Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений
Для автономной системы дифференциальных уравнений при условии выполнения условий существования и единственности решений в окрестности стационарной точки доказано существование функции, производная которой в силу системы является знакопостоянной. При доказательстве использованы результаты Н.Н. Красов...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84398 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений / А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный, А.С. Суйков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 13-18. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859728756148535296 |
|---|---|
| author | Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. Суйков, А.С. |
| author_facet | Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. Суйков, А.С. |
| citation_txt | Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений / А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный, А.С. Суйков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 13-18. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Для автономной системы дифференциальных уравнений при условии выполнения условий существования и единственности решений в окрестности стационарной точки доказано существование функции, производная которой в силу системы является знакопостоянной. При доказательстве использованы результаты Н.Н. Красовского и X.Л. Массеры.
Для автономної системи диференцiальних рiвнянь, що задовольняє умови iснування та єдиностi розв’язкiв в околi стацiонарної точки, доведено iснування функцiї, похiдна якої внаслiдок системи є знакосталою. При доведеннi використанi результати М.М. Красовського
та X.Л. Массери.
For an autonomous system of differential equations satisfying the conditions of existence and uniqueness of solutions in a vicinity of the stationary point, the existence of a function with constantsign derivative along trajectories of the system is proven. In the proof, Krasovskii’s and Massera’s
results are used.
|
| first_indexed | 2025-12-01T13:05:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2012
Академик НАН Украины А.М. Ковалев, В. Н. Неспирный,
А.С. Суйков
Существование функции со знакопостоянной
производной для автономных систем
дифференциальных уравнений
Для автономной системы дифференциальных уравнений при условии выполнения усло-
вий существования и единственности решений в окрестности стационарной точки до-
казано существование функции, производная которой в силу системы является знакопо-
стоянной. При доказательстве использованы результаты Н.Н. Красовского и X.Л. Мас-
серы.
Появление дополнительных функций [1, 2] внесло конструктивный элемент в теорию устой-
чивости движения, связанный с процедурой построения функций Ляпунова. Исходным эта-
пом в построении функции Ляпунова стало получение функции, имеющей знакопостоянную
производную в силу системы, которая затем преобразуется к виду, когда множество обраще-
ния в ноль ее производной является инвариантным. Преобразованная функция позволяет
решать все задачи устойчивости, включая и частичную устойчивость [3]. Учитывая важ-
ность такой функции, встал вопрос о ее существовании, который тесно связан с задачей
о существовании функции со знакоопределенной производной, поставленной и решенной
Н.Н. Красовским [4]. Опираясь на результаты Н.Н. Красовского [4] и X.Л. Массеры [5],
в настоящей работе доказана теорема о существовании функции, имеющей знакопостоян-
ную производную.
1. Постановка задачи. Будем рассматривать автономную систему дифференциальных
уравнений
ẋ =
dx
dt
= f(x), x ∈ R
n, f : Rn → R
n, f ∈ C, f(0) = 0. (1)
Для произвольной функции g : Rn → R через ġ = 〈∇g, f〉 будем обозначать производную
этой функции вдоль произвольной траектории системы (1). Здесь 〈·, ·〉 означает скалярное
произведение в R
n. Кроме того, введем обозначения B(x0, ε) = {x : |x− x0| < ε} — окрест-
ность точки x0 радиуса ε, x(t;x0) — решение системы (1), удовлетворяющее начальному
условию x(0) = x0.
Рассмотрим вопрос о существовании функции V (x), производная которой в силу сис-
темы (1) является знакопостоянной функцией. Следующая теорема дает положительный
ответ на этот вопрос, и ее доказательство определяет некоторый способ построения иско-
мой функции.
