О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями
Исследуется класс механических систем, описываемых уравнениями с последействием и импульсными возмущениями. С помощью метода Ляпунова–Разумихина и функций Ляпунова, определенных на произведении пространств, установлены достаточные условия устойчивости. Дослiджується клас механiчних систем, що опис...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84406 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями / А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 62-65. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859764295932313600 |
|---|---|
| author | Мартынюк, А.А. |
| author_facet | Мартынюк, А.А. |
| citation_txt | О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями / А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 62-65. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Исследуется класс механических систем, описываемых уравнениями с последействием
и импульсными возмущениями. С помощью метода Ляпунова–Разумихина и функций
Ляпунова, определенных на произведении пространств, установлены достаточные условия устойчивости.
Дослiджується клас механiчних систем, що описуються рiвняннями з пiслядiєю та iмпульсними збуреннями. За допомогою методу функцiй Ляпунова–Разумiхiна та функцiй Ляпунова, означених на добутку просторiв, встановлено достатнi умови стiйкостi.
We investigate a class of mechanical systems, which are described by the equations with delay and
impulsive perturbation. By using the method of Lyapunov–Razumikhin and Lyapunov functions
defined on a product of spaces, the sufficient stability criteria are established.
|
| first_indexed | 2025-12-02T05:27:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2012
Академик НАН Украины А.А. Мартынюк
О стабилизации движения систем с последействием
импульсными возмущениями
Исследуется класс механических систем, описываемых уравнениями с последействием
и импульсными возмущениями. С помощью метода Ляпунова–Разумихина и функций
Ляпунова, определенных на произведении пространств, установлены достаточные усло-
вия устойчивости.
Импульсное возмущение может стабилизировать и/или дестабилизировать движение нели-
нейной системы с последействием. Цель данной работы — получение условий стабилизации
движения системы с последействием на основе двух подходов: путем применения функций
Ляпунова–Разумихина и функций Ляпунова на произведении пространств.
Постановка задачи. Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения с после-
действием вида
dx
dt
= f(t, xt), t > t0,
x(σ) = ϕ(s) ∈ PC([−τ, 0],Rn), σ > t0,
(1)
где x ∈ R
n, xt ∈ PC([−τ, 0],Rn), f : R+ ×PC× → R
n; PC = PC([−τ, 0],Rn) — пространство
кусочно-непрерывных справа функций ϕ : [−τ, 0] → R
n; S(H) = {x ∈ R
n, ‖x‖ < H}.
Пусть |ϕ| = sup
−τ6s60
‖ϕ(s)‖, где ‖ · ‖ — евклидова норма вектора в R
n и xt(s) = x(t + s)
при −τ 6 s 6 0; dx/dt обозначает правую производную вектора состояния системы (1).
Наряду с системой (1) будем рассматривать уравнения возмущенного движения системы
при импульсных возмущениях
dx
dt
= f(t, xt, α), t 6= τk,
∆x = Ik(t, x(t
−)), t = τk, k ∈ N+,
(2)
где Ik : R+ × S(H) → R
n, ∆x = x(t)− x(t−); t0 < τk < τk+1, τk → +∞ при k → +∞, k ∈ N+;
N+ — множество всех положительных чисел.
Движение системы с последействием (1) стабилизируемо с помощью импульсных воз-
мущений, если существует последовательность моментов {τk}, τk − τk−1 6= 0, и последова-
тельность соответствующих вектор-функций {Ik(x)}, k ∈ N+, таких, что нулевое решение
системы (2) обладает определенным типом устойчивости, более сильным, чем устойчивость
состояния x = 0 системы (1). Например, нулевое решение системы (1) может быть устой-
чивым, но не асимптотически, в то время как импульсное возмущение упрочняет движение
системы (2) до асимптотически или экспоненциально устойчивого.
