Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами
На основi методу лiнiйних матричних нерiвностей отриманi достатнi умови асимптотичної стiйкостi за Ляпуновим лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з кусково-сталими коефiцiєнтами. The sufficient conditions of the asymptotic Lyapunov’s stability for a linear system of differential equations with pi...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8443 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами / С.В. Бабенко, А.И. Двирный // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859550725476974592 |
|---|---|
| author | Бабенко, С.В. Двирный, А.И. |
| author_facet | Бабенко, С.В. Двирный, А.И. |
| citation_txt | Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами / С.В. Бабенко, А.И. Двирный // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | На основi методу лiнiйних матричних нерiвностей отриманi достатнi умови асимптотичної стiйкостi за Ляпуновим лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з кусково-сталими коефiцiєнтами.
The sufficient conditions of the asymptotic Lyapunov’s stability for a linear system of differential equations with piecewise constant coefficients are derived. The method of linear matrix inequalities is used.
|
| first_indexed | 2025-11-26T06:08:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2009
МАТЕМАТИКА
УДК 531.36
© 2009
С.В. Бабенко, А.И. Двирный
Линейные матричные неравенства и устойчивость
систем дифференциальных уравнений
с кусочно-постоянными коэффициентами
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
На основi методу лiнiйних матричних нерiвностей отриманi достатнi умови асимп-
тотичної стiйкостi за Ляпуновим лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з куско-
во-сталими коефiцiєнтами.
В данном сообщении приведены некоторые результаты, позволяющие свести задачу об
устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными ко-
эфициентами к вопросу о совместимости некоторой системы линейных матричных нера-
венств. Метод линейных матричных неравенств [1–3] является достаточно разработанным
методом исследования в теории устойчивости [4]. Его преимущество состоит в том, что он
численно реализован в пакете прикладных программ MATLAB.
Рассматривается линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений ви-
да [5]
dx
dt
= Aσ(t)x, x(t0) = x0, (1)
где x ∈ R
n, t > t0, Aσ(t) — кусочно-постоянная матрица, σ(t) = j — кусочно-постоянная
функция, принимающая последовательно значения из конечного множества {1, 2, . . . r}.
Введем отображение X : R
n → K ⊂ E , где K — конус симметричных положительно
полуопределенных матриц [6], т. е. K = {H ∈ E , ξT Hξ > 0, ξ ∈ R
n}, E — пространство
симметричных n × n матриц, X(t) = xxT . Известно [7–9], что это отображение сохраняет
устойчивость и переводит линейную систему уравнений (1) в матричную систему уравнений
dX
dt
= AjX + XAT
j , X(t0) = X0 ∈ K, (2)
позитивную относительно конуса K.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 7
Введем линейные операторы
Pj : E → E , PjX = AjX + XAT
j , j = 1, r,
G : E → E , GX = (tr X)I,
и систему (2) представим в виде
dX
dt
= PjX,
X(t0) = X0 ∈ K.
(3)
Определим линейный оператор монодромии
Ψ =
r∏
j=1
ePr−(j−1)θr−(j−1)+γr−(j−1)G(θr−(j−1)−θr−(j−1)),
где θj , θj — супремум и инфимум соответственно длин промежутков постоянства функции
σ(t), на которых она принимает значения, равные j; γj — константа позитивности операто-
ра Pj относительно конуса K, т. е. неотрицательная константа, для которой P ′
jK ⊂ K, где
P ′
j = Pj + γjG [10].
Рассмотрим частный случай, когда r = 2, θi = θi = θi, i = 1, r. В этом случае оператор
монодромии принимает вид
Ψ = eP2θ2eP1θ1.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Если линейная система уравнений (1) такова, что система линейных
матричных неравенств
l−1∑
k=1
1
k!
k∑
j=0
C
j
k(θ
k
1A
k−j
1 X(AT
1 )j + (−1)k+1θk
2A
k−j
2 X(AT
2 )j) < 0,
l∑
j=0
C
j
l A
l−j
1 X(AT
1 )j 6 0,
l∑
j=0
C
j
l A
l−j
2 X(AT
2 )j 6 0,
где l = 2n − 1, n ∈ N, совместна в классе положительно определенных матриц, то сис-
тема (1) асимптотически устойчивая.
Доказательство. Определим матрицу X̃ = e−P2θ2X. Согласно положительности опе-
ратора e−P2θ2 матрица X̃ является положительно определенной.
