До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей
Розглядаються лiнiйнi динамiчнi системи, просторово-зосередженi або розподiленi в одно-, дво- та багатовимiрному просторi. Пропонується алгоритм переходу вiд визначеної рiвнянням та системою рiвнянь диференцiальної форми математичної моделi до її iнтегрального еквiваленту. Рассматриваются линейные...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84402 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей / В.А. Стоян, К.В. Двiрничук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 36-43. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860237454781448192 |
|---|---|
| author | Стоян, В.А. Двірничук, К.В. |
| author_facet | Стоян, В.А. Двірничук, К.В. |
| citation_txt | До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей / В.А. Стоян, К.В. Двiрничук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 36-43. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглядаються лiнiйнi динамiчнi системи, просторово-зосередженi або розподiленi в одно-, дво- та багатовимiрному просторi. Пропонується алгоритм переходу вiд визначеної рiвнянням та системою рiвнянь диференцiальної форми математичної моделi до її iнтегрального еквiваленту.
Рассматриваются линейные динамические системы, пространственно сосредоточенные или
распределенные в одно-, двух- и многомерном пространстве. Предлагается алгоритм перехода от определенной уравнением и системой уравнений дифференциальной формы математической модели к ее интегральному эквиваленту.
The paper considers linear dynamic systems dimensionally concentrated or distributed in one-,
two-, and multidimensional spaces. An algorithm of transition from a mathematical model defined
by a differential equation and a system of differential equations to its integral equivalent is proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:26:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95:519.86
© 2012
В.А. Стоян, К.В. Двiрничук
До побудови iнтегрального еквiваленту лiнiйних
диференцiальних моделей
(Представлено академiком НАН України В. С. Дейнекою)
Розглядаються лiнiйнi динамiчнi системи, просторово-зосередженi або розподiленi в од-
но-, дво- та багатовимiрному просторi. Пропонується алгоритм переходу вiд визначеної
рiвнянням та системою рiвнянь диференцiальної форми математичної моделi до її iн-
тегрального еквiваленту.
Методи псевдоiнверсної алгебри, започаткованi в [1, 2] та розвиненi в [3, 4], у поєднаннi
з iдеями [5, 6] математичного моделювання впливу початково-крайових зовнiшньо-дина-
мiчних збурюючих факторiв на стан розподiлених просторово-часових систем дозволили
побудувати [7, 8] просту i надiйну методику розв’язання прямих та обернених задач дослiд-
ження динамiки таких систем за умов неповноти та некоректностi iнформацiї про їх поча-
тково-крайовий стан. Суттєвим в запропонованiй методицi є наявнiсть передаточної функцiї
вiд розподiлених просторово-часових збурень до стану системи, який цим збуренням вiдпо-
вiдає. Питання побудови таких передаточних функцiй вивчалися нами у роботах [9, 10], де
цi функцiї будувалиcя для лiнiйних динамiчних систем, описаних лiнiйними диференцiаль-
ними рiвняннями [9], або системою таких рiвнянь [10]. Дiєздатнiсть отриманих при цьому
наукових результатiв була проiлюстрована [10, 11] на одновимiрних динамiчних системах.
Розв’язання проблем практичної реалiзацiї методик [9, 10] для лiнiйних динамiчних систем
бiльшої вимiрностi i розглядаються нижче.
1. Розглянемо просторово розподiлену динамiчну систему, функцiя y = (x, t) (тут x =
= (x1, . . . , xn) — просторова координата; t — час, а ∂x = (∂x1
, . . . , ∂xn) та ∂t — похiднi за
цими координатами i часом) якої задовольняє рiвняння
L(∂x, ∂t)y(x, t) = u(x, t), (1)
в якому L(∂x, ∂t) — лiнiйний диференцiальний оператор, а u(x, t) — просторово розподiлене
зовнiшньо-динамiчне збурення, що супроводжує динамiку розглядуваної системи. Рiвнян-
ня (1) є частинним випадком диференцiальної моделi вигляду
A(∂x, ∂t)~y(x, t) = ~u(x, t), (2)
яка при визначеному матричному диференцiальному операторi
A(∂x, ∂t) = [aij(∂x, ∂t)]
i=M,j=L
i,j=1
(тут aij(∂x, ∂t), як i вище, — лiнiйнi диференцiальнi оператори) та при визначенiй век-
тор-функцiї
~u(x, t) = col(um(x, t),m = 1,M )
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
описує вектор-функцiю
~y(x, t) = col(yl(x, t), l = 1, L)
стану системи.
