Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині
Дослiджено дiю радiацiйної сили на сферичне тiло в цилiндричнiй порожнинi, заповненiй
 стисливою рiдиною. Встановлено залежнiсть величини i напряму дiї сили вiд частоти
 та вiдношення радiусiв тiла i цилiндричної порожнини. Исследовано действие радиационной силы на сферическое тело в...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84404 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині / О.П. Жук, В.Д. Кубенко, Я.О. Жук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 48-54. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860244886822846464 |
|---|---|
| author | Жук, О.П. Кубенко, В.Д. Жук, Я.О. |
| author_facet | Жук, О.П. Кубенко, В.Д. Жук, Я.О. |
| citation_txt | Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині / О.П. Жук, В.Д. Кубенко, Я.О. Жук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 48-54. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено дiю радiацiйної сили на сферичне тiло в цилiндричнiй порожнинi, заповненiй
стисливою рiдиною. Встановлено залежнiсть величини i напряму дiї сили вiд частоти
та вiдношення радiусiв тiла i цилiндричної порожнини.
Исследовано действие радиационной силы на сферическое тело в цилиндрической полости,
заполненной сжимаемой жидкостью. Установлены зависимости величины и направления
действия силы от частоты и отношения радиусов тела и цилиндрической полости.
The radiation force effect on a spherical body located in the cylindrical cavity filled with a compressible liquid is studied. The dependences of the magnitude and direction of the force on the frequency
and the ratio of sphere and cylinder radii are investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:35:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2012
МЕХАНIКА
УДК 532.59:534.29
© 2012
О.П. Жук, академiк НАН України В.Д. Кубенко, Я. О. Жук
Про радiацiйну силу плоскої акустичної хвилi, яка дiє
на тверде сферичне тiло в заповненiй рiдиною
цилiндричнiй порожнинi
Дослiджено дiю радiацiйної сили на сферичне тiло в цилiндричнiй порожнинi, заповненiй
стисливою рiдиною. Встановлено залежнiсть величини i напряму дiї сили вiд частоти
та вiдношення радiусiв тiла i цилiндричної порожнини.
Для твердого сферичного тiла, яке знаходиться в заповненiй iдеальною стисливою рiдиною
цилiндричнiй порожнинi, розглядається задача щодо визначення дiї на нього радiацiйної
сили, обумовленої радiацiйним тиском акустичного поля. При формулюваннi задачi в ла-
гранжовiй системi координат радiацiйний тиск визначається як середнє в часi значення
акустичного тиску [1] на поверхню cферичного тiла. Такий пiдхiд вимагає при обчисленнi
акустичного тиску враховувати величини другого порядку. Для визначення тиску з такою
точнiстю можна обмежитися потенцiалами поля швидкостi, одержаними iз розв’язкiв лiнiй-
ної задачi дифракцiї [2, 3]. У зв’язку з цим будемо дотримуватися такої схеми дослiдження.
На першому етапi визначимо потенцiали поля швидкостi рiдини в порожнинi з твердим сфе-
ричним тiлом. На другому — обчислимо результуючу силу дiї рiдини на тiло. I на третьому
етапi осередненням в часi вiдфiльтруємо її сталу складову.
Постановка задачi дифракцiї. Задачу першого етапу — визначення потенцiалiв по-
ля швидкостi рiдини в порожнинi — сформулюємо в лiнiйнiй постановцi, дотримуючись
робiт [4, 5]. Вважатимемо, що кругова цилiндрична порожнина радiусом ρ0 з абсолютно
твердими стiнками заповнена iдеальною стисливою рiдиною густиною γ, в якiй звук по-
ширюється зi швидкiстю a0. В цилiндричнiй порожнинi розмiщено нерухоме сферичне тiло
радiусом r0, центр якого знаходиться на осi порожнини. Виберемо цилiндричну систему ко-
ординат Oρzϕ, вiсь Oz якої направлена вздовж осi цилiндричної порожнини (рис. 1), i сфе-
ричну систему координат Orθϕ. Нехай у додатному напрямi осi Oz поширюється плоска
акустична хвиля, яка описується потенцiалом
Φ0 = A exp[i(kz − ωt)], (1)
де A — амплiтуда; k = ω/a0 — хвильове число; ω — кутова частота; t — час.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
Рис. 1
Потенцiал Φ0 є розв’язком лiнiйного хвильового рiвняння.
