Планы экспериментов для получения моделей высокой точности
Исследованы статистические свойства ЛПτ последовательностей. Проведено их ранжирование по критерию минимального коэффициента парной корреляции. Приведены планы экспериментов с возможностью последовательного планирования. Полученные результаты подтверждают выдвинутую гипотезу о преимуществе ЛПτ плано...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84390 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Планы экспериментов для получения моделей высокой точности / С.Г. Радченко, О.В. Козырь // Математичні машини і системи. — 2014. — № 2. — 117-127. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84390 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Радченко, С.Г. Козырь, О.В. 2015-07-06T19:36:20Z 2015-07-06T19:36:20Z 2014 Планы экспериментов для получения моделей высокой точности / С.Г. Радченко, О.В. Козырь // Математичні машини і системи. — 2014. — № 2. — 117-127. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84390 519.242:519.6 Исследованы статистические свойства ЛПτ последовательностей. Проведено их ранжирование по критерию минимального коэффициента парной корреляции. Приведены планы экспериментов с возможностью последовательного планирования. Полученные результаты подтверждают выдвинутую гипотезу о преимуществе ЛПτ планов экспериментов при аппроксимации исходных данных и получении структур моделей, соответствующих структурам истинных моделей. Досліджені статистичні властивості ЛПτ послідовностей. Проведено їх ранжування за критерієм мінімального коефіцієнта парної кореляції. Наведено плани експериментів з можливістю послідовного планування. Отримані результати підтверджують висунуту гіпотезу про перевагу ЛПτ планів експериментів при апроксимації вихідних даних та одержанні структур моделей, відповідних структурам істинних моделей. Statistic features of the LPτ sequences are examined in the article. They are ranged according to the criterion of minimum coefficient of pair correlation. The plans of experiments with the ability of consistent planning are presented as well. Received results confirm the advanced hypothesis about advantage of the LPτ plans of experiments in approximation of the initial data and receiving the architectures of models corresponding to the architectures of the true models. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Планы экспериментов для получения моделей высокой точности Плани експериментів для отримання моделей високої точності Plans of experiments for high precision models Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Планы экспериментов для получения моделей высокой точности |
| spellingShingle |
Планы экспериментов для получения моделей высокой точности Радченко, С.Г. Козырь, О.В. Моделювання і управління |
| title_short |
Планы экспериментов для получения моделей высокой точности |
| title_full |
Планы экспериментов для получения моделей высокой точности |
| title_fullStr |
Планы экспериментов для получения моделей высокой точности |
| title_full_unstemmed |
Планы экспериментов для получения моделей высокой точности |
| title_sort |
планы экспериментов для получения моделей высокой точности |
| author |
Радченко, С.Г. Козырь, О.В. |
| author_facet |
Радченко, С.Г. Козырь, О.В. |
| topic |
Моделювання і управління |
| topic_facet |
Моделювання і управління |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Математичні машини і системи |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Плани експериментів для отримання моделей високої точності Plans of experiments for high precision models |
| description |
Исследованы статистические свойства ЛПτ последовательностей. Проведено их ранжирование по критерию минимального коэффициента парной корреляции. Приведены планы экспериментов с возможностью последовательного планирования. Полученные результаты подтверждают выдвинутую гипотезу о преимуществе ЛПτ планов экспериментов при аппроксимации исходных данных и получении структур моделей, соответствующих структурам истинных моделей.
Досліджені статистичні властивості ЛПτ послідовностей. Проведено їх ранжування за критерієм мінімального коефіцієнта парної кореляції. Наведено плани експериментів з можливістю послідовного планування. Отримані результати підтверджують висунуту гіпотезу про перевагу ЛПτ планів експериментів при апроксимації вихідних даних та одержанні структур моделей, відповідних структурам істинних моделей.