Наша задача — получить условия стабилизации движения системы (1) при помощи
импульсных возмущений.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
О классе вспомогательных функций для системы (1). Для системы (1) будем
применять функцию
V2(t, x) = θTU(t, ∗)θ, θ ∈ R
2
+, (3)
где
U(t, ∗) =
(
v11(t, x1) v12(t, x1, x2)
v21(t, x1, x2) v22(t, x2)
)
.
Здесь x1 ∈ R
n1 , x2 ∈ R
n2 , n1+n2 = n, v11(t, x1) : R+×S(H1) → R+, v22(t, x2) : R+×S(H2) →
→ R+ и v12(t, x1, x2) = v21(t, x1, x2) : R+ × R
n1 × R
n2 → R, S(H1) = {x1 ∈ R
n1 : ‖x1‖ < H1},
S(H2) = {x2 ∈ R
n2 : ‖x2‖ < H2}, H1,H2 > 0.
Заметим, что для некоторых классов систем вида (1) матричная функция U(t, ∗) может
быть построена в явном виде путем решения матричных уравнений Ляпунова и специаль-
ного уравнения для определения элемента v12(t, x1, x2).
Функция (3) удовлетворяет условию B2, если:
а) V2(t, x) непрерывна на любом множестве [τk−1, τk) × R
n × R
n и при всех x, y ∈ R
n
и k ∈ N+ существует предел lim
(t,y)→(τ−
k
,x)
= V2(τ
−
k , x);
б) V2(t, x) — локально липшицева по x ∈ R
n и V2(t, 0) = 0 при всех t > t0.
Теоремы о стабилизации решений системы (1). Имеет место следующее утвер-
ждение.
Теорема 1. Пусть для системы (1) построена функция V2(t, x), удовлетворяющая
условию B2. Кроме того, существуют постоянные p, c1, c2, λ > 0 и β > τ такие, что
1) c1‖x‖
p
6 V2(t, x) 6 c2‖x‖
p при всех t > t0 и x ∈ R
n;
2) вдоль решений системы (1) верна оценка
D+V2(t, ϕ(0))
∣
∣
(1)
6 0
при всех t ∈ [τk−1, τk), k ∈ N+, как только qV2(t, ϕ(0)) > V2(t + s, ϕ(s)) при s ∈ [−τ, 0],
q > e2λβ ;
3) существуют постоянные dk > 0, k ∈ N+, такие, что V2(τk, ϕ(0) + Ik(ϕ)) 6
6 dkV2(τ
−
k , ϕ(0));
4) при всех k ∈ N+ τ 6 τk − τk−1 6 β и ln(dk) + λβ < −λ(τk+1 − τk).
Тогда состояние x = 0 системы (1) экспоненциально устойчиво в целом.
Доказательство. Пусть x(t, ϕ) = x(t, t0, ϕ) — любое решение системы (1) с начальной
функцией xt0 = ϕ. Оценим c2|ϕ|
p так: выберем m > 0 при заданном q таким, чтобы
c2|ϕ|
p < m|ϕ|pe−λ(τ1−τ0) 6 qc2|ϕ|
p.
При выполнении условий теоремы 1 нетрудно показать, что
V2(t, x(t, ϕ)) 6 m|ϕ|pe−λ(t−t0)
при всех t ∈ [τk−1, τk). Поэтому в силу условия 1 теоремы 1 имеем
‖x(t, ϕ)‖ 6 m∗|ϕ|e
−
λ
p
(t−t0)
при всех t ∈ [τk−1, τk), k ∈ N+, где m∗
> max{1, (m/c1)
1/p}. Этим теорема 1 доказана.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 63
При известных ограничениях на элементы vij(t, ·) матричной функции U(t, ∗) величины
c1, c2 вычисляются в явном виде как собственные значения специальных матриц.
Заметим, что условие 2 теоремы 1 для системы с последействием без импульсных воз-
мущений не гарантирует устойчивость состояния x = 0. Действие импульсных возмущений
стабилизирует движение системы (1).
Далее применим функцию Ляпунова на произведении пространств R
n и PC([−τ, 0],Rn).