Для ∀Φ ∈ K∗ = K, где K∗ — конус, сопряженный к конусу K [6], введем к рассмотрению
функцию
φ(h) = tr(Φ(eP1θ1hX − e−P2θ2hX)).
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Произведем разложение φ(h) в степенной ряд, используя при этом представление оста-
точного члена в форме Лагранжа:
φ(h) = tr
(
Φ
(
l−1∑
k=0
(
hk(P1θ1)
k
k!
X −
(−1)khk(P2θ2)
k
k!
X
)))
+
+ tr
(
Φ
(
1
l!
(hleP1θ1ξ(P1θ1)
lX + (−1)l+1hle−P2θ2ξ(P2θ2)
lX)
))
,
ξ ∈ [0, h], l = 2n − 1, n ∈ N.
Тогда для h = 1 получаем выражение
φ(1) = tr(Φ(eP1θ1X − e−P2θ2X)) = tr
(
Φ
(
l−1∑
k=0
(
(P1θ1)
k
k!
X −
(−1)k(P2θ2)
k
k!
X
)))
+
+ tr
(
Φ
(
1
l!
(eP1θ1ξ(P1θ1)
lX + e−P2θ2ξ(P2θ2)
lX)
))
=
= tr
(
Φ
(
l−1∑
k=1
1
k!
k∑
j=0
C
j
k(θ
k
1A
k−j
1 X(AT
1 )j + (−1)k+1θk
2A
k−j
2 X(AT
2 )j)
))
+
+ tr
(
Φ
(
1
l!
(
θl
1e
P1θ1ξ
l∑
j=0
C
j
l A
l−j
1 X(AT
1 )j + θl
2e
−P2θ2ξ
l∑
j=0
C
j
l A
l−j
2 X(AT
2 )j
)))
,
ξ ∈ [0, 1].
Согласно сформулированным в теореме условиям и определению сопряженного конуса
получаем
φ(1) = tr(Φ(eP1θ1X − e−P2θ2X)) = (Φ, eP1θ1X − e−P2θ2X) < 0.
Отсюда следует eP1θ1X − e−P2θ2X
K
< 0, т. е. ΨX̃
K
< X̃. Согласно [11] линейная система диф-
ференциальных уравнений (1) асимптотически устойчивая. Теорема доказана.
Теорема 2. Если линейная система (1) такова, что для заданной симметричной по-
ложительно определенной матрицы Q линейное матричное уравнение
l−1∑
k=1
1
k!
k∑
j=0
C
j
k(θ
k
1A
k−j
1 X(AT
1 )j + (−1)k+1θk
2A
k−j
2 X(AT
2 )j) = −Q
имеет положительно определенное решение X, удовлетворяющее неравенству
1
l!
((2θ1‖A1‖)
le2θ1‖A1‖ + (2θ2‖A2‖)
le2θ2‖A2‖)‖X‖ < λmin(Q), l ∈ N,
то система (1) асимптотически устойчивая.
Доказательство. Определим матрицу X̃ = e−P2θ2X, которая является положительно
определенной ввиду положительности оператора e−P2θ2 и рассмотрим функцию вида
V (h) = xT (eP1θ1hX − e−P2θ2hX)x.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 9
Произведем разложение скалярной функции V (h) в степенной ряд, используя при этом
для остаточного члена представление в форме Лагранжа:
V (h) = xT (eP1θ1hX − e−P2θ2hX)x = xT
(
l−1∑
k=1
(
hk(P1θ1)
k
k!
X −
(−1)khk(P2θ2)
k
k!
X
))
x +
+ xT
(
1
l!
(hleP1θ1ξ(P1θ1)
lX + (−1)l+1hle−P2θ2ξ(P2θ2)
lX
)
x, ξ ∈ [0, h].
Тогда для h = 1 получаем выражение
V (1) = xT (eP1θ1X − e−P2θ2X)x = xT
(
l−1∑
k=1
(
(P1θ1)
k
k!
X −
(−1)k(P2θ2)
k
k!
X
))
x +
+ xT
(
1
l!
(eP1θ1ξ(P1θ1)
lX + (−1)l+1e−P2θ2ξ(P2θ2)
lX)
)
x =
= xT
(
l−1∑
k=1
(
(P1θ1)
kX
k!
− (−1)k
(P2θ2)
kX
k!