Введемо безрозмiрнi величини
ρ =
ρ
ρ0
; r =
r
ρ0
; t =
ta0
ρ0
; ω =
ωρ0
a0
; v =
v
a0
;
Φ =
Φ
ρ0a0
; p =
p
γa20
; z =
z
ρ0
.
(2)
У спiввiдношеннях (2) v — вектор швидкостi рiдини; v = |v|; p — акустичний тиск. В подаль-
шому будуть використовуватися тiльки безрозмiрнi величини, тому позначати їх рискою не
будемо. В безрозмiрних величинах потенцiал (1) i лiнiйне хвильове рiвняння мають вiдпо-
вiдно такий вигляд:
Φ0 = A exp[iω(z − t)]; (3)
∆Φ+ ω2Φ = 0, (4)
де ∆ — диференцiальний оператор Лапласа.
Визначення потенцiалiв хвильового поля в порожнинi зводиться до розв’язування лiнiй-
ної задачi розсiювання акустичної хвилi (3) на сферичному тiлi i на внутрiшнiй поверхнi
порожнини: знаходження розв’язкiв рiвняння (4), якi описують поле вектора швидкостi
рiдини
v = gradΦ,Φ = Φ0 +Φsph +Φcyl (5)
i задовольняють граничнi умови на поверхнi порожнини
vρ|ρ=1 =
∂Φ
∂ρ
∣
∣
∣
∣
ρ=1
= 0, (6)
на поверхнi сферичного тiла
vr|r=r0 =
∂Φ
∂r
∣
∣
∣
∣
r=r0
= 0 (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 49
i умови випромiнення Зоммерфельда на нескiнченностi
lim
r→∞
r
(
dΦ
dr
− iωΦ
)
= 0, lim
r→∞
Φ = 0. (8)
Оскiльки рiдина знаходиться в порожнинi, хвильовi збурення повиннi бути обмеженими
Φ → const, коли ρ → 0. (9)
В (5) позначено: Φsph — потенцiал, що описує розсiяну на сферичному тiлi хвилю; Φcyl —
потенцiал, що описує хвилю, розсiяну на поверхнi порожнини.
Визначення потенцiалiв хвильового поля. Розв’язки Φsph рiвняння (4) в сферич-
нiй системi координат будемо шукати у виглядi узагальненого ряду Фур’є за сферичними
хвильовими функцiями
Φsph(r, θ) =
n=∞
∑
n=0
Anh
(1)
n (ωr)Pn(cos θ), (10)
а розв’язки Φcyl рiвняння (4) в цилiндричнiй системi координат — у виглядi
Φcyl(ρ, z) =
∞
∫
−∞
B(ξ)J0(
√
ω2 − ξ2ρ)eiξzdξ. (11)
В (10) i (11) h(1)n (x) — сферична функцiя Ганкеля першого роду; Pn(x) — полiноми
Лежандра; J0(x) — цилiндрична функцiя Бесселя нульового порядку; An — невiдомi сталi;
B(ξ) — невiдома густина; ξ — стала роздiлення. Спiввiдношення (10) i (11) задовольняють
вiдповiдно умови (8) i (9).
Складовi (3), (10) i (11) загального розв’язку Φ (5) записанi в рiзних системах координат,
зв’язаних з конкретними тiлами. Для того щоб задовольнити вiдповiдно граничнi умови (6)
i (7), загальний потенцiал Φ необхiдно записати у вiдповiднiй системi координат. Для цього
використаємо спiввiдношення (6), (7), (8), якi дозволяють цилiндричнi хвильовi функцiї
виразити через сферичнi хвильовi функцiї i навпаки. В результатi потенцiал (10), записаний
у сферичнiй системi координат, в цилiндричнiй системi координат має такий вигляд:
Φsph(ρ, z) =
∞
∫
−∞
A(ξ)H0(
√
ω2 − ξ2ρ)eiξzdξ;
A(ξ) =
1
2ω
n=∞
∑
n=0
Ani
−nPn
(
ξ
ω
)
,
(12)
а потенцiал (11), записаний у цилiндричнiй системi координат, в сферичнiй —
Φcyl(r, θ) =
n=∞
∑
n=0
Bnjn(ωr)Pn(cos θ);
Bn = in(2n + 1)
∞
∫
−∞
B(ξ)Pn
(
ξ
ω
)
dξ.
