Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска
Предложен способ исследования методом малого параметра возможной потери устойчивости вращающегося составного плоского кругового диска. Получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны. Численно найдены значения критической угловой скорост...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84405 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска / Д.М. Лила // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 55-61. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859587247532146688 |
|---|---|
| author | Лила, Д.М. |
| author_facet | Лила, Д.М. |
| citation_txt | Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска / Д.М. Лила // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 55-61. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Предложен способ исследования методом малого параметра возможной потери устойчивости вращающегося составного плоского кругового диска. Получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны. Численно найдены значения критической угловой скорости вращения при различных параметрах диска.
Запропоновано спосiб дослiдження методом малого параметра можливої втрати стiйкостi
складеного плоского кругового диска, що обертається. Одержано у першому наближеннi
характеристичне рiвняння вiдносно критичного радiуса пластичної зони. Чисельно знайдено
значення критичної кутової швидкостi обертання при рiзних параметрах диска.
A way of calculating the possible stability loss by a rotating elastoplastic composite plane circular
disc is suggested within the small-parameter method. A characteristic equation for the critical radius
of a plastic zone is obtained as the first approximation. The values of critical angular velocity of
rotation for various parameters of the disc are found numerically.
|
| first_indexed | 2025-11-27T11:18:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2012
Д.М. Лила
Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося
составного плоского кругового диска
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Предложен способ исследования методом малого параметра возможной потери устой-
чивости вращающегося составного плоского кругового диска. Получено в первом при-
ближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пласти-
ческой зоны. Численно найдены значения критической угловой скорости вращения при
различных параметрах диска.
Способ применения приближенного метода малого параметра к решению задач о потере
устойчивости [1] и несущей способности [2] простейших быстро вращающихся упругих дис-
ков [3, 4] по эксцентричной и самоуравновешенной форме предложен в работах [5–8]. Этот
способ был уточнен и получил дальнейшее развитие в исследованиях [9–11], посвященных
динамике возмущения формы границы [12] как сплошных, так и кольцевых плоских и сту-
пенчатых круговых дисков, а также дисков произвольного профиля. В указанных работах
удалось учесть геометрию дисков и характер их нагружения в условиях сопряжения на
неизвестной упруго-пластической границе [13] для вычисления критической угловой ско-
рости, определяющей потерю устойчивости. Построена схема расчета самоуравновешенной
формы потери устойчивости простейшего неоднородного сплошного кругового диска.
В настоящей работе указанный результат распространен и на эксцентричную форму
потери устойчивости. Эффективность предложенного способа изучения неустойчивости сос-
тавных дисков проиллюстрирована примерами (cм. пункт 5).
1. Постановка задачи. Объектом исследования является быстро вращающийся сос-
тавной плоский круговой диск D. Возрастающие с увеличением скорости вращения диска
центробежные нагрузки влекут значительное его радиальное растяжение. Это приводит
к появлению и значительному росту пластических зон вплоть до критических размеров,
при которых диск принимает новую плоскую равновесную форму.
Диск представим выполненным в виде единого целого путем жесткого соединения одно-
родного и изотропного сплошного кругового диска D1 радиусом a и однородного изотропно-
го кругового кольцевого диска D2 с внутренним радиусом a и внешним радиусом b. Предел
текучести материала диска D1 обозначим σs1, модуль упругости — E1, плотность — γ1, ко-
эффициент Пуассона — ν1. Одноименные параметры материала диска D2 обозначим σs2,
E2, γ2 и ν2 соответственно.
Остановимся на эксцентричной (и мало отличающейся от круговой) форме потери устой-
чивости диска D, когда уравнение внешней его границы с точностью до бесконечно малых
первого порядка представимо в виде
r = b+ d cos θ, d = const,
или
ρ = 1 + δ cos θ, (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 55
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3
где ρ = r/b — безразмерный текущий радиус; δ — малый параметр; θ — полярный угол.
Предмет исследований составляет механизм развития эксцентричной формы неустойчи-
вости. Он может реализоваться по сценарию (а) D1peD2e, когда центральная круговая
область радиуса r01∗ < a диска D1 пластическая, тогда как внешняя кольцевая область
диска D1 и весь диск D2 в момент потери устойчивости пребывают в упругом состоянии
(рис. 1); по сценарию (б) D1eD2pe, когда кольцевая пластическая зона радиуса r02∗ > a
примыкает в D2 к окружности r = a, а диск D1 полностью упругий (рис. 2); по сценарию
(в) D1peD2pe с образованием двух пластических зон соответствующих радиусов (рис. 3).