))
x +
+ xT
(
1
l!
(θl
1e
A1θ1ξP l
1XeAT
1 θ1ξ + (−1)l+1θl
2e
−A2θ2ξP l
2Xe−AT
2 θ2ξ)
)
x =
= xT
(
l−1∑
k=1
1
k!
k∑
j=0
C
j
k(θ
k
1A
k−j
1 X(AT
1 )j + (−1)k+1θk
2A
k−j
2 X(AT
2 )j)
)
x +
+ xT
(
1
l!
(θl
1e
A1θ1ξP l
1XeAT
1 θ1ξ + θl
2e
−A2θ2ξP l
2Xe−AT
2 θ2ξ)
)
x, ξ ∈ [0, 1].
Произведем для квадратических форм отрицательно определенной матрицы
−Q =
l−1∑
k=1
1
k!
k∑
j=0
C
j
k(θ
k
1A
k−j
1 X(AT
1 )j + (−1)k+1θk
2A
k−j
2 X(AT
2 )j)
и остаточного члена
R =
1
l!
(θl
1e
A1θ1ξP l
1XeAT
1 θ1ξ + (−1)l+1θl
2e
−A2θ2ξP l
2Xe−AT
2 θ2ξ)
следующие оценки:
xT (−Q)x 6 λmax(−Q) · ‖x‖2 = −λmin(Q) · ‖x‖2. (4)
Для оценки квадратической формы остаточного члена R воспользуемся неравенством
Коши–Буняковского:
xT Rx = 〈Rx, x〉 6 ‖Rx‖ · ‖x‖ 6 ‖R‖ · ‖x‖2. (5)
Из выражений (4), (5) получаем
xT Rx − xT Qx 6 (‖R‖ − λmin(Q))‖x‖2.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Понятно, что неравенство ‖R‖ − λmin(Q) < 0 влечет за собой
xT Rx − xT Qx < 0.
Т. е. если
‖R‖ 6
1
l!
((2θ1‖A1‖)
le2θ1‖A1‖ξ + (2θ2‖A2‖)
le2θ2‖A2‖ξ)‖X‖ 6
6
1
l!
((2θ1‖A1‖)
le2θ1‖A1‖ + (2θ2‖A2‖)
le2θ2‖A2‖)‖X‖ < λmin(Q),
ξ ∈ [0, 1], то квадратическая форма матрицы eP1θ1X − e−P2θ2X отрицательная. Отсюда
следует eP1θ1X − e−P2θ2X
K
< 0, или ΨX̃
K
< X̃ . Тогда, согласно [11] линейная система диффе-
ренциальных уравнений (1) асимптотически устойчивая. Теорема доказана.
Следует отметить, что в зависимости от используемых нами оценок для нормы оста-
точного члена R, мы будем получать и новые достаточные условия асимптотической устой-
чивости линейной системы дифференциальных уравнений. Например, используя оценку
Гельфанда–Шилова
‖eCh‖ 6 eγh
n−1∑
k=0
(2h‖C‖)k
k!
, γ = maxRe λi(C),
получим следующие результаты.
Теорема 3. Если линейная система (1) такова, что для заданной симметричной по-
ложительно определенной матрицы Q линейное матричное уравнение
l−1∑
k=1
1
k!
k∑
j=0
C
j
k(θ
k
1A
k−j
1 X(AT
1 )j + (−1)k+1θk
2A
k−j
2 X(AT
2 )j) = −Q
имеет положительно определенное решение X, удовлетворяющее неравенствам
1
l!
(
(2θ1‖A1‖)
le2α1θ1
(
n−1∑
k=0
(2θ1‖A1‖)
k
k!
)2
+ (2θ2‖A2‖)
le2α2θ2
(
n−1∑
k=0
(2θ2‖A2‖)
k
k!
)2)
‖X‖ <
< λmin(Q), если α1 > 0, α2 > 0,
1
l!
(
(2θ1‖A1‖)
le2α1θ1
(
n−1∑
k=0
(2θ1‖A1‖)
k
k!
)2
+ (2θ2‖A2‖)
l
(
n−1∑
k=0
(2θ2‖A2‖)
k
k!
)2)
‖X‖ <
< λmin(Q), если α1 > 0, α2 < 0,
1
l!
(
(2θ1‖A1‖)
l
(
n−1∑
k=0
(2θ1‖A1‖)
k
k!