(13)
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
Потенцiал Φ0 первинної хвилi (3) також запишемо в сферичнiй системi координат
Φ0(r, θ) =
n=∞
∑
n=0
Ain(2n+ 1)jn(ωr)Pn(cos θ). (14)
У формулах (12)–(14) jn(x) — сферичнi функцiї Бесселя; H0(x) — цилiндрична функцiя
Ганкеля нульового порядку.
Загальний потенцiал (5) в цилiндричнiй системi координат Oρϕz, беручи до уваги (3),
(11) i (12), запишемо так:
Φ(ρ, z) = Aeiωz +
∞
∫
−∞
A(ξ)H0(
√
ω2 − ξ2ρ)eiξzdξ +
∞
∫
−∞
B(ξ)J0(
√
ω2 − ξ2ρ)eiξzdξ. (15)
Для потенцiалу (15), який задовольняє граничну умову (6), справедливе таке спiввiд-
ношення:
∞
∫
−∞
[A(ξ)H1(
√
ω2 − ξ2) +B(ξ)J1(
√
ω2 − ξ2)]
√
ω2 − ξ2eiξzdz = 0. (16)
Iз (16), беручи до уваги формулу (12) для A(ξ), одержуємо для обчислення B(ξ) через
невiдомi сталi An такий вираз:
B(ξ) = −
1
2ω
H1(
√
ω2 − ξ2)
J1(
√
ω2 − ξ2)
n=∞
∑
n=0
Ani
−nPn
(
ξ
ω
)
. (17)
У сферичнiй системi координат Orθϕ загальний потенцiал (5), беручи до уваги (10), (13)
i (14), запишемо так:
Φ(r, θ) =
n=∞
∑
n=0
[Ain(2n + 1)jn(ωr) +Anh
(1)
n (ωr) +Bnjn(ωr)]Pn(cos θ). (18)
У формулах (10)–(15) i (18) спiвмножник exp(−iωt) не наведено.
Для потенцiалу (18), який узгоджується з граничними умовами (8), має мiсце таке рiв-
няння:
n=∞
∑
n=0
[
An
dh
(1)
n (ωr0)
dr
+Bn
djn(ωr0)
dr
+Ain(2n + 1)
djn(ωr0)
dr
]
Pn(cos θ) = 0. (19)
Беручи до уваги формулу (13) для Bn i формулу (17) для B(ξ), одержуємо iз (19)
нескiнченну систему алгебраїчних рiвнянь для обчислення невiдомих коефiцiєнтiв An
An −
(2n + 1)
2ω
j′n(ωr0)
h
(1)
n
′
(ωr0)
m=∞
∑
m=0
in−mqmnAm = −Ain(2n + 1)
j′n(ωr0)
h
(1)
n
′
(ωr0)
(n = 0, 1, 2, . . .).
(20)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 51
У рiвняннях (20) коефiцiєнти gmn мають такий вигляд:
qmn = 2
∞
∫
0
H1(
√
ω2 − ξ2)
J1(
√
ω2 − ξ2)
Pn
(
ξ
ω
)
Pn
(
ξ
ω
)
dξ. (21)
Вiдзначимо, що для непарних сум iндексiв n + m коефiцiєнти gmn дорiвнюють нулю.
Система рiвнянь має єдиний розв’язок, який знаходиться методом редукцiї. Задана точ-
нiсть забезпечується шляхом порiвняння результатiв при послiдовному збiльшеннi числа
рiвнянь. Обчисленi коєфiцiєнти An дають можливiсть вирахувати коефiцiєнти Bn i визна-
чити загальний потенцiал (18) в сферичнiй системi координат.
