О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа
Пусть E — банахово пространство и A — замкнутый линейный оператор в E с областью определения, которая может не быть плотной в пространстве E. Мы предполагаем, что оператор A имеет ограниченный обратный оператор и доказываем корректность дифференциального уравнения w′ = Aw + f(z) в специальном простр...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84397 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа / С.Л. Гефтер, Т.Е. Стулова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859783856792535040 |
|---|---|
| author | Гефтер, С.Л. Стулова, Т.Е. |
| author_facet | Гефтер, С.Л. Стулова, Т.Е. |
| citation_txt | О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа / С.Л. Гефтер, Т.Е. Стулова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Пусть E — банахово пространство и A — замкнутый линейный оператор в E с областью определения, которая может не быть плотной в пространстве E. Мы предполагаем, что оператор A имеет ограниченный обратный оператор и доказываем корректность дифференциального уравнения w′ = Aw + f(z) в специальном пространстве целых функций.
Нехай E — банахiв простiр i A — замкнений лiнiйний оператор в E з областю визначення, що може не бути щiльною в просторi E. Ми вважаємо, що оператор A має обмежений обернений оператор i доводимо коректнiсть диференцiального рiвняння w′ = Aw + f(z)
у спецiальному просторi цiлих функцiй.
Let E be a Banach space, and let A be a closed linear operator on E with the domain of definition
that may be not dense in E. We suppose that A has a bounded inverse operator and prove the
well-posedness of the differential equation w′ = Aw + f(z) in a special space of entire functions.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:41:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2012
МАТЕМАТИКА
УДК 517.983
© 2012
С.Л. Гефтер, Т.Е. Стулова
О корректности некоторого нерезонансного
операторно-дифференциального уравнения
в пространстве целых функций экспоненциального типа
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Пусть E — банахово пространство и A — замкнутый линейный оператор в E с об-
ластью определения, которая может не быть плотной в пространстве E. Мы пред-
полагаем, что оператор A имеет ограниченный обратный оператор и доказываем кор-
ректность дифференциального уравнения w′ = Aw + f(z) в специальном пространстве
целых функций.
1. Пусть E — банахово пространство и Q : E → E — ограниченный линейный оператор.
Рассмотрим линейное уравнение второго рода
Qu+ b = u. (1)
Если спектральный радиус ρ(Q) оператора Q меньше 1, то для любого b ∈ E уравнение (1)
имеет единственное решение
u = b+
∞∑
n=1
Qnb, (2)
и это решение непрерывно зависит от вектора b. Таким образом, в этом случае уравне-
ние (1) является корректным. Условие ρ(Q) < 1 можно рассматривать как тот факт, что
оператор Q является “малым параметром”. В настоящей работе изучается линейное диф-
ференциальное уравнение в банаховом пространстве, являющееся аналогом уравнения (1),
а именно, рассматривается следующее неявное линейное дифференциальное уравнение:
Tw′ + g(z) = w, (3)
где T : E → E — ограниченный линейный оператор, g — E-значная целая функция. Вместо
ряда (2) мы получаем ряд
w(z) = g(z) +
∞∑
n=1
T ng(n)(z). (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 7
Этот ряд является конечной суммой в следующих алгебраических ситуациях: 1) g —
полином; 2) оператор T нильпотентен. В общем случае мы показываем, что для сходимос-
ти ряда (4) достаточно малости пары (T, g) в том смысле, что ρ(T )σ(g) < 1, где σ(g) —
экспоненциальный тип функции g (см. теорему 1). Кроме того, мы получаем интегральное
представление типа Коши для решения уравнения (3) (см. теорему 9).
Используя уравнение (3), мы изучаем неоднородное уравнение
w′ = Aw + f(z) (5)
с замкнутым обратимым оператором в нерезонансном случае, т. е. в случае, когда экспонен-
циальный тип функции f(z) меньше, чем min {|λ| : λ ∈ σ(A)}, где σ(A) — спектр операто-
ра A. Здесь мы не предполагаем, что область определения оператора A плотна. В качестве
следствия теоремы 1 получаем утверждение о корректной разрешимости неоднородного
уравнения (5) в пространстве целых функций экспоненциального типа (см. теорему 2).