Еквiвалентним, бiльш зручним [7, 8] для практичного використання, поданням лiнiйних
диференцiальних моделей (1), (2) є iнтегральне подання [9, 10]:
y(x, t) =
+∞
∫
−∞
+∞
∫
−∞
(G(x− x′, t− t′)u(x′, t′)) dx′dt′, (3)
~y(x, t) =
+∞
∫
−∞
+∞
∫
−∞
(G(x− x′, t− t′)~u(x′, t′)) dx′dt′, (4)
в якому
G(x− x′, t− t′) =
1
(2πi)n+1
+i∞
∫
−i∞
+i∞
∫
−i∞
(
ep(x−x′)+q(t−t′)
L(p, q)
)
dpdq, (5)
G(x− x′, t− t′) =
1
(2πi)n+1
+i∞
∫
−i∞
+i∞
∫
−i∞
(A−1(p, q)E(p, q, x − x′, t− t′)) dpdq (6)
за умови, що i — уявна одиниця; p = (p1, . . . , pn), dp = dp1 · · · dpn, p(x− x′) = p1(x1 − x′1) +
+ · · · + pn(xn − x′n), E(p, q, x − x′, t − t′) = diag(ep(x−x′)+q(t−t′),m = 1,M ).
Для просторово зосереджених динамiчних систем, коли n = 0, визначення (5), (6) функ-
цiї G(t − t′) та матричної функцiї G(t − t′) замiняться такими:
G(t− t′) =
K
∑
k=1
Res[L−1(q)eq(t−t′), qk], (7)
G(t− t′) =
K
∑
k=1
Res[A−1(q)eq(t−t′), qk]. (8)
Тут Res[f(q), qk] — iнтегральний лишок функцiї f(q) в точцi qk, де qk — k-й корiнь рiвняння
L(q) = 0 (9)
для (7) та рiвняння
detA(q) = 0 (10)
для (8), а K — кiлькiсть таких коренiв.
Враховуючи, що у нашому випадку
f(q) =
ϕ(q)
ψ(q)
, (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 37
де
ϕ(q) = eq(t−t′), ψ(q) = L(q)
для (7), та
ϕ(q) = eq(t−t′)[Aij ]
j=L,i=M
j,i=1 , ψ(q) = detA(q)
(тут Aji(q) — алгебраїчне доповнення елемента aij(q) матрицi A(q)) для (8), маємо
Res[f(q), qk] =
ϕ(qk)
ψ′(qk)
, (12)
якщо qk — простий корiнь, або
Res[f(q), qk] =
1
(Nk − 1)!
lim
q→qk
(
dNk−1
dqNk−1
((q − qk)
Nkf(q))
)
, (13)
якщо qk — Nk-кратний корiнь (9), (10).
2. Спiввiдношення (7), (8) для побудови передаточної функцiї G(t − t′) системи (1)
та передаточної матричної функцiї G(t − t′) системи (2) (n = 0) мають мiсце, коли qk
(k = 1,K) — iзольованi коренi рiвняння (9) та (10) вiдповiдно. Останнє не створює нiяких
проблем для випадку, коли n = 0, оскiльки qk (k = 1,K) тут є коренями полiномiв L(q) та
detA(q) вiдповiдно. Проблеми можуть виникнути (i вони виникають), коли n > 1, а коренi
рiвнянь
L(p, q) = 0 (14)
та (тут та далi p = (p1, . . . , pn))
detA(p, q) = 0 (15)
розмiщенi на кривiй, поверхнi та гiперповерхнi у просторi змiнних p1, . . . , pn, q.