Постоянную угловую скорость вращения диска D обозначим ω, а текущий радиус плас-
тической зоны невозмущенного диска — r01 или/и r02.
Требуется для описываемой зависимостью (1) формы границы диска получить в первом
приближении характеристическое уравнение для критического радиуса пластической зоны
r0 = r0∗ и определить соответствующую величину критической угловой скорости вращения
ω = ω∗. Напомним, что для этого нужно установить условие существования нетривиальных
решений системы линейных однородных уравнений
σrr +
dσ0
rr
dr
u = 0 при r = b,
σrθ −
σ0
θθ − σ0
rr
b
du
dθ
= 0 при r = b,
σrθ = 0 при r = r0
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
относительно произвольных постоянных, входящих в выражения для компонент напряже-
ний и перемещений σrr, σrθ и u, определяющих возмущенное напряженно-деформированное
состояние вращающегося диска D. Указанные линеаризованные возмущения первого по-
рядка малости удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия плоской задачи
и уравнениям связи между напряжениями и перемещениями [4] в частных производных,
тогда как невозмущенное напряженное состояние (обозначено верхним индексом 0) опреде-
лено обыкновенными дифференциальными уравнениями квазистатического равновесия [4]
и уравнениями связи в упругой зоне или условием текучести Сен-Венана — в пластической
зоне.
2. Решение в случае D1peD2e. Невозмущенное напряженное состояние диска D
(см. рис. 1) имеет следующий вид:
σθθ =
s, ρ ∈ [0, β0],
C1 +
C2
ρ2
− σ1(3ν1 + 1)
8σs2
ρ2, ρ ∈ [β0, β),
C3
(
1 +
1
ρ2
)
+
σ2(ν2 + 3)
8σs2
− σ2(3ν2 + 1)
8σs2
ρ2, ρ ∈ (β, 1],
(2)
σrr =
s− σ1
3σs2
ρ2, ρ ∈ [0, β0],
C1 −
C2
ρ2
− σ1(ν1 + 3)
8σs2
ρ2, ρ ∈ [β0, β],
C3
(
1− 1
ρ2
)
+
σ2(ν2 + 3)
8σs2
(1− ρ2), ρ ∈ [β, 1].
(3)
Здесь σθθ и σrr — касательное и радиальное напряжения, отнесенные к σs2, σ1 = γ1b
2ω2,
σ2 = γ2b
2ω2;
C1 = s+ 2Γ(3ν1 + 1)β2
0x, C2 = Γ(3ν1 + 1)β4
0x,
C3 = {s + [m+ Γ(3ν1 + 1)(2 − β−2β2
0)β
2
0 ]x}{1 − β−2}−1,
x =
s
24Γ
ω2
q2
1
=
1
24
ω2
q2
2
= −s{1 + β2 + (ε+ k)(1 − β2)}{(1 + β2)[m+ Γ(3ν1 + 1)×
× (2− β−2β2
0)β
2
0 ] + (1− β2)[l + Γ(3ν1 + 1){2(ε + k) + β−2(ε− k)β2
0}β2
0 ]}−1,
где
β0 =
r01
b
, β =
a
b
, s =
σs1
σs2
, Γ =
γ1
γ2
, ε =
E2
E1
, k = ν2 − εν1,
l = −3{ν2 + 3 + β2{Γ[ε(3ν1 + 1) + k(ν1 + 3)] − (3ν2 + 1)}},
m = −3{ν2 + 3 + β2[Γ(ν1 + 3)− (ν2 + 3)]}, q1 = b−1
√
σs1γ1, q2 = b−1
√
σs2/γ2.