Отметим, что линейные неоднородные дифференциальные уравнения в банаховом про-
странстве исследовались в многочисленных работах (см., например, [1–5]). В большинстве
случаев эти уравнения были изучены с помощью техники теории полугрупп. В частности,
для получения решения неоднородного уравнения нужно было знать решения однородного
уравнения. Уравнение на полуоси с оператором, который имеет неплотную область опреде-
ления, изучалось в работах П. Соболевского и Ю. Сильченко [6], Ж. Де Прато и E. Сине-
страти [7] (см. также [5, раздел 3.5]). Неявные линейные дифференциальные уравнения в ба-
наховом пространстве исследовались в работе [8] (см. также приведенную там библиогр.).
Целые и голоморфные решения явных и неявных линейных дифференциальных уравнений
в комплексном банаховом пространстве были рассмотрены в [3, 9–12] и других работах.
Эволюционное уравнение с неоднородной частью в виде полинома изучалось в работе [13]
Голоморфные решения в форме (4), возможно, впервые были изучены в [14], где рассма-
тривался случай, когда функция g(z) имеет нулевой экспоненциальный тип. В работе [15]
изучались голоморфные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве над неархимедовым полем.
2. Рассмотрим множество Eσ всех целых E-значных функций f(z), для которых
sup
z∈C
(‖f(z)‖e−σ|z|) < +∞. Тогда Eσ — банахово пространство относительно нормы ‖f‖σ =
= sup
z∈C
(‖f(z)‖e−σ|z|). Для 0 < σ 6 ∞ положим Ẽσ =
⋃
σ1<σ
Eσ1
. Тогда Ẽσ — пространство
целых E-значных функций экспоненциального типа, меньшего, чем σ (если σ = ∞, то
Ẽ∞ — пространство всех функций экспоненциального типа). Будем рассматривать это про-
странство с естественной топологией индуктивного предела банаховых пространств.
Теорема 1 (о корректности уравнения (3) в пространстве Ẽσ0
). Пусть T : E → E —
ограниченный линейный оператор, σ0 = 1/ρ(T ), σ < σ0 и g(z) — целая функция экспонен-
циального типа σ (в случае, когда ρ(T ) = 0, т. е. T квазинильпотентный, мы считаем,
что 1/ρ(T ) = ∞). Тогда уравнение (3) имеет единственное целое решение экспоненциаль-
ного типа σ, w(z) =
∞∑
n=0
T ng(n)(z), этот ряд сходится равномерно на компактных мно-
жествах и решение непрерывно зависит от g в топологии пространства Ẽσ0
.
Доказательство. Пусть σ < σ1 < σ0 и f ∈ Eσ1
. Применяя интегральную формулу
Коши, можно показать, что оператор дифференцирования D ограничен в Eσ1
и ‖Dn‖ 6
6 n!enn−nσn
1 . Положим Q = T̃D, где (T̃ f)(z) = Tf(z). Теперь заметим, что g ∈ Eσ1
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
и уравнение (3) может быть переписано в виде уравнения второго рода Qw + g = w. Так
как операторы T̃ и D коммутируют, то по формуле Гельфанда ρ(Q) = lim
n→∞
n
√
‖Qn‖ 6
6 ρ(T )σ1 < 1. Следовательно, в пространстве Eσ1
уравнение (3) имеет единственное ре-
шение w =
∞∑
n=0
Qng =
∞∑
n=0
T ng(n). Так как g ∈ ⋂
σ1>σ
Eσ1
, то мы получаем, что уравнение (3)
имеет единственное решение экспоненциального типа, не большего, чем σ. Поскольку g(z) =
= w(z) − Tw′(z), то экспоненциальный тип w(z) не может быть меньше σ. Таким образом,
он равен σ. Так как оператор (I − Q)−1 непрерывен в каждом пространстве Eσ1
, σ1 > σ,
то отсюда следует и непрерывная зависимость решения от g. Равномерная сходимость на
компактах ряда (4) следует из сходимости в пространстве Eσ1
. Теорема доказана.
Пусть теперь A — замкнутый линейный оператор в пространстве E с областью опре-
деления D(A), которая может не быть плотной в E. Рассмотрим дифференциальное урав-
нение (5).
Теорема 2 (о корректности уравнения (5) в нерезонансном случае в пространстве Ẽσ0
).
Пусть замкнутый оператор A : D(A) → E имеет ограниченный обратный и f(z) — це-
лая функция экспоненциального типа, меньшего σ0 = min{|λ| : λǫσ(A)}. Тогда уравне-
ние (5) имеет единственное целое решение экспоненциального типа, меньшего σ0, w(z) =
= −
∞∑
n=0
A−(n+1)f (n)(z), и это решение непрерывно зависит от f в топологии пространс-
тва Ẽσ0
.