Для початку обмежемося випадком, коли n = 1, а розв’язки рiвнянь (14), (15) визна-
чаються кривою
l(p, q) = 0,
або (що еквiвалентно)
q = qk(p) (1 > k > K), (16)
у просторi змiнних p, q.
При реалiзацiї спiввiдношень (12), (13) та (7), (8) будемо виходити з того, що визначена
згiдно з (11) для n = 0 функцiя f(q) тепер матиме вигляд
f(p, q) =
ϕ(p, q)
ψ(p, q)
при ϕ(p, q) = ep(x−x′)+q(t−t′), ψ(p, q) = L(p, q) (17)
для G(x − x′, t − t′) та
ϕ(p, q) = ep(x−x′)+q(t−t′)[Aji(p, q)]
j=L,i=M
j,i=1 , ψ(p, q) = detA(p, q) (18)
для G(x − x′, t − t′) вiдповiдно.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
З урахуванням (16) аналогiчно (12), (13) для iнтегрального лишку функцiї f(p, q), ви-
рахуваного у точцi (p
(k)
k1
, qk(p
(k)
k1
)) (k = 1,K), маємо:
Res(f(p, q), p
(k)
k1
, qk(p
(k)
k1
)) = Res
[
ϕ1k(p)
ψ1k(p)
, p
(k)
k1
]
, (19)
де
ϕ1k(p)
ψ1k(p)
= Res
[
ϕ(p, q)
ψ(p, q)
, q = qk(p)
]
, (20)
а p
(k)
k1
(k1 = 1,Kk, k = 1,K) — коренi рiвняння ψ1k(p) = 0.
А це означає, що спiввiдношення (7), (8) у цьому випадку запишуться у виглядi
G(x− x′, t− t′)
G(x− x′, t− t′)
}
=
K
∑
k=1
Kk
∑
k1=1
Res[f(p, q), p
(k)
k1
, qk(p
(k)
k1
)] =
K
∑
k=1
Kk
∑
k1=1
Res
[
ϕ1k(p)
ψ1k(p)
, p
(k)
k1
]
, (21)
де ϕ1k(p), ψ1k(p)(k = 1,K) — функцiї, згiдно з (20) визначенi через введенi в (17), (18)
функцiї ϕ(p, q), ψ(p, q), а розумiння Res [. . .] дано в (12), (13).
3. Розглянемо поширення отриманих вище результатiв з побудови передаточної функ-
цiї (5) та матрицi (6) для випадку, коли n = 2.
Будемо виходити з того, що, аналогiно (7), (8) та (19), функцiя G(x−x′, t−t′) та матриця
G(x− x′, t− t′), в яких x = (x1, x2), визначатимуться iнтегральними лишками функцiї
f(p1, p2, q) =
ϕ(p1, p2, q)
ψ(p1, p2, q)
при
ϕ(p1, p2, q) = ep(x−x′)+q(t−t′), ψ(p1, p2, q) = L(p1, p2, q) (22)
для G(x − x′, t − t′) та
ϕ(p1, p2, q) = ep(x−x′)+q(t−t′)[Aji]
j=l,i=M
j,i=1 , ψ(p1, p2, q) = detA(p1, p2, q) (23)
для G(x − x′, t − t′). Тут, як i вище, x = (x1, . . . , xn), p = (p1, . . . , pn),
p(x− x′) =
n
∑
i=1
pi(xi − x′i).
