
V0(τk) 6 V0(τm)−K
s
∑
i=m
λiM (B3) → −∞ при s→ ∞.
Полученное противоречие доказывает, что величина η должна быть равна 0,
т. е. lim ‖x(t, α)‖ = 0 при t → +∞. Этим теорема 1 доказана.
П р и м е р . Рассмотрим уравнение [4]
dx
dt
= −a(t)x(t) + b(t)x(t − τ), t 6= τk,
∆x(τk) = Ik(x(τ
−
k
)), k ∈ N+,
где a(t), b(t) ∈ C(R,R), a(t) > a > 0, |b(t)| 6 b, Ik(x) ∈ C(R,R).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 51
Если для этого уравнения выполняются условия:
1) существуют постоянные bk > 0,
∞
∑
k=1
bk < +∞ такие, что |x+Ik(x)| 6 (1+bk)x
2 при всех k ∈ N+;
2) выполняется неравенство a > b
√
β, где β =
∞
∏
k=1
(1 + bk);
3) существует q > 1 такое, что a − qb
√
β > 0,
тогда решение x = 0 равномерно асимптотически устойчиво.
Далее установим условия неустойчивости состояния x = 0 гибридной системы (1).
Теорема 2. Предположим, что для системы (1) построена функция V0(t, x, ϕ) и су-
ществуют функции сравнения w1, w2 ∈ W -классу, ψ ∈ Q-классу такие, что функция
V0(t, x, ϕ) = V1(t, ϕ) + V2(t, x) ограничена и для неe выполняются условия:
1) при любых x ∈ S(ρ) верна оценка
wT1 (‖x‖)A1w1(‖x‖) 6 V2(t, x),
где A1 — 2 × 2-постоянная симметрическая матрица;
2) существует хотя бы одно значение α ∈ G, при котором вдоль решения x(t, α) сис-
темы (1) выполняется неравенство
D+V0(t, x, ϕ)|(1) > wT2 (|xt|)A3w2(|xt|),
где A3 — 2 × 2-постоянная симметрическая матрица;
3) для каждого значения k ∈ N+ и x ∈ S(H∗) существует 2 × 2-матрица B
(k)
3 такая,
что
V2(t, x+ Ik(τ
−
k , x))− V2(τ
−
k , x) > ψ
T
(V2(τ
−
k , x))B
(k)
3 ψ(V2(τ
−
k , x)),
где λm(B
(k)
3 ) > 0,
∞
∑
k=1
λm(B
(k)
3 ) = ∞, λm(B
(k)
3 ) — минимальное собственное значение мат-
рицы B3 при k = 1, 2, . . .;
4) для любых σ > t0 и η > 0 существует β > 0 такое, что из условия V0(t, xt, η) > η
при t > σ следует, что ‖x(t, α)‖ > β при всех t > σ и при любых α ∈ G.
Тогда, если матрицы A1, A3 положительно определенные, то состояние x = 0 систе-
мы (1) неустойчиво.
Доказательство. Пусть x(t, α) — решение системы (1) при любом α ∈ G и при на-
чальной функции ϕ ∈ PC(δ), где δ > 0 — сколь угодно малое число. Предположим, что
при выполнении условий теоремы 3 решение x = 0 устойчиво. Пусть σ ∈ [τm−1, τm) для
некоторого m ∈ N+. Из условий (1)–(3) теоремы 3 следует, что:
а) λm(A1)w(‖x‖) 6 V2(t, x, η);
б) D+V0(t, x, ϕ)|(1) > λm(A3)w2(|xt|),
где λm(A3) — минимальное собственное значение матрицы A3 и w2(r) 6 wT2 (r)w2(r) при
любом значении r ∈ [0,+∞);
в) V0(τk) − V0(τ
−
k ) = V2(τk) − V2(τ
−
k ) > λkm(B3)ψ(V2(τ
−
k )), где ψ ∈ Q-классу и ψ(r) 6
6 ψ
T
(r)ψ(r).
Из условий б, в следует, что функция V0(t, x, ϕ) не убывает на любом решении x(t, α)
на интервалах [σ, τm) и [τk, τk+1) при k > m. Так как V0(τ
−
k ) > V0(τk−1), то
V0(τk)− V0(τk−1) > λkm(B3)ψ(V2(τ
−
k )). (8)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
Поэтому верна оценка V0(t) > V0(σ) при всех t > σ. Согласно условию а теоремы 3, имеем
оценку V2(τ
−
k ) > λm(A1)w1(‖x(τ
−
k )‖) > λm(A1)w1(β). Отсюда из (8) следует
V0(τk)− V0(τk−1) > λkm(B3)ψ(λm(A1)w1(β))
и далее
V0(τk) > V0(τm) + ψ(λm(A1)w1(β))
k
∑
j=m+1
λkM (B3) → ∞ при k → ∞.
Это противоречит ограниченности функции V0(t) при всех t > σ. Теорема 2 доказана.