Statistic features of the LPτ sequences are examined in the article. They are ranged according to the criterion of minimum coefficient of pair correlation. The plans of experiments with the ability of consistent planning are presented as well. Received results confirm the advanced hypothesis about advantage of the LPτ plans of experiments in approximation of the initial data and receiving the architectures of models corresponding to the architectures of the true models.
|
| issn |
1028-9763 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84390 |
| citation_txt |
Планы экспериментов для получения моделей высокой точности / С.Г. Радченко, О.В. Козырь // Математичні машини і системи. — 2014. — № 2. — 117-127. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT radčenkosg planyéksperimentovdlâpolučeniâmodeleivysokoitočnosti AT kozyrʹov planyéksperimentovdlâpolučeniâmodeleivysokoitočnosti AT radčenkosg planieksperimentívdlâotrimannâmodeleivisokoítočností AT kozyrʹov planieksperimentívdlâotrimannâmodeleivisokoítočností AT radčenkosg plansofexperimentsforhighprecisionmodels AT kozyrʹov plansofexperimentsforhighprecisionmodels |
| first_indexed |
2025-11-25T09:38:31Z |
| last_indexed |
2025-11-25T09:38:31Z |
| _version_ |
1850509189744427008 |
| fulltext |
© Радченко С.Г., Козырь О.В., 2014 117
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
УДК 519.242:519.6
С.Г. РАДЧЕНКО*, О.В. КОЗЫРЬ*
ПЛАНЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ВЫСОКОЙ
ТОЧНОСТИ
*
Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт", Киев, Украина
Анотація. Досліджені статистичні властивості τЛП послідовностей. Проведено їх ранжування
за критерієм мінімального коефіцієнта парної кореляції. Наведено плани експериментів з можли-
вістю послідовного планування. Отримані результати підтверджують висунуту гіпотезу про
перевагу τЛП планів експериментів при апроксимації вихідних даних та одержанні структур
моделей, відповідних структурам істинних моделей.
Ключові слова: τЛП рівномірно розподілені послідовності, планування експерименту, кореляція,
апроксимація.
Аннотация. Исследованы статистические свойства τЛП последовательностей. Проведено их
ранжирование по критерию минимального коэффициента парной корреляции. Приведены планы
экспериментов с возможностью последовательного планирования. Полученные результаты под-
тверждают выдвинутую гипотезу о преимуществе τЛП планов экспериментов при аппроксима-
ции исходных данных и получении структур моделей, соответствующих структурам истинных
моделей.
Ключевые слова: τЛП равномерно распределенные последовательности, планирование экспери-
мента, корреляция, аппроксимация.
Abstract. Statistic features of the τLP sequences are examined in the article. They are ranged according
to the criterion of minimum coefficient of pair correlation. The plans of experiments with the ability of
consistent planning are presented as well. Received results confirm the advanced hypothesis about advan-
tage of the τLP plans of experiments in approximation of the initial data and receiving the architectures
of models corresponding to the architectures of the true models.
Keywords: τLP uniformly distributed sequences, experiment designs, correlation, approximation.
1. Введение. Постановка проблемы
Планы экспериментов должны соответствовать различным критериям качества. Критерии,
позволяющие выбрать структуру математической модели, практически не используются.
Статистические свойства планов, в которых точки размещены квазислучайно в многофак-
торном пространстве (по известным публикациям), исследованы слабо.
При выборе структуры математической модели главные эффекты и эффекты взаи-
модействий должны быть ортогональными или слабо коррелированными. Это требование
достигается путем равномерного распределения точек плана эксперимента в многофактор-
ном пространстве. τЛП последовательности являются наиболее равномерно распределен-
ными в настоящее время последовательностями.
Применение τЛП последовательностей не ограничивается вычислением многомер-
ных интегралов, случайным поиском ( τЛП поиск), задачами многокритериальной оптими-
зации. В [1] приведены статистические свойства некоторых планов на основе τЛП равно-
мерно распределенных последовательностей. О возможности их использования в качестве
планов экспериментов упоминается в [2].
118 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
2. Анализ публикаций по теме исследования
В [1] изложено оптимальное планирование эксперимента в системе «план эксперимента –
структура модели». Предложены рекомендации по использованию τЛП планов экспери-
ментов как планов, имеющих значительное число уровней Nsi = и позволяющих получить
больше исходной информации об аппроксимируемой поверхности отклика для непрерыв-
ных факторов. Однако конкретные планы экспериментов не приведены.