Визначення радiацiйної сили.Радiацiйну силу, яка дiє на сферичне тiло, обчислимо,
осереднивши в часi вiдповiдну гiдродинамiчну силу. Завдяки осьовiй симетрiї акустичного
поля вiдносно осi Oz гiдродинамiчна сила направлена вздовж цiєї осi i вираховується за
формулою
Fz = −2πr20
π
∫
0
p sin θ cos θdθ. (22)
Тиск p в (22) визначаємо з точнiстю до величин другого порядку. Для цього скористає-
мося формулою для обчислення тиску [2], яка в безрозмiрних величинах для нерухомого
сферичного тiла має такий вигляд:
p = −
1
2r20
(
∂Φ
∂θ
)2 +
1
2
(
∂Φ
∂t
)2
. (23)
В (23) враховано, що сферичне тiло нерухоме, а Φ — потенцiал (18). Вкажемо, що у фор-
мулi (23), як випливає з її структури, необхiдно брати дiйснi частини похiдних потенцiалу Φ.
Осереднюючи за перiодом первинної хвилi при умовi (23) гiдродинамiчну силу (22),
в результатi одержуємо формулу для обчислення радiацiйної сили, що дiє на сферичне тiло
вздовж осi Oz
〈Fz〉 = 2π
n=∞
∑
n=0
n+ 1
(2n + 1)(2n + 3)
[n(n+ 2)− α2](RnRn+1 + SnSn+1), (24)
де
α = ωr0; Sn = Kn +Mn +Gn; Rn = Ln + Tn +Nn;
Kn = (−1)n(4n + 1)j2n(ωr0); Ln = (−1)n(4n + 3)j2n+1(ωr0);
Mn = ReAnjn(ωr0)− ImAnyn(ωr0); Nn = ReAnyn(ωr0) + ImAnjn(ωr0);
Gn = ReBnjn(ωr0); Tn = ImBnjn(ωr0).
(25)
Аналiз результатiв числового дослiдження радiацiонної сили. Числовi розра-
хунки проводилися в безрозмiрних величинах (2). За нормувальнi параметри були взятi
механiчнi характеристики стисливої рiдини (води): швидкiсть хвилi a0 = 1500 м/с, густина
γ = 1000 кг/м3. Розглядалася плоска хвиля (3) з густиною потоку енергiї I = 175,5 Вт/м2.
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
Рис. 2
Безрозмiрна амплiтуда A в формулi (3) дорiвнює 0,3 · 10−5. Графiк залежностi радiацiйної
сили вiд частоти хвилi для сферичного тiла безрозмiрного радiуса (2) r0 = 0,7 зображено
на рис. 2. Аналiз графiка показує характернi особливостi дiї радiацiйної сили на сферичне
тiло в цилiндричнiй порожнинi:
залежно вiд частоти хвилi радiацiйна сила може бути направлена як у напрямi поши-
рення хвилi, так i в зворотному напрямi;
в околi деяких частот змiна величини радiацiйної сили має характер, близький до резо-
нансного: на графiках залежностi радiацiйної сили вiд частоти в околi резонансних частот
з’являються максимуми. Очевидно, резонанснi частоти є власними частотами механiчної
системи — заповнена рiдиною цилiндрична порожнина з сферичним твердим тiлом.
1. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. – Москва: Наука, 1966. – 520 с.
2. King L.V. On the acoustic radiation pressure on spheres // Proc. Roy. Soc. Ser. A. – 1934. – 147, Nо
861. – P. 246–265.
3. Guz A.N., Zhuk A.P. Motion of solid particles in a liquid under the action of an acoustic field: the
mechanism of radiation pressure // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, Nо 3. – P. 246–265.
4. Kubenko V.D., Dzyuba V.V. Interaction of infinite thin elastic cylindrical shell and a pulsating spherical
inclusion in potential flow of ideal compressible liquid: internal axisymmetric problem // Ibid. – 2009. –
45, Nо 3. – P. 297–312.
5. Kubenko V.D., Dzyuba V.V. Diffraction of a plane acoustic wave by a rigid sphere in a cylindrical cavity:
an axisymmetric problem // Ibid. – 2009. – 45, No 4. – P. 424–432.
6. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. – Киев: Наук. думка,
1972. – 254 с.
7. Ерофеенко В.Т. Связь между основными решениями в цилиндрических и сферических координатах
уравнений Гельмгольца и Лапласа // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1972. – № 4. – С. 42–46.
8. Кубенко В.Д. Задачи дифракции стационарных волн на совокупности цилиндрических и сферичес-
ких тел в жидкости // Прикл. механика. – 1987. – 23, № 6. – С. 111–117.