Учтем далее результаты работ [5, 6, 8, 9], в которых доказано, что единственным кри-
тическим значением радиуса пластической зоны однородного сплошного диска с эксцен-
тричной формой неустойчивости является β0∗ = 0. Ссылаясь на это доказательство, без
нахождения возмущенного состояния диска D укажем на основании (2) и (3) формулу для
определения критической скорости вращения, соответствующей β0∗ = 0:
ω∗
2 = −24sq22{1 + β2 + (ε+ k)(1− β2)}{m(1 + β2) + l(1− β2)}−1. (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 57
3. Решение в случае D1eD2pe. Теперь невозмущенное напряженное состояние ис-
следуемого составного диска D (см. рис. 2) следует принять в виде
σθθ =
C1 −
σ1(3ν1 + 1)
8σs2
ρ2, ρ ∈ [0, β),
1, ρ ∈ (β, β0],
C3
(
1 +
1
ρ2
)
+
σ2(ν2 + 3)
8σs2
− σ2(3ν2 + 1)
8σs2
ρ2, ρ ∈ [β0, 1],
(5)
σrr =
C1 −
σ1(ν1 + 3)
8σs2
ρ2, ρ ∈ [0, β],
1− σ2
3σs2
ρ2 +
C2
ρ
, ρ ∈ [β, β0],
C3
(
1− 1
ρ2
)
+
σ2(ν2 + 3)
8σs2
(1− ρ2), ρ ∈ [β0, 1],
(6)
где
β0 =
r02
b
, C1 = {1 + 3β2Γ[ε(3ν1 + 1) + k(ν1 + 3)]x}{ε + k}−1,
C2 = β{1 − (ε+ k) + β2[8(ε + k)− 6Γε(1 − ν1)]x}{ε + k}−1,
C3 = {1 − 3[ν2 + 3− (3ν2 + 1)β2
0 ]x}{1 + β−2
0
}−1,
x = {ε+ k + 0,5β(1 − (ε+ k))(1 + β2
0)β
−1
0
}{(ε + k)[3(ν2 + 3)− (3ν2 + 1)(2 − β2
0)β
2
0 ]−
− β3[4(ε + k)− 3Γε(1− ν1)](1 + β2
0)β
−1
0
}−1.
Возмущенное состояние внешней упругой однородной кольцевой области D2e может быть
записано следующим образом:
σ′e
rr = (2Aρ+ (3m2 + 1)Bρ−1 − 2Cρ−3) cos θ,
σ′e
θθ = (6Aρ− (m2 − 1)Bρ−1 + 2Cρ−3) cos θ,
σ′e
rθ = (2Aρ− (m2 − 1)Bρ−1 − 2Cρ−3) sin θ,
u′e =
σs2
E2
(
m2 − 3
m2
Aρ2 +
(m2 + 1)(3m2 − 1)
m2
B ln ρ+
m2 + 1
m2
Cρ−2
)
cos θ,
где m2 = ν−1
2
, σ′e
rr, σ′e
θθ и σ′e
rθ — возмущения первого порядка малости соответствующих
компонент напряжения, отнесенные к σs2; u
′e — возмущение первого порядка малости ра-
диального смещения, отнесенное к b, а A, B и C — неопределенные коэффициенты. Следо-
вательно, характеристическое уравнение приобретает вид [9]
∆̃(β0) = 0, (7)
где ∆̃(β0) — определитель матрицы (aij)
3
i,j=1 с
a11 = 2 +A1
σs2
E2
m2 − 3
m2
, a12 = 3m2 + 1, a13 = −2 +A1
σs2
E2
m2 + 1
m2
,
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
a21 = 2 +A2
σs2
E2
m2 − 3
m2
, a22 = −(m2 − 1), a23 = −2 +A2
σs2
E2
m2 + 1
m2
, a31 = 2β0,
a32 = −(m2 − 1)β−1
0
, a33 = −2β−3
0
, A1 = 2C3 − 6(ν2 + 3)x, A2 = A1 + 24x.
4. Решение в случае D1peD2pe. Здесь анализу подлежит возможный механизм по-
тери устойчивости составного диска D (см. рис. 3) с образованием двух пластических зон
(круговой в D1 и кольцевой в D2). Невозмущенное состояние диска D определяется так:
σθθ =
s, ρ ∈ [0, β01],
C1 +
C2
ρ2
− σ1(3ν1 + 1)
8σs2
ρ2, ρ ∈ [β01, β),
1, ρ ∈ (β, β0],
C4
(
1 +
1
ρ2
)
+
σ2(ν2 + 3)
8σs2
− σ2(3ν2 + 1)
8σs2
ρ2, ρ ∈ [β0, 1],
(8)
σrr =
s− σ1
3σs2
ρ2, ρ ∈ [0, β01],
C1 −
C2
ρ2
− σ1(ν1 + 3)
8σs2
ρ2, ρ ∈ [β01, β],
1− σ2
3σs2
ρ2 +
C3
ρ
, ρ ∈ [β, β0],
C4
(
1− 1
ρ2
)
+
σ2(ν2 + 3)
8σs2
(1− ρ2), ρ ∈ [β, 1],
(9)
где
β01 =
r01
b
, β0 =
r02
b
, C1 = s+ 2Γ(3ν1 + 1)β2
01x, C2 = Γ(3ν1 + 1)β4
01x,
C3 = 2β0{[3(ν2 + 3)− (3ν2 + 1)(2 − β2
0)β
2
0 ]x− 1}{1 + β2
0}−1,
C4 = {1 − 3(ν2 + 3− (3ν2 + 1)β2
0)x}{1 + β−2
0
}−1,
x =
1− s(ε+ k)
Γ{(3ν1 + 1)[2(ε + k) + (ε− k)β−2β2
01
]β2
01
− 3β2[ε(3ν1 + 1) + k(ν1 + 3)]} ,
β2
01 =
−c2 ±
√
c2
2
− 4c1c3
2c1
,
причем
c1 = −β2Γ(3ν1 + 1){[1 − 2εs + ε− k](1 + β2
0)− 2(ε− k)β−1β0},
c2 = 2Γ(3ν1 + 1){[1 − (ε+ k)](1 + β2
0) + 2(ε + k)β−1β0},
c3 = 3β2Γ[ε(3ν1 + 1) + k(ν1 + 3)]{(1 − s)(1 + β2
0)− 2β−1β0}+ [1− s(ε+ k)]×
× {β2(8− 3Γ(ν1 + 3))(1 + β2
0)− 2β−1β0[3(ν2 + 3)− (3ν2 + 1)(2− β2
0)β
2
0 ]}.