Теорема 2. Предположим, что для системы (1) построена функция (3) со слагаемыми
V1(t, ϕ, η) и V2(t, x, η), удовлетворяющими условиям B0, B2 соответственно. Кроме того,
существуют постоянные 0 < p1 < p2 и β, µ, c, c1, c2, c3 > 0, dk > 0 при k ∈ N+ такие, что
1) c1‖x‖
p1 6 V2(t, x) 6 c2‖x‖
p1 , 0 6 V1(t, ϕ) 6 c3|ϕ|
p2 при всех t ∈ R+, x ∈ R
n, ϕ ∈
∈ PC([−τ, 0),Rn);
2) при любом k ∈ N+ и x ∈ R
n верна оценка
V2(τk, x+ Ik(x)) 6 dkV2(τ
−
k , x);
3) для функции V (t, ψ) = V1(t, ψ) + V2(t, ψ(0)) выполняется оценка
D+V (t, ψ)
∣
∣
(1)
6 cV (t, ψ)
при всех t ∈ [τk−1, τk), ψ ∈ PC([−τ, 0),Rn), k ∈ N+;
4) при любых k ∈ N+ τ 6 τk − τk−1 6 µ и ln
(
dk +
c3
c1
e(p2/p1−1)ckµ
)
6 −(β + c)µ.
Тогда состояние x = 0 системы (1) экспоненциально устойчиво в целом.
Доказательство. Пусть x(t, ϕ) — любое решение системы (1) с начальной функцией
ϕ ∈ PC(δ). Для заданного значения ε ∈ (0, 1] выберем δ = δ(ε) так, чтобы выполнялось
неравенство
c2δ
p1 + c3δ
p2 < c1ε
p1e−(β+c)µ. (4)
Из условия 3 теоремы 2 следует, что
V (t) 6 V (τk−1)e
c(t−τk−1) (5)
при всех t ∈ [τk−1, τk), k ∈ N+. Применяя оценки (4) и (5) для k = 1 и k = j + 1, не-
трудно показать, что при выполнении условий (1)–(4) теоремы 2 верна оценка V (t) <
< c1ε
p1e−(β+c)kµec(t−t0) и при всех t ∈ [τk−1, τk), k ∈ N+, ‖x(t, ϕ)‖ < εe−(β/p1)(t−t0). Этим
теорема 2 доказана.
Заметим, что условие 3 теоремы 2 допускает, что D+V (t, ϕ)|(1) > 0 при t 6= τk, k ∈
∈ N+, при ψ(0) 6= 0. Это означает, что непрерывная компонента системы (1) может быть
неустойчивой. С другой стороны, условие 4 устанавливает связь между частотой импульсов
и ростом функции V (t, ψ), при которых импульсные возмущения стабилизируют движение
системы (1) к экспоненциально устойчивому в целом.
П р и м е р . Рассмотрим систему с последействием второго порядка (см. [3])
d2x
dt2
+ b(t)
dx
dt
+ a(t)x(t − τ) = 0, t > t0,
x(t) = ϕ(t),
dx
dt
= ψ(t), t0 − τ 6 t 6 t0,
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №9
и соответствующую ей систему с импульсным возмущением
d2x
dt2
+ b(t)
dx
dt
+ a(t)x(t − τ) = 0, t 6= τk,
x(τk) = Ik(x(τ
−
k
)),
dx
dt
(τk) = Jk
(
dx
dt
(τ−
k
)
)
,
x(t) = ϕ(t),
dx
dt
= ψ(t), t0 − τ 6 t 6 t0,
где t0 < τ1 < · · · < τk < · · · , k ∈ N+, lim τk = +∞ при k → ∞, Ik, Jk, ϕ и ψ ∈ C(R,R) и Ik(0) =
= Jk(0) = 0 при k ∈ N+.