)2
+ (2θ2‖A2‖)
le2α2θ2
(
n−1∑
k=0
(2θ2‖A2‖)
k
k!
)2)
‖X‖ <
< λmin(Q), если α1 < 0, α2 > 0,
1
l!
(
(2θ1‖A1‖)
l
(
n−1∑
k=0
(2θ1‖A1‖)
k
k!
)2
+ (2θ2‖A2‖)
l
(
n−1∑
k=0
(2θ2‖A2‖)
k
k!
)2)
‖X‖ <
< λmin(Q), если α1 < 0, α2 < 0,
где α1 = max Reλi(A1), α2 = −minRe λi(A2), то система (1) асимптотически устойчива.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 11
1. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control
Theory // Studies in Applied Mathematics. Vol. 15. – Philadelphia, PA: 1994. – 193 p.
2. Siljak D.D., Stipanovic D.M. Robust stabilization of nonlinear systems: the LMI approach // Math. Probl.
Eng. – 2000. – 6. – P. 461–493.
3. Слынько В.И. Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем //
Доп. НАН України. – 2008. – № 4. – С. 68–71.
4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – Москва: Наука, 1967. – 472 с.
5. Zhai G., Hu Bo, Yasuda K., Michel A. Piecewise Lyapunov functions for switched systems with average
dwell time // Asian J. Control. – 2000. – 2, No 3. – P. 192–197.
6. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев В.И. Позитивные линейные системы. – Москва: Наука,
1985. – 256 с.
7. Груйич Л.Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при
структурных и сингулярных возмущениях. – Киев: Наук. думка, 1984. – 308 с.
8. Постников Н.С., Сабаев Е.Ф. Матричные системы сравнения и их приложения к задачам автома-
тического регулирования // Автоматика и телемеханика. – 1981. – 42, № 3. – С. 24–34.
9. Michel A.N., Wang K., Hu B. Qualitative theory of dynamical systems. – New York: Marcel Dekker,
2001. – 707 p.
10. Двирный А.И., Слынько В.И. Об устойчивости линейных импульсных систем относительно конуса //
Доп. НАН України. – 2004. – № 4. – С. 42–48.
11. Бабенко С. В., Двирный А.И. Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами // Там само. – 2009. – № 2. – С. 7–10.
Поступило в редакцию 15.07.2008Академия пожарной безопасности
им. Героев Чернобыля, Черкассы
S.V. Babenko, A. I. Dvirny
Linear matrix inequalities and stability of the systems of differential
equations with piecewise constant coefficients
The sufficient conditions of the asymptotic Lyapunov’s stability for a linear system of differential
equations with piecewise constant coefficients are derived. The method of linear matrix inequalities
is used.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8443 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-26T06:08:46Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бабенко, С.В. Двирный, А.И. 2010-05-28T14:20:45Z 2010-05-28T14:20:45Z 2009 Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами / С.В. Бабенко, А.И. Двирный // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8443 531.36 На основi методу лiнiйних матричних нерiвностей отриманi достатнi умови асимптотичної стiйкостi за Ляпуновим лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з кусково-сталими коефiцiєнтами. The sufficient conditions of the asymptotic Lyapunov’s stability for a linear system of differential equations with piecewise constant coefficients are derived. The method of linear matrix inequalities is used. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами Linear matrix inequalities and stability of the systems of differential equations with piecewise constant coefficients Article published earlier |
| spellingShingle | Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами Бабенко, С.В. Двирный, А.И. Математика |
| title | Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| title_alt | Linear matrix inequalities and stability of the systems of differential equations with piecewise constant coefficients |
| title_full | Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| title_fullStr | Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| title_full_unstemmed | Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| title_short | Линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| title_sort | линейные матричные неравенства и устойчивость систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8443 |
| work_keys_str_mv | AT babenkosv lineinyematričnyeneravenstvaiustoičivostʹsistemdifferencialʹnyhuravneniiskusočnopostoânnymikoéfficientami AT dvirnyiai lineinyematričnyeneravenstvaiustoičivostʹsistemdifferencialʹnyhuravneniiskusočnopostoânnymikoéfficientami AT babenkosv linearmatrixinequalitiesandstabilityofthesystemsofdifferentialequationswithpiecewiseconstantcoefficients AT dvirnyiai linearmatrixinequalitiesandstabilityofthesystemsofdifferentialequationswithpiecewiseconstantcoefficients |