Для побудови спiввiдношень, аналогiчних (19), припустимо, що нулi функцiї ψ(p1, p2, q)
належать поверхням
q = qk(p1, p2) (k = 1,K), (24)
а функцiї ψ1k(p1, p2) такi, що
Res
[
ϕ(p1, p2, q)
ψ(p1, p2, q)
, q = qk(p1, p2)
]
=
ϕ1k(p1, p2)
ψ1k(p1, p2)
, — (25)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 39
лiнiям
p1 = p1kk1(p2) (k1 = 1,Kk, k = 1,K). (26)
Позначивши через p
(kk1)
2k2
k2-й (k2 = 1,Kkk1) корiнь рiвняння
ψ2kk1(p2) = ψ1k(p1kk1(p2), p2) = 0 (k1 = 1,Kk, k = 1,K),
де
ϕ2kk1(p2)
ψ2kk1(p2)
= Res
[
ϕ1k(p1, p2)
ψ1k(p1, p2)
, p1 = p1kk1(p2)
]
, (27)
аналогiчно (19) визначимо
Rkk1k2(x− x′, t− t′) =
= Res[f(p1, p2, q), p1kk1(p
(kk1)
2k2
), p
(kk1)
2k2
, qk(p1kk1(p
(kk1)
2k2
), p
(kk1)
2k2
)] =
= Res
[
ϕ2kk1(p2)
ψ2kk1(p2)
, p
(kk1)
2k2
]
(k2 = 1,Kkk1 , k1 = 1,Kk, k = 1,K). (28)
З урахуванням (28) та визначень функцiй ϕ2kk1(p2), ψ2kk1(p2) для передаточної функцiї
G(x− x′, t− t′) рiвняння (1) та передаточної матричної функцiї G(x− x′, t− t′) системи (2)
аналогiчно (21) маємо:
G(x− x′, t− t′)
G(x− x′, t− t′)
}
=
K
∑
k=1
Kk
∑
k1=1
Kkk1
∑
k2=1
Rkk1k2(x− x′, t− t′). (29)
4. Запишемо узагальнення спiввiдношень (24)–(27) на випадок довiльного n. Для цього,
аналогiчно (24), (26), позначимо через
q = qk(p1, . . . , pn) (k = 1,K), (30)
p1 = p1kk1(p2, . . . , pn) (k1 = 1,Kk), (31)
p2 = p2kk1k2(p3, . . . , pn) (k2 = 1,Kkk1), (32)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pn−2 = p(n−2)kk1k2...kn−2
(pn−1, pn) (kn−2 = 1,Kkk1...kn−3
), (33)
pn−1 = p(n−1)kk1k2...kn−1
(pn) (kn−1 = 1,Kkk1...kn−2
) (34)
гiперповерхнi, поверхню та лiнiю, на яких обертаються в нуль функцiї ψ(p1, . . . , pn, q),
ψ1k(p1, . . . , pn), . . . , ψnkk1...kn−1
(pn), визначенi спiввiдношеннями
ψ(p1, . . . , pn, q) =
{
L(p, q) для рiвняння (1),
detA(p, q) для системи (2),
(35)
ϕ1k(p1, . . . , pn)
ψ1k(p1, . . . , pn)
= Res
[
ϕ(p1, . . . , pn, q)
ψ(p1, . . . , pn, q)
, q = qk(p1, . . . , pn)
]
, (36)
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
ϕjkk1...kj−1
(pj , . . . , pn)
ψjkk1...kj−1
(pj , . . . , pn)
=
= Res
[
ϕ(j−1)kk1...kj−2
(pj−1, . . . , pn)
ψ(j−1)kk1...kj−2
(pj−1, . . . , pn)
, pj−1 = p(j−1)kk1...kj−1
(pj, . . . , pn)
]
, (37)
j = 2, n.
Позначимо через p
(kk1...kn−1)
nkn
kn-й (kn = 1,Kkk1...kn−1
) корiнь рiвняння
ψnkk1...kn−1
(pn) = 0,
а через
pn−1 = p(n−1)kk1...kn−1
(p
(kk1...kn−1)
nkn
),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p2 = p2kk1k2(p3, . . . , pn−1, p
(kk1...kn−1)
nkn
),
p1 = p1kk1(p2, . . . , pn−1, p
(kk1...kn−1)
nkn
) —
точки гiперповерхонь (30)–(32), поверхнi (33) та лiнiї (34), аналогiчно (29) отримаємо
G(x− x′, t− t′)
G(x− x′, t− t′)
}
=
K
∑
k=1
Kk
∑
k1=1
Kkk1
∑
k2=1
. . .