Теорема 1. Пусть для системы (1) в некоторой области M выполнены условия су-
ществования и единственности решений. Если в любой окрестности начала координат
Bε ⊂ M , существует точка x0 ∈ Bε такая, что решение x(t;x0) в некоторый момент
времени T (возможно T < 0) покидает множество M , т. е. x(T, x0) 6∈ M , то существует
непрерывная функция V , не равная нулю тождественно, производная V̇ которой в силу
системы (1) непрерывна и отрицательно постоянна на множестве M .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 13
2. Классификация траекторий автономной системы. Зафиксируем число r и бу-
дем рассматривать окрестность нуля
M = B(0, r) = {x : |x| 6 r}, (2)
а также множество
M ǫ = B(0, r + ε0) = {x : |x| < r + ε0}, ε0 > 0. (3)
Разобьем M на подмножества согласно характеру поведения траекторий:
M1 = {x0 ∈ M : ∃ t1 6 0, ε0 > 0: x(t1 − ε) 6∈ M ∀ ε < ε0, x(t;x0) ∈ M ∀ t > t1,
lim
t→+∞
x(t;x0) = 0},
M2 = {x0 ∈ M : ∃ t2 > 0, ε0 > 0: x(t2 + ε) 6∈ M ∀ ε < ε0, x(t;x0) ∈ M ∀ t < t2,
lim
t→−∞
x(t;x0) = 0},
M2 = {x0 ∈ M : ∃ t1 6 0, t2 > 0, t1 6= t2, ε0 > 0: x(t1 − ε;x0) 6∈ M,
x(t2 + ε, x0) 6∈ M, ∀ ε < ε0, x(t;x0) ∈ M,∀ t : t1 6 t 6 t2},
M0 = M \M123, M123 = M1
⋃
M2
⋃
M3.
(4)
Здесь множества Mi, i = 1, 3, совпадают с одноименными множествами, определенными
в работе [4]. Однако в отличие от случая Красовского, множество M0 (содержащее целые
траектории или полутраектории, целиком лежащие в M) может быть непусто.
Введем также обозначения для границы множества M :
M∗ = ∂M = {x : |x| = r}, M∗
i = Mi
⋂
M∗.
Множества Mi, очевидно, инвариантны. Точную структуру множества M0 не всегда
просто определить, однако легко показать, что M0 принадлежат траектории, полностью
лежащие в M .
3. Построение функции. Учитывая результаты Массеры [5] и Красовского [4], можно
предложить следующий вид функции V :
V (x) = γ(x)V0(x), V0(x0) =
0, x0 ∈ M0,
+∞
∫
0
G(|x(t;x0)|) dt, x0 ∈ M1,
−∞
∫
0
G(|x(t;x0)|) dt, x0 ∈ M2,
0
∫
T (x)
G(|x(t;x0)|) dt, x0 ∈ M3.
(5)
Здесь T (x) = (t1 + t2)/2, где t1 > 0, t2 < 0 — моменты времени, когда траектория дости-
гает M∗. Согласно [4], функция V0(x) непрерывна на M123, а ее производная V̇0(x) положи-
тельно определена на M123. Это означает, что V̇0(x) > 0 на M . Функция γ(x), определенная
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
на всем множестве M , должна выбираться так, чтобы функция V оставалась непрерыв-
ной на M , а V̇ — положительно постоянной. То есть γ(x) предназначена для сглаживания
возможных разрывов функции V0(x) без потери других требуемых свойств. В тривиальном
случае M0 = {0} достаточно взять γ(x) ≡ 1, однако в случае более сложного M0 такой
выбор не может гарантировать непрерывности.
Введем функцию γ, определенную на M∗:
γ(x) : M∗ → R; γ ∈ C1,
γ(x) = ∇γ(x) = 0 при x ∈ M∗
0 ,
γ(x) > 0 при x ∈ M∗
1
⋃
M∗
2
⋃
M∗
3 ,
γ(x(t1, x0)) = γ(x(t2, x0)) ∀x0 ∈ M3,
(6)
и определим
γ(x0) =
0, x0 ∈ M0,
γ(x(t1;x0)), x0 ∈ M1,
γ(x(t2;x0)), x0 ∈ M2,
γ(x(t1, x0)) = γ(x(t2, x0)), x0 ∈ M3,
(7)
где t1 > 0, t2 < 0 — моменты времени, когда траектория достигает границы множества M .
Для доказательства основной теоремы потребуются следующие вспомогательные
утверждения.
Утверждение 1. Пусть f1, f2: R
n → R и пусть x0 ∈ R
n. Если f1 непрерывна в x0
и f1(x0) = 0, а f2 ограничена в некоторой окрестности x0, то f1f2 непрерывна в x0.