С учетом этого в характеристическом уравнении (7) нужно переопределить A1 и A2:
A1 = 2C4 − 6(ν2 + 3)x, A2 = A1 + 24x.
Общий вид элементов aij , i, j = 1, . . . , 3, совпадает с приведенным в пункте 3.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 59
Рис. 4
Решив характеристическое уравнение (7), по найденному критическому значению β0 =
= β0∗ радиуса кольцевой пластической области D2p определяем согласно (8) и (9) крити-
ческий радиус β01 = β01∗ круговой пластической зоны D1p и критическую угловую ско-
рость ω∗.
5. Примеры. Относительная критическая скорость вращения диска с параметрами
β = 0,93, ν1 = 0,31, ν2 = 0,3, ε = 1, Γ = 0,99, s = 0,99, σs2/E2 = 0,01, теряющего, по
предположению, устойчивость по сценарию (а), равна 1,5533. Для диска с β = 0,1, ν1 = 0,3,
ν2 = 0,4, ε = 1,1, Γ = 0,9, s = 1,1, σs2/E2 = 0,01 относительная критическая скорость
в этом случае равна 1,6757, а для диска с β = 0,5, ν1 = 0,3, ν2 = 0,2, ε = 1,2, Γ = 0,9,
s = 1,1, σs2/E2 = 0,01 — 1,6807. Не меняя в каждом из дисков значения β и полагая при
этом ν1 = ν2 = 0,5, ε = Γ = s = 1, получаем известное значение [5, 9] “первой критической
скорости” ω∗/q2 = 1,5118 для плоского сплошного однородного диска. Для каждого из трех
указанных составных дисков, рассмотренных ранее в связи с анализом самоуравновешенной
формы потери устойчивости, не существует решений характеристического уравнения (7)
в предположении, что реализуется какой-либо из механизмов (б) или (в) эксцентричной
формы неустойчивости.
На рис. 4 представлены графики зависимостей относительной критической скорости от
радиуса окружности ρ = β, отделяющей D1 от D2, для диска D с параметрами ν1 = 0,4,
ν2 = 0,3, ε = 1,2, s = 0,85, σs2/E2 = 0,01 при различных Γ: 1 — Γ = 2; 2 — Γ = 1,75; 3 —
Γ = 1,5; 4 — Γ = 1,25; 5 — Γ = 1; 6 — Γ = 0,75; 7 — Γ = 0,5.
По мере расширения круговой секции D1 за счет сужения кольцевой секции D2 и убыва-
ния отношения Γ = γ1/γ2 от 1 до 0,5 исследуемый составной диск D становится менее мас-
сивным и более устойчивым — допустимая постоянная скорость вращения увеличивается
с возрастанием β и убыванием Γ (кривые 6, 7 ). В случае убывания отношения γ1/γ2 от 2 до 1
критическая скорость тоже возрастает, убывая, естественно, с увеличением β при каждом
фиксированном значении Γ из указанного диапазона (кривые 1–5 ).
6. Обсуждение результатов. Как видно из пункта 5, предложенным в данной работе
способом изучения развития неустойчивости можно рассчитать момент перехода быстро
вращающегося составного сплошного кругового диска в неустойчивое состояние по одному
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
из механизмов (а)–(в). При этом полученный в работе результат в случае (а) обобщает
аналогичный результат для сплошного однородного диска [5, 6, 8, 10].