Применение квазислучайных последовательностей в имитационном моделировании
рассматривается в статье [3]. Показано отличие между квазислучайными и псевдослучай-
ными последовательностями. Рассмотрены некоторые статистические свойства τЛП по-
следовательностей.
Разработанные И.М. Соболем τЛП последовательности, предназначенные изна-
чально для расчета многомерных интегралов, стали позже применяться и для реализации
поисковых процедур. Сетки на основе τЛП последовательностей, построенные в k -
мерном пространстве параметров исследуемых функций, позволяют определить, какие из
варьируемых параметров с заданной вероятностью оказывают существенное влияние на
значения критериев качества. По заданной метрике между текущим значением критерия
качества и его экстремальным значением можно определить области концентрации наи-
лучших значений критериев качества, построить в многомерном пространстве критериев
качества множество Парето [4, 5].
Имеются публикации об использовании τЛП последовательностей в задачах опти-
мального проектирования машин и механизмов [6–8]. При оптимальном проектировании
машин и механизмов значительный интерес представляет решение вопросов снижения
размерности пространства поиска в целях сокращения объема исследовательских работ. В
[6, 7] использовался комбинированный способ построения матрицы планирования мето-
дом случайного баланса с помощью τЛП сеток и дальнейшей статистической обработки
результатов экспериментов. Использование данной методики обусловлено значительно
лучшей оценкой равномерности распределения τЛП последовательностей по осям и в
пространстве параметров по сравнению с другими последовательностями [6].
Нерешенные вопросы
Использование τЛП последовательностей в качестве планов экспериментов носит несис-
темный и ограниченный характер, в основном, связанный с вопросами оптимизации. На-
учных публикаций по этому вопросу мало. Не приводятся конкретные планы эксперимен-
тов. Отсутствуют статистические исследования по выявлению коррелированности τЛП
последовательностей и их ранжирования. Не рассматривалось использование τЛП после-
довательностей при последовательном планировании экспериментов. Не исследовалось
качество получаемых моделей.
Цель статьи
Исследование статистических свойств τЛП равномерно распределенных последователь-
ностей. Их ранжирование по критерию минимального коэффициента парной корреляции.
Построение планов экспериментов с возможностью последовательного планирования.
Проверка возможности построения адекватных математических моделей путем аппрокси-
мации известной функции с помощью планов на основе τЛП последовательностей и срав-
нения их с многофакторными регулярными планами (МРП).
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2 119
3. Статистические свойства τЛП равномерно распределенных последовательностей
Разработанные И.М. Соболем τЛП последовательности обладают более хорошими свой-
ствами равномерности распределения, чем любые другие последовательности точек в мно-
гомерном единичном кубе. Распределение τЛП последовательностей в двумерном про-
странстве приведено на рис. 1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
0,125
0,25
0,375
0,5
0,625
0,75
0,875
1
0 0,1250,250,375 0,5 0,6250,750,875 1
ξξξξ29
ξξξξ10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0
0,125
0,25
0,375
0,5
0,625
0,75
0,875
1
0 0,1250,250,375 0,5 0,6250,750,875 1
ξξξξ29
ξξξξ10
а – опытов – 15 б – опытов – 23
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
0
0,125
0,25
0,375
0,5
0,625
0,75
0,875
1
0 0,1250,250,375 0,5 0,6250,750,875 1
ξξξξ29
ξξξξ10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
0
0,125
0,25
0,375
0,5
0,625
0,75
0,875
1
0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1
ξξξξ2
ξξξξ10
в – опытов – 31 г – опытов – 31
Рис. 1. Расположение точек τЛП последовательностей на плоскости
Использование точек τЛП последовательностей, равномерно распределенных в
этом кубе, обеспечивает более высокую точность вычислений по некоторым алгоритмам
Монте-Карло и более равномерный просмотр пространства параметров при решении задач
многофакторной оптимизации для поиска экстремальных значений критериев качества.
Теория и алгоритмы построения τЛП равномерно распределенных последовательностей
приведены в многочисленных работах д.ф.-м.н. И.М. Соболя [8, с. 133–158].