Kkk1...kn−1
∑
kn=1
Rkk1...kn(x− x′, t− t′), (38)
де
Rkk1...kn(x− x′, t− t′) = Res
[
ϕnkk1...kn−1
(pn)
ψnkk1...kn−1
(pn)
, p
(kk1...kn−1)
nkn
]
,
при визначених згiдно з (35)–(37) функцiях ϕnkk1...kn−1
(pn) та ψnkk1...kn−1
(pn).
Останнє закiнчує процедуру побудови передаточної функцiї G(x−x′, t−t′) та передаточ-
ної матрицi-функцiї G(x− x′, t− t′) рiвнянь (1), (2) — функцiй, якi є ядрами iнтегральних
зображень (3), (4) цих рiвнянь.
5. На завершення зауважимо, що знайденi згiдно з (7), (8) (для n = 0), (21) (для n =
= 1), (29) (для n = 2) та (38) (для довiльного n > 1) функцiя G(x − x′, t − t′) та матрична
функцiя G(x−x′, t−t′) мають вiдповiдати своїй фiзичнiй сутi i повиннi задовольняти умови
симетричностi, неперервностi та затухання на нескiнченностi.
З урахуванням цього запронована вище методика побудови названих передаточних
функцiй перевiрялася на прикладах систем, для яких в рамках перетворення Лапласа–
Карсона [12] та розв’язання початково-крайових задач через апарат фундаментальних
розв’язкiв [13] дослiджувалися iнтеграли вигляду (5).
Так, знайдене згiдно з (7),
G(x− x′) =
1
2λ
sin(λ|x− x′|)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 41
збiгається [13] з фундаментальним розв’язком рiвняння Гельмгольца
(∂2x + λ2)y(x) = δ(x− x′),
а
G(x− x′, t− t′) = ea(x−x′)+b(t−t′) та G(x− x′, t− t′) = −
1
2c
H[c(t− t′)− |x− x′|]
(тут H — функцiя Хевiсайда), знайденi згiдно з (21), — iз результатом [12] обчислення
iнтеграла вигляду (5) для
L(p, q) = (p− a)(q − b)
та фундаментальним розв’язком [13] хвильового рiвняння
(c2∂2x − ∂2t )y(x, t) = δ(x− x′)δ(t − t′),
де наведенi нами функцiї G(x − x′), G(x − x′, t − t′) будувалися iз застосуванням iнших
математичних пiдходiв. Останнє пiдтверджує правильнiсть запропонованого тут пiдходу
до побудови ядер iнтегральних еквiвалентiв лiнiйних диференцiальних моделей динамiки
розподiлених просторово-часових систем.
1. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия, рекуррентное оценивание. – Москва: Наука, 1977. – 305 с.
2. Гантмахер А.Ф. Теория матриц. – Москва: Наука, 1967. – 287 с.
3. Кириченко Н.Ф. Псевдообращение матриц и их рекуррентность в задачах моделирования и управ-
ления // Пробл. управления и информатики. – 1995. – № 1. – С. 114–127.
4. Кириченко Н.Ф., Стоян В.А. Аналитическое представление матричных и интегральных линейных
преобразований // Кибернетика и систем. анализ. – 1998. – № 3. – С. 90–104.
5. Стоян В.А. Об одном подходе к исследованию начально-краевых задач матфизики // Пробл. управ-
ления и информатики. – 1998. – № 1. – С. 79–86.
6. Кириченко Н.Ф., Стоян В.А. Построение общего решения начально-краевых задач, задач наблю-
дения и терминального управления для систем с распределенными параметрами // Электромагн.
волны и электрон. системы. – 1999. – № 6. – С. 4–15.
7. Скопецький В.В., Стоян В.А., Кривонос Ю. Г. Математичне моделювання прямих та обернених
задач динамiки систем з розподiленими параметрами. – Київ: Наук. думка, 2001. – 361 с.
8. Скопецький В. В., Стоян В.А., Зваридчук В. Б. Математичне моделювання динамiки розподiлених
просторово-часових процесiв. – Київ: Сталь, 2008. – 316 с.