Доказательство. Пусть T = A−1. Тогда σ0 = 1/ρ(T ). Если σ1 < σ0, f ∈ Eσ1
и g(z) =
= −A−1f(z), то g ∈ Eσ1
. Теперь остается только заметить, что уравнение (5) эквивалентно
уравнению (3).
Рассмотрим некоторые примеры.
С нашей точки зрения, теорема 2 интересна даже в одномерном случае.
П р и м е р 1 . Пусть E = C и A = I. Рассмотрим дифференциальное уравнение w′ = w + f(z).
Если f(z) — целая функция экспоненциального типа σ < 1, то это уравнение имеет единственное
целое решение экспоненциального типа σ, w(z) = −
∞∑
n=0
f (n)(z), и это решение непрерывно зависит
от правой части f в топологии пространства Ẽ1.
П р и м е р 2 . Рассмотрим следующее уравнение вынужденных колебаний: ẍ + ω2x = f(t), где
ω > 0 и f(t) — след целой функции экспоненциального типа σ на вещественной оси. Переходя
к системе уравнений первого порядка, получаем, что при σ < ω это уравнение имеет единственное
решение x(t) =
∞∑
k=0
(−1)k
ω2k+2
f (2k)(t), которое можно продолжить до целой функции экспоненциального
типа σ.
П р и м е р 3 . Пусть E — гильбертово пространство, A — замкнутый нормальный оператор
в E с дискретным спектром и 0 /∈ σ(A). Пусть {ek} — ортонормированный собственный базис
для A, Aek = λkek, где λk → ∞. Если |λ1| = min
k
|λk|, f : C → E, f(z) =
∑
k
fk(z)ek — целая
функция и экспоненциальный тип f меньше, чем |λ1|, то уравнение (5) w′ = Aw + f(z) имеет
следующее единственное целое решение, экспоненциальный тип которого меньше, чем |λ1|: w(z) =
= −
∞∑
n=0
(∑
k
λ
−(n+1)
k
f
(n)
k
(z)ek
)
.
П р и м е р 4 . Пусть E = C[0, 1], A = d2/dx2 и D(A) = {u ∈ C2[0, 1] : u(0) = u(1) = 0}. Тогда
оператор A обратим, (A−1h)(x) =
1∫
0
G(x, y)h(y) dy, где G — функция Грина для соответствую-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 9
щей краевой задачи, ρ(A−1) = 1/π2 и (A−(n+1)h)(x) =
1∫
0
Gn+1(x, y)h(y) dy, где G1(x, y) = G(x, y)
и Gn+1(x, y) =
1∫
0
Gn(x, s)G(s, y) ds.
В этом примере при переходе на вещественную ось уравнение (5) принимает форму краевой
задачи для уравнения теплопроводности на отрезке [0, 1] с нулевыми граничными условиями:
∂w
∂t
=
∂2w
∂x2
+ f(t, x), t ∈ R, x ∈ (0, 1),
w(t, 0) = w(t, 1) = 0.
(6)
Если f(t, x) =
∞∑
n=0
cn(x)t
n, где cn ∈ C[0, 1] и lim
n→∞
n
√
n!‖cn‖ < 1/π2, то задача (5) имеет решение
w(t, x) = −
∞∑
n=0
1∫
0
Gn+1(x, y)∂
nf/∂tn(t, y)dy.
П р и м е р 5 . Пусть E = C[0, 1], A = d/dx и D(A) = {u ∈ C1[0, 1] : u(0) = 0}. Тогда
(A−(n+1)h)(x) = (1/n!)
x∫
0
(x − y)nh(y) dy и ρ(A−1) = 0. При переходе на вещественную ось урав-
нение (5) примет следующий вид:
∂w
∂t
=
∂w
∂x
+ f(t, x), t ∈ R, x ∈ (0, 1),
w(t, 0) = 0.
(7)
Если f можно продолжить до целой функции экспоненциального типа по второй переменной, то
в этом классе функций задача (5) имеет единственное решение
w(t, x) = −
∞∑
n=0
1
n!
x∫
0
(x− y)n
∂nf
∂tn
(t, y) dy = −
x∫
0
f(t+ x− y, y) dy.
Важно отметить, что задача (7) для однородного уравнения имеет только нулевое решение даже
в классе непрерывно дифференцируемых функций. В частности, оператор A не является операто-
ром Хилле–Иосиды (см. [5, 3.5]).
