Численный анализ одной нелинейной математической модели
Исследуется задача Стефана с учетом конвективного движения в жидкой фазе. Построено приближенное решение задачи с применением метода малого параметра. Дослiджується задача Стефана з урахуванням конвекцiї в рiдинi. Iз застосуванням методу малого параметра побудовано наближений розв’язок задачi. The...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84403 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Численный анализ одной нелинейной математической модели / А.И. Шевченко, А.С. Миненко, О.А. Золотухина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 44-47. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859732451012640768 |
|---|---|
| author | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Золотухина, О.А. |
| author_facet | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Золотухина, О.А. |
| citation_txt | Численный анализ одной нелинейной математической модели / А.И. Шевченко, А.С. Миненко, О.А. Золотухина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 44-47. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Исследуется задача Стефана с учетом конвективного движения в жидкой фазе. Построено приближенное решение задачи с применением метода малого параметра.
Дослiджується задача Стефана з урахуванням конвекцiї в рiдинi. Iз застосуванням методу
малого параметра побудовано наближений розв’язок задачi.
The Stefan convection problem in the liquid phase is investigated. The approximate solution is
constructed by using the method of small parameter.
|
| first_indexed | 2025-12-01T14:12:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988
© 2012
Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко,
О.А. Золотухина
Численный анализ одной нелинейной математической
модели
Исследуется задача Стефана с учетом конвективного движения в жидкой фазе. По-
строено приближенное решение задачи с применением метода малого параметра.
Постановка задачи. Пусть Ω ∈ R
3 — заданная область, граница которой ∂Ω состоит
из двух замкнутых, связных гладких поверхностей Γ+ и Γ−, не имеющих самопересече-
ний, причем поверхности Γ± предполагаются принадлежащими классу H5+α, 0 < α < 1.
Пусть далее Γt(t ∈ [0, T ]) — гладкие замкнутые поверхности, лежащие внутри Ω, такие, что
Γ+ лежит внутри ограничений области, границей которой является Γt. Свободная поверх-
ность Γt — граница раздела фаз в момент времени t — разбивает область Ω на две связные
подобласти Ω−
t и Ω+
t , занимаемых твердой и жидкой фазами соответственно. Требуется
определить вектор скорости ~V (x, t), давление p(x, t), распределения температур твердой
и жидкой фаз u−(x, t) и u+(x, t) и свободную поверхность Γt по следующим условиям:
~V
∂t
+ (~V∇)~V (x, t) +∇p(x, t) =
1
Re
∇2~V (x, t) + ~f(u+), ∇~V (x, t) = 0, (x, t) ∈ D+
T , (1)
∂
∂t
u+(x, t) + (~V∇)u+(x, t)− a2+∇
2u+(x, t) = 0, (x, t) ∈ D+
T , (2)
∂
∂t
u−(x, t)− a2−∇
2u−(x, t) = 0, (x, t) ∈ D−
T , (3)
u±(x, t)
∣∣
t=0
= A±(x), u±(x, t)
∣∣
x∈Γ+
⋃
Γ− = B±(x, t), (4)
~V (x, t)
∣∣
t=0
= ~C(x), ~V (x, t)
∣∣
x∈Γ+
⋃
Γt
= 0, (5)
u±(x, t)|x∈Γt
= 0,
3∑
i=1
[
K−
∂u−
∂xi
−K+
∂u+
∂xi
]
cos(n, xi) +K cos(n, t) = 0, x ∈ Γt, (6)
где D±
T = {(x, t) : x ∈ Ω±
t , t ∈ (0, T )}; ∂Ω± = Γt
⋃
Γ±; ∇ = (∂/∂x1, ∂/∂x2, ∂/∂x3); ~n —
нормаль к Γt, направлена в сторону Ω+
t . Предполагается, что B±(x, t) ∈ H3+β,(3+β)/2(Γ± ×
× [0, T ]), 0 < β < α, A±(x) ∈ H5+α(Ω
±
0 ),
~C(x) ∈ H2+α(Ω
+
), где Ω±
0 — области, на которые
разбивает Ω граница раздела фаз Γ0 в момент времени t = 0 и B±(x, t) > ε0 > 0 при
(x, t) ∈ Γ± × [0, T ].
Параметры a±, K±, K, Re, ε0 считаются положительными постоянными, а ~f(u+) —
принадлежащей классу C2(R1), ~f ′(u+) — ограниченной в R1. Задача (1)–(6) при малых
значениях t разрешима в классе гладких функций, при этом u± ∈ H2+α,(2+α)/2(D±
T ),
~V ∈
∈ H2+β,(2+β)/2(D±
T ), а свободная поверхность Γt принадлежит классу H2+α,(2+α)/2 [1].