Надiйшло до редакцiї 13.01.2012Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 53
А.П. Жук, академик НАН Украины В.Д. Кубенко, Я. А. Жук
О радиационной силе плоской акустической волны, действующей на
сферическое тело в заполненной жидкостью цилиндрической
полости
Исследовано действие радиационной силы на сферическое тело в цилиндрической полости,
заполненной сжимаемой жидкостью. Установлены зависимости величины и направления
действия силы от частоты и отношения радиусов тела и цилиндрической полости.
O.P. Zhuk, Academician of the NAS of Ukraine V.D. Kubenko, Ya. O. Zhuk
On the radiation force of a plane acoustic wave acting on a solid
spherical body in a liquid-filled cylindrical cavity
The radiation force effect on a spherical body located in the cylindrical cavity filled with a compres-
sible liquid is studied. The dependences of the magnitude and direction of the force on the frequency
and the ratio of sphere and cylinder radii are investigated.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84404 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:35:05Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жук, О.П. Кубенко, В.Д. Жук, Я.О. 2015-07-07T14:05:02Z 2015-07-07T14:05:02Z 2012 Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині / О.П. Жук, В.Д. Кубенко, Я.О. Жук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 48-54. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84404 532.59:534.29 Дослiджено дiю радiацiйної сили на сферичне тiло в цилiндричнiй порожнинi, заповненiй
 стисливою рiдиною. Встановлено залежнiсть величини i напряму дiї сили вiд частоти
 та вiдношення радiусiв тiла i цилiндричної порожнини. Исследовано действие радиационной силы на сферическое тело в цилиндрической полости,
 заполненной сжимаемой жидкостью. Установлены зависимости величины и направления
 действия силы от частоты и отношения радиусов тела и цилиндрической полости. The radiation force effect on a spherical body located in the cylindrical cavity filled with a compressible liquid is studied. The dependences of the magnitude and direction of the force on the frequency
 and the ratio of sphere and cylinder radii are investigated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині О радиационной силе плоской акустической волны, действующей на сферическое тело в заполненной жидкостью цилиндрической полости On the radiation force of a plane acoustic wave acting on a solid spherical body in a liquid-filled cylindrical cavity Article published earlier |
| spellingShingle | Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині Жук, О.П. Кубенко, В.Д. Жук, Я.О. Механіка |
| title | Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині |
| title_alt | О радиационной силе плоской акустической волны, действующей на сферическое тело в заполненной жидкостью цилиндрической полости On the radiation force of a plane acoustic wave acting on a solid spherical body in a liquid-filled cylindrical cavity |
| title_full | Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині |
| title_fullStr | Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині |
| title_full_unstemmed | Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині |
| title_short | Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині |
| title_sort | про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на тверде сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84404 |
| work_keys_str_mv | AT žukop proradíacíinusiluploskoíakustičnoíhvilíâkadíênatverdesferičnetílovzapovneníirídinoûcilíndričníiporožniní AT kubenkovd proradíacíinusiluploskoíakustičnoíhvilíâkadíênatverdesferičnetílovzapovneníirídinoûcilíndričníiporožniní AT žukâo proradíacíinusiluploskoíakustičnoíhvilíâkadíênatverdesferičnetílovzapovneníirídinoûcilíndričníiporožniní AT žukop oradiacionnoisileploskoiakustičeskoivolnydeistvuûŝeinasferičeskoetelovzapolnennoižidkostʹûcilindričeskoipolosti AT kubenkovd oradiacionnoisileploskoiakustičeskoivolnydeistvuûŝeinasferičeskoetelovzapolnennoižidkostʹûcilindričeskoipolosti AT žukâo oradiacionnoisileploskoiakustičeskoivolnydeistvuûŝeinasferičeskoetelovzapolnennoižidkostʹûcilindričeskoipolosti AT žukop ontheradiationforceofaplaneacousticwaveactingonasolidsphericalbodyinaliquidfilledcylindricalcavity AT kubenkovd ontheradiationforceofaplaneacousticwaveactingonasolidsphericalbodyinaliquidfilledcylindricalcavity AT žukâo ontheradiationforceofaplaneacousticwaveactingonasolidsphericalbodyinaliquidfilledcylindricalcavity |