Покажем теперь, что в случае, когда g(z) — целая функция, не являющаяся функцией
экспоненциального типа, уравнение (3) может вообще не иметь непрерывно дифференци-
рованного решения на отрезке [0, t0], t0 > 0, даже если ρ(T ) = 0.
П р и м е р 6 . Пусть E — гильбертово пространство с ортонормированным базисом {en}∞n=0, T —
такой оператор взвешенного сдвига, что Ten = en+1/
√
n+ 1, и g(z) = ez
2
e0. Если w(t) =
∞∑
n=0
wn(t)en
является решением уравнения (3) на отрезке [0, t0], то
et
2
= w0(t),
1√
n+ 1
w′
n
(t) = wn+1(t), t ∈ [0, t0], n > 0.
Отсюда следует, что wn(t) = (1/
√
n!)(et
2
)(n) и w2n(0) =
√
(2n)!/n!. Поэтому
∞∑
n=0
|wn(0)|2 = +∞,
а это противоречит тому, что w — E-значная функция.
Из теоремы 1 для решения уравнения (3) можно получить интегральное представление
типа Коши. Для этого мы используем интегральную формулу Коши для n-й производной
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
g(n)(z) =
n!
2πi
∮
|ζ|=r
g(ζ)dζ
(ζ − z)n+1
и следующее понятие формального интеграла в пространстве
формальных рядов Лорана. Пусть V — произвольное комплексное векторное пространство
и V [[ζ, 1/ζ]] — пространство всех формальных рядов Лорана с коэффициентами из V . Для
f(ζ) =
∞∑
n=−∞
bnζ
n ∈ V
[[
ζ,
1
ζ
]]
мы полагаем
∮
f(ζ) dζ = 2πib−1.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1, ET (ζ) =
∞∑
n=0
n!T n
ζn+1
— формальное
преобразование Лапласа–Бореля резольвенты Фредгольма оператора T и ET (ζ − z) — сле-
дующий формальный ряд по степеням 1/ζ:
ET (ζ − z) =
∞∑
n=0
n!T n
ζn+1
(
∞∑
j=0
(
z
ζ
)j
)n+1
.
Тогда произведение ET (ζ − z)g(ζ) корректно определено как элемент пространства
E[[z]][[ζ, 1/ζ]] и
w(z) =
1
2πi
∮
ET (ζ − z)g(ζ) dζ,
где интеграл в правой части равенства понимается как формальный интеграл в прост-
ранстве формальных рядов Лорана.
1. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. –
829 с.
2. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – Москва: Наука,
1967. – 467 с.
3. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве. – Москва: Наука, 1970. – 536 с.
4. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. –
Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с.
5. Arendt W., Batty C. J. K., Hieber M. et al. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. –
Basel: Birkhäuser, 2001. – 523 p.
6. Сильченко Ю., Соболевский П. Разрешимость задачи Коши для эволюционного уравнения в банахо-
вом пространстве с неплотно заданным операторным коэффициентом, порождающим полугруппу с
особенностью // Сиб. мат. журн. – 1986. – 27, № 4. – С. 93–104.
7. Da Prato G., Sinestrati E. Differential operators with non dense domain // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. –
1987. – 14. – P. 285–344.
8. Власенко Л. A. Эволюционные модели с неявными и сингулярными дифференциальными уравне-
ниями. – Днепропетровск: Системные технологии, 2006. – 273 с.
9. Горбачук М.Л. Про аналiтичнi розв’язки диференцiально-операторних рiвнянь // Укр. мат. журн. –
2000. – 52, № 5. – С. 596–607.
10. Gorbachuk M., Gorbachuk V. On the well-posed solvability in some classes of entire functions of the Cauchy
problem for differential equations in a Banach space // Methods Funct. Anal. Topology. – 2005. – 11, No 2. –
P. 113–125.
11. Balser W., Duval A., Malek S. Summability of formal solutions for abstract Cauchy problems and related
convolution equations // Ulmer Seminare über Funktionalanalysis und Differetialgleichungen. – 2007. –
11. – P. 29–44.
12. Gefter S., Stulova T. On holomorphic solutions of some implicit linear differential equation in a Banach
space // Operator Theory: Advances and Applications. – Basel: Birkhäuser, 2009. – Vol. 191. – P. 331–340.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 11
13. Баб’як-Бiлецька Л., Горбачук О. Пряма асимтотична задача для еволюцiйного рiвняння з неоднорiд-
ною частиною у виглядi многочлену // Мат. студiї. – 2000. – 23, № 1. – С. 84–91.