Доказательство. Пусть B(x0, r) — окрестность x0 и |f2(x)| 6 m при x ∈ B(x0, r).
Непрерывность f1 в x0 значит, что ∀ ǫ > 0 ∃ δ > 0: |f1(x) − f1(x0)| < ǫ при |x − x0| < δ.
Но тогда
|f1(x)f2(x)− f1(x0)f2(x0)| 6 m|f1(x)− f1(x0)| < mǫ
при тех же x, что и означает непрерывность f1f2 в точке x0.
Утверждение 2 (непрерывность траекторий). Пусть для системы (1) известно реше-
ние x(t;x0), 0 6 t 6 T , и пусть в некоторой окрестности
D =
{
x : min
06t6T
|x− x(t;x0)| < d
}
выполнены условия существования и единственности решений системы (1). Тогда
∀ ǫ ∈ (0, d) ∃ δ > 0 : x∗ ∈ B(x0, δ) ⇒ |x(t;x∗)− x(t;x0)| < ǫ при 0 6 t 6 T.
Для доказательства используется непрерывная зависимость решений (1) от начальных
условий в обычной формулировке.
Утверждение 3. Множество M123 открыто в M , т. е. если x0 ∈ M123 и B(x0, ε) ⊂ M
для некоторого ε, то B(x0, ε) ⊂ M123.
Доказательство. По определению M123, существует отрезок траектории x(t;x0), ле-
жащий в M при 0 6 t 6 t∗ (либо t∗ 6 t 6 0), для которого x(t+ δ;x0) 6∈ M для некоторого
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 15
малого δ. M замкнуто, поэтому существует q: B(x(t∗;x0), q). Но тогда из утверждения 2
следует, что существует B(x0, ε): x(x′, t′) ∈ B(x(t∗;x0), q) для любого x′ ∈ B(x0, ε) при
соответствующем выборе t′.
Утверждение 4. Пусть {xi}, xi ∈ M123, — сходящаяся последовательность,
lim
i→∞
xi = x0, x0 6∈ M123, x0 6= 0.
Тогда
lim
i→∞
γ(xi) = 0. (8)
Доказательство. Поскольку {xi} ⊂ M123, то для каждого xi существует точка x∗i =
= x(t∗;xi) ∈ M∗
123, а если xi ∈ M3, то кроме x∗i существует также вторая точка x∗∗i и момент
времени t∗∗ с такими же свойствами. Рассмотрим последовательность X∗, составленную из
точек x∗i и, для тех i, для которых они существуют, x∗∗i , и соответствующую последова-
тельность T моментов времени t∗ и t∗∗.
Выберем произвольную сходящуюся подпоследовательность {x∗ik} из X∗,
lim
k→∞
x∗ik = x∗0,
и соответствующую ей подпоследовательность {tik} из T . Из непрерывной зависимости от
начальных условий следует, что существует конечный либо бесконечный предел tik .
Пусть lim tik = t∗, т. е. предел конечный. Тогда
x0 = lim xi = lim x(−t∗i ;x
∗
i ) = lim x(−t∗;x∗i ) = x(−t∗;x∗0);
здесь использована непрерывная зависимость x(t;x0) сначала по t, затем по x. Но поскольку
x0 6∈ M123 и x0 = x(−t∗;x∗0), то x∗0 6∈ M∗
123.
Пусть lim tik = +∞ или lim tik = −∞. Тогда x0 является предельной точкой, к которой
стремятся траектории x(t;xi). Но поскольку xi ∈ M123, то такой предельной точкой может
быть только x0 = 0.
Утверждение 5. Функция γ непрерывна в M \ {0}.
Доказательство. Рассмотрим произвольную последовательность {xi} ∈ M ,
lim
i→∞
{xi} = x0 6= 0,
и покажем, что
lim
i→∞
γ(xi) = γ(x0). (9)
1. Пусть γ(x0) 6= 0. Тогда из (7) следует, что x0 ∈ M123 и ∃x∗0. Поскольку M123 открыто,
то ∃N : ∀ i > N xi ∈ M123, и ∀ i > N ∃x∗i . Из непрерывности траектории x(t;x0) получаем,
что ∃ lim
i→∞
x∗i = x∗0. Поскольку γ непрерывна, то
lim
i→∞
γ(x∗i ) = γ(x∗0),
что с учетом формулы (7) означает (9).