Настоящая работа посвящена приближенному анализу задачи (1)–(6).
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
Приближенное решение задачи (1)–(6). Для точек поверхности Γ0 введем коорди-
наты ω = (ω1, ω2), через x(ω) ∈ Γ0 или через ω будем обозначать также соответствующие
точки в R3. Далее, пусть ~n(ω) — нормаль к Γ0, направленная внутрь Ω+
0 . В работе [1]
установлено, что поверхность Γt можно представить в виде Γt = {x = x(ω) + ~n(ω)ρ(ω, t)}
с некоторой функцией ρ(ω, t) класса H2+α,(2+α)/2(Γ0 × [0, T ]), так что ρ(ω, 0) = 0.
Предположим, что при малых значениях Re неизвестные нашей задачи можно предста-
вить в виде степенного ряда:
u±(x, t) = u±0 (x) +
∞∑
k=1
(Re)ku±k (x, t);
Vi(x, t) = Vi0(x) +
∞∑
k=1
(Re)kVik(x, t), i = 1, 2, 3;
ρ(ω, t) =
∞∑
k=1
(Re)kρk(ω, t).
В работах [1–8] изучены нулевые и первые приближения задачи (1)–(6) для малых чисел
Re. При этом установлено, что u±0 = A±(x), ~V0(x) = ~C(x), ρ1(ω, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(Γ0× [0, T ]),
u±1 (x, t) ∈ H2+α,(2+α)/2(D±
T ), причем ρ1(ω, t) находим как неподвижную точку сжимающе-
гося оператора M1:
M1ρ1 =
1
K
t∫
0
(
K−
∂u−1
∂n
−K+
∂u+1
∂n
+ f(x, t)
)
dt, x(ω) ∈ [0, T ],
а f1(x, t) — некоторая функция класса H2+α,(2+α)/2.
Приближенное построение поверхности Γt. Рассмотрим случай, когда B± = B±(x)
и Ω = {(x1, x2, x3) : r
2 < x21 + x22 + x23 < R2}. Тогда нулевое приближение находим как
решение следующей задачи:
{
∇2u±(x) = 0, x ∈ Ω±
0 , A±(x)|Γ± = B±(x), u±(x)|Γ0
= 0,
~C(x) = 0, x ∈ Ω±
0 , |∇u−(x)| − |∇u+(x)| = 0, x ∈ Γ0.
(7)
Заметим, что замена ũ− = K−u
− при x ∈ Ω− и ũ+ = K+u
+, если x ∈ Ω−сводит задачу (7)
к случаю |∇u−(x)| = |∇u+(x)|, x ∈ Γ0. Поэтому в дальнейшем будем считать, что это усло-
вие выполнено. Нулевое приближение u±0 (x), Γ0 найдем из условия минимума функционала
Y (u±0 ,Γ0) =
t
Ω
|∇u|2dx1dx2dx3 (здесь Ω = Ω+
0
⋃
Ω−
0 и u = u− при x ∈ Ω− и u = u+, если
x ∈ Ω+).
Далее, рассматривая функционал Y в сферических координатах, получим
Y (u0) =
2π∫
0
π∫
0
R∫
r
(
u2ρ +
1
ρ2
u20 +
1
ρ2 sin2 θ
u2ϕ
)
ρ2 sin θdϕdθdρ.
Минимум функционала ищем в следующем виде:
u = B+ +
R2 − ρ2
R2 − r2
(B− +B+) + (R2 − ρ2)(ρ2 − r2)
∞∑
k=0
Ckρ
k.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 45
Рис. 1
Неизвестные коэффициенты CK определяются методом Ритца. В частности, в случае ну-
левого приближения
u0 = B+ +
R2 − ρ2
R2 − r2
(B− +B+) + (R2 − ρ2)(ρ2 − r2)C0,
из уравнения ∂Y (u0)/∂C0 = 0 определим коэффициент C0. Справедлива следующая тео-
рема.
Теорема. Поверхность Γ0 представляет собой поверхность класса C∞, не имеющую
самопересечений и расположенную относительно Γ+ и Γ− аналогично поверхности Γt в за-
даче (1)–(6).
Доказательство следует из принципа максимума, примененного к гармонической функ-
ции Ψ(x) = −
∂u0(x)
∂~r
оценок −
∂u0(x)
∂~r
∣∣∣∣
Ω
> ε̃0 > 0 и теоремы о неявной функции, применен-
ной к Ψ(x). Здесь ~r — радиус-вектор точки x.
Отсюда следует, что поверхность Γ0 : ρ = ρ0(ϕ, θ) можно найти из условия
u0(ϕ, θ, ρ0(ϕ, θ)) = 0. Тогда для поверхности Γt можно воспользоваться уравнением [2]:
Γt = ρ(ϕ, θ, t) = ρ0(ϕ, θ)− Re
u±1 (ϕ, θ, t)
|∇A±(ϕ, θ)|
+ o(Re).