14. Gefter S., Stulova T. On entire solutions of some inhomogeneous linear differential equations in a Banach
space // Proceedings of the 3rd Nordic EWM Summer School for PhD Students in Mathematics. – TUCS
General Publication, Turku, 2009. – No 53. – P. 211–214.
15. Gorbachuk V. I., Gorbachuk V.M. On holomorphic solutions of some inhomogeneous linear differential
equations in a Banach space over a non-Archimedean field // p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and
Applications. – 2010. – 2, No 2. – P. 114–121.
Поступило в редакцию 28.12.2011Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
С.Л. Гефтер, Т. Є. Стулова
Про коректнiсть деякого нерезонансного
операторно-диференцiального рiвняння в просторi цiлих функцiй
експоненцiального типу
Нехай E — банахiв простiр i A — замкнений лiнiйний оператор в E з областю визначен-
ня, що може не бути щiльною в просторi E. Ми вважаємо, що оператор A має обмеже-
ний обернений оператор i доводимо коректнiсть диференцiального рiвняння w′ = Aw + f(z)
у спецiальному просторi цiлих функцiй.
S. L. Gefter, T. E. Stulova
On the well-posedness of some nonresonant operator differential
equations in a space of entire functions of exponential type
Let E be a Banach space, and let A be a closed linear operator on E with the domain of definition
that may be not dense in E. We suppose that A has a bounded inverse operator and prove the
well-posedness of the differential equation w′ = Aw + f(z) in a special space of entire functions.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84397 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:41:07Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гефтер, С.Л. Стулова, Т.Е. 2015-07-07T14:03:10Z 2015-07-07T14:03:10Z 2012 О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа / С.Л. Гефтер, Т.Е. Стулова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84397 517.983 Пусть E — банахово пространство и A — замкнутый линейный оператор в E с областью определения, которая может не быть плотной в пространстве E. Мы предполагаем, что оператор A имеет ограниченный обратный оператор и доказываем корректность дифференциального уравнения w′ = Aw + f(z) в специальном пространстве целых функций. Нехай E — банахiв простiр i A — замкнений лiнiйний оператор в E з областю визначення, що може не бути щiльною в просторi E. Ми вважаємо, що оператор A має обмежений обернений оператор i доводимо коректнiсть диференцiального рiвняння w′ = Aw + f(z) у спецiальному просторi цiлих функцiй. Let E be a Banach space, and let A be a closed linear operator on E with the domain of definition that may be not dense in E. We suppose that A has a bounded inverse operator and prove the well-posedness of the differential equation w′ = Aw + f(z) in a special space of entire functions. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа Про коректнiсть деякого нерезонансного операторно-диференцiального рiвняння в просторi цiлих функцiй експоненцiального типу On the well-posedness of some nonresonant operator differential equations in a space of entire functions of exponential type Article published earlier |
| spellingShingle | О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа Гефтер, С.Л. Стулова, Т.Е. Математика |
| title | О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа |
| title_alt | Про коректнiсть деякого нерезонансного операторно-диференцiального рiвняння в просторi цiлих функцiй експоненцiального типу On the well-posedness of some nonresonant operator differential equations in a space of entire functions of exponential type |
| title_full | О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа |
| title_fullStr | О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа |
| title_full_unstemmed | О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа |
| title_short | О корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа |
| title_sort | о корректности некоторого нерезонансного операторно-дифференциального уравнения в пространстве целых функций экспоненциального типа |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84397 |
| work_keys_str_mv | AT geftersl okorrektnostinekotorogonerezonansnogooperatornodifferencialʹnogouravneniâvprostranstvecelyhfunkciiéksponencialʹnogotipa AT stulovate okorrektnostinekotorogonerezonansnogooperatornodifferencialʹnogouravneniâvprostranstvecelyhfunkciiéksponencialʹnogotipa AT geftersl prokorektnistʹdeâkogonerezonansnogooperatornodiferencialʹnogorivnânnâvprostoricilihfunkciieksponencialʹnogotipu AT stulovate prokorektnistʹdeâkogonerezonansnogooperatornodiferencialʹnogorivnânnâvprostoricilihfunkciieksponencialʹnogotipu AT geftersl onthewellposednessofsomenonresonantoperatordifferentialequationsinaspaceofentirefunctionsofexponentialtype AT stulovate onthewellposednessofsomenonresonantoperatordifferentialequationsinaspaceofentirefunctionsofexponentialtype |