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
2. Пусть γ(x0) = 0 и ∃N : ∀ i > N xi 6∈ M123. Тогда γ(xi) = 0 при i > N и, следова-
тельно, (9) выполнено.
3. Пусть γ(x0) = 0 и ∀N > 0 ∃ i > N : xi ∈ M123. Выделим из последовательности {xi}
подпоследовательности {xMi } ∈ M123 и {x0i } 6∈ M123. Поскольку γ(x0i ) = 0, то сходимость
всей последовательности определяется сходимостью подпоследовательности γ({xMi }). Со-
гласно утверждению 4
lim
i→∞
γ(xMi ) = 0,
а следовательно, (9) имеет место.
Утверждение 6. Функция γ, определенная формулой (7), существует для любой сис-
темы вида (1) в заданной области M в предположении, что в M выполнены условия су-
ществования и единственности решений.
Доказательство. Существование и единственность решений в M означают существо-
вание разбиения (4). В таком случае функция γ будет определена в любой точке M , если
определена функция γ на границе M .
Для того чтобы определить γ, рассмотрим границу M∗. Это гладкое многообразие в R
n,
следовательно, его можно рассматривать как риманово многообразие с метрикой d(·, ·).
Пусть
γ : M∗ → R, γ(x) = min
x′∈M∗
0
d(x, x′). (10)
Множество M0 замкнуто (утверждение 3), поэтому минимум всегда достигается. Естествен-
ная метрика d непрерывна на M∗, поэтому и γ(x) является непрерывной функцией.
Отметим, что (10) является лишь одним из возможных способов построить γ, однако
он применим для произвольной системы с указанными свойствами и позволяет доказать
существование γ.
Доказательство основной теоремы. Выберем области (2) и (3) таким образом, чтобы
условия существования и единственности решений (1) выполнялись в M ε. Это заведомо
можно сделать за счет выбора числа r. Разобьем область M на Mi, i = 0, 3. Построим
функцию V0 в виде (5); согласно [4], это возможно. Воспользовавшись утверждением (6),
построим функцию γ в области M .
Запишем функцию V в виде (5). Докажем, что она непрерывна вместе со своей прои-
зводной на M .
Поскольку γ(x) > 0 и γ̇(x) = 0 при x ∈ M по построению, то V̇ (x) > 0, и остается
показать, что функция V (x) = γ(x)V0(x) является непрерывной в M .
Функция V0 ограничена на M и непрерывна на M123; кроме того, V0(0) = 0. Функция
γ(x) ограничена на M , непрерывна на M \ {0}, и γ(x) = 0 при x ∈ M0. Следовательно,
согласно 1, V (x) непрерывна на M .
Производная в силу системы (1)
V̇ (x) = γ(x)V̇0(x) + γ̇(x)V0(x) = γ(x)V̇0(x), (11)
поскольку γ(x) постоянна вдоль траекторий системы (1), а следовательно, γ̇(x) = 0. Функ-
ция V̇0(x) также непрерывна на M123, V̇0(0) = 0, поэтому согласно утверждению 1 V̇ (x)
непрерывна на M .
Поскольку γ(x) > 0 и V̇ (x) > 0, то из (11) следует V̇ (x) > 0. Таким образом, теорема
доказана.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 17
1. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для систем, удов-
летворяющих теореме Барбашина–Красовского // Прикл. математика и механика. – 2008. – 72,
вып. 2. – С. 266–272.
2. Ковалев А.М., Суйков А.С. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих условиям теоремы
Барбашина–Красовского // Доп. НАН України. – 2008. – № 12. – С. 22–27.
3. Ковалев А.М. Решение задач устойчивости для нелийненых систем с известной функцией со знако-
постоянной производной // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 32. – С. 3–28.