120 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
Свойства τЛП последовательностей:
1. Выбор в качестве точек плана эксперимента в многомерном пространстве τЛП
равномерно распределенных последовательностей позволяет получить сравнительно слабо
коррелированные главные эффекты и эффекты взаимодействий факторов при выборе
структуры математической модели.
2. С увеличением числа опытов N вероятность получения в плане эксперимента
точек, достаточно близких к точкам экстремума и перегиба поверхности отклика, стремит-
ся к единице, а коэффициент корреляции ijr между различными эффектами стремится к
нулю [1, с. 106].
3. Проекция любой τЛП последовательности из N точек в k-мерном пространстве
на ( )jk − -мерную грань ( )11 −≤≤ kj многомерного единичного куба образует также рав-
номерно распределенную последовательность из N проекций точек [8, с. 134].
Точки плана эксперимента должны быть равномерно расположены в пространстве
параметров kR . Методика построения τЛП последовательностей [8] позволяет построить
максимальное число последовательностей, равное 51, количество точек – 202 . В исследо-
вании использовались все последовательности. Оно показало, что равномерно заполняют
пространство следующие количества точек: =N 1; 3; 7; 15; 31; 63 и т. д. Проанализировав
корреляционные матрицы, построенные для точек =N 15; 23; 31, были выявлены последо-
вательности с коэффициентами парной корреляции 1=ijr (рис. 2).
Среднее абсолютных величин коэффициентов
корреляции 0,2350. Среднее квадратичное
отклонение 0,2370: а) 15=N
Среднее абсолютных величин коэффициентов
корреляции 0,2024. Среднее квадратичное
отклонение 0,2316: б) 23=N
Среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,1623.
Среднее квадратичное отклонение 0,2270: в) 31=N
Рис. 2. Распределение коэффициентов корреляции τЛП последовательностей ( 51)k =
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2 121
Ранжирование последовательностей проводилось по следующей методике. Находи-
лось минимальное значение коэффициента корреляции ijr . К номерам последовательно-
стей, соответствующих minijr , прибавляются остальные номера с условием минимальной
коррелированности со всеми выбранными ранее. При этом исследование проводилось для
трех матриц с целью обеспечения возможности последовательного планирования. Коэф-
фициенты корреляции между последовательностями не должны превышать по абсолютной
величине значения 0,4. Ранжированные таким методом номера последовательностей пред-
ставлены в табл. 1.
Таблица 1. Номера τЛП последовательностей, ранжированных по minijr
Номера τЛП последовательностей
ξ10 ξ29 ξ2 ξ7 ξ4 ξ14 ξ26 ξ28
Коэффициенты парной корреляции ||max ijr
1511 …=N 0,0857 0,0857 0,0286 0,2000 0,2000 0,2000 0,2000 0,2000
2312 …=N 0,0029 0,0029 0,0683 0,2108 0,1810 0,3532 0,3888 0,3590
3113 …=N 0,0452 0,0452 0,1097 0,0839 0,0968 0,0968 0,0968 0,1097
В результате ранжирования τЛП последовательностей было получено максимально
возможное количество слабо коррелированных последовательностей 8=k )15( =N .
Среднее абсолютных величин коэффициентов
корреляции 0,1367. Среднее квадратичное
отклонение 0,0441: а) 15=N
Среднее абсолютных величин коэффициентов
корреляции 0,1251. Среднее квадратичное
отклонение 0,0984: б) 23=N
Среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,0714. Среднее квадратичное
отклонение 0,0270: в) 31=N
Рис. 3. Диаграммы распределения коэффициентов корреляции τЛП
последовательностей ξ10, ξ29, ξ2, ξ7, ξ4, ξ14, ξ26, ξ28
122 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
Для последующего исследования были взяты такие значения: 8=k ; 1511 …=N ;
2312 …=N ; 3113 …=N . По ним были построены корреляционные матрицы. Распределе-
ние коэффициентов корреляции для каждой матрицы приведено на рис. 3.
Результаты исследования показали, что максимальные коэффициенты корреляции
для ранжированных последовательностей не превышают 0,3888.