9. Стоян В.А. До побудови функцiй Грiна для систем з розподiленими параметрами // Вычисл. и
прикл. математика. – 1998. – Вып. 83. – С. 108–111.
10. Стоян В.А., Когут О.В., Крисак Я.В. Про iнтегральне представлення лiнiйно-диференцiальних
рiвнянь динамiки розподiлених просторово-часових процесiв // Вiсн. Київ. нац. ун-ту. Сер. Кiберне-
тика. – 2010. – Вип. 10. – С. 28–30.
11. Стоян В.А. Моделювання та iдентифiкацiя динамiки систем iз розподiленими параметрами: Навч.
пос. – Київ: ВПЦ “Київський унiверситет”, 2008. – 201 с.
12. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – Москва: Высш. шк.,
1965. – 465 с.
13. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. – Москва: Мир, 1982. –
248 с.
Надiйшло до редакцiї 17.01.2012Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
В.А. Стоян, К.В. Двирнычук
К построению интегрального эквивалента линейных
дифференциальных моделей
Рассматриваются линейные динамические системы, пространственно сосредоточенные или
распределенные в одно-, двух- и многомерном пространстве. Предлагается алгоритм пере-
хода от определенной уравнением и системой уравнений дифференциальной формы матема-
тической модели к ее интегральному эквиваленту.
V.A. Stoyan, K.V. Dvirnychuk
Constructing the integral equivalent of linear differential models
The paper considers linear dynamic systems dimensionally concentrated or distributed in one-,
two-, and multidimensional spaces. An algorithm of transition from a mathematical model defined
by a differential equation and a system of differential equations to its integral equivalent is proposed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 43
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84402 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:26:01Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Стоян, В.А. Двірничук, К.В. 2015-07-07T14:04:29Z 2015-07-07T14:04:29Z 2012 До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей / В.А. Стоян, К.В. Двiрничук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 36-43. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84402 517.95:519.86 Розглядаються лiнiйнi динамiчнi системи, просторово-зосередженi або розподiленi в одно-, дво- та багатовимiрному просторi. Пропонується алгоритм переходу вiд визначеної рiвнянням та системою рiвнянь диференцiальної форми математичної моделi до її iнтегрального еквiваленту. Рассматриваются линейные динамические системы, пространственно сосредоточенные или
 распределенные в одно-, двух- и многомерном пространстве. Предлагается алгоритм перехода от определенной уравнением и системой уравнений дифференциальной формы математической модели к ее интегральному эквиваленту. The paper considers linear dynamic systems dimensionally concentrated or distributed in one-,
 two-, and multidimensional spaces. An algorithm of transition from a mathematical model defined
 by a differential equation and a system of differential equations to its integral equivalent is proposed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей К построению интегрального эквивалента линейных дифференциальных моделей Constructing the integral equivalent of linear differential models Article published earlier |
| spellingShingle | До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей Стоян, В.А. Двірничук, К.В. Інформатика та кібернетика |
| title | До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей |
| title_alt | К построению интегрального эквивалента линейных дифференциальных моделей Constructing the integral equivalent of linear differential models |
| title_full | До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей |
| title_fullStr | До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей |
| title_full_unstemmed | До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей |
| title_short | До побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей |
| title_sort | до побудови інтегрального еквіваленту лінійних диференціальних моделей |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84402 |
| work_keys_str_mv | AT stoânva dopobudoviíntegralʹnogoekvívalentulíníinihdiferencíalʹnihmodelei AT dvírničukkv dopobudoviíntegralʹnogoekvívalentulíníinihdiferencíalʹnihmodelei AT stoânva kpostroeniûintegralʹnogoékvivalentalineinyhdifferencialʹnyhmodelei AT dvírničukkv kpostroeniûintegralʹnogoékvivalentalineinyhdifferencialʹnyhmodelei AT stoânva constructingtheintegralequivalentoflineardifferentialmodels AT dvírničukkv constructingtheintegralequivalentoflineardifferentialmodels |