Заключительные замечания. При построении функций V1(t, ϕ) и V2(t, x) могут быть
применены некоторые известные результаты (см., например, [3] и др.). Применение матрич-
нозначных функций (3) и функций вида V0(t, ϕ, x) = V1(t, ·)+V2(t, ·), заданных на произве-
дении пространств PC(δ) × R
n, позволяет расширить применение теорем прямого метода
Ляпунова для импульсных систем (см. [6, 7] и библиографию там).
1. Wang Q. Stability and boundedness of impulsive systems with time delay. – Waterloo, Ontario, Canada:
Univ. of Waterloo, 2007. – 204 p.
2. Shen J., Luo Z., Liu X. Impulsive stabilization of functional differential equations via Liapunov functio-
nals // J. Math. Anal. Appl. – 1999. – 240. – P. 1–5.
3. Martynyuk A.A. Stability of motion: the role of multicomponent Lyapunov’s functions. – Cambridge:
Cambridge Scientific Publishers, 2007. – 322 p.
4. Shen J.H. Razumikhin techniques in impulsive functional differential equations // Nonlinear Analysis. –
1999. – 36. – P. 119–130.
5. Yan J., Shen J. Impulsive stabilization of functional differential equations dy Lyapunov–Razumikhin func-
tions // Nonlinear Analysis. – 1999. – 37. – P. 245–255.
6. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк., 1987. – 288 с.
7. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Stability analysis of nonlinear systems. – New York: Marcel
Dekker, 1989. – 305 p.
Поступило в редакцию 21.12.2011Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Академiк НАН України А.А. Мартинюк, Ю.А. Мартинюк-Чернiєнко
Про робастну стiйкiсть iмпульсних систем iз пiслядiєю
Дослiджується клас механiчних систем, що описуються неточними рiвняннями. А саме,
розглядається система iз пiслядiєю при iмпульсних збуреннях. За допомогою методу функ-
цiй Ляпунова, означених на добутку просторiв, встановлено умови робастної стiйкостi
в термiнах обмежень на спецiальнi матрицi.
Academician of the NAS of Ukraine A.A. Martynyuk,
Yu.A. Martynyuk-Chernienko
On the robust stability of impulsive systems with delay
We investigate a class of mechanical systems that are described by uncertain systems of equations.
Namely, we consider the systems with delay under impulsive perturbations. By using the method
of Lyapunov functions defined on a product of spaces, the robust stability criteria are established
under fairly simple algebraic conditions.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 53
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84356 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:33:37Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. 2015-07-06T18:31:53Z 2015-07-06T18:31:53Z 2012 О робастной устойчивости импульсных систем с последействием / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 47-53. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84356 531.36 Рассматривается класс неточных механических систем, математическое описание которых представлено так называемыми гибридными системами уравнений, т. е. системами, состоящими из двух типов уравнений, связанных между собой. А именно, рассматриваются системы с последействием при импульсных возмущениях, для которых развит прямой метод Ляпунова на основе вспомогательных функций, заданных на произведении пространств. Дослiджується клас механiчних систем, що описуються неточними рiвняннями. А саме, розглядається система iз пiслядiєю при iмпульсних збуреннях. За допомогою методу функцiй Ляпунова, означених на добутку просторiв, встановлено умови робастної стiйкостi в термiнах обмежень на спецiальнi матрицi. We investigate a class of mechanical systems that are described by uncertain systems of equations. Namely, we consider the systems with delay under impulsive perturbations. By using the method of Lyapunov functions defined on a product of spaces, the robust stability criteria are established under fairly simple algebraic conditions. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О робастной устойчивости импульсных систем с последействием Про робастну стiйкiсть iмпульсних систем iз пiслядiєю On the robust stability of impulsive systems with delay Article published earlier |
| spellingShingle | О робастной устойчивости импульсных систем с последействием Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. Механіка |
| title | О робастной устойчивости импульсных систем с последействием |
| title_alt | Про робастну стiйкiсть iмпульсних систем iз пiслядiєю On the robust stability of impulsive systems with delay |
| title_full | О робастной устойчивости импульсных систем с последействием |
| title_fullStr | О робастной устойчивости импульсных систем с последействием |
| title_full_unstemmed | О робастной устойчивости импульсных систем с последействием |
| title_short | О робастной устойчивости импульсных систем с последействием |
| title_sort | о робастной устойчивости импульсных систем с последействием |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84356 |
| work_keys_str_mv | AT martynûkaa orobastnoiustoičivostiimpulʹsnyhsistemsposledeistviem AT martynûkčernienkoûa orobastnoiustoičivostiimpulʹsnyhsistemsposledeistviem AT martynûkaa prorobastnustiikistʹimpulʹsnihsistemizpislâdiêû AT martynûkčernienkoûa prorobastnustiikistʹimpulʹsnihsistemizpislâdiêû AT martynûkaa ontherobuststabilityofimpulsivesystemswithdelay AT martynûkčernienkoûa ontherobuststabilityofimpulsivesystemswithdelay |