Полученные последовательности можно использовать в качестве планов экспери-
ментов с возможностью последовательного планирования. Последовательное планирова-
ние заключается в том, что изначально для проведения экспериментов берется 15 точек.
Если таковых окажется недостаточно, то, используя ранее полученные результаты, прово-
дят эксперименты для точек 2316…=N и 3124…=N . Точки выбранных последователь-
ностей приведены в табл. 2.
Таблица 2. Точки τЛП последовательностей
ξ10 ξ29 ξ2 ξ7 ξ4 ξ14 ξ26 ξ28
1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
2 0,25 0,75 0,25 0,75 0,75 0,25 0,25 0,75
3 0,75 0,25 0,75 0,25 0,25 0,75 0,75 0,25
4 0,375 0,375 0,875 0,875 0,625 0,125 0,625 0,125
5 0,875 0,875 0,375 0,375 0,125 0,625 0,125 0,625
6 0,125 0,625 0,625 0,125 0,375 0,375 0,875 0,875
7 0,625 0,125 0,125 0,625 0,875 0,875 0,375 0,375
8 0,6875 0,6875 0,0625 0,9375 0,4375 0,4375 0,6875 0,4375
9 0,1875 0,1875 0,5625 0,4375 0,9375 0,9375 0,1875 0,9375
10 0,9375 0,4375 0,3125 0,1875 0,6875 0,1875 0,9375 0,6875
11 0,4375 0,9375 0,8125 0,6875 0,1875 0,6875 0,4375 0,1875
12 0,8125 0,8125 0,9375 0,0625 0,8125 0,3125 0,0625 0,3125
13 0,3125 0,3125 0,4375 0,5625 0,3125 0,8125 0,5625 0,8125
14 0,5625 0,0625 0,6875 0,8125 0,0625 0,0625 0,3125 0,5625
15 0,0625 0,5625 0,1875 0,3125 0,5625 0,5625 0,8125 0,0625
16 0,65625 0,96875 0,59375 0,46875 0,34375 0,15625 0,09375 0,40625
17 0,15625 0,46875 0,09375 0,96875 0,84375 0,65625 0,59375 0,90625
18 0,90625 0,21875 0,84375 0,71875 0,59375 0,40625 0,34375 0,65625
19 0,40625 0,71875 0,34375 0,21875 0,09375 0,90625 0,84375 0,15625
20 0,78125 0,59375 0,46875 0,59375 0,96875 0,03125 0,71875 0,28125
21 0,28125 0,09375 0,96875 0,09375 0,46875 0,53125 0,21875 0,78125
22 0,53125 0,34375 0,21875 0,34375 0,21875 0,28125 0,96875 0,53125
23 0,03125 0,84375 0,71875 0,84375 0,71875 0,78125 0,46875 0,03125
24 0,09375 0,28125 0,53125 0,53125 0,15625 0,34375 0,65625 0,09375
25 0,59375 0,78125 0,03125 0,03125 0,65625 0,84375 0,15625 0,59375
26 0,34375 0,53125 0,78125 0,28125 0,90625 0,09375 0,90625 0,84375
27 0,84375 0,03125 0,28125 0,78125 0,40625 0,59375 0,40625 0,34375
28 0,46875 0,15625 0,40625 0,40625 0,53125 0,46875 0,03125 0,21875
29 0,96875 0,65625 0,90625 0,90625 0,03125 0,96875 0,53125 0,71875
30 0,21875 0,90625 0,15625 0,65625 0,28125 0,21875 0,28125 0,96875
31 0,71875 0,40625 0,65625 0,15625 0,78125 0,71875 0,78125 0,46875
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2 123
Для получения адекватной структуры уравнения регрессии с максимально устойчи-
выми коэффициентами используют ортогональные контрасты. Теоретические сведения и
алгоритмы построения ортогональных нормированных контрастов приведены в
[1, с. 54-63]. Коэффициенты корреляции главных эффектов и взаимодействий ортогональ-
ных контрастов показаны на рис. 4.