Пусть параметры a(t), b(t) ∈ C([t0,∞),R) и существуют постоянные a, b такие, что
|a(t)| 6 a, |b(t)| 6 b при всех t ∈ [t0,∞), a, b > 0. Пусть импульсные возмущения происходят
в моменты {τk} такие, что θ1 6 τk − τk−1 6 θ2, где θ1, θ2 > 0, θ2 < +∞.
Рассмотрим последовательность функций {Ik(u) = Jk(u)}, где Ik(u) = (dk/2)
1/2u при
всех k ∈ N+. Если существует постоянная α > 0 такая, что
ln(dk + aθ1) < −(α+ 1 + a+ 2b)θ2,
где θ1 = τ , θ2 < +∞, то движение системы с последействием стабилизируемо импульсными
возмущениями до экспоненциальной устойчивости в целом.
1. Мартынюк А.А., Мартынюк-Черниенко Ю.А. О робастной устойчивости систем с последействием //
Доп. НАН України. – 2012. – № 8. – С. 47–53.
2. Yan J., Shen J. Impulsive stabilization of functional differential equations by Lyapunov–Razumikhin func-
tions // Nonlinear Analysis. – 1999. – 37. – P. 245–255.
3. Wang Q. Stability and boundedness of impulsive systems with time delay. – Waterloo: Univ. of Waterloo,
2007. – 204 p.
Поступило в редакцию 28.12.2011Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Академiк НАН України А.А. Мартинюк
Про стабiлiзацiю руху систем з пiслядiєю iмпульсними збуреннями
Дослiджується клас механiчних систем, що описуються рiвняннями з пiслядiєю та iм-
пульсними збуреннями. За допомогою методу функцiй Ляпунова–Разумiхiна та функцiй
Ляпунова, означених на добутку просторiв, встановлено достатнi умови стiйкостi.
Academician of the NAS of Ukraine A.A. Martynyuk
On the stabilization of a motion of systems with delay by impulses
We investigate a class of mechanical systems, which are described by the equations with delay and
impulsive perturbation. By using the method of Lyapunov–Razumikhin and Lyapunov functions
defined on a product of spaces, the sufficient stability criteria are established.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №9 65
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84406 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T05:27:41Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартынюк, А.А. 2015-07-07T14:05:30Z 2015-07-07T14:05:30Z 2012 О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями / А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 9. — С. 62-65. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84406 531.36 Исследуется класс механических систем, описываемых уравнениями с последействием и импульсными возмущениями. С помощью метода Ляпунова–Разумихина и функций Ляпунова, определенных на произведении пространств, установлены достаточные условия устойчивости. Дослiджується клас механiчних систем, що описуються рiвняннями з пiслядiєю та iмпульсними збуреннями. За допомогою методу функцiй Ляпунова–Разумiхiна та функцiй Ляпунова, означених на добутку просторiв, встановлено достатнi умови стiйкостi. We investigate a class of mechanical systems, which are described by the equations with delay and impulsive perturbation. By using the method of Lyapunov–Razumikhin and Lyapunov functions defined on a product of spaces, the sufficient stability criteria are established. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями Про стабiлiзацiю руху систем з пiслядiєю iмпульсними збуреннями On the stabilization of a motion of systems with delay by impulses Article published earlier |
| spellingShingle | О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями Мартынюк, А.А. Механіка |
| title | О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями |
| title_alt | Про стабiлiзацiю руху систем з пiслядiєю iмпульсними збуреннями On the stabilization of a motion of systems with delay by impulses |
| title_full | О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями |
| title_fullStr | О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями |
| title_full_unstemmed | О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями |
| title_short | О стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями |
| title_sort | о стабилизации движения систем с последействием импульсными возмущениями |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84406 |
| work_keys_str_mv | AT martynûkaa ostabilizaciidviženiâsistemsposledeistviemimpulʹsnymivozmuŝeniâmi AT martynûkaa prostabilizaciûruhusistemzpislâdiêûimpulʹsnimizburennâmi AT martynûkaa onthestabilizationofamotionofsystemswithdelaybyimpulses |