4. Красовский Н.Н. Об обращении теорем А.М. Ляпунова и Н.Г. Четаева о неустойчивости для ста-
ционарных систем дифференциальных уравнений // Прикл. математика и механика. – 1954. – 18,
вып. 5. – С. 513–532.
5. Massera J. L. On Liapounoff’s conditions of stability // Ann. Math. Second Series. – 1949. – 50, No 3. –
P. 705–721.
Поступило в редакцию 26.01.2012Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
Академiк НАН України О.М. Ковальов, В.М. Неспiрний, О.С. Суйков
Iснування функцiй зi знакосталою похiдною для автономних систем
диференцiальних рiвнянь
Для автономної системи диференцiальних рiвнянь, що задовольняє умови iснування та єди-
ностi розв’язкiв в околi стацiонарної точки, доведено iснування функцiї, похiдна якої внас-
лiдок системи є знакосталою. При доведеннi використанi результати М.М. Красовського
та X.Л. Массери.
Academician of the NAS of Ukraine A.M. Kovalev, V.N. Nespirnyy, A. S. Suykov
Existence of a function with constant-sign derivative for autonomous
systems of differential equations
For an autonomous system of differential equations satisfying the conditions of existence and uni-
queness of solutions in a vicinity of the stationary point, the existence of a function with constant-
sign derivative along trajectories of the system is proven. In the proof, Krasovskii’s and Massera’s
results are used.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84398 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T13:05:06Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. Суйков, А.С. 2015-07-07T14:03:27Z 2015-07-07T14:03:27Z 2012 Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений / А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный, А.С. Суйков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 13-18. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84398 531.36 Для автономной системы дифференциальных уравнений при условии выполнения условий существования и единственности решений в окрестности стационарной точки доказано существование функции, производная которой в силу системы является знакопостоянной. При доказательстве использованы результаты Н.Н. Красовского и X.Л. Массеры. Для автономної системи диференцiальних рiвнянь, що задовольняє умови iснування та єдиностi розв’язкiв в околi стацiонарної точки, доведено iснування функцiї, похiдна якої внаслiдок системи є знакосталою. При доведеннi використанi результати М.М. Красовського та X.Л. Массери. For an autonomous system of differential equations satisfying the conditions of existence and uniqueness of solutions in a vicinity of the stationary point, the existence of a function with constantsign derivative along trajectories of the system is proven. In the proof, Krasovskii’s and Massera’s results are used. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений Iснування функцiй зi знакосталою похiдною для автономних систем диференцiальних рiвнянь Existence of a function with constant-sign derivative for autonomous systems of differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. Суйков, А.С. Математика |
| title | Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений |
| title_alt | Iснування функцiй зi знакосталою похiдною для автономних систем диференцiальних рiвнянь Existence of a function with constant-sign derivative for autonomous systems of differential equations |
| title_full | Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений |
| title_fullStr | Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed | Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений |
| title_short | Существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений |
| title_sort | существование функции со знакопостоянной производной для автономных систем дифференциальных уравнений |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84398 |
| work_keys_str_mv | AT kovalevam suŝestvovaniefunkciisoznakopostoânnoiproizvodnoidlâavtonomnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenii AT nespirnyivn suŝestvovaniefunkciisoznakopostoânnoiproizvodnoidlâavtonomnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenii AT suikovas suŝestvovaniefunkciisoznakopostoânnoiproizvodnoidlâavtonomnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenii AT kovalevam isnuvannâfunkciiziznakostaloûpohidnoûdlâavtonomnihsistemdiferencialʹnihrivnânʹ AT nespirnyivn isnuvannâfunkciiziznakostaloûpohidnoûdlâavtonomnihsistemdiferencialʹnihrivnânʹ AT suikovas isnuvannâfunkciiziznakostaloûpohidnoûdlâavtonomnihsistemdiferencialʹnihrivnânʹ AT kovalevam existenceofafunctionwithconstantsignderivativeforautonomoussystemsofdifferentialequations AT nespirnyivn existenceofafunctionwithconstantsignderivativeforautonomoussystemsofdifferentialequations AT suikovas existenceofafunctionwithconstantsignderivativeforautonomoussystemsofdifferentialequations |