На рис. 1 представлена поверхность Γt при следующих значениях параметров: t = 200
R = 6, r = 0,8, −π/2 6 θ 6 π/3, −π/2 6 ϕ 6 π/2, B+ = 3[cos2 θ + cos2 ϕ], B = −0,35[cos2 θ+
+ cos2 ϕ]− 0,1. Свободная поверхность Γt расположена между сферами радиусов R и r.
Предложенный алгоритм построения поверхности Γt позволяет исследовать эту поверх-
ность в зависимости от параметров задачи (1)–(6).
1. Шевченко А.И., Миненко А.И. Задача Стефана при наличии конвекции // Доп. НАН України. –
2012. – № 1. – С. 20–25.
2. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 341 с.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
3. Шевченко А.И., Миненко А.С. Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана //
Доп. НАН України. – 2010. – № 4. – С. 30–34.
4. Шевченко А.И., Миненко А.С. Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефа-
на // Там само. – 2010. – № 5. – С. 36–40.
5. Шевченко А.И., Миненко А.С. Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Сте-
фана // Там само. – 2010. – № 10. – С. 29–33.
6. Миненко А.С. Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритца // Укр. мат. журн. –
2007. – 59, № 11. – С. 1546–1556.
7. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Там само. –
2007. – 58, № 10. – С. 1385–1394.
8. Шевченко А.И., Миненко А.С. Математическое моделирование процессов кристаллизации металла
с учетом конвекции и примесей // Доп. НАН України. – 2011. – № 6. – С. 35–39.
Поступило в редакцию 20.02.2012Институт информатики и искусственного
интеллекта ДонНТУ, Донецк
Член-кореспондент НАН України А. I. Шевченко, А. С. Мiненко,
О.А. Золотухiна
Числовий аналiз однiєї нелiнiйної математичної моделi
Дослiджується задача Стефана з урахуванням конвекцiї в рiдинi. Iз застосуванням методу
малого параметра побудовано наближений розв’язок задачi.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A. I. Shevchenco, A. S. Minenko,
O.A. Zolotukhina
Numerical analysis of a nonlinear mathematical model
The Stefan convection problem in the liquid phase is investigated. The approximate solution is
constructed by using the method of small parameter.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 47
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84403 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T14:12:21Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Золотухина, О.А. 2015-07-07T14:04:42Z 2015-07-07T14:04:42Z 2012 Численный анализ одной нелинейной математической модели / А.И. Шевченко, А.С. Миненко, О.А. Золотухина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 44-47. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84403 517.988 Исследуется задача Стефана с учетом конвективного движения в жидкой фазе. Построено приближенное решение задачи с применением метода малого параметра. Дослiджується задача Стефана з урахуванням конвекцiї в рiдинi. Iз застосуванням методу малого параметра побудовано наближений розв’язок задачi. The Stefan convection problem in the liquid phase is investigated. The approximate solution is constructed by using the method of small parameter. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Численный анализ одной нелинейной математической модели Числовий аналiз однiєї нелiнiйної математичної моделi Numerical analysis of a nonlinear mathematical model Article published earlier |
| spellingShingle | Численный анализ одной нелинейной математической модели Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Золотухина, О.А. Інформатика та кібернетика |
| title | Численный анализ одной нелинейной математической модели |
| title_alt | Числовий аналiз однiєї нелiнiйної математичної моделi Numerical analysis of a nonlinear mathematical model |
| title_full | Численный анализ одной нелинейной математической модели |
| title_fullStr | Численный анализ одной нелинейной математической модели |
| title_full_unstemmed | Численный анализ одной нелинейной математической модели |
| title_short | Численный анализ одной нелинейной математической модели |
| title_sort | численный анализ одной нелинейной математической модели |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84403 |
| work_keys_str_mv | AT ševčenkoai čislennyianalizodnoinelineinoimatematičeskoimodeli AT minenkoas čislennyianalizodnoinelineinoimatematičeskoimodeli AT zolotuhinaoa čislennyianalizodnoinelineinoimatematičeskoimodeli AT ševčenkoai čisloviianalizodniêíneliniinoímatematičnoímodeli AT minenkoas čisloviianalizodniêíneliniinoímatematičnoímodeli AT zolotuhinaoa čisloviianalizodniêíneliniinoímatematičnoímodeli AT ševčenkoai numericalanalysisofanonlinearmathematicalmodel AT minenkoas numericalanalysisofanonlinearmathematicalmodel AT zolotuhinaoa numericalanalysisofanonlinearmathematicalmodel |