Среднее абсолютных величин коэффициентов
корреляции 0,2676. Среднее квадратичное
отклонение 0,1948: а) 15=N
Среднее абсолютных величин коэффициентов
корреляции 0,1978. Среднее квадратичное
отклонение 0,1578: б) 23=N
Среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,1862.
Среднее квадратичное отклонение 0,1491: в) 31=N
Рис. 4. Диаграммы распределения коэффициентов корреляции главных эффектов и взаимодействий
τЛП последовательностей ξ10, ξ29, ξ2, ξ7, ξ4, ξ14, ξ26, ξ28
4. Вычислительный эксперимент
Сравнение результатов аппроксимации функции Химмельблау [9, с. 80] с помощью моде-
лей многофакторных регулярных планов: 16//42 , 25//52 и планов на основе τЛП после-
довательностей: 15//152 , 31//312 .
Функция Химмельблау:
( ) ( ) ( )22
21
2
2
2
1 711 −++−+= XXXXXf ,
где 0,60,61 …−=X ; 0,60,62 …−=X .
Погрешности ошибок результатов экспериментов не вводились, так как они бы ис-
казили истинные результаты аппроксимации.
Модель плана 15//152 с ортогональными контрастами:
124 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
X1
X
2
5 2035
50
65
80
95
5
203550 65 80
95
110
125
140
65 503520 5
5
140
140
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Рис. 5. Линии уровней функции Химмельблау
,6214,326134,48
322,114031,106923,303832,244731,104395,230ˆ
221
1121221
xvv
vzxzzvy
⋅+⋅⋅−
−⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+=
11 190476,0 Xx ⋅= ,
( )380952,061538,1 2
11 −⋅= xz ,
( )107955,0965015,099592,6 2
1
4
11 +⋅−⋅= xxv ,
22 190476,0 Xx ⋅= ,
( )380952,061538,1 2
22 −⋅= xz ,
( )107955,0965015,099592,6 2
2
4
22 +⋅−⋅= xxv .
Модель плана 31//312 с ортогональными контрастами:
,4594,46956,220
529,220781,160227,186533,186731,323018,243ˆ
121
2112122
xzx
xzzvvzy
⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=
11 177778,0 Xx ⋅= ,
( )355556,055172,1 2
11 −⋅= xz ,
( )0967111,0911111,038793,5 2
1
4
11 +⋅−⋅= xxv ,
22 177778,0 Xx ⋅= ,
( )355556,055172,1 2
22 −⋅= xz ,
( )0967111,0911111,038793,5 2
2
4
22 +⋅−⋅= xxv .
Линии равных значений функций и точки планов показаны на рис. 5–8. Полученная
модель плана 16//42 хорошо ап-
проксимирует заданные точки, одна-
ко не соответствует истинной модели
в других точках (рис. 7). Модель
плана 15//152 не соответствует ис-
тинной модели (Химмельблау). При
увеличении числа уровней и исполь-
зовании плана 31//312 модель соот-
ветствует полностью истинной моде-
ли, то есть модели Химмельблау. Для
τЛП планов вероятность расположе-
ния пробных точек к экстремальным
значениям истинной модели сущест-
венно выше, чем для многофактор-
ных регулярных планов.
Максимальная степень поли-
нома плана 25//52 , как и модели Химмельблау, равна четырем, в то время как модели
плана 16//42 – трем. Поэтому модель плана 16//42 не соответствует модели Химмельб-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2 125
лау, а модель плана 25//52 – соответствует. Однако в реальных прикладных задачах ис-
следователю истинная модель не известна.