Случаи (б) и (в) интерпретируются как потеря устойчивости однородным кольцевым
диском D2, специальным образом нагруженным в его плоскости по внутреннему конту-
ру [11]. В связи с этим отсутствие, по крайней мере, в соответствующих примерах из пун-
кта 5 ненулевых корней полученного характеристического уравнения полностью согласуе-
тся с упомянутыми в пункте 2 результатами работ [5, 6, 8, 9].
1. Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Трехмерная теория устойчивости деформируемых тел. – Киев: Наук. думка,
1985. – 280 с.
2. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел: в 2 т. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1954. – Т. 1. –
648 с.
3. Бицено К.Б., Граммель Р. Техническая динамика. Т. 1. – Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1950. – 900 с.
4. Бицено К.Б., Граммель Р. Техническая динамика. Т. 2. – Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1952. – 640 с.
5. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. О потере устойчивости вращающихся дисков // Изв. АН СССР, ОТН. –
1958. – № 1. – С. 124–125.
6. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т. 2. – Москва: Физматлит, 2002. – 448 с.
7. Ивлев Д.Д. О потере несущей способности вращающихся дисков, близких к круговому // Изв. АН
СССР, ОТН. – 1957. – № 1. – С. 141–144.
8. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упруго-пластического тела. – Москва: Наука,
1978. – 208 с.
9. Лила Д.М. Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического дис-
ка // Доп. НАН України. – 2011. – № 2. – С. 49–53.
10. Лила Д.М., Мартынюк А.А. О потере устойчивости вращающегося упруго-пластического кругового
диска // Там само. – 2011. – № 1. – С. 44–51.
11. Lila D.M., Martynyuk A.A. Stability loss of rotating elastoplastic discs of the specific form // Appl.
Mathematics. – 2011. – 2, Nо 5. – P. 579–585.
12. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. – Киев:
Выща шк., 1989. – 352 с.
13. Соколовский В. В. Теория пластичности. – Москва: Высш. шк., 1969. – 608 с.
Поступило в редакцию 28.12.2011Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Д.М. Лила
Ексцентрична форма нестiйкостi складеного плоского кругового
диска, що обертається
Запропоновано спосiб дослiдження методом малого параметра можливої втрати стiйкостi
складеного плоского кругового диска, що обертається. Одержано у першому наближеннi
характеристичне рiвняння вiдносно критичного радiуса пластичної зони. Чисельно знайдено
значення критичної кутової швидкостi обертання при рiзних параметрах диска.
D.M. Lila
Eccentric instability form of a rotating composite plane circular disc
A way of calculating the possible stability loss by a rotating elastoplastic composite plane circular
disc is suggested within the small-parameter method. A characteristic equation for the critical radius
of a plastic zone is obtained as the first approximation. The values of critical angular velocity of
rotation for various parameters of the disc are found numerically.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 61
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84405 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T11:18:49Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лила, Д.М. 2015-07-07T14:05:14Z 2015-07-07T14:05:14Z 2012 Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска / Д.М. Лила // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 55-61. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84405 531.36 Предложен способ исследования методом малого параметра возможной потери устойчивости вращающегося составного плоского кругового диска. Получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны. Численно найдены значения критической угловой скорости вращения при различных параметрах диска. Запропоновано спосiб дослiдження методом малого параметра можливої втрати стiйкостi складеного плоского кругового диска, що обертається. Одержано у першому наближеннi характеристичне рiвняння вiдносно критичного радiуса пластичної зони. Чисельно знайдено значення критичної кутової швидкостi обертання при рiзних параметрах диска. A way of calculating the possible stability loss by a rotating elastoplastic composite plane circular disc is suggested within the small-parameter method. A characteristic equation for the critical radius of a plastic zone is obtained as the first approximation. The values of critical angular velocity of rotation for various parameters of the disc are found numerically. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска Ексцентрична форма нестiйкостi складеного плоского кругового диска, що обертається Eccentric instability form of a rotating composite plane circular disc Article published earlier |
| spellingShingle | Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска Лила, Д.М. Механіка |
| title | Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска |
| title_alt | Ексцентрична форма нестiйкостi складеного плоского кругового диска, що обертається Eccentric instability form of a rotating composite plane circular disc |
| title_full | Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска |
| title_fullStr | Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска |
| title_full_unstemmed | Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска |
| title_short | Эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска |
| title_sort | эксцентричная форма неустойчивости вращающегося составного плоского кругового диска |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84405 |
| work_keys_str_mv | AT liladm ékscentričnaâformaneustoičivostivraŝaûŝegosâsostavnogoploskogokrugovogodiska AT liladm ekscentričnaformanestiikostiskladenogoploskogokrugovogodiskaŝoobertaêtʹsâ AT liladm eccentricinstabilityformofarotatingcompositeplanecirculardisc |