X1
X
2
5 2035
50
65
80
95
5203550 65 8095
110
125
140
65 503520 5
5
140
140
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Химмельблау Точки 152//15
X1
X
2
5 2035
50
65
80
95
5203550 65 8095
110
125
140
65 503520 5
5
140
140
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Химмельблау Точки 312//31
а – точки плана 15//152 б – точки плана 31//312
X1
X
2
5 2035
50
65
80
95
5203550 65 8095
110
125
140
65 503520 5
5
140
140
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Химмельблау Точки 42//16
X1
X
2
5 2035
50
65
80
95
5203550 65 8095
110
125
140
65 503520 5
5
140
140
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Химмельблау Точки 52//25
в – точки плана 16//42
г – точки плана 25//52
Рис. 6. Размещение точек планов аппроксимации
X1
X
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Химмельблау
42//16
152//15
X1
X
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
312//31
52//25
Химмельблау
Рис. 7. Линии уровней функции Химмельблау,
моделей: 15//152 , 16//42
Рис. 8. Линии уровней функции Химмельблау,
моделей планов: 31//312 , 25//52
126 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2
Поэтому для решения реальных задач необходимо использовать план на основе
τЛП равномерно распределенных последовательностей 31//312 . Анализ информативности
моделей приведен в табл. 3.
Таблица 3. Анализ информативности моделей
τЛП МРП
15//152 31//312 16//42 25//52
Доля рассеивания, объясняемая моделью 0,987966 0,996373 1,000000 1,000000
Коэффициент
множественной
корреляции
0,993965 0,998185 1,000000 1,000000
скорректированный
с учетом степеней
свободы
0,989415 0,997731 0,985602 1,000000
Число обусловленности COND 2,059700 1,41596 1,000000 1,000000
Анализ остатков по исходной матрице
Средняя абсолютная погрешность ап-
проксимации
16,12690 2,156060 2,27374e-13 0,000480
Средняя погрешность аппроксимации
в процентах 96,26810 4,206960 2,58356e-13 0,002568
Анализ остатков по контрольной матрице 63=N
Средняя абсолютная погрешность
аппроксимации 61,07780 2,335160 221,7120 0,000611
Средняя погрешность аппроксимации
в процентах 68,99710 2,707620 586,6440 0,002128
5. Выводы
Исследованные планы экспериментов на основе τЛП последовательностей (табл. 2) харак-
теризуются минимально возможной коррелированностью )4,0|(| ≤ijr . Полученные резуль-
таты подтверждают выдвинутую гипотезу о преимуществе τЛП планов экспериментов
при аппроксимации исходных данных и получении структур моделей, соответствующих
структурам истинных моделей. Эти планы позволяют проводить последовательное плани-
рование экспериментов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Радченко С.Г. Методология регрессионного анализа / Радченко С.Г. – К.: Корнійчук, 2011. –
376 с.
2. Орлов В.А. Новое семейство квазислучайных последовательностей / В.А. Орлов, В.И. Рейзлин //
Известия Томского политехнического университета. – 2012. – Т. 320, № 2. – С. 24 – 26.
3. Ermakov S. On the Quasi-Random Sequence in the Random Processes Modeling Algorithms // S. Er-
makov, T. Tovstik // Focus on Applied Statistics. Nova Science Publishers. – 2003. – P. 91 − 102.
4. Соболь И.М. ЛП-поиск и задачи оптимального проектирования / И.М. Соболь, Р.Б. Статников //
Проблемы случайного поиска: сб. статей. − Рига: Зинатне, 1972. – С. 117 – 135.
5. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара / Соболь И.М. – М.: Физ-
матлит, 1969. – 288 с.
6. Планирование экспериментов с помощью τЛП -сеток при решении задач оптимального проек-
тирования / В.Г. Крейнин, В.И. Сергеев, И.Н. Статников [и др.] // АН СССР. Моделирование задач
машиноведения на ЭВМ: сб. статей. – М.: Наука, 1967. – С. 26 – 31.
7. Использование методов планирования экспериментов при проектировании динамических систем
/ О.Б. Балакшин, В.П. Гусев, В.А. Ковановская [и др.] // АН СССР. Моделирование задач машино-
ведения на ЭВМ: сб. статей. – М.: Наука, 1967. – С. 32 − 36.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 2 127
8. Соболь И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И.М. Соболь,
Р.Б. Статников. – [2-е изд., перераб. и доп.]. – М.: Дрофа, 2006. – 175 с.
9. Реклейте Г. Оптимизация в технике: в 2-х кн. / Реклейте Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К.; пер. с
англ. – М.: Мир, 1986. – Кн. 1. – 345 с.
Стаття надійшла до редакції 27.09.2013
|